2076字定积分中的几何证明方法与证明
高等数学定积分在几何上的应用
记作dA
o a x x dxb x
(2) 将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得
b
b
A lim f ( x)dx
a
f ( x)dx
dA
a
应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:
1) 选取积分变量, 确定它的变化区间[a,b];
2) 在区间[a, b]上任取一个小区间[x,x+dx], 并在小区 间上找出所求量F的微元 dF = f(x)dx (局部近似值) ;
曲边梯形的面积:
d
A c [( y) ( y)]dy
例1 求由 y2=x, y=x2 所围成的图形的面积
两曲线的交点 (0,0), (1,1)
选 x 为积分变量 x[0, 1]
面积微元: dA ( x x2 )dx
x y2
A
1
(
x x2 )dx
0
2
3
x2
1 x3
1
1.
3 0 30 3
例10 由yx3 x2 y0所围成的图形 分别绕x轴及y 轴旋转 计算所得两个旋转体的体积
绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为
Vx
2
y2dx
0
2 x6dx
0
1 x7 2 128
7
07
绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为
Vy 22 8
8
x2dy
32
0
82
y 3dy
0
32 3 3 y5 8 64
高等数学定积分在几何上的应用
第二节 定积分在几何上的应用
本节主要内容: 一.定积分的微元法 二.定积分求平面图形的面积 三.定积分求体积 四.平面曲线的弧长
证明定积分等式的几种方法
证明定积分等式的几种方法
虽然定积分只要求求取定积分的值，但是在求取值的时候也需要合理的证明該积分等
式是正确的。
定积分的证明有三种常见的方法：几何图形法、定义域上的极小值和变分法。
1. 几何图形法：这是一种最简单的方法，通过可直观地图像描绘中凸出的几个不同
面积单元来推断积分结果。
几何图形证明是最被广泛使用的方法之一，它特别适用于证明
有生物学或物理意义的积分表达式。
利用几何图形法，对于一种定积分，将它分解为一系
列小面积图形，每一个小面积图形都可以用一个简单的图示来解释和表示。
2. 定义域上的极小值：极值理论也是证明定积分的一种方法，它的证明过程假定特
定的物理模型，而假设物理模型是正确的，通过对物理模型求解出最优解来证明该定积分。
它的本质就是用极值的概念，也就是认为定积分的值是某个变量从设定范围内取得的极值，然后再推出定积分的值。
3. 变分法：变分法是最常用的定积分证明方法之一，它是一种搜索最优解的方法，
是唯一可能找到特定函数的定积分的最佳方法，而且对于非线性的定积分而言，是最有效
的解决方法。
它的证明的方法可以求得某一特定函数的定积分的最优解，通俗地讲就是把
某一特定函数里的不定积分变成一个定积分，这时，定积分的变量就是不定积分的变量，
不定积分的变量就定下来了，然后对它求最值。
总之，证明定积分的几种方法分别是几何图形法、定义域上的极小值和变分法。
它们
原理不同，但都可以有效地证明积分等式的正确性，因此，应该根据具体问题进行灵活选
择最合适的方法来证明定积分。
定积分的计算与证明
π
(
)
解: 原式 = ∫ π x cos x dx + 4∫ π cos x dx
− 2 −
= 0 + 8∫ cos x dx 7 5 3 1 π 35 = 8⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = π 8 6 4 2 2 32
2 0 8
π
2
例14
2
计算定积分−2 x ln(1 + e x ) dx ∫
令x=−t −2
2 解法二: ∫−2 x ln(1 + e x ) dx x x −x 2 = ∫−2 x ln e 2 + ln e 2 + e 2 dx
x = ∫ x ⋅ dx + ∫ x ln e + e −2 −2 2
2 2 − x 2
x 2
π 2 0
π dx = , 2
π
I −J = ∫
π 2 0
sin x − cos x d(cos x + sin x) 2 dx = −∫ = 0. 0 sin x + cos x sin x + cos x
π 故得 2I = , 2
π 即I = . 4
例17 证明
1
arctan x 1 2 t ∫0 x dx = 2 ∫0 sin t dt
π
4
四、含参量的变限积分
x 例9 设f ( x)连续, F( x) = ∫0 f ( x + t ) dt, 计算F′( x).
解: F(x) = ∫ f (x + t) dt ====∫ f (u) du
0 x
x
令u=x+t
2x
F′(x) = 2 f (2x) − f (x)
定积分在几何中的应用 课件
y=x2-3围成平面图形的面积是
S ［3 2x (x2 3)］dx 3 (3 2x x2 )dx
1
1
(3x
x2
1 3
x3
31
(3 3 32 1 33) [1 3 (1)2 1 (1)3]
3
3
9 2 1 32 . 33
【拓展提升】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求 解，得到函数图象的交点的横坐标a,b(a＜b)，确定积分区间 ［a,b］. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积 函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面
积，即 S a［b f1(x) (f其2 (中x)］fd1x(x)＞f2(x)).
类型 二 计算复杂平面图形的面积 【典型例题】 1.由两条曲线y=x2, y 1 x2与直线y=1围成平面区域的面积
4
是_______.
2.求曲线 y x 与直线y=2-x，y 1 x 围成图形的面积.
3
【解题探究】1.题1中怎样确定积分变量的区间？ 2.如何将图形的面积转化为定积分计算？ 探究提示： 1.由直线y=1分别与曲线y=x2y, 1 x联2 立，求出交点坐标，
(2x
1 2
x2
1 6
x2)
13
＝2 3
1 6
(2x
1 3
x2
)
13
＝5 6 1 9 21 1 1＝2 1 .
63
36
【互动探究】若将题2中条件变为如图由直线y=x-2，曲线 y2=x所围成图形，试求其面积S.
【解析】由
y2
x得, x=1或x=4,
y x 2,
故A(1,-1),B(4,2),如图所示:
定积分在几何上的应用
定积分在几何上的应用
定积分就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。
即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。
绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，
V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。
或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。
绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。
若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。
它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。
几何学发展历史悠长，内容丰富。
它和代数、分析、数论等等关系极其密切。
第六节 定积分在几何方面的应用
S S1 S2 f ( x)dx f ( x)dx
y
a c
c
b
f(x)
S1
o
a
.
c
S2
b
x
(图4.6.3)
2 2 y x , y x 例4.6.1 求两条抛物线 所围成的图 形的面积.
解 （1）先画出简图，求出曲线交点以确定积
y2 x 分区间， 解方程组 2 得交点 (0,0)及(1,1)； y x
例4.6.2求由曲线 y x，y 1和x 0 所围成 平面图形的面积。
y x x 1 ; 解 如图 4.6.4，由 得 y 1 y 1 1 2 3 1 2 1 A (1 x )dx ( x x ) |0 3 3 0
y
1
y x
o
1
x
例4.6.3 求证半径为 r 的圆的面积为
b a2
2
4 2 1 3 2 a x x ab 3 a 3
a
特殊的，当
时,椭球就变成球,此时球的体积为
思考：该椭圆绕
与以上的
轴旋转所成椭球的体积
是否
相等？
三. 平面曲线的弧长
曲线 f ( x) 在区间 [a, b] 上任一小区间 [ x, x dx] 的一段弧的长度，可以用该曲线在点 ( x, f ( x)) 处切线 上相应的一小段的长度来近似代替, 而切线上这相应的 小段长度为
第六节.定积分在几何方面的应用
一. 用定积分表示平面图形面积
(1)当 f ( x) 0 时，曲边梯形的面积 可直接用定积分表示 A f ( x)dx
a b
y
f ( x)
定积分的证明小论文
定积分的证明（等式与不等式）论文一．总结与归纳：一．定积分的性质两个特殊的定积分（1）如果()f x 在x a =点有意义，则()0aaf x dx =⎰；（2）如果()f x 在[],a b 上可积，则()abf x dx =⎰-()baf x dx ⎰。
.定积分的线性性设函数()f x 和()g x 在[],a b 上都可积，k 是常数，则()kf x 和()f x +()g x 都可积，并且（1）()bakf x dx ⎰=()bak f x dx ⎰;(2) ()()ba f x g x dx +⎡⎤⎣⎦⎰=()ba f x dx ⎰+()ba g x dx ⎰ (3)()()b a f x g x dx -⎡⎤⎣⎦⎰=()b a f x dx ⎰-()ba g x dx ⎰. 性质 1 定积分对于积分区间的可加性设()f x 在区间上可积，且a ，b 和c 都是区间内的点，则不论a ，b 和c 的相对位置如何，都有()caf x dx ⎰=()b af x dx ⎰+()cbf x dx ⎰。
性质 2 如果在区间[],a b 上()f x ≡1，则1badx ⎰=badx ⎰=b a -。
性质 3 如果在区间[],a b 上()f x ≥0,则()baf x dx ⎰≥0()a b <。
推论1 定积分的可比性如果在区间[],a b 上，()f x ≤()g x ，则()ba f x dx ⎰≤()bag x dx ⎰，()baf x dx ⎰≤()baf x dx ⎰。
性质 4 积分的有界性如果()f x 在[],a b 上连续，且对任意的x ∈[],a b ，都有m ≤()f x M ≤，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰。
性质 5 积分中值定理如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则在积分区间[],a b 上至少存在一点ξ，使下式成立()baf x dx ⎰=()f ξ()b a -，且()f ξ=1b a-()baf x dx ⎰称为函数()f x 在区间[],a b 上的平均值。
《定积分在几何、物理中的应用》参考课件
定积分求解功和能量
定积分可以计算力学系 统中的功和能量变化， 为能量守恒定律的研究 提供了数学基础。
四、应用举例
垂直于坐标轴的曲线面 积
通过定积分，可以计算曲线 与垂直于坐标轴的轴之间的 面积，如椭圆、以准确计算 球体的体积，为球体的表面 积、密度等相关问题提供了 解决方法。
定积分的符号表示一般用 ∫f(x)dx 表示，计 算方法有黎曼和和定积分的定义公式等。
二、几何中的应用
1
定积分求解曲线下的面积
通过计算定积分，可以准确求解曲线与坐标轴之间的面积，如长方形、三角形等 几何形状。
2
定积分求解旋转体体积
通过定积分的应用，可以计算旋转体的体积，如圆柱体、圆锥体等各种形状的物 体。
3
定积分求解弧长和曲率
定积分在计算曲线的弧长和曲率等几何属性时，起到了重要的作用。
三、物理中的应用
定积分解质点的位 移和速度
定积分可以描述质点在 一段时间内的位移和速 度变化，特别适用于确 定加速度为常数的物理 问题。
定积分求解加速度 和力的关系
通过定积分的运用，可 以推导出质点的加速度 与力的关系，揭示了牛 顿第二定律的深层含义。
《定积分在几何、物理中 的应用》参考课件
定积分是数学中重要的概念，它在几何和物理领域中具有广泛的应用。本课 件将介绍定积分的符号表示和计算方法，以及在几何和物理中的各种应用。
一、介绍
什么是定积分
定积分是对函数在一定区间上的"积分"或 "累加"结果的表示，可以理解为曲线下的 面积。
定积分的符号表示和计算方法
弹簧振动的位移
定积分可用于求解弹簧振动 的位移，帮助我们理解弹簧 振动的规律和特性。
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定积分中的几何直观方法与不等式的证明摘要：一些高指数的不等式，如果借助算术—几何均值不等式或者通过分解因式再进行放缩的话，一般都要分01p <<与1p >进行讨论证明，往往证明起来很麻烦，若借助数学分析中的定积分来进行证明的话，会大大简化其证明工序，也很简单，灵活的选取合适的初等函数进行定积分，再求和会得到意想不到的效果。
关键词：高指数；不等式；算术—几何均值；定积分；数列1 引言文[1]中给出了一个不等式： 112(11)21ni n n i=+-<<-∑（1n >） （1） 田寅生对（1）进行了指数推广，其结果是 命题1【2】 设p R ∈且0p >，1p ≠，1n >，则有1111111[(1)1]1111npp p k n n p kp p --=+-<<-+---∑ （2）文[2]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式，分01p <<与1p >进行讨论证明，读者不难看出，不仅过程繁琐，而且对其证明思路难以把握。
文[3] 中利用微分中值定理给出了它的另一种证法。
文[4]借助定积分的方法，给出了一种很自然的证明【4】：命题1的证明【4】 当0p >，1k ≥时，对于1k x k <<+，有(1)p p p k x k <<+，即111(1)p p pk x k<<+，两边取积分，得111111(1)k k k p ppkkkd x d x d x k x k +++<<+⎰⎰⎰， （3） 即得11111[(1)](1)1p pp pk k k p k--<+-<+- （4） 对（3）两边分别求和，即得1111111[(1)1]1111npp p k n n p k p p --=+-<<-+---∑ （5）命题1得证。
该证明方法简单自然，几何意义直观。
不等式（3）的几何意义是：如图1，以1p y x=为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间，根据定积分的几何意义，即知上面不等式中三部分分别代表了它们的面积。
（图1）在文[5]中，又把（1）式推广为：命题2【５】 已知{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，则11111221()()nn i n i a a a a a d d a +=-<<-+∑ （6）其证明方法与文[1]本质上是一样的。
本文将借鉴[4]中方法，即利用定积分的几何直观方法，把有关结果作进一步的推广。
２ 主要结果下面借鉴文[4]中定积分的的方法，把命题2推广为定理1 设{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，0p >，1p ≠，1n >，则1111111111111()()(1)(1)np p p pn n p pi ia a a a d p a d p a ----+=-<<-+--∑ （7） 为证明定理1，先证明下面的引理引理1 设{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，0p >，1p ≠，1n >，则1111111()(1)p pk k p pk ka a a d p a --++<-<- （8） 证明 因为数列{}n a 是等差数列，且10,0a d >>，所以该数列是一个单调递增的正数列，又因为0>p ，不妨令1+<<k k a x a ，则有p k p p k a x a 1+<<即pk p p k a x a 1111<<+ （9） 对（9）两端在1[,]k k a a +上取积分，有 1111111k k k kk k a a a p p p a a a k kdx dx dx a x a ++++<<⎰⎰⎰ （10）即1111111()1p pk k p pk kd a a d a p a --++<-<- （11） 由（11），即得1111111()(1)p pk kp pk k a a a d p a --++<-<- 定理1的证明 由引理1可得111111()(1)p pk k pk a a a d p --++<-- （12）对（12）式的两边同时求和，得1111111111()(1)n n p pk k pk k k a a a d p ----+==+<--∑∑ 即111111111()(1)np pn ppk ka a aa d p --+=-<--∑ 故有111111111()(1)np pn p pk k a a a d p a --+=<-+-∑ 同理，由11111()(1)p pk kpk a a d p a --+-<- （13） 对式（13）的两边同时求和，可得到1111111()(1)n p pn p i ia a d p a --+=-<-∑故定理1得证。
引理1的证明中几何意义十分明显，参见下面的图2。
（图2）如果注意到函数1()pf x x =（0p >）是下凸函数，利用关于下凸函数图像的下列两条几何性质：性质1 任意两点间的弧段总在这两点连线的上方； 性质2 曲线总在它的任一切线的上方。
那么可以对引理1中的不等式（8）进一步精细化，得到定理2 设{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，0p >，1p ≠，1n >，则1111111111111()()2(1)2p p pk k k p p p pk k k k d a a a a p d p a a a ---+++++<-<--- （14） 证明 因为1()p f x x=（0p >）是下凸函数，由上述两条性质，得 11111()()()'()()()()()k k k k k k k k kf a f a f a f a x a f x f a x a a a +++++-+-<<+--即得111111111111()()p pp k k k k k p p p k k k k a a a x a x a a p x a a a -+++++---<<+-- （15）对（15）两端在1[,]k k a a +上积分，得（14）成立。
定理2证明的几何意义，可参考下面图3。
（图3）推论1 当0p >，1k ≥时，有111111111(1)[(1)][](1)(1)2(1)p p p p p p pk k k k p k k k ---++<+-<--+-+ 该结果显然比（4）式更为精细。
３ 应用例子例1【１】 试求1111231000,000x =++++的整数部分[]x ． 解 由（1）式，得1999210000012<<-x于是可以判断19981999x <<，故[]1998x =。
例2【１】 试求[50]x 的值，式中11110,00010,0011,000,000x =+++． 解 由命题1，可得18001800.02x <<所以[50]9000x =。
例3 设3331111232010x =++++ ，求不超过x 的最大整数[]x ． 解 对本问题，如果运用命题1或命题2将无法计算，我们运用定理1便会迎刃而解，201011pk x k ==∑（31=p ），令数列}{n a 的通项公式为n a n=，31=p ，2010=n ， 由定理1，可得11113311(20111)201011111133x --⎛⎫-<<-+ ⎪⎝⎭-- 即4.2384.237<<x所以[]238=x 。
例4 设3333222211112729312003s =++++，求s 的近似值（绝对误差不超过0.06）．解 记数列{}n a 是以271=a 为首项，公差2=d 的等差数列，那99411pk ks a ==∑，这里23p =，由定理1，得 22221111333323111(200527)(200327)222(1)2(1)2733s -----<<-+--即14.512s 14.454<<由绝对误差不超过0.06，而14.512-14.454=0.058<0.06，故s 可以取14.454到14.512任何一个数即可，不妨取s=14.49。
4 其它应用在文[6]中，作者给出了二次根式的一个不等式： 命题3【６】 设0,,0≥>y x p ,则y x p p y p x p +++≥+++ （16）当且仅当x=0或y=0时，（1）的等号成立。
原证比较简短，但我们更关心的是不等式（16）是如何得到的，换言之，这类不等式具有什么样的几何意义？考虑函数tx f 21)(=与yt t g +=21)(，x p t p +≤≤，则由()()t f t g ≤，得()()⎰⎰++≤xp pxp pdt t f dt t g即p x p y p y x p -+≤+-++ （17）由于不等式（16）与（17）等价，而不等式（17）具有鲜明的几何意义，它的左右两端分别代表两个曲边梯形的面积 （如图4）（图4）事实上，许多重要不等式都具有类似的几何意义，如不等式 x x xx<+<+)1ln(1 （0x >） （18） 就可以利用()⎰⎰⎰≤+≤+xxx dt dt t dt t 000211111（19） 来认识其几何意义。
由此可知，通过对一些简单的不等式积分，可能获得另一个不是十分明显的不等式。
下面例子选自《高等数学附册·学习辅导与习题选解》一书，我们将用利用定积分的几何直观方法进行新的证明，并改进其结果。
命题4【7】 设0p >，证明10111p pdx p x<<++⎰ （20） 文献[7]关于不等式（20）的证明思路是：1011111p p x dx p p =-=-++⎰111000(1)1111ppp p p dx x x dx dx x x x =-=-+++⎰⎰⎰而1p p p x x x≤+，故有11001p pp x dx x dx x <+⎰⎰，因此 1100111pppx x dx dx x -<-+⎰⎰由此可知（20）式左侧的不等式成立，至于（20）式右侧的不等式，那是显然的。
另证 因为1()1f x x=+（[0,1]x ∈）是下凸函数，函数()f x 在(0,1)点的切线方程为1y x =-，根据下凸函数的几何性质，有1111x x-<<+ （21） 当[0,1]x ∈，0p >时，有[0,1]p x ∈，将（21）中的x 换成p x ，得 1111p px x -<<+ （22） 再对（22）两端在[0,1]上积分，立得结论成立。