指数函数应用举例
高中数学指数函数与对数函数的运算与应用技巧
高中数学指数函数与对数函数的运算与应用技巧在高中数学中，指数函数与对数函数是非常重要的概念。
它们在各个领域中都有广泛的应用，包括科学、工程、经济等。
掌握指数函数与对数函数的运算与应用技巧，对于高中学生来说是非常重要的。
本文将通过举例、分析和说明来介绍这方面的知识。
一、指数函数的运算与应用技巧指数函数是以指数为自变量的函数，具有形如y=a^x的表达式。
其中，a称为底数，x称为指数。
指数函数的运算与应用技巧主要包括以下几个方面：1. 指数函数的图像特点对于指数函数y=a^x来说，当a>1时，函数的图像呈现上升趋势；当0<a<1时，函数的图像呈现下降趋势。
这一特点可以通过绘制函数图像来观察和验证。
2. 指数函数的性质指数函数具有一些特殊的性质，如指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集；指数函数的奇偶性与底数的正负有关等。
掌握这些性质可以帮助我们更好地理解和运用指数函数。
3. 指数函数的运算规律指数函数的运算规律包括指数相加减、指数相乘除等。
例如，对于指数函数y=a^x和y=b^x，当指数相加时，即y=a^x+b^x，我们可以将其写成y=a^x(1+b/a)^x的形式，从而简化计算。
4. 指数函数的应用举例指数函数在实际应用中有很多例子。
例如，人口增长模型可以用指数函数来描述，即人口数量随时间的指数增长；放射性衰变也可以用指数函数来描述，即放射性物质的衰变速率随时间的指数减少等。
二、对数函数的运算与应用技巧对数函数是指以底数为自变量的函数，具有形如y=loga(x)的表达式。
其中，a 称为底数，x称为真数。
对数函数的运算与应用技巧主要包括以下几个方面：1. 对数函数的图像特点对于对数函数y=loga(x)来说，当0<a<1时，函数的图像呈现下降趋势；当a>1时，函数的图像呈现上升趋势。
这一特点可以通过绘制函数图像来观察和验证。
2. 对数函数的性质对数函数也具有一些特殊的性质，如对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集；对数函数的奇偶性与底数的正负有关等。
理解指数函数的增长与衰减性质
理解指数函数的增长与衰减性质指数函数是高中数学中重要的一个概念，也是数学中常见的函数类型之一。
理解指数函数的增长与衰减性质对于解决实际问题、理解数学模型以及应对考试都非常重要。
本文将通过介绍指数函数的定义、性质以及相关应用，来帮助读者更好地理解指数函数的增长与衰减性质。
一、定义与基本性质指数函数的定义较为简单，通常写作f(x) = a^x，其中a是底数，x 是指数。
在指数函数中，底数a是一个正实数且不等于1。
指数函数的图像呈现出一种特殊的形状，具有以下基本性质：1. 当x是整数时，指数函数中的a^x等于a相乘x次（如a^3 = a * a * a）；2. 当指数为0时，a^0等于1；3. 当指数为正整数时，指数函数呈现出递增性质，即随着指数的增加，函数值也随之增加；4. 当指数为负整数时，指数函数呈现出递减性质，即随着指数的减小，函数值也随之减小；5. 指数函数在定义域内是连续函数，且在整个定义域内是递增函数或递减函数。
二、指数函数的增长与衰减性质指数函数的增长与衰减性质是指函数的值随着自变量的变化而变化的规律。
具体来说，指数函数的增长性质表示函数值随着自变量的增加而增加，而衰减性质则表示函数值随着自变量的减小而减小。
下面分别介绍指数函数的增长性质与衰减性质。
1. 增长性质当指数函数的底数a大于1时，函数的增长性质表现为指数随着自变量的增加而呈现指数增长的趋势。
也就是说，随着指数的增加，函数值以指数倍速增长。
例如，当底数a为2时，指数函数f(x) = 2^x的值会迅速增大。
2. 衰减性质当指数函数的底数a介于0和1之间时，函数的衰减性质表现为指数随着自变量的增加而呈现指数衰减的趋势。
也就是说，随着指数的增加，函数值以指数倍速减小。
例如，当底数a为0.5时，指数函数f(x) = 0.5^x的值会迅速减小。
三、指数函数的应用举例指数函数的增长与衰减性质在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：1. 经济增长模型经济增长模型通常用指数函数进行建模。
正数与负数的指数函数
正数与负数的指数函数指数函数是数学中常见的一类函数，其中正数和负数的指数函数具有不同的特性和性质。
本文将分别讨论正数和负数的指数函数，并探讨它们在数学和实际生活中的应用。
一、正数的指数函数正数的指数函数一般形式为：f(x) = a^x，其中a为正数且不等于1。
1.1 基本特性正数的指数函数有以下基本特性：- 当a大于1时，函数呈现增长趋势，随着x的增大，函数值也呈现增大趋势；- 当0小于a小于1时，函数呈现递减趋势，随着x的增大，函数值趋于零；- 当a等于1时，函数为常值函数，即f(x) = 1；- 正数的指数函数在x轴上不断变化，但从不会达到x轴。
1.2 应用举例正数的指数函数在数学和实际生活中有广泛的应用，以下是一些常见的例子：- 在金融领域中，利率的计算就涉及到正数的指数函数。
例如，存款利息的计算公式为A = P(1+r/n)^(n*t)，其中A为最终金额，P为本金，r为年利率，n为复利次数，t为时间；- 在科学领域中，指数函数常用于描述物质的衰变、生物的繁殖以及电路中的充电和放电过程；- 在经济学中，人口增长和资源消耗也可以用指数函数来进行建模分析。
二、负数的指数函数负数的指数函数一般形式为：f(x) = a^(-x)，其中a为正数且不等于1。
2.1 基本特性负数的指数函数有以下基本特性：- 当a大于1时，函数呈现递减趋势，随着x的增大，函数值趋于零；- 当0小于a小于1时，函数呈现增长趋势，随着x的增大，函数值也呈现增大趋势；- 负数的指数函数在x轴上不断变化，但从不会达到x轴。
2.2 应用举例负数的指数函数同样在数学和实际生活中有一些应用，以下是一些常见的例子：- 在电子技术中，负数的指数函数常用于描述电阻、电容和电感元件中的衰减过程；- 在自然科学中，一些自然现象如光线的强度衰减、声音的衰减等也可以用负数的指数函数来进行描述。
结论通过对正数和负数的指数函数进行讨论，我们可以看到它们在数学和实际生活中的广泛应用。
指数函数的基本恒等式
指数函数的基本恒等式指数函数是数学中非常重要的函数之一，它可以用来描述各种复杂的计算过程，并在不同领域有着广泛的应用。
在学习指数函数的过程中，我们要掌握其基本恒等式，这是解决各种指数函数问题的重要工具。
一、指数函数的基本定义指数函数的基本形式是$f(x)=a^x$，其中$a$是一个正实数，$x$可以是任意实数。
当$a>1$时，指数函数是递增的，当$0<a<1$时，指数函数是递减的。
指数函数在解决许多实际问题中都有很重要的作用，例如在金融、经济、物理、生物等领域都有广泛的应用，例如在计算复利、预测经济变化趋势、计算放射性物质的衰变等。
二、指数函数的基本恒等式指数函数的基本恒等式包含两个重要的公式：指数函数的乘法恒等式以及指数函数的除法恒等式。
1、指数函数的乘法恒等式指数函数的乘法恒等式是指，当指数函数相乘时，底数不变，指数相加。
即：$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$例如，$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$。
这个公式可以用于解决指数函数相乘的问题，例如计算$2^3 \cdot 2^{5x}$，可以将它化为$2^{3+5x}$。
这个公式也可以用于求指数函数的幂次方，例如计算$(2^3)^4$，可以将它化为$2^{3\times 4} = 2^{12}$。
2、指数函数的除法恒等式指数函数的除法恒等式是指，当指数函数相除时，底数不变，指数相减。
即：$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$例如，$\frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^2$。
这个公式可以用于解决指数函数相除的问题，例如计算$\frac{2^5}{2^{3x}}$，可以将它化为$2^{5-3x}$。
这个公式也可以用于求指数函数的根式，例如计算$\sqrt{2^8}$，可以将它化为$2^{8/2} = 2^4$。
三、指数函数的应用举例指数函数的基本恒等式在实际应用中有着广泛的应用。
指数型、对数型函数模型的应用举例 课件
类型三：数据拟合函数的应用 例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高 (cm) 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (kg)
⑴根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模 型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性 体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函 数模型的解析式．
⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍 为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这一地区一名 身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重 是否正常？
指数型、对数型函数模型的应用举例
1.指数函数模型 (1)表达形式：_f_(_x_)_=_a_b_x+_c_._ (2)条件：a,b,c为常数，a≠0,b>0,b≠1. 2.对数函数模型 (1)表达形式：f_(_x_)_=_m_l_o_g_a_x_+_n_. (2)条件：m,n,a为常数，m≠0,a>0,a≠1.
解：1期后本利和为：y1 a a r a(1 r)
2期后本利和 y2 a(1 r)2
为：
……
x期后，本利和为：yx a(1 r)x
将a=1 000元，r=2.25%，x=5代入上式：
y5 1 000 (1 2.25%)5 1 0001.022 55
由计算器算得：y≈1 117.68（元）
分析：(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）
(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向 上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况，我们 可以考虑用函数y=a•bx来近似反映.
指数型函数的奇偶性及应用举例
ʏ田发胜我们知道,指数函数f (x )=a x(a >0,a ʂ1)本身没有奇偶性,但通过运算后,许多指数型函数就有了奇偶性,此时利用相应的奇偶性处理问题,就可以提高解题效率㊂下面介绍一些具有奇偶性的指数型的函数,并举例说明其应用㊂函数f (x )=a x +a -x(a >0,a ʂ1)在R 上是偶函数;函数f (x )=a x -a -x(a >0,a ʂ1)在R 上是奇函数;f (x )=a x-a-xa x +a-x =a x-1a x a x+1ax=a 2x-1a 2x+1(a >0,a ʂ1)在R 上是奇函数;f (x )=a x+a -xa x -a -x =a 2x+1a 2x-1(a >0,a ʂ1)在(-ɕ,0)ɣ(0,+ɕ)上是奇函数㊂这几个函数的奇偶性可利用函数奇偶性的定义给出证明,请同学们自己完成㊂例1 已知函数f (x )=3x-3-x3x +3-x +2,若f (a )+f (a -2)>4,求实数a 的取值范围㊂解:令F (x )=f (x )-2=3x-3-x3x +3-x,易知F (x )是奇函数,且是增函数㊂f (a )+f (a -2)>4,即f (a )-2>-f (a -2)-2 ,也即F (a )>-F (a -2)㊂由F (x )是奇函数,可得F (a )>F (2-a )㊂由F (x )是增函数,可得a >2-a ,所以a >1,即实数a ɪ(1,+ɕ)㊂评注:通过构造函数,适时的转化,利用其奇偶性㊁单调性,使得问题轻松获解㊂例2 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )+g (x )=a x -a -x+2(a >0,a ʂ1),若g (2)=a ,则f (2)=㊂解:由条件得f (2)+g (2)=a 2-a-2+2,所以f (-2)+g (-2)=a -2-a 2+2㊂由奇偶性得-f (2)+g (2)=a -2-a 2+2㊂由此解得g (2)=2,f (2)=a 2-a -2㊂所以a =2,f (2)=22-2-2=154㊂评注:仔细观察题目的结构,利用f (2)=a 2-a -2是解题的关键㊂例3 函数f (x )=e x-e-xx2的图像大致形状为( )㊂解:易知此函数为奇函数,其图像关于坐标原点对称,排除A ㊂当x >0时,f (x )>0,排除D ㊂当x ң+ɕ时,f (x )ң+ɕ,排除C ㊂应选B ㊂评注:在给出函数解析式,选择与之对应的图像时,函数的奇偶性是需要考虑的重要因素㊂例4 已知函数f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e-x +1)有唯一零点,则a =㊂解:函数f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e -x +1)的零点,即方程x 2-2x =-a (e x -1+e-x +1)的根,亦即函数y =x 2-2x 与函数y =-a (e x -1+e -x +1)的交点的横坐标㊂函数y =x 2-2x 的图像关于直线x =1对称,其顶点坐标为(1,-1),而函数y =-a (ex -1+e-x +1)是由偶函数y =-a (e x+e -x)向右平移1个单位得到的,其图像也关于直线x =1对称,所以它们有唯一的交点时,一定相交于点(1,-1),所以-1=-a (e1-1+e-1+1)=-2a ,即a =12㊂评注:题中方程的根是求不出来的,从而转化为相应两个函数的交点㊂y =-a (ex -1+e-x +1)是由偶函数y =-a (e x +e -x)向右平移1个单位得到的,这是解题的关键㊂作者单位:山东省淄博四中(责任编辑 郭正华)21 知识结构与拓展 高一数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
4.2.2指数函数应用举例
例4
兴趣导入
某市2008年国民生产总值为20亿元,计划在未来10年内,
平均每年按8%的增长率增长,分别预测该市2013年与2018
年的国民生产总值(精确到0.01亿元)．
国民生产总值每年按8%增长是指，后一年的国民生
分 析
产总值是前一年的（1+8%）倍．需要先通过分析得 到函数关系，再分别求出5年后与10年后的函数值．
解 设10 g磷−32经过x天衰变，残留量为y g．
依题意可以得到经过x天衰变，
残留量函数为 y=10×0.9527x， 故经过14天衰变，残留量为y=10×0.952714≈5.07（g）．
计算器
巩固知识
例6
典型例题
服用某种感冒药，每次服用的药物含量为 a ，随着时间 t 的变化，体内
t f ( t ) 0.57 a （其中 t 以小时为单位） 的药物含量为 ．问服药 4 小时后，
练
经过月份数的函数关系，并求4个月后，该种试剂的约消耗量 （精确到0.1)． 2． 某省2008年粮食总产量为150亿kg．现按每年平均增长
习
10．2%的增长速度．求该省10年后的年粮食总产量(精确到 0.01亿kg)． 3． 一台价值100万元的新机床．按每年8%的折旧率折旧,问 20年后这台机床还值几万元(精确到0.01万元)?
你还有冲击挡板的激情吗？ .....心理学家将一只饥饿的鳄鱼和一些小鱼放在水族箱 的两端，中间用透明的玻璃板挡开。 .....刚开始，鳄鱼毫不犹豫地向小鱼发动攻击，它失败 了，但它毫不气馁；接着，它又向小鱼发动第十次更 猛烈地攻击，它又失败了，并且受了重伤；它还要攻 击，第十三次，第十四次……多次攻击无望后，它不 再攻击了。 .....这个时候，心理学家将挡板拿开，鳄鱼已经不再攻 击小鱼了。它依然无望地看着那些小鱼在眼皮底下悠 闲地游来游去，它放弃了一切的努力。 大道理： 遗憾的是：像这条鳄鱼一样，我们很多人在 多次的挫折、打击和失败之后，就逐渐失去了战斗力 。激情死了，梦想死了，剩下的只有黯淡的眼神和悲 伤的叹息，无奈，无助和无力。
高一数学：指数函数及其性质
目录
• 引言 • 指数函数的基本性质 • 指数函数的运算性质 • 指数函数的应用举例 • 指数函数的深入探究 • 复习与总结
01
引言
Chapter
指数函数的概念
指数函数是一种特殊的函数形式，形如$y=a^x$（ $a>0$，$a≠1$）的函数叫做指数函数。
指数函数中的自变量$x$位于指数位置，而底数$a$是一 个大于0且不等于1的常数。
指数函数与对数函数的关系
01
互为反函数
指数函数和对数函数是一对互为反函数的函数，它们的图像关于直线
y=x对称。这意味着对于任意的x和y，如果y是指数函数的结果，那么x
就是对数函数的结果；反之亦然。
02
转换关系
通过指数函数和对数函数之间的转换关系，可以将一些复杂的问题简化
。例如，在解决与复利、放射性衰变等相关的问题时，可以利用对数性
02
掌握运算法则
熟练掌握指数运算法 则，并能够灵活运用 。
03
多做练习题
通过多做练习题来加 深对知识点的理解和 记忆，提高解题能力 。
04
及时复习总结
学习完一个知识点后 要及时复习总结，形 成自己的知识体系。
THANKS
感谢观看
，即(am)n=am×n。
幂的开方
对于指数函数的开方运算，一般需 先计算出指数函数的值再进行开方 运算，但也可通过换元法或其他技 巧进行简化计算。
复合幂运算
对于复杂的幂运算，如幂的乘方再 开方等，需根据运算优先级和结合 律进行计算，也可通过换元法或其 他技巧进行简化计算。
04
指数函数的应用举例
Chapter
指数函数的除法运算
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国内生产总值每年按8%增长是指后一年的国内生产总值是前一年的（1+8%）倍．
解决
设在2008年后的第 年该市国民生产总值为 亿元，则
第1年，y=20×1+8%）=20×1.08，
第2年，y=20×1.08×（1+8%）=20× ，
第3年y=20× ×（1+8%）=20× ，
…………
由此得到，第x年该市国内生产总值为
巩固知识 典型例题
例4设磷−32经过一天的衰变，其残留量为原来的95．27%．现有10 g磷−32，设每天的衰变速度不变，经过14天衰变还剩下多少克（精确到0.01g)？
分析残留量为原来的95.27%的意思是，如果原来的磷−32为 （g），经过一天的衰变后，残留量为 ×95.27%（g）．
解设10g磷−32经过x天衰变，残留量为yg．依题意可以得到经过x天衰变，残留量函数为y=10× ，
2．某省2008年粮食总产量为150亿kg．现按每年平均增长10．2%的增长速度．求该省10年后的年粮食总产量(精确到0.01亿kg)．引导ຫໍສະໝຸດ 析观察思考总结归纳
5
5
5
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10
课堂小结
本次课主要学习了指数函数的应用问题
课堂检测
一台价值100万元的新机床．按每年8%的折旧率折旧,问20年后这台机床还值几万元(精确到0.01万元)?
且 ．
当 时，得到2013年该市国内生产总值为
（亿元）．
当 时，得到2018年该市国民生产总值为
y=20× ≈43.18（亿元）．
结论
预测该市2013年和2018年的国民生产总值分别为29.39亿元和43.18亿元．
归纳
函数解析式可以写成 的形式，其中 为常数，底a>0且a≠1．函数模型 叫做指数模型．当a>1时，叫做指数增长模型；当0<a<1时，叫做指数衰减模型。
课题
指数函数应用举例
课型
新授
教学
目标
知识目标：
1.了解指数模型，了解指数函数的应用
2.了解指数函数在生活生产中的部分应用，从而培养学生分析与解决问题能力
重点
指数函数的应用实例
难点
指数函数的应用实例
教学方法
观察 讨论讲解
教学过程与教学方法
教学内容及步骤
学生/教师活动
时间
安排
动手探索运用新知
问题
某市2008年国内生产总值为20亿元,计划在未来10年内,平均每年按8%的增长率增长,分别预测该市2013年与2018年的国内生产总值(精确到0.01亿元)．
解因为 ，利用计算器容易算得
，
．
答问服药4小时后，体内药物的含量为0.11a,服药8小时后，体内药物的含量为0.01a．
运用知识强化练习
教材练习4.2.2
1．某企业原来每月消耗某种试剂1000 ，现进行技术革新，陆续使用价格较低的另一种材料替代该试剂，使得该试剂的消耗量以平均每月10%的速度减少，试建立试剂消耗量 与所经过月份数 的函数关系，并求4个月后，该种试剂的约消耗量（精确到0.1 )．
故经过14天衰变，残留量为y=10× ≈5.07（g）．
答经过14天，磷−32还剩下5.07g．
例5服用某种感冒药，每次服用的药物含量为 ，随着时间 的变化，体内的药物含量为 （其中 以小时为单位）．问服药4小时后，体内药物的含量为多少？8小时后，体内药物的含量为多少？
分析该问题为指数衰减模型．分别求 与 的函数值．
教学反思