安徽师范大学附属中学2020-2021学年高一第一学期期末考试数学试题及答案

2020-2021学年安徽师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1＜2x＜4}，Q＝{y|y＝2+sin x，x∈R}，那么P﹣Q＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜1} 2．已知x1＝，x2＝，＝log3x3，则（）A．x1＜x3＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x2＜x3D．x3＜x1＜x23．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为（）A．（1，）B．（，1）C．（，）D．（1，1）4．若sin x＜0，且sin（cos x）＞0，则角x是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角5．已知函数f（x）＝，则满足f（2x+1）＜f（3x﹣1）的实数x的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（，2）D．（1，2）6．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是（）A．2B．2C．4D．28．已知函数，若实数m∈（0，1），则函数g（x）＝f（x）﹣m 的零点个数为（）A．0B．1C．2D．39．已知函数f（x）＝，则f（x）的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．110．已知函数f（x）＝x+log3（9x+1），则使得f（x2﹣x+1）﹣1＜log310成立的x的取值范围是（）A．（0，）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，1）二、填空题（共5小题）.11．（4分）命题“∃x0∈R，log2x0+2＜0”的否定是．12．（4分）计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25＝．13．（4分）如图，直角△POB中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP 于A点．若圆弧等分△POB的面积，且∠AOB＝α弧度，则＝．14．（4分）设函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），若关于x的不等式0≤f（x）≤﹣x+6的解集为[2，3]∪{6}，则b﹣a＝．15．（4分）用M I表示函数y＝sin x在闭区间I上的最大值．若正数a满足M[0，a]≥M[a，2a]，则a的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．（8分）记函数的定义域为集合A，函数g（x）＝lg[（x﹣a+1）（x﹣a ﹣1）]的定义域为集合B．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．17．（8分）已知sin（）＝，且0，求sin（）﹣cos（+x）的值．18．（8分）已知函数f（x）＝log a（3﹣ax）．（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．19．（8分）我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全．如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起．根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R（x）万美元，且R（x）＝．当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元．（1）写出年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20．（8分）已知函数f（x）＝lg，f（1）＝0，当x＞0时，恒有f（x）﹣f（）＝lgx．（1）求f（x）的表达式及定义域；（2）若方程f（x）＝lgt有解，求实数t的取值范围；（3）若方程f（x）＝lg（8x+m）的解集为∅，求实数m的取值范围．21．（10分）已知函数f（x）＝2sin（x+）•cos x﹣1．（1）当x∈[﹣，]时，f2（x）﹣mf（x）﹣m≤0恒成立，求实数m的取值范围；（2）是否同时存在实数a和正整数n，使得函数g（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1＜2x＜4}，Q＝{y|y＝2+sin x，x∈R}，那么P﹣Q＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜1}解：P＝{x|0＜x＜2}，Q＝{y|1≤y≤3}；∴P﹣Q＝{x|0＜x＜1}．故选：D．2．已知x1＝，x2＝，＝log3x3，则（）A．x1＜x3＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x2＜x3D．x3＜x1＜x2解：∵＜，0＜＜20＝1，又由，得＞1，∴x1＜x2＜x3．故选：C．3．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为（）A．（1，）B．（，1）C．（，）D．（1，1）解：设P（x，y），由任意角的三角函数的定义得：sinα＝sin，则y＝1；cosα＝cos，则x＝1．∴点P的坐标为（1，1）．故选：D．4．若sin x＜0，且sin（cos x）＞0，则角x是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解：∵﹣1≤cos x≤1，且sin（cos x）＞0，∴0＜cos x≤1，又sin x＜0，∴角x为第四象限角，故选：D．5．已知函数f（x）＝，则满足f（2x+1）＜f（3x﹣1）的实数x的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（，2）D．（1，2）解：函数f（x）＝，可得f（x）在x≥1上单调递增，可得f（x）的最小值为1，由f（2x+1）＜f（3x﹣1）可得3x﹣1＞1，且3x﹣1＞2x+1，即有x＞且x＞2，则x＞2．故选：B．6．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．解：∵f（x）＝＝，∴f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，排除选项A，当x∈（0，）时，sin x＞0，cos x＞0，∴f（x）＞0，排除选项C，当x＝π时，f（π）＝＞0，排除选项B，故选：D．7．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是（）A．2B．2C．4D．2解：∵lg2x+lg8y＝lg2，∴lg（2x•8y）＝lg2，∴2x+3y＝2，∴x+3y＝1．∵x＞0，y＞0，∴＝＝2+＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．故选：C．8．已知函数，若实数m∈（0，1），则函数g（x）＝f（x）﹣m 的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3解：画出函数f（x）＝的图象，如图所示；由函数g（x）＝f（x）﹣m＝0，得出m＝f（x）；又m∈（0，1），则y＝m与y＝f（x）由3个交点，所以函数g（x）有3个零点．故选：D．9．已知函数f（x）＝，则f（x）的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1解：f（x）＝＝sin x+2+﹣4，令t＝sin x+2，t∈[1，3]，则y＝t+﹣4，由对勾函数的性质可知y＝t+﹣4在[1，2]上单调递减，在（2，3]上单调递增，当t＝1时，y＝1，t＝3时，y＝，所以函数f（x）的最大值为1．故选：D．10．已知函数f（x）＝x+log3（9x+1），则使得f（x2﹣x+1）﹣1＜log310成立的x的取值范围是（）A．（0，）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，1）解：因为f（x）＝x+log3（9x+1）在R上单调递增，由f（x2﹣x+1）﹣1＜log310成可得，f（x2﹣x+1）＜1+log310＝f（1），所以x2﹣x+1＜1，解得，0＜x＜1．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11．（4分）命题“∃x0∈R，log2x0+2＜0”的否定是∀x∈R，log2x+2≥0．解：命题“∃x0∈R，log2x0+2＜0”的否定是“∀x∈R，log2x+2≥0”．故答案为：∀x∈R，log2x+2≥0．12．（4分）计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25＝2．解：原式＝2 lg5+lg2•（1+lg5）+（lg2）2＝2 lg5+lg2（1+lg5+lg2）＝2 lg5+2 lg2＝2；故答案为2．13．（4分）如图，直角△POB中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP 于A点．若圆弧等分△POB的面积，且∠AOB＝α弧度，则＝．解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2，直角三角形POB中，PB＝r tanα，△POB的面积为r×r tanα，由题意得r×r tanα＝2×αr2，∴tanα＝2α，∴＝．故答案为：．14．（4分）设函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），若关于x的不等式0≤f（x）≤﹣x+6的解集为[2，3]∪{6}，则b﹣a＝27．解：函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），所以不等式0≤f（x）≤﹣x+6可化为，即，又该不等式组的解集为[2，3]∪{6}，所以3、6是x2+ax+b＝0的根，且2、6是方程x2+（a+1）x+b﹣6＝0的根，所以b＝3×6＝18，a＝﹣（3+6）＝﹣9，且b﹣6＝2×6＝12，即b＝18，a+1＝﹣（2+6）＝﹣8，即a＝﹣9；所以b﹣a＝18﹣（﹣9）＝27．故答案为：27．15．（4分）用M I表示函数y＝sin x在闭区间I上的最大值．若正数a满足M[0，a]≥M[a，2a]，则a的最大值为．．解：当a∈[0，]时，2a∈[0，π]，M[0，a]＝sin a，M[a，2a]＝1，由M[0，a]≥M[a，2a]，得sin a≥，此时不成立；当a∈[，π]时，2a∈[π，2π]，M[0，a]＝1，M[a，2a]＝sin a，由M[0，a]≥M[a，2a]，得1≥sin a，即sin a≤，所以≤a≤π；当a∈[π，]时，2a∈[2π，3π]，M[0，a]＝1，M[a，2a]＝sin2a或1，由M[0，a]≥M[a，2a]，得1≥sin2a，即sin2a≤且2a≤2π+，解得π≤a≤；当a∈[，+∞）时，2a∈[3π，+∞），M[0，a]＝1，M[a，2a]＝1，不合题意．综上，a得最大值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．（8分）记函数的定义域为集合A，函数g（x）＝lg[（x﹣a+1）（x﹣a ﹣1）]的定义域为集合B．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）由已知得：A＝{x|1﹣2x≥0}＝{x|2x≤1}＝{x|x≤0}（4分）（Ⅱ）由B＝{x|（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）＞0}＝{x|[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]＞0}（6分）∵a﹣1＜a+1∴B＝{x|x＜a﹣1或x＞a+1（8分）∵A⊆B，∴a﹣1＞0，∴a＞1（12分）17．（8分）已知sin（）＝，且0，求sin（）﹣cos（+x）的值．解：∵0＜x＜，∴﹣＜﹣x＜，∵已知sin（）＝，∴cos（）＝＝．且0，求sin（）﹣cos（+x）的∴sin（）﹣cos（+x）＝cos（﹣x）+cos（﹣x）＝2cos（﹣x）＝．18．（8分）已知函数f（x）＝log a（3﹣ax）．（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题设，3﹣ax＞0对一切x∈[0，2]恒成立，a＞0且a≠1，…（2分）∵a＞0，∴g（x）＝3﹣ax在[0，2]上为减函数，…（4分）从而g（2）＝3﹣2a＞0，∴，∴a的取值范围为．…（6分）（2）假设存在这样的实数a，由题设知f（1）＝1，即log a（3﹣a）＝1，∴，此时，…（10分）当x＝2时，f（x）没有意义，故这样的实数不存在．…（12分）19．（8分）我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全．如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起．根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R（x）万美元，且R（x）＝．当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元．（1）写出年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．解：（1）由题意可算出k＝6，则当0＜x≤40时，W＝xR（x）﹣（16x+40）＝﹣6x2+384x﹣40，当x＞40时，W＝xR（x）﹣（16x+40）＝﹣﹣16x+7360，∴W＝．（2）①当0＜x≤40时，W＝﹣6x2+384x﹣40＝﹣6（x﹣32）2+6104，∴当x＝32时，W max＝W（32）＝6104，②当x＞40时，W＝﹣﹣16x+7360＝﹣（+16x）+7360+7360＝5760，当且仅当即x＝50时，等号成立，即当x＝50时，W max＝5760，综上所述，当x＝32时，W取得最大值为6104万美元，即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元．20．（8分）已知函数f（x）＝lg，f（1）＝0，当x＞0时，恒有f（x）﹣f（）＝lgx．（1）求f（x）的表达式及定义域；（2）若方程f（x）＝lgt有解，求实数t的取值范围；（3）若方程f（x）＝lg（8x+m）的解集为∅，求实数m的取值范围．解：（1）∵当x＞0时，f（x）﹣f（）＝lgx．lg﹣lg＝lgx，即lg﹣lg＝lgx，即lg（•）＝lgx，•＝x．整理得（a﹣b）x2﹣（a﹣b）x＝0恒成立，∴a＝b，又f（1）＝0，即a+b＝2，从而a＝b＝1．∴f（x）＝lg，∵＞0，∴x＜﹣1，或x＞0，∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）（2）方程f（x）＝lgt有解，即lg＝lgt，∴t＝，∴x（2﹣t）＝t，∴x＝，∴＜﹣1，或＞0，解得t＞2，或0＜t＜2，∴实数t的取值范围（0，2）∪（2，+∞），（3）方程f（x）＝lg（8x+m）的解集为∅，∴lg＝lg（8x+m），∴＝8x+m，∴8x2+（6+m）x+m＝0，方程的解集为∅，故有两种情况：①方程8x2+（6+m）x+m＝0无解，即△＜0，得2＜m＜18，②方程8x2+（6+m）x+m＝0有解，两根均在[﹣1，0]内，g（x）＝8x2+（6+m）x+m则解得0≤m≤2综合①②得实数m的取值范围是0≤m＜18．21．（10分）已知函数f（x）＝2sin（x+）•cos x﹣1．（1）当x∈[﹣，]时，f2（x）﹣mf（x）﹣m≤0恒成立，求实数m的取值范围；（2）是否同时存在实数a和正整数n，使得函数g（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．解：（1）f（x）＝2sin（x+）•cos x﹣1＝2（sin x+cos x）cos x﹣1＝2sin x cos x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）．当x∈[﹣，]时，2x+∈[0，]，f（x）∈[0，]，要使f2（x）﹣mf（x）﹣m≤0恒成立，令t＝f（x），则t∈[0，]，h（t）＝t2﹣mt﹣m≤0对任意t∈[0，]恒成立，故，解得m≥2﹣2，∴实数m的取值范围为[2﹣2，+∞）．（2）假设同时存在实数a和正整数n，使得函数g（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2021个零点，即函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上恰有2021个交点，当x∈[0，π]时，2x+∈[，]，①当a＞或a＜﹣时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上无交点；②当a＝±时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，π]上仅有一个交点，要使函数y＝f （x）与直线y＝a在[0，nπ]上恰有20121个交点，则n＝2021；③当﹣＜a＜1或1＜a＜时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，π]上有两个交点，此时函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上有偶数个交点，不可能有2021个交点，不符合；④当a＝1时，函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，π]上有三个交点，要使函数y＝f（x）与直线y＝a在[0，nπ]上恰有2021个交点，则n＝1010；综上所述，存在实数a和正整数n满足条件：当a＝时，n＝2021，当a＝1时，n＝1010．。