过2点与直线相切的圆的分析与图解
九年级数学上册3.4直线与圆的位置关系直线和圆相切的考点分析素材青岛版(new)
直线和圆相切的考点分析一、知识解读:判定直线与圆相切的方法：1、定义法:直线和有且只有一个公共点，就说直线与圆相切。
2、d、R法则：设圆心到直线的距离是d，圆的半径是R，则当d=R时，直线与圆相切。
3、切线的判定定理:过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线，是圆的切线.在应用判定定理时,关键有两个：一是直线要经过圆上的某点,而是直线与过该点的半径垂直.必要时,要构造半径作为解题的辅助线。
二、考点例析:考点1、考d、R法则例1、在平面直角坐标系中，以点(2，3）为圆心,2为半径的圆必定( ）A．与x轴相离、与y轴相切B．与x轴、y轴都相离C．与x轴相切、与y轴相离D．与x轴、y轴都相切（2008年南昌市)分析：根据坐标系的知识，知道,圆心到y轴的距离是d y=2，到x轴的距离是d x=3，由于圆的半径R=2，所以,d y=R，所以,y轴与圆相切，这样，我们就可以排除B和D；因为，d x=3＞R=2，所以，x轴与圆相离，因此，选项A是正确的。
解：选则A。
例2、如图1所示,在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥,90C =∠，且AB AD BC >+,AB 是⊙O 的直径，则直线CD 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定 （2008年内江市）分析：圆的圆心位置已经确定，圆的半径已经确定，现在缺少的条件是，圆心到直线CD 的距离。
只需过圆心做出圆心到直线的距离,后根据dR 法则就可以判断直线CD 与圆的位置关系了。
因此，如图2所示,过点O 作OE⊥CD，垂足是E,又因为，∠C=90°，所以,OE∥BC，因为，点O 是圆的圆心,所以,OE 是梯形的中位线,所以，OE=21（AD+BC ）， 因为,AB ＞AD+BC, 所以，21 AB ＞21（AD+BC ）, 即OA ＞OE ，所以，直线与圆不相切，是相交。
解：选择C 。
考点2、判定静止直线是圆的切线例3、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D,过点D 作DE⊥AC 于点E ．求证:DE 是⊙O 的切线。
2.5直线与圆的位置关系(解析版)
2.5直线与圆的位置关系【推本溯源】1.回顾一下点与圆的位置关系，那么直线与圆有几种关系呢？点在圆内，点在圆上，点在圆外；直线与圆的位置关系：2.2.点与圆的位置关系我们是用点到圆心距离与半径比较，那直线与圆的位置关系怎么表示出来？设圆心到直线的距离为r当d ＜r 时，相交；当d=r 时，相切；当d ＞r 时，相离。
同样地，当相交时，d ＜r ；当相切时，d=r ；当相离时，d ＞r 。
3.如右图，经过圆O 的半径OD 外端点D ，作直线l ⊥OD ，直线l 的关系？∵l ⊥OD ∴OD=r ∴直线与l 相切因此，经过半径外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线。
注：①直线与圆有一个交点；②直线与过交点的半径垂直。
几何语言：∵l ⊥OD ，OD 是半径∴直线与l 相切4.如图，直线l 是圆O 的切线，切点为D ，直线l 与半径OD 有怎样（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线（如右图l 1）；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；（如右图l 2）．（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
（如右图l 3）的关系？l ⊥OD用反证法；假设l 与OD 不垂直，过圆心O 作OD ′⊥l ，垂足为D ′∵直线l 是圆O 的切线∴点O 到直线l 的距离等于半径∵点D ′在圆上，这样切线会和圆有两个交点，与题目相切矛盾∴l ⊥OD因此，圆的切线垂直于经过切点的半径。
5.（1）做一个圆，使它与已知三角形的各边都相切？可得圆心O 是三个内角平分线得交点。
（2）画出右图▲ABC 里面最大的圆因此，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三边的距离都相等.这个三角形是圆的外切三角形。
如图：▲ABC因此，三角形的面积等于三角形周长与内切圆半径之积的一半。
过两点且圆心在直线上的圆的方程
过两点且圆心在直线上的圆的方程过两点且圆心在直线上的圆的方程在解析几何中，我们经常遇到求解圆的方程的问题。
其中一个常见的问题是，给定两个点，并且已知圆心在直线上，我们需要找到过这两点的圆的方程。
本文将从简到繁地介绍这个问题，帮助我们更深入地理解这个概念。
1. 圆的方程简介在开始探讨该问题之前，让我们先来回顾一下圆的方程。
一般来说，圆的方程可以用两种形式表示：标准方程和一般方程。
- 标准方程：圆的标准方程一般形式为$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$，其中$(a, b)$是圆的圆心坐标，$r$是圆的半径。
- 一般方程：圆的一般方程一般形式为$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中$D、E和F$是常数。
2. 过两点的圆的方程现在让我们来考虑一个更具体的问题：给定两个点$P(x_1, y_1)$和$Q(x_2, y_2)$，并且已知圆心在直线$l$上。
我们需要找到一个过这两点的圆的方程。
为了解决这个问题，我们可以按照以下步骤进行操作：步骤1：找到直线$l$的方程我们需要找到过圆心的直线$l$的方程。
这可以通过使用两点式或点斜式来完成。
假设直线$l$的方程为$ax + by + c = 0$。
步骤2：找到圆心的坐标由于已知圆心在直线$l$上，我们可以假设圆心的坐标为$(h, k)$。
步骤3：找到圆的半径由于圆的半径是两点之间的距离，我们可以使用两点间距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$来找到圆的半径。
步骤4：建立圆的方程现在我们可以使用已知的圆心和半径来建立圆的方程。
根据标准方程的形式，我们可以得到$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$。
步骤5：化简圆的方程将圆的方程展开并化简，最终我们可以得到一般方程的形式。
这可以通过代入圆心坐标和半径的值，并化简方程的形式来完成。
3. 个人观点和理解在解决这个问题的过程中，我深刻地意识到对几何概念的理解是解决问题的关键。
直线与圆的特殊位置关系——相切
切线定理
• 圆的切线垂直于过 其切点的半径；经 过半径的非圆心一 端，并且垂直于这 条半径的直线，就 是这个圆的一条切 线。
切线长定理
• 从圆外一点可以引 圆的两条切线，它 们的切线长相等， 这一点和圆心的连 线，平分两条切线 的夹角。 • AC=AB • ∠OAC=∠OAB
• • • • • • • • •
∵AC、AB切○O于C、B ∴∠OCA=∠OBA=90° 在△OCA和△OBA中， ∵OC=OB， AO=AO， ∠OCA=∠OBA=90° ∴ △OCA≌△OBA ∴AC=AB ∠OAC=∠OAB
弦切角定理
• 弦切角的度数等于 它所夹的弧的圆心 角的度数的一半。 • ∠TCB=1/2∠COB
• • • • • • •
连接AT, BT 在△PBT和△PTA中 ∵∠PTB=∠PAT ∠APT=∠TPA ∴△PBT∽△PTA ∴PB：PT=PT：AP ∴PT²=PB·PA
弦切角定理
• • • • • • • • • 设圆心为O，连接OC，OB。 ∵PT为圆O的切线 ∴OC⊥PT ∴∠TCB=90°-∠OCB ∵∠BOC=180°-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB ∵∠BOC=2∠BAC ∴∠TCB=∠BAC ∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
切割线定理
• 从圆外一点引圆的 切线和割线，切线 长是这点到割线与 圆交点的两条线段 长的比例中项。 • PT^2=PD×PC
相交
相切
相离
相交
相切
相离
定义
• 若直线与曲线交于两点，且这两点无限相 近，趋于重合时，该直线就是该曲线在该 点的切线。//初中数学中，若一条直线垂 直于圆的半径且过圆的半径的外端，称这 条直线与圆相切。
直线与圆的位置关系(课件)-2022-2023学年数学人教A版选择性必修第一册
O
轮船
港直线的方程，利用方程判断直线与圆的
位置关系 , 进而确定轮船是否有触礁危险.
例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中
心为圆心，半径为20 km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮
船正西40 km处, 港口位于小岛中心正北30 km处. 如果轮船沿
直线返港，那么它是否会有触礁危险？
解：以小岛的中心为原点O, 东西方
直线与圆相离 直线与圆相切
△>0
直线与圆相交
思考?与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆 的位置关系有什么优点？例1中两种解法的差异是什么？
直线l：Ax+By+C=0 (A, B不同时为零） 圆 C： (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 利用圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系判断：
例3图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB 20 m, 拱高OP 4 m, 建造时每间隔4 m需要一根支柱支撑, 求支柱A2P2的高度.(精确到0.01 m)
圆的方程是x2 ( y 10.5)2 14.52. 把点P2的横坐标x 2代入圆 的方程, 得(2)2 ( y 10.5)2 14.52 ,
解法2：设切线l的斜率为k, 则切线l
y
的方程为y 1 k( x 2),
P
因为直线l与圆相切, 所以方程组
y x
1 2
y2
k(
x 1
2)
只有一组解.
O
x
消元, 得(k2 1)x2 (2k 4k 2 )x 4k 2 4k 0 ①
因为方程①只有一组解, 所以 Δ 4k2(1 2k)2 16k(k2 1)(k
心为圆心，半径为20 km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮
圆点直线与圆的位置关系圆的切线
性质二
圆的切线在切点处的曲率半径为 半径。
性质三
圆的切线在切点处的曲率圆心角等 于切线与圆心所成的角度。
03
圆与直线的位置关系
圆与直线相离
定义
圆和直线没有公共点。
判定
用圆心到直线的距离与圆的半径比较，当距离大于半径时，圆与直线相离；小于 半径时，圆与直线相交；等于半径时，圆与直线相切。
圆与直线相交
定义二
过圆上一点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
圆的切线的判定
1 2
判定一
如果一条直线到一个圆心的距离等于半径，那 么这条直线是圆的切线。
判定二
如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条 直线是圆的切线。
3
判定三
圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 。
圆的切线的性质
性质一
圆的切线垂直于经过切点的半 径。
定义
两圆在圆心距之外，两圆半径之和等于圆心距，两圆有一个公共点。
图形特点
两圆半径之和为两圆半径之差的绝对值。
圆与圆内切
定义
两圆在圆心距之内，两圆半径之差等于圆心距，两圆有一个 公共点。
图形特点
两圆的半径之差为两圆的半径之和的绝对值。
02
圆的切线
圆的切线的定义
定义一
过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
求圆的弦长
利用切线方程可求出弦长，进而求 出圆心坐标和半径。
求圆的外接圆和内切圆半径
利用切线方程可求出外接圆和内切 圆的半径，进而求出圆心坐标。
求圆的对称问题
利用切线方程可求出对称轴，进而 求出对称点的坐标。
05
圆和圆的公共切线
两圆公共切线的概念
相切
九年级数学上册 24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2直线与圆3切线的判定和性质2_6-10
证明直线与圆相切有如下三种途径:
1.定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
2.数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线.
3.判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是
圆的切线.
即:若直线与圆的一个公共点已指明,则连接这点和圆心,说明直线垂直于经过这点的半径;若直线与圆的公共点未指明,则过圆心作直线的垂线段,然后说明这条线段的长等于圆的半径．
.O
A l
将上页思考中的问题反过来,如果l是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢?
一定垂直
切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径
切线的性质：
1.切线和圆只有一个公共点.
2.切线和圆心的距离等于半径.
3.切线垂直于过切点的半径.
4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
切线的性质３、４、５可归纳为:已知直线满足a.过圆心,b.过切点,c.垂直于切线中任意两个,便得到第三个结论.
1.如图,AB 是⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,BD=OB,点C 在圆
上,∠CAB=30°.
求证:DC 是⊙O 的切线.
.A B D
C O 方法引导
当已知直线与圆有公共点,要证明直线与圆相切时,可先连接圆心与公共点,再证明
连线垂直于直线,这是证明切线的一种方法.
练习。
与二直线相切园弧的画法
与二直线相切园弧的画法与二直线相切园弧的画法序言：在几何学中，与二直线相切园弧的画法是一个引人入胜的主题。
它既有几何性质的探索，又有艺术上的美感。
通过学习并掌握与二直线相切园弧的画法，我们可以深入理解圆的性质与几何关系，同时也能够提高我们的绘画技巧。
本文将以从简到繁、由浅入深的方式，详细探讨与二直线相切园弧的画法，帮助读者全面、深刻和灵活地理解这一主题。
第一部分：基础知识与准备工作1、了解二直线与圆的关系在开始探讨与二直线相切园弧的画法之前，我们首先需要了解二直线与圆的关系。
在平面几何中，如果一条直线与圆相交，那么我们可以得到不同的交点。
当这条直线与圆相切时，意味着它只与圆相交于一个点，这个点即为切点。
对于与二直线相切园弧的画法，我们可以利用这个性质来构建画图的基础。
2、准备绘画工具和材料在进行与二直线相切园弧的画法之前，我们需要准备绘画工具和材料。
这包括绘图纸、铅笔、尺子、圆规和特制的圆弧模板等。
确保准备齐全的绘画工具和材料，有助于我们更好地进行画图过程。
第二部分：初级画法：与一直线相切的园弧1、确定直线和圆的位置我们选择一条直线作为给定的直线L，并在绘图纸上画出直线L。
我们选择一个固定的点作为圆心，并确定圆的半径。
将圆心放置在直线L的一侧，使得圆与直线的距离等于半径的长度。
2、确定切点为了确定切点的位置，我们需要使用圆规和尺子。
我们在直线L上选择一个点，记作A。
我们以A为圆心，利用圆规调整半径的长度，画出一个圆弧。
圆弧与直线L相交于两个点，我们记作B和C。
接下来，我们以A为圆心，以BC为半径，画出两个圆弧。
这两个圆弧与直线L 相交于四个点，我们将这四个点标记为D、E、F和G。
我们以D和F 为切点，以得到以D和F为切点的两个切线。
3、画出园弧在有了切点D和F之后，我们可以使用圆规和尺子，以切点作为圆心，切线长度为半径，画出两个园弧。
4、总结与回顾初级画法中，我们通过先确定直线和圆的位置，然后确定切点以及相应的切线，最后以切点为圆心，切线长度为半径，画出了与一直线相切的园弧。
过圆上两切点的直线方程
过圆上两切点的直线方程好嘞，今天咱们来聊聊一个看似有点儿复杂，但其实挺有趣的数学问题——过圆上两切点的直线方程。
哎呀，别一听“直线方程”就打哈欠啊，咱们轻松一点，慢慢说，听着可有意思了。
想象一下，你在公园的长椅上晒太阳，突然发现一只小鸟在树枝上叽叽喳喳，突然有个想法，咱们来画个圆。
圆在生活中无处不在，篮球、盘子、甚至你喝的饮料瓶，都是圆的。
圆心就是圆的中心，半径就是从圆心到圆上任意一点的距离。
简单吧？这时候，咱们的圆上可以找到一些特别的点，叫做切点，听起来是不是有点高级？其实就是圆和一条直线相交的那一瞬间，直线就像是给圆穿上了漂亮的外衣。
你可能会问，为什么要关心切点呢？这就好比在跟朋友约会的时候，总希望找到一个合适的地点，不远不近，恰到好处。
切点就是这样的位置，它们是连接圆和直线的桥梁。
那咱们来找找这条穿越切点的直线方程是什么样的。
先别急，咱们得先了解一下切点的坐标。
假设咱们的圆的方程是 ( (x a)^2 + (yb)^2 = r^2 )，这里的 ( (a, b) ) 是圆心的位置，( r ) 是半径。
简单点儿说，想象你在一个坐标系里，圆心在( (a, b) )，这个圆就像是你种的一个花圃，四周围绕着你美丽的花朵。
找到两个切点，咱们用数学公式来帮助自己。
一般来说，切点的坐标可以通过一些公式得出，不过这就像是个小秘密，不想让太多人知道。
你可以假设两个切点分别是( P_1(x_1, y_1) ) 和 ( P_2(x_2, y_2) )。
这两个点就像是你最好的朋友，他们总是伴随着你，让你在任何时候都能找到快乐。
咱们来建立这条线的方程。
想象一下，咱们把这两位朋友牵在一起，形成了一条线。
直线的方程一般可以表示为 ( y = mx + c )，其中 ( m ) 是斜率，( c ) 是截距。
要找出这条线的斜率，咱们可以用切点的坐标进行计算，简单的公式就能给你答案。
这样，咱们就得到了这条直线的神秘方程。
具体的步骤可能有点复杂，咱们不必过于纠结。
尺规作图,过同旁两点做圆切于已知直线
CD²=CA× CD²=CA×CB=CH² CD=CH！ 即，CD=CH！ 就找到了…. 点H就找到了….
C
D
B A
H?
L1
那又该怎么做 不可以…… 不可以
step1 step2
做L2⊥CB于B ⊥ 于 …确定 的中点 确定AB的中点 确定 的中点P 为圆心， 为半径 为半径， 以P为圆心，PC为半径， 为圆心 画弧交L2于 画弧交 于D 为圆心， 为半径 为半径， 以C为圆心，BD为半径， 为圆心 画弧交L1于 画弧交 于H …做AB的垂直平分线 做 的垂直平分线 …做HO⊥L1 做 ⊥ 的垂直平分线于O 交AB的垂直平分线于 的垂直平分线于 为圆心， 为半径做圆 为半径做圆O 以O为圆心，OA为半径做圆 为圆心
C A
step3 step4
L2 D
step5 step6 step7
P
B
O H
L1
L2
D
想一想： 想一想：
BD=CH？ ？
P O
A
B
C
H
谢谢
尺规作图
具体问题
已知两点A 已知两点A、B和一直线L1 两点在直线同侧， 和一直线L1 两点在直线同侧， 尺规作图：过两点做圆切L1 L1于 尺规作图：过两点做圆切L1于H。
B A L1
假如…… 假如
尺规作图分析
①延长ＢＡ交Ｌ１于Ｃ 延长ＢＡ交 ＢＡ ②过ＡＢ做任意一个圆 ＡＢ做任意一个圆 ③做ＣD切圆于D 切圆于D 可是…… 可是 尺规能够直 接作出CD与圆 接作出 与圆 相切于Ｄ 相切于Ｄ吗？
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假设 过点 Ａ ， 、 ， 且与圆 ０ 相切 的 圆为 ０ 。
作图依据 ： 确定 ｌ 共轴圆组 ； 圆０ ， 是该共 轴圆
组 中的一 个 圆 ； 以定点 Ａ 、 Ｂ ， 为 公共 点 的共轴 圆组 中
任意圆与已知圆 ０ 的根轴（ 等幂轴 ） 必通过 １ 定点，
Ａｎ ａ ｌ ｙ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｐｒ ｏ ｏ ｆ ａ ｎ ｄ Ｉ ｌ ｌ ｕ ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ Ｃｉ ｒ ｃ ｌ ｅ ｓ Ｐ ａ ｓ ｓ ｉ ｎ ｇ Ｔｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ
Ｔｗｏ Ｇｉ ｖ ｅ ｎ Ｐｏ ｉ ｎ ｔ ｓ ａ ｎｄ Ｔａ ｎ ｇ ｅ ｎｔ ｔ ｏ Ａ Ｇｉ ｖ ｅ ｎ Ｌｉ ｎ ｅ
尼奥斯 问题 的特 殊情 况 。当其 中 １圆或 者 多 圆退 化
当 ２点连线 与 已知直 线倾 斜时 ， 过 已知 ２点 可作
如 图 ３所 示 。此 时 ， ２圆的半 成点 或 者 直 线 时 ， 又 可 以衍 生 出该 问 题 的 多种 特 殊 ２个 圆与 已知直 线相切 ，
下面对这种 隋况下 的图解方 法进行讨论 。 情况 。某 些特 殊 情 况 不 能 采 用 一 般 情 况 下 的 解 法 。 径不相 等 ， 本文 所探 讨 的解 法 为 ３圆 中 的 ２圆退化 成 点 且 另 １ 圆退 化成 直线 的情 况 。该 解 法 丰富 了 阿 波罗 尼 奥斯
该定 点 位 于直线 Ａ ， 曰 ， 上（ 根 据反 演理论 ） ；
结论 ： 圆Ｄ ， 与 已知圆 ０ 的根轴将与直线 Ａ ， Ｂ ， 交于 ｌ 点。 假设该点为点 Ｐ 。下面求作点 Ｐ 。 过点 Ａ ， 、 ， 任作 １ 圆Ｄ ， 作出圆 Ｄ 与圆 ０ ￡
的根轴 。 因为 ： 圆Ｄ 过点 Ａ ， 、 Ｂ ， ， 即： 圆Ｄ 脚 以点 Ａ ， 、 Ｂ ，
阿波 罗尼 奥斯 问题 Ｉ ２ 提 出至今 ， 已有 ２ ０ ０ ０多
当 ２点 连线 与 已知 直 线 垂 直 时 ， 过 已知 ２点 可
如 图 ２所示 。２圆半径 为 年， 其一般问题为 ： 作１ 圆与已知 ３圆相切。当已知 作 ２个 圆与 已知 直线 相切 ， ３圆的相对 位 置发生 改变 时 ， 可 以衍 生 出多种 阿波 罗 以已知 ２点 为端 点 的线段 中点 到 已知 直 线 的距 离 。
过 ２点 与 直 线 相切 的 圆 的分 析 与 图解
张兴 亮水， 董军辉
（ 成都工业学院 机械工程学院 ， 成都 ６ １ １ ７ ３ ０ ）
摘 要 ：当已 知 ３圆 中 的 ２圆退 化 成 点 且 另 ｌ圆退 化 成 直 线 时 ， 得到 阿波 罗尼奥斯 问题（ Ａ ｐ ｏ ｌ ｌ ｏ ｎ ｉ ｕ ｓ Ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ） 的一种特 殊情 况。
根据反演理论 ， 不通过反演 圆圆心 的直线 ， 经过 反演变换后 ， 其 反形为圆。圆与直线 、 圆与 圆相切 ， 其反形仍然相切 。根据这两条理论 ， 可 以先求得 已 知两点和直线关 于某 圆（ 应使反演 圆的圆心不在 已
知 直线 上 ） 的反 形 ， 因为 直 线 的反 形 为 圆 ， 所 以经 过
公共点的共轴 圆组中的一个 圆； 结论 ： 圆Ｄ 与圆 ０ 的根轴与直线 Ａ ， ， 的交于
图 ４ 求 ２点和直线 的反形
定点 ， 该点与上一步所需求作的点 Ｐ为同一点 。
作图步骤 ： １ ） 作反演圆 ０ ， 。为确保直线 的反形是 圆， 反
ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｖ ｅ ｈｅ ｔ ｏ ｒ ｙ ｏ ｆ Ｅｕ ｃ ｌ ｉ ｄ ｅ ｎ ａ ｇ ｏ ｍｅ ｅ ｔ ｒ ｙ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ：Ｅ ｕ ｃ ｌ ｉ ｄ ｅ ｎ ａ ｇ ｏ ｍｅ ｅ ｔ ｒ ｙ；ｇ ｒ ａ ｐ ￣ｃ ｍｅ ｈｏ ｔ ｄ ；ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｖ ｅ ｈｅ ｔ ｏ ｙ ；Ａｐ ｒ ｏ ｌ ｌ ｏ ｎ ｉ ｕ ｓ Ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ．
Ｚ Ｈ Ａ ＮＧ Ｘｉ ｎ ｇ ｌ ｉ ａ ｎ ｇ术 ．ＤＯ ＮＧ Ｊ ｕ ｎ ｈ ｕ ｉ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ，Ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ ｄ ｕ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｉ ｇ ｃ ａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｃｈ ｅ ｎ ｇ ｄ ｕ ６ １ １ ７ ３ ０， Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
图１ ２点 连 线 与 已知 直 线 平 行
能作 １ 个 圆 与 已知 直线 相切 ， 如 图 １所 示 。该 圆与 已知直 线 的 切点 为 过线 段 Ａ Ｂ 中点作 直 线 Ｌ的垂线
段 的垂 足 。
图２ ２点连线与已知直线垂直
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５— ０ ６— ２ ０ 作者简介 ：张兴亮（ １ ９ ７ ５ 一 ） ， 男（ 汉族 ） ， 重庆人 ， 副教授 ， 硕士 ， 研 究方向 ： 计算机辅助 设计、 图形 学 ， 通信 作者邮 箱： ８ ７ ６ ６ ２ １ ２ ６ ８
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Hale Waihona Puke 董军辉（ １ ９ ７ ６ 一 ） ， 男（ 汉族） ， 河北赵县人 ， 讲师 ， 硕 士， 研 究方向 ： 计算机辅助设计 、 图形学。
２ ０ １ ５ 年第 ４ 期
张兴亮， 董军辉 ： 过 ２点与直线相切的圆的分析与图解
演圆 ０ ， 的圆心不应在直线 Ｌ上。为便于作图， 反演 圆０ ， 的半径应 足 够大 。 ２ ） 过点 Ｂ作圆 ０ ， 的切线 ， 切点为 ， 过 作 线段 ０ ， Ｂ的垂线 ， 垂足 ， 为点 关于圆 ０ ， 的反形 。 ３ ） 同理可作出 Ａ点的反形 Ａ ， 。 ４ ） 过 圆心 Ｄ ， 作直线 的垂线段 ， 垂足 。 ５ ） 作 的反 型 。 ６ ） 以线 段 ０ ， 为 直径 作 圆 Ｄ ， 圆０ 为直 线 ￡
问题 的作 图方 法 ， 可应 用 于 平 面机 构 图解 法 中的 位
置分析 与综 合 。
ｌ 阿波罗尼奥斯问题的特殊情况描述
根据 已知 ２点 连 线 与 已知 直 线 的位 置关 系 ， 过 已知 ２点作 与 已知 直线相 切 的圆 ， 共 有 ３种情 况 。
当 ２点连线 与 已 知直 线 平 行 时 ， 过 已知 ２点 只
反演变换后 ， 问题转换成 ： 作 已知共轴圆 系中的圆 ， 该 圆与 已知 圆相 切 ， 问题被 解 决 。
３ 求 已知 ２点 和直 线的反形
如 图 ４所 示 ： 圆０ ， 是反演圆 ； ０ 是 直线 ￡经反
演变换后的反形 ； Ａ ， 点是 Ａ点的反形； Ｂ ， 点是 曰点 的反形。经反演变换 ， 问题转换 为： 求过 点 Ａ ， 、 点 ， 作 圆与 圆 Ｄ 相切 。
Ａｈ ｓ ｔ ｒ ａ ｅ ｔ ：Ａ ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ａ ｌ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ａｐ ｏ ｌ ｌ ｏ ｎ ｉ ｕ ｓ Ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｉ ｓ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｗｏ ｏ ｆ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ ｃ ｉ ｒ ｃ ｌ ｅ ｓ ａ ｅ ｒ ｄ ｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｏ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｓ ａ ｎｄ ｎｏ ａ ｔ ｈ ｅ ｒ ｃ ｉ ｒ ｃ ｌ ｅ ｉ ｓ ｄ ｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｏ ｌ ｉ ｎ ｅ ． Ａｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ｈｅ ｔ ｏｓ ｐ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｂ ｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ｈｅ ｔ ｌ ｉ ｎ ｅ ｐ ａ ｓ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｔ ｗｏ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｏｉ ｐ ｎ ｔ ｓ ｎｄ ａ ｈｅ ｔ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ．Ｔｈ ｅ ｒ ｅ ａ ｆ ｅ ｔ ｈ ｒ ｅ ｋ ｉ ｎ ｄ ｓ ｏ ｆ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｗｈ ｅ ｎ ｄ ｒ ａ ｗｉ ｎ ｇ ｃ ｉ ｒ ｃ ｌ ｅ ｓ ｐ ａ ｓ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｔ ｗｏ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｓ ｎｄ ａ ｔ ａ ｎ ｇ ｅ ｎ ｔ ｔ ｏ ａ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｇ ｈ ｔ ｌ ｉ ｎ ｅ ．Ｗ ｈ ｅ ｎ ｈｅ ｔ ｌ ｉ ｎ ｅ ｐａ ｓ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｔ ｗｏ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｏｉ ｐ ｎ ｔ ｓ ｉ ｓ ｏ ｂ ｌ ｉ ｑ ｕ ｅ ｔ ｏ ｈｅ ｔ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ
在这个前提 下， 根 据 已知 ２点连 线与 已知 直线的位 置关 系， 过 已知 ２点作与 已知直线相切的 圆， 共有 ３种情况。 当已知 ２点连
线 与 已知 直 线斜 交 时 ， 过 已知 ２点 可 作 ２圆 与 已知 直 线 相切 ， 根 据 近 代 欧 氏几 何 中 的反 演理 论 ， 提 出 了一种 作 出这 ２圆 的 图解 方法， 并对作 图依据进行 了分析与论证 。 关键词 ： 欧 氏几何 ； 图解方法； 反演理论 ； 阿波罗尼 奥斯 问题 中图分类号 ： ０ １ ８ ５ ． ２ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： ２ ０ ９ ５— ５ ３ ８ ３ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ４— ０ ０ ３ ４— ０ ３
ｌ ｉ ｎ ｅ ，ｔ ｈｅ ｒ ｅ ａ ｒ ｅ ｔ ｗｏ ｓ ｕ ｃ ｈ ｃ ｉ ｒ ｃ ｌ ｅ ｓ ｐ ａ ｓ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｔ ｗｏ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｓ ａ ｎ ｄ ｔ ａ ｎ ｇ ｅ ｎ ｔ ｔ ｏ ａ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ，ａ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｉ ｃ ｍｅ ｈｏ ｔ ｄ ｄ ｒ ａ ｗｉ ｎ ｇ ｓ ｕ ｃ ｈ ｔ ｗｏ ｃ ｉ ｒ ｃ ｌ ｅ ｓ ｉ ｓ ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｄ ｅ ｄ
图３ ２点连线与 已知直线倾斜
２ 求解 思 路