浅析洛必达法则求函数极限
浅谈洛必达法则在求极限中的使用
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浅谈洛必达法则在求极限中的使用
作者：李玉荣
来源：《学业》2019年第04期
摘要：本文從洛必达法则能解决的问题出发，讨论了洛必达法则适用的条件，及使用洛必达法则时需要注意的事项，最后总结出洛必达法则的实质和其中体现的数学思想方法。
关键词：洛必达法则;未定式;极限
极限是高等数学中一个很重要的概念，贯穿高等数学的始终。
洛必达法则作为柯西中值定理的重要应用，在求极限当中扮演着十分重要的角色。
通过对分子分母分别求导再求极限的洛必达法则能够很有效的计算出未定式的极限。
参考文献：
[1]高等数学[M].北京：高等教育出版社.2014
[2]数学分析[M].北京：高等教育出版社.2010。
极限洛必达法则
极限洛必达法则极限洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微积分中常用的一种求极限的方法。
它由法国数学家洛必达（Guillaume de L'Hôpital）于1696年提出，并在他的著作《解析几何》中得到了详细阐述。
这个法则在解决一些无法直接求解的极限时非常有用。
洛必达法则的核心思想是将一个不定式的极限转化为两个导数的商的极限。
具体来说，如果我们遇到一个形如0/0或者∞/∞的不定式极限，那么我们可以使用洛必达法则来求解。
该法则指出，当函数f(x)和g(x)在某一点a处都可导，并且在该点的邻域内f(a)=g(a)=0（或者是f(a)=g(a)=±∞）时，如果f'(a)和g'(a)都存在且g'(a)≠0，那么不定式极限lim(x→a) [f(x)/g(x)]就等于lim(x→a) [f'(x)/g'(x)]。
洛必达法则的应用非常灵活，可以解决各种各样的极限问题。
下面我们通过一些例子来说明洛必达法则的具体使用方法。
例1：求极限lim(x→0) [sin(x)/x]。
这个极限在x=0处形如0/0的不定式，我们可以使用洛必达法则。
对于分子sin(x)和分母x，它们在x=0处都可导，并且f(0)=g(0)=0。
计算它们的导数，得到f'(x)=cos(x)和g'(x)=1。
在x=0处，f'(0)=cos(0)=1，g'(0)=1。
根据洛必达法则，我们有lim(x→0) [sin(x)/x] = lim(x→0) [cos(x)/1] = cos(0)/1 = 1。
例2：求极限lim(x→∞) [x/sqrt(x^2 + 1)]。
这个极限在x=∞处形如∞/∞的不定式，同样可以使用洛必达法则。
对于分子x和分母sqrt(x^2 + 1)，它们在x=∞处都可导，并且f(∞)=g(∞)=∞。
洛必达法则的理解及其应用
摘要：对洛必达法则的内涵进行剖析、引申及扩展, 通过实例探讨其应用技巧。
关键词：洛必达法则;内涵剖析;应用技巧;洛比达法则内涵丰富, 是高等数学中求函数未定型极限的一种有力工具。
本文将对洛必达法则的内涵进行深入剖析, 引领学生窥其“庐山真面目”。
然后循序渐进地讲解其应用, 从而帮助学生系统、深入地掌握洛必达法则内容。
1洛比达法则[1]定理1: 若函数f ( x) 和g ( x) 满足:( 2) 在点x0的某空心邻域内两者都可导, 且g' ( x0) ≠0;定理2: 若函数f ( x) 和g ( x) 满足:( 2) 在点x0的某空心邻域内两者都可导, 且g' ( x0) ≠0;二、内涵剖析1. 涵的数学思想方法洛必达法则依据柯西中值定理, 利用求导的方法, 化难为易的数学思想, 将f ( x) /g ( x) 的极限问题转化为f 'x/g' (x) 的极限问题。
2. 几何解释[2]对于定理1, 补充定义, 则参数方程是平面上过原点O的曲线, 记为L, 如图, 则表示曲线上割线OA的斜率, 而为割线斜率的极限, 又割线的极限位置是切线, 即为O点处切线斜率, 另一方面A点处切线的斜率利用参数方程求导为f 'x/g' (x) , 而A处所得切线T随着x→x0的极限位置就是O处的切线OC, 由此表示出OC斜率为从而, 在几何上, 定理1实质上表达了切线的概念, 曲线L的割线OA的极限位置就是过原点的切线OC。
类似可得洛必达法则定理2实质上表达了曲线L上的点A趋于无穷远时, OA的极限位置就是A点处切线的极限位置。
3. 运用法则的关键关键是寻找判断所求极限是否满足三个条件, 有些较难的极限利用洛必达法则可能比较简单, 但若不符合条件时滥用法则, 容易造成错误。
4. 运用法则的一般步骤( 1) 判断所求极限是否可化为法则中的0/0型或∞/∞型, 如0, ∞ - ∞等; ( 2) 判断是否满足条件;( 3) 求, 若存在或为∞ , 则得结果, 若仍为未定式, 则再用法则; 若为循环的情况, 则不可用法则; 若不存在也不为∞ , 则用此法则不可得结果。
极限中洛必达使用条件
极限中洛必达使用条件极限中洛必达是数学中的一个重要概念，它在微积分中有着广泛的应用。
在使用极限中洛必达时，我们需要满足一定的条件，以保证计算的准确性和可行性。
本文将详细介绍极限中洛必达的使用条件及其相关内容。
一、洛必达法则的基本原理洛必达法则是一种求极限的常用方法，它的基本原理是将一个函数的极限转化为两个函数的极限之商的极限。
具体来说，如果一个函数的极限存在且为无穷大或无穷小，那么可以通过对该函数求导，再求导后的函数的极限来求原函数的极限。
二、洛必达法则的使用条件1. 函数的极限存在。
在使用洛必达法则时，首先要确定函数的极限是否存在，只有在函数的极限存在的情况下，才能使用洛必达法则进行计算。
2. 极限的形式为“0/0”或“∞/∞”。
洛必达法则适用于形式为“0/0”或“∞/∞”的极限。
如果一个函数的极限形式不是这两种情况，那么不能直接使用洛必达法则，需要进行其他的求极限的方法。
3. 分子和分母函数可导。
洛必达法则要求分子函数和分母函数在某个区间内可导，这样才能对分子函数和分母函数求导。
如果分子函数或分母函数在某些点上不可导，那么不能使用洛必达法则。
4. 洛必达法则的重复使用。
有时候在使用洛必达法则时，可能会出现形式为“0/0”或“∞/∞”的极限，但直接对该极限使用洛必达法则仍然无法计算。
这时，可以对分子函数和分母函数再次使用洛必达法则，直到能够计算出极限为止。
三、洛必达法则的步骤使用洛必达法则的步骤如下：1. 确定函数的极限形式为“0/0”或“∞/∞”。
2. 对分子函数和分母函数分别求导。
3. 计算求导后的函数在极限点的极限值。
4. 如果求导后的函数极限存在，且为无穷大或无穷小，那么该极限与原函数的极限相等。
5. 如果求导后的函数极限不存在，或者为有限值，那么继续使用洛必达法则，对求导后的函数再次进行求导，直到计算出极限为止。
四、洛必达法则的应用举例下面通过一些具体的例子来说明洛必达法则的应用。
例1：计算极限lim(x→0)(sinx/x)。
洛必达法则求极限使用条件
洛必达法则求极限使用条件洛必达法则是求极限的一种方法，它能够帮助我们确定当自变量趋于某个值时，函数的极限值。
洛必达法则的使用条件包括以下几点：1.函数必须是可导函数：洛必达法则基于导数的概念，因此要使用该法则，函数必须是可导函数。
这意味着函数在极限点的附近必须存在导数。
2.极限点存在：洛必达法则适用于当自变量趋于某个特定值时的情况。
因此，在使用该法则之前，需要验证极限点是否存在。
3.极限不存在或者是不确定形式：洛必达法则的目的是求函数的极限值，因此只有在极限不存在或者无法计算的时候才需要使用该法则。
如果极限已经可以通过其它方法确定，那么就不需要使用洛必达法则。
以上是洛必达法则的使用条件。
下面将详细介绍洛必达法则的具体步骤和一些例子。
首先，洛必达法则主要通过比较函数的导数来确定极限。
具体来说，洛必达法则可以表述为如下形式：设函数f(x)和g(x)在点a的某个去心邻域内可导，并且在x=a处极限存在。
如果分别满足以下条件：1. lim[x→a]f(x) = 0且lim[x→a]g(x) = 02. lim[x→a]f'(x)和lim[x→a]g'(x)存在（即函数f(x)和g(x)的导数在极限点a上存在）3. lim[x→a]g'(x) ≠ 0 （即函数g(x)的导数在极限点a上不等于零）那么，可以得出以下结论：lim[x→a]f(x)/g(x) =lim[x→a]f'(x)/g'(x)也就是说，如果满足上述条件，我们可以通过求两个函数导数的极限比值来确定函数f(x)和g(x)在极限点a上函数值的极限。
接下来，我们通过一些具体的例子来进一步说明洛必达法则的使用。
例子1：设f(x) = sin(x)，g(x) = x，求当x趋于0时，f(x)/g(x)的极限。
根据洛必达法则的使用条件，我们先来计算f'(x)和g'(x)。
f'(x) = cos(x)g'(x) = 1当x趋于0时，f'(x) = cos(0) = 1，g'(x) = 1因此，根据洛必达法则，lim[x→0]sin(x)/x =lim[x→0]cos(x)/1 = cos(0) = 1所以，当x趋于0时，sin(x)/x的极限为1。
关于洛必达法则求函数极限的分析与研究
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在 自变量 的某变 化过 程 中， 对上 述 两种 基本 类 型 可直接 应用法 则求极 限．
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（ 效） 处； 失 之 最后 通 过 实例 说 明 可 以将 法 则 和 其 他 求 极 限 方 法 结 合 起 来 使 用 ， 示 了该 法 则 在 极 限 显
计 算 中的重要作 用．
关键 词 ： 洛必达 法则 ； 未定式 ； 限 ； 极 等价 无 穷小
中 图 分 类 号 ： ７ ０１ ２ 文献标 识码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ６ ２６ ８ （ ０ ） １０ ０ －４ １ ７ ＝６ ５ ２ 儿 ０ －０ ３０
第 ２ Ｏ卷
第 １ 期
淮海 工学 院 学 报 （ 自然科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｕ ｉ ａ Ｉ ｓ ｉ ｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｎａｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｏ ｒ ａ ａｈ ｉ ｎ ｔｔ ｅ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｕ ｉ
２ 洛 必达 法 则 的 应 用
２ １ 基 本 类 型 ：０ ｏ ． “ ／ ”型 及 “ ￣ ｏ ”型 未 定 式 ｏ ／ｏ
洛必达法则的原理
洛必达法则的原理解读在微积分学中，洛必达法则（L'Hôpital'sRule）是解决不定型（indeterminateform）极限的强有力的工具。
这个法则的名字来源于法国数学家Guillaumedel'Hôpital，他在18世纪首次提出这个法则。
洛必达法则的核心思想是通过对分子和分母同时求导，来解决在求极限时遇到的0/0或∞/∞等不定型的问题。
让我们深入探讨这个法则的原理。
不定型的背景：在微积分中，我们常常会遇到形如0/0或∞/∞的不定型，这种情况下无法直接得到极限的值。
例如，考虑函数f(x)=(e^x-1)/x，当x 趋近于0时，分子和分母都趋近于0，这就是一个典型的不定型。
法则的表述：洛必达法则的表述如下：如果函数f(x)和g(x)在某一点a的某个去心邻域内可导，且对于该邻域内除了可能在a点外的某个点，f'(x)/g'(x)的极限存在或为∞，那么法则的解读：条件：洛必达法则的使用条件是函数在某一点及其邻域内可导。
这意味着我们需要确保函数在考虑的点附近具有足够的光滑性。
导数的比值：这个法则的核心思想是对函数的分子和分母同时求导。
通过这个操作，我们得到的是原函数导数的比值。
这可以被看作是“比率的比率”。
重复应用：洛必达法则可以被反复应用，即可以对新的函数f'(x)/g'(x)再次应用洛必达法则，直到得到可以直接求解的极限为止。
举例说明：考虑函数，我们可以使用洛必达法则。
首先求导得到，这时极限为1。
因此，原极限也为1。
总结：洛必达法则为解决不定型的极限问题提供了一个强大的工具。
通过巧妙地运用导数的性质，我们能够简化原极限的计算过程。
然而，使用这个法则时需要谨慎，确保满足法则的条件，以及在重复应用时不陷入无限循环。
在适当的情况下，洛必达法则是解决复杂极限问题的有力助手。
浅析洛必达法则在考研数学中的运用
浅析洛必达法则在考研数学中的运用洛必达法则在考研数学中的重要性不可忽视。
这个法则为求解函数的极限提供了另一种有效的方法，也是数学分析中的一种重要工具。
掌握洛必达法则不仅可以帮助考生解决各类极限问题，还可以在求解函数的导数、积分等问题中发挥作用。
本文将通过介绍洛必达法则的基本概念、运用及技巧，帮助考生更好地理解并掌握这一重要工具。
洛必达法则，也称为洛必达定理，是指当一个函数趋近于无穷大时，如果函数的倒数也趋近于无穷大，则函数的商也趋近于无穷大。
这个法则是由法国数学家洛必达在他的著作《无穷小分析》中首次提出的。
简单来说，洛必达法则就是求导数的商的极限。
在考研数学中，洛必达法则的应用非常广泛。
在判断极限问题中，考生可以通过使用洛必达法则来验证极限是否存在，并求出其具体值。
例如，对于函数f(x)在x=0处趋近于无穷大，且f'(x)在x=0处也存在，则可以使用洛必达法则来求lim x→0 f(x) / g(x)的值。
在求极限问题中，考生可以利用洛必达法则来对函数进行求导或积分，从而得到函数的极限。
在讨论函数的连续性问题中，洛必达法则也发挥了重要作用。
例如，对于函数f(x)在x=0处连续，且f'(x)在x=0处存在，则可以使用洛必达法则来求lim x→0 f'(x)的值，从而得到函数在x=0处的导数值。
为了更好地运用洛必达法则，考生需要掌握一些技巧。
考生要学会选择合适的解题方法。
对于一些简单的极限问题，可以直接运用洛必达法则来求解；而对于一些较为复杂的问题，可能需要先进行化简、变形等操作，再使用洛必达法则。
考生要学会如何快速锁定答案。
在使用洛必达法则时，考生可以通过观察待求极限的函数形式，来判断是否可以使用洛必达法则。
例如，对于形如lim x→∞ f(x) / g(x)的极限问题，如果f'(x)和g'(x)都存在，那么就可以考虑使用洛必达法则来求解。
洛必达法则是考研数学中的重要内容，对于求解函数的极限、导数、积分等问题都有很大的帮助。
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本科学年论文论文题目：用洛必达法则求极限的方法学生姓名：卫瑞娟学号： 1004970232专业：数学与应用数学班级：数学1002班指导教师：严惠云完成日期： 2013 年 3月 8 日用洛必达法则求未定式极限的方法内容摘要极限运算是微积分学的基础，在众多求极限方法中，洛必达法则是一种简单而又方便的求极限方法。
但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就很可能出错。
本文就针对利用此法则求极限的过程及解题过程中常见问题，对洛必达法则求函数极限的条件及范围、应用、何时失效做了整体分析与探讨，并举例说明。
除此之外，还介绍了除洛必达法则之外其他求函数极限的方法以及同洛必达法则的比较，最后对洛必达法则进行小结。
关键词：洛必达法则函数极限无穷小量目录一、洛必达法则求极限的条件及适用范围 (1)（一）洛必达法则定理 (1)（二）洛必达法则使用条件 (2)二、洛必达法则的应用 (2)（一）洛必达法则应用于基本不定型 (2)（二）洛必达法则应用于其他不定型 (3)三、洛必达法则对于实值函数失效问题 (5)（一）使用洛必达法则后极限不存在 (5)（二）使用洛必达法则后函数出现循环 (6)（三）使用洛必达法则后函数越来越复杂 (6)（四）使用洛必达法则中求导出现零点 (6)四、洛必达法则与其他求极限方法比较 (6)（一）洛必达法则与无穷小量替换求极限法 (7)（二）洛必达法则与利用极限运算和已知极限求极限 (8)（三）洛必达法则与夹逼定理求极限 (9)五、洛必达法则求极限小结 (10)（一）洛必达法则条件不可逆 (10)（二）使用洛必达法则时及时化简 (11)（三）使用洛必达法则前不定型转化 (11)参考文献 (13)序言数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。
因此，极限概念是数学分析的重要概念，极限理论是数学分析的基础理论。
极限法的引入与完善是出于社会实践的需要，是许多人奋斗的结果，不是哪一个数学家苦思冥想出来的。
极限的求法很多，主要包括有：①利用极限的定义；②利用极限的运算法则求极限；③利用极限存在的条件和准则求极限；④利用两个重要极限求极限；⑤利用等价无穷小量和泰勒展开求极限；⑥利用函数的连续性求极限；⑦利用洛必达法则求极限；⑧利用中值定理求极限；⑨利用导数或定积分的定义求极限；⑩利用级数收敛的必要条件求极限。
在此我只对利用“洛必达法则”求极限的这一方法进行了分析与概括。
一、 洛必达法则求函数极限的条件及适用范围（一）洛必达法则定理定理1[1]若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0=+→x f a x 0)(lim 0=+→x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim 0则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0x f a x ∞=+→)(lim 0x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：-∞→+∞→∞→→→→-+x x x x x x x x x ,,,,,000。
定理证明：作辅助函数⎩⎨⎧=+∈=a x a a x x f x F 当当,0),,(),()(δ⎩⎨⎧=+∈=a x a a x x g x G 当当,0),,(),()(δ于是函数F(x)及G(x)在[δ+a a ,）连续，在()δ+a a ,可导，并且.0)('≠x G 今对()δ+a a ,内任意一点x ，利用柯西中值定理得).,(,)(')(')()()()()()(000x a x x G x F a G x G a F x F x G x F ∈=--= 由)()(x G x F 及的定义，上式即)(')(')()(00x g x f x g x f = 所以当0+→a x 时（这时显然有00+→a x ），对上式两端取极限，即A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim0000证毕。
关于定理二的证明方法也同定理1类似，这里就不点出。
当然，还有其他不同的证明方法。
（二）洛必达法则使用条件只有在分子、分母同时趋于零或者同时趋于无穷大时，才能使用洛必达法则。
连续多次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用，若是检查结果满足法则使用条件，才可连续使用洛必达法则，直到求出函数极限或者为无穷大，否则就会得出错误的结果，下面举个例子来说明。
例1：求xx xx x sin sin lim+-∞→分析：根据洛必达法则使用条件，此式为∞∞型，所以可以使用洛必达法则，但是xxx x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim+-=+-∞→∞→，结果所得非不定式，所以只能使用一次洛必达法则，而不能再进行第二次。
解：1)sin sin (lim cos 1cos 1lim sin sin lim-=-=+-=+-∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x事实上，1sin 1sin 1lim sin sin lim=+-=+-∞→∞→xxx xx x x x x x ，这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。
二、洛必达法则的应用（一） 基本类型：不定式直接应用法则求极限例2：求.cos 1lim20x xx-→ 解： 这是0待定型。
运用洛必达法则，我们有x xx x x x x x x 2sin lim )'()'cos 1(lim cos 1lim02020→→→=-=- 因为 1sin lim0=→x xx从而 .21sin lim 21cos 1lim 020==-→→x x xx x x 例4：求).0(ln lim φααxxx +∞→解：上述极限是∞∞待定型，于是01lim 1lim ln lim 1===+∞→-∞→+∞→ααααααx x x x x x x （二） 未定式的其它类型：∞⋅0、∞-∞、00、0∞、∞1型极限的求解此外，除了型型或∞∞这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。
譬如.10000∞∞-∞∞⋅∞，，，，等待定型，由于他们都可以转化为型型或∞∞00，因此，也可以用洛必达法则来求出他们的值[2]。
关于如何转换，例如,)(lim ,0)(lim ∞==x g x f 则)()(lim x g x f 是∞⋅0形式，这时，可以写为)(1)()(1)()()(x f x g x g x f x g x f 或=，这就转化为型型或∞∞00了。
此外对于0001∞∞，，等不定式，可以取对数化为∞⋅0的形式，再运用如上方法便可转化为型型或∞∞00了，下面对这些待定型一一举例解答以作说明[3]。
例5：).tan 1(lim 220x c xx -→ 解：这是∞-∞型，设法化为形式： xx x x x x c x x x 222220220sin cos sin lim )tan 1(lim -=-→→ =xx xx x x x x x x sin cos sin sin cos sin lim 20-⋅+→ =xx xx x x sin cos sin lim )11(2-+∞→ =xx x x xx x cos sin 2sin lim 220+→=.32cos sin 21lim20=+→xxx x例6：求.)2(lim 2tan1xx x π-→解：这是型∞1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-→→)2ln(2tan lim exp )2(lim 12tan1x x x x xx ππ=exp ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→x x x 2cot )2ln(lim 1π=exp ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→)2csc (212lim 21ππx x =π2e 例7：求xx x x ln 12)1(lim +++∞→解:这是0∞待定型，经变形得xx x x xx ex x ln 1ln ln 122lim )1(lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→=++，而11lim 111lim ln )1ln(lim222=+=+=+++∞→+∞→+∞→xx xx x x x x x x 故 e x x xx =+++∞→ln 12)1(lim例8：求x x x ln lim 0+→解：这是∞⋅0待定型，可变形为xxx x 1ln ln =，成了∞∞待定型，于是 0)(lim 11lim 1ln lim ln lim 02000=-=-==+→+→+→+→x xx x xx x x x x x例9：求xx x +→0lim解：这是00待定型，由对数恒等式知，xx x ex ln =，运用例8可得1lim lim 0ln lim ln 000====→+→+→e e ex xx xx x x x x三、洛必达法则对于实值函数的失效问题洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时候。
“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。
所以，在要使用洛必达法则时，则要检验该题目是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的基本原因有以下几种。
（一）使用洛必达法则后，极限不存在（非∞），也就是不符合以上定理1、2的条件（3）[4]例10：计算xx xx x sin sin lim+-∞→解：原式=1sin 1sin 1lim=+-∞→xx x x x （二）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合定理1、定理2的条件（3）例11：计算)(lim 型∞∞-+--∞→x xx x x e e e e解：原式=xxx e e 2211lim --∞→++=1（三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符合定理1、定理2的条件（3）例12：计算)0(lim10型x exx -+→ 解：令xt 1=，则原式=1lim 1lim00==+→-+→t x t x e t te （四）求导后有零点，也就是不满足条件例如x e x e x x e x x x x sin sin )sin 2(cos lim 222-∞→++，的极限是不存在的，事实上，取)(4-∞→∞→=n n x ππ，此时分母的导数是有零点的。