使用洛必达法则求极限的几点注意_图文(精)
高等数学课件同济版第二节洛必达法则
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洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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洛必达法则
洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。
这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。
洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。
通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。
洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。
洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。
洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。
若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。
示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。
假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。
首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。
总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。
洛必达法则的内容及运用注意事项
洛必达法则的内容及运用注意事项
1、分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；
2、分子分母在限定的区域内是否分
别可导。
如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，
直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，
再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
注意事项
1、谋音速就是高等数学中最重要的内容之一，也就是高等数学的基础部分，因此熟
练掌握谋音速的方法对努力学习高等数学具备关键的意义。
洛比达法则用作谋分子分母同
趋向零的分式音速。
2、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
3、洛必达法则厚边未定式音速的有效率工具，但是如果仅用洛必达法则，往往排序
可以十分繁杂，因此一定必须与其他方法结合，比如说及时将非零音速的乘积因子分离出
来以精简排序、乘积因子用等价量替代等等。
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求
这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。
洛必达法则求极限使用条件
洛必达法则求极限使用条件洛必达法则是求极限的一种方法，它能够帮助我们确定当自变量趋于某个值时，函数的极限值。
洛必达法则的使用条件包括以下几点：1.函数必须是可导函数：洛必达法则基于导数的概念，因此要使用该法则，函数必须是可导函数。
这意味着函数在极限点的附近必须存在导数。
2.极限点存在：洛必达法则适用于当自变量趋于某个特定值时的情况。
因此，在使用该法则之前，需要验证极限点是否存在。
3.极限不存在或者是不确定形式：洛必达法则的目的是求函数的极限值，因此只有在极限不存在或者无法计算的时候才需要使用该法则。
如果极限已经可以通过其它方法确定，那么就不需要使用洛必达法则。
以上是洛必达法则的使用条件。
下面将详细介绍洛必达法则的具体步骤和一些例子。
首先，洛必达法则主要通过比较函数的导数来确定极限。
具体来说，洛必达法则可以表述为如下形式：设函数f(x)和g(x)在点a的某个去心邻域内可导，并且在x=a处极限存在。
如果分别满足以下条件：1. lim[x→a]f(x) = 0且lim[x→a]g(x) = 02. lim[x→a]f'(x)和lim[x→a]g'(x)存在（即函数f(x)和g(x)的导数在极限点a上存在）3. lim[x→a]g'(x) ≠ 0 （即函数g(x)的导数在极限点a上不等于零）那么，可以得出以下结论：lim[x→a]f(x)/g(x) =lim[x→a]f'(x)/g'(x)也就是说，如果满足上述条件，我们可以通过求两个函数导数的极限比值来确定函数f(x)和g(x)在极限点a上函数值的极限。
接下来，我们通过一些具体的例子来进一步说明洛必达法则的使用。
例子1：设f(x) = sin(x)，g(x) = x，求当x趋于0时，f(x)/g(x)的极限。
根据洛必达法则的使用条件，我们先来计算f'(x)和g'(x)。
f'(x) = cos(x)g'(x) = 1当x趋于0时，f'(x) = cos(0) = 1，g'(x) = 1因此，根据洛必达法则，lim[x→0]sin(x)/x =lim[x→0]cos(x)/1 = cos(0) = 1所以，当x趋于0时，sin(x)/x的极限为1。
洛必达法则应用条件
洛必达法则应用条件
洛必达法则是一个数学原理，用于判断极限存在与否。
在应用洛必达法则时，需要满足以下条件：
1. 极限形式为“0/0”或“∞/∞”：洛必达法则只适用于这两种形式的极限。
如果极限形式不是这两种情况，无法使用该法则。
2. 函数可导：洛必达法则要求函数在极限点附近是可导的。
如果函数在这个区间内不可导，无法使用该法则。
3. 适用于函数的极限点：洛必达法则只适用于函数在某个特定点的极限。
如果需要计算函数在无穷远点的极限，不能使用该法则。
4. 对于一元函数，考虑自变量趋近于某个点的情况：洛必达法则适用于一元函数的极限计算。
当自变量趋近于某个点时，可使用该法则判断极限存在与否。
5. 满足洛必达法则的条件：为使用洛必达法则，我们需要对函数的分子和分母分别求导，并检查导函数的极限是否存在。
如果导函数的极限存在，并且极限值不为零，则可以使用洛必达法则计算原函数的极限值。
总结起来，洛必达法则的应用条件包括极限形式为“0/0”或“∞/∞”，函数可导，考虑特定点附近的情况，对函数的分子和分母分别求导且导函数的极限存在且不为零。
使用洛必达法则可以解决一些复杂的极限问题，但在应用时需要谨慎判断条件是否满足，并注意计算的准确性。
洛必达法则使用中常见错误
洛必达法则使用中的5种常见错误求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。
在建立了极限的四则运算法则，反函数求导法则，以及复合函数极限运算法则和求导证明之后，对于普通的求极限问题，都可以通过上述法则来解决，但是对于形如：000,1,,0,,,00∞∞∞⋅∞-∞∞∞（其中后面3种可以通过A e A ln =进行转换） 的7种未定型，上述法则往往显得力不从心，而有时只能是望尘莫及。
17世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案，我们称之为洛必达法则（L,Hospital Rule ）。
虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第一.伯努力在通信中告诉洛必达的。
在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点。
本文的目的不是为了追求解题技巧，而是为了培养一种好的解题习惯。
以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。
错误：-∞=-⋅⋅='⋅'=+++→→→)1(1lim )(lim lim 2101010x e e x xe xx xx xx 正确：+∞=''⋅==+++→→→)1()1(lim 1lim lim 101010xx e x e xe xx xx xx 例：错解 21126lim 2126lim 42633lim 34223lim112212331==-=---=+--+-→→→→x x x x x x x x x x x x x x 正确解：532126lim42633lim 34223lim 12212331=-=---=+--+-→→→x x x x x x x x x x x x x122sin cos cos cos lim cos sin sin lim sin cos lim 000==-++=++=-=→→→x x x x x e x x x x e x x x e x x x x x x 正确解：∞=++=-=→→x x x xe xx x e x x x x cos sin sin lim sin cos lim 00更好的解法：∞=+=-=-=→→→x xe xx e x x x e x x x x x x 2sin lim cos lim sin cos lim 0200 经验：先考虑无穷小代换(与“0”结合)，后考虑洛必达法则上面的例子启发我们，在应用洛必达法则之前要进行预处理，以简化计算402220220)cos (sin sin lim cos sin sin lim )1(2sin 21cos 12x x x x x x x x x x x e x xxx x x x x -=⋅-=---→→→＝313sin lim cos sin lim2030==-→→x x x x x x x x x求nn n +∞→lim错解：属于0∞型，先进行变形1lim lim lim011lim ln lim ln 11======+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→e ee en n n nn n nn nn nn n n错误原因：nn n f =)(是离散的点列，是一系列孤立的点，连续都谈不上，更不用说可导。
洛必达法则的用法
洛必达法则是一种求极限的方法，主要用于解决在某些函数在特定条件下，未定式极限的问题。
它是由法国数学家洛必达在研究不定积分时发现的。
在使用洛必达法则时，需要注意满足一定的条件，并且要正确理解其适用范围和限制。
首先，洛必达法则适用于以下两种情况：
1. 当函数在某点处极限为0/0型或∞/∞型时；
2. 当函数在某点处的导数接近于无穷大时。
在使用洛必达法则时，需要满足以下条件：
1. 极限必须是0/0型或者∞/∞型；
2. 被考察的极限的左右极限都必须存在且相等；
3. 被考察的极限中分子分母的导数必须都存在；
4. 在使用洛必达法则之后，必须要再化简，或者再将一些其他次数的函数变为最一次；
5. 最后一步仍需要进行适当的恒等式的变换；
6. 对简单的分数应该求极限进行拆分，对于三角函数、指数函数等复杂函数则需要进一步考虑使用它们各自的方法进行转化。
总的来说，洛必达法则的使用需要考虑函数的极限形式、导数情况以及能否满足洛必达法则的条件等。
使用洛必达法则需要注意它的适用范围和限制，否则可能会导致错误的结果。
此外，在运用洛必达法则时还需要注意等价代换、夹逼定理等技巧的应用。
这些技巧的应用可以简化计算过程，提高解题效率。
另外，除了洛必达法则外，还有其他求极限的方法，如泰勒公式、无穷小替换、夹逼法等。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
同时，对于一些复杂的极限问题，可能需要结合多种方法来求解。
因此，熟练掌握各种求极限的方法对于解决数学问题来说是非常重要的。
求极限过程中洛必达法则的使用技巧
求极限过程中洛必达法则的使用技巧文中对极限运算中如何巧妙的使用好洛比达法则做了一些探讨，指出了初学者容易犯的错误，并提出了一些建议供大家参考。
关键词：极限、微积分、洛比达法则、不定式。
极限是高等数学中的一个极为重要的基础概念，对微积分的学习影响深远。
理工类专业的学生初次接触极限概念都难以准确理解和掌握，在使用极限运算法则求极限时经常出现运算错误，如：两个重要极限应用不恰当，洛必达法则使用不规范等。
下面只就求极限过程中如何正确使用洛必达法则做一些探讨。
一、若干重要的极限等式1. , 推广的形式为：2.，推广的形式为：，推广的形式为：3.其中可以是一个代数式。
由上述极限还可以导出下面一些重要极限式：，同样它们也有类似的推广的形式。
二、洛必达法则的两个标准形态1.型不定式定理1.若在或内有定义，并满足（1）（或），（或）；（2）在或内可导，且；（3）（或）存在或为；则（或）。
2.型不定式定理2.若在或内有定义，并满足（1）（或），（或）；（2）在或内可导，且；（3）（或）存在或为；则（或）。
三、求极限举例求例1.解：本题极限形式是型不定式，直接使用洛必达法则计算，则计算非常复杂，若先对表达式进行恒等变形，并结合拉格朗日中值定理，再适当使用洛必达法则计算就容易多了。
+（其中介于与之间，当时有）+=例2.求解：分母为无穷小因子的乘积，可以用相应的等价无穷小量替换有通过以上两个例题可以发现在求不定式极限时，不要一上手就立即使用洛必达法则，首先需要对所求极限表达式进行观察、分析与变形，然后再进行具体计算。
洛必达法则使用过程中要注意以下几点：1.只有或型不定式才能直接使用洛必达法则；2. 洛必达法则可连续使用，但每次使用该法则时必须检查表达式是否为或型；3.使用洛必达法则之前可以对表达式中的无穷小因子用较简便的等价无穷小替换，每用一次洛必达法则后，都要对表达式进行整理化简，如可以将其中乘积因子中的非零极限先行求出，使表达式得到化简或瘦身等，简化后续计算；4.当用洛必达法则求不出极限时，不能做出该表达式进行不存在的结论，只能说用洛必达法则求此极限失效，此时需采用其他方法求此极限。
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因为“m(订一1订:l/m(e扣一1订;lkn(土1艘
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善
尽管洛必达法则是求未定式极限的一种非常有用的方法,许多极限题目用了洛必达法则便能很快得出结果,但是在这里必须指出
熙等等与恕湍用洛必达法则就求不出结果・应改用其
极限作为重要的思想方法和研究工具贯穿于高等数学课程的始终.本文通过对洛必达法则求极限的深入探讨,针对不同题型归纳总结出具体的化简转化的方法;利用数列极限和函数极限的关系间接地应用洛必达法则求数列未定式,充分体现了洛必达法则应用的广泛性,给求极限提供了强有力的工具. 2.期刊论文王悦关于利用洛必达法则求极限的几点探讨-科技信息2009,""(2
硬闲洛密达法则求极限的儿点涅枣
口杨黎霞
(江南大学江苏・无锡214122
摘要如果当圹+口或r+*时,两个函数删与,M都趋于零或都趋于无穷大。那么极限l/m葡可能存在,也可能不存在。洛
‘::,
必达法则是计算此类未定式极限行之有效的方法.然而。对于本科一年级的初学者来讲,若盲目使用此法则.会导致错误。本文就使用该法则解题过程中的几点注意作了分析与探讨。
年,卷(期:2008,""(25
被引用次数:0次
参考文献(3条
1.同济大学应用数学系高等数学2002
2.王茂南.薛国民高等数学习题课教程2004
3.蔡燧林.胡金德.陈兰祥硕士研究生入学考试数学辅导讲义,理工类2002
相似文献(10条
1.期刊论文林清华12
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一。并+、/孬=『一(J+、/J+丢一J+、/J+丢2
以上所述的几点注意对初学者能较快地掌握此法则定会有所
帮助。由于所举例题有限,也不可能将所有情况都罗列出来.所以,在碰到具体题目时。还需根据题目本身的特点灵活应用洛必达法则及
参考文献:
i117高等数学(第五版同济大学应用数学系主编.高等教育小版社,2002.7.
<高等数学>是大学中的基础课程,极限是学生一开始就要接触的最基本的知识.其中有一类未定式的极限不能用"商的极限等于极限的商"这一法则,而要用洛必达法则.洛必达法则内容很简单,使用起来也方便,但在具体使用过程中,一旦疏忽,解题就可能出错.对于初学者来讲,若盲目使用此法则,会导致错误.本文就利用该法则解题中的几点注意作以分析与探讨,并举例说明.
首先,只有分子、分母都趋于零或都趋于无穷大时,才能直接使用洛必达法则。
其次,每次使用洛必达法则前都要检验是否满足次法则条件。只要满足此法则条件.就可连续使用此法则.直到求出结果或为无穷大。
例如:t/mx"。:坛,n.垡!;!j:以,n墨王翌::!.≥芝三:…:lira墨}==D(n仨z+
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原式:梳!!二:主!!:::!一跏型互享=!:lira原式=梳———冬—一一跏』尘弘=
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地半一号吻二簪一专锄等一号:吉一2磐——导一一_}2鳃型与i}￡一专。叻』i}一寺2吉一
1—1
虿一丁
此题综合运用了代数恒等变形,等价无穷小代换,极限不为零的因子先分离出来,洛必达法则这几种方法。由这儿个例题也可以知道,洛必达法则不能贸然使之.必要时应与求极限的其他方法同时使用。才能简化计算。
关键词洛必达法则
极限未定式等价无穷小代换
变量代换
中图分类号:0172
文献标识码:A
在高等数学里.极限是大一新生一开始就要接触而且非常重要的内容。其中有一类未定式的极限不能用“商的极限等于极限的商”这一法则.而要用洛必达法则。洛必达法则内容很简单.使用起来也方便有效。但在具体使用过程中。一旦疏忽了以下几点.解题就可能出错。
法如下:
原式=lim4L・托m(搿讥上=1.O-'-O M引燃M茹
.
J+兰丝兰跏l(“上J讥鬈
X女llllim x+sinx=lira——兰一===.—善一=J也不能用洛
”。髫+c珊毒”“!璺丝Z概(J+.￡c椰善茗
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膏
必达法则。
最后一点。洛必达法则用于求连续自变量的函数未定式的极限,对于整标函数(数列的未定式.不能直接使用洛必达法则.阂为对数列极限式中的n无法求导。要将n换成x后.先求出相应函数的极
【2L￡茂南薜国民主编.高等数学习题课教程苏州大学出版社.2004.10.
【3l蔡燧林湖金德。陈兰祥主编顾士研究生入学考试数学辅导讲义.理工
类北京学苑}}l版社,2002.
267
万方数据
使用洛必达法则求极限的几点注意
作者:杨黎霞
作者单位:江南大学,江苏·无锡,214122
刊名:
科教文汇
英文刊名:THE SCIENCE EDUCATION ARTICLE COLLECTS
3.期刊论文吴维峰. Wu Weifeng对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨-潍坊教育学院学报2008,21(2本文对用等价无穷小代换与洛必达法则求函数的极限进行了探讨.
e’
Jr--JO
e‘r_・e。
此题用了n次法则。
再者,使用洛必达法则求极限是应及时化简,主要指代数、三角恒等变形,约去公因子。具有极限不为零的因子分离出来,等价无穷小代换,变量代换等。下面通过例子说明。
土-
例:鲤【(J慨。7I叫】‘=塑【(J+÷eL÷】=纫型±笋=姆
号等力
此题先用了变量代换。当变量x趋于。时.t趋于0.这一点要注意。
例:矗。卑=f溉!堡:型Jim r.zim掣=f讹丝车堑
=lim S,ec气-I=li,n.]+co.sx-一2
本题用了多种方法:提出极限存在但不为零的因子。等价无穷小代换。洛必达法则,三角恒等变形约分等。
(J呵+{,一、/瓦芦
fJ目:lim———生—r_—一若直接使用洛必达法则,其分子
求导带来复杂的运算。用等价无穷小代换又不知道分子与谁等价,故可以拆开考虑’其解如下:
还有.洛必达法则的条件是充分的.不是必要的。因此。当竺m.铹
不存在时。并不能肯定z.f,,l糕也不存在.只是这时不能用法则。而需
r—’,I工J
用其他方法。
砖讥三
2min上-c甜上
例如:lira。』=Z咖
苎一苎r—0
Sl,l落,—司
CDl菇
。而后面式子的极限不存
在.并不能断言原式的极限不存在。只说明此时不能用法则。正确做