函数的极限与洛必达法则练习题
求极限的方法总结及例题
求极限的方法总结及例题求极限是微积分学探究函数变化规律的基础，也是微积分学最重要的概念之一。
在求极限的运算中，由于函数的特殊性，其结果有可能是一个常数、一个变量或者无穷大，因此，求极限的计算要建立在对偏导数的理解和计算上，即在计算极限之前，首先要掌握偏导数的概念和计算方法。
一般来说，有三种常见的求极限方法：1、基本形式求极限；这种方法是指函数表达式本身具有特定性，可以用固定的简单运算公式直接求出极限值。
例如：当x趋向于0时，lim x→0 (1-cosx/x2)= 1/22、恒等式转换求极限；这种方法是指通过给出函数的形式进行合理的变换，从而使函数表达式转换成可以直接求出极限值的公式，从而解决函数求极限的问题。
例如计算：lim x→0(sin2x/x)可以将该式化简进行转换：lim x→0(sin2x/x)= lim x→0(2sinxcosx/x)= lim x→0(2cosx/1)= 2* lim x→0 (cosx)由于cosx等于1，当x趋向于0时，极限结果为2。
3、洛必达法则求极限；洛必达法则是指在求函数极限时，可以根据函数的性质将原函数转换成另外一组函数，从而推出极限结果。
例如：计算：lim x→∞ (1+1/x)x可以把原本的函数，转换成另一函数，即：lim x→∞ (1+1/x)x= lim x→∞ x/x2= lim x→∞ 1/x= 0 以上所述就是求极限的三种常见的方法。
接下来，我们就以例题来试验一下这三种方法的使用。
例题1：求lim x→0 (sin2x/x)解：由上文所述，这种情况应使用恒等式转换求极限：可以将该式化简进行转换：lim x→0(sin2x/x)= lim x→0(2sinxcosx/x)= lim x→0(2cosx/1)= 2* lim x→0 (cosx)由于cosx等于1，当x趋向于0时，极限结果为2。
例题2：求lim x→∞ (1+1/x)x解：这种情况应使用洛必达法则：可以把原本的函数，转换成另一函数，即：lim x→∞ (1+1/x)x= lim x→∞ x/x2= lim x→∞ 1/x= 0 以上就是求极限的三种方法总结及例题分析。
高数极限基础练习题
高数极限基础练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x}\) 的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无穷2. 函数 \( f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) \) 在 \( x = 0 \) 处的极限为：A. 0B. 1C. 无定义D. \( \frac{\pi}{2} \)3. 函数 \( g(x) = \frac{\sin x}{x} \) 在 \( x = \pi \) 处的极限为：A. 0B. 1C. \(\frac{1}{\pi}\)D. \(-1\)4. 极限 \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2}{e^n}\) 的值为：A. 0B. 1C. 无穷D. \(\frac{1}{2}\)5. 函数 \( h(x) = \frac{1}{1+x^2} \) 在 \( x = 2 \) 处的极限为：A. \(\frac{1}{5}\)B. \(\frac{1}{4}\)C. \(\frac{1}{3}\)D. \(\frac{1}{2}\)二、填空题（每空2分，共20分）6. 极限 \(\lim_{{x \to 1}} (x^2 - 1)\) 等于______。
7. 函数 \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) 在 \( x = e \) 处的极限为______。
8. 极限 \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{\sin x}{x}\) 存在，其值为______。
9. 函数 \( g(x) = x - \tan^{-1}(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的极限为______。
10. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{e^x - 1}{x}\) 的值为______。
三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\ln(1+x)}{x}\)。
数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析
数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分）3． 若()0lim x x f x →=∞，()0lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦ B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣⎦ C ． ()()01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0lim 0x x kf x k →=∞≠ 解：()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞ ∴选D6．当n →∞时，1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．-2 解：2211sin lim lim 1,211n n k kn n k n n →∞→∞=== 选C 二 、填空题（每小题4分，共24分）8．2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭ 解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 10．n =解：原式n ≡有理化 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x xx →→== 故 原式=112．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x→=-,则正整数n = 解：()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x→→+⋅= 20420,lim 02n x n x n x→<>2,4,n n ∴>< 故3n =三、计算题（每小题8分，共64分）14．求0x → 解：原式有理化16．求0ln cos 2lim ln cos3x x x→ 解：原式[][]0ln 1cos 21lim ln 1cos31x x x →--+-变形注:原式02sin 2cos3lim cos 23sin 3x x x x x→∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-⨯- 17．求02lim sin x x x e e x x x-→--- 解： 原式0020lim 1cos x x x e e x-→+-- 19．求lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭解： (1) 拆项，111...1223(1)n n +++⋅⋅+ 1111111...122311n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++⎝⎭⎝⎭(2) 原式=lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭20．求21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解： 原式()201ln 11lim t t t x t t →=+⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、证明题（共18分）21．当x →∞时且()()lim 0,lim x x u x v x →∞→∞==∞, 证明()()()()lim lim 1x u x v x v x x u x e →∞→∞+=⎡⎤⎣⎦ 证：()()lim 1v x x u x →∞+⎡⎤⎣⎦ ()()lim x u x v x e →∞⋅=证毕22．当0x →时，证明以下四个差函数的等价无穷小。
数学分析—极限练习题及详细答案
一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。
A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。
2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（ ）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。
4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（ ）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。
5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→lim lim lim )()((iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-limlimlim)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(limx f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除．．时候使用。
例题略。
2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）洛必达法则（定理）设函数f(x ）和F(x ）满足下列条件： ⑴x→a 时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;⑵在点a 的某去心邻域内f(x ）与F(x ）都可导，且F(x ）的导数不等于0; ⑶x→a 时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大 则 x→a 时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))注： 它的使用有严格的使用前提。
3-2洛必达法则
a bx cos ax lim 1. b x 0 ax cos bx
例6.求
解: 原式 lim
1 x n 1
型
x
nx
1 0 lim x n x n
21
xn 型 例7. 求 lim x (n 0 , 0) . x e 解: (1) n 为正整数的情形. n x n1 n(n 1) x n2 lim 原式 lim x x e x 2 e x n! lim n x 0 x e 例6、例7说明：当 x 对数函数 ln x， 时，
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ln sin ax lim .(a＞0，b＞0) 型 例5 求x 0 ln sin bx a cosax ln sin ax si nax a lim sin bx cos ax li lim 解 x 0 ln sin bx x m b cosbx b x 0 sin ax cos bx 0 si nbx
4.应用法则时，为使极限计算简单，应尽量使用无穷 小 的等价代换、重要极限及其它求极限的方法.
5.x a，x 时的未定式
型也有相应的法则.
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定理 2.
2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 存在 (或为∞) 3) lim xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim (洛必达法则) xa F ( x ) xa F ( x ) 说明: 定理中 x a 换为 x a , x a , x , x , x 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
拉格朗日中值公式
说明：Lagrange中值定理是柯西中值定理的特殊情况.
求极限的方法和例题总结
求极限的⽅法和例题总结8.⽤初等⽅法变形后，再利⽤极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以⽤洛⽐达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分⼦分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以。
3．两个重要极限（1） 1sin lim0=→x xx（2） e x xx =+→10)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运⽤这两个重要极限本⾝，还应能够熟练运⽤它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，e x xx =--→21)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
利⽤两个重要极限求极限例5 203cos 1lim x xx -→解：原式=61)2(122sin 2lim 32sin 2lim 220220=?=→→x xx x x x 。
注：本题也可以⽤洛⽐达法则。
例6xx x 2)sin 31(lim -→=6sin 6sin 31sin 6sin 310])sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-?-→=-=-e x x xx xx xxx x例7nn n n )12(lim +-∞→=313311331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-?-+∞→=+-+=+-+e n n n n n n n nn n 。
4．等价⽆穷⼩定理2 ⽆穷⼩与有界函数的乘积仍然是⽆穷⼩（即极限是0）。
定理3 当0→x 时，下列函数都是⽆穷⼩（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-xe 。
4-2洛必达法则1211
例
tan x ∞ . ( ) 求 lim π ∞ x → tan 3 x
2
sin x ⋅ cos 3 x 原式 = lim π x → cos x ⋅ sin 3 x
2
sec2 x 解 原式 = lim π 3 sec 2 3 x x→
2
cos 3 x 0 = −lim ( ) π cos x 0 x→
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二、其它未定式
1. 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞型未定式
0 ∞ 型 关键 将其化为洛必达法则可解决的 , 0 ∞ ∞ 1 0⋅ ∞ 型 0⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞ ⇒ 或 0⋅ ∞ ⇒0⋅ 1 ⇒ 0 ⋅ 0 ∞ ∞ 0
求 lim x − 2e x . ( 0 ⋅ ∞ ) 例
x → +∞
ex ∞ ex ∞ 解 原式 = lim 2 ( ) = lim ( ) x → +∞ 2 x ∞ x → +∞ x ∞ ex = lim = +∞ . x → +∞ 2 16
例 求 lim x(
x → +∞
π
2
− arctan x ). ( ∞⋅ 0 )
π
解 原式 = lim 2
x → +∞
− arctan x
1 x 1 − 2 2 x = lim 1 + x = lim 2 =1 x → +∞ 1 x → +∞ 1 + x − 2 x
0 ( ) 0
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∞−∞ 型
1 1 0 0− 0 ∞− ∞⇒ − ⇒ ⇒ 0 0 0⋅ 0 0
∞ ln sin ax 例 求 lim ( ) . x→0 ln sin bx → ∞ a cos ax ⋅ sin bx a sin bx 解 原式 = lim = lim x →0 b cos bx ⋅ sin ax x →0 b sin ax