洛必达法则证明
高数洛必达法则
与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以 求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联， 可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必 达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定 义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且 连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法 则求解。
多元函数洛必达法则的应用 条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要 满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微 积分学中的一个重要定理，用于求解 不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必 达法则求解函数的极值点，进而确定不等式 的解集。
经典洛必达法则
即 f ( ) 0
例 设0 a b,证明b a ln b b a .
b
aa
证明： 设f ( x) ln x,
f ( x)在［a,b］上满足拉格朗日中值定理的条件，
所以， (a,b),使 f (b) f (a) f ( )(b a),
因为f ( x) 1 ,上式即为
拉格朗日（Lagrange）中值定理(1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2)在开区间(a, b)内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
推论 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f ( x) 在区间 I 上是一个常数.
lim sin x sin
x 1
2
2
1.
2
例
求
lim
x0
cos
x
x3
1
x
.
(
0 0
)
sin x 1
解 原式 lim x0
2 3x2
1 x
.
例
求
lim
x1
x
x3 3
x
3x 2
x
2
1
.
(0) 0
解：
×
正解：
3-2第二节洛必达L’Hospital法则
系
高
等 数 学
.例如 当x→∞时,
x sin x 是, x cos x
型不定式
电 子 教
显然有.
lim x sin x 1 x x cos x
案
但是如果用洛必达法则,则得不出结果
lim x sin x lim (x sin x) lim 1 cos x lim (1 cos x)
子
教 案
在区间[a,x]或[x,a]上应用柯西中值定理
f (x) f (a) f ( ) , ( [a, x]) g(x) g(a) g ( )
武
x a, a
汉
科
技 学 院
lim f (x) lim f ( ) lim f (x) A
数 理
xa g(x) x g ( ) xa g (x)
ln cos x
exp[lim x0
x2
]
武 汉
exp[lim tgx ] exp[ 1 1]
x0 2 x
2
科
技 学
e1/ 2 1
院 数
e
理 系
(tgx) sec2 x
高
等 数
(3) lim (1 1 ) x lim e x ln(11/ x)
x0
院
数
理
系
高 等 数
例1 求下列极限
(1 x)a 1
(1) lim
;
学
x0
x
1
(2) lim n(e n 1) n
电 子
解: (1)是0/0型的,用洛必达法则,得到
教 案
lim (1 x)a 1 lim a(1 x)a1 a(1 0)a1 a
洛必达法则的证明
洛必达法则：若实函数()00:,f U x R δ→和()00:,g U x R δ→在定义域上处处可微，()0g x ≠且()0g x '≠，()()00lim lim 0x x x x f x g x →→==或()0lim x x g x →=∞，极限()()0l i m x x f x g x →''存在或趋于无穷，那么()()()()00lim lim x x x x f x f x g x g x →→'='。
证明：为方便证明，设00x =，一般情形的证明是类似的。
（I ）若()()0lim x x f x g x →''的极限值是有限实数。
若设()()0lim x f x a g x →'='，根据极限的定义，对任意正数ε，存在正数δ，使得当x δ<总有()()2f x ag x ε'-<' (1) 若()()00lim lim 0x x x x f x g x →→==任取x δ<，令()()()()()f x f t tg x g t ϕ-=-。
()00:,f U x R δ→和()00:,g U x R δ→是可微的因而也是连续的，所以()t ϕ是连续的。
因为()()00lim lim 0x x x x f x g x →→==，所以()()()0lim y f x t g x ϕ→=。
所以存在实数y 满足y 与x 同号且y x <，使得()()()2f x y g x εϕ-<。
由柯西中值定理存在ξ介于x 和y 之间，使得()()()()()()()f x f y f y g x g y gξϕξ'-=='-，所以 ()()()()2f f xg g x ξεξ'-<' 又x ξδ<<，所以()()2f a g ξεξ'-<'。
洛必达法则证明
验证原函数和导函数满足洛必达法则的条件
• 原函数的极限形式为0/0或∞/∞
• 导函数在求极限的点处存在且连续
求解原函数和导函数的极限
• 利用洛必达法则，求解原函数和导函数的极限
• 通过比较原函数和导函数的极限，得到原函数的极限值
检查洛必达法则的适用性
• 验证求得的极限值是否满足原函数的条件
• 如果满足，则证明洛必达法则成立；如果不满足，则考虑其他方法求解
• 洛必达法则通过求解函数的导数来求解函数的近似值
• 泰勒级数通过展开函数为多项式来求解函数的近似值
洛必达法则和泰勒级数的适用范围不同
• 洛必达法则适用于求解特定形式的极限问题
• 泰勒级数适用于求解函数的近似值和展开式
洛必达法则的优点
洛必达法则的缺点
• 适用性广，适用于特定
• 仅适用于特定形式的极
• 他的研究成果被后来的数学家发展和完善
洛必达法则在数学中的应用领域
微积分学
⌛️
• 求解函数的导数和积分
• 求解函数的极限和连续
性
概率论与数理统计
• 求解随机变量的期望和
差分方程
方差
• 求解统计量的极限分布
• 求解线性差分方程的解
• 求解非线性差分方程的
解
02
洛必达法则的证明过程
证明洛必达法则的基本步骤
达法则
针对洛必达法则局限性的改进方法
改进洛必达法则的应用范围
简化洛必达法则的求解过程
• 研究适用于其他形式极限问题的求解方法
• 研究更高效的求解导数的方法
• 结合其他数学工具，如泰勒级数、积分变换等，扩展洛
• 利用计算机辅助求解，简化求解过程
洛必达法则的证明方法
洛必达法则的证明方法洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微积分中经典的一个公式，常用于求解极限问题。
洛必达法则的精髓是通过对于分子和分母同时求导数，以得到更简单的极限值。
本文将详细阐述洛必达法则的证明方法，希望能帮助大家更好地理解和使用它。
一、洛必达法则的基本形式设函数 $f(x),g(x)$ 在 $x=a$ 处两侧连续，且 $g'(x)\neq 0$，则有$$ \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$当两个极限值都存在或都为 $\infty$ 或都为 $-\infty$ 时，上式成立。
二、洛必达法则的应用洛必达法则可以解决许多涉及无穷小量的极限问题。
我们可以采用以下的一般步骤：1. 将极限表达式化为 $\dfrac{0}{0}$ 或$\dfrac{\infty}{\infty}$ 的形式。
2. 将分子和分母同时求导数。
3. 计算所得导数的极限值。
如果存在，则该极限值即为原极限的值。
三、洛必达法则的证明方法洛必达法则的证明可以分为以下三个步骤：1. 构造函数 $h(x)=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$2. 将 $h(x)$ 在 $x=a$ 处进行泰勒展开，得到$h(x)=\frac{(x-a)f'(a)+(x-a)r_1(x)}{(x-a)g'(a)+(x-a)r_2(x)}$其中 $r_1(x)$ 和 $r_2(x)$ 为当 $x \to a$ 时 $O((x-a)^2)$ 级别的无穷小量。
3. 对于分子和分母进行合并，得到 $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(a)+(x-a)r_1(x)}{g'(a)+(x-a)r_2(x)}$当 $x \to a$ 时，$(x-a)r_1(x)$ 和 $(x-a)r_2(x)$ 均趋于零，因此$$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(a)+(x-a)r_1(x)}{g'(a)+(x-a)r_2(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$$因此，洛必达法则得证。
洛必达法则
f ( x) f '( ) 即•• g ( x) g '( )
( 在x与a之间)
下页
由于当x→a时，ξ→a，对上式两边取极限得
f ( x) f ( ) lim lim x a g ( x) x a g ( ) f ( x) f ( x) 即•• lim lim x a g ( x) x a g ( x )
注：每次使用罗必达法则之前，必须分析所求极限 是否满足法则条件，若不满足，应停止使用，改用 其他方法。
下页
“零比零”型未定式的定值法 x sin x lim 例 2 例 3 求 3 x 0 x x sin x lim1 cos x lim sin x 1 解 lim 解 x 0 x 0 3x 2 x 0 6 x 6 x3 例 例 43 求 lim 2
2
x e sin x 1 e sin x 1 lim lim 2 2 x 0 x 0 (sin x) x
2
x
e cos x e x sin x 1 lim lim x 0 x 0 2x 2 2
x
e x 1 sin x 例11 求极限 lim x x 0 (e 1)sin x
f (sin x) 1 f (sin x) 1 lim lim x 0 x 0 f ( x) 1 ln f ( x)
f (sin x) f (0) x lim x 0 sin x 0 f ( x) f (0)
所以不能用洛必达法则 但其极限是存在的 lim x sin x lim (1 sin x ) 1 x x x x
例14
e cos x lim 求 x 0 x sin x
洛必达法则洛必达法则
洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（T aylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。