(参考资料)洛必达法则详解
洛必达法则详解
x x
x
(
0 ) 0
e e lim 2 x 0 cos x
9
信息学院
x
罗捍东
例 5：
e cos x 求 lim x 0 x sin x
x
e sin x e cos x lim 解：lim x 0 x 0 sin x x cos x x sin x
x
e x cos x 11 lim 1 x 0 cos x cos x x sin x 11 0
lim ( x )
e
0
1 lim x x 0 1 2 x
e
x 0
e 1
25
信息学院
(cot x ) 例15: 求 lim
x 0 1 ln x
罗捍东
.
( )
0
解：取对数得 ln(cot x)
1 ln x
ln(cot x) lim x0 ln x
1 ln x
x lim 1, x0 cos x sin x
x
罗捍东
2
lim
x0
e 2C 1 2 B B 4C x Cx 6x
得
B 4C 2Cx lim x0 6
1 B A 0 2 B 2C 1 0 B 4C 0
8分
10分
14
解得
1 2 1 A , B ,C 3 3 6
x 1
1 1 x
lim x
lim e
x 1
e
ln x lim x 11 x
1
e
lim
x 1
x 1
e .
洛必达法则
3 x→π − 2cos x sin x x→π sin 2 x x→π 2cos 2 x
2
2
2
注意： 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它 求极限方法结合使用，效果更好.
-6-
tan x − x
例
5
求
lim
x→0
x2 tan x
.
(0) 0
解：原式
=
lim
x→0
tan x x3
−
x
(0) 0
x→∞
洛必达法则失效！
解：原= 式 lim(1+ 1 cos x) = 1.
x→∞
x
-12-
例12 求 lim[n − n2 ln(1+ 1 )]
n→∞
n
注意：数列极限没有洛必达法则，但是，可将数列极限
转化为函数极限，然后再使用洛必达法则．
解：原式 = lim [x − x2 ln(1+ 1 )]
x→+∞
x
1 =t x
t − ln(1+ t)
= lim
t →0+
t2
(0) 0
1− 1 = lim 1+ t
=1
t→0+ 2t
2
-13-
a x − asin x 例 13 求 lim
x→0 1− 1+ 2x3
解：原式 = lim asin x (ax−sin x −1) x→0 −( 1+ 2x3 −1)
∞
0
例 6 求 lim x−2ex. ( 0 ⋅ ∞ ) x→+∞
解：原式
=
lim
x→+∞
ex x2
洛必达法则
洛必达法则洛必达法则是一种由雷洛必达（RaymondLoewy）提出的设计原则，指的是设计者通过其革新能力来完成有效的设计。
洛必达提出这一原则的目的是强调设计的可操作性，并为设计者提供更多的自主权，以满足客户的需求并创造出更好的作品。
洛必达法则包括三个要素：可理解性、可操纵性和可部署性。
可理解性要求设计图形应即刻易懂，使用者不必事先读取它们。
可操纵性要求用户能够迅速找到有用信息，而可部署性要求设计能够在实际环境中进行灵活的部署。
洛必达法则的实施有助于简化复杂的设计问题，使设计者不必耗费过多的时间来完成任务。
让设计者只需要花费较少的时间就可以获得令人满意的结果。
此外，它还有助于提升设计者的设计效率，使设计者更有可能在更紧凑的时间内完成更多的任务。
洛必达法则有助于创造出简单易懂、高效操作的设计，为用户提供很大的便利。
同时，这一原则使设计者更有可能在限制条件之下完成任务，并节省时间和金钱。
洛必达法则的实施也可以帮助人们更深入的理解其所使用的设计理念，辅助设计者完成设计任务。
这一原则可以帮助人们更好地识别设计中的易操作性、可理解性和可部署性，从而更好地完成所面临的设计任务。
洛必达法则不仅仅适用于设计专业，还可以广泛应用于各行各业。
在工业设计方面，洛必达法则可以帮助企业更快捷地完成生产工业产品设计任务。
在软件设计领域，这一原则还可以帮助企业更快地完成软件的开发任务。
在建筑方面，洛必达法则可以帮助设计者寻求更加实用的方案，从而提高建筑设计的可操作性。
总之，洛必达法则是一种重要的设计原则，在不同行业中都可以得到广泛应用。
它有助于提高设计者的设计效率，同时为用户提供便利。
实施洛必达法则也有助于在限制条件下完成任务，使设计者更有可能以更实用和更易操作的方式完成设计任务。
洛必达法则
洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。
这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。
洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。
通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。
洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。
洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。
洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。
若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。
示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。
假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。
首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。
总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。
洛必达法则的原理及应用
洛必达法则的原理及应用一、洛必达法则的原理洛必达法则，又称为洛必达规则或洛必达法则，是微积分中应用极限概念的一种方法，用于求解极限的一种计算技巧。
其原理基于导数和极限的关系，通过对函数的导数进行运算，可简化求解复杂极限的过程。
洛必达法则的核心原理是，如果一个函数在某个点的极限不存在或者为无穷大，但是该函数的导数在该点存在，则可以通过对该函数及其导函数进行比较，从而确定极限的值。
二、洛必达法则的公式洛必达法则有两种常见的表达方式：1.使用洛必达法则的第一种形式，可表示为：如果lim(x->a) f(x) = 0且lim(x->a) g(x) = 0，则lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) [f'(x) / g'(x)]，其中f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数。
2.使用洛必达法则的第二种形式，可表示为：如果lim(x->a) f(x) = ±∞且lim(x->a) g(x) = ±∞，则lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) [f'(x) / g'(x)]。
三、洛必达法则的应用示例以下是几个洛必达法则的具体应用示例：1.求解极限lim(x->∞) [x^2 / e^x]：根据洛必达法则，可以将分子和分母的导数进行比较：lim(x->∞) [x^2 / e^x] = lim(x->∞) [2x / e^x] = lim(x->∞) [2 / e^x] = 0。
所以，lim(x->∞) [x^2 / e^x] = 0。
2.求解极限lim(x->0) [(sinx - x) / x^3]：可以将分子和分母的导数进行比较：lim(x->0) [(sinx - x) / x^3] = lim(x->0) [(cosx - 1) / 3x^2] = lim(x->0) [-sinx / 6x] = -1/6。
洛必达法则公式表
洛必达法则公式表德国物理学家恩斯特·洛必达（Ernst Mach）在19世纪末提出了洛必达法则，它被认为是科学中关于物体运动的最基本的定律之一、洛必达法则描述了物体受力时的运动状况，是牛顿第二定律的一种特殊形式。
下面是洛必达法则的公式表及其详细解释。
F=m*a解释：F：物体所受合力的大小，单位为牛顿（N）m：物体的质量，单位为千克（kg）a：物体的加速度，单位为米每秒的平方（m/s²）根据洛必达法则，物体所受合力的大小与加速度之间存在直接的关系。
当物体受到的合力增大时，加速度也会相应增大；反之，当物体受到的合力减小时，加速度也会相应减小。
同时，物体的质量也会影响其加速度，质量越大，物体相同力量作用下加速度越小。
a=F/m这个公式表明，物体受到的合力除以其质量，等于物体的加速度。
这意味着我们可以通过测量物体的质量和给定物体所受的合力来计算其加速度。
另外，根据洛必达法则公式的变形，可以得到以下公式：F=m*Δv/Δt这个公式表明，物体所受合力等于质量乘以速度变化的比率（加速度）。
速度变化可以通过将物体的初始速度与最终速度相减得到，时间变化可以通过将物体的初始时间与最终时间相减得到。
总结：洛必达法则的公式表为F=m*a，其中F为物体所受合力的大小，m为物体的质量，a为物体的加速度。
根据洛必达法则，合力与加速度之间存在直接的关系，质量也会影响加速度。
公式也可以重写为a=F/m或F=m*Δv/Δt，这些公式可以帮助我们计算物体在受力作用下的运动情况。
洛必达法则公式表在物理学中是非常基础和重要的一个概念。
洛必达法则详解
洛必达法则详解洛必达法则（Lotka's law）是由美国图书馆学家洛思会(Losethere A. Guadognini)在1926年首次提出的。
该定律描述了科学研究者的成果发表数量与其发表文章数量之间的关系。
洛必达法则的核心理论依据是假设文章发表数量与研究者的科研能力和资源有关。
在科研领域，存在着很大的不平等性和差异性，少数顶尖研究者拥有更多的资源和机会，因此他们可以发表更多的文章。
而大多数研究者则受限于多种因素，如时间、经费、实验设备等，因此他们的发表数量相对较少。
洛必达法则对科研界具有重要的启示意义。
首先，它提醒我们少数顶尖研究者的重要作用。
即使在科研活动中，存在着“20/80原则”，即20%的人贡献了80%的成果。
其次，洛必达法则也指出了科研资源的分配不平等问题。
少数研究者能够获得更多的资源和机会，使得他们能够取得更多的发表成果。
这也意味着大多数研究者应该寻求更好的资源分配和机会，以提高自己的发表数量。
然而，洛必达法则也存在一些争议。
一些学者指出，洛必达法则忽略了一些重要的因素，如学术背景、经验和个体能力等。
他们认为科研成果的发表数量受到多种因素的影响，而不仅仅是发表文章的数量。
此外，洛必达法则假设发表数量与排名存在的确定关系，忽视了研究者之间的差异性和复杂性。
总的来说，洛必达法则是科研领域的一个重要理论，揭示了科研发表数量的分布规律。
它提醒我们发现并重视那些少数取得多数成果的顶尖研究者，同时也需要关注并提供更多的资源和机会给大多数研究者，以推动整个科研领域的发展。
然而，洛必达法则也需要进一步的研究和探讨，以更好地理解科研成果发表数量的形成机制。
大一洛必达法则知识点总结
大一洛必达法则知识点总结洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微积分中解决极限问题的重要工具之一，由法国数学家洛必达 (Guillaume de l'Hôpital) 提出。
该法则主要适用于形式为“0/0”或“∞/∞”型的不定型极限。
在本文中，我将总结大一学习中遇到的洛必达法则的几个关键知识点。
1. 洛必达法则的基本形式洛必达法则指出，对于形式为“0/0”或“∞/∞”型的不定型极限，可以利用求导技巧，通过计算函数的导数来求解。
具体而言，设有函数f(x)和g(x)，在某一点a处，满足以下条件：(1) f(a) = g(a) = 0，并且(2) f'(x)和g'(x)在点a的一个去心邻域内连续。
若满足以上条件，则有极限lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a)[f'(x)/g'(x)]。
2. 应用洛必达法则的步骤（1）确定极限形式是否为“0/0”或“∞/∞”，即是否为不定型极限。
（2）求出f'(x)和g'(x)。
（3）计算极限lim(x→a) [f'(x)/g'(x)]。
（4）若极限存在，即可得到原极限的值。
需要注意的是，洛必达法则是一个迭代过程，若应用后仍然遇到不定型极限，则可以再次应用该法则，重复以上步骤，直到得到确定的极限值或判断不存在。
3. 与洛必达法则相关的特殊极限（1）若形式为“∞-∞”，可以利用变量替换将其转化为“0/0”的形式。
例如，当x趋于无穷大时，可令h(x) = 1/f(x)，将原极限转化为0/0形式。
（2）若形式为“0^0”或“∞^0”，可以利用指数函数的连续性将其转化为“0/0”的形式。
（3）若形式为“1^∞”，可以通过自然对数将其转化为“∞/∞”的形式。
4. 应用洛必达法则的注意事项（1）计算导数时要注意使用正确的求导规则和技巧。
（2）应用洛必达法则前，确保被除函数和除数函数在点a附近有定义，并且满足导数连续的条件。
洛必达法则详解【一元分析学经典讲义】
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练习题
一、 填空题： 填空题：
0 ∞ 1、洛必达法则除了可用于求“ ” 及“ ”两种类 洛必达法则除了可用于求“ ， 0 ∞ 型的未定式的极限外，也可通过变换解决 _____________， _____________， ____________， _____________，_____________，____________， _____________，_____________， _____________，_____________，等型的未定式 的求极限的问题. 的求极限的问题.
2 2
6 cos 6 x 3. = = lim π x → 2 cos 2 x
2
法则可多次使用
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注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.比如 等价替换、 极限先求等 等价替换、非0极限先求等. 例6 解
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例
求 lim
e x (1 − cos x 2 ) x ⋅ ( 1 + x 2 − 1)
x → 0 tan 2
.
0 ( ) 0
x4 2 = lim 1 = 1. ( 因 e x →1 ) 原式 = lim 解 式 2 x →0 x→0 2 x x ⋅ 2 0 e2 x − 1 − 2 x ( ) 例 求 lim 2 x . 0 x → 0 x ⋅ (e + 1 + 2 x )
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三、小结
洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，可多次 使用， 不是万能的. 使用，但不是万能的 它与其它求极限方法结合使 效果更好.比如等价替换 等价替换、 极限先求等 用，效果更好.比如等价替换、非0极限先求等
洛必达法则的内容
洛必达法则
一、洛必达法则的基本形式
洛必达法则是微积分中的一个重要定理，用于解决0/0或无穷/无穷的极限问题。
其基本形式为：如果函数f(x)和g(x)满足以下条件：
1. f(x)和g(x)在某点a的某个邻域内可导；
2. g'(x)不等于0；
3. 存在一个实数点b，使得f(b)=0；
4. 存在一个实数点c，使得g(c)=0。
那么，当x趋近于a时，f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)。
二、洛必达法则的推导过程
洛必达法则的推导过程涉及到极限、导数和微分的知识。
其证明过程为：根据泰勒公式，f(x)和g(x)都可以展开为泰勒级数，然后通过比较系数，可以证明f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)。
三、洛必达法则的应用范围
洛必达法则可以应用于解决0/0或无穷/无穷的极限问题。
具体来说，当分母或分子为无穷大时，可以通过求导数的方法来解决极限问题。
此外，洛必达法则还可以应用于一些其他类型的极限问题，例如求定积分、不定积分等。
四、洛必达法则的局限性
虽然洛必达法则是微积分中的一个重要定理，但是它也存在一些局限性。
首先，洛必达法则只适用于0/0或无穷/无穷的极限问题，对于其他类型的极限问题无法应用。
其次，在使用洛必达法则时需要注意满足其前提条件，否则可能导致错误的结果。
此外，洛必达法则也无法应用于一些复杂的极限问题，例如涉及到多个变量或多个函数的极限问题。
因此，在使用洛必达法则时需要结合其他方法来解决复杂的极限问题。
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sec x
1
正解：
lim lim 1 x tan x x sin x
2
2
18
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4.2.3 其它型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 ( 0 ),( ) .
0
1. 0 型
步骤:
0 0 0,
1
0
或
0
1
0
.
19
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例11: 求 lim x2e x . x
3. 1 ,00 ,0 型
步骤:
1
ln1
00
取对数
0 ln 0
0
0 ln
0 .
23
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1
例13: 求 lim x1 x . x1
( 1 )
e 1
1 ln x
解: lim x1x lim e1x
x1
x1
limln x x11 x
1
e
lim x
x1 1 e1 .
24
罗捍东
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
29
其它型的未定式还有： 0 , ,1 ,00,0
1
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4.2.1 0 型未定式 0
定理：洛必达法则 设:(1) lim f (x) lim g(x) 0;
xa
xa
(2) f (x), g(x)在a点的某去心邻域内可导,且g(x) 0;
(3) lim f (x) 存在(或); xa g(x)
lim
x0
6x
lim B 4C 2Cx
x0
6
得
1 B A 0 2B 2C 1 0 B 4C 0
8分
解得 A 1 , B 2 ,C 1 10分 336
14
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4.2.2 型未定式
定理：洛必达法则
设:(1) lim f (x) lim g(x) ;
xa
xa
(在x与a之间)
当x a时, a,
lim
xa
f ( x) g( x)
A, lim a
f ( ) g( )
A,
lim f ( x) lim f ( ) A. xa g( x) a g( )
3
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注意：1)罗必塔法则中极限A可以是无穷大。
2)当 x 时，罗必塔法则也成立。即
x0
cos x
x2 sin 1
正解：lim
x lim
x
x sin 1 1 0 0
x0 sin x x0 sin x
x
11
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注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但 与其它求极限方法结合使用（特别是利用等价无穷 小量替换），效果更好。
例7： 求
tan x x
lim
x0
x2 tan x
.
解： lim tan x x lim tan x x x0 x2 tan x x0 x3
利用等价
无穷小量 替换
lim
x0
sec2 3
x x2
1
lim tan2 x 1 x0 3x2 3
12
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考研题欣赏 2006（四、19）试确定常数A、B、C的值使得：
ex 1 Bx Cx2 1 Ax o x3
(0) 0
lim 1 cos x lim
sin x
0
x0 sin x x cos x x0 cos x cos x x sin x
21
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有关考研题
2005（15）
求
lim
x0
1 x 1 ex
1 x
2004（15） 求
lim
x0
1 sin 2
x
cos2 x2
x
22
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( 0 )
解:
lim x2ex
x
lim
x
ex x2
()
lim ex lim e x . x 2x x 2
20
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2. 型
步骤:
1 0
1 0
00 00
例12: 求 lim( 1 1 ). x0 sin x x
()
解:
11
x sin x
lim( ). lim
x0 sin x x x0 x sin x
8
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ex ex 2x
例4: lim x0 x sin x
(0) 0
解:
lim ex ex 2x x0 x sin x
lim ex ex 2 x0 1 cos x
(0) 0
ex ex lim
x0 sin x
(0) 0
lim ex ex 2 x0 cos x
9
1
解：取对数得 ln(cot x)ln x
1
ln(cot x) ln(cot x) ,
ln x
ln x
11
ln(cot x) lim x0 ln x
lim
x0
cot
x 1
sin2
x
lim x 1,
x
x0 cos x sin x
1
lim (cot x)ln x e1. x0 26
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x 2 cos 2x 2
17
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例10：
求 lim sec x x tan x
2
解： 设 lim sec x A x tan x
2
sec x
tan x sec x
A lim lim
x tan x x sec2 x
2
2
lim sec x A 1 x tan x
2
lim tan x 1 x sec x A
(2) f (x),g(x)在a点的某去心邻域内可导,
且g(x) 0;
(3) lim f (x) 存在(或); xa g(x)
那末 lim f (x) lim f (x) . xa g(x) xa g(x)
15
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例8:求 lim ln sin ax , a,b 0. ( )
x0 ln sin bx
2
9. 10
5
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例2: 求 lim tan 2x .
(0)
x0 sin 3x
0
解:
lim tan 2x
tan 2x
lim
x0 sin 3x x0 sin 3x
lim (sec2 2x) 2 2 x0 (cos3x) 3 3
6
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arctan x
例3: 求 lim 2 x
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第二节 洛必达法则
当 x a (或 x ) 时，如果函数f(x)和g(x)的极
限都为零或都趋于无穷大，则极限 lim f ( x)
g( x)
可能存在也可能不存在，通常称这类的极限为未定 式，简记为 0 或 。
0
例如：lim tan x , ( 0 )
x0 x
0
lim lnsinax , ( ) x0 lnsin bx
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例14: 求 lim x x . ( 00 ) x0
解: lim x x lim e xln x
x0
x0
1
lim ln x
x0 1
e
x
e x )
e x0 e0 1
25
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1
例15: 求 lim (cot x)lnx . x0
( 0 )
1
y sin y
lim
y0 y sin y
2分
1
lim
y0
y sin
2 y2
y
1
lim y0
cos y 2 2 y
4分
1
2 sin y 1
lim
y0
2 2
6分
1
由于f(x)在[1/2，1]上连续。因此定义f(1)=
就可使f(x)在[1/2，1]上连续。
8分
28
信息学院
小结
1
.
(0) 0
解:
x
arctan x
lim 2
x
1
x
lim
1
1 x2
x
1 x2
x2
lim
x
1
x2
1
7
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f ( x)
如果 g( x) 仍然是未定式极限，且 f ( x), g( x)
也满足罗必塔法则的条件，则可继续使用罗必塔法则。 即
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) . xa g( x) xa g( x) xa g( x)
考研题欣赏 （2003年3，4）设
f (x) 1 1 1 , x [1 ,1) .
sin x (1 x) 2
试补充定义f(1)使得f(x)在[1/2，1]上连续。
解：令y=1- x ，有
1 (1 x) sin x
lim f (x) lim
x1
x1 (1 x)sin x
27
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()
2
解：
lim tan x lim sec2 x x tan 3x x 3sec2 3x
2
2
1 cos2 3 x
lim 3 x