几何证明的思路与方法(一).

几何证明的思路与方法（一）

宝山区教师进修学院张波

图形与几何的学习，帮助我们认识了丰富多彩的几何图形、发展了我们的空间观念、增进了我们逻辑推理的意识与能力，并增强了运用这些知识认识世界与改造世界的能力。

学习几何离不开几何证明。几何学是适合培养我们逻辑思维能力的绝好资源。

但是，我们发现有不少学生害怕几何，害怕几何证明。原因之一是大家感到几何证明似乎找不到一种通用的方法，不同的问题常常需要不同的处理。

我们很容易掌握解方程，因为它们有着较为固定的处理程序。如解一个一元一次方程，我们只要按照“去分母、去括号、移项、合并、未知数的系数化为1”这样的步骤，就可以求出一元一次方程的解。

而几何问题的解决就很难形成这样的程序步骤，它常常需要我们根据具体的问题做出具体的分析，才能找到解决问题的路径和方法。

但这并不是说几何问题的解决没有规律。我们还是可以在实践与反思的基础上，整理、归纳出一些思考问题的一般次序，这样的思维序列可以指导我们面对几何问题如何去思考，进而找到解决问题的办法。

下面我们就来一起梳理处理几何证明问题时值得总结的思维角度与思维次序。

一、思路梳理：

我们都知道，证明题的结构基本上由“题设”和“结论”两部分组成，通常的表现形式是“已知------，求证------。”这里的“已知------”就是题设，或者称为条件，“求证------”就是结论。

拿到一个几何证明题，我们都是如何思考的呢？我们都思考什么？有哪些思考的角度？有没有一个思考的次序？

很多同学可能会说：“拿到一个几何证明题，我要先弄清楚已知条件。”

很好。那么，怎样算是弄清楚了已知条件呢？你都做些什么事情去帮助自己弄清楚已知条件？

同学们会说：“我会把已知条件在图上标记出来。”

这是一个不错的做法，在图上做标记。

事实上，图形是几何证明题的一个重要组成部分。几何问题离不开图形，如果一个几何问题没有相应的图形，我们首先要做的事情就是画一张符合条件的图形。

又有同学说：“我会思考条件的作用，由某些条件会推出些什么样的结论。”

这也是一个好的习惯，思考条件的可能作用。

大家还会说：“在清楚条件之后，我会从结论入手，进行分析。”

非常好！从结论入手，分析要证结论成立，需要证什么。

不同的结论形式，我们会有不同的想法。如“要证明线段相等，我们可能会想证明三角形全等、或者等角对等边、或者平行四边形对边相等，还有线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，或者通过等量代换等等，最近，我们有时还会利用比例式去证明线段相等。”

要证明某个结论成立，可能的路径、方法有很多种。我们又如何选择呢？

大家可能会说，这时要结合条件进行判断，也有的同学会说，要看图形，看图形的结构特点，直觉判断有怎样的可能，或者排除某些方法。

非常好！图形结构。这又是解决几何问题时，一个非常值得关注的部分。事实上，几何离不开图形，图形中蕴含着重要的信息。

对图形及其结构的整体感觉，我们可以称为“图感”。就像学习语言需要“语感”、学习音乐需要“乐感”一样，“图感”对几何学习也是非常重要的。我们在几何学习过程中，要有意识地去积累、丰富和不断完善我们的图形感觉。

比如，最近我们研究相似形有关内容时，就提炼和总结了许多的图形结构。在我们优化学习系列讲座的前面几讲中，老师们曾总结过如下的一些基本图形结构：

看到这些基本的图形结构，我们就会非常迅速地做出与之相应的反应。立即想到可能有怎样的线段成比例，或者某两个三角形相似。

小结：拿到一个几何证明题（事实上，几何计算等其它几何问题也基本如此），我们常常从条件、图形结构和结论等方面去加以思考。我们可以根据已知条件在图上适当做标记，并思考条件的可能作用；我们可以观察图形的结构特点，通过观察，获得一定的直觉判断（如某两条线段或某两个角可能相等、某两条直线可能平行或垂直、两个三角形可能全等或相似等等）；我们看问题的结论，分析要证明结论成立，需要证什么。事实上，结论本身也是重要的信息。

二、证明举例：

例1. 已知△ABC 中，AC AB =，D 是边BC 上一点，且2:1:=DC BD ，AD CE ⊥，垂足为点E ，联结BE 。求证：DAB DBE ∠=∠.

旋转型

A

D

相交线型

平行线型

A

【分析】看题目中的条件，作标记、思考条件的可能作用。 本题的条件似乎都较为明了，没有特别复杂的条件。

看结论（即要证明的目标），分析要证明结论成立， 需要证什么。

要证：DAB DBE ∠=∠，结合已知图形，我们应该 很容易发现一个熟悉的结构——“A ”型图。

于是，要证：DAB DBE ∠=∠，想证DBE ∆∽DAB ∆. 这两个三角形有一个公共角ADB BDE ∠=∠, 因此要么证明另一对角相等，要么证明夹边成比例。 结合已知条件，应该选择证明夹边成比例， 即想证明DA

DB DB DE =

，也就是想证明DA DE DB ⋅=2

. 要证

DA

DB DB DE =

（或DA DE DB ⋅=2

），我们的目光肯定会向图形的右侧转移。因为仅仅看上述的“A ”型图，所有条件都几乎派不上用场。

当我们的目光转移到右侧、重新审视整个图形时，我们可能做什么呢？ 【思路一】我们可能由2:1:=DC BD ，想到取DC 的中点F

然后会注意到△CDE 是直角三角形，F 是斜边中点， 因此联结EF .

这样一来，我们就有BD FC DF EF ===.

因此，比例式

DA

DB

DB DE =中的线段DB 就可以有 很多种方式进行替换。如：DA DF DF DE =、DA EF EF DE =或DA

FC

FC DE =等等， 然后，我们逐一地观察。我们大多会选择DA

DF

DF DE =

. B

A

D

E

C

A

E