洛必达法则求极限教学
高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt
lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
3 2
ln(1 x)～ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
0)
2 x0
x
2
1
3.
6
分析:
பைடு நூலகம்原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
n 为正整数的情形.
解:原式 lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
3)
lim f (x) xa F(x)
高数课件9洛必达法则
y x
y ln x
x
tan x . 例6 求 lim x tan 3 x
2
( )
解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则
tan x sin x cos 3 x lim lim x tan 3 x x sin 3 x cos x
( 1)( [ ] 1)( [ ] ) x r 1 lim x [ ]1e x ( 1)( [ ] 1)( [ ]) lim 0 [ ]1 x 1 r x e x x 当 x 时， ln x , x , e 都趋于 本例说明： x ye 但它们趋于+∞的速度有快有慢 y
1 1 例10 求 lim( ). x 0 sin x x
解
x sin x 原式 lim x 0 x sin x
()
1 cos x lim 0. x 0 sin x x cos x
3. 0 ,1 , 型
0 0
步骤: 00
0 ln 0 取对数 1 ln 1 0 ln 0
关于 型的极限，有下述定理
定理
设f ( x ), g ( x )在x0的某邻域内有定义，且 (1) lim f ( x ) lim g ( x )
x x0 x x0
( 2) f ( x ), g ( x )可导，且g( x ) 0 f ( x ) ( 3) lim A(或 ) x x 0 g ( x ) f ( x) f ( x ) 则 lim lim A(或 ) x x0 g ( x ) x x 0 g ( x )
高等数学函数的极限与洛比达法则演示文稿
比较分子、分母的最高次幂 因式分解、通分、分子或分母有理化
三、利用等价无穷小替换求极限
1.常见的替换公式
x0
x sin x tan x arcsin x arctan x ln(1 x) ex 1
1 x 1 x 1 cos x x2 (1 x) 1 x
2.替换原则：乘除可换、加减忌换 2
0 （3）利用洛比达法则一次不成功，可以继续使用；
（4）在使用洛比达法则之前要尽量地化简原函数，比如对一些
因式直接代入，或将其等价代换。
第十二页，共22页。
第二讲 函数的极限与洛比达法则
八、已知函数极限存在，反求函数中的参数
基本思路与方法步骤：
1.利用无穷小（大）阶的比较进行分析
lim f (x) 0 lim f (x) lim f (x) c(c 0)
lim
tan x sin x
x0 x(1 cos x)( 1 tan x 1 sin x )
tan x(1 cos x)
lim x0 x3
x3
lim
x0
2 x3
1 2
第十九页，共22页。
第二讲 函数的极限与洛比达法则
15.
lim
x
sin
2 x
cos
1 x
x
lim
x
1
sin
2 x
cos
1 x
f (x)存在，则f (x)在x0的某邻域
0
U（x0 ,）有界
空心邻域（不含 x0）
3.局数部设集保x0{号与x性x是两若Ux00个(xlxim实 0x,0}数f称 )(,x为){且x点Axx，0的 0且。 x0邻 A域0}(,记或作A U0(),x则0 ,在)
使用洛必达法则求极限的技巧
使用洛必达法则求极限的技巧【摘要】使用洛必达法则求极限,其特点就是通过求极限号下分式的分子、分母的导数(一次或多次)的方法达到消去未定因素的目的。
本文介绍了在使用洛必达法则求极限时的若干方法和技巧。
【关键词】分离因式变元替换洛比达法则无穷小等价替换1.分离因式并求解其极限。
注意:在使用洛比达法则的时候要注意分离因式,先将具有非零极限的因子提到极限号外面,及时求解其极限,再对余下未定式求极限。
例1.解:原式=2.先作变元替换,再用洛比达法则求解。
注意:当直接就利用洛比达法则求解比较困难时,可以考虑是否可以先利用变量替换后再来利用洛比达法则求解。
例2.求解:分析:可以令,进而简化求解过程。
若直接利用洛比达法则则会使计算更复杂,这时应该考虑先用变量替换等其它方法处理,如当所求极限的函数中含有时,可以先作变量替换;如果当含有反三角函数的时候就可以先令该三角函数等于一个新的变量。
小结:若直接利用洛比达法则则会使计算更复杂,这时应该考虑先用变量替换等其它方法处理,如当所求极限的函数中含有时,可以先作变量替换;如果当含有反三角函数的时候就可以先令该三角函数等于一个新的变量。
3.以及型未定式必须先转换成了或者型未定式求解。
例3.求解:小结:当遇到以及型未定式时,一般要进行分子分母有理化才可以构造出或者型未定式,以便直接利用洛比达法则求解。
4.先取对数,再利用洛比达法则求解。
例4.求解注意:对于型未定式,它们为幂指函数的极限,常常利用此方法求解。
解:令,则对于与型的数列极限不能直接利用洛比达法则但是可以间接的使用洛比达法则进行求解。
例5.求解:解:因为:小结:解的是一个数列时,因为数列是没有导数的,不能直接使用洛比达法则。
但是由数列极限和函数极限的关系我们可以知道:离散变量n的极限可以作为连续变量x的极限,其所求的值也就是数列极限的值。
6.多次使用洛比达法则求解。
注意:只要被球函数满足洛比达法则的使用条件,就可以连续多次使用洛比达法则,直到求出极限或者得出不符合洛比达法则条件的情况为止。
洛必达法则求极限方法
洛必达法则求极限方法洛必达法则是一种在数学中用于求某变量极限的方法，它是求极限的经典方法，并得到了广泛应用。
下面我们就来介绍这种求极限的方法。
洛必达法则的基本原理是，如果存在某个变量x，满足x的增长速度趋于某个数字a，当x趋向于某一值时，其对应的极限就等于a。
换言之，用洛必达法则我们可以根据x增长速度趋于a时求出它的极限。
根据洛必达法则，我们可以将求极限的问题分为三步：1、首先，选取一个正数Δx，求出在Δx给定的情况下，极限值a的大小;2、然后，再将Δx取更小的值，比如Δx/2，求出新的极限值;3、最后，不断缩小Δx，最终Δx等于0时，得到的极限值即为最终结果。
洛必达法则可以用来求几乎所有表达式的极限，包括单个变量的函数极限和多个变量的函数极限，但前提是要求出极限的变量是逐步变化的。
比如说我们想要求出函数f(x) = x^2 + 10x + 20在x趋于4时的极限，则可以如下操作：1、首先选取Δx = 0.1，令x = 4 + 0.1及x = 4 - 0.1，得出f(4+0.1)=60.21，f(4-0.1)=55.79，即此时的极限值为58;2、接着选取Δx = 0.01，令x = 4 + 0.01及x = 4 - 0.01，得出f(4+0.01)=58.08，f(4-0.01)=57.92，即此时的极限值为58;3、最后再选取Δx = 0.001，令x = 4 + 0.001及x = 4 - 0.001，得出f(4+0.001)=57.998，f(4-0.001)=58.002，即此时的极限值也为58，因而，最终这里的极限值等于58，即函数f(x)在x趋于4时的极限值也等于58。
由此可见，洛必达法则是一种很实用的求极限方法，它能够快速有效地求出函数的极限值。
因此，在许多数学应用中都会用到这一方法。
二元函数求极限的洛必达法则解析
二元函数求极限的洛必达法则解析洛必达法则是一种用于求解二元函数极限的有效方法。
在这个方法中，我们可以将函数表示为两个单变量函数的比值，并通过对这些函数应用洛必达法则来求解极限。
下面将对洛必达法则进行详细解析。
在进行洛必达法则的求解之前，我们首先需要确定极限函数的形式，即将函数表示为两个单变量函数的比值。
设函数为f(x)和g(x)，则极限函数的形式可以表示为lim(x→a) f(x)/g(x)。
在这种情况下，如果f(x)和g(x)在x=a的附近连续并满足一定的条件，那么可以将其化简为lim(x→a) f'(x)/g'(x)。
为了使用洛必达法则，我们需要满足以下条件：1. 两个函数在x=a的附近连续；2. 在x=a附近，g(x)不等于0且g'(x)也不等于0；3. 当x趋近于a时，函数f(x)和g(x)的极限存在。
在满足这些条件的前提下，我们可以按照以下步骤使用洛必达法则求解极限：Step 1: 计算f'(x)和g'(x)的极限。
这些极限可以通过直接求导或应用其他求导规则来计算。
Step 2: 计算lim(x→a) f'(x)/g'(x)。
如果这个极限存在，那么它就是lim(x→a) f(x)/g(x)的极限。
Step 3: 如果极限lim(x→a) f'(x)/g'(x)不存在，那么重复Step 1和Step 2，直到找到一个极限。
通过洛必达法则，我们可以更容易地求解二元函数的极限。
这个方法不仅可以简化计算过程，还可以提供更准确的结果。
然而，需要注意的是，洛必达法则并不适用于所有情况。
有些函数无法通过洛必达法则求解其极限，因此在使用该方法时需要注意。
总结起来，洛必达法则是一种用于求解二元函数极限的有效方法。
通过将函数表示为两个单变量函数的比值，并应用洛必达法则，我们可以简化计算过程并获得更准确的结果。
然而，需要注意的是，洛必达法则并不适用于所有情况，因此在使用该方法时需要谨慎。
计算不定式极限的一般方法洛必达法则
1 cos x 例2 求 lim . 2 x0 x 0
0
型
1 cos x (1 cos x ) lim 解二 lim 2 x 0 x0 x ( x 2 ) sin x 1 sin x lim lim x0 2 x 2 x0 x 1 . 2
的求极限方法相结合更好！
2. 型
1 1 00 步骤： . 0 0 00
1 1 例10 求 lim( ). ( ) x 0 sin x x (x sin x) 0 解 原式 lim ( ) x 0 (x sin x ) 0
0 (1 cos x ) lim ( ) x 0(sin x x cos x ) 0
一、两个基本类型不定式
如果当x a (或x )时, 两个函数f ( x )与 f ( x) g ( x )都趋于0, 或都趋于 , 那么极限 lim xa g( x ) ( x ) 可能存在, 也可能不存在.通常将这种极限叫作 0 不定式, 分别记为 , . 0
0 1. 型不定式 0 定理 如果函数f ( x )和g ( x )满足
例 8 求 lim x cot 2 x . ( 0 )
x0
提示与分析： x与cot 2x，哪部分做分母，要以转化后极 限易算为准则.
x 0 ( x ) 解 原式 lim ( ) lim x 0 tan 2 x x 0 (tan 2 x ) 0
1 1 lim . 2 x 0 2sec 2 x 2
0
例12 求 lim x . ( 00 )
x0
x
ex是连续 函数
洛必达 法则
解 原式 lim e
x0
x ln x
考研数学洛必达法则求极限
前面介绍了求极限的四则运算法则在函数分解、抓大头和极限敛散性讨论等三个方面的应用。
下面我们继续深入剖析洛必达法则的使用条件。
首先要明确使用洛必达法则的三个条件：
虽然洛必达法则使用方便，但是一不小心就会陷入陷阱，导致误用乱用错用。
主要原因还是在于没有把握住洛必达法则使用的这三个条件，尤其是后面两个条件：可导性、求导后极限存在性。
我们通过例题来展示洛必达法则的正确使用过程、相关结论及考生需要格外注意的易错点。
1. 洛必达法则可导性检验
在整个过程中，使用了两次洛必达，最后一步直接代值计算。
如果这个题是选择题，那么可能90%以上的考生都会很幸运的拿到分数，但是并没有几个人是真正做对的，因为上面的过程是误用了洛必达法则。
作为一道解答题，我们应该如何正确去解决这道题，首先分析上面的过程错在哪?
由此，我们给出大家洛必达法则的使用规则：
(1).当极限式中函数存在n阶导数，则使用洛必达至出现n-1阶导，最后一步一般是凑导数定义;
(2).当极限式中函数存在n阶连续导数，则可以使用洛必达至出现n阶导。
2. 洛必达法则求导后极限存在性讨论
针对第三个条件，大家要正确理解下面两个命题：。
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洛必达法则求极限教学
摘要：本文结合教学实际对洛必达法则及其在求未定式极限方面的应用进行了分析，同时还分析了学生易错的洛必达法则求函数极限失效的情况。
关键词：洛必达法则；未定式；极限
求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。
教学中发现对于普通的求极限问题，学生解决起来问题不大，但是对于形如：■，■，∞-∞，0·∞，∞0，1∞，00的7种未定式，学生虽然能联系到洛必达法则，但是经常出错。
一、洛必达法则及应用
（一）洛必达法则
若函数f（x）与函数g（x）满足下列条件：
1. （或∞），（或∞）；
2.f（x）与g（x）在x=a点的某个去心邻域内可导；
3. （或∞）。
则
洛必达法则所述极限结果对下述六类极限过程均适用：。
（二）洛必达法则的应用
1. 基本类型：未定式直接应用法则求极限
解：这是■型未定式。
直接运用洛必达法则有
解：这个极限是■型未定式，于是
2. 未定式的其他類型：0·∞、∞-∞、00、∞0、1∞型极限的
求解
除了■型或■这两种未定式外，还可以通过转化，来解其他未定式。
解：这是∞-∞型，设法化为■型：
解：这是1∞未定式
解：这是∞0未定式，经变形得，
故
例6 求
解：这是0·∞型未定式，可变形为，成了■
型未定式，于是
解：这是00型未定式，由对数恒等式知，xx=exInx，运用例8可得
二、洛必达法则对于实值函数的失效问题
洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时候。
“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。
所以，在要使用洛必达法则时，要检验该题目是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的基本原因有以下几种。
（一）使用洛必达法则后，极限不存在（非∞），也就是不符合洛必达法则的条件（3）
例8 计算
解：，而不存在，
所以不存在，洛必达法则失效，正确解法是
存在
（二）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合法则的条件（3）
解：这是■型未定式，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到
则失效，处理的方法是分子分母同乘e-x，得到
（三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符合法则的条件（3）
解：这是■型未定式，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，可知洛必达法则的第
三个条件完全不可能得到验证，因为分
子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。
正确有效的方法是作换元，令t=■，这样就有
（四）求导后有零点，也就是不满足条件
例如
的极限是不存在的，事实上，取x=n？仔-■→∞（n→∞），此时分母的导数是有零点的。
综合来看，我们在教学中既要向学生阐述清楚洛必达法则的巧妙和方便之处，也要向学生讲明白在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点，为学生培养好的解题习惯，以减少在
用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。
参考文献
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[5]何少芳.用洛必达法则求未定式极限小结[J].内江科技，2012（10）：169-171.
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