01.4条件概率与概率的乘法公式
A
,为任意互不相容的事件。
设P(B) 0, 对A F,令PB (A) P(A | B), 易知(S, F, PB )是一个概率空间。
条件概率的常用性质：
P(B1 B2 A) P(B1 A) P(B2 A) P(B1B2 A)
P(B A) 1 P(B A)
P(B1 A) P((B1 B2) A) P(B1B2 A) P((B1 B2) A) P(B1 A) P(B1B2 A)
概率是多少?
解：设B:活到20或20岁以上; A:活到25岁以上
求P(A|B) AB
P( A | B) P( AB) P(B)
P( A | B) P( A) 0.4 0.5 P(B) 0.8
概率的乘法公式，有如下的推广结果。 设P(A1A2 An1B) 0，
则有
P(A1A2 An | B) P(A1 | B)P A2 BA1 P A3 BA1A2 P An BA1A2 An1 。
§1.４ 条件概率与 概率的乘法公式
条件概率的概念 在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率.
如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)。
例 投掷一颗均匀骰子，A={掷出点数大于3}，
B={掷出偶数点}，
求P(A|B)=？
3个一等 5个产品
2个二等
解 令 Ai 为第 i 次取到一等品
（1）取两次，两次都取得一等品的概率
P(A1A2) P(A1)P(A2
A1)
32 3 5 4 10
（2）取两次，第二次取得一等品的概率
P(A2 ) P(A1A2 A1A2 ) P(A1A2) P(A1A2)
记为 PB A，
P B A P(AB) 。
P( A)
条件概率也是概率函数， 它符合概率公理化的定义， 具有概率函数的性质：
非负性
P(B A) 0
规范性 可列可加性
其中B1，B2 ,
P( A) 1
P
i1
Bi
A
P
i1
Bi
213 1 5 4 3 10
例3 某人外出旅游两天，需要知道两天的天气 情况，据天气预报，第一天下雨的概率为
0.6, 第二天下雨的概率为0.3, 两天都下雨 的概率为0.1. 求 第一天下雨时，第二天不 下雨的概率
解 设A1, A2 分别表示第一天下雨与第二天下雨
P( A2
A1)
P( A1A2 ) P( A1 )
设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效
则已知 P A 0.92 PB 0.93
PB A 0.85
求 PAB
已知 P A 0.92 PB 0.93
PB A 0.85
求 PAB
解 由 PB A P(BA) P( A)
即 0.85 0.93 P(AB)
2332 3 54 54 5
（3）取两次，已知第二次取得一等品， 求第一次取得的是二等品的概率
P A1
A2
P( A1A2 ) P( A2 )
P( A2 ) P( A1A2 ) P( A2 )
1
3 10
1
3 5
2
（4）取三次，第三次才取得一等品的
概率 P( A1 A2 A3 ) P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2
P A B P(A B) P(A) P(B A)
P(A) 1 P(B A)
0.081 0.85 0.012
P(A B) 0.988
例５ 一类动物由出生起活到20或20岁以上的,
概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,现假设此
类动物中有一动物为20岁,问其活到25岁以上的
(假设生男,生女是等可能的.） 解：根据题意样本空间为
Ω={(男,男)(男,女)(女,男)(女,女)},
B={至少有一个女孩家庭} ={(男,女)(女,男)(女,女)},
A={另一个小孩也是女孩},
问题归结为求P( A | B)，
AB={至少有一个为女孩家庭中, 另一个小孩也是女孩} ={(女,女)}
概率的乘法公式
将
PB
A P(AB)
P( A)
变形，
即得
P(AB) P(A)PB A (P(A) 0)
P(AB) P(B)PA B (P(B) 0)
称为概率的乘法公式。
概率的乘法公式，有如下的推广结果。设P( A1A2 An1) 0，
则有
P( A1A2 An ) P(A1)P A2 A1 P A3 A1A2
于是所求概率为P(A | B) 1；
3 易知P(B) ３ ４，P( AB) １ ４；
成立P( A | B) 1 1/ 4 P( AB)。 3 3 / 4 P(B)
条件概率的定义
定义
设A、B为两事件,
P
(
A
)
>
0,
则称
P( AB) P( A)
为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率，
0.08
P(AB) 0.862
P(B) P( AB) 1 P( A)
故 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
0.92 0.93 0.862 0.988
已知 P A 0.92 PB 0.93
PB A 0.85
求 PAB
解法二
P( A1) P( A1A2 ) P( A1)
0.6 0.1 5
0.6
6
P( A2 ) 0.7
例4 为了防止意外，矿井内同时装有两种报警 设备 A 与 B , 已知设备 A 单独使用时有效 的概率为0.92 , 设备 B 单独使用时有效的 概率为0.93，在设备 A 失效的条件下，设 备B 有效的概率为0.85, 求发生意外时至少 有一个报警设备有效的概率。
A {4,5, 6}, B {2, 4, 6}
P(A|B)= 2/3.
易知P(B) ３，P( AB) 2；
6
6
掷骰子
成立P( A | B) 2 2 / 6 P( AB)。 3 3 / 6 P(B)
例 考虑有两个小孩的家庭,问其中至少有一个 女孩的家庭中, 另一小孩也是女孩的概率?
P(A) P( A) 0.8 2 B A
例2 一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，
2个二等品，从中不放回地取产品，每次
1个，
3个一等
5个产品
2个二等
求：（1）取两次，两次都取得一等品的概率 （2）取两次，第二次取得一等品的概率 （3）取两次，已知第二次取得一等品，求
第一次取得的是二等品的概率
（4）取三次，第三次才取得一等品的概率
P An A1A2 An1 。
例1
已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概 率为0.8, 能用到1500小时的概率为0.4 , 求已用 到1000小时的灯泡能用到1500小时的概率
解 令 A =灯泡能用到1000小时 B =灯泡能用到1500小时
所求概率为
P B A P(AB) P(B) 0.4 1
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条件概率和乘法公式
机器学习算法
朴素贝叶斯分类器
01
朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理的分类算法，它利用
条件概率和乘法公式来计算给定特征下类别的概率。
隐马尔可夫模型
02
隐马尔可夫模型是一种用于序列标注和预测的模型，它利用条
件概率和乘法公式来计算状态转移和观测的概率。
条件随机场
03
条件随机场是一种用于自然语言处理的模型，它利用条件概率
03
在学习和应用概率论的过程中，我们需要注重培养自己的逻辑思维和分析能力 。通过深入思考和探究概率论中的问题，我们可以提高自己的数学素养和解决 问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
THANKS
感谢观看
• 在学习条件概率和乘法公式的过程中，我们需要掌握相关的概念和公式，并能 够灵活运用它们解决实际问题。同时，我们还需要了解条件概率和乘法公式的 局限性和假设条件，以避免在实际应用中出现错误。
• 除了条件概率和乘法公式，概率论中还有许多其他重要的概念和公式，例如全 概率公式、贝叶斯公式、独立性等。这些概念和公式之间有着密切的联系和相 互影响，我们需要系统地学习和理解它们，以建立完整的概率论知识体系。
02
乘法公式及其应用
乘法公式的推导
01
定义
乘法公式描述了两个事件A和B同时发生的概率与事件A发生的概率和事
件B发生的概率之间的关系。
02 03
推导
乘法公式基于概率的独立性假设，即事件A的发生不影响事件B的发生， 反之亦然。因此，事件A和事件B同时发生的概率等于各自发生的概率 的乘积。
公式
$P(A cap B) = P(A) times P(B)$
展望Βιβλιοθήκη 01随着科技的不断发展，概率论在各个领域的应用越来越广泛。未来，条件概率 和乘法公式等概率论知识将更加受到重视和应用。
14条件概率和乘法公式
球的取法为 P31P41, 其中, 第二次取得白球的取法
有 P31P21 种, 所以
P(B | A)
P31 P21 P31 P41
1 2
.
例 2 袋中有 5 个球, 其中 3 个红球 2 个白球, 现
从袋中不放回地连取两个, 已知第一次取得红球 时, 求第二次取得白球的概率.
解法 1 也可以直接用公式 (1) 计算, 因为第一次取走了一 个红球, 袋中只剩下 4 个球, 其中有两个白球, 再 从中任取一个, 取得白球的概率为 2/4, 所以
解 设 A {能活20年以上}, B {能活25年以上}
所求为P(B | A). 依题意,有
P( A)
P( AB) P( A)
P(B) P( A)
0.4 0.8
0.5.
三. 乘法公式 乘法公式：
P( AB) P( A)P(B A) (P( A) 0) P(B)P( A B) (P(B) 0)
解 记 Ai 为事件“第i 次取到的是黑球”(i 1,2). (1) 在已知 A1 发生, 即第一次取到的是黑球的条件 下, 第二次取球就在剩下的 2 个黑球、7 个白球共 9 个球中任取一个, 根据古典概率计算, 即有
P( A2 | A1) 2 / 9.
解 (2) 在已知 A2 发生, 即第二次取到的是黑球的
一. 条件概率的定义 设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 ,
且Ｐ（A）＞０， 则
P(B | A) P( AB) P( A)
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 相应地，p(B)称为无条件概率．
条件概率 P(A|B)的样本空间
BA
BA
Sample space
P( AB)
概率论 条件概率、乘法公式与全概率公式
P( AB ) P( A | B) P( B)
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B就变成了新 的样本空间 , 于是 就有(1).
(1)
具体计算时，并不一定用到(1),可直接 从加入条件后的新的样本空间B去考虑.
故P( A) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A 2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
10 9 90 0 . 0083 100 99 98
A A1 A2 A3 .
1.4.3 概率基本公式
概率基本公式——全概率公式和贝叶斯公式. 主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实 质上是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用
条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0, 则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1; 2. P(Ω |B)=1； 3. 设A1, A2,…两两互斥，则
P(( A1 A2 ) | B)) P( A1 | B) P( A2 | B)
而且，前面对概率所证明的一切性质， 也都适用于条件概率.
1.4.2 乘法公式
P( AB) P( A | B) , P( B)
得
P(B)>0 (2)
P(AB)=P(B)P(A|B) P(A)>0
P( AB) P( B | A) , P( A)
得
P(AB)=P(A)P(B|A)
(3)
(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们 可计算两个事件同时发生的概率.
P( A i B) 故P( A i | B) P( B)
＝ P( A i ) P( B｜A i )
1.4(条件概率与乘法公式)
. P( A) 2
方法2[在缩减样本空间A中计算]
“第一次取一等品的两只”均为A所含样本点,共有
C C 12 ,其中两只均为一等品的为AB所含样本点,
1 3 1 4
1 1 共有C3 C2 6, 故由古典概率公式得: ■
P( B | A)
6 12
1 2
.
AB
A
S
1.4.1 条件概率
P(A B) P ( AB ) P(B)
(1.3)
不难看出，计算条件概率P(B|A)有两种方法：
在原样本空间 中分别求出P(A),P(AB),再 按定义公式计算； 在缩减样本空间A中按一般概率P(B)计算。
【例1】一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二
等品。从பைடு நூலகம்取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。
P ( Bi | A )
i1
P ( Bi A )
i1
所以,条件概率P(· A)也满足概率的所有其他性 | 质．
1.4.1 条件概率
例如:
( 4 ) P ( A1 A2 B ) P ( A1 B ) P ( A2 B ) P ( A1 A2 B );
( 5 ) P ( A B ) 1 P ( A B ).
(6 ) 可列可加性 的事件 , 则有 : 设 B1 , B 2 , , B n 是两两不相容
n P Bi A i1
n
P ( B i A ).
i1
1.4.1 条件概率
【例1.11】设某种动物从出生起活20岁以上的概率 为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一 个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．
3.第一章第四节条件概率与全概率公式
条件概率的性质
性质1
性质2
0 P( A | B) 1, P( | B) 1, P( | B) 0.
若A与B互不相容，则
P( A
性质3
B | C ) P ( A | C ) P ( B | C ).
P( A | B) 1 P( A | B).
概率的乘法公式： (1)当P(A)>0时，有P(AB)=P(A)P(B|A). (2)当P(B)>0时，有P(AB)=P(B)P(A|B). 乘法公式还可以推广到n个事件的情况：
定义1-3 设事件A1,A2,…,An满足如下两个条件： (1)A1,A2,…,An互不相容,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n; (2)A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An=Ω,即A1,A2,…,An至少有一个发 生,则称A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个划分. 全概率公式 设随机试验对应的样本空间为Ω,设A1,A2,…,An 是样本空间Ω的一个划分,B是任意一个事件,则
是任一事件,且P(B)>0,则
P ( Ai | B ) P ( Ai ) P ( B | Ai ) P( B) P ( Ai ) P ( B | Ai )
P ( A )P ( B | A )
k 1 k k
n
, i 1, 2, ..., n.
注：Bayes公式求的是条件概率.
例1-27 在例1-24的条件下,若第二次取到白球,求第一次取 到黑球的概率.
例1-22 盒中有5个白球2个黑球,连续不放回的在其中取3
次球,求第三次才取到黑球的概率. 解 设Ai(i=1,2,3)表示“第i次取到黑球”,于是所求概率为
5 4 2 4 P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) . 7 6 5 21
1.4条件概率和乘法公式
§1.4 条件概率
例：有一批产品100件，其中95件合格品，5件不合格 有一批产品100件 其中95件合格品， 100 95件合格品 在不合格品中， 件次品， 件废品。 品，在不合格品中，有2件次品，3件废品。 求： （1）所选出的一件产品是废品的概率。 所选出的一件产品是废品的概率。 （2）已知所选出的产品的是不合格品，则该产品 已知所选出的产品的是不合格品， 是废品的概率。 是废品的概率。 解：（1）3/100. ：（1 （2）3/5.
甲
乙
⇒
从甲袋放入乙袋的是白球” A1=“从甲袋放入乙袋的是白球”； 从甲袋放入乙袋的是白球 从甲袋放入乙袋的是红球” A2=“从甲袋放入乙袋的是红球”； 从甲袋放入乙袋的是红球 B=“从乙袋中任取一球是红球”； 从乙袋中任取一球是红球” 从乙袋中任取一球是红球 思考：上例中，若已知取到一个红球， 思考：上例中，若已知取到一个红球，则从 甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？ 甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？ 答:
= P ( A)P (B A) + P ( A)P (B A)
3 2 7 3 = × + × 10 9 10 9 3 = 10
四、全概率公式
AB AB
A
B
A
P( B) = P( AB + AB)
= P( AB) + P( AB)
= P ( A) P ( B | A) + P( A) P( B | A)
P( AB) P( B A) = P( A) P( AB) P( A B) = P( B)
推广
P ( ABC ) = P ( A) P ( B A) P (C | AB )
P ( A1 A2 ⋯ An ) = P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 ( A1 A2 )) ⋯ P ( An ( A1 A2 ⋯ An −1 ))
例：有一批产品100件，其中95件合格品，5件不合格 有一批产品100件 其中95件合格品， 100 95件合格品 在不合格品中， 件次品， 件废品。 品，在不合格品中，有2件次品，3件废品。 求： （1）所选出的一件产品是废品的概率。 所选出的一件产品是废品的概率。 （2）已知所选出的产品的是不合格品，则该产品 已知所选出的产品的是不合格品， 是废品的概率。 是废品的概率。 解：（1）3/100. ：（1 （2）3/5.
甲
乙
⇒
从甲袋放入乙袋的是白球” A1=“从甲袋放入乙袋的是白球”； 从甲袋放入乙袋的是白球 从甲袋放入乙袋的是红球” A2=“从甲袋放入乙袋的是红球”； 从甲袋放入乙袋的是红球 B=“从乙袋中任取一球是红球”； 从乙袋中任取一球是红球” 从乙袋中任取一球是红球 思考：上例中，若已知取到一个红球， 思考：上例中，若已知取到一个红球，则从 甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？ 甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？ 答:
= P ( A)P (B A) + P ( A)P (B A)
3 2 7 3 = × + × 10 9 10 9 3 = 10
四、全概率公式
AB AB
A
B
A
P( B) = P( AB + AB)
= P( AB) + P( AB)
= P ( A) P ( B | A) + P( A) P( B | A)
P( AB) P( B A) = P( A) P( AB) P( A B) = P( B)
推广
P ( ABC ) = P ( A) P ( B A) P (C | AB )
P ( A1 A2 ⋯ An ) = P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 ( A1 A2 )) ⋯ P ( An ( A1 A2 ⋯ An −1 ))
条件概率与概率的乘法公式
B {活到25岁}
显然， B A {现龄为 20岁的这种动物活到 25岁} 因为，“活到25岁”一定要“活过20岁”，所以
C ( A B)
AB
PC P( A B) P A PB 0.85
例3Байду номын сангаас
某人有5把钥匙，其中有一把是办公室门的,但他忘 了是哪一把,只好逐把试开(试完不放回),求三次内把 办公室门打开的概率
解: 设： Ai 恰好第 i次打开门
B 三次内把门打开
B A1 A2 A3
则
且
有 ：
A1 , A2 , A3
两两互不相容
1 p( A1 ) 5 4 1 1 p( A2 ) 5 4 5
4 3 1 1 p( A3 ) 5 4 3 5
P(B) P( A1 A2 A3 ) PA1 PA2 PA3 0.6
例6
某地区气象资料表明，邻近的甲乙两城市中的甲市全 年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为9%，两城市 中至少有一市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概率
：
（1）甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天 （2）在乙市为无雨的条件下，甲市也无雨
解 设
A {甲市为雨天 }
B {乙市为雨天 }
P( A) 0.12
固A 包含的基本事件数为:P P P 16 P( A) 125
1 1 1 4 4 1
16
由加法公式推论2可知:
16 109 P A 1 P( A) 1 125 125
注意在概率的计算问题中，有的直接运算比较困难 ，可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多。
条件概率、乘法公式和独立性
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载条件概率、乘法公式和独立性地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容§3．条件概率、乘法公式、独立性前面讲到随机事件时，说到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，如果除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。
但是在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A已经发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。
一．【例1】设箱中有100件同型产品。
其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂，30件(25件正品， 5件次品)来自乙厂。
现从中任取一件产品。
(1)求取得甲厂产品的概率；(2)求取得次品的概率；(3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。
分析：为了直观，我们将产品情况列成表上面的问题，可用古典概率计算法求得。
解：则（1）（2），，，（3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次品)中任取一件。
这时样本空间只含70个基本事件(是原的样本空间的一部分)。
由古典概率知：为了给出条件概率的数学定义，我们对{例1}的条件概率问题进行分析：即有二。
条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞0，则称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率,且【例 1】从带有自标号1， 2， 3，4，5，6的六个球中，任取两个，如果用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：【例】解；（ⅰ）∵ ，三．概率的乘法公式：乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。
条件概率和概率的乘法公式
一、全概率公式
例
一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回 地每次任取１只，连取２次，求第二次取到白球 的概率 A={第一次取到白球} ，且ＡＢ与 A B
解
因为 Ｂ＝ＡＢ∪ A B
互不相容，所以
P ( B ) P ( A B ) P ( A B )
P ( A ) P ( B A ) P ( A ) P ( B A )
P ( A B ) P ( B ) ( B A ) 0 . 8 所求概率为 P P ( A ) P ( A )
甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过
不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4
个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求
1）甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没
B 1 =“第一个是男孩”
于是得
B
1
={(男, 男) , (男 , 女) }
3 1 P B BA P A P 4 4 1 1 P B1 P B P A 1A 2 4
乘法法则
P(AB) P(A)P(B A) P(B)P(A B)
P( AB) P(B A) P( A) P( AB) P( A B) P(B)
解
设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四 等种子的事件分别是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，则它们构 成完备事件组，又设Ｂ表示任选一颗种子所结的穗含 有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：
4 i 1
P ( B ) P ( A P ( BA i) i)
＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05 ＝0.4825
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
概率论§1.4 条件概率及有关公式
由于附加了条件， 意义不同， 由于附加了条件，P(A)与 P(A|B)意义不同， 与 意义不同 一般情况下 P(A|B) ≠ P(A) . ？ 掷一颗均匀骰子，试求P(A|B)=？ 例1 掷一颗均匀骰子，试求 A={掷出 点}， ={掷出 B={掷出偶数点}. ={掷出偶数点 ={掷出2点 ={掷出偶数点} 解：掷一颗均匀骰子可能的结果有6 掷一颗均匀骰子可能的结果有6 可能的结果有 且它们的出现是等可能的。 种，且它们的出现是等可能的。 P(A)=1/6 由于已知事件B已经发生， 由于已知事件 已经发生，所 已经发生 以此时试验所有可能结果只有3种 以此时试验所有可能结果只有 种， 而事件A包含的基本事件只占其中 而事件 包含的基本事件只占其中 一种，故有P(A|B)=1/3 一种，故有 掷骰子
P(A| B) = 1 9
基于古典概型的分析: 基于古典概型的分析:
Ω: n个样本点 个样本点 B: m个样本点 个样本点 AB: k个样本点 个样本点 在B已发生的条件下,试验结果为 中的一个, 已发生的条件下, 中的一个, 已发生的条件下 试验结果为m中的一个 这时A发生当且仅当 中的某一样本点发生, 发生当且仅当AB中的某一样本点发生 这时 发生当且仅当 中的某一样本点发生, 故
0.1 1 P ( B | A) = = < P ( B ) = 0.3 0.6 6
而在例1掷骰子时 而在例 掷骰子时
1 1 P ( A | B ) = > P ( A) = 3 6
乘法公式
由条件概率
P ( AB ) P( A | B) = P( B) ( P ( B ) > 0)
得: P(AB)=P(B)P(A|B) 推广到一般情形中: 推广到一般情形中: 个事件A 满足件: 若n个事件 1, A2, …, An满足件:P(A1A2…Ak)>0 个事件 (k=1, 2, …, n−1), 则： − P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) … P(An|A1A2…An−1) −