关于洛必达法则证明的几点补充
罗必达法则
ln sin 3 x . 例 3 求极限 xlim0 → + ln sin x ∞ 型的不定式,且满足罗必达法则的条件, 解:这是一个 型的不定式,且满足罗必达法则的条件,所
以有
cos 3 x 3 ln sin 3 x sin 3 x = 3 lim sin x = 1. lim = lim x → +0 ln sin x x → +0 x → +0 sin 3 x cos x sin x
�
lim
x→ a
f ' ( x ) 存在(或者为无穷大); 存在(或者为无穷大); g '( x)
f (x) 存在(或者为无穷大), 且 存在(或者为无穷大) g (x)
f (x) f '( x) = lim x→ a g '( x ) g (x)
x→ a
证明:(从略) 证明:(从略) :(从略
如果极限 lim
( n为正整数 , λ > 0)
∞
xn 例 4 求极限 xlim e λx → +∞
∞ 解:这是一个 ∞
型的不定式,且满足罗必达法则的条件, 型的不定式,且满足罗必达法则的条件,相
继应用罗必达法则 n次,即有 次
xn nx n 1 n ( n 1) x n 2 lim = lim = lim λx λx x → +∞ e x → +∞ λ e x → +∞ λ 2 e λx n! = = lim = 0 n λx x → +∞ λ e
解:容易验证,该极限满足罗必达法则的要求,所以 容易验证,该极限满足罗必达法则的要求,
x sin x 1 cos x sin x 1 = lim = lim = . lim 3 2 x→ 0 x→ 0 x→ 0 x 3x 6x 6 ( x sin x ) sin x . 例 2 求极限 lim 0 2 x 3 x→ e x tg 4 x
3.6罗必塔法则
f ( x ) f (c ) f ( x ) f (c ) g( x ) l ε < = g( x ) g(c ) < l + ε g( x ) g(c ) g( x ) g( x )
∴ 原式 = e 2
β 求证 lim f ( x ) = . x → +∞ α f ( x ) xα α x α 1 f ( x ) + x α f ′( x ) 证明： 证明： lim = lim α x → +∞ x → +∞ x α x α 1
例11. f 在(a ,+∞ )可导, 若 xlim [α f ( x ) + x f ′( x )] = β , (α > 0) → +∞
= e
,
再次强调: 再次强调
0 ∞ (1) 仅用于 , , 0 ∞
f ′( x ) ( 2) lim 不存在 , 如何处理 ? x → x 0 g ′( x )
(3) 及时化简， 及时化简， (4) 多次使用. 多次使用.
四、其它用法
n100 例9. lim n→ ∞ 100 n
以Heine定理为媒介,计算数列极限. Heine定理为媒介, 定理为媒介
§3.6 3.6
L’Hospital L Hospital 法则
一、洛必达法则1 洛必达法则
0 （0
型）
+ (以x → x0 为例 )
设 f , g在区间 ( x 0 , x 0 + δ )有定义 , g ( x ) ≠ 0, 满足
使用洛必达法则求极限的几点注意_图文(精)
因为“m(订一1订:l/m(e扣一1订;lkn(土1艘
,..+o,—叶-,‘+o
善
尽管洛必达法则是求未定式极限的一种非常有用的方法,许多极限题目用了洛必达法则便能很快得出结果,但是在这里必须指出
熙等等与恕湍用洛必达法则就求不出结果・应改用其
极限作为重要的思想方法和研究工具贯穿于高等数学课程的始终.本文通过对洛必达法则求极限的深入探讨,针对不同题型归纳总结出具体的化简转化的方法;利用数列极限和函数极限的关系间接地应用洛必达法则求数列未定式,充分体现了洛必达法则应用的广泛性,给求极限提供了强有力的工具. 2.期刊论文王悦关于利用洛必达法则求极限的几点探讨-科技信息2009,""(2
硬闲洛密达法则求极限的儿点涅枣
口杨黎霞
(江南大学江苏・无锡214122
摘要如果当圹+口或r+*时,两个函数删与,M都趋于零或都趋于无穷大。那么极限l/m葡可能存在,也可能不存在。洛
‘::,
必达法则是计算此类未定式极限行之有效的方法.然而。对于本科一年级的初学者来讲,若盲目使用此法则.会导致错误。本文就使用该法则解题过程中的几点注意作了分析与探讨。
年,卷(期:2008,""(25
被引用次数:0次
参考文献(3条
1.同济大学应用数学系高等数学2002
2.王茂南.薛国民高等数学习题课教程2004
3.蔡燧林.胡金德.陈兰祥硕士研究生入学考试数学辅导讲义,理工类2002
相似文献(10条
1.期刊论文林清华12
,lira
ee沁-e。-*=~Urn等=l
恐湍也蔫也蔫2丢
(整理)第六节 洛必达法则
第一节洛必达法则在上一章中我们研究了导数的概念以及它们的计算方法,本章将利用导数来研究函数在区间上的某些特性,并利用这些特性解决一些实际问题一. 微分学中值定理[拉格朗日中值定理]如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使即成立。
这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。
[ 罗尔定理]若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。
下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理[柯西中值定理]如果函数，在闭区间[a ，b]上连续，在开区间(a ，b)内可导，且≠0，那末在(a ，b)内至少有一点c ，使成立。
在求函数的极限时，常会遇到两个函数)(x f 、)(x F 都是无穷小或都是无穷大时，求它们比值的极限，此时极限)()(limx F x f 可能存在，也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，并分别简称为00型或∞∞型。
例如，xx x sin lim 0→就是00型的未定式；而极限x x x ln lim +∞→就是∞∞型的未定式．我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用"商的极限等于极限的商"这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？ 计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.一、00型未定式定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.例1计算极限0e 1lim x x x →-.解 该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得0e 1limx x x→-0e lim 11xx →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx →．解 该极限属于“0”型不定式，于是由洛必达法则，得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==．注 若(),()f x g x ''仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''． 例3 计算极限33221216lim 248x x x x x x →-+--+．解 由洛必达法则，得33221216lim 248x x x x x x →-+--+222312lim 344x x x x →-=--263lim 642x x x →==-． 例4 计算极限arctan 2lim 1x xxπ→+∞-．解 arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2211lim 1x x x →+∞-+=-22lim 11x x x →+∞==+． 二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞∞∞型同样适用．例5 计算极限ln lim(0)x xx αα→+∞>．解 此极限满足洛必达法则，于是得11ln 1lim lim lim 0x x x x x x x x ααααα-→+∞→+∞→+∞===． 例6 计算极限lim (0)nx x x n e →+∞>．解 所求问题是∞∞型未定式，连续n 次施行洛必达法则，有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===．例7 计算极限20tan lim sin x x xx x →-．解 20tan lim sin x x x x x →-30tan limx x xx →-=（利用等价无穷小量代换sin x x ） 22222000sec 1tan 1tan 1lim lim lim(3333x x x x x x x x x →→→-====． 使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．习题4-61.用洛必达法则求下列极限：（1）πππ--→x x x )sin(lim； （2）x xx 2tan 3tan lim 0→；（3）)0(ln lim >+∞→n xxn x ； （4）为常数）、n m x x n n m m x ,0(lim ≠--→αααα； （5）20)1ln(lim xx x +→； （6）x arc x x cot )11ln(lim ++∞→； （7）xx xe e x x x sin 2lim 0----→； （8）x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→．4. 洛必达法则在使用洛必塔法则时应注意以下几点：①洛必塔法则只适用于00型或∞∞型的极限. ②如果(x )g )( lim ''x f 仍是00型或∞∞型,则可继续使用洛必塔法则.③如果(x )g )( lim ''x f 不存在且不是∞,并不表明g(x ))( lim x f 不存在,只表明洛必塔法则失效,这时应用其他方法求解.第二节函数的极值 一、函数单调性的判定法函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性. 判定方法[定理] 设函数()y f x =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.（１）如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数()y f x =在],[b a 上单调增加； （２）如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么函数()y f x =在],[b a 上单调减少. 证明 （1）由于函数)(x f 满足拉格朗日中值定理条件，故在],[b a 上任取两点21,x x （不妨设21x x <），必有),,(21x x ∈ξ使))(()()(12a b f x f x f -'=-ξ如果0)(>'x f ，必有0)(>'ξf ，于是0)()(12>-x f x f ，即 ).()(21x f x f < 这表明函数()y f x =在],[b a 上单调增加.同理可证，如果0)(<'x f ，函数()y f x =在],[b a 上单调减少.注：（1）在上面定理的证明过程中易于看到，闭区间],[b a 若改为开区间),(b a 或无限区间，该定理结论同样成立． （2）有的可导函数在某区间内的个别点处，导数等于零，但函数在该区间内仍旧是单调增加（或单调减少.例如，幂函数3x y =的导数23x y ='，当0=x 时，.0='y 但它在),(+∞-∞内是单调增加的，如图所示．(图4-2)图4-2[例1]讨论函数ln y x =的单调性. 解 ln y x =的定义域为(0,)+∞. 因为10[(0,)]y x x'=>∈+∞，所以ln y x =在其定义域(0,)+∞内单调增加. [ 例2]：确定函数的增减区间.解：此函数的定义域为(－∞,＋∞) 因为：，所以可以判出：当x ＞0时，＞0，故它的单调增区间为(0,＋∞)； 当x ＜0时，＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)；注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。
洛必达法则证明
验证原函数和导函数满足洛必达法则的条件
• 原函数的极限形式为0/0或∞/∞
• 导函数在求极限的点处存在且连续
求解原函数和导函数的极限
• 利用洛必达法则，求解原函数和导函数的极限
• 通过比较原函数和导函数的极限，得到原函数的极限值
检查洛必达法则的适用性
• 验证求得的极限值是否满足原函数的条件
• 如果满足，则证明洛必达法则成立；如果不满足，则考虑其他方法求解
• 洛必达法则通过求解函数的导数来求解函数的近似值
• 泰勒级数通过展开函数为多项式来求解函数的近似值
洛必达法则和泰勒级数的适用范围不同
• 洛必达法则适用于求解特定形式的极限问题
• 泰勒级数适用于求解函数的近似值和展开式
洛必达法则的优点
洛必达法则的缺点
• 适用性广，适用于特定
• 仅适用于特定形式的极
• 他的研究成果被后来的数学家发展和完善
洛必达法则在数学中的应用领域
微积分学
⌛️
• 求解函数的导数和积分
• 求解函数的极限和连续
性
概率论与数理统计
• 求解随机变量的期望和
差分方程
方差
• 求解统计量的极限分布
• 求解线性差分方程的解
• 求解非线性差分方程的
解
02
洛必达法则的证明过程
证明洛必达法则的基本步骤
达法则
针对洛必达法则局限性的改进方法
改进洛必达法则的应用范围
简化洛必达法则的求解过程
• 研究适用于其他形式极限问题的求解方法
• 研究更高效的求解导数的方法
• 结合其他数学工具，如泰勒级数、积分变换等，扩展洛
• 利用计算机辅助求解，简化求解过程
关于洛必达LHospitol法则的注记
［６］ Ｒ．Ｒ．Ｔｅｎｎｅｙ ａｎｄ Ｎ．Ｒ．Ｓａｎｄｅｌｌ。Ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｓｅｎｓｏｒｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔ—ＡＥＳ一２２．［７］高德平．黄雪梅．多传感器和数据融合（续）［Ｊ］．红外与 激光工程，１９９９，４，２８（２）：Ｌ（卜＿１３．
百 直接应用予洛必达法则，计算量较大。为此，令‘
＝÷，则
当ｘ一∞时，ｔ—Ｏ，所以
壁［（２＋ｘ）ｅ｛一ｘ］＝！粤坠学旦（“苦”
型）
ｌｉｍ［墨±！垄当１２３：一曼！』３
７．洛必达第二法则（三＞其中条件ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｏｏ
ｏ～，
ｔ一’＾（ｘ一∞）
可以不要。
例７）证明：若函数ｆ（ｘ）于无穷的区间（ｘｏ，十。ｏ）
8.期刊论文 张波.李秀菊.赵广华 关于"洛必达法则"求未定式极限的几点思考 -网络财富2009,""(11)
本文通过洛必达法则的内客,给出了应用此法财的几类需要注意的情况.
9.期刊论文 冯志敏.薛瑞 使用洛必达法则的实质及其注意事项 -中国科技信息2009,""(15)
本文主要总结了洛必达法则在求未定式极限中的应用,需要注意的问题,并深入分析了在使用洛必过法则的时候实质是对无穷小或无穷大进行降阶,从 而经过有限次的使用法则将未定式转化成一般的极限问题,再利用极限的四则运算法则求出极限.另外指出在使用的时需要注意条件的满足,与其它求极限 的方法如无穷小的替换的结合.
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＥｘｔｅｎｓｉＶｅ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｐａｉｄ ｔｏ ｄａｔａ ｆｕｓｉｏｎ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄａｔａ ｆｕ— ｓｉｏｎ，ｇｅｎｅｒａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｆｕｓｉｏｎ ｈｉｅｒａｒｃｈｙ．ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｍａｉｎｌｙ ａｎａｌｙｚｅｓ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ａｎｄ ｌｅｖｅｌｓ ｏｆ ｄａｔａ ｆｕｓｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｕｌｔｉ—ｓｅｎｓｏｒ． Ｈａｖｉｎｇ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅｄ ｆｕｓｉｏｎ ｄｉｓｐｏｓａｌ ｗｉｔｈ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｆｕｓｉｏｎ ｄｉｓｐｏｓａｌ，ｉｔ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｅｘａｍｐｌｅ，Ｉｏｏｋｓ ｆｏｒｗａｒｄ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｔｒｅｎｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙ ｏｆ ｄａｔａ ｆｕｓｉｏｎ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｕｌｔｉ—ｓｅｎｓｏｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉ—Ｓｅｎｓｏｒ；ｄａｔａ ｆｕｓｉｏｎ；ｍｅｔｈｏｄ；ｍｏｄｅｌ
洛必达法则应用的几点思考
ex ex
－ +
e －x e －x
=
lim
x→ + ∞
e
x
ex + e－x
= lim 1 1 x→ + ∞
－ e －2x + e －2x
=
lxi→m0 log2 （ 1 + sinx） limesinx
=
0 1
= 0，
x→0
则
lim x→0 log2 （
esinx 1 + sinx）
=∞．
例2
求
lxi→m1 x3x－3
－ 3x x2 －
+2 ． x +1
错解
此极限是“
0 0
”型，若使用洛必达法则，则
lxi→m1 x3x－3
－ 3x x2 －
lim
x→ + ∞
ex ex
－ +
e －x e －x
=
lim （ （ x→ + ∞
ex ex
－ +
e －x） e －x）
' '
=
lim
x→ + ∞
ex ex
+ －
e －x e －x
= lim （ （ x→ + ∞
ex ex
+ －
e －x） e －x）
' '
=
lim
x→ + ∞
ex ex
－ +
e e
－ －
位，使用不恰当的情况． 本文比较全面地归纳了在使用洛必
达法则求解极限时常出现的几类问题和注意事项．
一、洛必达法则定理
洛必达法则证明的补充及应用中需注意的问题
f
x
f x
定理 4 设： （1） l i m f x l i mF x ； （2）当 |x| ＞ X 时 ，f'(x) 及 F'(x) 都存在，且 F'(x) ≠ 0；
x x
（3） F x 存在 ( 或为无穷大 ) f x f x 那么 l i m F x l i m F x
e x e x x 1 e 2x l i m x e x l i m 1 x e e x 1 e 2 x ex
例 2 求 lxim 0 0 si n3 x 分析：如果直接用洛必达法则，分母求导的结果会很繁杂，
si n x x cos x 0
xa xa
F x
那么 l i m F x l i m F x 说明：定理 1 课本已有证明过程，这里就不再证明。而当 时的 未定式情形，书中未给予证明，这里补充证明 定理 2 设： （1）当 x 时，函数 f(x) 及 F(x) 都趋于零； （2）当 |x| ＞ N 时，f'(x) 及 F'(x) 都存在，且 F'(x) ≠ 0；
F x
f x
lim
t 0
,
1 l i mF x l i mF 0 ， x t 0 t
1 1 f f x t t2 lim lim t 0 x F x 1 1 F t t2
x x xlim源自f x x 那么 l i m F x
f
x
（3） l i m F x 存在 ( 或为无穷大 )