2002考研数学二
2002数学考研真题
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)⎰∞+exx dx2ln = .(2)已知函数()y y x =由方程0162=-++x xy e y确定,则(0)y ''= . (3)微分方程02='+''y y y 满足初始条件11,'2x x yy ====的特解是.(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换x Py =可化成标准型216y f =,则a =.(5)设随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为12,则μ＝ .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质: ①),(y x f 在点),(00y x 处连续; ②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续; ③),(y x f 在点),(00y x 处可微;④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在．若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ,则有(A ) ②⇒③⇒①. (B ) ③⇒②⇒①. (C ) ③⇒④⇒①.(D ) ③⇒①⇒④.(2)设0(1,2,3,)n u n ≠=L ,且lim1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑ (A ) 发散. (B ) 绝对收敛.(C ) 条件收敛.(D ) 收敛性根据所给条件不能判定.(3)设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导,则(A ) 当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x .(B ) 当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x .(C ) 当0lim ()0x f x +→=时,必有0lim ()0x f x +→'=. (D ) 当0lim ()x f x +→'存在时,必有0lim ()0x f x +→'=. (4)设有三张不同平面的方程123i i i i a x a y a z b ++=,3,2,1=i ,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为(5)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则(A ) 1()f x ＋2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (B ) 1()f x 2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (C ) 1()F x ＋2()F x 必为某一随机变量的分布函数. (D ) 1()F x 2()F x 必为某一随机变量的分布函数. 三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数,且(0)0,(0)0f f '≠≠,若()(2)(0)af h bf h f +-在0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与⎰-=x t dt e yarctan 02在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→. 五、(本题满分7分) 计算二重积分dxdy e Dy x⎰⎰},max{22,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数,L 是上半平面(y ＞0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(b a ,),终点为(d c ,).记(1)证明曲线积分I 与路径L 无关; (2)当cd ab =时,求I 的值. 七、(本题满分7分)(1)验证函数333369()1()3!6!9!(3)!nx x y x x n =++++++-∞<<+∞L L 满足微分方程x e y y y =+'+'';(2)利用(1)的结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy 坐标面,其底部所占的区域为2{(,)|D x y x =275}y xy +-≤,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为),(00y x g ,试写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在D 的边界线2275x y xy +-=上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ,4321,,,αααα均为4维列向量,其中432,,ααα线性无关,3212ααα-=,如果4321ααααβ+++=,求线性方程组β=Ax 的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立. 十一、(本题满分7分) 设维随机变量X 的概率密度为对X 独立地重复观察４次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分)其中1(0)2θθ<<是未知参数,利用总体X 的如下样本值 求θ的矩估计值和最大似然估计值.2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 原式2ln 11.ln ln ee d x x x+∞+∞==-=⎰(2)【分析】 方程两边对x 两次求导得'6'620,y e y xy y x +++=① 2'''6''12'20.y y e y e y xy y ++++=②以0x =代入原方程得0y =,以0x y ==代入①得'0,y =,再以'0x y y ===代入②得''(0) 2.y =-(3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.令'()y P y =(以y 为自变量),则'''.dy dP dPy P dx dx dy=== 代入方程得20dP yPP dy +=,即0dPy P dy +=(或0P =,但其不满足初始条件01'2x y ==). 分离变量得0,dP dy P y+= 积分得ln ln ',P y C +=即1C P y=(0P =对应10C =); 由0x =时11,',2y P y ===得11.2C =于是又由1x y==得21,C =所求特解为y =(4)【分析】 因为二次型Tx Ax 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A 的特征值,所以6,0,0是A 的特征值.又因iiia λ=∑∑,故600, 2.a a a a ++=++⇒=(5)【分析】 设事件A 表示“二次方程042=++X y y 无实根”,则{1640}{A X X =-<=>4}.依题意,有1(){4}.2P A P X =>=而 4{4}1{4}1(),P X P X μΦσ->=-≤=-即414141(),(),0. 4.22μμμΦΦμσσσ----===⇒=二、选择题(1)【分析】 这是讨论函数(,)f x y 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,(,)f x y 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若(,)f x y 可微则必连续,故选(A ).(2)【分析】 由1lim 101n n un n →+∞=>⇒充分大时即,N n N ∃>时10n u >,且1lim 0,n nu →+∞=不妨认为,0,n n u ∀>因而所考虑级数是交错级数,但不能保证1nu 的单调性. 按定义考察部分和⇒原级数收敛.再考察取绝对值后的级数1111()n nn u u ∞=++∑.注意111112,11n n n n u u n n n u u n n++++=+⋅→+ 11n n ∞=∑发散⇒1111()n n n u u ∞=++∑发散.因此选(C ). (3)【分析】 证明(B )对:反证法.假设lim ()0x f x a →+∞'=≠,则由拉格朗日中值定理,(当x →+∞时,ξ→+∞,因为2x x ξ<<);但这与(2)()(2)()2f x f x f x f x M -≤+≤矛盾(()).f x M ≤(4)【分析】 因为()()23r A r A ==<,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B ).(A )表示方程组有唯一解,其充要条件是()() 3.r A r A ==(C )中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故()2r A =和()3r A =,且A 中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D )中有两个平面平行,故()2r A =,()3r A =,且A 中有两个平行向量共线. (5)【分析】 首先可以否定选项(A )与(C ),因对于选项(B ),若121,21,1,01,()()0,0,x x f x f x -<<-<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他，其他，则对任何(,),x ∈-∞+∞ 12()()0f x f x ≡,12()()01,f x f x dx +∞-∞=≠⎰因此也应否定(C ),综上分析,用排除法应选(D ).进一步分析可知,若令12max(,)X X X =,而~(),1,2,i i X f x i =则X 的分布函数()F x 恰是12()().F x F x三、【解】 用洛必达法则.由题设条件知lim[()(2)(0)](1)(0).h af h bf h f a b f →+-=+-由于(0)0f '≠,故必有10.a b +-=又由洛必达法则00()(2)(0)'()2'(2)limlim1h h af h bf h f af h bf h h →→+-+= 及(0)0f '≠,则有20a b +=.综上,得2, 1.a b ==-四、【解】 由已知条件得故所求切线方程为y x =.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得 五、【分析与求解】 D 是正方形区域如图.因在D 上被积函数分块表示 于是要用分块积分法,用y x =将D 分成两块:2221212x y x D D D e dxdy e dxdy e dxdy =+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D 关于y x =对称)2102xx dx e dy =⎰⎰(选择积分顺序)221102 1.x xxe dx e e ===-⎰六、【分析与求解】(1)易知Pdx Qdy +∃原函数,⇒在0y >上Pdx Qdy +∃原函数,即0(,)()xy xu x y f t dt y =+⎰. ⇒积分I 在0y >与路径无关.(2)因找到了原函数,立即可得(,)(,)(,).c d a b c a Iu x y d b==- 七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数 的收敛域是()x -∞<+∞,因而可在()x -∞<+∞上逐项求导数,得25831'()2!5!8!(31)!n x x x x y x n -=+++++-L L ,4732''()4!7!(32)!n x x x y x x n -=+++++-L L ,所以2'''12!!nx x x y y y x e n ++=+++++=L L ()x -∞<+∞.(2)与'''xy y y e ++=相应的齐次微分方程为'''0y y y ++=,其特征方程为210λλ++=,特征根为1,2122λ=-±.因此齐次微分方程的通解为212(cossin )22x Y eC x C x -=+. 设非齐次微分方程的特解为xy Ae *=,将y *代入方程'''xy y y e ++=可得13A =,即有13x y e *=.于是,方程通解为2121(cossin )223xx y Y y eC x C x e -*=+=++.当0x =时,有112121(0)1,23,0.311'(0)0.23y C C C y C ⎧==+⎪⎪⇒==⎨⎪==-+⎪⎩于是幂级数30(3)!n n x n ∞=∑的和函数为221()cos323x x y x e x e -=+()x -∞<+∞ 八、【分析与求解】(1)由梯度向量的重要性质:函数),(y x h 在点M 处沿该点的梯度方向方向导数取最大值即00(,)(,)x y h x y grad 的模,00(,)g x y ⇒=(2)按题意,即求(,)g x y 求在条件22750x y xy +--=下的最大值点⇔ 在条件22750x y xy +--=下的最大值点.这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数则有22108(2)0,108(2)0,750.Lx y x y x Ly x y x y L x y xy λλλ⎧∂=-+-=⎪∂⎪∂⎪=-+-=⎨∂⎪⎪∂=+--=⎪∂⎩ 解此方程组:将①式与②式相加得()(2)0.x y x y λ++=⇒=-或 2.λ=-若y x =-,则由③式得2375x =即5, 5.x y =±=m 若2,λ=-由①或②均得y x =,代入③式得275x =即x y =±=±于是得可能的条件极值点 现比较222(,)(,)558f x y g x y x y xy ==+-在这些点的函数值:因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在1234,,,M M M M 中取到.因此2(,)g x y 在12,M M 取到在D 的边界上的最大值,即12,M M 可作为攀登的起点.九、【解】 由432,,ααα线性无关及3212ααα-=知,向量组的秩1234(,,,)3r αααα=,即矩阵A 的秩为3.因此0Ax =的基础解系中只包含一个向量.那么由知,0Ax =的基础解系是(1,2,1,0).T-再由123412341111(,,,)1111A βαααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦知,(1,1,1,1)T是β=Ax 的一个特解.故β=Ax 的通解是1121,1101k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中k 为任意常数.十、【解】 (1)若,A B 相似,那么存在可逆矩阵P ,使1,P AP B -=故(2)令0100,,0000A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦那么2.E A E B λλλ-==- 但,A B 不相似.否则,存在可逆矩阵P ,使10P AP B -==.从而100A P P-==,矛盾,亦可从()1,()0r A r B ==而知A 与B 不相似.(3)由,A B 均为实对称矩阵知,,A B 均相似于对角阵,若,A B 的特征多项式相等,记特征多项式的根为1,,,n λλL 则有A 相似于1,n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O B也相似于1.n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 即存在可逆矩阵,P Q ,使111.n P AP Q BQ λλ--⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 于是111()().PQ A PQ B ---=由1PQ -为可逆矩阵知,A 与B 相似.十一、【解】 由于311{}cos ,3222x P X dx πππ>==⎰依题意,Y 服从二项分布1(4,)2B ,则有 十二、【解】 22012(1)23(12)34,EX θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-1(3).4EX θ=- θ的矩估计量为1ˆ(3),4X θ=-根据给定的样本观察值计算1(31303123)8x =+++++++2.=因此θ的矩估计值11ˆ(3).44x θ=-= 对于给定的样本值似然函数为令ln ()0d L d θθ=,得方程2121430θθ-+=,解得712θ-=(71,122θ+=>不合题意).于是θ的最大似然估计值为7ˆ12θ=。
考研数学二历年真题及答案详解(2003—2012)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中 ，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上()(A)(B) 2 (C) -2(D)-0 11⑺设a 0 , .a1 ,必31 ,必4 1 ,其中G,C 2,C 3,C 4为任意常数， 则下列向量组c 1C 2C 3C 4线性相关的为()(A)a , a , a(B)a , a , 04(C)a , a , a(D)(%2, a, 0C42(1)曲线y 罕芒的渐近线条数x 21(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3⑵设函数 f (x) (e x 1)(e 2x 2)L (e nx n)，n 1(A) ( 1) (n 1)!(B)(1)n (n ⑶ 设 a n 0 (n 1,2,3L ), S na 2 a 3(A)充分必要条件 (B)(C) 必要非充分条件(D)k 2(4) 设 l ko e x sinxdx,(k 1,2,3),则有(A) I 1 I 2 I 3 (B) I 3 I 2 I 1 (C)()其中n 为正整数，则f (0)()1)!(C)( 1)n 1 n! (D) ( 1)n n!L a n ，则数列 S n 有界是数列a n 收敛的()充分非必要条件 非充分也非必要()I 2 I 3 I 1(D)I 2 I 1 I 3⑸ 设函数f (x, y )为可微函数，且对任意的x, y 都有一乂 x0,30,则使不等式f (N, yjf (X 2, y ?)成立的一个充分条件是(A)人 X 2,% y 2 (B) 论 X 2,%y 2 (C)人 X 2,% y 2 (D) 人 X 2,%y 2(6)设区域D 由曲线y sin x, x2,y1 围成，则(x 5y 1)dxdyD1 0 0(8) 设 A 为 3 阶矩 阵，P 为3 阶 可逆矩阵，且P 1 A P 0 1 0.右Pa , a2, a0 0 2Qa a ,%2,a 3则 Q 1AQ( )1 0 01 0 0 20 02 0 0(A)0 2 0 (B)0 1 0 (C)0 1 0(D)0 2 00 0 10 0 20 0 20 0 1*BA.三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上•解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤• (15)(本题满分102 2x yx,y xe 2 的极值. 12分)二、填空题: 9-14小题，每小题 (9)设 yy(x)是由方程x 24分,共24分.请将答案写在答题纸 指定位置 dx 2e y 所确定的隐函数，则(10) limn_1 22 n 2n 2(11)In x，其中函数z 2 z可微，则X ： y -(12) 微分方程 ydx3y 2 dy0满足条件y X11的解为y(13) 曲线y0上曲率为辽的点的坐标是2(14) 设A 为3阶矩阵, A =3，A 为A 伴随矩阵，若交换 A 的第1行与第2行得矩阵B ，则已知函数f 1 x sin x(I) 求a 的值; (II) 若 x (16)(本题满分 0时， 10分)ka 与x 是同阶无穷小，求常数k 的值.求函数f (17)(本题满分过(0,1)点作曲线L:y Inx 的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,(II) 求正交变换x Qy 将f 化为标准形2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分。
2000-2017考研数学二历年真题word版
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）若函数1cosfxax()x,x0在x=0连续，则b,x0(A) 1ab(B) 21ab(C)ab0(D)ab2 2（2）设二阶可到函数f(x)满足f(1)f(1)1,f(0)1且f(x)0，则(A) 11f(x)dx0(B) 12f(x)dx0(C) 01f(x)dxf(x)dx 10(D) 11f(x)dxf(x)dx 10（3）设数列x收敛，则n(A)当limsinx n0时，limx n0nn(B)当limx n(x n x n)0时，则limx n0nn(C)当2 lim(xx)0,lim0nnnn(D)当lim(x n sinx n)0时，limx n0nn（4）微分方程2xy4y8ye(1cos2x)的特解可设为ky(A) 2x2x(cos2sin2)AeeBxCx(B) 2x2x(cos2sin2)AxeeBxCx(C) 2x2x(cos2sin2)AexeBxCx(D) 2x2x(cos2sin2)AxexeBxCx（5）设f(x)具有一阶偏导数，且在任意的(x,y)，都有f(x,y)f(x,y)0,xy则(A)f(0,0)f(1,1)-1-(D)f(0,1)f(1,0)（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度曲线v vt（单位:m/s）1虚线表示乙的速度曲线vv2t，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位:s）, 则(A)t010(B)15t020(C)t025(D)t025v(m/s)10200510********t(s)000（7）设A为三阶矩阵，P(,,)为可逆矩阵，使得1231PAP010，则002A(,,)123(A)12(B)223(C)23(D)122200210100（8）已知矩阵A021，B020，C020，则001001000(A)A与C相似，B与C相似(B)A与C相似，B与C不相似(C)A与C不相似，B与C相似(D)A与C不相似，B与C不相似二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.（9）曲线2yx1arcsinx的斜渐近线方程为（10）设函数yy(x)由参数方程txteysint确定，则2dydx2t-2-（11）0 l n(1x)21xdx =yy（12）设函数fx,y具有一阶连续偏导数，且dfx,yyedxx1yedy,f0,00，则fxy,=（13）tanx11dydx0yx4121（14）设矩阵121Aa的一个特征向量为，则a3112三、解答题：15~23小题，共94分。
北京大学2002年研究生入学考试试题数学分析
北京大学2002年研究生入学考试试题 考试科目：数学分析 一、（10分）求极限：11cos 0sin lim()x x x x−→。
二、（10分）设0α≥，1x =1n x +=，1,2,n =⋅⋅⋅，证明极限lim n n x →∞存在并求极限值。
三、（10分）设()fx 在[,2]a a α+上连续，证明存在[,]x a a α∈+，使得1()()((2)())2f x f x f a f a αα+−=+−。
四、（10分）设()arcsin f x x +，求()f x ′。
五、（10分）设(,)u x y 有二阶连续偏导数，证明u 满足偏微分方程2222220u u u x x y y∂∂∂−+=∂∂∂∂当且仅当：存在二阶连续可微函数(),()t t ϕψ，使得(,)()()u x y x x y y x y ϕψ=+++。
六、（10分）计算三重积分d d xx y z Ω∫∫∫，其中Ω是曲面z=与22z x y =+围成的有界区域。
七、（10分）计算第二型曲面积分222d d d d d d Ix y z y z x z x y Σ=++∫∫，其中Σ是球面 222(0)x y z az a ++=>的外侧。
八、（10分）判断级数11ln cosn n∞=∑的收敛性并给出证明。
九、（10分）证明：（1）函数项级数1nx n nxe∞−=∑在区间(0,)∞上不一致收敛；（2）函数项级数1nx n nxe∞−=∑在区间(0,)∞上可逐项求导。
十、（10分）设()f x 连续，0()()d x g x yf x y y =−∫，求()g x ′′。
数学分析-2002年西安电子科技大学考研真题——陌凡vov
西安电子科技大学2002一、填空题（20分）1．已知()()3222cos 1sin 3axy y x dx by x x y dy -+++为某一函数的全微分，则a =，b =。
2．设()21,0,0x x x f x e x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则()312f x dx -=⎰。
3．已知()32f x x ax bx =++在1x =处有极值-2，则a =，b = ()f x 的极小值点是，极大值点是。
4．已知当0x →时，tan x x e e -与k x 为同阶无穷小，则k =。
5．设()f x 连续，则()220x d tf x t dt dx -=⎰。
二、（10分）设()f x 一阶可导，在0x =处二阶可导且()02f ''=，()0lim 0x f x x →=，求()10lim 1x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦。
三、（10分）求由方程2222222440x y z xy x y z +++---+=所确定的函数(),z z x y =的极值。
四、（10分）计算()()212222axdydz z a dxdy xy z ∑++++⎰⎰，其中∑为下半球面z =的上侧，0a >为常数。
五、（10分）求幂级数112n n n x n -∞=∑的收敛域及和函数。
六、（10分）函数项级数()()011nn n x x ∞=--∑在[]0,1上是否一致收敛？是否绝对收敛？是否绝对一致收敛？需说明理由。
七、（10分）设在(),a b 内有()0f x ''>。
求证：对任意(),,x y a b ∈，对任意0λ>，0μ> ()1λμ+=，有不等式()()()f x y f x f y λμλμ+<+。
八、（10分）设()f x 在[],a b 上可微，且()0f a +'<，()_0f b '>，求证：存在(),a b ξ∈使()0f ξ'=。
2002全国硕士研究生入学统一考试-数三真题、标准答案及解析
[ C]
【详解】 由于 X、Y 不一定相互独立,故（A） 、 （B） 、(D)不一定成立，只有（C）为正 确选项.
三 、 （本题满分 8 分）
求极限 lim
x →0
∫
x
0
[ ∫ arctan(1 + t )dt ]du
0
u2
x(1 − cos x)
【详解 1】
培训网： 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 -5电话： 62701055
： 81
( D ) ( P −1 ) α
T
.（4）设 A 是 n 阶实对称矩阵， P 是 n 阶可逆矩阵.已知 n 维列向量 α 是 A 的属于特征
32
有非零解，故应选[ D]
16
当 m > n 时， 有 r ( AB ) ≤ r ( A ) ≤ n < m 对应 ( AB ) x = 0 【详解】 AB 为 m × m 矩阵，
a＝________ 【答】 -1 【详解】 由题设，存在 k，使得 Αα
= kα ，即
故所求 a 为－1. （4） 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为
P X 0 1
2 2
Y
工
0.07 0.08
2
作
−1
室
0
0.18 0.32
： 81
1
0.15 0.20
⎧a + 2 − 2 = ka, ⎪ 即 ⎨ 2a + 1 + 2 = k , 可得 a = −1, k = 1. ⎪3a + 4 = k , ⎩
所以 lim ln[
n →∞
【答】
∫
dx ∫ 2 f ( x, y )dy
国防科技大学 国防科技大 01 02年操作系统 01 02年离散数学 考研真题及答案解析
国防科技大学研究生院2001年硕士生入学考试试题考试科目：操作系统考生注意：1．答案必须写在我校统一配发的专用答题纸上2．统考生做 一、二、三、四、五；3．单独考生做一、二、三、六、七；一．（58分）回答如下问题1．（6分）假定有一个支持实时、分时和批处理的操作系统，对该系统应如何设计进程调度策略？2．（5分）什么叫线程？为什么要引进线程？3．（6分）某计算机系统设计成只有一级中断(该级中有多个中断)的中断系统，简述当中断发生时，是如何进入该中断处理程序的？4．（5分）在文件系统中为什么要引进“Open”系统调用？操作系统是如何处理的？5．(5分)假定存储器空闲块有如下结构：请你构造一串内存请求序列，对该请求序列首次满足分配算法能满足，而最佳满足分配法则不能。
6．(6分)为什么要在设备管理中引入缓冲技术？操作系统如何实现缓冲技术？7．(6分)用什么办法可以破坏死锁的循环等待条件？为什么？8．(6分)进程的状态主要有哪些？当发生状态转换时，操作系统完成哪些工作？9．(6分)在文件系统中，为什么要设立“当前目录”？操作系统如何实现改变“当前目录”？10．(7分)举例说明P、V操作为什么要用原语实现？操作系统如何实现这种原语操作？ 二．(12分)设有四个进程P1，P2，P3，P4，它们到达就绪队列的时刻，运行时间及优先级如下表所示：运行时间(基本时间单位)优先级进程 到达就绪队列时间(基本时间单位)P1 0 9 1P2 1 4 2P3 2 8 3P4 3 10 4问：(1)若采用可剥夺的优先级调度算法，给出各进程的调度次序以及每个进程的等待时间。
(2)若采用时间片轮转调度算法，且时间片为2个基本时间单位，试给出各进程的调度次序及平均周围时间。
三．(8分)假设系统由相同类型的m个资源组成，有 n 个进程，每个进程至少请求一个资源。
证明：当n个进程最多需要的资源数之和小于m+n时，该系统无死锁。
四．(12分)在页式虚存系统中，一程序的页面走向(访问串)为 1，2，3，4，1，2，5，1，2，3，4，5 ，设分配给该程序的驻留集为m，试分别计算m=3和m=4时，FIFO和LRU两种算法的页故障次数。
考研数学二解答题专项强化真题试卷29(题后含答案及解析)
考研数学二解答题专项强化真题试卷29(题后含答案及解析)题型有：1.1．设，其中f(u)具有二阶导数，且f(u)≠0，求正确答案：2．设线性方程组与方程(2)：x1+2x2+x3=a一1有公共解，求a的值及所有公共解。
正确答案：将方程组和方程合并，可得线性方程组对其增广矩阵作初等行变换，显然，当a≠1且a≠2时无公共解。
当a=1时，可求得公共解为ξ=k(1，0，一1)T，k为任意常数。
当a=2时，可求得公共解为ξ=(0，1，一1)T。
解析：把两个线性方程组联立，公共解就是联立之后的线性方程组的解。
3．从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度ν之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为κ(κ>0)．试建立y与ν所满足的微分方程，并求出函数关系式y=f(ν)．正确答案：涉及知识点：常微分方程4．正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学5．(2002年)已知矩阵A＝[α1 α2 α3 α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1＝2α2－α3．如果β＝α1＋α2＋α3＋α4，求线性方程组Aχ＝β的通解．正确答案：令χ＝，则由Aχ＝[α1 α2 α3 α4]＝β得χ1α1＋χ2α2＋χ3α3＋χ4α4＝α1＋α2＋α3＋α4 将α1＝2α2－α3代入上式，整理后得(2χ1＋χ2－3)α2＋(－χ1＋χ3)α3＋(χ4－1)α4＝0 由α2，α3，α4线性无关，得解此方程组，得涉及知识点：线性方程组6．(2012年试题，三)求函数的极值．正确答案：由于fx’(x，y)=(1一x2)令fx’=0,fy’=0，得函数f(x，y)的驻点为(1，0)，(一1，0)．将(1，0)代入上面的A，B，C，中，得所以(1，0)是函数的极大值点，极大值为将(一1，0)代入，B2一AC=一2e-1 涉及知识点：一元函数微分学7．(1998年试题，五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解正确答案：题设所给方程为变系数方程，可由代换将其化为关于u的二阶微分方程再求解，应先由求得y’，y’’与u’，u’’的关系如下，将y=usecx两边对x 求导，得y’=u’8ecx+secx.tanx，(1)再由(1)式两边对x求导，得y’’=u’’secx+2u’se’cx.tanx+usecx.tan2x+usec3x(2)将式(1)，式(2)代入原方程，得u’’+4u=ex，该方程是关于u的二阶常系数线性非齐次方程，先求其相应的齐次方程的通解，由特征方程λ2+4=0求得特征值为λ1=2i，λ2=一2i，从而齐次方程通解为y=C1cos2x+C2sin2x，设方程特解为y*=Aex，代回方程u’’+4u=ex，得因此，因此非齐次方程通解为其中C1，C2为任意常数．由代换原方程通解为解析：本题在化简原方程时，也可由代换u=ycosx两边对x求导，得u’=y’cosx —ysinx，(3)再由式(3)两边对x求导，得u’’=y’’cosx一2y’sinx—ycosx(4)式(3)，式(4)与式(1)，式(2)是等价的，代入原方程都可得出同样的方程u’’+4u=ex 知识模块：微分方程8．已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x－1)y”－(2x+1)y’+2y=0的解，若u(－1)=e，u(0)=－1，求u(x)，并写出该微分方程的通解。
2000-2012考研数学二真题及答案
2002年考研数学二真题答案2003年考研数学（二）真题评注1. 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知1sin )1(lim4120=-→xx ax x ，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】 当0→x 时，241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x . 于是，根据题设有 14141lim sin )1(lim 2204120=-=-=-→→a xax x x ax x x ，故a=-4.【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.38 【例1.62】.2.. 【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】 等式4ln 2y x xy =+两边直接对x 求导，得 y y xy x y '=+'+342， 将x=1,y=1代入上式，有 .1)1(='y 故过点(1,1)处的切线方程为 )1(11-⋅=-x y ，即 .0=-y x【评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点，类似例题见《数学复习指南》P.55 【例2.13】和【例2.14】.3.. 【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n 阶导数值)0()(n f，则麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)0()(n fn 【详解】 因为 2ln 2xy ='，2)2(ln 2xy =''，n x x y)2(ln 2,)(= ，于是有nn y )2(l n)0()(=，故麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)2(ln !)0()(n n y nn = 【评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案. 4.. 【分析】 利用极坐标下的面积计算公式θθρβαd S ⎰=)(212即可. 【详解】 所求面积为θθθρπθπd e d S a ⎰⎰==20220221)(21==πθ20241a e a )1(414-ae aπ.【评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂. 完全类似例题见《数学复习指南》P.200 【例7.38】.5.. 【分析】 本题的关键是矩阵Tαα的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111Tαα=[]111111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-，知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111α，于是[].3111111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ααT【评注】 一般地，若n 阶矩阵A 的秩为1，则必有[].2121n n b b b a a a A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=完全类似例题见《数学复习指南》P.389 【例2.11】和《考研数学大串讲》P.162 【例13】.6.. 【分析】 先化简分解出矩阵B ，再取行列式即可.【详解】 由E B A B A =--2知，E A B E A +=-)(2，即 E A B E A E A +=-+))((，易知矩阵A+E 可逆，于是有 .)(E B E A =-再两边取行列式，得 1=-B E A ，因为 2002010100=-=-E A , 所以 =B 21.【评注】 本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算. 完全类似例题见《考研数学大串讲》P.160 【例11】.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）7. 【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.8.. 【分析】 先用换元法计算积分，再求极限. 【详解】 因为dx x x a n n n n n +=⎰+-123101=)1(12310n n nn x d x n ++⎰+=}1])1(1{[1)1(1231023-++=++n n n nn n n x n， 可见 n n na ∞→lim =.1)1(}1])1(1{[lim 23123-+=-++-∞→e n n n n 【评注】 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法.9.. 【分析】 将xxy ln =代入微分方程，再令ϕ的中间变量为u ，求出)(u ϕ的表达式，进而可计算出)(yx ϕ.【详解】将xxy ln =代入微分方程)(y x x y y ϕ+='，得)(ln ln 1ln 1ln 2x x x x ϕ+=-，即 xx 2ln 1)(ln -=ϕ.令 lnx=u ，有 21)(uu -=ϕ，故 )(y x ϕ=.22x y - 应选(A).【评注】 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.10.. 【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.11.. 【分析】 直接计算21,I I 是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0. 【详解】 因为当 x>0 时，有tanx>x ，于是1tan >x x ，1tan <xx，从而有 4t a n 41ππ>=⎰dx x x I ， 4tan 402ππ<=⎰dx x x I ， 可见有 21I I >且42π<I ，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).【评注】 本题没有必要去证明11<I ，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B) 一定为正确选项.12.. 【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关.或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。
考研数学二考题路线图 重点题型
考研数学二近10年考题路线图第一部分高等数学(10年考题总数: 17题总分值:764分占三部分题量之比重:53% 占三部分分值之比重:60%) 第一章函数、极限、连续(10年考题总数:15题总分值:69分占第一部分题量之比重:12%占第一部分分值之比重:9%)题型1 求1∞型极限（一（1），2003）题型2 求0/0型极限（一（1），1998；一（1），2006）题型3 求∞-∞型极限（一（1），1999）题型4 求分段函数的极限（二（2），1999；三，2000）题型5 函数性质（奇偶性，周期性，单调性，有界性）的判断（二（1），1999；二（8），2004）题型6 无穷小的比较或确定无穷小的阶（二（7），2004）题型7 数列极限的判定或求解（二（2），2003；六（1），1997；四，2002；三（16），2006）题型8 求n项和的数列极限（七，1998）题型9 函数在某点连续性的判断（含分段函数）（二（2），1999）第二章一元函数微分学(1 10年考题总数:26题2总分值:136分3占第一部分题量之比重:22%④占第一部分分值之比重:17%)题型1 与函数导数或微分概念和性质相关的命题（二（7），2006）题型2 函数可导性及导函数的连续性的判定（五，1997；二（3），2001；二（7），2005）题型3 求函数或复合函数的导数（七（1），2002）题型4 求反函数的导数（七（1），2003）题型5 求隐函数的导数（一（2），2002）题型6 函数极值点、拐点的判定或求解（二（7），2003）题型7 函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定（二（1），2001；二（3），2002）题型8 函数在某点可导的判断（含分段函数在分段点的可导性的判断）（二（2），1999）题型9 求一元函数在一点的切线方程或法线方程（一（3），1997；四，2002；一（1），2004）题型10 函数单调性的判断或讨论（八（1），2003；二（8），2004）题型11 不等式的证明或判定（二（2），1997；九，1998；六，1999；二（1），2000；八（2），2003；三（15），2004）题型12 在某一区间至少存在一个点或两个不同的点使某个式子成立的证明（九，2000；七（1），2001；三（18），2005）题型13 方程根的判定或唯一性证明（三（18），2004）题型14 曲线的渐近线的求解或判定（一（1），2005）第三章一元函数积分学(1 10年考题总数:12题2总分值:67分3占第一部分题量之比重:10%④占第一部分分值之比重:8%)题型1 求不定积分或原函数（三，2001；一（2），2004）题型2 函数与其原函数性质的比较（二（8），2005）题型3 求函数的定积分（二（3），1997；一（1），2000；三（17），2005）题型4 求变上限积分的导数（一（2），1999；二（10），2004）题型5 求广义积分（一（1），2002）题型6 定积分的应用（曲线的弧长，面积，旋转体的体积，变力做功等）（七，1999；三，2003；六，2003）第四章向量代数和空间解析几何(1 10年考题总数:3题2总分值:15分3占第一部分题量之比重:2%④占第一部分分值之比重:1%)题型1 求直线方程或直线方程中的参数（四（1），1997）题型2求点到平面的距离（一（4），2006）题型3 求直线在平面上的投影直线方程（三，1998）题型4 求直线绕坐标轴的旋转曲面方程（三，1998）第五章多元函数微分学(1 10年考题总数:19题2总分值:98分3占第一部分题量之比重:16%④占第一部分分值之比重:12%)题型1 多元函数或多元复合函数的偏导的存在的判定或求解（二（1），1997；一（2），1998；四，2000；四，2001；二（9），2005；三（18（Ⅰ）），2006）题型2 多元隐函数的导数或偏导的求解或判定（三，1999；三（19），2004；二（10），2005）题型3 多元函数连续、可导与可微的关系（二（2），2001；二（1），2002）题型4 求曲面的切平面或法线方程（一（2），2000；一（2），2003）题型5 多元函数极值的判定或求解（八（2），2002；二（3），2003；三（19），2004；二（10），2006）题型6 求函数的方向导数或梯度或相关问题（八（1），2002；一（3），2005）题型7 已知一二元函数的梯度，求二元函数表达式（四，1998）第六章多元函数积分学(1 10年考题总数:27题2总分值:170分3占第一部分题量之比重:23%④占第一部分分值之比重:22%)题型1 求二重积分（五，2002；三（15），2005；三（15），2006）题型2 交换二重积分的积分次序（一（3），2001；二（10），2004；二（8），2006）题型3 求三重积分（三（1），1997）题型4 求对弧长的曲线积分（一（3），1998）题型5 求对坐标的曲线积分（三（2），1997；六，1998；四，1999；五，2000；六，2001；六（2），2002；一（3），2004；三（19），2006）题型6 求对面积的曲面积分（八，1999）题型7 求对坐标的曲面积分（三（17），2004；一（4），2005；一（3），2006）题型8 曲面积分的比较（二（2），2000）题型9 与曲线积分相关的判定或证明（六（1），2002；五，2003；三（19（Ⅰ）），2005）题型10 已知曲线积分的值，求曲线积分中被积函数中的未知函数的表达式（六，2000；三（19（Ⅱ）），2005题型11 求函数的梯度、散度或旋度（一（2），2001）题型12 重积分的物理应用题（转动惯量，重心等）（八，2000）第七章无穷级数(1 10年考题总数:20题2总分值:129分3占第一部分题量之比重:17%④占第一部分分值之比重:16%)题型1 无穷级数敛散性的判定（六，1997；八，1998；九（2），1999；二（3），2000；二（2），2002；二（9），2004；三（18），2004；二（9），2006）题型2 求无穷级数的和（九（1），1999；五，2001；七（2），2002；四，2003；三（16），2005）题型3 求函数的幂级数展开或收敛域或判断其在端点的敛散性（一（2），1997；七，2000；五，2001；四，2003；三（16），2005；三（17），2006）题型4 求函数的傅里叶系数或函数在某点的展开的傅里叶级数的值（二（3），1999；一（3）；2003）第八章常微分方程(1 10年考题总数:15题2总分值:80分3占第一部分题量之比重:1%④占第一部分分值之比重:10%)题型1 求一阶线性微分方程的通解或特解（六，2000；一（2），2005；一（2），2006；三（18（Ⅱ）），2006）题型2 二阶可降阶微分方程的求解（一（3），2000；一（3），2002）题型3 求二阶齐次或非齐次线性微分方程的通解或特解（一（3），1999）题型4 已知二阶线性齐次或非齐次微分方程的通解或特解，反求微分方程（一（1），2001）题型5 求欧拉方程的通解或特解（一（4），2004）题型6 常微分方程的物理应用（三（3），1997；五，1998；八，2001；三（16），2004）题型7 通过求导建立微分方程求解函数表达式或曲线方程（四（2），1997；五，1999）第二部分线性代数(1 10年考题总数:51题2总分值:256分3占三部分题量之比重:23%④占三部分分值之比重:20%)第一章行列式(110年考题总数:5题2总分值:18分3占第二部分题量之比重:9%④占第二部分分值之比重:7%)题型1 求矩阵的行列式（十（2），2001；一（5），2004；一（5），2005；一（5），2006）题型2判断矩阵的行列式是否为零（二（4），1999）第二章矩阵(1 10年考题总数:8题2总分值:35分3占第二部分题量之比重:15%④占第二部分分值之比重:13%)题型1 判断矩阵是否可逆或求逆矩阵（八，1997）题型2 解矩阵方程或求矩阵中的参数（一（4），1997；十，2000；一（4），2001）题型3 求矩阵的n次幂（十一（3），2000）题型4 初等矩阵与初等变换的关系的判定（二（11），2004；二（12），2006）题型5 矩阵关系的判定（二（12），2005）第三章向量(1 10年考题总数:9题2总分值:33分3占第二部分题量之比重:17%④占第二部分分值之比重:12%)题型1 向量组线性相关性的判定或证明（十一，1998；二（4），2000；十一（2），2000；二（4），2003；二（12），2004；二（11），2005；二（11），2006）题型2 根据向量的线性相关性判断空间位置关系或逆问题（二（4），1997；二（4），2002）第四章线性方程组（共考过约11题, 约67分）题型1 齐次线性方程组基础解系的求解或判定（七（1），1997；九，2001）题型2 求线性方程组的通解（十二，1998；九，2002；三（20（Ⅲ）），2005）题型3 讨论含参数的线性方程组的解的情况，如果方程组有解时求出通解（三（20），2004；三（21），2005）题型4根据含参数的方程组的解的情况，反求参数或其他（一（4），2000；三（20），2006）题型5 两个线性方程组的解的情况和它们的系数矩阵的关系的判定（一（5），2003）题型6 直线的方程和位置关系的判定（十，2003）第五章矩阵的特征值和特征向量(1 10年考题总数:13题2总分值:76分3占第二部分题量之比重:25%④占第二部分分值之比重:29%)题型1 求矩阵的特征值或特征向量（一（4），1999；十一（2），2000；九，2003；三（21（Ⅰ）），2006）题型2 已知含参数矩阵的特征向量或特征值或特征方程的情况，求参数（七（2），1997；三（21），2004）题型3 已知伴随矩阵的特征值或特征向量，求矩阵的特征值或参数或逆问题（一（4），1998；十，1999）题型 4 将矩阵对角化或判断矩阵是否可对角化（七（2），1997；三（21），2004；三（21（Ⅱ）），2006）题型5 矩阵相似的判定或证明或求一个矩阵的相似矩阵（二（4），2001；十（1），2001）题型6 矩阵相似和特征多项式的关系的证明或判定（十，2002）第六章二次型(1 10年考题总数:5题2总分值:27分3占第二部分题量之比重:9%④占第二部分分值之比重:10%)题型1 化实二次型为标准二次型或求相应的正交变换（三（20（Ⅱ）），2005）题型2 已知一含参数的二次型化为标准形的正交变换，反求参数或正交矩阵（十，1998；一（4），2002）题型3 已知二次型的秩，求二次型中的参数和二次型所对应矩阵的表达式（三（20（Ⅰ）），2005）题型4 矩阵关系合同的判定或证明（二（4），2001）题型5 矩阵正定的证明（十一，1999）。