2002考研数学三真题及解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)

(1) 设常数1

2a ≠，则21lim ln .(12)n

n n na n a →∞??-+=??-??

(2)

交换积分次序：

111

42210

(,)(,)y

dy f x y dx dy f x y dx +=

??.

(3) 设三阶矩阵12

12304A -??

= ? ???

，三维列向量(),1,1T a α=.已知A α与α线性相关，则 a =

(4)

则2X 和2

Y 的协方差2

cov(,)X Y =

(5) 设总体X 的概率密度为

(),,

(;)0,x e x f x x θθθθ--?≥=?

若若

而12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为

二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 ( )

(A)当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. (B)对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξ

ξ→-=.

(C)当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.

(2) 设幂级数1n

n n a x ∞

=∑与1n

n n b x ∞

=∑

13，则幂级数221n

n i n

a x

b ∞

=∑的收敛半

径为 ( ) (A) 5 (B)

(3) 设A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，则线性方程组()0AB x = ( )

(A)当n m >时仅有零解 (B)当n m >时必有非零解

(C)当m n >时仅有零解 (D)当m n >时必有非零解

(4) 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(

)

P AP

-属于特征值λ的特征向量是 ( )

(A) 1

P α- (B) T

P α (C)P α (D)()

P α-

(5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( )

(A)X Y +服从正态分布 (B)22

X Y +服从2

χ分布

Y 都服从2

χ分布 (D)22

/X Y 服从F 分布

三、(本题满分5分)

求极限 2

arctan(1)lim

(1cos )

u x t dt du x x →??+????-?

四、(本题满分7分)

设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程x

xe ye ze -=所确定，求du . 五、(本题满分6分)

设2

(sin ),sin x f x x =

求()x dx . 六、(本题满分7分)

设1D 是由抛物线2

2y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线2

2y x =和直线0y =,x a =所围成的平面区域，其中02a <<.

(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ； (2)问当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值.

七、(本题满分7分)

(1)验证函数()()3693()13!6!9!3!

x x x x y x x n =+++++++-∞<<+∞L L 满足微分方程

x y y y e '''++=

(2)利用(1)的结果求幂级数()303!

n x n ∞

=∑的和函数.

八、(本题满分6分)

设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a b ξ∈，使

()()()()b

f x

g x dx f g x dx ξ=?

九、(本题满分8分)

设齐次线性方程组

1231231230,0,0,

n n

n ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=??++++=??

??++++=?L L L L L L L 其中0,0,2a b n ≠≠≥，试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.

十、(本题满分8分)

设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件2

20A A +=，已知A 的秩()2r A = (1)求A 的全部特征值

(2)当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 十一、(本题满分8分)

假设随机变量U 在区间[]2,2-上服从均匀分布，随机变量

1,1-1,11,1;1,1;U U X Y U U -≤-≤??==??>->??

若若若若

试求：(1)X 和Y 的联合概率分布；(2)()D X Y +. 十二、(本题满分8分)

假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题 (1)【答案】

12a

- 【详解】ln “”

里面为1∞

“”型，通过凑成重要极限形式来求极限， 1

(12)12211

limln limln 1(12)(12)n

n a a

n n n na n a n a -?

-→∞

→∞????-+=+????--????

(12)

lim ln 112(12)n a n a n a -→∞??=+??--??

ln 1212e a a

--．

(2)【答案】

(,)x

dx f x y dy ??

【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域1D 与2D ，将它们的并集记为D ．于是

1142210

(,)(,)y

dy f x y dx dy f x y dx +?

??(,)D

f x y d σ=??．

再将后者根据积分定义化为如下形式，即2

102

x y x x →→从，从，所以

2120

(,)(,).x

f x y d dx f x y dy σ=??

(3)【答案】1- 【详解】

12123,304134a a A a a α-?????? ??? ?==+ ??? ? ??? ?+?

?????

由于A α与α线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有

2334

a a a a ++==

，得 2334, 1.a a a +=+=- 或,(0)A k k αα=≠(两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出)

即 231341a a a k a ???? ? ?

+= ? ? ? ?+????

，得

2334a ka a k a k =??

+=??+=?

，得 1.(1)a k =-=

(4)【答案】0.02-．

【详解】2X 、2Y 和2X 2

Y 都是01-分布，而01-分布的期望值恰为取1时的概率p ．

由离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布表可得2

X 的可能取值为0和1，且2

Y 的可能取值也为0和1，且X 和Y 的边缘分布为

{}00.070.180.150.4P X ==++=；{}10.080.320.200.6P X ==++=； {}10.070.080.15P Y =-=+=；{}00.180.320.5P Y ==+=； {}10.150.200.35P Y ==+=；

故有

{}{}220,00,00.18,P X Y P X Y ======

0 1

0.4 0.6

Y 1- 0 1

0.15 0.5 0.35

{}{}{}220,10,10,10.070.150.22,P X Y P X Y P X Y =====-+===+= {}{}221,01,00.32,P X Y P X Y ======

{}{}{}221,11,11,10.080.200.28,P X Y P X Y P X Y =====-+===+=

而边缘分布律：

{}{}2000.4P X P X ====，{}{}2110.6P X P X ====， {}{}2000.5P Y P Y ====，

{}{}{}21110.150.350.5P Y P Y P Y ===-+==+=

所以，2

(,)X Y 的联合分布及其边缘分布为

由上表同理可求得22X Y 的分布律为

所以由01-分布的期望值恰为取1时的概率p 得到：

22222

()0.5()0.60,(0.28

cov ()()0.280.60.50.02

E X E Y E X Y X Y E X Y E X E Y ====-=-?=-，）（，）（）

(5)【答案】1X -．

【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只

需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望) 期望 ()()()1x E X xf x dx xe dx θθ

θ+∞

+∞

---∞

==+?

样本均值 1

i i X X n ==∑

用样本均值估计期望有 EX X =，即 1

11n

i i X n θ=+=∑，

解得未知参数θ的矩估计量为 1

1?11n i i X X n θ==-=-∑．

二、选择题 (1)【答案】(B)

【详解】方法1：论证法．由题设()f x 在开区间(,)a b 内可导，所以()f x 在(,)a b 内连续，

因此，对于(,)a b 内的任意一点ξ，必有lim ()().x f x f ξ

ξ→= 即有lim[()()]0x f x f ξ

ξ→-=．故

选(B)．

方法2：排除法．

(A)的反例：1(,]

()1x a b f x x a ∈?=?-=?

，有()1,()1,()()10f a f b f a f b =-==-<，

但()f x 在(,)a b 内无零点．

(C)与(D)的反例，(1,1]()1

x f x x ∈-?=?

=-? (1)(1)1f f -==，但()1f x '=(当

(1,1)x ∈-)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)．

(2)【答案】(D)

【详解】方法1：A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，则AB 是m 阶方阵，因

()min((),())r AB r A r B ≤．

当m n >时，有()min((),())r AB r A r B n m ≤≤<．(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组()0AB x =必有非零解，故应选(D)．

方法2：B 是n m ?矩阵, 当m n >时,，则()r B n =，(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方

程组0Bx =必有非零解，即存在00x ≠，使得00Bx =，两边左乘A ，得00ABx =，即0ABx =有非零解，故选(D)．

(3)【答案】(B)

【详解】方法1：由题设根据特征值和特征向量的定义，A αλα=，A 是n 阶实对称矩阵，

故T

A A =．设(

)

P AP

B -=，则

111()T

T T T T T B P A P P AP P A P ---===

上式左乘1

T P

-，右乘T

P ，得

111()()()T T T T T T P BP P P A P P ---=，即1

T T A P BP -=，

所以 1

()T T A P BP ααλα-==

两边左乘T P ，得 1

()()T T T T P P BP P αλα-=得()T T

B P P αλα=

根据特征值和特征向量的定义，知1

()T

B P AP -=的对应于特征值λ的特征向量为

T P α，即应选(B)．

方法2：逐个验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定

义，A αλα=，A 是n 阶实对称矩阵，故T A A =．设(

)

P AP -属于特征值λ的特征

向量为ξ，即(

)

P AP

ξλξ-=，其中()111T

T T T P AP P A P P AP ---==

对(A)，即令1

P ξα-=，代入111()T

T P AP P P αλα---≠

对(B)，1()T

T T P AP P α-1()T

T T P A P P α-=1[())]T T T

P A P P α-=T

P A α=()T P λα=

成立．故应选(B)．

(4)【答案】C

【分析】(i)2

χ变量的典型模式是：222212n X X X χ=+++L ，其中i X 要求满足：i X 相互

独立，(0,1)i X N :．称2χ为参数为n 的2

χ变量．

(ii) F 变量的典型模式是：1

//X n F Y n =

，其中,X Y 要求满足：X 与Y 相互独立，2212(),()X n Y n χχ::，称F 为参数为()12,n n 的F 变量．

【详解】方法1：根据题设条件，X 和Y 均服从(0,1)N ．故2X 和2

Y 都服从2

(1)χ分布，

答案应选(C)．

方法2：题设条件只有X 和Y 服从(0,1)N ，没有X 与Y 的相互独立条件．因此，2

X 与2

的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确．

题中条件既没有X 与Y 独立，也没有(,)X Y 正态，这样就不能推出X Y +服从正态分布的选项(A)．根据排除法，正确选项必为(C)．

三【详解】

0000

03arctan(1)arctan(1)lim

lim 1(1cos )2

u x u x x t dt du t dt du x x x

→→????++????????-?

???等 2

arctan(1)lim

x x t dt x →+?洛洛20arctan(1)2lim 3x x x x →+?2346

ππ=?=．

四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分．123du f dx f dy f dz '''=++

(,)z z x y =由x y z xe ye ze -=所确定，两边求全微分，有

()()()()()x y z x y z d xe ye d ze d xe d ye d ze -=?-= x x y y z z xe dx e dx ye dy e dy ze dz e dz ?+--=+，

解出 (1)(1),(10).(1)

x y z e x dx e y dy

dz z e z +-+=

+≠+设所以 du =123(1)(1)(1)

x y z e x dx e y dy

f dx f dy f e z +-+'''++?+

1323(1)(1)(1)(1)x y

z z

e x e y

f f dx f f dy e z e z ????++''''=++-????++???

? 方法2：

1323,u z u z

f f f f x x y y

????''''=+=+????(根据多元函数偏导数的链式法则) 下面通过隐函数求导得到

z x ??，z y

??．由x y z

xe ye ze -=两边对x 求偏导数，有 ()

,x x z z z xe e ze e x

?+=+? 得x x

z z

z xe e x ze e

?+=?+，(10)z +≠设．类似可得，y y z z z ye e y ze e ?+=-?+，代入,u u x y ????表达式 1323(),()x x

y y

z z

u xe e u ye e f f f f x ze e y ze e ?+?+''''=+?=-??+?+，再代入 u u

du dx dy x y

??=

+??中，得

du 1323(1)(1)(1)(1)x y

z z

e x e y

f f dx f f dy e z e z ????++''''=++-????++???

?．

五【详解】首先要从2

(sin )sin x

f x x

求出()f x ．命2

sin u x =

，则有sin x =

x =

()f u =

(通过换元求出函数的表达式)

()f x dx =

sin 2sin cos cos t

t tdt t

(换元积分法) sin t tdt =2?[]2cos sin t t t C =-++(分部积分法

)

2C ?=+?．

六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线:()()y f x a x b Γ=≤≤，()0f x ≥与直线

,x a x b ==及x 轴围成平面图形绕x 轴旋转一周产生旋转体的体积2()b

V f x dx π=?.

【详解】(1) ()

5142(32)5

V x

dx a π

2420

202a V a a x dy a a πππ=-=<

g ．

(2) 54124(32)5

V V V a a π

π=+=

-+ 根据一元函数最值的求法要求驻点，令

34(1)0dV

a a da

π=-=, 得1a =. 当01a <<时0dV da >，当12a <<时0dV

<，因此1a =是V 的唯一极值点且

是极大值点，所以是V 的最大值点，129max 5

V π

=．

七【解】(1) 369331

()113(3)!(3)!n n

n x x x x x y x n n ∞

==+++++=+∑L L +！6！9！，由收敛半径的求法知收敛半径为∞，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得

3311()(1)(3)!(3)!n

n n n x x y x n n ∞

∞

=='??''=+= ???

∑∑3113(3)!n n nx n -∞==∑311(31)!n n x n -∞==-∑，

同理得 32

1(32)!

n n x y n -∞

=''=-∑

从而 ()()()y x y x y x '''++32313111

()()(1)(32)!(31)!(3)!n n n

n n n x x x n n n --∞

∞∞

====+++--∑∑∑ 11!

n x n ∞

==+∑(由x e 的麦克劳林展开式)

x e =

这说明，30()(3)!

n n x y x n ∞

==∑是微分方程x

y y y e '''++=的解，并且满足初始条件

310(0)1(3)!n n y n ∞

==+∑1=，31

0(0)(31)!n n y n -∞

='=-∑0=. (2)微分方程x

y y y e '''++=对应的齐次线性方程为0y y y '''++=，其特征方程为

210λλ++=

，其特征根为12-±

，所以其通解为

12[cos

sin ]22

y e C x C x -=+. 另外，该非齐次方程的特解形式为x

y ce =，代入原非齐次方程得x x x x

ce ce ce e ++=，

所以13

c =

.故微分方程x

y y y e '''++=的通解为

121[sin ]3

x x y e C x C x e -=++. 故

22121211

[cos

sin ][sin cos ]2222223

x x

x y e C x C x e C x x e --'=-?++-?++

222112111(2(22222223

x x x e C C x e C C x e --=-?-?-?-?+

由初始条件(0)1,(0)0y y '==得

02121

0002

2211212111[00]331110(20(2022311223e C C e C e C C e C C e C C ---?=++=+??

?=-?--?-+????=-++

解得

112

113110

3C C ?

+=??

?-+=??，于是得到惟一的一组解：122

,0.3

C C =

=从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，只有一个，为

221cos 323

x x y e x e -=+

另一方面，由(1)已知30()(3)!

n n x y x n ∞

==∑也是微分方程x

y y y e '''++=及初始条件

(0)1,(0)0y y '==的解，由微分方程解的唯一性，知

321211cos ().(3)!

323x

n x n x e x e x n ∞

-=+=+-∞<<+∞∑

八【详解】方法1：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，所以存在1x 2x 使得

1[,]

()max ()x a b f x M f x ∈==，2[,]

()min ()x a b f x m f x ∈==，

满足()m f x M ≤≤．又()0g x >，故根据不等式的性质

()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤

根据定积分的不等式性质有

()()()(),b b b

m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤???

所以 ()().()b

f x

g x dx

m M g x dx

≤

≤??

由连续函数的介值定理知，存在[,]a b ξ∈，使()()()()b a

f x

g x dx

f g x dx

ξ=

即有

()()()()b

f x

g x dx f g x dx ξ=?

?．

方法2：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，且()0g x >，故

()()b

f x

g x dx ?

与()b

g x dx ?都

存在，且

()0.b

g x dx >?

记

()()()b

f x

g x dx

h g x dx

=??

，于是()()()(),b

f x

g x dx

h g x dx hg x dx ==???即

(())()0b

f x h

g x dx -=?

因此必存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=．不然，则在(,)a b 内由连续函数的零点定理知要么()f x h -恒为正，

从而根据积分的基本性质得(())()0b

a f x h g x dx ->?；要么()f x h -恒为负，同理得

(())()0b

f x h

g x dx -

，均与(())()0b

f x h

g x dx -=?不符．由此推

知存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=，从而

()()()()b

f x

g x dx f g x dx ξ=?

?．

九【详解】方法1：对系数矩阵记为A 作初等行变换

21311000000n a b b b a b b b b a b b b a a b A b

b a b b a a b b b b a b a a b -- -???? ?

?-- ? ? ? ?=→-- ? ? ? ? ? ?--?

M L L L L

L L M M M M M

M M M L

行行行行行行

当(0)a b =≠时，()1,0r A AX ==的同解方程组为120n x x x +++=L ，基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取23,,...,n x x x 为自由未知量，分别取231,0,...,0n x x x ===，230,1,...,0n x x x ===，…,

230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解

[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,,1,0,,0,1T T T

n ξξξ-=-=-=-L L L L ，

为基础解系，方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++L ，其中

(1,2,1)i k i n =-L 是任意常数．

当a b ≠时，

000000a

b b b b a a b

A b a a b

b a a b ??

?-- ? ?→--

? ?--?

L L L M

M M M L

11001

010100

1a b a b n a b a b b b -- -?? ?- ? ?→- ? ? ?-??

M L L L M

M M M 行/()行/()

行/() 12131(1)00011001

0101001b

b n b

a n b

-?-? -?+-??

? ?→-

? ? ?-?

L L

L M M M M L

行行行行行行当a b ≠且(1)a n b ≠--时，(1)0A a n b =+-≠，(),0r A n AX ==仅有零解. 当(1)a n b =--时，()1,0r A n AX =-=的同解方程组是

1213

10,

0,0,

n x x x x x x -+=??-+=??

??-+=?…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量，取1x 为自由未知量，取11x =，得方程组1个非零解[]1,1,,1T

ξ=L ，即其基础解系，故方程组的全部解为

X k ξ=，其中k 是任意常数．

方法2：方程组的系数行列式

a b b b

b a b b A b b a b

b b b a

=L L L

M M M M

(1)(1)2...(1)1(1)a n b b b b a n b a b b n a n b b a b a n b b b a

+-+-+-+-L

L L

M M M M L

把第，，列

加到第列

111[(1)]11b b b a b b

a n

b b a b b b a +-L

M M M M L

提取第列的公因子 1

210003-1[(1)]000-1000b

b a b a n b a b n a b

--+-- -L

M M M

M L

第行第行

1[(1)]()n a n b a b -=+--

(1)当a b ≠且(1)a n b ≠--时，0A ≠，()r A n =方程组只有零解． (2)当(0)a b =≠时，

a a a a a a a a A a a a a a a a a ?????

???

???????

L L L M M M M L

21000031000010000a a a a n ?

?-????-?? ???

?-????L L

L M M M M M u u u u u u u u u u u u u u r L

第行第行第行第行第行第行1

1110000110

0000

000a ?????

?????

???????

L L

L u u u u u u u u u r M

M M M L

第行方程组的同解方程组为

120n x x x +++=L

基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取

23,,...,n x x x 为自由未知量，分别取231,0,...,0n x x x ===，230,1,...,0n x x x ===，…, 230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解

[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,,1,0,,0,1T T T

n ξξξ-=-=-=-L L L L ，

为基础解系，方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++L ，其中

(1,2,1)i k i n =-L 是任意常数．

(1)当(1)(0)a n b b =--≠时，

(1)(1)(1)(1)n b

b b b

n b b b A b b n b

b b b b n b -??

?- ? ?=-

? ? ?-?

L L L M

M M M L

1,2,...,111

11111111111111n b

n n n n ?

-??

?- ? ?→-

? ? ?-?

?L L L

M M M L 行分别11

11210

03100100n n n n n

n n n -??-

?- ?-

? ?- ?-?

?L L

L M M M M M u u u u u u u u u r L 行行行行行行 11

1111

002,...,1

01011001n n n -??

?- ? ?

? ? ?-??L L

L M M M M u u u u u u u u u r L

行分别0

011002,...,10101001n ?? ?-

? ?- ? ? ?-?

L u u u u u u u u u u u u u u u u u r M M M M L

把第行都依次加到第1行 ()1r A n =-，其同解方程组是

1213

10,0,0,

n x x x x x x -=??-=??

??-=?…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量，取1x 为自由未知量，取11x =，得方程组1个非零解[]1,1,,1T

ξ=L ，即其基础解系，故方程组的全部解为

X k ξ=，其中k 是任意常数．

十【详解】(1) 设λ是A 的任意特征值，α是A 的属于λ的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有 ,0,A αλαα=≠ ①

两边左乘A ，得 2

A αA λαλλα==2

λα= ②

②+2*①得 (

)()2

22A A

αλ

λα+=+

因2

20A A +=，0α≠，从而上式(

)()2

220A A

αλ

λα+=+=，

所以有2

20λλ+=，故A 的特征值λ的取值范围为0,2-．

因为A 是实对称矩阵，所以必相似于对角阵Λ，且Λ的主对角线上元素由A 的特征值

组成，且()()2r A r =Λ=，故A 的特征值中有且只有一个0.

(若没有0，则222-????Λ=-????-??，故()()3r A r =Λ=与已知矛盾；若有两个0，则200-????Λ=??

????，

故()()1r A r =Λ=与已知矛盾；若三个全为0，则000??

??Λ=??

????

，故()()0r A r =Λ=与已知

矛盾). 故

20A -??

??Λ=-?

????

: 即A 有特征值1232,0λλλ==-=．

(2)A kE +是实对称矩阵，A 有特征值1232,0λλλ==-=，知A kE +的特征值为

2,2,k k k --．因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零，故

A kE +正定200k k ->???>?2

k k >???

>?2k ?> 故2k >时A kE +是正定矩阵．

十一【分析】(,)X Y 有四个可能值，可以逐个求出．在计算过程中要注意到取值与U 的值有关．U 的分布为均匀分布，计算概率不用积分都行，可以直接看所占区间的长度比例即可．

【详解】(,)X Y 只有四个可能值(1,1),(1,1),(1,1)(1,1)----和．依照题意，有

{}{}{}1(2)1

1,11,11;2(2)4

P X Y P U U P U ---=-=-=≤-≤=≤-=

=--

{}{}{}1,11,10;P X Y P U U P =-==≤->=?= {}{}{}1

1,11,111;

2P X Y P U U P U ==-=>-≤=-<≤={}{}{}1

1,11,11.4

P X Y P U U P U ===>->=>=

于是，(,)X Y 分布为

(2) 因为2

()()[()]D X Y E X Y E X Y +=+-+，所以我们应该知道X Y +和2

()X Y +的分布律．

对离散型随机变量，X Y +的取值可能有2,0,2;-2

()X Y +的取值可能有0和4；

{}{}1

21,1,4

P X Y P X Y +=-==-=-=

{}{}{}1101,11,10,22

P X Y P X Y P X Y +====-+=-==+= {}{}1

21,1,4P X Y P X Y +=====

(){}

{}2

100,2

P X Y P X Y +==+==

(){}{}{}2

4222

P X Y P X Y P X Y +==+=-++==．

X Y +和2()X Y +的分布律分别为

和

所以由离散型随机变量的数学期望计算公式有：

{}1

()n

k k k E X x P X x ==?=∑

所以有，2224

()0,()2442

E X Y E X Y +=-

+=+==． 22()()[()]2D X Y E X Y E X Y +=+-+=

十二【详解】首先找出随机变量Y 的表达式． Y 由X 和2(小时)来确定，所以min(,2)Y X =．

指数分布的X 的分布参数为 11

,()5

E X λ=

=其密度函数为：

10()5

x X e

x f x x -?>?=??≤?

其中0λ>是参数

由分布函数的定义：{}{}()min(,2)F y P Y y P X y =≤=≤

(1) 当0y <时，()0Y F y =(因为{}min ,2Y X =，其中X 和2都大于0，那么小于0是不可能事件)

(2) 当2y ≥时，()1Y F y =(因为{}min ,2Y X =最大也就取到2，所以小于等于2是一定发生的，是必然事件)

(3) 当02y ≤<时, {}{}{}()min(,2)F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤

1()15

x y y

X f x dx e dx e ---∞

===-?

所以

500()10212y Y y F y e y y -

=-≤