lecture 12洛必达法则
合集下载
高等数学课件同济版第二节洛必达法则
,
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
单击此处添加标题
洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
单击此处添加标题
法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
添加 标题
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
单击此处添加标题
洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
单击此处添加标题
法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
添加 标题
洛比达法则
x →0
lim
f (a + x ) + f (a − x ) − 2 f (a ) ． x [ f (a + x ) − f (a − x )]
解
f (a + x ) + f (a − x ) − 2 f (a ) lim x →0 x [ f (a + x ) − f (a − x )]
= lim
1 ∞2
−
1 ∞1
1 ∞ 1 ⋅∞ 2
0 = 0
∞ ln 1
=e
，
．
0 =e
0
0⋅ln 0
=e
∞ ⋅0
，
∞ =e
0⋅ln ∞
=e
∞ ⋅0
一、
0 0
型不定式
若 f ( x ) 和 g( x ) 满足下列条件：
定理 (洛必达法则 1)
(1) 在 x0 的某个去心邻域内可导 ，且 g ( x ) ≠ 0；
( 0 型)
0
x 例 13 lim (sin x ) + x→0
ln sin x = lim+ e = exp lim+ = exp lim 1 x →0 x → 0+ x →0 x −x = exp lim+ x ⋅ cos x = 1 x → 0 sin x
2 2
n n n −1 − x 例 12 lim x +x x → +∞ n n 1 + t − 1 1 1 + t 1 = lim − (令 x = ) = lim+ n t t t t →0 t →0+ t 1 (1 + t ) = lim+ n 1 t →0
lim
f (a + x ) + f (a − x ) − 2 f (a ) ． x [ f (a + x ) − f (a − x )]
解
f (a + x ) + f (a − x ) − 2 f (a ) lim x →0 x [ f (a + x ) − f (a − x )]
= lim
1 ∞2
−
1 ∞1
1 ∞ 1 ⋅∞ 2
0 = 0
∞ ln 1
=e
，
．
0 =e
0
0⋅ln 0
=e
∞ ⋅0
，
∞ =e
0⋅ln ∞
=e
∞ ⋅0
一、
0 0
型不定式
若 f ( x ) 和 g( x ) 满足下列条件：
定理 (洛必达法则 1)
(1) 在 x0 的某个去心邻域内可导 ，且 g ( x ) ≠ 0；
( 0 型)
0
x 例 13 lim (sin x ) + x→0
ln sin x = lim+ e = exp lim+ = exp lim 1 x →0 x → 0+ x →0 x −x = exp lim+ x ⋅ cos x = 1 x → 0 sin x
2 2
n n n −1 − x 例 12 lim x +x x → +∞ n n 1 + t − 1 1 1 + t 1 = lim − (令 x = ) = lim+ n t t t t →0 t →0+ t 1 (1 + t ) = lim+ n 1 t →0
《洛必达法则》课件
简化求导后的表达式，得出所 求的极限值。Байду номын сангаас
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
12导数极难压轴题解法---罗比达法则
导数极难压轴题解法：罗比达法则应用★ ★★★(2010年全国新课标理)设函数2()1x f x e x ax =---。
若0a =，求()f x 的单调区间；若当0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值范围原解:（1）0a =时，()1x f x e x =--，'()1x f x e =-.当(,0)x ∈-∞时,'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >。
故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加(II)'()12x f x e ax =--由（I ）知1x e x ≥+,当且仅当0x =时等号成立。
故 '()2(12)f x x ax a x ≥-=-,从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =，于是当0x ≥时，()0f x ≥。
由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x e x x ->-≠.从而当12a >时, '()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--,当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <,而(0)0f =,于是当(0,ln 2)x a ∈时,()0f x <. 综合得a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭原解在处理第（II)时较难想到，现利用洛必达法则处理如下:另解：（II)当0x =时，()0f x =，对任意实数a,均在()0f x ≥；当0x >时，()0f x ≥等价于21xx a e x--≤令()21xx g x ex --=（x 〉0),则322()x xx x g x e e x-++'=,令()()220x xh x x x x e e =-++>,则()1xxh x x e e '=-+，()0xh x x e''=>,知()h x '在()0,+∞上为增函数，()()00h x h ''>=；知()h x 在()0,+∞上为增函数，()()00h x h >=；()0g x '∴>，g(x)在()0,+∞上为增函数. 由洛必达法则知,200011222lim lim lim xxxx x x x x ee e x+++→→→--===,故12a ≤综上,知a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。
洛必达法则公式及条件
洛必达法则公式及条件
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
1洛必达法则计算公式
注意：不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量n∈N+是无法求导数的。
但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理作为替代。
2洛必达法则应用条件
在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。
如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
3洛必达法则3大陷阱
1.要求右侧极限存在
洛必达使用逻辑是有点诡异的，右侧极限存在，回推原极限存在，注意这里的存在包括无穷。
那么不存在的情况，我们目前接触的应该是震荡的情况，需要找其他方法，通常比洛必达还要简单。
2.时刻检查是否满足0/0或无穷/无穷
通常用洛必达法则，第一步大家使用的时候，应该都会check 是否满足条件，但是多次使用洛必达的时候一定注意别忘了检查。
3.求导后函数要简化
有些函数求导后会更加复杂，或者我们在选取分子分母的时候要比较细心，如果发现很难算，一定记得回头，调换分子分母试一下或者另谋它法。
高等数学课件3-2洛必达法则
添加标题
洛必达法则的应用：洛必达法则在解决一些复杂的极限问题时非常有用，例如求解函数极限、求导数 等。
添加标题
洛必达法则的局限性：洛必达法则只适用于函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可导，且g'(x)≠0的情况。 如果g'(x)=0，那么洛必达法则不适用。
洛必达法则的推导技巧
洛必达法则是 微积分中一个 重要的法则， 用于解决极限
洛必达法则的逆推：洛必达法则的逆推形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的扩展应用
洛必达法则在微 积分中的应用
洛必达法则在极 限计算中的应用
洛必达法则在函 数求导中的应用
洛必达法则在函 数求积中的应用
洛必达法则与其他数学方法的结合
洛必达法则与微 积分的结合：洛 必达法则是微积 分中的一个重要 定理，它可以用 来求解极限、导 数等问题。
洛必达法则的变种：洛必达法则的变种形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的推广：洛必达法则的推广形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的逆推：洛必达法则的逆推形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
YOUR LOGO
20XX.XX.XX
高等数学课件3-2洛必达法则
,
汇报人：
目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
02 洛 必 达 法 则 的 背 景 和 定 义
03 洛 必 达 法 则 的 推 导 过 程
04 洛 必 达 法 则 的 应 用 实 例
05 洛 必 达 法 则 的 注 意 事 项 和 限 制
经典洛必达法则-PPT课件
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
k k e f ( ) e kf ( ) 0
cos x 0 .( ) 例 求 lim 0 x 2 x 2 sin x (cosx) 解 原式 lim lim sin 1. 1 x 2 x 2 ) 2 (x 2
cos x 1 x 0 例求 lim .( ) 3 x 0 0 x 1 s in x 21 x 解 原式 lim . 2 x 0 3 x
例
3 x 3 x 2 求 lim . 3 2 x 1x x x 1
0 ( ) 0
解：
正解：
×
注意: 不是未定式不能用L’Hospital法则 !
2、 型未定式解法：
定理3：设
(1) 定理 3 对其他极限过程也是成 立的。
f ( x ) ( 2 ) 当 lim 不存在也不为 时，应改用他 F ( x )
f( x x ) sin x 0
F ( x ) f ( x ) sin x
验证 F ( x ) 在 [0,] 上满足Rolle定理条件.
3.
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
f ( x ) f ( x ) ( 或 f ( x ) f ( x )), 0 0 ( x ) 0 . 那么 f 0
课件洛必达法则
洛必达法则
定义 若当 x a (或 x)时,两个函数 f (x)与
g(x)都趋于零或都趋于无穷大, 则极限 lim f ( x )
xa g( x)
称为 0 0
或
型未定式.
( x )
例如,
lxim0 sinx
x(
0 0
);
lxim0 1xc2os(
0 0
);
lxim0 llnnssiinnbaxx(
均为当 x 时的无穷大, 但它们增大的速度很不
一样, 其增大速度比较:
对数函数<<幂函数<<指数函数. 完
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)lx i0m 3xxs3 inx lx i0m 333xc2oxs lim3sin3x 9 . x0 2x 2
xa g(x) xa g'(x)
(x)
(x)
我们把这种在一定条件下 通过对分子分母分别求
导再求极限来确定未定式的值的方法 称为洛必达
法则.
完
例1 求 lx i0m sixknx (k0).0 0 解 原式 lxim 0(s(ixnk)x)
lxim 0kc1oks x k.
注:洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但
若能与其它求极限的方法结合使用, 效果会更好. 例 如, 能化简时应尽可能先化简,
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)
定义 若当 x a (或 x)时,两个函数 f (x)与
g(x)都趋于零或都趋于无穷大, 则极限 lim f ( x )
xa g( x)
称为 0 0
或
型未定式.
( x )
例如,
lxim0 sinx
x(
0 0
);
lxim0 1xc2os(
0 0
);
lxim0 llnnssiinnbaxx(
均为当 x 时的无穷大, 但它们增大的速度很不
一样, 其增大速度比较:
对数函数<<幂函数<<指数函数. 完
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)lx i0m 3xxs3 inx lx i0m 333xc2oxs lim3sin3x 9 . x0 2x 2
xa g(x) xa g'(x)
(x)
(x)
我们把这种在一定条件下 通过对分子分母分别求
导再求极限来确定未定式的值的方法 称为洛必达
法则.
完
例1 求 lx i0m sixknx (k0).0 0 解 原式 lxim 0(s(ixnk)x)
lxim 0kc1oks x k.
注:洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但
若能与其它求极限的方法结合使用, 效果会更好. 例 如, 能化简时应尽可能先化简,
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
显然 若g(x) x, g (b) g (a) (b a) , g '(x) 1,
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g '( )
f (b) f (a ) f ( )(b a )
拉格朗日中值公式
第二节 洛必达法则
本节研究: 函数之商的极限
1 cos x
x sin x
sin x x cos x lim
x0 x sin x
0 () 0
lim
x0
sin
x
x
x
2
cos
x
0 () 0
(L) cos x cos x x sin x lim
0
x0
2x
3. 1 , 00 , 0 型
步骤:
00
1
3. 在满足定理条件的某些情况下, 洛必达法则不能解决 计算问题 ----失效
例如：
lim
x
1 x2 x
( L)
lim
x
x 1 x2
( L)
1 x2
lim
x x
而
lim
x
1 x 2 lim
x
x
1 x2
1
1
4.
若
lim
f F
( (
x)不存在( x)
ba
则在开区间(a, b)内至少存在
O a 1
2 b
x
一点 (a b), 使得
f (b) f (a) f ( )
ba
注: 结论亦可写成
f (b) f (a ) f ( )(b a )
拉格朗日中值公式
几何意义: 在两个高度不相同的点之间的连续曲线上 若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必
x
2
2
(0 )型
又
lim ( x
) ln tan
2
x
令t x 2
x
2
lim t ln tan( t ) lim t ln cot t
t0
2
t0
2
ln cot t lim
t0 1
( L) tan t( csc2 t )
lim t0
转化 洛必达法则
导数之商的极限
一、
0 0
型未定式
二、 型未定式
三、其他未定式
( 或 型)
* 未定式
如果 当x x0 (或x )时, 两个函数f ( x)与g( x)
都趋于零或都趋于无穷大, 那 么 极 限
f (x) lim xx0 g( x)
( x)
(0) 0
()
可能存在 也可能不存在
e
x
(n为正整数 , 0).
解:
原式 lim x
nx n1
ex
lim n(n 1) x n2
x
2e x
lim
x
n!
ne x
0
型
例6, 例7 表明 x 时, ln x , xn (n 0) , e x ( 0)
lim x0
sin x
6x
x2
2
3x2
1 6
(sin x ～ x)
例4. 求
ex ex 2x lim
x0 x sin x
0型 0
解: 原式
( L)
lim
(ex
ex
2x)
x0 (x sin x)
( L)
lim e x
ex
2
(0)
x0 1 cos x
第一节 中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数的单调性与极限 第四节 函数的微分作图法
上节课主要内容
第一节 中值定理
罗尔中值定理
中值定理
拉格朗日中值定理 柯西中值定理
研究函数性质及曲线性态 应用
利用导数解决实际问题
一、罗尔( Rolle )定理
y
若函数 f (x)满足:
(1) 在闭区间[a, b]上连续;
A
(2) 在开区间(a, b)内可导;
f (a) f (b) y f (x)
B
(3) f (a) f (b);
则在开区间 (a,b)内至少存在一点 O a x0
b x x02
x 0 ,使得 f ( x0 ) 0.
几何意义: 在两个高度相同的点之间的连续曲线上
若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必
0 型
0 ln 0 ln 1 0 ln
注意:
1．洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但最好能 与其它求极限的方法结合使用 例如能化简时应尽可能 先化简 可以应用等价无穷小替代或重要极限时 应尽可能应用 这样可以使运算简捷
2．不是未定式不能用洛必达法则
lim 6x lim 6 1 x1 6 x 2 x1 6
ln x
x
n
(n 0)
00, 0 型
1 如 lim (sin x)tan x x 2
00 如 lim x x x0
0 如 lim xn ln x(n 0) x0
如 lim( 1 cot x) .
x0 x
0
如
lim
(tan
x
x) 2
x
2
本节主要研究这些未定式极限
)时,
lim f ( x) F(x)
lim f ( x) . F ( x)
例如, lim x sin x
1 cos x
lim
极限不存在
x
x
x
1
sin x
lim (1
x
x )1
0
幂指函数求极限
lim f ( x)g( x)
转化为 lim e g( x )ln f ( x )
0 ln 0 ln 1 0 ln
0
0 0
或
例10. 求
00 : 如 lim x x x0
1 : 如 lim (sin x)tan x x 2
1 x2
1
1
2.2 洛必达法则II ( 型未定式)
定理 2.
1) f (x)与 g(x) 在U(a)内处处可导,
f (x)
3) lim
l
xa g '(x)
lim f (x) lim f (x) xa g(x) xa g '(x)
说明: 定理中 x a 换为 x a , x a , x ,
1
t
t2
( L)
t2
lim
t0
tan t
sin t 2
0
原式
e 1 ( x )lntan x
lim e 2
0
x
2
内容小结
洛必达法则
型
0型 0 型
00
1
幂指函数求极限 lim f ( x)g( x)
0
转化为 lim e g( x )ln f ( x )
证明：由定理条件2)
有：f (a) g(a) 0,
则 柯西定理条件, 故
在以 x, a 为端点的区间上满足
f (x) f (x) 0 f (x) f (a) f ( ) g(x) g(x) 0 g(x) g(a) g '( )
lim f ( ) xa g '( )
lim tan x lnsin x
e x 2
(0 )型
2
又
lim tan x ln sin x
令t x 2
lim tan( t ) ln sin(t )
x
t0
2
2
2
lim ( cot t ) ln cos t t0
lim ln cos t t0 tan t
( L)
tan t
lim
t0
sec2
t
0
原 式 lim e tan x lnsin x e 0 1 x 2
例10. 求
x
lim (tan x) 2
0型
解:
x 2
原式
e ( x )lntan x
lim e 2
x
lim ( x )lntan x
0
:
如 lim (tan
x
x) 2
x
2
例10. 求 lim x x . x0
00 型
解: 令y xx ,两边取对数，有：
ln y x ln x 详解见p.103, 例9
例10. 求
lim (sin x)tan x
x
1 型
2
解:
原式
lim e tan x lnsin x x
通常把这种极限叫做未定式 并分别称为 0 型或 型未定式.
0
例如：
lim
ln x a
(0)
xa x a 0
ln x
lim
x
xn
(n 0) ( )
其它类型的未定式
0 , , 1 ,
(
0 0
)
如 lim xa
ln x a
xa
()
如
lim
x
2.1
洛必达法则I
( 0 型未定式)