初一数学下册因式分解
七年级下《因式分解》(苏科版)-课件
一元二次方程的求解
求解一元二次方程
因式分解法是求解一元二次方程的一种常用方法。通过将方程$ax^2 + bx + c = 0$因 式分解为$(x - x_1)(x - x_2) = 0$，可以得到方程的解$x_1$和$x_2$。
判断解的合理性
在得到一元二次方程的解后，可以通过因式分解法判断解的合理性。例如，对于方程 $x^2 - 4 = 0$，因式分解为$(x + 2)(x - 2) = 0$，得到解$x = 2$和$x = -2$，这两
因式分解的历史与发展
古代数学中的因式分解
01
在古代数学中，因式分解就已经有了一些初步的应用，如中国
的《九章算术》等。
近现代因式分解的发展
02
ห้องสมุดไป่ตู้
随着数学的发展，因式分解的方法和技巧也得到了不断的完善
和发展，出现了许多新的方法和技巧。
因式分解在现代数学中的应用
03
因式分解是代数中的基本技能之一，它在代数学、几何学、方
例子
$2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$
03
因式分解的应用与 实例
代数式的化简
代数式化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式简化，使其更易于计算 和理解。例如，将多项式$x^2 - 4$因式分解为$(x + 2)(x 2)$，可以更方便地处理后续的运算。
简化计算过程
因式分解可以简化计算过程，减少不必要的复杂运算。例如 ，在计算$(x + 3y)(x - y)$时，通过因式分解可以快速得到结 果$x^2 + 2xy - 3y^2$。
因式分解的重要性
01
02
七年级数学下学期因式分解及方法PPT课件
理解概念4
判断下列各式是否是因式分解? (1).x4-y4=(x2+y2)(x2-y2) (2).25a2-10a=a(25a-10)
=(x2+y2)(x-y)(x+y) =5a(5a-2)
都是不彻底的因式分解！
注意：因式分解要分解到不能分解为止， 即：分解彻底！
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因式分解的方法
解决下列问题： 1、什么是公因式？如何利用提取公因式 法进行因式分解？ 2、说出完全平方公式和平方差公式的逆 公式，并阐述利用公式法进行因式分解的 注意事项。
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精选例题，强调要点
例题 ： 将下列各式分解因式
(1) 3ax3 6ax4
(1) 3ax3(1 2x);
(2) 6 ab2c3 4 a3b2c
因式分解 整式乘法
整式乘法 因式分解 整式乘法
因式分解 因式分解
注意：因式分解与整式运算之间是互逆关系！
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理解概念2
判断下列各式是否是因式分解。
(1) m m m( 1 1);
a
a
(2) 4 a2b3x4 4 x4 a2b3.
3
3
都不是因式分解！
注意：分解的对象必须是多项式！
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(1)a²b²-m² (2)(m+n)²-n² (3)(m-a)²-(n+b)² (4)x²-(a+b-c)²
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(1)(ab m)(ab m) (2)m(m 2n) (3)(m a n b)(m a n b) (4)(x a b c)(x a b c)
感谢您的欣赏！
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因式分解知识点总结七下
因式分解知识点总结七下因式分解是将一个多项式分解为几个因式的过程。
多项式是由若干个单项式相加得到的表达式，因式分解的目标是将一个多项式表示为几个特定因式相乘的形式。
常见的因式分解方法包括公因式提取法、提取共同因子法、分组分解法和配方法。
在使用这些方法时，我们需要依据详尽状况选择合适的方法来进行因式分解。
二、一步因式分解一步因式分解是指将一个多项式一次性分解为多个因式，而不需要进一步分解的过程。
常见的一步因式分解的方法有公因式提取法和配方法。
1. 公因式提取法公因式提取法是在多项式中找出公因式，然后将公因式提取出来，最后将剩下的部分写成另一个因式的形式。
例如，对于多项式5x+10y，我们可以提取出公因式5，得到5(x+2y)。
2. 配方法配方法是通过对多项式进行适当的配方使其可以进行因式分解。
常见的一步因式分解的配方法有两种状况：(1) 平方差公式：a^2-b^2=(a-b)(a+b)。
通过将多项式表示成两个平方的差的形式，可以进行因式分解。
例如，x^2-9=(x-3)(x+3)。
(2) 完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2。
通过将多项式表示成两个完全平方的和的形式，可以进行因式分解。
例如，x^2+4x+4=(x+2)^2。
三、多步因式分解多步因式分解是指将一个多项式逐步进行因式分解的过程。
常见的多步因式分解方法包括提取共同因子法和分组分解法。
1. 提取共同因子法提取共同因子法是指在多项式中找出共同的因子，先提取出公因式，再进行进一步分解。
例如，对于多项式2x+4xy，我们可以先提取出公因式2，得到2(x+2y)，然后继续分解。
2. 分组分解法分组分解法是将多项式按照某种方式进行分组，然后对每组进行因式分解，最后将分解的因式相乘得到最终的结果。
例如，对于多项式3xy-6x+2y-4，我们可以将其按照相似项进行分组，得到3xy-6x=3x(y-2)，2y-4=2(y-2)，最后得到3x(y-2)+2(y-2)=(3x+2)(y-2)。
七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版
七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版第三章因式分解1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
即：多项式几个整式的积例：axbx13131x(ab) 3因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部3232分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc.②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
2233例1：把12ab18ab24ab分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。
2233解：12ab18ab24ab6ab(2a3b4a2b2)例2：把多项式3(x4)x(4x)分解因式解析：由于4x(x4)，多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发现多项式各项都含有公因式（x4）,所以我们可以提取公因式（x4）后,再将多项式写成积的形式. 解：3(x4)x(4x)=3(x4)x(x4)=(3x)(x4)例3：把多项式x22x分解因式解：x22x=(x22x)᠆ 1;x(x2) （2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
七年级下册因式分解公式
七年级下册因式分解公式
我们要对一个多项式进行因式分解，因式分解是一种将多项式化为几个整式的积的形式。
在七年级下册中，我们主要学习了几种因式分解的方法，包括提公因式法、公式法等。
首先，我们要理解什么是因式分解。
因式分解就是将一个多项式化为几个整式的积的形式。
例如：x^2 - 2x + 1 可以因式分解为 (x - 1)^2。
接下来，我们来看看七年级下册中主要学习的因式分解公式有哪些。
1. 平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
2. 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 和 a^2 - 2ab + b^2 =
(a - b)^2。
3. 提公因式法：如果多项式的每一项都有一个公共的因子，那么我们可以把这个公共因子提取出来，使得剩下的部分更容易进行因式分解。
现在，我们可以使用这些公式来因式分解一些多项式了。
例如，我们可以将多项式 x^2 - 2x + 1 因式分解为 (x - 1)^2。
再比如，我们可以将多项式 4x^2 - 4x 因式分解为 4x(x - 1)。
通过因式分解，我们可以更好地理解和简化多项式，从而更好地解决数学问题。
七年级l下册数学因式分解知识点
七年级l下册数学因式分解知识点数学因式分解是初中数学的基础知识，也是学生今后学习数学的重要基础。
在七年级下册数学课程中，因式分解是该阶段的主要内容之一。
本文将介绍七年级下册数学因式分解知识点，帮助学生更好地掌握这一知识点。
一、什么是因式分解因式分解是将一个数或多项式表示为若干个因子的乘积的形式。
例如，将12分解为2×2×3，将x^2+5x分解为x(x+5)，其中2、3、x和(x+5)都是因子。
二、两个重要公式1. 平方差公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2该公式在因式分解中非常常见，因为它可以用于将一个二次多项式分解为两个一次因式的乘积形式。
例如，将x^2-4分解为(x+2)(x-2)。
2. 完全平方公式a^2+2ab+b^2=(a+b)^2该公式也是非常常见的因式分解公式。
它可以用于将一个二次多项式分解为一个平方的形式。
例如，将x^2+6x+9分解为(x+3)^2。
三、基于分配律的因式分解1. 公因式法公因式法是因式分解的一种基本方法。
它的主要思想是将给定多项式中的公因式提取出来，并将其与剩余部分相乘。
例如，将6x^2+30x分解为6x(x+5)。
2. 分组因式法当表达式中存在两个括号时，可以使用分组因式法。
它的主要思想是将表达式分成相同的组，并尝试将每组中的项分解为一个公因式。
例如，将x^2+3x+2分解为(x+1)(x+2)。
四、因式分解方法1. 相反数法该方法适用于一元二次方程的因式分解。
例如，将x^2+3x-4分解为(x+4)(x-1)。
2. 完全平方公式法该方法适用于具有完全平方公式形式的多项式。
例如，将16x^2+24x+9分解为(4x+3)^2。
3. 求根公式法该方法适用于二次方程的因式分解。
例如，将2x^2+5x+2分解为(2x+1)(x+2)。
五、注意事项1. 需要记住重要公式，特别是平方差公式和完全平方公式。
2. 了解每种因式分解方法的适用范围和使用步骤。
七年级下册因式分解公式
七年级下册因式分解公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：七年级下册因式分解公式因式分解是数学中的一个基础概念，也是代数中的重要内容之一。
在七年级下册的学习中，因式分解也成为了我们学习的一部分。
因式分解是指把一个多项式按照其因式进行乘法分解，从而简化表达式，使计算更加方便。
掌握因式分解的方法和技巧，对于解题起到事半功倍的效果。
在本文中，我们将主要讨论七年级下册中常见的因式分解公式。
一、提取公因式把4a+8b的因式分解公式中，4a和8b都能被4整除，所以提取出4，得到4(a+2b)。
二、因式分解的基本原理在因式分解中，我们经常会用到几个基本的公式，这些公式是因式分解的基石。
下面是七年级下册常见的因式分解公式：1. 二次三项式的因式分解公式：二次三项式就是指有三项的二次多项式，常见的形式是ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是系数。
当二次三项式的系数a不为1时，通常我们采用求解二次方程的方法来因式分解，公式为(mx + n)(px + q)。
把4x^2 + 12x + 8的公式因式分解为(2x + 2)(2x + 4)。
完全平方式是指一个多项式可以写成两个平方式之和的形式，常见的形式是a^2 + 2ab + b^2，其中a、b为变量。
3. 因式分解的常见技巧：除了以上基本原理，我们在因式分解中还需要掌握一些常见的技巧，以便更快、更准确地进行计算。
（1）合并同类项：在因式分解中，我们经常需要合并同类项，即把相同变量的项合并在一起。
把2x + 3x的合并同类项为5x。
（2）利用减法求和差：有时候，我们可以通过利用减法求差来进行因式分解。
把x^2 - 9的因式分解为(x+3)(x-3)。
在七年级下册的学习中，因式分解是一个非常重要的内容，不仅仅是代数中的一部分，也是思维训练的一部分。
掌握因式分解的方法和技巧，不仅可以解决各种数学问题，还可以提升我们的数学思维能力。
希望通过本文的介绍，大家能更好地掌握七年级下册因式分解的相关知识，取得更好的学习成绩。
七年级下因式分解知识点
七年级下因式分解知识点因式分解是数学中重要的思想方法，也是初中数学中重要的内容之一。
它的主要目的是将给定的一个多项式拆分成其它两个或多个多项式的乘积。
下面我们将从三个方面来介绍初中七年级下学期的因式分解知识点。
一、多项式的概念多项式是由若干次幂的代数和构成的代数式子，常表示为：$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$其中$a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0$是已知的常数，$a_n\neq0$，$n$是多项式中最高次项的次数。
二、因式分解基本方法因式分解通常需按照“公因子提出、二次方差、差的平方、和的平方、换元、分组、分式分解”等七种方法进行。
1. 公因子提出：利用代数式的分配律，将一个式子中的公因子提出来，即可将多项式分解为一个公因子和一个较小的多项式乘积的形式。
例如：$$12x^{4}+6x^{3}=(6x^{3})(2x+1)$$2. 二次方差：利用$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$公式，将多项式分解为两个二次式的差的形式。
例如：$$x^{2}-(y+1)^{2}=(x+y+1)(x-y-1)$$3. 差的平方：利用$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$公式，将多项式分解为两个首项、末项相反的二次式的乘积的形式。
例如：$$x^{2}-4y^{2}=(x+2y)(x-2y)$$4. 和的平方：利用$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$公式，将多项式分解为两个首项、末项相同的二次式的和的形式。
例如：$$4y^{2}+12y+9=(2y+3)^2$$5. 换元法：将以$x$为变量的多项式看作以另一个代数式$u$为变量的多项式的形式，通过合理的换元来实现因式分解。
例如：$$x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$$换元$u=x+1$。
6. 分组法：一般是在多项式中分组，并利用差的平方或和的平方、换元、公因式提取等方法进行因式分解。
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因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍：一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++（3）立方和公式：（4）立方差公式：例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法：（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--四、十字相乘法：（一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -23 -5（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b1 -16b8b+(-16b)= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++ =)16)(8(b a b a -+练习8、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x 1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1 -2(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x -- （3）10)(3)(2-+-+y x y x（4）344)(2+--+b a b a （5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222五、换元法。
例13、分解因式（1）2005)12005(200522---x x（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(22=))(1(a x ax -+=)2005)(12005(-+x x（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=222)65)(67(x x x x x +++++设A x x =++652，则x A x x 2672+=++∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++=2)(x A +=22)66(++x x练习13、分解因式（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++ （2）90)384)(23(22+++++x x x x（3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a例14、分解因式（1）262234+---x x x x观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式=)1162(222x x x x x +---=[]6)1()1(2222-+-+x x xx x 设t x x =+1，则21222-=+t xx ∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x =()()2522+-t t x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x （2）144234+++-x x x x解：原式=22241(41)x x x x x -+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+1141222x x x x x 设y x x =-1，则21222+=+y x x∴原式=22(43)x y y -+=2(1)(3)x y y -- =)31)(11(2----xx x x x =()()13122----x x x x 练习14、（1）673676234+--+x x x x（2）)(2122234x x x x x +++++六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）4323+-x x解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2++--x x x x=)331)(1(2+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x=)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2+-+x x x=2)2)(1(-+x x =2)2)(1(-+x x（2）3369-++x x x解：原式=)1()1()1(369-+-+-x x x=)1()1)(1()1)(1(333363-++-+++-x x x x x x=)111)(1(3363+++++-x x x x=)32)(1)(1(362++++-x x x x x练习15、分解因式（1）893+-x x （2）4224)1()1()1(-+-++x x x （3）1724+-x x（4）22412a ax x x -+++ （5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++七、待定系数法。