湖北部分重点高中麻城一中新洲一中黄陂一中盘龙校区等高二下学期期中联考数学理试题 word版含答案

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湖北省重点高中联考协作体高二数学下学期期中试题理(

参考答案一．选择题：二．填空题：13.1 14.49π15.i 16.31 三.解答题:17.解:（1）i b b z )9()33(++-= ∵z 是纯虚数 ∴⎩⎨⎧≠+=-09033b b∴1=b ……………………………………………………………（5分）（2） ∵i i i w 515723-=++=∴2)51()57(||22=-+=w ……………………………………（10分） 18. 解：b ax x x f ++='23)(2…………………………………………………（2分）（1）由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯+⨯='=+⨯+⨯='31213)1(0322)32(3)32(22b a f b a f 解得⎩⎨⎧-==42b a ……（5分）经检验得32=x 时，)(x f y =有极小值 ∴542)(23+-+=x x x x f ……（6分）（2）由（1）知)23)(2(443)(2-+=-+='x x x x x f令0)(='x f 得32,221=-=x x ……………………………………………（8分） )(),(x f x f '的值随x 的变化情况如下表：∵27)3(=f 13)2(=-f 11)4(-=-f 4)1(=f ∴)(x f 在]1,4[-上的最大值为13，最小值为-11。

………………………………（12分） 19.解：设旅游团人数为（100+x)时，旅行社收费为：)51000()100()(x x x f y -⋅+==10000050052++-=x x （0≤x ≤80）…………………………（4分）令0)(='x f ，即050010=+-x 则x=50当)50,0(∈x 时，0)(>'x f ，当)80,50(∈x 时，0)(<'x f 因此，x=50是函数)(x f y =的极大值点，也是最大值点。

湖北省部分重点中学高二数学下学期期中联考(理)

湖北省部分重点中学期中联考高二数学试题（理）命题学校：新洲一中命题人：谢绍义审题人：张金玲本试卷共21题，满分150分.考试用时120分钟.★ 祝考试顺利 ★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡指定位置.2.考生将答案都直接涂（答）在答题卡上，答在试卷上无效.3.解答题的答案不得超出指定的边框.一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.正多面体的面不可能是正边形. A.三B.四C.五D.六2.在12的展开式中的有理项是（）A.第1、3、6、9、12项B.第1、7、13项C.第1、6、12项D.第7项3.设有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（） A.若//,//,m n αα则//.m nB.若,,//,//,m n m n ααββ⊂⊂则//.αβC.若,,m αβα⊥⊂则.m β⊥D.若,,,m m αββα⊥⊥⊄则//.m α4.将4个相同的小球投入3个不同的盒中，不同的投放结果有（） A.34种B.43种C.15种D.30种5.甲、乙两地分别位于北纬45︒、东经60︒和北纬45︒、西经30︒处，则甲、乙两地在纬线圈上的劣弧长与它们的球面距离之比为（）A.4C.3:26.在正方体1111ABCD A B C D -中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与1A B 成30︒角的平面的个数为（） A.2个B.4个C.6个D.8个7.A 、B 、C 、D 、E 五人住进编号为1、2、3、4、5的五个房间，每个房间只住1人，且B 不住2号房间，B 、C 两人不住编号相邻房间的住法种数为（） A.24B.60C.70D.728.在正三棱锥S ABC -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则此三棱锥外接球的半径是（）B.C.3D.9.设{}{},,,1,0,1A a b c B ==-，映射:f A B →满足对A 中任何两个不同元素x,y 都有()()f x f y B +∈，则符合条件的映射:f A B →的个数为（）A.6B.7C.10D.1310.如右图，ADP ∆为正三角形，O 为正方形ABCD 的中心，且面PAD ⊥面,ABCD M 为正方形ABCD 内一动点，且满足 MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）A B C D 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.若432412345(1)(1)(1)(1)a x a x a x a x a x -+-+-+-+=,则34a a a ++=2 .12.的正方体骨架内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球体积的最大值为 .13.如右上图，90BAD ∠=︒的等腰直角三角形ABD 与正三角形CBD 所在平面成60︒的二面角，则AB 与平面BCD 所成角的正弦值为 .ABCD APDCB14.如右图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，AC=BC=CC 1=1， P 是BC 1上一动点，则1A PC ∆周长的最小值为 .15.右图表中的每一个数都是一个正整数的倒数，起始行（即第0行）为1，每一个数都等于脚下两个数之和，这样写下去，则第7行从左到右的第二个数是，第n 行从左到右的第三个数应为 .三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.已知n 的展开式前三项中的x 的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.17.已知AB 、CD 是夹在两个平行平面,αβ间的异面直线，A 、C α∈，B 、D β∈，AC=6，BD=8，AB=CD=10，AB 、CD 成60︒角，求异面直线AC 和BD 所成的角.PCABA 1C 1B18.以下两问的结果均用数字作答.（1）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求这6个人排成一排，2位老人相邻且不排在两端，有多少种不同的排法？（2）把6名志愿者全部安排到某地区的A 、B 、C 三个学校支教，每个学校至少安排一名志愿者，有多少种不同的安排方法？19.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D 中，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、CD 、BB 1、C 1D 1的中点. （1）求点P 到平面MNQ 的距离；（2）求直线PN 与平面MPQ 所成角.20.已知等比数列{}n a 的首项为31232mm m C A +-⋅，公比是421()4x x +展开式中的第二项（按x 的降幂排列）.（1）用n 、x 表示通项n a 与前n 项和n S ；（2）若12112(1)n nn n n n n A C S C S C S -=-++-，用n 、x 表示n A .21.如下图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AB ⊥AD ，AD=CD=2AB=2，侧面∆APD 为等边三角形，且点P 在底面ABCD 内的射影在AD 上. （1）若E 为PC 的中点，求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（2）若M 为PA 上一动点，当M 在何位置时，PC//平面MDB ？并说明理由；（3）若点G 为∆PBC 的重心，求二面角G —BD —C 的大小.ACBPDACα湖北省部分重点中学期中联考高二数学试题参考答案（理）一、选择题二、填空题11. 1412.43π 13.14. 315.156()()211n n n -+ 三、解答题16.解：由条件知21211222o nnn C C C ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭，即2980n n -+= 得8n =或1n = ∵2n ≥ ∴8n = （4分）又展开式通项为32781218812rrr rrr r T C C x--+=⋅⋅=⋅⋅（6分）设1r T +系数最大，则1881188111221122r r r r r r r r C C C C ++--⎧⋅≥⋅⎪⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪⎩解得2 3.r ≤≤ 又*r N ∈ 故2r =或3（10分）∴系数最大的项为311212377T x x ==4和T .（12分）17.解：如图，过点C 作CE//AB 交平面β于E ，连结BE 、DE.∵αβ∴AC ∥BE即四边形ACEB 为平行四边形. ∴∠DCE 或其补角为AB 、CD 所成角.由题意得60DCE ︒∠=或120︒（4分）又BE//AC.故∠DBE 或其补角为AC 和BD 所成角.（6分）当60DCE ︒∠=时，由于CD=10，CE=AB=10 10DE ∴=又6BE AC == 8BD BED =∴为直角三角形90DBE ︒∠= （9分）当120DCE ︒∠=时.103DE =14BE BD DE +=<，不符合题意. 故异面直线AC 和BD 所成的角为90 ︒. （12分）18.解：（1）先从4名志愿者中任选2人安排在两端，有24A 种排法，再把2名老人及其它人进行安排，故有412432144A A A =种不同的排法.（4分）（2）分三类：①一个学校安排4个，其余各1个.有14236290C C A =种. （6分）②一个学校安排3个，一个学校安排2个，一个学校安排1个.有32136313360C C C A =种（9分）③三个学校均安排2个.有22264290C C C =种（11分）由加法原理，共有90+360+90=540种不同的安排方法.（12分）19.解（1）由于N 、Q 分别为CD 、C 1D 1中点，故NQ//CC 1//BB 1//BP ∴平面MNQ ，故点B 到平面MNQ 的距离即点P 到平面NMQ 的距离. （2分）连BD 交MN 于H ，由于MN//AC ， AC ⊥BD ，故BH ⊥MN又NQ ⊥平面ABCD ，BH ⊂面ABCDNQ BH ∴⊥，又MN NQ N ⋂=xyzBH ∴⊥平面MNQ ，BH 的长即为所求（4分）1124DH MN AC ==∴33244BH BD ==（6分）（2）设点N 到平面MPQ 的距离为h ，由N MPQ P MNQ V V --=得324MPQ MNQS h S a ∆∆= 又21222MNQ S a ∆=⨯=（8分）在MPQ ∆中，2226MP AM AB BP =++=，同理6MQ PQ == 223633)428MPQ S a ∆∴== 2223234433h a ∴= （10分）设PN 与平面MPQ 所成角为θ，则322sin 6h PN a θ===PN MPQ ∴2与平面所成角为（12分）（2）（向量法）以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直面坐标系，则D （0，0，a ）、(,0,)2a M a 、(0,,)2a N a 、(0,,0)2a Q 、(,,)2aP a a 、(,,)B a a a (,,)22a a MP a =-，(,,)22a a MQ a =--，(,,)22a aPN a =--设平面MPQ 的法向量为(,,)n x y z =，则00220022xz y n MP x z x y y z n MQ z ⎧+-=⎪⎧⋅==-⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅=⎩⎪⎪⎩-+-=⎪⎩PE 令1z =,得(1,1,1)n =- 设PN 与平面MPQ 所成角为θsin 33a n PN n PNθ-⋅=== ∴直线PN 与平面MPQ 所成角为arcsin320. 解：（1）由32312m m m ≤+⎧⎨≤-⎩，得3m =，911911a C A ∴==，公比13421()4q C x x x =⋅⋅=11*1()n n n a a q x n N --∴==∈（3分）当11,;1,1nn n x x S n x S x -==≠=-时当时1111nn n x S x x x=⎧⎪∴=⎨-≠⎪-⎩（6分）（2）当123411,234(1)n nn n n n n n x A C C C C nC -==-+-++-时01231111111(1)n n n n n n n nC nC nC nC nC -------=-+-++-01231111111[(1)]n n n n n n n n C C C C C -------=-+-++-0=（9分）当122111,[(1)(1)(1)(1)]1n nn n n n n x A C x C x C x x-≠=---++---时=()()12112211(1)(1)1n nn n nn n n n n n C C C C x C x C x x--⎡⎤-++---++-⎣⎦-1223311[1(1)]1(1)(1)1n n nn n n n n n C x C x C x C x x x x x -=-+-++---==-- （12分）综合得()1111n n x A x x -=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩（13分）21. 解法一：（1）证：设点O 为点P 在面ABCD 内的射影，则PO ⊥面ABCD ，PO ⊥AD.又APD ∆为正三角形..O AD OC ∴为中点,连由于ABCD 为直角梯形，且AD=CD=2，AB=1.CDO DAB ∴∆≅∆ ,OC BD PO ABCD ∴⊥⊥又面 ,2,PC BD PD CD E PC ∴⊥==又为中点 ,DE BDE PC PAC ∴⊥⊂平面又平面DE PC ∴⊥ 又BD DE D ⋂=∴PC ⊥平面BDE . 又PC ⊂平面PAC.PAC BDE ∴⊥平面平面（4分）（2）解：设,//.AC BD N N MN PC PA M ⋂=过作交于,//MN MDB PC MDB ⊂∴又平面平面此时，由于1~,2AN AB ABN CDN NC CD ∆∆==且又MN//PC ， 12AM AN MP NC ∴==故当点M 在线段PA 上，且使MP=2AM 时，有PC//平面BDE.（9分）（3）若点G 为PBC ∆的重心，由于BE 为PBC ∆的中线，故G BE ∈，取OC 中点F ，连EF ，则//EF POEF ∴⊥平面BCD ，设BD OC H ⋂=由（1）知,,,FH BD EH EH BD ⊥⊥连则EHF ∴∠为二面角G-BD-C 的平面角,又EF=PO =12在2,,Rt CDO OD OH OC OH ∆=⋅∴=中,12FH OC OH =-=tan EF EHF FH ∴∠=故二面角G BD C --的大小为（14分）解法二：（1）证：取AD 中点O ，连OP 、OC 、连BDPAD ABCD PAD PO ABCD ⊥∆∆∴⊥面面为正面BCD ∆为直面梯形，AB//CD ，,22AB AD AB CD AB ⊥=== CDO DAB OCD BDA ∴∆≅∆∴∠=∠ OC DB ∴⊥,记垂足为F .则DF BF===25ODOFOC==以OC、OP为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P、(,,0)55B、(55D-、(0,22E、(D(BD∴=-(BE=(0,PC=330 022PC BD PC BE⋅=⋅=-=PC BD PC BE∴⊥⊥，即PC BDE⊥面又PC PAC PAC BDE⊂∴⊥面面面（2）同解法一.（3）设平面GDB的法向量为1(,,1)n x y G PBC=∆为的重心G∴255335(,,) (GBGD=---=-0 0n GB nGD⋅=⋅=由得：1553(0,xx ynyx y⎧=⎧--=⎪⎪⎪⇒∴=⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩又平面BDC法向量为2(0,0,1)n=设二面角G BD Cθ--的大小为则1212cos48n nn nθ⋅===⋅.6--arccos 4G BD C 二面角大小为.。

湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题(含答案)

武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线在轴上的截距为（）A ．B ．2C ．D ．2．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第__________象限．A ．四B ．三C ．二D ．一3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.554．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为，且，则（）A ．B ．C ．D ．5．现有一段底面周长为厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到达P 点，另一只从B320x y --=y 2-2323-1:1l y x =-(0,1)-512π2l 2l 13()3()P A P B =()P B =1613235612π2π沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．12C ．D ．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）A ．甲315枚，乙105枚B ．甲280枚，乙140枚C ．甲210枚，乙210枚D ．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点．现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．8．如图所示，四面体的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体的体积为，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．给出下列命题，其中是真命题的是（）2πP 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭22121:10504C x x y y -+-+=(,0)T t x P T x C t 1527,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦710,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦727,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦1510,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABCD αAOPQ V 'V V'1418116127A ．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底B ．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则C ．若，则是锐角D ．若对空间中任意一点，有，则M ，A ，B ，C 四点不共面10．下列命题正确的是（）A ．设A ，B 是两个随机事件，且，，若，则A ，B 是相互独立事件B ．若，，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥有可能同时成立C ．若三个事件A ，B ，C 两两相互独立，则满足D ．若事件A ，B 相互独立，，，则11．平面内到两个定点A ，B 的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（）A ．点的轨迹的方程是B ．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1C ．直线与点的轨迹相离D ．已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C ，D ，则四边形面积的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．同时扡掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________．13．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是__________．14．在空间直角坐标系中，，，，，，P 为所确定的平面内一点，设的最大值是以为自变量的函数，记作．若，则{,,}a b c 23m a c =+ ,,}a b m 〈α(2,1,0)A (1,3,1)B -(2,2,1)C -(1,,)n u t =α2u t +=0a b ⋅> ,a b <>O 111362OM OA OB OC =++1()2P A =1()3P B =1()6P AB =()0P A >()0P B >()()()()P ABC P A P B P C =()0.4P A =()0.2P B =()0.44P AB AB = (1)λλ≠P (2,0)A (6,0)B P ||1||3PA PB =P τP τ2230x y x +-=(1,1)N P τ220x y -+=P τ3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭M :270l x -+=M P τECMD 1y =+y x b =+b (0,0,0)O (0,,3)A a (3,0,)B a (,3,0)C a 33,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ABC △||PO PD -a ()f a 03a <<()f a的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A ，B ，C的概率分别是，，．（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．16．（本题满分15分）已知的顶点，边AB 上的中线CD 所在直线方程为，边AC 上的高线BE 所在直线方程为．（1）求边BC 所在直线的方程；（2）求的面积．17．（本题满分15分）如图所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和BC 上分别有一点和且，，其中．（1）求证：，，共面；（2）若，且，设为侧棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．18．（本题满分17分）已知在平面直角坐标系中，，，平面内动点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）点轨迹记为曲线，若曲线与轴的交点为M ，N 两点，Q 为直线上的动点，直线121418ABC △(4,2)A 7250x y +-=40x y +-=BCD △111ABC A B C -AB a = AC b = 1AA c =1AC M N AM k AC = BN k BC =01k ≤≤MN a c||||||2a b c ===13AB =160BAC BB C ∠=∠=︒P 1BB 1B 1PC 11ACC A xOy (1,0)A -(7,0)B -P ||2||PB PA =P P C C x :17l x =MQ ，NQ 与曲线C 的另一个交点分别为E ，F ，求|EF|的最小值．19．（本题满分17分）对于三维向量，定义“F 变换”：，其中，，，．记，．（1）若，求及；（2）证明：对于任意，必存在，使得经过次F 变换后，有；（3）已知，，将再经过次F 变换后，最小，求的最小值．武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBA DCABADACD12．13．1415．解：（1）设事件A ，B ，C ，D 分别表示“被评定为等级A ，B ，C ，D ”．由题意得，事件A ，B ，C ，D 两两互斥，所以．所以．因此其得分低于4分的概率为；（2）设事件，，，表示"第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，．（2）设事件，，，表示“”第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，．则“两次射击得分之和为8分”为事件，且事件，，互斥，，，所以两次射击得分之和为8分的概率．()(),,,,N,0,1,2,k k k k k k k a x y z x y z k =∈= ()1F k k a a +=1k k k x x y +=-1k k k y y z +=-1k k k z z x +=-k k k k a x y z = k k k k a x y z =++0(2,3,1)a =2a 2a 0a *k ∈N 0a k 0k a = 1(,2,)()a p q q p =≥ 12024a = 1am m a m 5361)+1111()12488P D =---=111()()()884P C D P C P D =+=+= 14i A i B i C i D i 1,2=i A i B i C i D i 1,2=()()()121221B B AC A C 12B B 12AC21A C ()121114416P B B =⨯=()()12211112816P AC P A C ==⨯=()()()()()()121221*********2161616P P B B AC A C P B B P ACP A C ⎡⎤==++=+⨯=⎣⎦16．解：（1）因为，所以设直线AC 的方程为：，将代入得，所以直线AC 的方程为：，联立AC ，CD 所在直线方程：，解得，设，因为为AB 的中点，所以，因为在直线BE 上，在CD 上，所以，，解得，，所以，，所以BC 所在直线的方程为：，即．（2）由（1）知点到直线BC 的距离为：，又，所以．17．（1）证明：因为，，所以．由共面向量定理可知，，，共面．（2）取BC 的中点为，在中，，由余弦定理可得，所以，依题意，均为正三角形，所以，，又，平面，平面，AC BE ⊥0x y m -+=(4,2)A 2m =-20x y --=207250x y x y --=⎧⎨+-=⎩(1,1)C -()00,B x y D 0042,22x y D ++⎛⎫⎪⎝⎭()00,B x y D 0040x y +-=0042725022x y ++⨯+⨯-=06x =-010y =(6,10)B -10(1)11617BC k --==---111(1)7y x +=--11740x y +-=(1,6)D -d ==||BC ==12722BCD S ==△1AM k AC kb kc ==+()(1)AN AB BN a k BC a k a b k a kb =+=+=+-+=-+(1)(1)MN AN AM k a kb kb kc k a kc =-=-+--=-- MN a cO 1AOB △1AO B O ==13AB =11cos 2AOB ∠==-12π3AOB ∠=ABC △1B BC △BC AO ⊥1BC B O ⊥1B O AO O = 1B O ⊂1B AO AO ⊂1B AO所以平面，因为平面，所以平面平面，所以在平面内作，则平面，以OA ，OC ，Oz 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，，设是平面的一个法向量，，，则，即，取得，依题意可知，则．设直线与平面所成角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．18．解：（1）设动点坐标，因为动点满足，且，，化简可得，，即，BC ⊥1AOB BC ⊂ABC 1AOB ⊥ABC 1AOB Oz OA ⊥Oz ⊥ABC x y z 132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,1,0)B -A (0,1,0)C 132C ⎛⎫⎪⎝⎭132A ⎫⎪⎭(,,)n x y z =11ACC A (AC =132AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 03202y x y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩1z =(3,1)n =- 123BP BB =11112323713,,323232C P C B BP C B BB ⎫⎛⎫⎫=+=+=--+⨯=--⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭ 1PC 11ACC A θ1119sin cos ,13||n C PC P n n C Pθ⋅====⋅ 1PC 11ACC A 913(,)P x y P ||2||PB PA =(1,0)A -(7,0)B -=222150x y x +--=22(1)16x y -+=所以点的轨迹方程为．（2）曲线中，令，可得，解得或，可知，，当直线EF 为斜率为0时，即为直径，长度为8，当直线EF 为斜率不为0时，设EF 的直线方程为，，，联立消去可得：，化简可得；由韦达定理可得，因为，，，，所以EM ，FN 的斜率为，，又点在曲线上，所以，可得，所以，所以EM ，FN 的方程为，，令可得，化简可得；，又，在直线上，可得，，所以，P 22(1)16x y -+=22:(1)16C x y -+=0y =2(1)16x -=3x =-5x =(3,0)M -(5,0)N ||||EK FK +x ny t =+()11,E x y ()22,F x y 22(1)16x ny t x y =+⎧⎨-+=⎩x 22(1)16ny t y +-+=()2212(1)(3)(5)0n y t ny t t ++-++-=1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩()11,E x y ()22,F x y (3,0)M -(5,0)N 113EM y k x =+225FN y k x =-()11,E x y C ()2211116x y -+=()()()22111116135y x x x =--=+-111153EM y x k x y -==+115(3)x y x y -=+22(5)5yy x x =--17x =()1212205125Q x y y y x -==-()()121235550y y x x +--=()11,E x y ()22,F x y x ny t =+11x ny t =+22x ny t =+()()121235550y y ny t ny t ++-+-=化简可得；，又，代入可得，化简可得，，，所以或，当时EF 为，必过，不合题意，当时EF 为，必过，又为圆的弦长，所以当直径MN 时弦长最小，此时半径，圆心到直线EF 的距离为，综上，的最小值．19．解：（1）因为，，，所以，，（2）设假设对，，则，，均不为0；所以，即，因为，，所以，与矛盾，所以假设不正确；综上，对于任意，经过若干次F 变换后，必存在，使得．（3）设，因为，所以有或，当时，可得，三式相加得()()221212535(5)5(5)0n y y n t y y t ++-++-=1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩()2222(3)(5)2(1)535(5)5(5)011t t t n n n t t n n +--++-+-=++()()222253(3)(5)10(5)(1)5(5)10n t t n t t t n ++-+--+-+=()222222(5)3951510105525250t t n t n n n t n t t n -++++-++--=(5)(816)0t t --=2t =5t =5t =5x ny =+(5,0)2t =2x ny =+(2,0)||EF EF ⊥||EF 4r =211-=||8EF ===<||EF 0(2,3,1)a = 1(1,2,1)a = 2(1,1,0)a =21100a =⨯⨯= 21102a =++={}max ,,(0,1,2)k k k k M x y z k == N k ∀∈10k a +≠1k x +1k y +1k z +12k k M M ++>123M M M >>> *(1,2)k M k ∈=N 112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ 121M M +≤-120M M +>0aK N *∈0K a = ()0000,,a x y z = 1(,2,)()a p q q p =≥000x y z ≤≤000x y z ≥≥000x y z ≥≥0000002p x y y z q z x=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩2q p -=又因为，可得，；当时，也可得，，所以；设的三个分量为这三个数，当时，的三个分量为，2，m 这三个数，所以；当时，的三个分量为2，2，4，则的三个分量为0，2，2，的三个分量为2，0，2，所以；所以，由，可得，；因为，所以任意的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，所以的三个分量只能是2，2，4三个数，的三个分量只能是0，2，2三个数，所以当时，；当时，，所以的最小值为505．12024a =1010p =1012q =000x y z ≤≤1010p =1012q =1(1010,2,1012)a =k a()*2,,2m m m +∈N 2m >1k a +2m -14k k a a +=- 2m =k a 1k a + 2k a +124k k a a ++=== 12024a = 5058a = 5064a =1(1010,2,1012)a = k a505a 506a505m <18m a +≥ 505m ≥14m a +=m。

湖北部分省级示范高中2024年高二下学期4月期中测试数学答案

湖北省部分省级示范高中2023~2024学年下学期高二期中测试数学试卷参考答案与评分细则12．7 13．−41114. 8096202315．【详解】(1)有以下两种情况：①4次均为正品，共有=A 2444种；………………………………………………………………………………(2分) ②前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，共⋅=C C A 72234112种;…………………………………(4分) 则共有96种. …………………………………………………………………………………………………………(5分) (2)由题意知，第二次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，…………………………………………(6分) 当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有=A C 242412种抽法；………………………………………(8分) 当抽取5次结束时，若第4次抽到正品且第5次抽到正品，则共有=A C 482414种抽法；……………………(10分) 若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有=C A 482413种抽法；…………………………………(12分) 共120种抽法. ………………………………………………………………………………………………………(13分)16．【详解】（1）解：因为数列a n }{满足=a 21且−=+a a n n n21，当≥n 2时，可得21121211())2n n n a a a a a a a −=++++−+=+−+−−a n 22(2()()………………………………(2分)−=+=−n n 1212(12)，…………………………………………………………………………………………………(4分)当=n 1时，=a 21适合上式，………………………………………………………………………………………(5分)所以数列a n }{的通项公式为=a n n2.……………………………………………………………………………(6分)（2）解：1212222n n n S b b b n n =+++=⨯+⨯++⋅+12(12222)n n n =⨯+⨯++⋅+12，………………………………………………………………………………(7分) 设12222n T n =⨯+⨯++⋅n 12，则231212222n T n +=⨯+⨯++⋅n ，………………………………………………………………………………(9分)两式相减得123111222222(1)22n n n n T n n n −=++++−⋅=−⋅=−⋅−−−+++n n 122(12)………………………………………………(13分) 所以=−⋅++T n n n (1)221，……………………………………………………………………………………………(14分)所以=−⋅+++S n n n n (1)221……………………………………………………………………………………(15分)17．【详解】（1）由题意得：f x )(定义域为+∞0,)(,=−=−'x xf x a ax 11)(；…………………………………(1分) 当≤a 0时，0f x，则f x )(单调递减区间为+∞0,)(，无单调递增区间；………………………………(3分)当>a 0时，令='f x 0)(，解得：=ax 1；∴当⎝⎭ ⎪∈⎛⎫a x 0,1时，<'f x 0)(；当⎝⎭ ⎪∈+∞⎛⎫a x ,1时，0f x ；f x 的单调递增区间为⎝⎭ ⎪+∞⎛⎫a ,1；单调递减区间为⎝⎭⎪⎛⎫a 0,1；…………………………………………………(6分)综上所述：≤a 0时，则f x )(的单调递减区间为+∞0,)(，无单调递增区间；>a 0时，f x )(的单调递增区间为⎝⎭ ⎪+∞⎛⎫a ,1；单调递减区间为⎝⎭⎪⎛⎫a 0,1.………………………………………………………………………………(7分) （2）当≤a 0时，=−<f a 2ln 20)(，不合题意；………………………………………………………………(8分) 当>a 0时，由（1）知⎝⎭⎪∴==−+⎛⎫a f x f a a 1ln 1min )(；则−+≥a a 1ln 0；………………………………………(9分)令=−+g a a a 1ln )(，则=−'ag a 11)(，…………………………………………………………………………(10分) ∴当∈a 0,1)(时，>'g a 0)(；当∈+∞a 1,)(时，<'g a 0)(;……………………………………………………(12分) ∴g a )(在0,1)(上单调递增，在+∞1,)(上单调递减，∴==g a g 10max )()(，…………………………………(14分)∴实数a 的取值集合为1}{.………………………………………………………………………………………(15分)18. 【详解】（1）易得数列a n }{是首项为2，公差为2的等差数列，故N =∈a n n n 2*)(. ……………………(3分)由+++=++⋅⋅⋅+a b b b n n n 212121212，得+++=++⋅⋅⋅+≥−−−a n b bb n n n 2121212211121)( 两式相减有：−+==−a a b nn n n 2121, ∴=+≥+b n n n 2221)( ……………………………………………………(6分) 当=n 1时，+==a b 21211，∴=b 61也符合上式，N =+∈+b n n n 221*)(；……………………………………(8分) （2）由（I ）知=+−++c t n n n n 4(1)(22)1,又c n 为递增数列，则所以>⇔+−+>+−++++++c c t t n n n n n n n n 4(1)224(1)2211121)()(…………………………………………………(9分)整理得=−⋅+⋅+<⋅+t n nnn n (1)2463241432312 …………………………………………………………………………(10分)当n 为偶数时，⋅+<t n n 246143，而⋅+≤⨯+=n n 24244661414722,所以<t 712.…………………………………(13分) 当n 为奇数时，>+−⋅t n n 246143，所以>−t 43……………………………………………………………… (16分)综上所述，t 的取值范围是⎝⎭⎪−⎛⎫47,312．………………………………………………………………………… (17分)19. 【详解】（1）因为=f x x x ()e ，所以+=+='x f x x x x x1()e e e )(，由>'f x ()0，得+>x 10，所以>−x 1；由<'f x ()0，得+<x 10，所以<−x 1，所以函数=f x x x ()e 在−∞−,1)(上单调递减，在−+∞1,)[单调递增，……………………………………… … (3分) 所以f x ()的最小值为−=−ef (1)1，无最大值。

2023-2024学年湖北省新高考高二下册4月期中联考数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年湖北省新高考高二下册4月期中联考数学模拟试题一、单选题1．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a ，312a ，2a 成等差数列，则q =（）A ．1-B ．2C ．1-或2D ．1或2-【正确答案】B【分析】根据条件，列出关于公比的方程，即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q >，首项10a >，由12a ，312a ，2a 成等差数列，则3122a a a =+，则21112a q a a q =+，220q q --=，得1q =-（舍）或2q =.故选：B2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()()22ln 1f x xf x '=+-，则()2f =（）A ．1-B ．23-C ．4-D ．e【正确答案】C【分析】对函数()f x 求导，将2x =代入导数中可得(2)1f '=-，从而得到函数解析式，将2x =代入函数解析式可得答案.【详解】()2(2)ln(1)f x xf x '=+-，则1()2(2)1f x f x ''=+-，令2x =得(2)2(2)1f f ''=+，解得(2)1f '=-，则()2ln(1)f x x x =-+-，将2x =代入上式得(2)4f =-，故选：C 3．已知322()nx x +的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（）A ．60B ．80C ．100D ．120【正确答案】B【分析】根据各项系数和求出n ，再由二项展开式通项公式求解即可.【详解】当1x =时，3243n =，解得5n =，则322()n x x +的展开式第1r +项351532155152552C ()()C 2C 2r r r r r r r r r r r T x x x x x----+===，令1550r -=，解得3r =，所以335C 210880=⨯=，故选：B4．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926π 3.1415927<<，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就，小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.要求两个1不相邻.那么小明可以设置的不同密码有（）A ．120个B ．240个C ．360个D ．720个【正确答案】B【分析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】利用插空法：共有4245A C 240⨯=种.故选：B5．定义域为R 的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()20f x f x '-<，且()01f =，则不等式()2xf x >e 的解集为（）A ．(),0∞-B ．()2,+∞C ．()0,∞+D ．(),2-∞【正确答案】A【分析】构造函数2()()e xf xg x =，利用导数研究函数的单调性，即可得到答案．【详解】构造函数2()()ex f x g x =，则函数的导数为22222()e 2()e ()2()()(e )e x x x x f x f x f x f x g x '-'-'==，()()20f x f x '-< ，()0g x ∴'<，即()g x 在R 上单调递减，(0)1f = ，0(0)(0)1e f g ∴==，则不等式()2xf x >e ，等价为2()1e ()xf xg x =>，即()(0)g x g >，则0x <，即不等式的解集为(,0)-∞，故选：A ．6．已知数列21443n n ⎧⎫⎨⎬+-⎩⎭的前n 项和为n T ，若对任意的*N n ∈，不等式2123n T a a <-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．4,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]4,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)4,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【正确答案】C【分析】利用裂项相消法求出n T ，对任意的*N n ∈，不等式2123n T a a <-恒成立，则()2max 123n T a a <-恒成立，求出n T 最大值即可得解.【详解】()()211111443232142123n n n n n n ⎛⎫==- ⎪+-+--+⎝⎭，则111111111111114537592123432123n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为1102123n n +>++，所以111111111432123433n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+<+= ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为对任意的*N n ∈，不等式2123n T a a <-恒成立，所以211233a a ⨯≤-，解得43a ≥或1a ≤-，所以实数a 的取值范围是(]4,13⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C.7．现有天平及重量为1，2，4，10的砝码各一个，每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入天平的左边或者右边，直至所有砝码全放到天平两边，但在放的过程中发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，则这样的放法共有（）种.A ．105B ．72C ．60D ．48【正确答案】A【分析】由题意，按照从大到小的顺序，逐一分情况讨论，结合排列组合以及分类加法原理，可得答案.【详解】依题可知10只能在左边，按照从大到小的顺序，逐一分情况讨论，有以下4种情况：情况①：第一步先排10，10只能在左边，接下来重量为1,2,4的砝码顺序随意有33A 种，左右边随意，则32种，共有3332A 48=种；情况②：第一步先排4，4只能在左边，10可以在第2,3,4步中任选一步放，有13C 种，重量为1,2的砝码顺序随意左右边随意，共有12232C 2A 24=种；情况③：第一步先排2，2只能在左边，若第二步放10，则重量为去1,4的砝码顺序随意左右边随意，有2222A 中，若第二步放4，则10可以在第3,4步汇总任选一步放，砝码1左右边随意放，有122C 种，若第二步放1，有2种放法，接下第3步有2种情形：（a ）若第三步放10，那第四步放4可以在左右都行，有2种，（b ）若第三步放4，那4只能放左边，第四步放10只能放左边，有1种，共有()221222A C 222118+⨯++=种；情况④：第一步先排1，1只能在左边，接下来第二步：若第二步放10，则重量为2,4的砝码顺序随意左右边随意放，有2222A 种，若第二步放4，则10可以在第3,4步中任选一步放，砝码2左右边随意放，有122C 种，若第二步放2，2只能在左边，接下来第三步有2种情形：（i ）若第三步放10，那第四步放4可以在左右边都行，有2种，（ii ）若第三步放4，那4只能在左边，第四步放10只能放左边，有1种，共有221222A 2C 2115+++=种，综上有48241815105+++=种.故选：A.8．若存在[]00,1x ∈，使不等式()0220021ln e 2e ex ax a x +-≥+-成立，则a 的取值范围是（）A ．21,e 2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．421,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,e ⎡⎤⎣⎦【正确答案】D【分析】()022002e 1ln e 2e x a x a x +-≥+-()0022e 1ln 2e e x x a a ⇔-≥-，令0e x a t =，构造函数()2()e 1ln 22f t t t =--+，从而问题转化为存在,e a t a ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得()0f t ≥成立的问题.【详解】()022002e 1ln e 2e x a x a x +-≥+-⇔()()222e 1ln e 12e x a a x ---≥-()002e 1ln22e e x x a a ⇔-≥⋅-，令0ex at =，即()2e 1ln 220t t --+≥，因为0[0,1]x ∈，所以,e a t a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()2()e 1ln 22f t t t =--+.则原问题等价于存在,e a t a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥成立.()22e 12e 1()2t f t t t---'=-=令()0f t '<，即()2e 120t --<，解得2e 12t ->，令()0f t '>，即()2e 120t -->，解得2e 102t -<<，所以()f t 在2e 10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2e 1,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭上单调递减.又因为()()2222(1)0,e e 1ln e 2e 2f f ==--+222e 22e 20=--+=.而22e 11e 2-<<，∴当21e t ≤≤时，()0f t ≥.若存在,e a t a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥成立.只需21e ea ≤≤或21e a ≤≤，所以31e a ≤≤.故a 的取值范围为31,e ⎡⎤⎣⎦.故选：D二、多选题9．已知()()()()()5260126122111x x a a x a x a x +-=+-+-++- ，则（）A ．03a =-B ．1256a =-C ．246124a a a ++=-D ．012632a a a a +++⋯+=-【正确答案】AD【分析】令1x t -=，则1x t =-，原等式可化为()()5260126321t t a a t a t a t ---=++++ ，结合二项展开式的性质逐项判断即可.【详解】令1x t -=，则1x t =-，原等式可化为()()5260126321t t a a t a t a t ---=++++ ，令0=t ，则03a =-，故A 项正确；()51t --的展开式的通项为()()515C 1,0,1,2,,5kkkk T t k -+=⋅--= ，则()()54011552C 13C 113a =-⨯⋅--⨯⋅-=-，故B 项错误；令1t =，则012632a a a a ++++=- ①，令1t =-，则01234560a a a a a a a -+-+-+=②，由①+②得()0246232a a a a +++=-，又03a =-，所以24613a a a ++=-，故C 项错误，D 项正确．故选：AD.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法正确的是（）A ．若2n S n n =+，则{}n a 是等差数列B ．若{}n a 是等比数列，且10a >，0q >，则2132S S S ⋅>C ．若{}n a 是等差数列，则11611S a =D ．若31nn S =-，则{}n a 是等比数列【正确答案】ACD【分析】对于AD ：由n S 与n a 的关系求通项公式即可；对于B ：作差比较大小即可；对于C ：根据等差数列性质计算即可.【详解】对于A ：当2n ≥时，2n S n n =+，()2111n S n n -=-+-，则12n n n a S S n -=-=，又12a =也适合，故2n a n =，所以()122n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列，故A 正确；对于B ：()()22132112312S S S a a a a a a ⋅-=++-+()()222211110a q q q a q ⎡⎤=++-+=-<⎣⎦，故2132S S S ⋅<，所以B 错误；对于C ：()1116116111121122a a a S a +⨯===，故C 正确；对于D ：当2n ≥时，31n n S =-，1131n n S --=-，则1123n n n n a S S --=-=⋅，又12a =也适合，故123n n a -=⋅，所以()132nn a n a -=≥，所以{}n a 是等比数列，故D 正确；故选：ACD11．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（）A ．4个空位全都相邻的坐法有120种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种C ．4个空位均不相邻的坐法有120种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种【正确答案】AC【分析】对于A ，用捆绑法即可；对于B ，先用捆绑法再用插空法即可；对于C ，用插空法即可；对于D ，用插空法的同时注意分类即可.【详解】对于A ，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：55A 120=种，故A 对；对于B ，先排4个学生44A ，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有25A 种方法，所以一共有4245480A A =种，故B 错；对于C ，先排4个学生44A ，4个空位是一样的，然后将4个空位插入4个学生形成的5个空位中有45C 种，所以一共有4445A C 120=，故C 对；对于D ，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的有120种，空位两个两个相邻的有：4245A C 240=，空位只有两个相邻的有412454A C C 720=，所以一共有1202407201080++=种，故D 错；故选：AC.12．若ln1.01a =，1101b =，sin0.01c =，则（）A ．a b <B ．a b>C ．c a>D ．b c>【正确答案】BC【分析】通过证明ln(1),(0,1)1xx x x+>∈+确定ln1.01a =，1101b =的大小关系；通过证明sin ln(1)x x >+确定1101b =，sin0.01c =的大小关系；【详解】令()ln(1),(0,1)1xf x x x x=+-∈+，2211()01(1)(1)x f x x x x '=-=>+++，()f x ∴在(0,1)x ∈上单调递增，()(0)0f x f ∴>=，ln(1),(0,1)1xx x x∴+>∈+，0.011ln(10.01)10.01101∴+>=+，a b ∴>.令()sin ln(1),(0,1)g x x x x =-+∈，1()cos 1g x x x'=-+，令1()()cos ,(0,1)1h x g x x x x=-∈+'=，21()sin ,(1)h x x x '=-++显然()h x '在(0,1)x ∈为减函数，()()1π1010,1sin1sin 0464h h =>=-+<-+'<'，0(0,1),x ∴∃∈使()00h x '=，当()00,x x ∈时()0h x '>，当()0,1x x ∈时()0h x '<，当()00,x x ∈时()h x 为增函数，当()0,1x x ∈时()h x 为减函数，所以()h x 的最小值为(0),(1)h h 中一个，而1π1(0)cos 010,(1)cos1cos 0232h h =-==->-=，()0,h x ∴>即()0g x '>，()g x ∴在(0,1)x ∈上单调递增，()(0)0,sin ln(1).g x g x x ∴>=∴>+sin 0.01ln(10.01)ln(1.01)∴>+=，c a ∴>.故选：BC关键点点睛：本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量x 就有了函数的形式，如在本题中ln1.01ln(10.01)a ==+，10.0110110.01b ==+，将0.01视为x ，将,a b 视为函数ln(1)y x =+与1x y x =+的函数值，从而只需比较ln(1)y x =+与1x y x=+这两个函数大小关系即可.三、填空题13．若直线2y x b =+与函数()e xf x x a =+-的图象相切，则a b +=__________.【正确答案】1【分析】利用导数的几何意义即可求得答案.【详解】由题意()e x f x x a =+-，可得()e 1xf x '=+，因为直线2y x b =+与函数()e xf x x a =+-的图象相切，故设切点为00(,)x y ，则0e 12x +=，故00x =，则()10f a b =-=，故1a b +=，故114．某校社团召开学生会议，要将11个学生代表名额，分配到高二年级的6个班级中，若高二（一）班至少3个名额，其余5个班每班至少1个名额，共有__________种不同分法.（用数字作答）【正确答案】56【分析】先分配给高二（一）班2个名额，剩余9个名额用隔板法分配.【详解】先给高二（一）班2个名额，还有9个名额分到6个班级去，每班至少1个名额，使用隔板法，有9个相同元素共8个空（不含两端），插入5个板，共有58C 56=种插法，两个板之间元素个数即为相应班级名额.故5615．对于数列{}n a ，定义11222-=+++ n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若6n T T ≤对任意的*N n ∈恒成立，则实数p 的取值范围为__________.【正确答案】7716,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】根据数列新定义可得2111212 (2)22n n n n n a a a a n --+-++++=⋅，从而2n ≥时，2121)22(12n n n a a a n --+++=⋅- ，相减求得22n a n =+，进而求得n T 的表达式，利用6n T T ≤对任意的*N n ∈恒成立，列出不等式组，即可求得答案.【详解】由题意可得2111212...222n n n n n a a a a n --+-++++=⋅，∴2n ≥时，2121)22(12n n n a a a n --+++=⋅- ，两式相减可得：1122(1)2n n n n a n n -+=⋅--⋅，化为22n a n =+，1n =时，2124a ==，满足上式，故22,Nn a n n *=+∈故12(12)n n T a a a p n =+++++++ ，(422)(1)(1)(3)222n n n n n n p n n p ++++=+⋅=++⋅∵6n T T ≤对任意的*N n ∈恒成立，∴5676T T T T ≤⎧⎨≤⎩，即4015542170285421p pp p +≤+⎧⎨+≤+⎩，解得71637p -≤≤-，即71637,p ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，故7716,3⎡⎤--⎢⎣⎦16．设集合{}()1,2,3,,N,2P n n n =∈≥ ，选择P 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则当10n =时，不同的A 和B 共有__________种组合.（请用数字作答）【正确答案】4097【分析】利用列举的方法，结合集合的子集问题，利用等比数列求和，即可求出满足条件的组合数.【详解】由条件可知，{}1,2,3...10P =，若集合B 中的最小的数为2，则集合B 有82个，集合A 有121-个，若集合B 中的最小的数为3，则集合B 有72个，集合A 有221-个，若集合B 中的最小的数为4，则集合B 有62个，集合A 有321-个，…………….若集合B 中的最小的数为10，则集合B 有02个，集合A 有921-个，所以满足条件的不同集合,A B 的组数为：()()()()81726309221221221...221-+-+-++-()9876092222...2=⨯-++++9124608409712-=-=-.故4097四、解答题17．已知n⎫⎪⎭的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255.(1)求n 的值；(2)求展开式中系数最大的项.【正确答案】(1)8n =(2)731792x -【分析】（1）令x =1可得，展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和为2n ，由题意列方程求解.（2）展开式中的通项公式为83218(2)C r r r r r T x -+-=-，且r 为偶数，由1311r r r r T T T T +++-≥⎧⎨≥⎩求解r .【详解】（1）令x =1可得，展开式中各项系数之和为(1)n -，而展开式中的二项式系数之和为2n ，2(1)255,8,n n n ∴--=∴=（2）展开式中的通项公式为83218(2)C r r r r r Tx -+-=-（8,N r r ≤∈），设第1r +项最大，要使展开式中系数最大则r 必为偶数，则22882288(2)C (2)C (2)C (2)C r r r r r r r r ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩，即()()()()()()8!8!4!8!2!6!8!18!!8!42!10!r r r r r r r r ⎧≥⋅⎪-+-⎪⎨⎪≥⋅⎪---⎩，即()()()()()()()1248741091r r r r r r r r ⎧++≥--⎪⎨--≥-⎪⎩，即212122,r r ∞∞⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎛⎫⎪∈-⋃+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩且8,N r r ≤∈，解得：6r =，所以展开式中系数最大的项为.8667663238(2)C 1792x x ----=18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，313log 1log n n b b +-=，且()1122n n n a a a n +-=+≥.339S b ==，414b a =.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .【正确答案】(1)21n a n =-，13n n b -=(2)()131n n T n =-+【分析】（1）首先判断数列{}n b 为等比数列，数列{}n a 是等差数列，再根据等差和等比数列的基本量求解；（2）由（1）可知，()1213n n c n -=-⋅，利用错位相减法求和.【详解】（1）313log 1log n n b b +-= ，()313log log 3n n b b +∴=，则13n nb b +=，所以{}n b 为等比数列，又39b =，得11b =，所以13n n b -=，由112n n n a a a +-=+，知数列{}n a 是等差数列，且41427b a ==，39S =,111327339a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，得1a 1,d 2==，21n a n ∴=-；（2）()1213n n c n -=-⋅ ，()0121133353...213n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++-⨯，()()12213133353...233213n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯两式相减可得：()()12121233...3213n n n T n --=++++--⨯，()2223n n =-+-⋅，()131n n T n ∴=-⋅+.19．某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为()10ln 123x x +-⎡⎤⎣⎦万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y 万元.(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)需新建多少个桥墩才能使y 最小？并求出其最小值.参考数据：ln 20.69≈，ln 3 1.10≈【正确答案】(1)()60000012000ln 1236500y x x=⋅++-(2)需新建19个桥墩才能使y 最小，最小值为24740万元.【分析】（1）利用题中的已知条件设出需要建设桥墩的个数，进而表示出工程的费用即可；（2）利用（1）的结果，再利用导数研究函数的单调性即可求出最值.【详解】（1）由已知两端的桥墩相距1200米，且相邻两桥墩相距x 米，故需要建桥墩12001x ⎛⎫- ⎪⎝⎭个，则()12001200150010ln 123y x x x x ⎛⎫=-⨯+⨯+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭()60000050012000ln 1236000x x=-+⋅+-()60000012000ln 1236500x x=⋅++-所以y 关于x 的函数关系式为()60000012000ln 1236500y x x =⋅++-，()0,1200x ∈（2）由（1）知()60000012000ln 1236500y x x=⋅++-()()222501212000600000120001212x x y x x x x -+'=-=⨯++令0y '=，即()250120x x -+=，解得10x =-（舍）或60x =当060x <<时，0'<y ，函数单调递减；当601200x <<时，0'>y ，函数单调递增；所以当60x =时，y 有最小值，且()min 60000012000ln 60123650012000ln 722650060y =⋅++-=⨯-又()ln 72ln 89ln 8ln 93ln 22ln 330.692 1.1 4.27=⨯=+=+≈⨯+⨯=min 12000 4.272650024740y ∴=⨯-=（万元）所以需新建19个桥墩才能使y 最小，最小值为24740万元.20．已知函数()1e x f x x +=.(1)求()f x 的极值；(2)当0x >时，()ln 1f x x x a ≥+++恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()f x 有极小值()11f -=-，无极大值.(2)(],1a ∈-∞【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；（2）首先根据不等式构造函数()1e ln 1x g x x x x +=---，再根据函数()g x '构造函数()11e x h x x+=-，再利用函数的导数()h x '判断函数的单调性，并结合零点存在性定理，判断()h x ，即()g x '的正负，判断函数的单调性，并求函数的最值，即可证明不等式.【详解】（1）求导得()()11e x f x x +=+'，所以当()0f x ¢>时，1x >-；当()0f x '<时，1x <-，所以()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，所以()f x 有极小值()11f -=-，无极大值.（2）由题知不等式1e ln 1x x x x a +≥+++在()0,x ∈+∞上恒成立，则原问题等价于不等式1e ln 1x x x x a +---≥在()0,x ∈+∞上恒成立，记()1e ln 1x g x x x x +=---，则()()()11111e 11e x x g x x x x x ++⎛⎫=+--=+- ⎝'⎪⎭记()11e x h x x +=-，则()121e 0x h x x +'=+>恒成立，所以()h x 在()0,x ∈+∞上单调递增，又2112e 21e e 0eh +⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()21e 10h =->，所以存在021,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即当0x x <时，()0h x <，此时()0g x '<；当0x x >时，()0h x >，此时()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，由()01001e0x h x x +=-=，得0101x e x +=，即001e 1x x +=，00ln 1x x =--所以()()010*******1ln 1111x g x g x x e x x x x x x +≥=---=⋅++--=，(],1a ∴∈-∞.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，若对任意正整数n ，1133n n n S a a ++=-++.(1)求证：{}2n n a 为等差数列(2)若()11n n n a S a -+>-恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用数列n a 与n S 的关系，变形得到()111222n n n n a a a a +--=-，根据数列{}12n n a a +-是等比数列，结合等差数列的定义，变形后即可证明；（2）首先根据（1）的结果求得12n nn a +=，再根据条件求得n n S a +，利用数列不等式恒成立，转化为最值问题，即可求解.【详解】（1）因为11133,1n n n S a a a ++=-++=，当1n =时，22133S a a =-++，解得234a =，当n ≥2时，()1332n n n S a a n -=-++≥，则()11113333n n n n n n n S S a a a a a +++--==-++--++，即()111222n n n n a a a a +--=-，又21122a a -=，所以{}12n n a a +-是首项为12，公比为12的等比数列，所以1122n n n a a +-=，则11221n n n n a a ++-=，又122a =，所以{}2n n a 为首项为2，公差为1的等差数列，（2）由（1）可知：21n n a n =+，则12n nn a +=，所以111211233222n n n n n n n S a ++++++=-⋅++=-又11111232S a -+==-，则()*113N 2n n n S a n -+=-∈，又()11n n n a S a -+>-恒成立，所以()111312n n a --->-，当n 为奇数时，1132n a -->恒成立，而11322n --≥，则a <2；当n 为偶数时，1132n a -->-，而115322n --≥即52a -<，则52a >-；综上所述，实数a 的取值范围为5,2.2⎛⎫- ⎪⎝⎭22．已知函数()2e sin x f x x x =-，[]0,πx ∈(1)求()f x 的最小值.(2)若关于x 的方程()21cos sin e 12x m x x x x x -=---，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个实数根，求m 的取值范围.【正确答案】(1)2(2)π22ππ1e 1,822m ⎡⎫∈-+++-⎪⎢⎣⎭【分析】（1）函数的最值可利用单调性求解.（2）方程在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个实根可转化为函数()()21e 1cos sin 2x h x x x m x x x =-----在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，注意到()00h =，可讨论分析m 什么范围时存在另外一个根.【详解】（1）（1）()()2e sin cos x f x x x x =+'-，[]0,πx ∈令()()2e sin cos x g x x x x =-+()2e 2cos sin x g x x x x =+'-，[]0,πx ∈e 1cos x x ≥≥ ，sin 0x x ≥()0g x '∴>在[]0,πx ∈上恒成立.∴()f x '在[]0π,上单调递增()()020f x f ∴'≥=>'∴()f x 在[]0π,上单调递增()()min 0 2.f x f ∴==（2）令()()21e 1cos sin 2x h x x x m x x x =-----，π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦此时()00h =，()e 1sin x h x x mx x '=--+.令()=e 1x u x x --，则()=e 1x u x '-，当0x <时，()0u x '<，函数()u x 在区间(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0u x '>，函数()u x 在区间()0,∞+上单调递增，所以函数()u x 在0x =时取最小值，所以()()00u x u ≥=，即e 10x x --≥.若0m ≥，e 10x x --≥ ，sin 0mx x ≥()0h x '∴≥在π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立.∴()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，仅有0x =一个零点，不符合题意.令()sin v x x x =-，π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()cos 10v x x '=-≤所以函数()v x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()00v x v ≤=即sin x x ≤.若m <0，则2sin mx x mx ≥令()21e 12x t x x x =---，π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()e 10x t x x '=--≥∴()t x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.()(0)0t x t ∴≥=即21e 12x x x --≥()21e 1sin 2x h x x mx x m x ⎛⎫'∴=--+≥+ ⎪⎝⎭此时，若102m -≤<，则()0h x '≥成立，不满足题意.故12m <-.此时记()0h x '=的另外一个零点为0x ，则()h x 在[]00,x 上单调递减，在0π,2x ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增要使()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上由两个零点，只需π22ππe 10282h m π⎛⎫=---+≥ ⎪⎝⎭又12m <-π22ππ1e 1,822m ⎡⎫∴∈-+++-⎪⎢⎣⎭思路点睛：（1）函数的最值可以利用函数的单调性去判断，本题中因导函数本身正负难以判断，所以考虑先分析导函数的单调性，进而判断导函数在区间的符号，再确定原函数的单调性（2）本题中函数本身比较复杂，导函数的判断也比较困难，可结合导数中常见不等式结论e 1x x ≥+，在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上sin x x >去判断.。

2020年湖北省部分重点中学高二(下)期中数学试卷(理科)

期中数学试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∀x＞0，e x≥ex”的否定是（）A. ∀x＞0，e x＜exB. ∀x≤0，e x＜exC. ∃x0≤0，e x0＜ex0D. ∃x0＞0，e x0＜ex02.已知函数f（x）在x=x0处可导，若=1，则f'（x0）=（）A. 2B. 1C.D. 03.“关于x的不等式x2-2ax+a＞0的解集为R”的一个必要不充分条件是（）A. 0＜a＜1B. 0＜a＜C. 0≤a≤1D. a＜0或a＞4.若双曲线的焦距为，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A. 2B. 4C.D.5.若函数f（x）=ax3-3x2+x+8恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是（）A. （-∞，3）B. （-∞，3]C. （-∞，0）∪（0，3]D. （-∞，0）∪（0，3）6.满足函数f（x）=ln（mx+3）在（-∞，1]上单调递减的充分必要条件是（）A. -4＜m＜-2B. -3＜m＜0C. -4＜m＜0D. -3＜m＜-17.抛物线y2=4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（）A. 10B. 11C. 12D. 6+8.已知函数，则f（x）的极大值点为（）A. B. 1 C. e D. 2e9.若椭圆的中心为原点，F（-4，0）是椭圆的焦点，过F的直线1与椭圆交于M，N两点，且MN的中点为P（-2，1），则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.10.如图，下列三图中的多边形均为正多边形，图①②中M、N是所在边上的中点，图③中M、N为顶点，椭圆均以图中F1，F2为焦点，且点M、N都在椭圆上．图①②③中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则（）A. e1＞e2＞e3B. e3＞e2＞e1C. e1=e3＞e2D. e2＞e1=e311.如果圆柱轴截面的周长为1，则体积的最大值为（）A. B. C. D.12.已知f′（x）是函数f（x）的导函数，f（1）=e，∀x∈R，2f（x）-f′（x）＞0，则不等式f（x）＜e2x-1的解集为（）A. （-∞，1）B. （1，+∞）C. （-∞，e）D. （e，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线y=4x2的焦点坐标是______．14.函数y=的图象在x=1处的切线方程是______．15.dx=______-16.下列四个结论中正确的个数是______（1）f'（x）为f（x）的导函数，若f'（x0）=0，则x0为函数f（x）的极值点；（2）过函数f（x）=x3图象上任一点只能作出一条切线；（3）等轴双曲线的离心率都是；（4）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过定点M（a，0）的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，则•为定值．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（-3，0），（3，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于k（k≠0），试探究顶点C的轨迹．18.设p：≤1，q：x2-（2a+1）x+a（a+1）＜0，若￢q是￢p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点，且PE=PC．（Ⅰ）求PE的长；（Ⅱ）求证：AE⊥平面PBC；（Ⅲ）求二面角B-AE-D的度数．20.已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=m有三个实根，求实数m的取值范围．21.设抛物线C：y2=2x，点A（a，0），B（-a，0），a为正常数，过点A的直线1与C交于M，N两点．（1）求△BMN面积的最小值；（2）证明：∠ABM=∠ABN．22.（1）已知关于x的不等式e x≥ax恒成立，求实数a的取值范围；（2）已知x＞0，证明不等式e x≥．答案和解析1.【答案】D【解析】解：命题是全称命题，则命题的否定是：∃x0＞0，e xo＜ex0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题．根据题意，由极限的性质分析可得=2，由导数的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，若=2=2f′（x0）=1，则f'（x0）=，故选：C．3.【答案】C【解析】解：，“关于x的不等式x2-2ax+a＞0的解集为R”，则△=4a2-4a＜0，解得0＜a＜1；所以“关于x的不等式x2-2ax+a＞0的解集为R”的一个必要不充分条件是0≤a≤1，故选：C．利用判别式得出a的取值范围，再根据必要不充分条件得出命题是否正确．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，一元二次不等式恒成立问题，用集合的观点理解充分必要条件的定义是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：双曲线的焦距为，可得4+m2=4×5，解得m=±4，双曲线的一个焦点到一条渐近线y=±2x的距离等于=4，故选：B．由题设知b，利用点到直线的距离，即可求出结果．本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．5.【答案】D【解析】解：∵函数f（x）=ax3-3x2+x+8，∴f′（x）=3ax2-6x+1，由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，∴3ax2-6x+1=0满足：a≠0，且△=36-12a＞0，解得a＜3，∴a∈（-∞，0）∪（0，3）．故选：D．求出函数的导函数，利用导数有两个不同的零点，说明函数恰好有三个单调区间，从而求出a的取值范围．本题考查导数在研究函数单调性的应用，运用了方程思想．属于基础题．6.【答案】B【解析】解：若f（x）=ln（mx+3）在（-∞，1]上单调递减，则满足m＜0且m+3＞0，即m＜0且m＞-3，则-3＜m＜0，即f（x）在（-∞，1]上单调递减的一个充分必要条件是-3＜m＜0，故选：B．根据复合函数的单调性，求出m的取值范围即可．本题主要考查复合函数单调性的判断，不忽视函数的定义域是解决本题的关键．属于基础题．7.【答案】B【解析】解：求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，因此最小值为x A-（-1）=5+1=6，∵|AF|==5，∴△MAF周长的最小值为11，故选：B．求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值．设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，因此问题转化为求|MA|+|MD|的最小值，根据平面几何知识，当D、M、A三点共线时|MA|+|MD|最小，由此即可求出|MA|+|MF|的最小值．考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，是解题的关键．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，求出f′（e）的值是解题的关键．求出f′（e）的值，求出函数f（x）的解析式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值点即可．【解答】解：f′（x）=-，令x=e，可得：f′（e）=，∴f（x）=2ln x-，令f′（x）=-＞0，解得：0＜x＜2e；令f′（x）＜0，解得：x＞2e.故f（x）在（0，2e）递增，在（2e，+∞）递减，∴x=2e时，f（x）取得极大值2ln2，则f（x）的极大值点为：2e．故选：D．9.【答案】C【解析】解：根据题意，F（-4，0）是椭圆的焦点，则椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为，且M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN过焦点F，则K MN==，则有=，变形可得y1-y2=（x1-x2），，①-②，，又由y1-y2=（x1-x2），且x1+x2=-4，y1+y2=2，变形可得：4b2=a2，又由c=4，则a2-b2=16，解可得：a2=，b2=，e===．故选：C．根据题意，设椭圆的方程为，且M（x1，y1），N（x2，y2），分析可得直线MN的斜率，则有=，变形可得y1-y2=（x1-x2），点M、N在直线上，利用平方差法，转化求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，属于综合题．10.【答案】D【解析】解：不妨均以F1F2所在直线为x轴，设焦点为（±1，0），则①等边三角形的边长为2，且过点N（，），∵（，）到两个焦点（-1，0），（1，0）的距离分别是=和=1，∴a=，c=1，∴e1==；②正方形的边长为，则双曲线的焦点坐标为（-1，0）和（1，0），且过点（，），∵（，）到两个焦点（-1，0），（1，0）的距离分别是=和=，∴a=，c=1，∴e2==．③正六边形的边长为1，且过点（，），∵点（，）到两个焦点（-1，0）和（1，0）的距离分别为和1，∴a=，c=2，∴e3==；因为＜，故e2＞e1=e3，故选：D．根据条件，用特殊值法，建立直角坐标系，得到正多边形的边长，逐一对应图形求出几何量a，c，即可得到离心率．本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r+2h=1，∴h=，V=πr2h=（0＜r＜），则V′=πr-6πr2，令V′=0，得r=0，或r=，由r＞0，得r=是唯一极值点，∴当r=时，V取得最大值为（）3π．故选：A．设圆柱底面半径为r，高为h，可得4r+2h=1，可得h=，圆柱体积V=πr2h=（0＜r＜），再利用导数即可求出结果．本题考查圆柱的体积的最大值的求法，考查圆柱的轴面的性质、圆柱的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】B【解析】【分析】所解不等式等价变形为=，构造函数g（x）=，求导可得其单调性，可解．此题考查了构造函数法，利用导数研究函数的单调性等，难度较大．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）==，∵2f（x）-f′（x）＞0，∴g′（x）＜0，∴g（x）递减，不等式f（x）＜e2x-1⇔==⇔g（x）＜g（1）⇔x＞1，故选：B．13.【答案】【解析】解：由题意可知∴p=∴焦点坐标为故答案为先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．本题主要考查抛物线的性质．属基础题．14.【答案】x-y-1=0【解析】解：函数y=的导数为y′=，可得图象在x=1处的切线斜率为k=1，切点为（1，0），则图象在x=1处的切线方程为y=x-1，即x-y-1=0．故答案为：x-y-1=0．求得函数y的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：dx==，其中表示的是以为半径的圆的面积的，为，，所以dx==．故答案为：．dx==，其中利用定积分的几何意义，表示的是以为半径的圆的面积的，后者结合牛顿-莱布尼茨公式进行计算即可．本题考查定积分的计算，解题的关键点是理解定积分的几何意义，考查学生的运算能力，属于基础题．16.【答案】（2）（3）（4）【解析】解：对于（1），不妨取f（x）=x3，那么f‘（0）=0，但x0=0却不是f（x）的极值点，故f（x）的导函数为f′（x），若f′（x0）=0，则x0是函数f（x）的极值点是假命题．故（1）错误；对于（2），若点在曲线上，过点的切线只有一个，所以过函数f（x）=x3图象上任一点可作一条且只能作一条切线，故（2）正确；对于（3），等轴双曲线是指实轴和虚轴长度相等，即2a=2b，a=b，所以c2=a2+b2，从而c2=2a2，所以离心率，故（3）正确；对于（4），不妨设点A（x1，y1），点B（x2，y2），直线斜率为k，则，过点M的直线为y=k（x-a），联立抛物线方程和直线方程消y可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得，同理可得y1y2=-2ap，所以为常数，故（4）正确；故答案为：（2）（3）（4）．通过函数的极值点的判断方法判断（1）的正误；根据三次函数的性质及导数的几何意义判断（2）即可；（3）考查离心率的求法，（4）考察利用韦达定理证明．本题结合导数和圆锥曲线知识点及性质考查命题真假的判定，需要熟练掌握相关知识点和性质，综合性较强，但是考查知识点较基础．17.【答案】解：设点C的坐标为（x，y），由题意得k AC•k BC=k，所以（x≠±3）又k≠0整理可得，（x≠±3）；…（4分）当k＜-1时，点C的轨迹是焦点在y轴的椭圆，除两点（-3，0），（3，0）；…（6分）当k=-1时，点C的轨迹是圆x2+y2=9，并除去两点（-3，0），（3，0）；…（8分）当-1＜k＜0时，点C的轨迹是焦点在x轴的椭圆，除两点（-3，0），（3，0）；…（10分）当k＞0时，点C的轨迹是焦点在x轴的双曲线，除两点（-3，0），（3，0）．…（12分）【解析】设出顶点C的坐标，由AC，BC所在直线的斜率之积等于k（k≠0），列式整理得到顶点C的轨迹的方程，然后分k的不同取值范围判断轨迹为何种圆锥曲线．本题考查了与直线有关的动点轨迹方程，考查了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．18.【答案】解：由≤1得-1=≤0∴-≤x＜2，即p：-≤x＜2………………………………………………（3分）由x2-（2a+1）x+a（a+1）＜0得[x-（a+1）]（x-a）＜0得a＜x＜a+1，∴即q：a＜x＜a+1………………………………………………（3分）∵￢q是￢p的必要不充分条件∴p是q的必要不充分条件∴（a，a+1）⊊[-，2）………………………………………………（8分）∴，得，解得-≤a≤1．………………………………………………（10分）【解析】结合不等式的性质求出p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件与集合关系进行转化是解决本题的关键．19.【答案】（Ⅰ）解：∵四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点，且PE=PC，∴AC==，∴PC===，∴PE=PC=．（Ⅱ）证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，2），E（），B（2，0，0），=（），=（2，0，-2），=（1，1，-2），==0，==0，∴AE⊥PB，AE⊥PC，又PB∩PC=P，∴AE⊥平面PBC．（Ⅲ）解：D（0，1，0），=（2，0，0），=（0，1，0），=（），设平面ABE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，-1），设平面ADE的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，-1），设二面角B-AE-D的度数为θ，则cos（π-θ）=cos＜，＞===．∴θ=120°，∴二面角B-AE-D的度数为120°．【解析】（Ⅰ）利用勾股定理求出AC长，从而得到PC长，由此能求出PE．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥平面PBC．（Ⅲ）求出平面ABE的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出二面角B-AE-D 的度数．本题考查线段长的求法，考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.【答案】解：（1）函数f（x）=（x≠-）的导数为f′（x）=，当x＜-时，f′（x）＜0，f（x）递减；当-＜x＜-或x＞-时，f′（x）＞0，f（x）递增，则f（x）的减区间为（-∞，-），f（x）的增区间为（-，-），（-，+∞）；（2）关于x的方程f（x）=m有三个实根等价为y=f（x）和y=m的图象有三个交点，由f（x）的单调区间可得f（x）在x=-处取得极小值，由图象可得m＞时，关于x的方程f（x）=m有三个实根．【解析】（1）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（2）由题意可得y=f（x）和y=m的图象有三个交点，求得f（x）的极小值，结合图象可得所求m的范围．本题考查导数的运用：求单调性和极值，考查函数方程的关系，注意运用转化思想和数形结合思想，属于中档题．21.【答案】解：（1）如图所示：，显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x=my+a，联立方程，消去x得：y2-2my-2a=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴y1+y2=2m，y1y2=-2a，∴S△BMN===a×，∴当m=0时，△BMN面积最小，最小值为2a；（2）①当直线l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN，②当直线l与x轴不垂直时，如图所示：，设直线l的方程为：y=k（x-a）（k≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，联立方程，消去x得：ky2-2y-2ak=0，∴，，直线BM，BN的斜率之和为：k BM+k BN=+==①，将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式得：x2y1+x1y2+a（y1+y2）=+2a（y1+y2）==0，∴k BM+k BN=0，∴直线BM，BN的斜率之和为0，倾斜角互补，∴∠ABM=∠ABN，综上所述，∠ABM=∠ABN．【解析】（1）显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x=my+a，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得S△BMN===a×，所以当m=0时，△BMN面积最小，最小值为2a；（2）将待证结论∠ABM=∠ABN，转化为证k BM+k BN=0，当直线l与x轴垂直时，显然∠ABM=∠ABN，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x-a），与抛物线非常联立，利用韦达定理化简k BM+k BN==0，即得∠ABM=∠ABN．本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于中档题．22.【答案】解：（1）当x=0时，a∈R，不等式恒成立，当x＞0时，可得a≤，令f（x）=，x＞0，则，易得，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x=1时，函数取得最小值f（1）=e，故a≤e，当x＜0时，可得a≥，令f（x）=，x＜0，则＜0，故f（x）在（-∞，0）上单调递减，又因为x→-∞时，f（x）→0，且f（x）＜0，故a≥0，综上可得，a的范围[0，e]；（2）令g（x）=，x＞0，则，易得，当x＞2时，g′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2时，g′（x）＜0，函数单调递减，故当x=2时，g（x）取得最小值g（2）=，所以，所以=（）2．【解析】（1）分别就x=0，x＞0，x＜0三种情况，分离参数后构造函数，结合导数可求；（2）把原不等式进行合理的变形后，构造函数，可转化为求解相应函数的范围，结合导数可求．本题主要考查了由不等式的恒成立求解参数的范围问题，分离参数后合理的构造函数，并利用导数求解相应函数的最值是常见的处理方法．。

湖北重点高二下学期期中联考数学试题(解析版)

一、单选题1．已知曲线，那么曲线在点处的切线斜率为（）3:()2C f x x x =-+(1,2)P A ．B ．C ．2D ．2或14-1414-【答案】C【分析】求出曲线的导数，代入切点坐标即可求出对应切线斜率. C 【详解】，，2()31x f x '=-(1)312f =-='根据导数几何含义可知曲线在点处的切线斜率为2. (1,2)P 故选：C.2．已知，则x 的值是（）6231212C C x x --=A ．3 B ．6 C ．9 D ．3或9【答案】A【分析】根据组合数的性质求解即可.【详解】由，6231212C C x x --=得或， 623x x -=-62312x x -+-=解得或，3x =9x =当时，，不符合组合数的定义，所以舍去. 9x =63x -=-故选：A.3．函数的单调递增区间是（） ()2ln f x x x =-A ． B ． C ． D ．(,2)-∞(2,2)-(0,2)(2,)+∞【答案】D【分析】直接求导，令，解出即可.()0f x '>【详解】由已知， 22()1x f x x x'-=-=定义域为，由得． (0,)+∞()0f x '>2x >∴的增区间为． ()f x (2,)+∞故选：D ．4．在的展开式中，含项的系数是（） ()()()()34561111x x x x +++++++3x A ． B ．C ．D ．15213556【答案】C【分析】当且时，求出的展开式中含的系数，即可求得3n ≥n *∈N ()1nx +3x 的展开式中含项的系数.()()()()34561111x x x x +++++++3x 【详解】当且时，的展开式通项为，3n ≥n *∈N ()1nx +()1C 0,k k k n T x k n k *+=⋅≤≤∈N 展开式中含项的系数是，3x 3C n 所以，在的展开式中，()()()()34561111x x x x +++++++含项的系数.3x 33333456C C C C 14102035+++=+++=故选：C.5．已知函数为的导函数，则的大致图象是（） ()()21cos ,4f x x x f x =+'()f x ()f x 'A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】求出，判断奇偶性，并结合特殊值验证，即可判断出答案. ()1sin 2f x x x '=-【详解】由可知， ()21cos 4f x x x =+()1R,sin 2x f x x x ∈∴=-'则，即为奇函数，故A ，D 错误；()()1sin 2f x x x f x -=-+-'='()f x '又，故C 错误，B 正确， ππ1π6()0612212f -'=-=<故选：B6．某高校有名志愿者参加月日社区志愿工作，每人参加一次值班，若该天分早、中、晚三651班，每班至少安排人，最多安排人，则当天不同的排班种类为（） 13A ． B ．C ．D ．75450540900【答案】B【分析】先将名志愿者分为组，确定每组的人数，然后将这三组志愿者分配到早、中、晚三63班，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】将名志愿者分为组，每组的人数可以是：①、、；②、、, 63222123再将这三组志愿者分配到早、中、晚三班，所以，当天不同的排班种类为. ()2221233642653333C C C C C C A 15606450A ⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭故选：B.7．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，α，当比较小的时候，取广义二项2(1)(1)(1)(1)11!2!!k k x x x x k ααααααα---++=+⋅+⋅++⋅+ ||x 式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数(1)1x x αα+≈+⋅||x1121 2.2524⎛⎫===≈⨯+⨯=⎪⎝⎭（） A ．2.056 B ．2.083 C ．2.125 D ．2.203【答案】B【分析】，然后根据题中的方法计算即可.131218⎡⎤=⨯+⎢⎥⎣⎦1311122121 2.083838⎡⎤⎡⎤====⨯+≈⨯+⨯≈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故选：B8．设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点()f x '()y f x =()f x ''()f x '()0f x ''=0x 为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是()()0,x f x ()y f x =对称中心．设，数列的通项公式为，则32()657f x x x x =-++{}n a 25n a n =-（）()()()126f a f a f a ++= A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】C【分析】根据题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即可得，然(2,1)()(4)2f x f x +-=后利用此结论可求得答案.【详解】由，得，32()657f x x x x =-++()()23125,612f x x x f x x '''=-+=-由可得：， ()0f x ''=2x =因为(2)1f =所以的图象关于点对称， ()f x (2,1)所以， ()(4)2f x f x +-=因为，25n a n =-所以，1234563,1,1,3,5,7a a a a a a =-=-====所以，，， 16()()2f a f a +=25()()2f a f a +=34()()2f a f a +=所以， ()()()126326f a f a f a ++=⨯= 故选：C二、多选题9．下列函数求导运算正确的是（）A ．B ．2331x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2ln 2ln x x x x '=C ．D ． e e x x'⎛= ⎝21(tan )cos x x'=【答案】CD【分析】直接利用导数的运算法则与基本初等函数的导函数逐一求解得答案. 【详解】对于A ，，故选项A 错误；23331x x x x x ''⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'对于B ，，故选项B 错误； ()()()222ln ln ln 2ln x x x x x x x x x '''=+=+对于C ，C 正确； ()e e e ''⎛'=-=+ ⎝x x x对于D ，，故选项D 正确； 2222sin cos sin 1(tan )cos cos cos x x x x x x x '+⎛⎫'=== ⎪⎝⎭故选：CD.10．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（） A ．若女生必须站在一起，那么一共有种排法 5335A AB ．若女生互不相邻，那么一共有种排法 3434A A C ．若甲不站最中间，那么一共有种排法1666C A D ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法 7676A 2A -【答案】AC【分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.【详解】选项,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种，加上4名男生一共A 33A 有5个个体，则有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确； 55A 5335A A A 选项,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有种，再将3名女生插入空B 44A 中，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故不正确；35A 4345A A B 选项,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方C 式有种，再将剩余的6人全排列，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故16C 66A 1666C A 正确；C 选项,利用间接法，3人站成一排共有种排法，若甲站最左边有种排法，乙站最右边有D 77A 66A 66A 种排法，甲站最左边且乙站最右边有种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有55A 种排法，故不正确；765765A 2A A -+D 故选：AC.11．函数恰有3个单调区间的充分不必要条件是（） 32()31f x ax x x =++-A ． B ．C ．D ．(,3)a ∈-∞(0,3)a ∈(,0)(0,3)a ∈-∞ (,0)a ∈-∞【答案】BD【分析】根据函数恰有3个单调区间，可得导函数有两个32()31f x ax x x =++-2()361f x ax x '=++不同的零点，从而可得，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.0Δ0a ≠⎧⎨>⎩a 【详解】，2()361f x ax x '=++因为函数恰有3个单调区间，32()31f x ax x x =++-所以函数有两个不同的零点，2()361f x ax x '=++所以，解得且，0Δ36120a a ≠⎧⎨=->⎩3a <0a ≠所以，()(),00,3a ∈-∞⋃则函数恰有3个单调区间的充分不必要条件是BD 两个选项. 32()31f x ax x x =++-故选：BD.12．已知函数，，则（） ()()1ln x f x m x x =->()()e 0xg x m x x =->A ．若函数有两个不同的零点，则 ()f x e m >B ．若函数恒成立，则()0g x ≥e m ≤C ．若函数和共有两个不同的零点，则()f x ()g x 1m =D ．若函数和共有三个不同的零点，记为、、，且，则()f x ()g x 1x 2x 3x 123x x x <<2132x x x ⋅=【答案】ABD【分析】对于A ，利用参变量分离法可知直线与函数的图象有两个交点，数y m =()()1ln xh x x x=>形结合可判断A 选项；对于B ，由参变量分离法可得，利用导数求出函数()e 0x m x x ≤>()e xp x x=的最小值，可判断B 选项；对于C ，由参变量分离法可知，直线与函数、y m =()()1ln xh x x x=>的图象共有两个交点，数形结合可判断C 选项；对于D ，先利用同构法得到()()e 0xp x x x=>，再利用的单调性结合图像得到，，进而证得，可判()()e x p x h =()h x 12x e x =23ln x x =2132x x x ⋅=断D 选项.【详解】对于A 选项，由，可得， ()0f x =()1ln xm x x=>令，则直线与函数的图象有两个交点， ()()1ln x h x x x =>y m =()()1ln xh x x x=>，由可得，由可得，()()2ln 1ln x h x x -'=()0h x '<1e x <<()0h x '>e x >所以，函数的减区间为，增区间为，函数的极小值为，如图所示： ()h x ()1,e ()e,+∞()h x ()e e h =由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， e m >y m =()()1ln xh x x x=>即函数有两个不同的零点，A 对；()f x对于B 选项，由可得，令，其中，()0g x ≥()e 0x m x x ≤>()e xp x x=0x >，由可得，由可得， ()()2e 1x x p x x -'=()0p x '<01x <<()0p x '>1x >所以，函数的减区间为，增区间为， ()p x ()0,1()1,+∞故，所以，，B 对； ()()min 1e p x p ==()min e m p x ≤=对于C 选项，令，可得， ()0g x =()m p x =因为函数、共有两个不同的零点，()f x ()g x 则直线与函数、的图象共有两个交点， y m =()()1ln x h x x x =>()()e0xp x x x=>由图可知，当时，直线与函数、的图象共有两个交e m =y m =()()1ln x h x x x =>()()e 0xp x x x=>点，因此，若函数和共有两个不同的零点，则，C 错； ()f x ()g x e m =对于D 选项，若函数和共有三个不同的零点， ()f x ()g x 则直线经过与的交点，如图所示，y m =()p x ()h x因为，所以， ()()e e e ln e x x xxp x h x ===()()()112e x h p x h x ==因为，所以，101x <<11x e e <<又，且在上单调递减，故，21e x <<()h x ()1,e 12e xx =同理：，即，23e xx =23ln x x =又由得，故，故D 正确. ()()13p x h x =1313e ln x x x x =121332ln x x x e x x ⋅==故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化x 归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数()0f x =()a g x =y a =的图象的交点问题.()y g x =三、填空题13．在的展开式中，含的项系数为_________． 4(12)(1)++x x 3x 【答案】16【分析】利用二项展开式的通项公式求解.【详解】由已知得，444(12)(1)(12)(1)x x x x x =+++++展开的通项为，则该项的项系数为，4(1)x +414C r rr T x -+=3x 14C 4=该项的项系数为，则中的项系数为，2x 24C 6=42(1)x x +3x 2612⨯=所以的展开式中，含的项系数为， 4(12)(1)++x x 3x 41216+=故答案为：.1614．已知函数满足，则_______． ()f x 2()(1)ln f x f x x x '=-(e)f '=【答案】2e 2-【分析】根据导数的运算法则求出，令求出，然后令求出即可． ()y f x '=1x =(1)f 'e x =(e)f '【详解】， ()2(1)1ln f x f x x ''=-- ，解得， (1)2(1)1ln1f f ''=--∴(1)1f '=，(e)2(1)e 1ln e 2e 2f f ∴''=--=-故答案为：．2e 2-15．为了推动农业高质量发展，实施一二三五计划，枣阳市政府将枣阳市划分成①湖垱生态农业区，②桐柏山生态农业区，③数字农业区，④生态走廊区和⑤大洪山生态农业区五个发展板块（如下图），现用四种颜色给各个板块着色，要求有公共边界的两个板块不能用同一种颜色，则不同的着色方法有_________种．【答案】72【分析】按先后顺序分别涂区域③④①②⑤，确定每个区域的涂色方法种数，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】先涂区域③，有种选择，接下来涂区域④，有种选择， 43接下来涂区域①②，涂区域①有种选择，涂区域②有种选择， 21最后涂区域⑤，有种选择，3由分步计数原理可知，不同的着色方法种数为种. 4321372⨯⨯⨯⨯=故答案为：.7216．已知函数的导函数为，对，都有，且，若()f x ()f x 'x ∀∈R ()()()2e xf x f x x a '=--()01f =在上有极值点，则实数的取值范围是_________． ()f x ()2,4a 【答案】()3,5【分析】由已知等式变形可得，可得出，根据()()2exf x f x x a '-=-()()2e xf x x ax c =-+()01f =可求得的值，然后求出方程的根，根据在上有极值点可得出关于实数的不c ()0f x '=()f x ()2,4a 等式，解出的取值范围，再结合极值点的定义验证即可.a 【详解】第，，可得，x ∀∈R ()()()2e xf x f x x a '=--()()2e xf x f x x a '-=-即，其中为常数，所以，，()()2e x f x x ax c '⎡⎤'=-+⎢⎣⎦c ()2e x f x x ax c =-+故，其中为常数， ()()2e xf x x ax c =-+c 因为，故，()01f c ==()()21e xf x x ax =-+所以， ()()()()()222e 1e 21e x x xf x x a x ax x a x a '⎡⎤=-+-+=----⎣⎦，()()11e x x x a =+--⎡⎤⎣⎦令可得或，()0f x '==1x -1x a =-因为函数在上有极值点，则，解得， ()f x ()2,4214a <-<35a <<此时，由可得，由可得或， ()0f x '<11x a -<<-()0f x ¢>1x <-1x a >-所以，函数在上单调递减，在上单调递增， ()f x ()2,1a -()1,4a -所以，函数在上有唯一的极小值点， ()f x ()2,4因此，实数的取值范围是. a ()3,5故答案为：.()3,5四、解答题17．设，求下列各式的值；7270127(12)x a a x a x a x +=++++L (1)；127a a a +++ (2)． ()()2202461357a a a a a a a a +++-+++【答案】(1) 731-(2) 73-【分析】（1）赋值法，分别令和解出和即可得出结果； 0x =1x =0a 7012a a a a ++++ （2）根据平方差公式将所求变形为，然后用赋值法分别令和()()0123456701234567a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++-+-+-+-1x =即可求得结果．=1x -【详解】（1）令得0x =01a =令，得1x =701273a a a a ++++=771270331a a a a ∴+++=-=- （2）令，得 =1x -701234567(1)1a a a a a a a a -+-+-+-=-=-()()2202461357a a a a a a a a ∴+++-+++()()0123456701234567a a a a a a a a a a a a a a a a =+++++++-+-+-+-773(1)3=⨯-=-18．已知函数在时有极大值2． 3211()33f x x ax bx =--+=1x -(1)求常数a ，b 的值；(2)求在区间上的最值． ()f x [2,5]-【答案】(1)， 1a =3b =(2)最小值为，最大值为2. 263-【分析】（1）求出导数，由已知可得和联立即可求解； ()10f '-=()12f -=（2）利用导数求出函数在的单调区间，即可求出函数的最值. [2,5]-【详解】（1）由，得， 3211()33f x x ax bx =--+2()2f x x ax b '=--∵在时有极小值2， ∴，∴，解得. ()f x =1x -()()1012f f ⎧-=⎪⎨-='⎪⎩12011233a b a b +-=⎧⎪⎨--++=⎪⎩13a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）知，， 2()23(1)(3)f x x x x x ==+'---令，则或，()0f x '==1x -3x =在区间上，当变化时，,的变化情况如下表： [2,5]-x ()f x ()f x x2-(2,1)--1-(1,3)- 3(3,5) 5()f x '+0-0+()f x13-↑2↓263-↑ 2故的最小值为，最大值为2. ()f x 263-19．在二项式中，求：10x ⎛⎝(1)展开式中含项的二项式系数； 4x (2)展开式中系数最大的项．【答案】(1) 210(2)75x【分析】运用二项式定理分别计算.【详解】（1）展开式的第项为 1r+31010211010C C 3rr r r r r r T xx ---+==令，得；的二项式系数为；31042r -=4r =4x ∴410C 210=（2）设展开式中第项系数为最大，则1r +110C 3(010,)r rr a r r N -+=≤≤∈ ， 111010111010C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r ----+--⎧≥⎨≥⎩即 1110!10!33!(10)!(1)!(11)!10!10!33!(10)!(1)!(9)!r r r r r r r r r r r r -----⎧≥⎪---⎪⎨⎪≥⎪-+-⎩11474r r ⎧≤⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩又且010r ≤≤ N 2r r ∈∴=∴展开式中系数最大的项是； 221037310C 35T xx --==综上，的二项式系数为，展开式中系数最大的项是. 4x 410C 210=221037310C 35T xx --==20．在①；②的图象在点处的切线斜率为0；③的递减区间为(ln 3)2f '=()f x (0,(0))f ()f x (0,ln 2)，这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答．已知． 21()e (2)e 22=-++xx f x a ax (1)若_________，求实数a 的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） (2)若，讨论函数的单调性． a ∈R ()f x 【答案】(1)条件选择见解析， 1a =(2)答案见解析【分析】（1）利用求导数的值，导数的几何意义，导数研究函数的单调性等知识求解参数a 的值；（2）根据含参函数单调性的讨论进行分类讨论.【详解】（1）()()2()e (2)e 2e 2e '=-++=--x x x xf x a a a 选条件①则 (ln 3)(32)(3)21f a a '=--=∴=选条件②则(0)(12)(1)01f a a '=--=∴=选条件③则依题意0和是的两个根ln 2()()()20x xf x e e a '=--=1a ∴=（2）()()2()e (2)e 2e 2e '=-++=-- x x x xf x a a a 则可以分以下几种情况讨论： ①当时，令即， 0a ≤()0f x '>ln 2x >令即；()0f x '<ln 2x <在上单调递减，在上单调递增；()f x ∴(,ln 2)-∞(ln 2,)+∞②当时，令即或， 02a <<()0f x '>ln 2x >ln x a <令即；()0f x '<ln ln 2a x <<在上单调递增，在上单调递减；()f x ∴(,ln ),(ln 2,)a -∞+∞(ln ,ln 2)a ③当时，，在R 上单调递增； 2a =()2()e 20'=-≥x f x ()f x ∴④当时，令即或， 2a >()0f x '>ln x a >ln 2x <令即()0f x '<ln 2ln x a <<在上单调递增，在上单调递减；()f x ∴(,ln 2),(ln ,)a -∞+∞(ln 2,ln )a 综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增； 0a ≤()f x (,ln 2)-∞(ln 2,)+∞②当时，在上单调递增，在上单调递减； 02a <<()f x (,ln ),(ln 2,)a -∞+∞(ln ,ln 2)a ③当时，在R 上单调递增；2a =()f x ④当时，在上单调递增，在上单调递减．2a >()f x (,ln 2),(ln ,)a -∞+∞(ln 2,ln )a 21．已知函数．()()()()e 211,xf x x a x a =---∈R (1)若，求函数在点处的切线方程； e a =()f x (1,(1))f (2)若函数有两个零点，求实数a 的取值范围． ()f x 【答案】(1)2e e y x =-(2)32(0,1)4e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；(1)f (1)f '（2）分离参数，构造函数求导，求出函数的单调区间，结合函数图象及零点个数求解a 的范围即可.【详解】（1）当时,，e a =()e (21)e(1)xf x x x =---，， ()e (21)2e e 2e e e x x x x f x x x ∴=-+-=+-'()12e f ∴'=又，即切点为，1(1)e (211)e(11)e f =⨯---=(1,e)切线方程为：，即；∴e 2e(1)y x -=-2e e y x =-（2），，由得，(1)e 0f =≠ 1x ∴≠()0f x =e (21)(1)1x x a x x -=≠-令，e (21)()(1)1x x g x x x -=≠-则， ()()2222e 23e (21)2e (1)e (21)e 23()(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x g x x x x ⎡⎤--+----⎣⎦=-'==--由得或，由得或， ()0g x '>32x >0x <()0g x '<01x <<312x <<即在区间上单调递增，在区间上单调递减.()g x 3(,0),,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭3(0,1),1,2⎛⎫⎪⎝⎭又趋向于负无穷大时，无限趋近于0，且，x ()g x ()32301,4e 2g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭图象如下图：()g x ∴由函数有两个零点得，函数与有两个交点， ()f x e (21)()(1)1x x g x x x -=≠-y a =由图可知，或，01a <<324e a >故a 的取值范围为.()320,14e ,∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭22．已知函数．2()ln ,()f x x x ax a =+-∈R (1)若对任意的，都有恒成立，求实数a 的取值范围； ,()0x ∈+∞2()f x x ≤(2)设存在两个极值点且．若，证明：． ()f x 12,x x 12x x <110x 2<<()()123ln 24f x f x ->-【答案】(1)1ea ≥(2)证明见解析【分析】（1）根据含参不等式，孤立参数，构造函数转化为函数最值问题，即可求得参数a 的取值范围；（2）根据函数的极值点确定的关系，从而可将双变量不等式转化为单变量不等式，构造函数12,x x求最值即可证得结论.【详解】（1）对任意的，都有即恒成立，,()0x ∈+∞2()f x x ≤ln x ax ≤对恒成立，即， ln xa x ∴≥(0,)∀∈+∞x maxln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭设，则，ln ()x g x x=21ln ()xg x x -'=令，则；令，则，()0g x '>0e x <<()0g x '<e x >在上单调递减，在上单调递增，()g x ∴(e,)+∞(0,e)，max 1()(e)eg x g ∴== 1ea ∴≥（2）证明：，，2()ln f x x x ax =+- 2121()2,(0)x ax f x x a x x x -+'∴=+-=>因为存在两个极值点，所以存在两个互异的正实数根，()f x 12,x x 2210x ax -+=12,x x 则，解得2Δ8002a a ⎧=->⎪⎨>⎪⎩a >由根与系数关系得，12121,22a x x x x +=⋅=则，所以，2112x x =211121212x xx x x ==所以()()2212111222ln ln f x f x x x ax x x ax -=+---+()()2211212122ln2x x x x x x x x ⎡⎤=+--+-⎣⎦， ()221122lnx x x x =+-+211211ln 22ln 4x x x =+-+令，则， 221()ln 22ln 4g x x x x =+-+()22332121()222x g x x x x x -'=--=-，，在上单调递减， 102x <<()0g x '∴<()g x ∴10,2⎛⎫⎪⎝⎭，而，即，1()2g x g ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭13ln 224g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()13ln 24g x >-．()()123ln 24f x f x ∴->-【点睛】思路点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

湖北省高二下学期期中联考数学试题(解析版)

一、单选题1．抛物线的焦点坐标是（）22y x =A ．B ．C ．D ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标.【详解】由可得，焦点在轴的正半轴上，设坐标为， 22y x =212x y =y 0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，解得，所以焦点坐标为.122p =14p =10,8⎛⎫⎪⎝⎭故选:D.2．已知函数f （x ）在处的导数为12，则（）0x x =000()()lim 3x f x x f x x∆→+∆-=∆A ．-4 B ．4C ．-36D ．36【答案】B【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可.【详解】根据题意，函数在处的导数， ()f x 0x x =()12f x '=则，()()()()()00000Δ0Δ0ΔΔ11limlim 43Δ3Δ3x x f x x f x f x x f x f x x x →→+-+-='==故选：B3．从1，2，3，0这四个数中取三个组成没有重复数字的三位数，则三位数的个数为（） A ．24 B ．48 C ．18 D ．36【答案】C【分析】利用分步计数原理和排列数即可求解.【详解】先排末位则有种，再从剩下的三个选两个进行排列则，13C 3=23A 326=⨯=根据分步计数原理可得种， 1863=⨯故选：C.4．已知上可导函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集R ()f x ()f x '()f x ()0xf x '>为（）A ．B ． ()(),22,∞∞--⋃+()()212-∞-,,UC ．D ．()()1,01,-⋃+∞()()1,02,-⋃+∞【答案】C【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论． ()0f x '>()0f x '<【详解】由图象知的解集为，的解集为，()0f x '>(,1)-∞-(1,)⋃+∞()0f x '<(1,1)-或，()0xf x '>0()0x f x ⇔'>⎧⎨>⎩()0x f x '<⎧⎨<⎩所以或，解集即为． 1x >10x -<<()()1,01,-⋃+∞故选：C5．在数列中，已知，则的前10项的和为（）{}n a 132nn n a a ++=⋅{}n a A ．1023 B ．1024 C ．2046 D ．2047【答案】C【分析】利用，表示出的前10项的和，通过等比数列前n 项和公式求解即可.132nn n a a ++=⋅{}n a 【详解】132nn n a a ++=⋅ ，，，，， 2132a a ∴+=⨯34332a a +=⨯56532a a +=⨯78732a a +=⨯910932a a +=⨯则的前10项的和为.{}n a ()935792243222223204614-⨯⨯++++=⨯=-故选：C.6．已知函数，下列说法中错误的是（）()33f x x x =-A ．函数在原点处的切线方程是 ()f x ()0,030x y +=B ．是函数的极大值点1-()f x C ．函数在上有个极值点 ()cos y x f x =+R 2D ．函数在上有个零点 ()cos y x f x =-R 2【答案】D【分析】通过导数的几何意义判断选项A ，通过导数确定的单调性和极值，判断选项B ，进()f x 一步通过的图象与图象的交点个数，判断选项D ，构造函数，通()y f x =cos y x =()cos y x f x =+过多次求导，判断的单调区间和极值判断选项C.()cos y x f x =+【详解】∵，∴定义域为，()33f x x x =-()f x R ∴，()233f x x ¢=-对于A ，由导数的几何意义，函数在原点处的切线的斜率， ()f x ()0,0()03k f '==-∴函数在原点处的切线方程为，即，故选项A 说法正确；()f x ()0,0()030y x -=--30x y +=对于B ，令，解得或，()2330f x x '=-==1x -1x =当时，，在区间和单调递增； ()(),11,x ∈-∞-⋃+∞()0f x ¢>()f x (),1-∞-()1,+∞当时，，在区间单调递减， ()1,1x ∈-()0f x '<()f x ()1,1-∴在时取得极大值，在时取得极小值， ()f x =1x -1x =∴是函数的极大值点，故选项B 说法正确；1-()f x 对于C ，∵，∴，()cos y x f x =+()2sin sin 33y x f x x x ''=-+=-+-令，则，()2sin 33g x y x x '==-+-()cos 6g x x x '=-+令，则当时，， ()()cos 6h x g x x x '==-+x ∈R ()sin 60h x x '=+>∴在上单调递增，()()cos 6h x g x x x '==-+R且，， ()()0010h g '==-<πππ066h g ⎛⎫⎛⎫'==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，使，0π0,6x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()()000h x g x '==当时，，在区间单调递减， ()0,x x ∈-∞()0g x '<()y g x '=()0,x -∞当时，，在区间单调递增，()0,x x ∈+∞()0g x '>()y g x '=()0,x +∞∴在上的最小值为， ()y g x '=R ()()22min00000sin 33sin 31y g x x x x x '==-+-=-+-∵，∴，，∴， 0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0sin 0x >2010x -<()()2min000sin 310y g x x x '==-+-<又∵，()()()2ππ3π10g g -==->∴，使，，使，()10π,x x ∃∈-()110x x y g x ==='()20,πx x ∃∈()220x x y g x ==='∴当时，，在区间和上单调递()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞()0y g x '=>()cos y x f x =+()1,x -∞()2,x +∞增，当时，，在区间上单调递减， ()12,x x x ∈()0y g x '=<()cos y x f x =+()12,x x ∴函数的极大值点为，极小值点为， ()cos y x f x =+1x 2x ∴函数在上有个极值点，故选项C 说法正确；()cos y x f x =+R 2对于D ，由选项B 的判断知，的极大值为，极小值为， ()f x ()12f -=()12f =-又∵，∴与在同一平面直角坐标系内的图象如下图：()(00f f f===cos y x =()y f x=如图可知，与在同一平面直角坐标系下有个交点， cos y x =()y f x =3即方程有三个实数解，()cos x f x =即函数有个零点，故选项D 说法错误. ()cos y x f x =-3综上所述，说法错误的选项为D. 故选：D.7．已知，为椭圆与双曲线的公共焦1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，则的最小M 12π3F MF ∠=1e 2e 1C 2C 12e e 值为（） ABC ．1D ．12【答案】A【分析】由题可得，在中，由余弦定理得112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩12MF F △，结合基本不等式得，即可解决.2221212122cos3F F MF MF MF MF π=+-⋅⋅222121243c a a a =+≥【详解】由题知，，为椭圆与双曲线的1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，M 123F MF π∠=1e 2e 1C 2C 假设，12MF MF >所以由椭圆，双曲线定义得，解得，12112222MF MF a MF MF a +=⎧⎨-=⎩112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩所以在中，，由余弦定理得 12MF F △122F F c =，即 222121212π2cos3F F MF MF MF MF =+-⋅⋅， ()()()()22212121212π42cos3c a a a a a a a a =++--+⋅-化简得， 2221243=+c a a 因为，222121243c a a a =+≥所以，即，212c a a ≥=12≥e e 当且仅当时，取等号，12a =故选：A8．已知函数的导函数为，且，，则不正确的是（） ()f x ()f x '()()2e xf x f x x '-=()e13f =A ．B ．()()e 01f f <()()e 12f f <C ．没有极小值 D ．当有两个根时， ()f x ()0f x b -=390e b -<<【答案】C【分析】根据条件判断函数的单调性，即可判断AB ；求函数，利用导数求函数()e xf x ()31e 3xf x x =的极值，判断C ；将方程的实数根，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断的取值范围.b 【详解】因为，所以函数单调递增， ()()()20e e x xf x f x f x x ''-⎡⎤==≥⎢⎥⎣⎦()e x f x ，即，故A 正确； ()()011e f f <()()e 01f f <，即，故B 正确； ()()212e e f f <()()e 12f f <设，()31e 3x f x x c =+即，，得，()31e 3x f x x c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1e1e=33f c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0c =所以，，得，()31e 3x f x x =()23211e e e 1033x x x f x x x x x ⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭3x =-在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，()3∞--，()0f x '<()f x ()3∞-+，()0f x ¢>()f x 所以当函数取得极小值，故C 错误；3x =-有2个根，即函数的图象与有2个交点，由以上可知当函数()31e 3xf x x b ==()y f x =y b =3x =-取得极小值，， ()393e f -=-并且时，，并且时，，时，，并且时，0x >()0f x >x →+∞y →+∞0x <()0f x <x →-∞0y →，所以当直线与的图象有2个交点时，，故D 正确. y b =()y f x =390e b -<<故选：C.二、多选题9．记是数列的前项的和，且，则下列说法正确的有（） n S {}n a n 132n a n =-A ．数列是等差数列 B ．数列是递减数列 {}n a {}n S C ．数列是递减数列 D ．当时，取得最大值{}n a 6n =n S 【答案】ACD【分析】由等差数列的定义可判断A ；由等差数列的单调性可判断C ；根据的表达式结合二次函n S 数的性质可判断BD.【详解】∵，∴数列是等差数列，故A 正确；1132(1)(132)2n n a a n n +-=-+--=-{}n a ，， 21()(11132)1222n n n a a n n S n n ++-===-+*N n ∈∵当时，递增，∴数列不是递减数列，故B 错误； 6n ≤n S {}n S 由得，所以数列是递减数列，故C 正确；132n a n =-2d =-{}n a ∵，，∴当时，取得最大值，故D 正确.2212(6)36n S n n n =-+=--+*N n ∈6n =n S 故选：ACD.10．现有带有编号1、2、3、4、5的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（） A ．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法54B ．全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法2254C A ⋅C ．将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法 4541C C ⋅D ．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 2454C A ⋅【答案】ACD【分析】对于A ，利用分步乘法计数原理计算可判断A 正确；对于B ，先将5个球分为2组，再全排，计算可判断B 不正确；对于C ，利用分步乘法计数原理计算可判断C 正确；对于D ，先将5个球分为4组，再全排，计算可判断D 正确；【详解】对于A ，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，共有种放法，故A 正确；5444444⨯⨯⨯⨯=对于B ，带有编号1、2、3、4、5的五个球全部投入2个不同的盒子里，第一步选2个盒子有24C 种选法，第二步将5个球分为两组，若两组球个数之比为1：4有种分法；若两组球个数之比为15C 2：3有种分法，第三步将两组排给两个盒子有种排法，因此共有，故25C 22A ()21224552C C C A 180+=B 不正确；对于C ，带有编号1、2、3、4、5的五个球，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），第一步选4个球有种选法，第二步选一个盒子有种选法，共有种放法，故C 45C 14C 4541C C ⋅正确；对于D ，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，第一步将5球分成2：1：1：1的四组共有种分法，第二步分给四个盒子有种排法，故共有25C 44A 2454C A ⋅240=种放法，故D 正确；故选：ACD.11．已知函数，下列说法正确的有（） ()ln f x x x =A ．曲线在处的切线方程为 ()y f x =1x =1y x =-B ．的单调递减区间为()f x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．的极大值为 ()f x 1e-D ．方程有两个不同的解 ()1f x =【答案】AB【分析】利用导数，结合切线、单调区间、极值、方程的解等知识确定正确答案. 【详解】的定义域为，. ()f x ()0,∞+()ln 1f x x '=+A 选项，，()()10,11f f '==所以曲线在处的切线方程为，A 选项正确. ()y f x =1x =1y x =-B 选项，令解得，()ln 10f x x '=+=1ex =所以在区间，单调递减，B 选项正确.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭()()0,f x f x '<C 选项，在区间，单调递增，()f x ()1,,0e f x ⎛⎫'+∞> ⎪⎝⎭()f x 所以有极小值，无极大值，C 选项错误. ()f x D 选项，的极小值为，()f x 1111ln e e ee f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭当时，；当时，， 01x <<()0f x <1x >()0f x >方程有一个解，D 选项错误. ()1f x =故选：AB12．阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形的顶点C 在抛物线AB ABC 上，且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的.现已知直线AB 4332y x p =-+与抛物线交于A ，B 两点，且A 为第一象限的点，E 在A 处的切线为l ，线段2:2(0)E y px p =>AB 的中点为D ，直线轴所在的直线交E 于点C ，下列说法正确的是（） //DC x A ．若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6 B ．切线l 的方程为 220x y p -+=C ．若，则弦对应的抛物线弓形面积大于 ()1*4n n ABC A S n N -∆⋅=∈AB ()121423n n A A A A n -++++≥ D ．若分别取的中点，，过，且垂直y 轴的直线分别交E 于，，则AC BC ，1V 2V 1V 2V 1C 2C 1214ACC BCC ABC S S S ∆∆∆+=【答案】ABD【分析】A 选项直接通过题目中给出的条件进行判断；B 选项联立直线抛物线求出A 点坐标，求导确定斜率，写出切线方程进行判断；C 选项令，进行判断； 2n =D 选项根据条件依次求出各点坐标，分别计算三角形的面积进行判断.【详解】A 选项：内接三角形的面积，正确； 3864⨯=B 选项：，解得，又A 为第一象限的点，， 2232y px y x p ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩12129,223p p x x y p y p ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩,2p A p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，故切线方程为，即，正确； y y '=21px y ='=2py p x -=-220x y p -+=C 选项：由，得，令，，弓形面积为()1*4n n ABC A S n N -∆⋅=∈124A A =2n =24ABC S A ∆⋅=， 222214164433334ABC S A A A A A ∆==++=所以不等式不成立，错误；D 选项：由知，轴，，又的中点9,,,322p p A p B p ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭5,22p D p ⎛⎫- ⎪⎝⎭//DC x ,2p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭AC BC ，1V ，，易求，， 2V ()()12125,0,,2,0,0,2,222p p V V p C C p p ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111222ACC p S C V p =⨯⨯=A ，，因此成立，正确. 22221222BCC p S C V p =⨯⨯=A 21442ABC S CD p p =⨯⨯=A 1214ACC BCC ABC S S S ∆∆∆+=故选：ABD.【点睛】本题需要依次判断四个选项，A 选项直接利用定义判断，B 选项关键在于按照切线方程的通用求法进行求解，C 选项通过特殊值进行排除即可， D 选项关键在于求出各点坐标，再求三角形面积进行判断.三、填空题13．已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围为______.1y kx =-224x y -=k【答案】 ,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】联立方程得到，讨论，两种情况，计算得到答案.()221250kxkx -+-=210k -=210k -≠【详解】直线方程与双曲线方程联立：得：, 2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩()221250k x kx -+-=当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去； 210k -=1k =±当时，<0，即，无公共点. 210k -≠222420(1)2016k k k ∆=+-=->k k <综上所述：. >k k <故答案为： ,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭14．七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种.【答案】72【分析】画图分析其中四板块必涂上不同颜色，再根据分类分步计数原理计算剩下的部分即可. 【详解】由题意，一共4种颜色，板块需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色. A 又板块两两有公共边不能同色，故板块必定涂不同颜色.,,B C D ,,,A B C D①当板块与板块同色时，则板块与板块或板块分别同色，共2种情况； E C ,F G ,B D ,D B ②当板块与板块同色时，则板块只能与同色，板块只能与同色，共1种情况.E BF DG C又板块颜色可排列，故共种.,,,A B C D ()4421A 72+⨯=故答案为：7215．已知函数，函数，若函数恰有三个()()1e ,0ln ,0x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()()()()222g x f x a f x a =-++()g x 零点，则的取值范围是______. a 【答案】211,00,e e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】利用导数分析函数的单调性和函数值的变化规律，根据零点定义可得函数的零()f x ()g x 点为方程和方程的解，结合函数的图象即可得出答案. ()2f x =()f x a =()f x 【详解】当时，，0x ≤()()1e xf x x =+所以，()()()e 1e 2e x x xf x x x '=++=+当时，，函数在上单调递减， <2x -()0f x '<()f x (),2-∞-当时，，函数在上单调递增，20x -<≤()0f x ¢>()f x (]2,0-且，，，()01f =()22e f --=-()10f -=当时，，当时，，1x <-()0f x <10-<≤x ()0f x >当时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长， x →-∞1y x =+e x y -=从而，，当时，， ()10e xx f x -+=→()0f x '→0x >()ln x f x x =所以， ()21ln xf x x -'=当时，，函数在上单调递增， 0e x <<()0f x ¢>()f x ()0,e 当时，，函数在上单调递减，e x <<+∞()0f x '<()f x ()e,+∞且，，()1e ef =()10f =当时，，当时，，1x >()0f x >01x <<()0f x <当时，与对数函数相比，一次函数呈爆炸性增长， x →+∞ln y x =y x =从而，， ()ln 0xf x x=→()0f x '→当，且时，， 0x >0x →()ln xf x x=→+∞根据以上信息，可作出函数的大致图象如下：()f x函数的零点个数与方程的解的个数一()()()()222g x f x a f x a =-++()()()2220f x a f x a -++=致，方程，可化为，()()()2220f x a f x a -++=()()()()20f x f x a --=所以或， ()f x a =()2f x =由图象可得没有解，()2f x =所以方程的解的个数与方程解的个数相等，()()()2220f x a f x a -++=()f x a =而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等， ()f x a =()y f x =y a =由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点.211,00,e e a ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =y a =故答案为：.211,00,e e a ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16的椭圆为“黄金椭圆”，若“黄金椭圆”两个焦点分别()2222:10x y C a b a b +=>>为、，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接()1,0F c -()()2,00F c c >P C M 12PF F △并延长交于点，则______.PM 12F F N PM PNMN+=/22【分析】根据三角形面积公式、三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可.【详解】如图，连接，，设到轴距离为，到轴距离为，1MF 2MF P x P d M x M d 则 1212MF F M P PF F S MN d PN d S ==△△设△内切圆的半径为，则， 12PF F r 121211222MF F S F F r c r cr ==⋅⋅=△121212PF F MF F MPF MPF S S S S =++△△△△ 1212111222F F r PF r PF r =++ 121211()22F F r r PF PF =++ 112222c r r a =⋅⋅+⋅()c a r =+∴ 1212()MF F M P PF F S MN d cr cPN d S c a r c a ====++△△不妨设，则， MN cm =()PN c a m =+(0)m >∴，PM PN MN am =-=(0)m >∴， ()221112PM PN am c a m a c MN cm ca+++==+=+==.2+【点睛】关键点睛：运用三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义是解题的关键.四、解答题17．某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课 (1)如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？(2)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？【答案】(1)种 360(2)种 504【分析】（1）根据数学必须比语文先上，属于定序问题，采用除法处理即倍缩法，即可求解. （2）根据九科中六科的顺序一定，属于定序问题，采用除法处理即倍缩法，即可求解.【详解】（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有种. 6622A 654321360A 2⨯⨯⨯⨯⨯==（2）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有种.9966A 987504A =⨯⨯=18．已知数列的前项和为，从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，解{}n a n n S 答下列问题.(1)求数列的通项公式； {}n a (2)设，记的前项和为，若对任意正整数，都有()2212231*log log n n n b n N a a -+=∈⋅{}n b n n T n 恒成立，求实数的取值范围.223n T λλ<+λ条件①，且；条件②为等比数列，且满足.212a a =+12n n a a S =+{}n a ()12N *n n S k n +=+∈注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)条件选择见解析，2n n a =(2)(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）选①：由与的关系求；选②：求得后得到公比，写出通项公式即n S n a n a 23a a ，q 可.（2）由裂项求和法求得，并求得的取值范围，由不等式恒成立求的取值范围. n T n T λ【详解】（1）选①：且，则， 212a a =+12n n a a S =+1112n n a a S ++=+两式相减，得， 11122n n n n n a a S S a +++-=-=()12,1n n a a n +=≥所以为公比的等比数列，{}n a 2q =又，，解得，所以；212a a =+1122a a =+12a =2n n a =选②：因为为等比数列，且满足，{}n a 12n n S k +=+所以，， ()()221844a S S k k =-=+-+=()()3321688a S S k k =-=+-+=所以，所以. 322a q a ==222n n n a a q -==（2）因为，所以，2n n a =()()22122311111log log 212342123n n n b a a n n n n -+⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭111111111111145375971123212123n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111111432123342123n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭显然数列是关于的增函数，∵，∴， {}n T n *n ∈N 1102123n n +>++∴111113421233n T n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭由恒成立得，，解得或223n T λλ<+22133λλ+≥1λ≤-13λ≥故的取值范围为.λ(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭19．已知是函数的极值点，则：1x =()()()3221133x a x f a x a x =++-+-(1)求实数的值．a (2)讨论方程的解的个数 ()()R f x m m =∈【答案】(1) 3a =(2)答案见解析【分析】（1）求导，由题意可得，即可得解，要注意检验；()10f '=（2）利用导数求出函数的单调区间及极值，由此作出函数的大致图象，结合函数图象即可得()f x 解.【详解】（1）,()()()22213f x x a x a a '=++-+-因为是函数的极值点， 1x =()()()3221133x a x f a x a x =++-+-所以，即，()10f '=()()212130a a a ++-+-=解得或，3a =2-当时，，3a =()()()28991f x x x x x '=+-=+-令，则或，令，则， ()0f x ¢>1x >9x <-()0f x '<91x -<<所以函数在上递增，在上递增， ()f x ()()1,,,9+∞-∞-()9,1-所以的极小值点为，极大值点为，符合题意， ()f x 19-当时，，2a =-()()222110f x x x x '=-+=-≥所以在上递增，所以无极值点， ()f x R ()f x 综上所述； 3a =（2）由（1）可得， ()321493x f x x x =+-函数在上递增，在上递增， ()f x ()()1,,,9+∞-∞-()9,1-则， ()()()()149162,13f x f f x f =-===-极大值极小值又当时，，当时，， x →-∞()f x →-∞x →+∞()f x →+∞作出函数的大致图象，如图所示， ()f x 当或时，方程有个解， 162m >143m <-()f x m =1当或时，方程有个解， 162m =143m =-()f x m =2当时，方程有个解. 141623m -<<()f x m =320．某地地方政府为了促进农业生态发展，鼓励农民建设生态采摘园.2022年该地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天内完成销售.采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计，游客从开园第1天到闭园，游客采摘量（公斤）和开n a 园的第天满足以下关系：.批发销售每天的销售量为200()N n n +∈24520,(116)2250,(1724)nn n n a n n -+≤≤⎧=⎨-+≤≤⎩公斤，每公斤5元，采摘零售的价格是批发销售价格的4倍. (1)取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？ n (2)采摘零售的总采摘量是多少？农户能否24天内完成销售计划？【答案】(1) ()618N n n +≤≤∈(2)1327公斤，不能完成销售计划【分析】（1）分段讨论计算采摘零售当天的收入:，批发销售当天的收入，列不等54n a ⨯⨯2005⨯式求解即可；（2）当时，采摘零售量为数列的和，当时，采摘零售量为数列116n ≤≤{520}n +1724n ≤≤的和，两者之和为采摘零售的总采摘量，再加上批发销售的销售总量后判断是否24250}{2n n --+超过6500公斤.【详解】（1）由条件，当时，，解得 116n ≤≤()520542005n +⨯⨯≥⨯616.n ≤≤当时，，解得，1724n ≤≤()242250542005nn --+⨯⨯≥⨯1718n ≤≤所以，采摘零售当天的收入不低于批发销售的收入.()618n n N +≤≤∈（2）不能.当时，为等差数列，记这些项的和为，116n ≤≤{}n a 16116,25,100S a a ==.()116161610002a a S +==当时，记数列这些项的和为，1724n ≤≤{}n a 8T ()()()7608221750221850222450T =-⨯++-⨯++⋯⋯-⨯+()()760822221718.24508T =++⋯⋯+-⨯++⋯⋯++⨯()8712128172424001212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⨯+-255328400=-+327=，即采摘零售的总采摘量是1327公斤.1681327S T +=批发销售的销售总量为公斤，24天一共销售公斤，故不能完成销200244800⨯=132748006127+=售计划.21．以椭圆的中心O“伴随”．已2222:10y x C ab a b +=（＞＞）．12⎛ ⎝（1）求椭圆C 及其“伴随”的方程；（2）过点作“伴随”的切线l 交椭圆C 于A ，B 两点，记为坐标原点）的面积为()0,P m (AOB O ∆，将表示为m 的函数，并求的最大值．AOB S ∆AOB S ∆AOB S ∆【答案】（1）,；（2），的最大值为1．2214y x +=221x y +=AOB S ∆=AOB S ∆【分析】（1）由椭圆C 的离心率，结合的关系，得到，设出椭圆方程，代入点,,a b c 2a b =，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程； 12⎛ ⎝（2）设切线的方程为，联立椭圆方程，消去y 得到x 的二次方程，运用韦达定理和弦长l y kx m =+公式，即可得到AB 的长，由l 与圆相切，得到的关系式，求出的面积，运221x y +=,k m ABC ∆用基本不等式，即可得到最大值．【详解】（1）椭圆2222:10y x C a b a b +=（＞＞）c a =c 又由，可得，222c a b =-2a b =设椭圆C 的方程为，222214y x b b+=因为椭圆C 过点，代入可得，12⎛ ⎝2231144b b +=解得，所以椭圆C 的标准方程为， 1,2b a ==2214y x +=，即“伴随圆”是以原点为圆心，半径为1的圆， 1=所以椭圆C 的“伴随”方程为． 221x y +=（2）由题意知，，1m ≥易知切线的斜率存在，设切线的方程为， l l y kx m =+由得， 2214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2224240k x k mx m +++-=设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，．12224km x x k +=-+212244m x x k -=+又由l 与圆x 2+y2=1，k 2=m 2-1．1==则， 12AOB S AB ==A可得（当且仅当时取等号），1AOB SA m =所以当时，S △AOB 的最大值为1．m =【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式的运用，考查直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．22．已知函数． ()ln e 1xxf x x=--(1)求曲线在点处的切线方程； ()y f x =()()1,1f (2)若函数有两个零点（其中），且不等式恒成立，求()()a g x f x x=-12,x x 12x x <1212e 2e x xx x m +>实数的取值范围． m 【答案】(1) ()e 10x y --=(2) (],3-∞【分析】（1）根据导数的几何意义运算求解；（2）根据题意可得有两个正根，换元令，分析可得有()e ln 0xx x x a -+-=12,x x e x t x =ln 0t t a --=两个正根，换元令，整理分析可得在时恒成121122e ,e x xt x t x ==21t u t =()()21ln 10u u m u -->+1u >立，故而令，继而转化为利用导数求解函数的最值问题，结合分类讨()()()21ln 1h u u u m u =--+论，即可求得答案.【详解】（1）∵，则， ()ln e 1xx f x x=--()1ln 1ln e e x x x xx x f x x x⋅--'==--可得，()()1e 1,1e 1f f '=-=-即切点坐标为，切线斜率， ()1,e 1-()1e 1k f '==-故切线方程为，即.()()()e 1e 11y x --=--()e 10x y --=（2）∵， ()ln ln e 1e 1xx a x a g x x xx x+--=---=令，可得，()0g x =e ln 0x x x x a ---=故函数有两个零点等价于有两个正根， ()()a g x f x x=-12,x x ()e ln 0xx x x a -+-=1212,0,x x x x <<令，则，e x t x =ln ln t x x =+等价于有两个正根，ln 0t t a --=121122e ,e x xt x t x ==∵当时恒成立，()1e 0xt x '=+>0x >故在上单调递增，e x t x =()0,∞+对于，由，可得，121122e ,e x xt x t x ==120x x <<120t t <<可得，可得， 1122ln 0ln 0t t a t t a --=⎧⎨--=⎩2211ln t t t t =-令，由，可得， 21t u t =120t t <<211t u t =>由，整理可得，212211ln t u t t t t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩12ln 1ln 1u t u u u t u ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩由于恒成立，()12211221ln 221e e x x u u t t x x m u +=+=-+>等价于当时恒成立，()21ln 1u u u m +->1u >等价于当时恒成立， ()()21ln 10u u m u -->+1u >令，则， ()()()21ln 1h u u u m u =--+()12ln 2h u u m u'=++-令，则， 1()22ln ,(1)p u u m u u =++->221()u p u u '-=当时，，所以在上单调递增， 1u >()0p u '>()p u (1,)+∞则有当时，．1u >()()13p u p m >=-（i ）当时，当时，， 3m ≤1u >()()()130h u p u p m '=>=-≥所以在上单调递增，则有，符合题意。

湖北省重点高中高二数学下学期期中试题理(扫描版)(2021年整理)

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重高高二理数A一、选择题二、填空题13、x y =2或y x 82-=14、若0≠ab ，则0≠a 且0≠b 15、10 16、231+三、解答题17、解:对于p 由01322≤+-x x ，得121≤≤x ———--—--—--—--—----—---——-—-—--3对于q 由01222≤-+-a ax x ，得11+≤≤-a x a ————-—---—————-—-----———--——6非p 是非q 的必要不充分条件 ∴p 是q 的充分不必要条件∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-11211a a ，得230≤≤a --——-—---——----—----———-—--—-——--——--—-——-———1018、解：①由题意x y 22= --————-————-———-- 4 ②联立⎩⎨⎧-==)2(22x k y x y 得)2(2+=k y y 即0422=--y k y ---——--—————--6令),(),(2211y x N y x M 2221212141,4y y x x y y =-=∴ —--——---—-———-——8 044412122212121=-=+=+=⋅∴y y y y y y x x ON OM ——-—-——--—----—11 ON OM ⊥∴ ∴以MN 为直径的圆过O 点 —-—-—--—----—---———-——-—-—---———12第19题答案（1)∵OA=OB=OC=OD=2为定值，与二面角D-AC-B 大小无关，∴ 四面体ABCD 的外接球是以O 为球心，2为半径的球，所以外接球的体积为ππ3322343=⨯=球V ——-——-—---——--—-—-—5 （2）以点为原点,以的方向为轴的正方向，建立如图所示的坐标系，则，∴，,设平面的法向量为，则，即,令，则,∴，又平面的法向量为，∴，∴二面角的余弦值为．—---—---———-----——12第20题（1)证明在正方形中,.又平面⊥平面，且平面ABC∩平面＝AC，∴⊥平面. ——---—-——-—-———----3(2)解由（1）知，，由题意知，在△ABC中，，，∴，∴AB⊥AC。

湖北省重点高中高二数学下学期期中试题理(扫描版)

湖北省重点高中2016-2017学年高二数学下学期期中试题理（扫描版）重高高二理数A一、选择题二、填空题13、x y =2或y x 82-= 14、若0≠ab ，则0≠a 且0≠b 15、10 16、231+三、解答题17、解：对于p 由01322≤+-x x ，得121≤≤x -------------------------------3 对于q 由01222≤-+-a ax x ，得11+≤≤-a x a ----------------------------6非p 是非q 的必要不充分条件 ∴p 是q 的充分不必要条件∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-11211a a ，得230≤≤a ---------------------------------------------10 18、解：①由题意x y 22= ----------------- 4②联立⎩⎨⎧-==)2(22x k y x y 得)2(2+=k y y 即0422=--y k y --------------6令),(),(2211y x N y x M 2221212141,4y y x x y y =-=∴ ----------------8 044412122212121=-=+=+=⋅∴y y y y y y x x ON OM ---------------11 ON OM ⊥∴ ∴以MN 为直径的圆过O 点 --------------------------------12第19题答案（1）∵OA=OB=OC=OD=2为定值，与二面角D-AC-B 大小无关，∴ 四面体ABCD 的外接球是以O 为球心，2为半径的球，所以外接球的体积为ππ3322343=⨯=球V -------------------5 （2）以点为原点，以的方向为轴的正方向，建立如图所示的坐标系，则，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则，∴，又平面的法向量为，∴，∴二面角的余弦值为． ------------------12第20题(1)证明在正方形中，.又平面⊥平面，且平面ABC∩平面＝AC ，∴⊥平面.-------------------3 (2)解由(1)知，，由题意知，在△ABC 中，，，∴，∴AB⊥AC.∴以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A －xyz.，于是，，，，设平面B C A 11法向量为),,(z y x =， )0,4,3(),4,0,3(),0,4,0(111-===A C A00411=∴==⋅∴y y C A0431=+=⋅z x B A u 令3,4-==z x )3,0,4(-=∴u2512,cos ->=<∴BC u BC ∴与平面所成角正弦值为2512-----------------8 (3)假设存在点是直线上一点，使，且.,解得，，又，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0，解得，因为，所以在线段上存在点D ，使得.此时.------12 .21、解：①设),(y x P 则211=-⋅+x yx y 得)1(1222±≠=-x y x ----------------6②假设能设),(),,(2211y x B y x A 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-121222222121y x y x则))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x 02=-∴k 2=∴k -----------------8联系⎩⎨⎧>---=0221222b x x y 得：03422=+-x x 无解矛盾，所以不存在.------------12 第22题解析 (1)由题意得，,,又,联立解得椭圆的方程为.-----------4(2)设 ,则的坐标满足，消去化简得则，------------------------6 由得，，，,,即,，即，-----------------8，又到直线的距离，----------10，即的面积为定值. -------------12。

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湖北省2016年春季部分重点中学期中联考高二数学试卷（理科）命题学校：新洲一中命题教师：马金爱审题教师：蔡敏考试时间：2016年4月27日上午8:00～10:00 试卷满分：150分一、选择题：每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数ii z 212-+=的虚部为（）A ． 35-B ．i 35- C ．1 D ． i2．设随机变量ξ~),1(2σN ,若8.0)2(=<ξP ,则)10(<<ξP 的值为（）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.63．已知某射击运动员，每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A ．0.85B ．0.75C ．0.8D ．0.81924．五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为 ( ) A ．14B ．23C ．13D ．1105.若随机事件A 在一次试验中发生的概率为)10(<<p p ，用随机变量ξ表示A 在一次试验中发生的次数，则ξξE D 14-的最大值为（）A ．2B ．-1C ．0D ．1 6.在4)1)((x x a ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47.已知a 是常数，函数3211()(1)232f x x a x ax =+--+的导函数'()y f x =的图像如右图所示，则函数()|2|x g x a =-的图像可能是（）8．记抛物线2)(x x x f -=与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线x y 31=所围成的平面区域为A ，若向区域M 内随机抛掷一点P ，则点P 落在区域A 的概率为（）A ．278B ． 31C ．92D ．2779.某公司新招聘进8名员工，现将其平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门，三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配种数是（）A ．18B ．24C ．36D ．7210．若函数1ln )(2+-+=x x x x f 在其定义域的一个子区间)2,12(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,23B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,21C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,23 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,2111．若1021<<<x x ，则（）A ．12ln ln 12x x e e x x -<- B ．12ln ln 12x x e e x x ->- C ．2112x x e x e x <D ．2112x x e x e x >12．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 20163 5 7 9 ………… 4027 4029 4031 8 12 16 ………………… 8056 8060 20 28 ………………………… 16116 …………………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A ．201520172⨯B ．201420172⨯C ．201520162⨯D ．201420162⨯二、填空题：每小题5分，共20分，将答案填在答题卡的横线上．13.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：利用上述数据求得线性回归方程为a x y+-=4ˆ,从这些样本点中任取一点，则它在回归直线下方的概率为_____14.在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角分别为α、β，则有22cos cos 1αβ+=，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与相邻三个面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=_________.15.已知⎰=πsin 5xd x n ，则二项式n c b a )32(+-的展开式中32-n bc a 的系数为__________16.对于函数)(x f 给出定义：设)('x f 是函数)(x f y =的导数，)(''x f 是函数)('x f 的导数，若方程0)(''=x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”.某同学经过探究发现，任何一个三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数12532131)(23-+-=x x x x f ，请你根据探究结果，计算⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛20172016201732017220171f f f f =_________ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）某地区在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人。

女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动。

（1）根据以上数据建立一个22⨯列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过025.0的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？附：22()n ad bc K -=18. （本小题满分12分）设函数()()23xx axf x a R e+=∈（I ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（II ）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。

19.（本小题满分12分）某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按[)[)[)[)20,3030,4040,5050,60、、、分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加A B 、两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[)20,30抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[)20,30和[)30,40内各抽取1人，设这两人中A B 、两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．20．（本小题满分12分）已知函数cx bx ax x f ++=23)(在1±=x 处取得极值，且在0=x 处切线的斜率为3-.（1）求)(x f 的解析式；（2）若过点),2(m A 可作曲线的三条切线，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为32，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为52，中奖可以获得3分；未中奖则不得分。

每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。

(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ,求3≤X 的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？22．（本小题满分12分）已知函数12ln )(2+-+=ax x x x f （a 为常数） (I)讨论函数f(x)的单凋性；(II)若存在(]1,00∈x ，使得对任意的(]0,2-∈a ，不等式42)(220++>+a a x f me a （其中e 为自然对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围．湖北省2016年春季部分重点中学期中联考高二数学（理科）参考答案一、选择题13、3114、2 15、-4320 16、2016 三、解答题 17．解：（1）……4分（2）024.5429.360605070)20303040(12022<=⨯⨯⨯⨯-⨯=K ……8分所以在犯错误的概率不超过025.0的前提下，没有找到充足证据证明 “性别与休闲方式有关系”。

……10分18.解：（I ）xe ax a x x f +-+-=)6(3)(2'处取得极值，在0)(=x x f 0)0('=∴f 解得0=a . 经检验满足当0=a 时，x e x x f 23)(= ，xe x x xf 63)(2'+-= e f 3)1(=∴，e f 3)1('=∴曲线)(x f y =在点()()1,1f处的切线方程为)1(33-=-x ee y ，即x ey 3=………6分（II ）由()f x 在[)3,+∞上为减函数得 0)('≤x f 在[)3,+∞上恒成立，即 0)6(32≤+-+-a x a x 在[)3,+∞上恒成立 1632-+-≥∴x xx a 在[)3,+∞上恒成立令163)(2-+-=x x x x g ，则0)1(]1)1[(3)(22'<-+--=x x x g )(x g ∴在[)3,+∞上单调递减， 29)3()(max -==≥∴g x g a故a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,29 ……12分 19．解：（1）由频率分布直方图知，0.354014⨯=， ……2分（2）250.35350.4450.15550.135⨯+⨯+⨯+⨯=． …… 4分（3）∵在年龄段[)20,30内的教师人数为1200.3542⨯=（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人A 、B 项培训结业考试成绩优秀的概率分别为：P(A)=305427=，P(B)=183427= ∴此人A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为53157749⨯=， …… 6分∵在年龄段[)30,40内的教师人数为1200.448⨯=（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人A 项培训结业考试成绩优秀的概率为363484=；B 项培训结业考试成绩优秀的概率为241482=， ∴此人A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为313428⨯= ……8分由题设知X 的可能取值为0，1，2． ∴15385153153177(0)(1)(1),(1)(1)(1)498196498498392P X P X ==--===⨯-+-⨯=， 15345(2)498392P X ==⨯=， ……10分 ∴X 的概率分布为：X 的数字期望为8517745267012196392392392EX =⨯+⨯+⨯=…… 12分 20．解：（1）依题意⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒⎪⎩⎪⎨⎧-===+-=-=++=3013)0(023)1(023)1('''c b a c f c b a f c b a f x x x f 3)(3-=∴ (4)分（2）设切点为)3,(3t t t -，33)(2'-=x x f∴切线方程为))(33()3(23t x t t t y --=--又切线过),2(m A )2)(33()3(23t t t t m --=--∴ 即66223-+-=t t m ，……① ∵过点),2(m A 可作曲线的三条切线， ∴①式有三个不同的解.令662)(23-+-=x x x g ，则)2(6)('--=x x x g↓+∞↑↓-∞∴),2()2,0()0,()(，，在x g 又6)0(-=g ，2)2(=g )2,6(-∈∴m ……12分21．解：（I ）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A 。