人教版七年级下册：数学思想方法专题练习
《数学思想方法》综合练习(含答案)
《数学思想方法》综合练习一、填空题1.《九章算术》思想方法的特点是开放的归纳体系算法化的内容模型化的方法。
2.古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以《九章算术》为典范。
3.在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的《几何原本》。
4.《几何原本》所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。
5.推动数学发展的原因主要有两个：①实践的需要，②理论的需要：数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
6.变量数学产生的数学基础是解析几何，标志是微积分。
7.数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。
&随机现象的特点是在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。
9.等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征：两边相等，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。
10.学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段、①潜意识阶段，②明朗化阶段,③深刻理解阶段。
11.数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。
12.抽象的含义：取其共同的本质属性或特征，舍去其非本质的属性或特征的思维过程13.强抽象就是指，通过把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。
14.菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：一组邻边相等，加入到平行四边形概念中去,使平行四边形概念得到了强化。
15.演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
16.所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法：常称这种方法为类比法，也称类比推理。
17.反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。
18.在反例反驳中，构造一个反例必须满足条件（1）反例满足构成猜想的所有条件（2）反例与构成猜想的结论矛盾。
专项训练(一) 《思想方法》-七年级数学期末总复习(人教版)
专项训练(一) 《思想方法》(解析版)一、整体法1.将(x+y)+2(x+y)－4(x+y)合并同类项得( ) A. (x+y)B. －(x+y)C. －x+yD. x －y2.已知关于x 的一元一次方程133 x+1＝2x+a 的解为x ＝－1,那么关于y 的一元一次方程133 (y+2)+1＝2(y+2)+a的解为( ) A.y ＝－1B.y ＝1C.y ＝－3D.y ＝33.解方程:32 (3x －1)－12 (3x －1)＝5.4.已知|m+n －2|+(mn+3)2＝0,求3(m+n)－2[mn+(m+n)]－3[2(m+n)－3mm]的值5.计算:(134 －78 －712 )÷(－78 )+(－78 )÷(134 －78 －712 )6.如图所示,OC 是∠AOD 的一条三等分线,OE 是∠BOD 的一条三等分线,已知∠AOB＝150°,求∠COE 的度数.二、转化法1.计算:(－0.5)－(－314 )+2.75－(+712 )2.定义一种新运算“⊕”:a⊕b＝a －2b,例如:2⊕(－3)＝2－2×(－3)＝2+6＝8. (1)求(－3)⊕2的值；(2)若(x －3)⊕(x+1)＝1,求x 的值3.已知A,M 都是多项式,且M ＝ab+2bc －4ac,小明在计算A+M 时,由于马虎将A+M 误写成A －M,得到的结果是3ab －2ac+5bc.你能根据这个结果求得原题的正确结果吗？试试看4.如图所示,OA,OB,OC,OD 都是以O 点为端点的射线,∠AOC＝∠BOD＝90°若∠COD＝30°,求∠AOB 的度数5.定义运算＝a －b+c,＝x －y+n －m,求×的值三、分类讨论1.在直线l上取三点A、B、C,使线段AB＝8cm,AC＝3cm,则线段BC的长为( )A.5 cmB.8 cmC.5cm或8cmD.5cm或11cm2.已知|x|＝2,a2＝4,则代数式x3+a的值是( )A.10、6B.10、－6C.±10、±6D.－10、－63.点A在数轴上距原点2个单位长度,将点A向右移动5个单位长度,再向左移动7个单位长度,此时点A表示的数是________4.比较a－b、a+b、a三个数的大小5.已知a,b为常数,且三个单项式4xy2,axy b,－5xy相加的结果仍然是单项式,求a和b的值6.在平面上,已知∠AOB＝80°,∠BOC＝50°,若OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,求∠MON的度数四、方程思想1.(1)如果互为余角的两角度数之差是3°,那么这两个角的度数各是多少？(2)如果一个角的余角与这个角的3倍的补角相等,那么这个角的度数是多少？2.已知一个角的补角的余角比这个角的25 多6°,求这个角的度数3.某公司销售甲、乙两种运动鞋,2018年这两种鞋共卖出11000双.2019年甲种运动鞋卖出的数量比2018年增加6%,乙种运动鞋卖出的数量比2018年减少5%,且这两种鞋的总销量增加了2% (1)求2018年甲、乙两种运动鞋各卖了多少双？(2)某制鞋厂组织工人生产甲、乙两种运动鞋.原计划安排23 的工人生产甲种运动鞋,现抽调其中的16人去生产乙种运动鞋,已知每位工人一天可生产甲种运动鞋6双或乙种运动鞋4双,若调配后制成的两种运动鞋数量相等,求该鞋厂工人的人数五、数形结合1.下列各数中大于3的数是( ) A.到原点距离大于3的点所表示的数 B.原点右侧的点所表示的数C.与3的对应点距离大于1的点所表示的数D.3的对应点右边的点所表示的数2.有理数a,b 在数轴上的位置如图所示,则必有( )A. a+b>0B.a －b<0C. ab >0D.a b<0 3.如图,是一个正方体纸盒的展开图,其中的六个正方形内分别标有数字“0”“1”“2”“5”和汉字“数”“学”,将其围成一个正方体后,则与“5”相对的是( )A.“0”B.“2”C.“数”D.“学”4.如图,是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图,其由6个颜色不同的正方形组成.设中间最小的一个正方形边长为1,求这个长方形色块图的面积【参考答案及解析】专项训练(一)一、整体法1.B 【解析】将x+y 看作一个整体进行合并同类项,那么x+y 的系数和为1+2－4＝－1,所以B 选项正确2.C 【解析】因为关于x 的一元一次方程133 x+1＝2x+a 的解得:x ＝－1,所以关于y 的一元一次方程133(y+2)+1＝2(y+2)+a 中y+2＝－1,解得:y ＝－3. 3.解:去分母,得3(3x －1)－(3x －1)＝10,合并,得:2(3x －1)＝10,所以:3x －1＝5,解得:x ＝2. 4.解:因为|m+n －2|≥0,(mn+3)2≥0,且|m+n －2|+(mn+3)2＝0,所以|m+n －2|＝0,(mn+3)2＝0.由 |m+n －2|＝0,得m+n ＝2；由(mn+3)2＝0,得mn ＝－3. 所以3(m+n)－2[mn+(m+n)]－3[2(m+n)－3mm]＝3(m+n)－2mm －2(m+n)－6(m+n)+9mn ＝(3－2－6)(m+n)+(－2+9)mn ＝－5(m+n)+7mn 当m+n ＝2,mn ＝－3时,原式＝－5×2+7×(－3)＝－10－21＝－31. 5.解:(134 －78 －712 )÷(－78 )＝(134 －78 －712 )×(－87)＝74 ×(－87 )+(－78 )×(－87 )+(－712 )×(－87 ) ＝－2+1+23＝－13则(－78 )÷(134 －78 －712 )＝－3,故原式＝－13 －3＝－3136.解:观察图形可知∠COE＝∠COD+∠DOE,∠COD＝23 ∠AOD,∠DOE＝23 ∠BOD,则∠COE＝∠COD+∠DOE＝23 ∠AOD+23 ∠BOD＝23 (∠AOD+∠BOD)＝23 ∠AOB＝23×150°＝100° 二、转化法1.解:原式＝－0.5+(+3.25)+2.75+(－7.5) ＝－0.5+3.25+2.75+(－7.5) ＝(－0.5－7.5)+(3.25+2.75) ＝－8+6＝－2.2.解:(1)根据新定义,得:原式＝－3－2×2＝－3－4＝－7.(2)根据新定义,得:x－3－2(x+1)＝1,解这个方程,得:x＝－6.3.解:能方法如下:A+M＝(A－M)+2M＝3ab－2ac +5bc +2(ab +2bc －4ac)＝3ab－2ac +5bc +2ab +4bc －8ac＝5ab-10ac+9bc4.解:因为∠AOC＝∠BOD＝90°,所以∠AOD+∠COD＝90°,∠BOC+∠COD＝90°,所以∠AOD＝∠BOC.因为∠COD＝30°,所以∠A OD＝∠AOC－∠COD＝90°－30°＝60°所以∠AOB＝∠AOD+∠COD+∠BOC＝2∠AOD+∠COD＝2×60°+30°＝150°5.解:根据题目中定义的运算规则,原式＝(19－96+41)×(55－55+96－6)＝－36×90＝－3240.三、分类讨论1.D【解析】①当点C在线段BA的延长线上时,如图所示:可得BC＝AB+AC＝11(cm)；②当点C在线段AB上时,如图所示:可得BC＝AB－AC＝5(cm),综上所述,线段BC的长为5cm或11cm.2.C【解析】因为｜x｜＝2,a2＝4,所以x＝±2,a＝±2,(1)x＝2,a＝2时,x3+a＝23+2＝10.(2)x＝2,a＝－2时,x3+a＝23－2＝6.(3)x＝－2,a＝2时,x3+a＝(－2)3+2＝－6.(4)x＝－2,a＝－2时,x3+a＝(－2)3－2＝－103.0或－4 【解析】点A可能在原点的右侧,也可能在原点的左侧,因此有两种情况.故答案为:0或－4.4.解:分两种情况:①b<0,所以a+b<a<a－b；②b>0,所以a+b>a>a－b.5.解:①若axy b与－5xy为同类项,则b＝1,因为三个单项式的和为单项式,所以axy b+(－5xy)＝0,所以a＝5,所以a＝5,b＝1.②若4xy2与axy b为同类项,则b＝2,因为三个单项式的和为单项式,所以axy b+4xy2＝0,所以a＝－4.所以a＝－4.b＝2.综上,a＝5,b＝1或a＝－4,b＝2.6.解:分两种情况计算:①如图1,当OC落在∠AOB的内部时:因为OM 平分∠AOB,所以∠BOM＝12 ∠AOB ＝12 ×80°＝40°,因为ON 平分∠BOC,所以∠BON＝12 ∠BOC＝12 ×50°＝25°,所以∠MON＝∠BOM－∠B ON ＝40°－25°＝15° ②如图2,当OC 落在∠AOB 的外部时；因为OM 平分∠AOB,ON 平分∠BOC,所以∠BOM＝12 ∠AOB ＝12 ×80°＝40°,∠BON＝12 ∠BOC＝12 ×50°＝25°,所以∠MON＝∠BOM+∠BON＝40°+25°＝65°综上所述,∠MON 的度数为15°或65°四、方程思想1.解:(1)设其中较小的角为x,则较大的角为x+30°,根据题意得:x+x+30°＝90°,解得:x ＝30°,x+30°＝60° 即这两个角的度数分别为30°,60°(2)设这个角为x,则它的余角为90°－x,它的3倍的补角为180°－3x,根据题意得:90°－x ＝180°－3x,解得:x ＝45°即这个角的度数为45°2.解:设这个角的度数为a,则90°－(180°－a)＝25 a+6°,解得:a ＝160°即这个角为160°3.解:(1)设2018年甲种运动鞋卖了x 双,则乙种运动鞋卖了(11000－x)双, 由题意,得:6%x －5%(11000－x)＝11000×2%,解得:x ＝7000,(1000－x)＝4000, 答:2018年甲种运动鞋卖了7000双,则乙种运动鞋卖了4000双(2)设该鞋厂有y 名工人,则生产甲种运动鞋的人数为(23 y －16),生产乙种运动鞋的人数为(13 y+16),由题意得:6(23 y －16)＝4(13 y+16),解得:y ＝60,答:该鞋厂有工人60人五、数形结合1.D 【解析】画出数轴可以看出:A 中的数是大于3与小于－3的数；B 中的数是大于的数；C 中的数是大于4与小于2的数；D 中的数是大于3的数.故选D.2.D 【解析】由数轴可知0<a<1,b<－1,且|b|>|a|,因此有a+b<0,a －b>0,ab<0,ab<0.故选D.3.A 【解析】根据正方体的表面展开图的特征,易得与“2”相对的是“学”,与“1”相对的是“数”,与“5”相对的是“0”4.解:设右下角两个边长相等的正方形的边长为x,则顺时针方向上的其余三个正方形的边长依次为x+1,x+2,x+3 根据长方形的对边相等,可得x+x+(x+1)＝(x+2)+(x+3),解得:x ＝4.所以(x+2)+(x+3)＝13,(x+2)+(x+1)＝11,故面积为:13×11＝143.。
七年级数学下册第五章相交线与平行线学科素养思想方法(含解析)新人教版(2021-2022学年)
第五章相交线与平行线学科素养•思想方法一、转化与化归思想【思想解读】转化思想是把一种待解决的问题经过某种转化,归类到已经解决的问题中去。
转化思想在解数学题时,所给条件往往不能直接应用，此时需要将所给条件进行转化,在解题中经常用到,它包括未知向已知的转化，陌生向熟悉的转化,复杂向简单的转化,抽象向具体的转化；数与形的转化等.【应用链接】在证明线的位置关系或有关角度计算时,常利用平行线的性质把没有关联的角转化为对顶角或邻补角之间的关系进行处理,反之把具有对顶角或邻补角关系转化为在同一个“三线八角”图形结构中进行处理．【典例1】(2016·金华中考)如图,已知AＢ∥CD,BC∥ＤE.若∠A＝２0°,∠Ｃ=120°，则∠AEＤ的度数是_＿___＿_＿.【自主解答】如图,延长AＥ交ＢC于点F,因为AB∥ＣＤ,∠C=12０°,所以∠Ｂ=60°，又因为ＢＣ∥DE,所以∠AＥD=∠ＡFC＝∠B+∠A=６0°+２0°＝８０°.答案：80°【变式训练】（２０17·同安区期中)如图,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠3,你能判断∠C与∠AED的大小关系吗?并说明理由．【解析】∠Ｃ与∠AED相等，理由为:∵∠１+∠２=1８0°（已知)，∠１＋∠DFE＝18０°(邻补角定义)，ﻬ∴∠２=∠ＤＦE（同角的补角相等）,∴ＡB∥EF(内错角相等,两直线平行)，∴∠3=∠ADＥ（两直线平行,内错角相等),又∠Ｂ=∠3(已知)，∴∠B=∠ＡDE(等量代换），∴ＤE∥BC（同位角相等，两直线平行)，∴∠C＝∠AED(两直线平行,同位角相等）。
二、分类讨论思想【思想解读】分类讨论思想是一种常见的数学思想方法。
具体来说,就是把包含多种可能情况的问题,按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决.【应用链接】在几何问题中,涉及到图形之间的位置关系不定时，需要应用分情况讨论问题的方法．【典例2】如图,AD∥ＢC,当点Ｐ在射线OM上运动时(点P与点A，B，Ｏ三点不重合)，∠ＡＤP=∠α,∠ＢＣP=∠β,求∠CPD与∠α,∠β之间有何数量关系?请说明理由.【自主解答】分三种情况进行讨论：①当点Ｐ在Ａ，B两点之间运动时，∠CPＤ=∠α+∠β。
人教版七年级数学下册3思想方法专题相交线与平行线中的思想方法
思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法——明确解题思想，体会便捷渠道◆类型一方程思想1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝1∶2，则∠AOE的度数为()A．180°B．160°C．140°D．120°第1题图第2题图2．(2017·无棣县期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠EOD＝4∶1，则∠AOF的度数为________．3．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠α，∠D，∠B的度数．4．(2017·启东市期末)如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC.(1)若∠DBC＝30°，求∠A的度数；(2)若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．◆类型二分类讨论思想5．若∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是() A．18°B．126°C．18°或126°D．以上都不对6．(2017·玄武区期末)在直线MN上取一点P，过点P作射线P A、PB.若P A⊥PB，当∠MP A ＝40°，则∠NPB的度数是________________．7．(2017·江干区一模)一副直角三角尺按如图①所示方式叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图②，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD(0°＜∠BAD＜180°)其他所有可能符合条件的度数为________________________________________________________________________．8．如图，已知直线l1∥l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD上的一个动点．当P在直线CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．◆类型三(转化思想)利用平移进行转化求图形的周长或面积9．如图，直角三角形ABC的周长为100，在其内部有6个小直角三角形，则6个小直角三角形的周长之和为________．第9题图10．(2017·惠山区期中)如图，直径为2cm的圆O1平移3cm到圆O2的位置，则图中阴影部分的面积为________cm2.第10题图11．(2017·嘉祥县期末)如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为________．12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC 沿AB方向向右平移得到三角形DEF.若AE＝8cm，DB＝2cm.(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长；(2)求四边形AEFC的周长．◆类型四从特殊到一般的思想13．(2017·蔡甸区月考)如图①，三条直线两两相交，且不共点，则图中同旁内角有________对；如图②，四条直线两两相交，任三条直线不经过同一点，则图中的同旁内角有________对．14．(2017·楚雄州期末)如图，已知AB∥CD，试解决下列问题：(1)∠1＋∠2＝________；(2)∠1＋∠2＋∠3＝________；(3)∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；(4)试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n ＝____________． 15．(2017·丛台区期末)如图，AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 两个角的平分线相交于点F .(1)如图①，若∠E ＝80°，求∠BFD 的度数；(2)如图②，∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，写出∠M 与∠E 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n ∠CDF ，设∠E ＝m °，直接用含有n ，m °的代数式表示∠M ＝________．参考答案与解析1．B 2.120°3．解：设∠α＝2x °，则∠D ＝3x °，∠B ＝4x °.∵FC ∥AB ∥DE ，∴∠2＋∠B ＝180°，∠1＋∠D ＝180°，∴∠2＝180°－∠B ＝180°－4x °，∠1＝180°－∠D ＝180°－3x °.又∵∠1＋∠2＋∠α＝180°，∴(180－3x )＋(180－4x )＋2x ＝180，解得x ＝36，∴∠α＝2x °＝72°，∠D ＝3x °＝108°，∠B ＝4x °＝144°.4．解：(1)∵BD 平分∠EBC ，∠DBC ＝30°，∴∠EBC ＝2∠DBC ＝60°.∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝2∠EBC ＝120°.∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠ABC ＝180°，∴∠A ＝60°.(2)存在∠DFB ＝∠DBF .设∠DBC ＝x °，则∠EBC ＝2x °，∠ABC ＝2∠EBC ＝4x °.∵7∠DBC －2∠ABF ＝180°，∴7x °－2∠ABF ＝180°，∴∠ABF ＝⎝⎛⎭⎫72x －90°，∴∠CBF ＝∠ABC －∠ABF ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋90°，∠DBF ＝∠CBF －∠DBC ＝⎝⎛⎭⎫90－12x °.∵AD ∥BC ，∴∠DFB ＋∠CBF ＝180°，∴∠DFB ＝⎝⎛⎭⎫90－12x °，∴∠DFB ＝∠DBF . 5．C 解析：∵∠α与∠β的两边分别平行，∴∠α与∠β相等或互补．设∠α＝x °，∵∠α比∠β的3倍少36°，∴若∠α与∠β相等，则x ＝3x －36，解得x ＝18.若∠α与∠β互补，则x ＝3(180－x )－36，解得x ＝126，∴∠α的度数是18°或126°.故选C.6．50°或130° 解析：分两种情况：(1)如图①，∵P A ⊥PB ，∠MP A ＝40°，∴∠NPB ＝180°－90°－40°＝50°；(2)如图②，∵P A ⊥PB ，∠MP A ＝40°，∴∠MPB ＝50°，∴∠NPB ＝180°－50°＝130°.综上所述，∠NPB 的度数是50°或130°.7．45°，60°，105°或135° 解析：分以下四种情况：(1)AC ∥DE ，如图①，此时点B 在AE 上，∴∠BAD ＝45°；(2)AB ∥DE ，如图②，∴∠EAB ＝∠E ＝90°，∴∠BAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝135°；(3)BC ∥AD ，如图③，∴∠BAD ＝∠B ＝60°；(4)BC ∥AE ，如图④，∴∠BAE ＝∠B ＝60°，∴∠BAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝105°.综上所述，∠BAD 其他所有可能符合条件的度数为45°，60°，105°，135°.8．解：分以下三种情况：(1)当点P 在线段CD 上运动时，如图①.过点P 向左作PE ∥l .∵l 1∥l 2，∴PE ∥l 2.∴∠APE ＝∠1，∠BPE ＝∠3，∴∠2＝∠APE ＋∠BPE ＝∠1＋∠3.(2)当点P 在l 1上方运动时，如图②，过点P 向左作PF ∥l 2.∵l 2∥l 1，∴PF ∥l 1.∴∠FPB ＝∠3，∠FP A ＝∠1，∴∠2＝∠FPB －∠FP A ＝∠3－∠1.(3)当点P 在l 2下方运动时，如图③，过点P 向左作PM ∥l 2.∵l 1∥l 2，∴PM ∥l 1，∴∠APM ＝∠1，∠BPM ＝∠3，∴∠2＝∠APM －∠BPM ＝∠1－∠3.9．100 10.6 11.24cm 212．解：(1)∵三角形ABC 沿AB 方向向右平移得到三角形DEF ，∴AD ＝BE ＝CF ，EF ＝BC ＝3cm.∵AE ＝8cm ，DB ＝2cm ，∴AD ＝BE ＝CF ＝8－22＝3(cm)．(2)四边形AEFC 的周长为AE ＋EF ＋CF ＋AC ＝8＋3＋3＋4＝18(cm)． 13．6 24 14．(1)180° (2)360° (3)540° 解析：过点E ，F 向右作EG ，FH 平行于AB .∵AB ∥CD ，∴AB ∥EG ∥FH ∥CD ，∴∠1＋∠AEG ＝180°，∠GEF ＋∠EFH ＝180°，∠HFC ＋∠4＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.(4)180°(n －1) 解析：易知有n 个角，需作(n －2)条辅助线，运用(n －1)次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n 个角的和是180°(n －1)．15．解：(1)如图，过点E 向左作EG ∥AB ，过点F 向右作FH ∥AB .∵AB ∥CD ，∴EG ∥AB ∥FH ∥CD ，∴∠ABF ＝∠BFH ，∠CDF ＝∠DFH ，∠ABE ＋∠BEG ＝180°，∠GED ＋∠CDE ＝180°，∴∠ABE ＋∠BEG ＋∠GED ＋∠CDE ＝360°.∵∠BEG ＋∠DEG ＝∠BED ＝80°，∴∠ABE ＋∠CDE ＝280°.∵∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于F ，∴∠ABF ＝12∠ABE ，∠CDF ＝12∠CDE ，∴∠ABF ＋∠CDF ＝12(∠ABE ＋∠CDE )＝140°，∴∠BFD ＝∠BFH ＋∠DFH ＝∠ABF ＋∠CDF ＝140°.(2)∵∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，∴∠ABF ＝3∠ABM ，∠CDF ＝3∠CDM .∵∠ABE 与∠CDE 两个角的平分线相交于点F ，∴∠ABE ＝6∠ABM ，∠CDE ＝6∠CDM ，由(1)知∠ABE ＋∠E ＋∠CDE ＝360°，∴6∠ABM ＋6∠CDM ＋∠E ＝360°.过点M 向右作MN ∥AB ，易证∠M ＝∠ABM ＋∠CDM ，∴6∠M ＋∠E ＝360°.(3)360°－m °2n 解析：由(2)可得，2n ∠ABM ＋2n ∠CDM ＋∠E ＝360°，∠M ＝∠ABM ＋∠CDM ，∴∠M ＝360°－m °2n .故答案为360°－m °2n.高频考点强化训练：三视图的有关判断及计算时间：30分钟 分数：50分 得分：________乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2016·杭州中考)下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是( )2．(2016·贵阳中考)如图是一个水平放置的圆柱形物体，中间有一细棒，则此几何体的俯视图是【易错6】( )3．如图所示的主视图、左视图、俯视图是下列哪个物体的三视图( )4．如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则不同的视图是( )5．一个长方体的主视图、俯视图如图所示(单位：cm)，则其左视图的面积为( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A．36cm2 B．40cm2C．90cm2 D．36cm2或40cm2第5题图第6题图6．(2016·承德模拟)由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图和左视图如图所示，那么组成这个几何体的小正方体个数可能有( )A．8个 B．6个 C．4个 D．12个二、填空题(每小题4分，共16分)7．下列几何体中：①正方体；②长方体；③圆柱；④球．其中，三个视图形状相同的几何体有________个，分别是________(填几何体的序号)．8．如图，水平放置的长方体的底面是边长为3和5的长方形，它的左视图的面积为12，则长方体的体积等于________．9．如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的主视图和左视图的面积之和是________．第8题图 第9题图 第10题图10．(2016·秦皇岛卢龙县模拟)由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则x 的值为________，y 的值为________．三、解答题(10分)11．如图所示的是某个几何体的三视图． (1)说出这个几何体的名称；(2)根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．中考必考点强化训练专题：简单三视图的识别◆类型一 简单几何体的三视图1．(2016·杭州中考)下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..第1 题图 第2题图 第3题图 2．(2016·抚顺中考)如图所示几何体的主视图是( )3．(2016·南陵县模拟)如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是( )4．(2016·肥城市一模)如图所示的四个几何体中，它们各自的主视图与俯视图不相同的几何体的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．(2016·宁波中考)如图所示的几何体的主视图为( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..6．(2016·鄂州中考)一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图正确的是( ) 7．(2016·菏泽中考)如图所示，该几何体的俯视图是( ) ◆类型二 简单组合体的三视图 8．(2016·黔西南州中考)如图，是由几个完全相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是( ) 9．(2016·营口中考)如图所示的物体是由两个紧靠在一起的圆柱体组成，小明准备画出它的三视图，那么他所画的三视图中的主视图应该是( ) 10．(2016·日照中考)如图，小明同学将一个圆锥和一个三棱柱组成组合图形，观察其三视图，其俯视图是( ) 11．(2016·烟台中考)如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..这个几何体的主视图和俯视图分别为( )。
人教版数学七年级下册---思想和方法
数学思想和方法四川王小龙许多数学思想方法都与一元一次不等式（组）知识有着紧密的联系，下面就其中的两种数学思想方法作具体地介绍.一、分类讨论思想分类讨论既是一种思想，又是解决问题的思维方法，运用它可使问题的解答更严谨，克服思维的片面性，防止漏解或结论不严密．分类讨论的一般步骤是首先根据题目要求确定分类对象；其次针对对象进行合理分类；最后对分类合并、归纳，作出综合性结论.例1已知不等式组无解，则a的取值范围是_________.解析：解不等式3+2x≥1，得x≥﹣1.解不等式x﹣a<0，得x<a.本题需对a与﹣1的大小进行分类讨论，对于a与﹣1的大小可以通过数轴来确定，a 在数轴上的位置有如下三种情况：容易看出，在a满足情况（1）与（2）时，原不等式组无解，所以a≤﹣1.跟踪训练1已知不等式组.写出k取不同范围值的情况下，不等式组的解.二、数学建模思想数学建模旨在拓展学生的思维空间，使学生在进行数学知识和实际生活双向构建的过程中，体会到数学的价值，享受学习数学的乐趣.数学建模是对日常生活中的实际问题进行抽象，建立数学模型，然后求解数学模型的过程.例2为了保护环境，某企业决定用不高于105万元的资金，购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表：（1）该企业有几种购买方案？（2）若该企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？解析：构建不等式模型是解决本题的关键，同时还要注意题目中的关键词“不高于”和隐含的“保证将每月的污水处理掉”.（1）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（10﹣x）台，根据题意，得12x+10（10﹣x）≤105.解这个不等式,得x≤2.5.因为x取非负整数，所以x=0，1，2．所以有三种购买方案：①购买A型0台，B型10台；②购买A型1台，B型9台；③购买A型2台，B型8台.（2）由于不管哪种方案，都要以处理掉2040吨污水为前提，所以240x＋200（10－x）≥2040.解得x≥1，所以x=1，2.当x=1时，购买资金为12×1＋10×9＝102（万元）；当x=2时，购买资金为12×2＋10×8＝104（万元）.所以应选择的方案为：②购买A型1台，B型９台.跟踪训练2某服装店欲购甲、乙两种新款运动服，甲款每套进价350元，乙款每套进价200元，该店计划用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服．（1）该店订购这两款运动服，共有哪几种方案？（2）若该店以甲款每套400元，乙款每套300元的价格全部出售，哪种方案获利最大？答案1.解:当k<2时，解集为﹣1<x<1﹣k；当k≥2时，无解.2.解：（1）方案一：甲款11套，乙款19套；方案二：甲款12套，乙款18套；方案三：甲款13套，乙款17套；（2）方案一获利最大．。
初中七年级下册数学基础习题练习： 整体思想在解题中的应用
整体思想在解题中的应用【知识要点】整体思想方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
【经典例题】例1.若0132=-+x x ，求185523+++x x x 的值.例2．若z y x ,,满足173=++z y x 和2001104=++z y x ，则分式y x z y x 3200020002000+++的值为多少？。
例3．计算)20051190511805117051)](2105120051190511805117051(1[)2105120051190511805117051)](20051190511805117051(1[++++++++-++++++++例4．设2006321,,,,a a a a Λ都是正数，如果)()(200632200521a a a a a a M +++⋅+++=ΛΛ， )()(200532200621a a a a a a N +++⋅+++=ΛΛ，比较M 、N 的大小。
例5．甲、乙两同学从400m 环形跑道上的某一点背向出发，分别以2m/s 和3m/s 的速度慢跑。
小狗以6m/s 的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以6m/s 的速度去甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了多少米？【练习】1．若133=-x x ，则200173129234+--+x x x x 的值等于（ ）A 、1999B 、2001C 、200D 、20052．把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立体图形，然后将露出的表面部分染成红色，那么红色部分的面积为（ ）A 、21B 、24C 、33D 、373．甲、乙两人在长400m 的直路上来回慢跑，速度分别为3m/s 和2.5m/s 。
(word完整版)初一数学分类讨论思想例题分析及练习(2)
分类讨论思想在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。
在数学学习中，我们不仅要分阶段学习知识，还要适时的总结一下数学思想方法。
初中常见的数学思想有：分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。
分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。
特别就中考而言，经常出现带有这种思想的考题。
几乎可以这么说：“分类讨论一旦出现，就是中高档次题”。
今天，我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。
在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。
1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。
2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。
3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。
【例1】解方程：|x-1|=2分析：绝对值为2 的数有2个解：x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1说明应该说，绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。
其实归根究底，一般考察绝对值的问题有三。
1. 化简(如当a<0<b时，化简|a-1|+|b+1|+|a-b|)处理方法：根据绝对值符号内的式子的正负性2. 类似于“解方程”(如本题)处理方法：注意解往往不只一个，需关注绝对值为正数的数有两个。
3. 使用绝对值的几何意义解题(如已知|x-1|<2，求x的取值范围)处理方法：画数轴，|x-1|<2表示数轴上到表示1的点的距离小于2的点。
【例2】试比较1+a与1-a的大小。
分析：常规的比较大小的方法有很多种，现阶段最常用的是作差法。
两个数量的大小可以通过它们的差来判断：①a>b即a-b>0 ②a=b即a-b=0 ③a<b即a-b<0解：作差(1+a)-(1-a)=2a分类讨论：①当a>0时，2a>0，即(1+a)-(1-a)>0，即1+a>1-a②当a=0时，2a=0，即(1+a)-(1-a)=0，即1+a=1-a③当a<0时，2a<0，即(1+a)-(1-a)<0，即1+a<1-a答：当a>0时，1+a>1-a ；当a=0时，1+a=1-a ；当a<0时，1+a<1-a 。
2017-2018学年七年级数学下册 第六章 实数学科素养 思想方法(含解析)(新版)新人教版
实数学科素养•思想方法一、分类讨论思想【应用链接】在解涉及实数的平方根及实数绝对值的化简时，经常要分类讨论问题.【典例1】若实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是9的平方根，求-++(m-1)2的值. 【思路点拨】9的平方根有两个，分类讨论.【自主解答】∵a，b互为相反数，∴a+b=0.∵c，d互为倒数，∴cd=1，∵9的平方根为±3，∴m=±3.∴原式=-++(m-1)2=1+(m-1)2，当m=3时，原式=1+(3-1)2=5.当m=-3时，原式=1+(-3-1)2=17.【变式训练】1.(2014·白银中考)已知x，y为实数，且y=-+4，则x-y=______.【解析】根据被开方数非负得x2-9≥0和9-x2≥0，即x2-9≥0和x2-9≤0，从而x2-9=0，即x2=9，解得x=±3，此时y=4.当x=3，y=4时，x-y=3-4=-1；当x=-3，y=4时，x-y=-3-4=-7；∴x-y=-1或-7.答案：-1或-72.若x>0，试比较x与的大小.【解析】当0<x<1时，x<；当x=1时，x=；当x>1时，x>.二、整体思想【思想解读】整体思想就是化零为整，化分散为集中，从整体着眼，把一些看似毫不相干而实质上又紧密相联的数、式看作一个整体去处理的一种思想方法.【应用链接】应用非负数的性质求含有多个字母的代数式的值时，常用到整体思想.【典例2】(2015·资阳中考)已知(a+6)2+=0，则2b2-4b-a的值为______.【思路点拨】由(a+6)2和都是非负数，根据非负数性质可求出a的值和b2-2b的值，视b2-2b 为整体代入，即可求出2b2-4b-a的值.【自主解答】∵(a+6)2+=0，由非负数性质得a+6=0，b2-2b-3=0，解得a=-6，b2-2b=3，可得2b2-4b=6，则2b2-4b-a=6-(-6)=12.答案：12【变式训练】实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，|x|=.试求代数式x2+(a+b+cd)x++的值.【解析】由题意得：a+b=0，cd=1，x=±，当x=时，原式=6++1=7+；当x=-时，原式=6-+1=7-.三、转化思想【应用链接】实数的大小比较，常利用转化的思想，把要比较的两个数的大小取近似值或采用夹逼思想解决问题.【典例3】(2017·凉州区中考)估计与0.5的大小关系是：______0.5.(填“>”“=”或“<”)【思路点拨】可以把的近似值转化为小数，直接进行计算比较；因为0.5=，转化为同分母的两个数，比较分子的大小，只需比较-1与1的大小即可；也可以转化为求两个数的差，然后根据差的正负比较两个实数的大小.【自主解答】方法一：因为≈2.236，所以≈0.618>0.5.答案：>方法二：因为2<<3，所以1<-1<2，所以>.答案：>方法三：∵-0.5=-=，∵-2>0，∴>0，∴>0.5.答案：>【变式训练】(2017·桂林模拟)若a=，b=，试(不用将分数化为小数的方法)比较a，b的大小.【解题指南】利用化分数为整数与分数的和，然后作差比较(作差法).【解析】a==1-，b==1-，∴a-b=-=-<0，∴a<b.四、数形结合思想【思想解读】数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法.数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系，可称之为“以形助数”.【应用链接】实数与数轴上的点之间的对应关系.【典例4】(1)(2016·金华中考)若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是( )A.a<0B.ab<0C.a<bD.a，b互为倒数(2)(2016·泰安中考)如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是( )A.pB.qC.mD.n【思路点拨】根据实数在数轴上的位置，判断其正负，再进行判断.【自主解答】(1)选D.由数轴可知a<0，b>0，a<b.所以ab<0.(2)选A.n+q=0，∴点N和点Q在原点O两侧且到原点的距离相等，由四个点在数轴上位置可知OQ=ON=QN，OP>QN，OM<QN，∴p的绝对值最大.【变式训练】(2016·乐山中考)在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a-2|的结果为______.【解析】由数轴可得：a-5<0，a-2>0，则+|a-2|=5-a+a-2=3.答案：3。
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七年级下册数学思想方法专题练习目录一、转化思想...................................... 错误!未定义书签。
1.“新知识”向“旧知识”转化.................... 错误!未定义书签。
a.将三元一次方程组转化为二元一次方程组. .......... 错误!未定义书签。
b.将新定义转化为所学知识解题............................. 错误!未定义书签。
c.多项式乘多项式转化为单项式乘多项式............... 错误!未定义书签。
2.“未知”向“已知”转化........................ 错误!未定义书签。
a.将判断线段相等或角相等问题转化为判定三角形全等问题错误!未定义书签。
b.添加辅助线应用平行线的性质解题............ 错误!未定义书签。
3.“复杂”向“简单”转化........................ 错误!未定义书签。
a.利用平移的性质进行平移转化................ 错误!未定义书签。
b.将不规则图形面积转化为规则图形的面积...... 错误!未定义书签。
二、分类讨论思想.................................. 错误!未定义书签。
1.对字母、未知数的取值范围分不同情况讨论........ 错误!未定义书签。
2.对图形的位置、类型的分类讨论.................. 错误!未定义书签。
3.对问题的题设条件需分类讨论.................... 错误!未定义书签。
4.从图象中获取信息进行分类讨论 (9)5.对求解过程中不便统一表述的问题进行分类讨论.... 错误!未定义书签。
三、数形结合思想................................. 错误!未定义书签。
1.数转化为形.................................... 错误!未定义书签。
2.形转化为数 (12)3.数形结合..................................... 错误!未定义书签。
2四、方程思想 (13)1.利用方程思想解决实际问题 (13)a.列方程求解简单概率问题 (14)b.列二元一次方程组解决实际问题 (14)2.利用方程思想解决数学问题 (15)a.利用多边形内角和公式构造方程 (15)b.根据垂直、角平分线的定义及角的和差列方程 (15)c.利用余角补角构造方程求解 (15)五、整体思想 (17)1.把某些式子看成一个整体 (17)2.把某些图形看成一个整体 (18)六、数学建模思想 (18)1.不等式模型 (18)2.方程模型 (19)3.几何模型 (20)4.统计模型 (21)一、转化思想转化思想就是将所要解决的问题，转化为一个较易解决的问题或已经解决问题的思想.具体来说，就是使“新知识”向“旧知识”转化，“未知”向“已知”转化，“复杂”向“简单”转化.1.“新知识”向“旧知识”转化a.将三元一次方程组转化为二元一次方程组.b.将新定义转化为所学知识解题.c.多项式乘多项式转化为单项式乘多项式.【示例a】在等式y=ax2+bx+c，当x=-1时，y=0；当x=1时，y=-4，当x =2时，y=3，求当x=5时，y的值．【破题思维】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．【参考答案】根据题意得①-②得-2b=4，解得b=-2.把b=-2代入①，得a+2+c=0，即a+c=-2④，把b=-2代入③，得4a-4+c=3，即4a+c=7⑤，由④和⑤组成方程组解得所以y=3x2-2x-5，当x=5时，y=3×52-2×5-5=60．定义新运算“&”如下：对于任意的实数a，b，若a≥b，则a&b=；若a＜b，则a&b=．下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①当a≥b时，a&b≥0；②（-16）&20=-6；③（2&1）+（1&2）=0；④2020&2019的值是无理数．【破题思维】利用题中的新运算的定义，将新运算转化为实数的运算，【示例c】（2a-1）（a-4）-（a+3）（a-1）.【破题思维】将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式计算进而得解. 【参考答案】（2a-1）（a-4）-（a+3）（a-1）=2a(a-4)-(a-4)-a(a-1)-3(a-1)=2a2-8a-a+4-a2+a-3a+3=a2-11a+7.2.“未知”向“已知”转化a.将判断线段相等或角相等问题转化为判定三角形全等问题.b.添加辅助线应用平行线的性质解题.已知，如图，AB=AE，∠BAF=∠EAF，AF⊥CD，且F为CD中点，试说明：BC=ED．【破题思维】本题通过添加辅助线先将五边形问题转化为三角形问题，再利用全等三角形的性质说明线段相等或者角相等.【参考答案】如图，连接AC，AD，∵F为CD中点，∴CF=DF.在△ACF和△ADF中，∴△ACF≌△ADF（SAS），∴AC=AD，∠CAF=∠DAF.∵∠BAF=∠BAC+∠CAF，∠EAF=∠EAD+∠DAF∴∠BAC=∠EAD.在△BAC和△EAD中，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴BC=ED．【示例b】如图，AB∥CD．（1）如图①，若∠CMN=90°，点B在射线MN上，∠ABM=120°，求∠C 的度数；（2）如图②，若∠CMN=150°，请直接写出∠ABM与∠C的数量关系．【破题思维】本题过“拐点”作辅助线，把一个大角分为两个小角，从而与已知角建立联系，进而解决问题.【参考答案】（1）如图①，过M作MK∥AB，则∠ABM+∠1=180°，∴∠1=180°-∠ABM=60°，∵∠CMN=90°，∴∠2=90°-∠1=30°.∵AB∥CD，MK∥AB，∴MK∥CD，∴∠C=∠2=30°.（2）∠ABM-∠C=30°，理由：如图②，过M作MK∥AB，则∠ABM+∠1=180°，∴∠1=180°-∠ABM.∵AB∥CD，MK∥AB，∴MK∥CD，∴∠C=∠2.∵∠CMN=∠1+∠2=150°，即180°-∠ABM+∠C=150°，∴∠ABM-∠C=180°-150°=30°．3.“复杂”向“简单”转化a.利用平移的性质进行平移转化.b.将不规则图形面积转化为规则图形的面积.【示例a】如图，有一块长方形区域，AD=2AB，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为1米，设AB边的长为x米，求图中空白区域的面积.【破题思维】根据图形观察其特点，利用平移的性质进行平移转化，将小路平移，把空白部分适当集中，使解题比较简捷．【参考答案】AD=2AB，设AB边的长为x米，则AD=2x米，空白区域的面积为（x-1）（2x-1）=2x2-3x+1.【示例b】如图，在三角形AOB中，A、O、B三点坐标分别是A（1，5），O（0，0），B（4，2）．求三角形AOB的面积．【破题思维】当三角形没有一条边平行于坐标轴或者落在坐标轴上时，要根据图形的特点，利用割补法将原图形的面积转化为其他规则图形的面积的和或差．【参考答案】过A作x轴的平行线l交y轴于点E，过B作x轴的垂线，垂足为点D，交直线l于点C，则S矩形ECDO=5×4=20，S Rt△AEO=×5×1=2.5，S Rt△ABC=×3×3=4.5，S Rt△OBD=×4×2=4，则S△OAB=S矩形ECDO-S Rt△ABC-S Rt△AEO-S Rt△OBD=9．故三角形AOB的面积是9．二、分类讨论思想分类讨论思想,其实质是把问题“分而治之，各个击破”.把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.1.对字母、未知数的取值范围分不同情况讨论【示例】解关于x的不等式组【破题思维】首先需要求出不等式的解集，再分a>0,a<0与a=0三种情况进行讨论。
【参考答案】原不等式组可化为（1）当a>0时，由①②可将不等式组化为又因为3>2,,所以，故原不等式组的解集为.（2）当a<0时，由①②可将不等式组化为又因为3>2,,所以，故原不等式组的解集为.（3）当a=0时，由①②得所以原不等式组无解.综上所述，当a>0时，原不等式组的解集为；当a<0时，原不等式组的解集为；当a=0时，原不等式组无解.2.对图形的位置、类型的分类讨论【示例】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么关系？【破题思维】先根据题意分别画出正确的图形，再应用平行线的性质，得到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，进而找到所求的两个角的数量关系.【参考答案】分四种情况：（1）如图（1），根据题意，得AB//EF,AC//DE,所以∠1=∠E,∠1=∠A,所以∠A=∠E.（2）如图（2），根据题意，得AB//EF,AC//DE,所以∠1+∠E=180°,∠1=∠A,所以∠A+∠E=180°.（3）如图（3），根据题意，得AB//EF,AC//DE,所以∠1=∠E,∠1=∠A,所以∠A=∠E.（4）如图（4），根据题意，得AB//EF,AC//DE,所以∠1+∠E=180°,∠1=∠A,所以∠A+∠E=180°.综上，∠A和∠E相等或互补.即如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.3.对问题的题设条件需分类讨论【示例】若，则的值是（）A.0B.C.2D.-2【破题思维】对题中a,b的取值范围分类讨论即可.【参考答案】若，可能有a>0,b>0或a<0,b<0两种情况.①当a>0,b>0时，②当a<0,b<0时，().-21--1=+=+bbaa综上，可知的值是.故选B.4.从图象中获取信息进行分类讨论【示例】如图，P是线段AB上任一点，AB=12 cm，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为2 cm/s，D点的运动速度为3 cm/s，运动时间为t s．（1）若AP=8 cm，当D点在线段PB上运动时，试说明AC=2CD.（2）如果t=2，CD=1 cm，试求AP的值．【破题思维】在点的运动过程中，分点D在点C的右边和点D在点C的左边两种情况讨论即可得解.【参考答案】（1）因为AP=8 cm，AB=12 cm,所以BP=4 cm，AC=(8-2t)cm，所以DP=(4-3t)cm，所以CD=CP+DP=2t+4-3t=(4-t)cm，所以AC=2CD.（2）当t=2时，CP=2×2=4（cm），DB=3×2=6（cm）.如图（1），当点D在点C的右边时，因为CD=1 cm，所以CB=CD+DB=7 cm，所以AC=AB - CB=5 cm，所以AP=AC+CP=9 cm.如图（2），当点D在点C的左边时，AD=AB-DB=6 cm，所以AP=AD+CD+CP=11 cm.综上所述，AP=9 cm或11 cm.5.对求解过程中不便统一表述的问题进行分类讨论【示例】 A ，B 两地相距900千米，甲、乙两车分别从A,B 两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度为110千米/时，乙车的速度为90千米/时，则当两车相距100千米时，甲车行驶的时间是 （ ）A.4小时或5小时B.4.5小时C.5小时D.4小时【破题思维】 分两种情况：①两车相遇前相距100千米，②两车相遇后相距100千米.【参考答案】 设当两车相距100千米时，甲车行驶的时间为x 小时，①两车相遇前相距100千米，根据题意得900-（110＋90）x ＝100，解得x ＝4.②两车相遇后相距100千米，根据题意得（110＋90）x-900＝100，解得x ＝5．故选A ．三、数形结合思想数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。