2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考数学试卷及答案
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2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考
数学试卷
★祝考试顺利★
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2≤1}，B ＝{x|lgx ≤1}，则A ∩B ＝
A.[0，1]
B.(0，1]
C.(0，1)
D.[－1，10]
2.己知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，且其右焦点为F 20)，则双曲线C 的方程为 A.22139x y -= B.22193x y -= C.221412x y -= D.22
1124
x y -= 3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
C.83
D.43
4.已知实数x ，y 满足1201x y x y y +≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则y x 的最小值为 A.－3 B.3 C.13- D.13
5.设x ，y ∈R ，则“0<xy<1”是“1x y
<”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.函数3ln ()x f x x
=的部分图像是
7.设0<x<12
，随机变量ξ的分布列如下：
则当x 在(0，12
)内增大时 A.E(ξ)减小，D(ξ)减小； B.E(ξ)增大，D(ξ)增大；
C.E(ξ)增大，D(ξ)减小；
D.E(ξ)减小，D(ξ)增大。
8.设点M 是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AD 的中点，AA 1＝AD ＝4，AB ＝5，点P 在面
BCC 1B 1上，若平面D 1PM 分别与平面ABCD 和平面BCC 1B 1所成的锐二面角相等，则P
点的轨迹为。
浙江省联考部分市学校2020届高三上学期数学试题Word版含解析
浙江省联考部分市学校2020届高三上学期数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，那么（）A. B. C. D.2. 设为虚数单位，表示复数的共轭复数，若，则（）A. B. C. D.3. “”是“直线与直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知，满足约束条件若恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.5. 已知函数（），下列选项中不可能是函数图象的是（）A. B. C. D.6. 已知实数，，，则的最小值是（）A. B. C. D.7. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则的值是（）A. B. C. D.8. 设点是双曲线（，）上异于实轴端点上的任意一点，，分别是其左右焦点，为中心，，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.9. 已知是正四面体（所有棱长都相等的四面体），是中点，是上靠近点的三等分点，设与、、所成角分别为、、，则（）A. B. C. D.10. 如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，将答案填在答题纸上）11. 16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.现在已知，，则__________.12. 设，，则__________；__________.13. 在的展开式中，各项系数之和为64，则__________；展开式中的常数项为__________.14. 4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，则共有__________种结果；其概率为__________.15. 某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为__________；此几何体的体积__________.16. 已知圆：（），点，若在圆上存在点，使得，的取值范围是__________.17. 当时，不等式恒成立，则的最大值是__________.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 设函数.（1）求的单调递增区间；（2）若角满足，，的面积为，求的值.19. 如图，在三棱锥中，是正三角形，面面，，，和的重心分别为，.（1）证明：面；（2）求与面所成角的正弦值.20. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，存在实数，使.21. 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆：上一点，从原点向圆：作两条切线分别与椭圆交于点，，直线，的斜率分别记为，.（1）求证：为定值；（2）求四边形面积的最大值.22. 已知数列满足：，，.（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：.浙江省联考部分市学校2020届高三上学期数学试题参考答案第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合∴∵集合∴故选C2. 设为虚数单位，表示复数的共轭复数，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴∴故选B3. “”是“直线与直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，两直线不平行当时，由两直线平行可得，且，解得或∴“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件故选A4. 已知，满足约束条件若恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出满足约束条件的可行域如图所示：平移直线到点时，有最小值为∵恒成立∴，即故选D点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.5. 已知函数（），下列选项中不可能是函数图象的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵（）∴当时，，易得在上为减函数，在上为增函数，故可能；当时，，，为增函数，故可能；当时，，有两个不相等且互为异号的实数根，先递减再递增然后再递减，故可能；当时，，有两个不相等的负实数根，先递增再递减然后再递增，故错误.故选D6. 已知实数，，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴当且仅当，即，时取等号.故选B点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。
(完整版)浙江省名校协作体2019-2020学年第一学期第一次联考高三年级数学学科
浙江名校协作体2020届高三上学期开学联考数 学考生须知：1.本卷全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
5．参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高； 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高； 台体的体积公式：，其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高； 球的表面积公式：，球的体积公式：，其中R 表示球的半径；如果事件A, B 互斥，那么P(A+B)＝P(A)+P(B)；如果事件A, B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A) ·P(B)；如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次 的概率第I 卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合M ＝｛x ｜x ＞0｝，N ＝｛x ｜－1＜x ≤2｝，则()R M N I ð等于（ ） A 、（－1，＋∞） B 、（0，1） C 、（－1，0］ D 、（－1，1）2、设i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z ＝1＋i ，则＝（ ）A 、－iB 、2iC 、－1D 、13、若函数()f x ＝2x 2－2a x －b 的图象总在x 轴上方，则（ ） A 、a ＋b ＞2 B 、a －b ＜－12 C 、a ＋2b ＞14 D 、a ＋2b ＜144、已知x ，y 满足约束条件，若2x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A 、m ≥3B 、m ≤3C 、m ≤72 D 、m ≤735、已知函数()2f x x x x =-，则有（ ）A 、()f x 是偶函数，递增区间为（0，＋∞）B 、()f x 是偶函数，递减区间为（－∞，1）C 、()f x 是奇函数，递减区间为()1,1-D 、()f x 是奇函数，递增区间为（－∞，0） 6、已知平面α与平面β交于直线l ，且直线a α⊂，直线b β⊂，且直线,,a b l 不重合，则下列命题错误．．的是（ ） A 、若,a b αβ⊥⊥，且b 与l 不垂直，则a l ⊥ B 、若,b l αβ⊥⊥，则a b ⊥C 、若,a b b l ⊥⊥，且a 与l 不平行，则αβ⊥D 、若,a l b l ⊥⊥，则αβ⊥ 7、已知等比数列｛n a ｝中＝（ ）A 、4B 、5C 、16D 、258、已知a ，b 为实数，则“不等式1ax b +≤对所有满足1a ≤且1b ≤”的（ ） A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C ．充分必要条件D 、既不充分也不必要条件9、已知正数a ，b 满足()24aba b +=，则2a b +的最小值为（ ）A 、12B 、8C 、22D 、310、已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>内有一定点()1,1P ，过点P 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆Γ交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP PC λ=u u u r u u u r ，BP PD λ=u u u r u u u r ，若λ变化时，直线CD 的斜率总为14-，则椭圆Γ的离心率为（ ）A 、3B 、12C 、22D 、5第II 卷（非选择题部分，共110分）二、填空题：多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11、计算：14482⨯＝ ▲ ，＝ ▲ ．12、设函数()cos2sin f x x x =-，则5()6f π＝ ▲ ， 若()0f x ≥，则实数x 的取值范围是 ▲ ．13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长的棱长等于 ▲ ；该几何体的体积为▲．14、已知点P在椭圆C：22143x y+=上，点Q，R分别在圆O1：（x＋1）2＋y2＝1和圆O2：（x－1）2＋y2＝1上运动，若过点P存在直线l同时与两圆相切，这样的点P的个数为▲；当点P在椭圆上运动，则｜PQ｜＋｜PR｜的最大值为▲．15、已知数列｛n a｝为等差数列，公差为d（d≠0），且满足，则＝▲．16、已知△ABC的面积等于1，若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA＝▲．17、已知非零的平面向量a，b满足a·b＝0，又平面向量c满足｜c－a｜＝2｜c－b｜＝2，若｜c－a－b｜≤12，则｜c｜的取值范围是▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分18、（本题满分14分）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）求的取值范围．19、（本题满分15分）如图，四面体ABCD 中，2AD =，1AB AC ==，二面角D AC B --的大小为60︒，120BAC DAC ∠=∠=︒，()01AP AD λλ=<<u u u r u u u r．（1）若12λ=，M 是BC 的中点，N 在线段DC 上，2DN NC =，求证：BP ∥平面AMN ； （2）当BP 与平面ACD 所成角最大时，求λ的值．20、（本题满分15分）已知等差数列{}n a 与数列{}n b 满足21a =，130b a =≠，且{}n n a b ⋅的前n 项和()1224n n S n +=-⋅+，n *∈Ν．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设的前n 项和为nT ，若，求n 的最小值．21、（本题满分15分）如图，过点()1,0P 作两条直线1x =和l 分别交抛物线24y x =于A ，B 和C ，D （其中A ，C 位于x 轴上方，l 的斜率大于0），直线AC ，BD 交于点Q ． （1）求证：点Q 在定直线上； （2）若PQC PBDS S λ=△△，求λ的最小值．22、（本题满分15分）已知()ln f x x =，()g x =．（1）若()()()af xg x g x +≥在(]0,1恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若,0m n >，1m n +=，求证：()()()()2214f m f ng m g n -<．参考答案。
浙江省浙南名校联盟2025届高三上学期第一次联考(10月)数学试题含答案
2024学年第一学期浙南名校联盟第一次联考高三数学试题（答案在最后）审题考生须知：1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.已知复数121i,2i z z =-=-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】应用复数的除法及乘法化简,得出复数即可求出对应点,进而得出所在象限即可.【详解】()()()()2121i 2i 1i 2i 2i i 31i 2i 2i 2i 555z z -+-+--====---+，复数12z z 在复平面内对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,点位于第四象限.故选：D ．2.已知集合1{(,)|||},(,)|||A x y y x B x y y x ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{1,1}-B.{(1,1),(1,1)}- C.(0,)+∞ D.(0,1)【答案】B 【解析】【分析】先解方程组，得出点的坐标即可得出交集.【详解】,1y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得1,1x y =⎧⎨=⎩，或1,1x y =-⎧⎨=⎩，所以{(1,1),(1,1)}A B =- ，故选：B ．3.“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案.【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正⇒令行，故“身正”是“令行”的充分条件；又其身不正，虽令不从，即令行⇒身正，所以“身正”是“令行”的必要条件，综合知“身正”是“令行”的充要条件，故选：C ．4.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()1f x a x =-+．若()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞ C.(,1)-∞ D.(,1]-∞【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性列出相应不等式，即可求得答案.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，若()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，故只需11001a a -=-≤+，即1a ≥，故选：A ．5.将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（）A.20种B.40种C.80种D.160种【解析】【分析】先分步计算两侧的排法，再结合分步计数原理计算即可.【详解】一侧的种植方法有3262C A 20240=⨯=种排法，另一侧的种植方法有22A 2=种排法再由分步计数原理得不同的种植方法共有40280⨯=种排法，故选:C.6.将函数()*π()cos N 12g x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()f x 的图象，若()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极大值点，则ω的最大值为（）A .2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】根据伸缩变换规则可得()*π()2cos 2N 12f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，再由余弦函数图象性质以及极值点个数解不等式可得结果.【详解】由题可知()*π()2cos 2N 12f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，当π02x <<时，πππ2π121212x ωω<+<+，若()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极大值点，则由2cos y x =的图像可得π2ππ4π12ω<+≤，解得23471212ω<≤，因为*N ω∈，所以ω的最大值为3.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x 轴对称的两点,P Q ，使得1PF Q △为正三角形，且1OQ F P ⊥，则C 的离心率为（）A.B.1C.D.1+【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用几何关系得到12π2F PF ∠=，又21π6F F P ∠=，得到21,PF c PF ==，再结2c a -=，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为2(0)c c >，右焦点为2F ，直线OQ 交1F P 于点M ，连接2PF ，因为1PF Q △为正三角形，1OQ F P ⊥，所以M 为1F P 的中点，所以2//OM F P ，故12π2F PF ∠=，易知21π6F F P ∠=，所以21,PF c PF ==，由双曲线的定义知122PF PF a -=，2c a -=，得1c e a ===+故选：D ．8.已知0x 为函数222()e e ln 2e x f x x x =+-的零点，则00ln x x +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】由题意确定0x 为方程22e e e ln xx x x=的根，构造函数()e (0)x g x x x =>，由其单调性即可求解.【详解】由()0f x =得222e 2e e ln xx x =-，即22e e (2ln )xx x =-，即222ee e ln xx x=，因为0x >，所以22e e e ln xx x x =，所以0x 为方程22e e e ln xx x x=的根，令()e (0)x g x x x =>，则()e (1)0x g x x '=+>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，又222e e e ln ln g x xx ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2e ln 2ln x x x ==-，即002ln x x =-，即00ln 2x x +=，故选：B ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）9.已知非零向量,,a b c，则下列结论正确的是（）A.若()0a b c ⋅=，则b c ⊥ B.若()(),a b a b +⊥-则||||a b = C.若a c b c ⋅=⋅ ，则a b= D.向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直【答案】ABD 【解析】【分析】选项A ，根据条件，利用数乘向量的定义得到0b c ⋅=，即可判断选项A 的正误；选项B ，根据条件，利用数量积的运算及模的定义，即可判断选项B 的正误；选项C ，根据条件，利用数量积的定义，得到||cos ,||cos ,a a c b b c =，即可求解；选项D ，根据条件，结合数量积的运算律，得到[()()]0a b c a c b a ⋅-⋅⋅=，即可求解.【详解】对于选项A ，因为a为非零向量，若()0a b c ⋅= ，则0b c ⋅= ，故b c ⊥ ，所以选项A 正确，对于选项B ，若2222()()||||0a b a b a b a b +⋅-=-=-= ，故||||a b =，所以选项В正确，对于选项C ，若a c b c ⋅=⋅ ，则||||cos ,||||cos ,a c a c b c b c ⋅=⋅ ，得到||cos ,||cos ,a a c b b c = ，不能确定a b= ，所以选项C 错误，对于选项D ，[()()]()()()()()()0a b c a c b a a b c a a c b a a b c a a b c a ⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=，故[()()]a b c a c b a ⋅-⋅⊥，所以选项D 正确，故选：ABD ．10.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中4AB =，M ，N ，D ，Q 分别为棱111,,,AB AC B C AA 的中点，DQ QM ⊥，则以下结论正确的是（）A.11//B C 平面QMNB.1AA =C.点Q 到平面DMN 的距离为D.三棱锥D QMN -的外接球表面积为131π18【答案】AC 【解析】【分析】应用线面平行判定定理判断A,应用勾股定理计算判断B,应用等体积求出点Q 到平面DMN 的距离判断C ,利用补形及直三棱柱的外接球公式计算外接球半径即可判断D .【详解】由题，11//,//MN BC BC B C ，所以11//,MN B C MN ⊂平面QMN ,11B C 不在平面QMN 内，故11//B C 平面QMN ，A 正确；由题可得，,QM QN DM DN ==，设12AA a =，易得22224,12QM a QD a =+=+，2244DM a =+，因为222DM QD QM =+，即22244124a a a +=+++，解得a =，故1AA =，B 错误；因为222DM QD QM =+，所以222DN QD QN =+，所以,,,DQ QN QN QM Q QN QM ⊥⋂=⊂平面QMN ,MN ⊂平面QMN ,得出DQ ⊥平面QMN ，112322QMNS MN ==⨯= ，所以13Q DMN D QMN QMN V V S DQ --==⋅=△133⨯⨯=又12DMNS MN == ，设点Q 到平面DMN 的距离为d，则13Q DMN DMN V S d -===△，得d =，C 正确；将三棱锥D QMN -补成以QMN 为底面的直三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥D QMN -的外接球，其球心O位于上下底面外心的中点，sin 10QMN ∠=，故QMN 的外接圆半径152sin 3QN r QMN =⨯=∠，设外接球半径为R，则22251313218R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以三棱锥D QMN -的外接球表面积2262π4π9S R ==，D 错误．故选：AC ．11.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，A ，B ，P 为抛物线C 上的点，cos ,1FA FB 〈〉=-，若抛物线C 在点A ，B 处的切线的斜率分别为12,k k ，且两切线交于点M ．N 为抛物线C 的准线与y 轴的交点．则以下结论正确的是（）A.若4AF BF +=，则1AF BF ⋅=-B.直线PN 的倾斜角π4α≥C.若122k k +=，则直线AB 的方程为10x y -+=D.||MF 的最小值为2【答案】BCD 【解析】【分析】先根据向量夹角设直线再结合抛物线定义得出焦半径公式即可判断A,设点20,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分000,0x x ≤>两种情况讨论判断B,求导函数得出直线的斜率即可得出直线方程判断C,先写出切线再联立得出1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭，结合焦半径公式计算最小值判断D.【详解】由题cos ,1FA FB 〈〉=- ，则向量,FA FB的夹角为π，故F ，A ，B 三点共线，设:1AB y kx =+，与C 的方程联立得2440x kx --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124x x k +=，124x x =-，故1221242,1k y y y y =+=+，由抛物线的定义得12||1,||1AF y BF y =+=+，故21224440AF BF y y k k +=++=+==，，·4FA FB =-，所以A 错误；设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,1)N -，当00x ≤时，直线PN 倾斜角大于等于π2，当00x >时，200011414PNx x k x x +==+≥=，所以直线PN 的倾斜角π4α≥，B 正确；记直线AB 的斜率为k ，令21()4f x x =，则1()2f x x '=，则()()11122211,22k f x x k f x x '=='==，又()222121212121144x x y y k x x x x x x --===+--，所以122k k k +=，所以1k =，又直线AB 过点(0,1)F ，故直线AB 的方程为10,C x y -+=正确；()111:2x MA y y x x -=-，又2114x y =，所以211:24x x MA y x =-，同理222:24x x MB y x =-，联立解得1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭，即(2,1)M k -，又(0,1)F ，所以||2MF =≥，当0k =时，等号成立，所以MF 的最小值为2，D 正确；故选:BCD.【点睛】关键点点睛：解题关键点是应用导数求出切线斜率进而得出切线方程，再分别得出直线方程及焦半径的最小值.非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知1πsin ,cos()26ααα=+=______________．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】利用辅助角公式得到π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再整体法用诱导公式求出答案.【详解】1sin 2αα=，即π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππππ1cos sin sin 62634ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：14-13.已知某中学的3个年级各有学生300，300，400人，现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取10人，对他们的体重进行了统计．若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48，52，55kg ，方差分别为4，10，1．将这10名学生体重W （kg ）作为样本，则样本的方差为______．【答案】13【解析】【分析】先根据分层抽样的平均数公式求出平均数为52，再代入方差公式计算得出方差.【详解】3个年级抽取的学生数分别为3，3，4人，则()13483524555210W =⨯+⨯+⨯=，故22223344(4852)10(5252)1(5552)13101010s ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++-++-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦．故答案为：13.14.“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字0，1，2，3来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数013转换为十进制数为2100414347⨯+⨯+⨯=；四进制数0033转换为十进制数为32100404343415⨯+⨯+⨯+⨯=；四进制数1230转换为十进制数为321014243404108⨯+⨯+⨯+⨯=；现将所有由1，2，3组成的4位（如：1231，3211）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为______．【答案】13【解析】【分析】根据四进制与十进制的转换规则，利用二项式定理将4的高次方展开并求得除以3之后的余数，令余数能被3整除即可得出所有数字组合种类数，可求得概率.【详解】设{},,,1,2,3a b c d ∈，则4位四进制数转换为十进制为3232444(13)(13)(13)a b c d a b c d⨯+⨯+⨯+=⨯++⨯++⨯++()()01223301223333222C C 3C 3C 3C C 3C 33a b c c d =+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+++()()1223312233322C 3C 3C 3C 3C 33a b c a b c d =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+++++，若这个数能被3整除，则+++a b c d 能被3整除．当这个四进制数由1，2，3，3组成时，有24A 12=个；当这个四进制数由1，1，2，2组成时，有24C 6=个；这个四进制数由1，1，1，3组成时，有14C 4=个；这个四进制数由2，2，2，3组成时，有14C 4=个；这个四进制数都由3组成时，有1个．因为由1，2，3组成的4位四进制数共有4381=个，所以能被3整除的概率1264411813P ++++==．故答案为：13.【点睛】关键点点睛：本题关键在于将4进制转化为10进制之后，利用二项式定理来求解能否被3整除的问题，得出所有可能的组合即可求得相应概率.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，三棱台111ABC A B C -中，ABC V 是正三角形，1A A ⊥平面ABC ，111224AB A A A C ===，M ，N 分别为棱1,AB B B 的中点.（1）证明：1B B ⊥平面MCN ；（2）求直线1C C 与平面MCN 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出CM ⊥平面11,A ABB 再应用线面垂直性质得出线线垂直，即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，应用空间向量法求线面角正弦值即可.【小问1详解】因为ABC V 是正三角形，M 为AB 中点，所以CM AB ⊥，因为1A A ⊥平面,ABC CM ⊂平面ABC ，所以1CM A A ⊥，又11,,A A AB A A A AB =⊂ 平面11,A ABB 所以CM ⊥平面11,A ABB 又因为1B B ⊂平面11A ABB ，所以1CM B B ⊥，连接1AB ，易得11AB B B ==，所以22211AB AB B B =+，所以11AB B B ⊥，又因为1//AB MN ，所以1MN BB ⊥，因为MN CM M = ，,MN CM ⊂平面MCN ，所以1B B ⊥平面MCN .【小问2详解】取AC 中点O ，连接1,BO C O ，易知1,,OB OC OC 三条直线两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OB OC OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则111,2),(0,2,0),(0,0,2)B B C C -，由（1）知平面MCN的一个法向量为12)B B =- ，又1(0,2,2)C C =- ，所以1111113cos ,4B BC C B B C C B B C C ⋅==⋅ ，因为直线1A B 与平面FMN 所成的角为直线1B B 与1C C 所成角的余角，所以直线1A B 与平面FMN 所成的角的正弦值为34．16.已知0b >，函数2()((ln )1)f x x x x bx =---在点()(1,)1f 处的切线过点()0,1-.（1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；（3）若对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1b =（2）证明见解析（3）(,1]-∞【解析】【分析】（1）先求导函数再写出切线方程代入点得出参数值；（2）求出导函数1()2ln 2f x x x x'=+--，再根据导函数求出()(1)10f x f ''≥=>即可证明单调性；（3）根据函数解析式分1x =和1x >两种情况化简转化为ln x x a -≥恒成立，再求()ln (1)h x x x x =->的单调性得出最值即可求出参数范围.【小问1详解】()f x 的定义域为1(0,),()2ln()2f x x bx x'+∞=+--，故(1)1ln f b '=-，又(1)0f =，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1ln )(1)y b x =--，将点(0,1)-代入得1ln 1b -=，解得1b =．【小问2详解】由（1）知2()(1)ln f x x x x x =---，则1()2ln 2f x x x x'=+--，令1()()2ln 2g x f x x x x '==+--，则22221121(1)(21)()2x x x x g x x x x x---+'=--==，当01x <<时，()0,()g x g x <'单调递减；当1x >时，()0,()g x g x >'单调递增，所以()(1)10f x f ''≥=>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．【小问3详解】对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，即对1,(1)(1)ln (1)x x x x x a x ∀≥---≥-恒成立，当1x =时，上式显然恒成立；当1x >时，上式转化为ln x x a -≥恒成立，设()ln (1)h x x x x =->，则11()10x h x x x'-=-=>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增；所以()(1)1h x h >=，故1a ≤，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞．17.如图，四边形ABCD 中，1,2,3,πAB CD AD BC BAD BCD ====∠+∠=．（1）求BAD ∠；（2）P 为边BC 上一点，且PCD △ABP 的外接圆半径．【答案】（1）2π3（2）4【解析】【分析】（1）根据题意，在ABD △和BCD △中，利用余弦定理，分别求得2BD 的表达式，两式作差求得1cos 2BAD ∠=-，即可求解；（2）由（1）求得BD =PCD ∠，结合题意，求得2PC =，进而求得2PD =，再在ABD △和BCD △中，求得cos cosABD DBC ∠=∠1cos 7ABP ∠=，得到sin 7ABP ∠=，利用正弦定理，即可求解.【小问1详解】解：因为πBAD BCD ∠+∠=，所以cos cos BAD BCD ∠∠=-，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos 54cos BD AB AD AB AD BAD BAD =+-⋅∠=-∠，在BCD △中，由余弦定理得：2222cos 1312cos BD BC CD BC CD BCD BAD =+-⋅∠=+∠，两式作差得：816cos 0BAD +∠=，解得1cos 2BAD ∠=-，因为(0,π)BAD ∠∈，所以2π3BAD ∠=．【小问2详解】解：因为1,2,3,πAB CD AD BC BAD BCD ====∠+∠=由（1）知22π54cos73BD =-=，可得BD =π3PCD BCD ∠=∠=，则1sin 22PCD S PC CD PCD =⋅∠==△所以2PC =，在PCD △中，可得2222cos 4PD CD PC CD PC PCD =+-⋅∠=，所以2PD =，在ABD △中，可得222cos 2AB BD AD ABD AB BD +-∠===⨯⨯在BCD △中，可得222cos 2BD BC CD DBC BD BC +-∠===⨯⨯可得ABD DBC ∠=∠,所以27cos 2cos 11ABP ABD ∠∠-==，则sin 7ABP ∠=，所以222122cos 7AP AB BP AB AP ABP =+-⋅∠=，解得7AP =，设ABP 的外接圆半径为R ，由正弦定理得772sin 2437AP R ABP ==∠，解得74R =，所以ABP的外接圆半径为4．18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点(1,3P 在椭圆上，且直线1PF 与2PF 的斜率之积为23-．（1）求C 的方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与C 交于M ，N 两点，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ．（ⅰ）若A ，B 恰为弦MN 的两个三等分点，求直线l 的方程；（ⅱ）若点B 与点1F 重合，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求1||||MN QF 的值．【答案】（1）2213x y +=（2）（i ）3535y x =+；（ii【解析】【分析】（1）根据点在椭圆上及斜率积列方程组计算22,a b 即可得出椭圆方程；（2）（i ）设()()1122,,,M x y N x y 结合1()2OA OB OM =+ ，1()2OB OA ON =+ 向量关系列方程求出点的坐标，即可求出直线方程；（ⅱ）设方程:(l y k x =+联立方程组，韦达定理结合弦长公式计算求解.【小问1详解】将点1,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入C 的方程得：221213a b +=①，设C 的焦距为2(0)c c >，则12(,0),(,0)F c F c -，故12233113PF PF k k c c ⋅=⨯=-+-，解得c =又222a b c =+③，由①②③解得21b =或23a =，所以C 的方程为2213x y +=．【小问2详解】（ⅰ）由题，(0,),,0m A m B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()()1122,,,M x y N x y ，O 为坐标原点，因为A ，B 恰为弦MN 的两个三等分点，所以BA NB AM == ,则1()2OA OB OM =+ ，即110,12m x k y m ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得112m x k y m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以,2m M m k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又1()2OB OA ON =+ ，即222,1022m x k m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得222,m x k y m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以2,,m N m k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭将点M ，N 的坐标代入C 的方程得22222241,3413m m k m m k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211,35k m ==，因为0,0k m >>，所以,35k m ==，所以直线l的方程为35y x =+．（ⅱ）由题直线l过点1(F，所以:(l y k x =+，与椭圆方程联立22(13y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222213630k x x k +++-=，212120k ∆=+>，设()()1122,,,M x y N x y，则2212122263,1313k x x x x k k--+==++，所以21MN x =-=22113k k+=+，又(21212221313y y k x x k k k ⎛-+=++=+= ++⎝，所以MN 中点为222322,1313k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，所以MN的垂直平分线方程为22211313y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭，令0y =得2213x k -=+，故22,013Q k ⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭，所以212113k QF k +==+，所以1MN QF =【点睛】关键点点睛：（2）（i ）解题的关键点是应用1()2OA OB OM =+ 1()2OB OA ON =+ 向量关系列方程求出点的坐标即可求出直线方程；19.密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学．研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学．20世纪70年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离．加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的．这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨．某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数n ，将小于等于n 且与n 互质的正整数从小到大排列，即为密码．记符合上述条件的正整数的个数为n a ．（1）求数列{}n a 的前5项和；（2）求2(N )n a n *∈的表达式和3137a ⨯的值；（3）记22()nn n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和n S ，证明16n S <．【答案】（1）10（2）122n n a -=，31371080a ⨯=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据数列定义求出前5项即可求和；（2）先根据定义得出122n n a -=，再求出3137a ⨯即可；（3）应用错位相减法计算得出2158162n n n n S -++=-即可证明.【小问1详解】由题，11a =；小于等于2且与2互质的正整数有1，所以21a =；小于等于3且与3互质的正整数有1，2，所以32a =；小于等于4且与4互质的正整数有1，3，所以42a =；小于等于5且与5互质的正整数有1，2，3，4，所以54a =．所以数列{}n a 的前5项和为1122410++++=．【小问2详解】若2为质数，则小于等于2n 的正整数中，只有2的倍数不与2互质，又因为小于等于2n 的正整数中，2的倍数有12n -个，所以112222n n n n a --=-=．在小于等于31×37的正整数中，31的倍数有37个，37的倍数有31个，所以()()31373137313713113711080a ⨯=⨯--+=--=．【小问3详解】由（2）知122n n a -=，所以212n n n n b -+=，所以222201211122332222n n n n S -++++=++++ ，故222223111223322222n n n n S ++++=++++ ，作差得：2012111232222222n n n n n n S -+⎛⎫=++++- ⎝⎭，所以201211123422222n n n n n n S --+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ ．令01211232222n n n T -=++++ ，则23112322222n n n T =++++ ，作差得：2311111111221212222222212n n n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+++++-=-=-- ，所以1242n n n T -+=-，故221112584(4)16222n n n n n n n n n S ---++++=⨯--=-，因为*N n ∈，所以215802n n n -++>，所以16n S <得证．。
2020学年浙南名校联盟第一次联考 数学试卷
2020学年浙南名校联盟第一次联考一、选择题：每小题4分，共40分1. 设集合{}13A x x =<<，集合()(){}120B x x x =+-≤，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}12x x <<C ．{}13x x -≤<D ．{}13x x <<2. 把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1i z =-，则()1i z -⋅=（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3. 双曲线22143y x -=的渐近线方程为（ ）A．y = B．y = C．y x =D．y = 4. 设实数x ，y 满足不等式组1021010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则2x y -的取值范围（ ）A ．[]4,2-B ．[]1,2-C ．[)1,-+∞D ．[)2,+∞5. 设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则m n ⊥的一个充分不必要条件是（ ） A ．m α⊥，n β∥，αβ⊥ B ．m α⊥，n β⊥，αβ∥C ．m α⊂，n β∥，αβ⊥D ．m α⊂，n β⊥，αβ∥6. 已知0.22a =，2log 0.2b =，0.2log 0.3c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<7. 函数cos sin e e x x x x xy -+=+的部分图象可能是（ ）8. 袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是13，依次从中有放回地摸球，每次摸出一个，累计2次摸到红球即停止．记3次之内（含3次）摸到红球的次数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ（ ）A ．2627B ．2827C ．89D ．23DC A B9. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M ，N 为体对角线1BD 的三等分点，动点P 在三角形1ACB 内，且三角形PMN的面积PMN S △，则点P 的轨迹长度为（ ）ABCD10. 定义运算()123,,x x x =m ，()123,,y y y =n ，112233x y x y x y =++m n ，若()sin ,sin ,sin ααβ=-a ，()sin ,sin ,sin αββ=b ，则平面区域()3,,0,,24S παβαβ⎧⎫⎡⎤=∈≤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭a b 的面积为（ ）A ．6πB ．26πC ．3πD ．23π二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 在二项式5x ⎫⎪⎭的展开式中各项系数和为 ；含2x 项的系为 ． 12. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足313a =，()()1112n n a a +++=，则1a = ；12S = ．13. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，该几何体的体积（单位：3cm ）是 ；该几何体的表面积（单位：3cm ）是 ．PD 1B 1A 1C1M N DCBA正视图侧视图俯视图14. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，且2BD DC =，若ABC △222)b c a +-，则A = ；c b a += ．15. 从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位偶数.16. 在平面直角坐标系中，点A ⎛- ⎝⎭与点B 关于原点O 对称，直线AP 与直线BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为12-，则ABP △的面积的取值范围是 ．17. 已知平面向量a ，b ，c 满足3=-a b ，4-=a b ，-c a 与-c b 的夹角为3π，则--c a b 的最大值为 ．三、解答题：5小题，共74分18. 已知函数()22sin 21f x x x =+-．（1）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）若()0067,,5412f x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求0cos2x 的值．19. 如图，四棱锥P ABCD -中，面PBD ⊥面ABCD ，AB DC ∥，24AB CD ==，AD BC =，AP =2PB =．（1）证明：PB AC ⊥；（2）求BD 与面PBC 所成角的正弦值．DCBAP20. 已知数列{}n a ，{}n b ，其中{}n a 为等差数列，且满足111a b ==，23b =，()1112n n n n nn n a b a b +++=+，n *∈Ν．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设()()111222n n nn n n n a c a b a b ++-=--，求证：12321nn c c c c n++++<-．21. 已知动圆C 过点()0,4P ，且在x 轴上截得的弦长为8．（1）求动圆的圆心C 的轨迹方程；（2）当点Q 在椭圆22:14y E x +=上移动，过点Q 作曲线C 的两条切线记作QA ，QB ，其中A ，B 为切点，椭圆的一个顶点为()0,2D ，求AD BD ⋅的最大值．22. 已知函数()ln e tx xf x t=-，0t >． （1）当1t =时，求函数()f x 的零点个数；（2）若函数()f x 的图像在x 轴的同侧（含x 轴）， （i ）求t 的最小值；（ii ）当t 取到最小值时，若对任意实数[]1,1a ∈-，都有()ee cos eln xf x k xα--恒成立，试求实数k 的取值范围．。
浙江省名校协作体2020届高三第一学期第一次联考数学试题
浙江名校协作体2020届高三上学期开学联考数 学考生须知：1．本卷全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
5．参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高； 锥体的体积公式：13v sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高；台体的体积公式：()1213V S S h =++，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高；球的表面积公式：24S R =π，球的体积公式：343V R =π，其中R 表示球的半径； 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+； 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅；如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n ⋅=-=⋯第I 卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|0}M x x =>，{|12}N x x =-<…，则()R C M N ⋂等于（ ）A ．(1,)-+∞B ．(0,1)C ．(1,0]-D ．(1,1)-2．设i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若1z i =+，则z zz z⋅=-（ ） A ．i -B ．2iC ．1-D ．13．若函数2()22f x x ax b =--的图象总在x 轴上方，则（ ）A ．2a b +>B ．12a b -<-C ．124a b +>D ．124a b +<4．已知x ，y 满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若2x y m +…恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3m …B ．3m …C ．72m …D ．73m …5．已知函数()||2f x x x x =-，则有（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间为(0,)+∞B ．()f x 是偶函数，递减区间为(,1)-∞C ．()f x 是奇函数，递减区间为(1,1)-D ．()f x 是奇函数，递增区间为(,0)-∞6．已知平面α与平面β交于直线l ，且直线a α⊂，直线b ⊂β，且直线a ，b ，l 不重合，则下列命题错误．．的是（ ）A ．若⊥αβ，a b ⊥，且b 与l 不垂直，则a l ⊥B ．若⊥αβ，b l ⊥，则a b ⊥C ．若a b ⊥，b l ⊥，且a 与l 不平行，则⊥αβD ．若a l ⊥，b l ⊥，则⊥αβ7．已知等比数列{}n a 中51a =，若246811115a a a a +++=，则2468a a a a +++=（ ） A ．4B ．5C ．16D ．258．已知a ，b 为实数，则“不等式||1ax b +≤对所有满足||1a ≤且||1b ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知正数a ，b 满足2()4ab a b +=，则2a b +的最小值为（ ）A ．12B ．8C．D10．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>内有一定点(1,1)P ，过点P 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆Γ交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP PC =uu u r uu u r λ，BP PD =uu r uu u r λ，若λ变化时，直线CD 的斜率总为14-，则椭圆Γ的离心率为（ ）AB ．12C．2D第II 卷（非选择题部分，共110分）二、填空题：多空题每题6分，单空题每题4分，共36分 11．计算：148= ▲ ，2log 314log 22-+= ▲ ．12．设函数()cos2sin f x x x =-，则56f ⎛⎫=⎪⎝⎭π ▲ ，若()0f x ≥，则实数x 的取值范围是 ▲ ．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长的棱长等于 ▲ ；该几何体的体积为 ▲ ．14．已知点P 在椭圆22: 143x y C +=上，点Q ，R 分别在圆221:(1)1O x y ++=和圆222:(1)1O x y -+= 上运动，若过点P 存在直线l 同时与两圆相切，这样的点P 的个数为 ▲ ；当点P 在椭圆上运动，则||||PQ PR +的最大值为 ▲ ．15．已知数列{}n a 为等差数列，公差为 (0)d d ≠，且满足344651222019a a a a a a d ++=，则5611a a -= ▲ ．16．已知ABC V 的面积等于1，若1BC =，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A = ▲ ． 17．已知非零的平面向量a ，b 满足0a b ⋅=，又平面向量c 满足||2||2c a c b -=-=，若1||2c a b --…，则||c 的取值范围是 ▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分18．（本题满分14分）在ABC V 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin sin sin c a C Bc b A-+=-． （1）求角B 的大小； （22sin cos 222C A A-的取值范围． 19．（本题满分15分）如图，四面体ABCD 中，2AD =，1AB AC ==，二面角D AC B --的大小为60︒，120BAC DAC ︒∠=∠=，(01)AP AD =<<uu u r uuu rλλ．（1）若12λ=，M 是BC 的中点，N 在线段DC 上，2DN NC =，求证：BP ∥平面AMN ； （2）当BP 与平面ACD 所成角最大时，求λ的值．20．（本题满分15分）已知等差数列{}n a 与数列{}n b 满足21a =，130b a =≠，且{}n n a b ⋅的前n 项和1(2)24n n S n +=-⋅+，*N n ∈．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设1n n n b b b a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，若20182019nT >，求n 的最小值． 21．（本题满分15分）如图，过点(1,0)P 作两条直线1x =和l 分别交抛物线24y x =于A ，B 和C ，D （其中A ，C 位于x 轴上方，l 的斜率大于0），直线AC ，BD 交于点Q ． （1）求证：点Q 在定直线上； （2）若PQC PBDS λS ∆∆=，求λ的最小值．22．（本题满分15分）已知()ln f x x =，()g x =（1）若()()()af xg x g x +≥在(0,1]恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若,0m n >，1m n +=，求证：221()()()()4f m f ng m g n -<．参考答案一、选择题：1．C 2．A 3．D 4．D 5．C 6．D 7．B 8．A 9．C 10．A二、填空题：11．2；2 12．72,266k k k Z ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦13．8)6π+14．6；6 15．42019 16．817 17．⎣ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（I ）由sin sin sin c a C B c b A -+=-得到c a c bc b a-+=- 即222a cb ac +-= 所以1cos 2B =，从而3B π=（II ）21sin cos 1)sin 22222C A A C A -=+-12cos sin 2232C C ⎛⎫=--+⎪⎝⎭π1sin 442C C =-+1cos 262C ⎛⎫=++⎪⎝⎭π 因为5666C <+<πππ所以cos 262C ⎛⎫<+<⎪⎝⎭π所以2sin cos 42224C A A <-< 19．（I ）取DN 的中点E ，连接PE 、BE ．PE AN ∥，BE MN ∥，PE 、BE 是平面AMN 外两条相交直线，所以平面PBE ∥平面AMN ， 所以BP ∥平面AMN ．（II ）作BG AC ⊥与G ，在平面DAC 内作GH GC ⊥交AD 于H ， 因为2AD AB =，所以H 为AD 的中点，得BGH V 是正三角形．易得平面BGH ⊥平面DAC ，作BI GH ⊥l ，则l 为GH 的中点，连接PI ，则BPI ∠是BP 与平面ACD 所成角．当IP AD ⊥时，BPI ∠最大，此时516λ=． 20．解：（I ）1110a b S ⋅==，所以10a =，又21a =，所以1n a n =-2n ≥时，1(1)2n n n n n a b S S n -⋅=-=-⋅，此时2n n b =，又132b a ==，所以()*2N n n b n =∈．（II ）()()11121121212121n n n n n n n n b b b a a +++==-⋅---⋅-， 所以111111201812121212019nn i i n i T ++=⎛⎫=-=-> ⎪---⎝⎭∑， 得1212019n +->，n 最小值为10．21．（I ）设2,4c C c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4d D d ⎛⎫⎪⎝⎭，:1l x ty =+代入24y x =得 2440y ty --=，所以4cd =-．:4(2)20AC x c y c -++=，:4(2)20BD x d y d ---=，消y 得14cd c dx c d -+==--+，故点Q 在1x =-上．（II ）2142PQC PQAc S S ∆∆+=，2142PBD PQB d S S ∆∆-=， 因为PQAPQB S S ∆∆=，所以()()2222244444c c c λd c ++==--， 令240c t -=>，则(4)(8)83344t t t λt t++==++≥+，当24c =+时取到．22．解：（I ）ln x+≥在(0,1]恒成立，当a x x ≥在(0,1]恒成立．令()h x x x =-，则()h x '=令()ln 2u x x =--，则1()0u xx'=-≤在(0,1]恒成立， 所以在(0,1]内()(1)0u x u ≥=，所以在(0,1]内()0h x '≥，所以()h x 在(0,1]内递增，所以在(0,1]内max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥． （II ）即证1ln ln 4m n mm ⋅-<由（I ）知ln x+≥ln x -≤，所以0ln m<-<=，0ln n <-<ln ln m n ⋅< 2()1044m n mn +<≤=，所以2111ln ln 244m n mm mm ⎫⋅-<-=-+≤⎪⎭．。
2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考数学试题
浙江名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第一次联考数学试题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{|(3)(1)0}, {||1|1}A x x x B x x =-+>=->，则()R C A B =A.[1,0)(2,3]-B.(2,3]C.(,0)(2,)-∞+∞D.(1,0)(2,3)-2. 已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为2 3. 已知,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若,,//a b a αββ⊥⊥，则下列命题中正确的是A.b α⊥B.//b αC.αβ⊥D.//αβ 4. 已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2x y +的最大值为A.11B.10C.6D.45. 已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是A.1B.3-C.5D.7-6. 已知函数2|2|1,0()log ,0x x f x x x +-≤⎧=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是 A.(,4][2,)-∞-+∞ B.[1,2]- C.[4,0)(0,2]- D.[4,2]-7. 已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象A. B.C. D.8. 在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成'A BE ∆，使得点'A在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角'A BE C --的大小为θ，直线','A B A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则A.βαθ<<B.βθα<<C.αθβ<<D.αβθ<< 9. 已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一 个零点属于区间[0,2]”的一个（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，1ln(2)n n n a a a +=+-，则下列说法正确的是 A.2019102a << B. 2019112a << C. 2019312a << D. 2019322a <<二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
浙江省浙南名校联盟2022-2023学年高三上学期第一次联考试题+数学Word版含答案
浙南名校联盟2022-2023学年高三上学期第一次联考教学试题选择题部分一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U=R,集合4={x I尸一 2x—8<0},3={2,3,45},贝ij（C y X）C\ B=（）A.{2}B.{2,3}C.{45D.{345}2.若（1+D三=l-3i（i为虚数单位），则z=（）A.T+2iB.T-2iC.1+21D.1-213.已知边长为3的正^ABC,BD=2DC t则届•花=（）15A.3B.9C.2D.6=3AC=AA=2匕BAC=-4.直三棱柱ABC-AM的各个顶点都在同一球面上，若^1：则此球的表面积为（）4Q7I40713271A.9B.3C.3D.32tt5.在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7选3的3+3模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信息技术和通用技术）7门课中选考3门.某校高二学生选课情况如下列联表一和列联表二（单位：人）选物理不选物理总计男生340110450女生140210350总计480320800表一选生物不选生物总计男生150300450女生150200350总计300500800表二试根据小概率值。
=0・005的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关()r n Cad-be)...,,,、x=s+Ed.as y M=a+b+c+d・a=PgXa)a0.150.100.050.0250.010.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828A.选物理与性别有关，选生物与性别有关B.选物理与性别无关，选生物与性别有关C.选物理与性别有关，选生物与性别无关D.选物理与性别无关，选生物与性别无关6.等比数列｛如｝的公比为q,前n项和为S”，则以下结论正确的是()A.〃q>0〃是“｛%)为递增数列〃的充分不必要条件B.〃q>l〃是“知｝为递增数列〃的充分不必要条件C.〃q>0〃是〃化｝为递增数列〃的必要不充分条件D.〃q>l〃是为递增数列〃的必要不充分条件A.a>b>c b.Q>c>bc>a>b D.b>a> cc.8.我国古代数学名著《九章算术》中记载的"刍蔻〃指底面为矩形.顶部只有-条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个〃刍婀其中a BCF是正三角形，AB=2BC=2EF=2f BF1ED,则该五面体的体积为（）二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届浙江省浙南名校联盟高三第一次联考 数学
绝密★考试结束前2020届浙江省浙南名校联盟高三第一次联考数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2≤1}，B ＝{x|lgx ≤1}，则A ∩B ＝ A.[0，1] B.(0，1] C.(0，1) D.[－1，10]2.己知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，且其右焦点为F 20)，则双曲线C 的方程为A.22139x y -= B.22193x y -= C.221412x y -= D.221124x y -= 3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.4C.83D.434.已知实数x ，y 满足1201x y x y y +≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则y x 的最小值为A.－3B.3C.13-D.135.设x ，y ∈R ，则“0<xy<1”是“1x y<”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.函数3ln ()xf x x=的部分图像是7.设0<x<12，随机变量ξ的分布列如下：则当x 在(0，12)内增大时 A.E(ξ)减小，D(ξ)减小； B.E(ξ)增大，D(ξ)增大； C.E(ξ)增大，D(ξ)减小； D.E(ξ)减小，D(ξ)增大。
浙江省2020届高三新高考名校联考信息卷(一)数学 Word版含解析
浙江新高考名校联考信息卷（一）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：若事件,A B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=台体的体积公式()112213V S S S S h =+ 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|213,{|4}x A x B y y x =+>==-，则A B =（ ）A. (1,0]-B. (0,1)C. (1,2]D. [0,2]【答案】C 【解析】 【分析】先解指数不等式得到集合A ，再根据函数的值域求得集合B ，最后根据集合的交运算求解即可．【详解】解：由{}|213(1,),{|[0,2]x A x B y y =+>=+∞===，则(1,2]A B ⋂=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查指数不等式的解法、函数的值域、集合的交运算，考查考生的运算求解能力．2.已知抛物线216y x =在第四象限内的一点M 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的15，则点M 的坐标为（ ） A. (1,4)B. (1,4)-C. (1,4)±D.(2,-【答案】B 【解析】【详解】解：设(,)M x y ，则根据题意及抛物线的定义，得1(4)5x x =+，解得1x =， 代入抛物线方程得，4y =±． 又点M 在第四象限， 所以4y =-， 故(1,4)M -， 故选：B ．【点睛】本题主要考查拋物线的定义，考查的数学核心素养是数学运算．3.已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2i z ai +=+，且z 在复平面内所对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,2)-∞ B. [2,2)-C. (2,2]-D. (2,2)-【答案】D 【解析】【分析】先利用复数的四则运算将复数z 化为(,)a bi a b R +∈的形式，再根据复数的几何意义，建立关于a 的不等式组，解不等式组即可求得实数a 的取值范围． 【详解】解：由(1)2i z ai +=+， 得2(2)(1)(2)(2)1(1)(1)2ai ai i a a iz i i i ++-++-===++-． 因为z 在复平面内所对应的点在第四象限，所以20,20,a a +>⎧⎨-<⎩得22a -<<， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的几何意义及四则运算，考查考生的运算求解能力． 4.已知向量(1,2)a =-，(1,)b m =，则“12m <”是,a b 为钝角的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为(1,2)a =-，(1,)b m =，所以12a b m ⋅=-+，则cos ,5a b a b a b⋅==⋅若12m <，则cos ,05a b a b a b ⋅==<⋅， 但当2m =-时， ,a b 反向，夹角为180；所以由12m <不能推出,a b 为钝角； 反之，若,a b 为钝角，则cos ,0a b <且2m ≠-，即12m <且2m ≠-，能推出12m <；因此，“12m <”是,a b 为钝角的必要不充分条件.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型. 5.已知函数()log |1|a f x x =+，其中0a >且1a ≠，若(1)0f <，则（ ） A. ()(2)f a f a >-B. ()(2)f a f a <-C. ()(2)f a f a =-D.(),(2)f a f a -的大小关系不确定【答案】B 【解析】 【分析】先根据()f x 得到函数()f x 的定义域及其图象的对称性，再根据(1)0f <判断a 的取值范围，得到()f x 的单调性，并据此判断(),(2)f a f a -的大小关系． 【详解】解：因为()log |1|a f x x =+，所以()f x 的定义域为{|1}x x ≠-，且()f x 的图象关于直线1x =-对称． 因为(1)log 20a f =<， 所以01a <<，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递增， 在(1,)-+∞上单调递减．易知10,(2)()a f a f a -<-<-=-， 由()f x 在(1,)-+∞上单调递减， 知()()(2)f a f a f a <-=-， 故选：B ．【点睛】本题主要考查含绝对值的对数函数的图象和性质等，考查考生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想．6.已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将其图象向右平移3π个单位长度后关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. ()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C. ()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 7()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数图象的平移得到平移后函数图象对应的解析式，再根据其图象关于y 轴对称及||2ϕπ<得到ϕ的值，进而可得函数()y f x =可能的解析式． 【详解】解：由题意知22πωπ==． 将()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移3π个单位长度后得到sin 23y x πϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象， 因为其图像关于y 轴对称， 所以2,32k k Z ππϕπ-=+∈． 又||2ϕπ<， 所以6π=ϕ．即()sin(2)6f x x π=+，由诱导公式知()sin 2cos 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B ．【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移、三角函数图象的对称性等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．7.设整数,x y 满足约束条件10,1,220,x y x y x y -+≥⎧⎪+>⎨⎪--<⎩则目标函数222()2z x y x y =++++的最大值为（ ） A. 2B. 4C. 25D. 41【答案】C 【解析】 【分析】根据约束条件画出可行域，再确定目标函数的几何意义，最后数形结合求出目标函数的最值. 【详解】解：不等式组表示的可行域为如图所示的ABC 的内部及线段AC （不含端点）上的整数点．目标函数22222()2(1)(1)z x y x y x y =++++=+++， 其几何意义为可行域内的点与点(1,1)--距离的平方，由数形结合知，22222()2(1)(1)z x y x y x y =++++=+++在点（2,3）处取得最大值，且最大值为25， 故选：C ．【点睛】本题主要考查线性规划，考查考生的数形结合能力与运算求解能力．8.甲、乙、丙、丁、戊5个文艺节目在,,A B C 三家电视台播放，要求每个文艺节目只能独家播放，每家电视台至少播放其中的一个，则不同的播放方案的种数为（ ） A. 150 B. 210C. 240D. 280【答案】A 【解析】 【分析】先根据巳知条件将5个节目分成3组，再计算出每组分到三家电视台的排列数，最后利用分步乘法计数原理计算出正确答案．【详解】解：第一步：分组，将5个节目在三家电视台独家播放，每家电视台至少播放一个节目的分组方案有1,1,3和2,2,1这两种，当分组1,1,3时，共有1135432210C C C A =种分组方法， 当分组为2,2,1时，共有2215312215C C C A =种分组方法， 所以总的分组情况共有101525+=（种）．第二步；排列，将分好的组分配到三家电视台每一个组有33A 种分法．故不同的播放方案共有3325150A ⨯=（种），故选：A ．【点睛】本题主要考查排列数、组合数及两个计数原理的应用，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力．9.定义函数f （x ）3481221222x x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，，＞，则函数g （x ）＝xf （x ）﹣6在区间[1，2n]（n ∈N *）内的所有零点的和为（ ） A. n B. 2nC.34（2n ﹣1） D.32（2n ﹣1） 【答案】D 【解析】 【分析】先画出()y f x =在12x ≤≤的图像，再利用1()22x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭得其它定义域图像，再作出函数6y x=的图象，结合图象可得两图象的交点在函数()y f x =的极大值的位置，即可求解 【详解】由()()60g x xf x =-=得6()f x x=，故函数的零点即为函数()y f x =和函数6y x =图象交点的横坐标．由1()22x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭可得，函数是以区间为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的2倍，同时在竖方向上缩短为原来的．从而先作出函数()y f x =在区间[1,2]上的图象， 再依次作出在1[2,4],[4,8],,2,2n n-⎡⎤⎣⎦上的图象（如图）．然后再作出函数6y x=的图象，结合图象可得两图象的交点在函数()y f x =的极大值的位置， 由此可得函数()g x 在区间()12,2n n-上的零点为1223224n n nn x -+==⋅，故所有零点之和为()()21232134122n n nS --=⋅=-． 故选D ．【点睛】本题考查了函数的零点的判断及分段函数的应用，归纳分析的思想，准确作图是关键，属于中档题10.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是线段,AB AD 的中点，现将AEF 沿EF 翻折至A EF '△的位置，使A '在平面ABCD 内的投影在EF 上，设直线A C '与平面BCD 所成的角为α，异面直线A F '与CE 所成的角为β，则α与β的大小关系是（ ）A. αβ>B. αβ=C. αβ<D. 不能确定【答案】C【分析】先过A '作A M EF '⊥于点M ，则A M '⊥平面ABCD ．连接CM ，则ACM '∠为直线A C '与平面BCD 所成的角，再连接CF ，延长,BA CF 交于点T ，过点F 作//FG CE 交BT 于点G ，则A FG '∠为异面直线A F '与CE 所成的角或其补角，然后求解即可. 【详解】解：由题意得平面A EF'⊥平面ABCD ， 过A '作A M EF '⊥于点M ，则A M '⊥平面ABCD ．连接CM ，则ACM '∠为直线A C '与平面BCD 所成的角，即ACM α'=∠．由题意可知1AE BE A E FD A F AF ''======， 则EFCE ==，所以22EM A M CM A C ''==== 所以cos CM A C α'==． 连接CF ，延长,BA CF 交于点T ，过点F 作//FG CE 交BT 于点G ， 则A FG '∠为异面直线A F '与CE 所成的角或其补角， 即A FG β'=∠或A FG πβ'-=∠． 因为FD AF =， 所以122FC TF GF CE ====． 连接,GM A G '，易知G 为ET 中点，M 为EF 中点，所以122GM TF ==，所以2A G '=， 所以57|1|cos cos cos A FG βα'+-=∠==<，所以，【点睛】本题主要考查平面图形的翻折、异面直线所成的角、线面角，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少四十，九两多十六，试问能算者，合与多少肉．”意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差40文钱，买九两多16文钱，求肉数和肉价．则该问题中，哑子的钱为_________文． 【答案】88 【解析】 【分析】先阅读题意，然后设肉的价格为x 文两，可得1640916x x -=+，再求解即可. 【详解】解：设肉的价格为x 文两， 则1640916x x -=+， 解得8x =，故哑子的钱为1684088⨯-=（文），故答案为：88．【点睛】本题以古代数学文化为背景设题，考查考生的运算求解能力．12.已知随机变量ξ的分布列如下表所示，当14x y+取最小值时，x =_________，()E ξ=_________．【答案】 (1).16(2). 136 【解析】【分析】 先根据离散型随机变量的分布列的性质求出,x y 的关系，再根据基本不等式取等号的条件得出,x y 的值，最后根据分布列求出数学期望()E ξ．【详解】解：由题意得，1(0,0)2x y x y +=>>， 所以141442()252(54)18y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2y x =，即11,63x y ==时取等号， 此时随机变量ξ的分布列为所以11113()1236236Eξ=⨯+⨯+⨯=，故答案为：16，136．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列的性质、数学期望及基本不等式的应用，考查考生的运算求解能力．13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________，表面积为_________．【答案】 (1). 6 (2). 1625+【解析】【分析】先根据几何体的三视图还原出该几何体的直观图，再利用体积与表面积的计算公式求解．计算体积时，可按照棱柱的体积公式直接计算，也可运用割补法进行求解．【详解】解：由三视图知，该几何体的直观图如图中几何体11BCC F ADD E-所示，是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，故其体积(12)2262V+⨯=⨯=，表面积22(12)222212212216252S+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯=+，故答案为：6，1625+．【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图及体积与表面积的计算、割补法的应用，考查考生的空间想象能力和运算求解能力．14.已知234560123456(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n x a a x a x a x a x a x a x -=++++++++++++，则n =________，3a =_________．【答案】 (1). 6 (2). 160-【解析】【分析】先根据二项展开式的最高次幂确定n 的值，再利用二项展开式的通项求解3a 的值即可．【详解】解：等式左边x 的最高次幂为n x ，等式右边x 的最高次幂为6x ，故6n =．66(1)[(1)2)x x ⎤-=+-⎦，其通项66166C (1)(2)(2)C (1)r r r r r r r T x x --+=+-⋅=-+， 令6r 3-=，解得3r =，故3336(2)160a C =-⨯=-，故答案为：6，160-．【点睛】本题主要考查二项展开式，考查考生的逻辑推理与运算求解能力．15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若139,1a a ==，且m S ，()*122,3m m S S m ++∈N 成等差数列，则7a =_______，n S =_______．【答案】 (1). 181 (2). 33123n n --⨯ 【解析】【分析】由12,2,3m m m S S S ++成等差数列入手，根据n a 与n S 之间的关系得出数列{}n a 的递推关系式，再由已知得到{}n a 是首项为9，公比为13的等比数列，最后求出7,n a S 即可． 【详解】解：因为12,2,3m m m S S S ++成等差数列，所以1243m m m S S S ++=+，即()1213m m m m S S S S +++-=-，即123m m a a ++=，所以数列{}n a 从第2项开始是公比为13的等比数列， 由31a =得23a =．因为19a =， 所以2113=a a ， 所以{}n a 是首项为9，公比为13的等比数列， 故673191113139,13812313n n n n a S -⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=⨯=== ⎪⨯⎝⎭-， 故答案为：181，33123n n --⨯． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、等比数列的通项以及前n 项和公式，考查逻辑推理能力、运算求解能力．16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，直线l 过左焦点1F 且与双曲线的左支交于,A B 两点，且满足1123,||AF BF AB BF ==，则双曲线C 的离心率为________．【解析】【分析】 设1BF x =，先利用双曲线的定义建立起x 与a 的关系，再借助余弦定理建立起x 与c 的关系，最后利用离心率的计算公式求解． 【详解】解：令1BF x =， 则123,||4AF x AB BF x ===． 连接2AF ，由双曲线的定义可知，21432BF BF x x x a -=-==，2123AF AF a x -==， 所以2136AF x AF x =+=．因为1212AF F BF F π∠+∠=，所以1212cos cos 0AF F BF F ∠+∠=．由余弦定理可得22222212129436416cos ,cos 23222x c x x c x AF F BF F x c x c+-+-∠=∠=⨯⨯⨯⨯， 所以2222229436416023222x c x x c x x c x c+-+-+=⨯⨯⨯⨯， 得322c x =， 又32x a =， 所以双曲线C 的离心率2c e a ==， 故答案为：2．【点睛】本题主要考查圆锥曲线的离心率，考查考生的运算求解能力．17.已知在ABC 中，对任意的,||||t BA tBC AC ∈-R 恒成立，且10,:4:3,AB AC BC P ==为ABC 内切圆上的点，则PA PB ⋅的取值范围是________．【答案】[1645,1645]---+【解析】【分析】先由向量加法、减法的几何意义判断出ABC 的形状，再利用数量积的概念选择合适的计算方法，最后结合圆的有关知识计算出取值范围即可．【详解】解：因为对任意的,||||t R BA tBC AC ∈-≥恒成立，所以AC BC ⊥．又10,:4:3AB AC BC ==，所以8AC =，6BC =．设ABC 内切圆的半径为r ，圆心为M ， 则1()22BAC r AB BC AC S AC BC ++==⋅， 所以2r ．以C 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0),(0,8),(6,0),(2,2)C A B M ，设(,)P x y ，则2222(,8)(6,)68(3)(4)25PA PB x y x y x x y y x y ⋅=--⋅--=-+-=-+--， 22(3)(4)x y -+-的几何意义为内切圆M 上的动点(,)P x y 与点(3,4)N 的距离的平方， 连接PN ，所以222(3)(4)||x y PN -+-=．连接MN ，因为||2NM =>，2||2PN -≤≤+，所以29||9PN ≤-≤+所以[1616PA PB ⋅∈---+，故答案为：[1616---+．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量加法、减法的几何意义，考查考生的数形结合能力、运算求解能力及分析问题、解决问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.如图，在梯形ABCD 中，1//,2,2,6,cos 3AB CD BCD BAD BD AB BCD ∠=∠==∠=-．（1）求AD 的长；（2）求梯形ABCD 的面积．【答案】（1）2AD =；（232. 【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式计算出BAD ∠的余弦值，再由余弦定理求出线段AD 的长；（2）根据图中角之同的关系求出sin CBD ∠，再由正弦定理求DC 的长，最后根据梯形ABCD 的面积为ABD △与CBD 的面积和求解．【详解】解：（1）因为12,cos 3BCD BAD BCD ∠=∠∠=-，所以2cos 2cos 1BCD BAD ∠=∠-， 即21cos 3BAD ∠=． 因为(0,)BCD π∠∈， 所以0,2BAD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos BAD ∠= 在ABD △中，由余弦定理得，2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⋅⋅∠，即2462AD AD =+-解得AD =．（2）由（1）可得222AD BD AB +=， 所以2ADB π∠=，所以sin ABD ∠=． 因//AB CD 且ABD ∠为锐角，所以BDC ABD ∠=∠，所以sin sin 33BDC ABD BDC ∠=∠=∠==．由1cos 3BCD ∠=-，得sin 3BCD ∠=． 所以1sin sin()sin cos cos sin 3CBD BCD BDC BCD BDC BCD BDC ⎛⎫∠=∠+∠=∠∠+∠∠+- ⎪⎝⎭．在BCD 中，由正弦定理得，sin sin DC BD CBD BCD=∠∠，所以sin 6sin BD CBD DC BCD ⋅∠==∠， 所以梯形ABCD 的面积1132sin 222ABD BCD S S S AD BD BD CD BDC =+=⨯⨯+⨯⨯⨯∠=． 【点睛】本题考查两角和的正弦公式，倍角公式，三角函数的诱导公式，正、余弦定理等知识，考查考生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．19.如图1，在梯形ABCD 中，//,90AB CD BCD ∠=︒，点E 在线段CD 上，且满足2223AB AD CD CE ====，将ADE 沿AE 翻折，使翻折后的二面角D AE B '--的余弦值为13-，如图2．（1）求证：AE BD '⊥；（2）求直线BC 与平面AED '所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（22 【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质证得线线垂直，再根据线面垂直的判定定理证得线面垂直，最后根据线面垂直的性质定理证得线线垂直；（2）先通过作辅助线找到所求的线面角及二面角D AE B '--的平面角，再通过解三角形求相关线段的长度，即可得线面角的正弦值，也可根据垂直关系建立空间直角坐标系进行求解．【详解】解：（1）在梯形ABCD 中，连接,BE BD ，记BD AE O =．由题意易得//,AB DE AB DE =，所以四边形ABED 是平行四边形，又AB AD =，所以四边形ABED 是菱形，所以BD AE ⊥，所以,BO AE D O AE '⊥⊥．又BO D O O '=∩，,BO D O '⊂平面BOD ， 所以AE ⊥平面BOD ，又BD '⊂平面BOD ， 所以AE BD '⊥．（2）因为AE ⊥平面,BOD AE '⊂平面AED '， 所以平面AED '⊥平面BOD ．过点B 作BH D O '⊥交D O '的延长线于点H ， 如图所示，因为平面AED '∩平面BOD OD ''=， 所以BH ⊥平面AED '．延长,AE BC 交于点P ，连接PH ，则BPH ∠为直线BC 与平面AED '所成的角． 由,BO AE D O AE '⊥⊥，得二面角D AE B '--的平面角为BOD '∠， 则1cos 3BOD '∠=-，所以1cos ,sin 33BOH BOH ∠=∠=． 由四边形ABED 是菱形， 且易得23BED BEC ππ∠=-∠=， 得BAE △为等边三角形，所以BO =，所以26sin BH BO BOH =⋅∠=． 在ABP △中，易知EC 为ABP △的中位线，3BC =，所以223BP BC ==，所以2623sin 323BH BPH BP ∠===， 即直线BC 与平面AED '所成角的正弦值为23．【点睛】本题主要考查线线垂直的证明，线面角正弦值的求解，考查考生的运算求解能力、空间想象能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想．20.已知数列{}n a 的前n 项和为12,1n S a a ==，且满足*1123,2,n n n S S S n n n -++=+≥∈N ．设11n n n b a a +--=，数列{}n b 的前n 项和为n T ．（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）设n n n c a tb =-，若0n n c T +≥对任意的*n ∈N 恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）[1,)+∞.【解析】【分析】（1）利用已知等式以及n S 和n a 的关系得到递推关系式，再根据定义证明数列{}n b 是等比数列；（2）求出{}{},n n a b 的通项公式及n T ，进而求出n c ，最后根据0n n c T +≥恒成立求出实数t 的取值范围．【详解】解：（1）因为()*11232,n n n S S S n n n N-++=+≥∈，①所以21231n n n S S S n +++=++，②②-①得，21231n n n a a a +++=+． 所以()2111112n n n n a a a a +++--=--， 又11n n n b a a +--=， 即*11(2),2n n b b n n N +=≥∈． 在①中，令2n =得，()()112312232a a a a a a +++=++，又121a a ==，所以332a =． 所以121232111,12b a a b a a =--=-=--=-，即2112b b =． 所以()*112n n b b n N +=∈， 故数列{}n b 是以1-为首项，12为公比的等比数列． （2）由（1）可得，112n n b -=-， 所以111112,122n n n n n T a a +--=-+-=-， 所以2n ≥时，()()12112021111112222n n n n n a a a a a a n ---⎛⎫⎛⎫=-++-+=-++-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 当1n =时，11a =适合上式，所以()*2122n n a n n N -=-+∈． 所以1222n n t c n -+=-+， 所以111213224222n n n n n t t c T n n ---+++=-+-+=-+．令0n n c T +≥，得13402n t n -+-+≥，即13(4)2n t n -+≥-恒成立． 令1(4)2n n k n -=-，则12343,4,0k k k k ====．当4n >时，0n k <，所以34t +≥，解得1t ≥，故实数t 的取值范围为[1,)+∞．【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，考查考生的推理论证能力．21.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，短轴长为2，左、右顶点分别为,A B ．设点(2,)(0)M m m >，连接MA 交椭圆于点C ．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若||||OC CM =，求四边形OBMC 的面积．【答案】（1）2212x y +=；（2）43. 【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率、短轴长以及,,a b c 之间的关系列出方程组，解方程组得到,a b 的值，即得椭圆的标准方程；（2）先写出直线AM 的方程，并与椭圆的方程联立，得到点C 的坐标，连接OM ，取OM 的中点R ，根据||||OC CM =，可得CR OM ⊥，即可求得m 的值，进而可求四边形OBMC 的面积．【详解】解：（1）因为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，短轴长为2，所以222222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩所以1a b ==， 所以该椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）因为点)(0),(M m m A >，所以直线AM的方程为y x =，即(4y x =+．由221,2(4x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得()22224280m x x m +++-=．设(),C x y ''，则22284m m '-=+，所以x '=，所以244m y m '=+． 连接OM ，取OM 的中点R ，则22m R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，连接CR ，因为||||OC CM =，所以CR OM ⊥．又32OM CR m y k k '-===31=-， 即42280m m +-=，所以m =，所以四边形OBMC的面积114223ABM AOC S S S =-=⨯=． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆的位置关系、根与系数的关系、四边形面积的求解等，考查数形结合思想、运算求解能力．22.已知函数()(21)ln (2)f x x x a =-+-+，其中a 为实数．（1）求()()21f xg x x =+的单调区间； （2）若0a >，则当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，3|()22ln 2|2a f x a x x x +++≤-恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）()223,421e e ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先求出函数()g x 的解析式，再对其求导，利用导数与函数单调性的关系即可求解；（2）先通过分类讨论去掉绝对值，再将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，然后根据函数的单调性求出最值，则问题获解．【详解】解：（1）由题意得，()()2()ln 02121+==-->++f x a g x x x x x ， 所以222124421()(21)(21)a x ax g x x x x x '+-+-=-+=++． 所以0a ≤或24160a ∆=-≤时，()0g x '≤恒成立，即当2a ≤时，()0g x '≤恒成立，所以()gx 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间．当2a >时，令()0g x '>x << 令()0g x '<，得0x <<或x >，所以()g x 的单调递增区间为⎝⎭，单调递减区间为0,,44a a ⎛⎛⎫++∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 综上，当2a ≤时，()g x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间；当2a >时，()g x ）的单调递增区间为44a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为0,,44a a ⎛⎛⎫++∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，3|()22ln 2|2a f x a x x x+++≤-恒成立， 等价于当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，3|ln |2a x a x +-≤恒成立． 由21,e x ⎡⎤∈⎣⎦得ln [0,2]x ∈． 令2()|ln |,1,e a A x x a x x⎡⎤=+-∈⎣⎦． ①若2,()ln ,a a A x a x x≥=+- 21()0,()a A x A x x x'∴=--<在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减， 所以max ()(1)2A x A a ==，所以322a ≤， 则34a ≤，与2a ≥矛盾，故此时a 不存在． ②若02a <<，当1e a x ≤≤时，21()ln ,()0a a A x a x A x x x x'=+-=--<， ()A x 在1,a e ⎡⎤⎣⎦上单调递减， 所以max 3()(1)22A x A a ==≤，此时304a <≤，符合题意． 当2e e a x <≤时，221()ln ,()a a x a A x x a A x x x x x'-=+-=-+=．令()0A x '=得x a =．令()x B x e x =-，则()e 10xB x '=->在(0,2)上恒成立，所以()B x 在(0,2)上单调递增，所以当(0,2)x ∈时，(0)1x e x B ->=，所以e a a <． 所以()0,'>A x 则()ln =+-a A x x a x在(2,a e e ⎤⎦上单调递增， 所以()2max 2()2==+-a A x A e a e， 所以2322+-≤a a e ， 即()2221e a e ≥-． 又()()222113242121e e e =+<--， 所以()223421e a e ≤≤-． 综上，实数a 的取值范围为()223,421e e ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，绝对值不等式恒成立问题，考查考生的逻辑推理能力，运算求解能力，分析问题、解决问题的能力．。
浙江名校新高考研究联盟2020届高三第一次联考数学试题卷附答案详析
有的 m；若不存在，请说明理由．
解析
浙江名校新高考研究联盟 2020 届高三第一次联考
数学试题
一、单选题
1．已知集合 A {x | (x 3)(x 1) 0} ， B {x‖x 1| 1} ，则 CR A B （ ）
A．[1,0) (2,3]
B． (2,3]
浙江名校新高考研究联盟 2020 届高三第一次联考
数学试题
一、单选题
1．已知集合 A {x | (x 3)(x 1) 0} ， B {x‖x 1| 1} ，则 CR A B （ ）
A．[1,0) (2,3]
B． (2,3]
C． ( , 0) (2, )
【点睛】
本题考查与分段函数有关的不等式，会对 a 进行分类讨论，使 f (a) 取不同的解析式，从而
将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.
【详解】
设 A(0, y0 ) ，两圆的圆心距 d y02 32 ， 因为以 A 为圆心、半径为 3 的圆与圆 C 有公共点， 所以 3 1 d 3 1 2 y02 32 4 ，解得 7 y0 7 ，选项 B、C、D 不合题意，
故选 A. 【点睛】
8
本题考查两圆相交的位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得圆心纵
EDC 60 ，则 BE ________， cosCED ________.
15．某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不
能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是_______（用数字作答）．
16．已知 A, B 是抛物线 y2 4x 上的两点， F 是焦点，直线 AF , BF 的倾斜角互补，记