2,2有理数与无理数
有理数和无理数的概念
有理数和无理数的概念在我们的数学世界中，有理数和无理数是两个非常重要的概念。
它们共同构成了实数的大家庭，为我们解决各种数学问题和描述现实世界中的数量关系提供了坚实的基础。
首先，让我们来聊聊有理数。
有理数，简单来说，就是可以表示为两个整数之比的数。
这里的两个整数，分母不能为零。
比如，整数 5可以写成 5/1，－3 可以写成－3/1，所以 5 和－3 都是有理数。
再比如分数 2/3、7/8 等等，也都是有理数。
小数中的有限小数和无限循环小数也属于有理数。
比如 025 可以写成 1/4，0333可以写成 1/3，这些都是有理数。
有理数在我们的日常生活中随处可见。
当我们去商店买东西，商品的价格通常是有理数。
比如一个苹果 25 元，这里的 25 可以写成 5/2。
在计算路程、时间和速度的关系时，所用到的数值也往往是有理数。
那无理数又是什么呢？无理数是指那些不能表示为两个整数之比的实数。
最常见的无理数就是圆周率π和自然对数的底数 e。
π约等于314159，它的小数部分是无限不循环的。
e 约等于 271828，其小数部分也是无限不循环的。
还有像根号 2 也是无理数。
我们来证明一下为什么根号 2 是无理数。
假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为两个整数 p 和 q 的比值，且 p 和 q 互质，即（p/q）＾2 ＝ 2，p^2 ＝ 2q^2。
这意味着 p^2 是偶数，因为奇数的平方还是奇数，所以 p 也是偶数。
设 p ＝ 2k，那么（2k）＾2 ＝ 2q^2，4k^2 ＝ 2q^2，2k^2 ＝ q^2，这又说明 q 也是偶数，与 p 和 q互质矛盾，所以根号 2 是无理数。
无理数的存在让数学变得更加丰富多彩。
在几何中，无理数经常出现。
比如一个正方形的对角线长度，如果边长为 1，那么对角线的长度就是根号 2。
有理数和无理数虽然有着不同的定义和性质，但它们在数学中都有着不可替代的作用。
有理数的运算规则相对简单和明确，我们在进行加减乘除等运算时，都有固定的方法和规律可循。
2.2：有理数与无理数
正整数
零
负整数 正分数
负分数 正整数
有理数 零 负有理数 负整数
正分数
正有理数
负分数
小数
｛无限 小数 无限 不循环 小数 ｛
如π 、0.1010010001 …
有限小数
无限 循环 小数
【注】有限小数和无限循环小数属于分数。
举例: 有限小数: _________________ -0.001 , 99.01 …… 3.1414 无限循环小数： ___________
正数集合：｛ 负数集合：｛ 有理数集合：｛ 无理数集合：｛
…｝； …｝； …｝； …｝。
1. 以下各正方形的边长不是有理数的是（ A.面积为25的正方形 C.面积为8的正方形
）。
B.面积为的正方形 D.面积为1.44的正方形
2.
3、判断下列说法是否正确，正确的填“√”，错误的填“×”。 (1)有理数可分为正有理数和负有理数两类. （ ） (2)有限小数都是有理数，无限小数都是无理数. （ ） (3)无理数是无限不循环小数，有理数是无限循环小数.（ ） (4)无理数的相反数仍是无理数. （ ） (5)任何分数一定是有理数. （ ）
π 无限不循环小数: ___________
有限 所有的分数都可以化成______小数， 无限循环 或者___________小数． 例: 1
= 0.5
7 11
2
=
0.6363636363
……
判断题： 1.所有的分数都可以化成小数. ( 对) 2.所有的小数也都可以化成分数.( 错 )
把下列各数填在相应的大括号内：
有理数与无理数
1、有理数：凡是能写成分数形式m/n（m、n是整数，
有理数与无理数
【有理数与无理数】无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数整数和分数统称为有理数数学上，有理数是两个整数的比，通常写作 a/b，这里 b 不为零。
分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为1的分数，当然亦是有理数。
数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作a/b，故又称作分数。
希腊文称为λογο?? ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。
不是有理数的实数遂称为无理数。
所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。
《有理数》概念、定义集合1、大于0的数叫做正数（positive）.2、小于0的数叫做负数（negative）.3、可以写成分数形式的数叫做有理数（rational number）.4、只有符号不同的两个数叫做互为相反数（opposite number）.5、数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolute value）.6、有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0.（3）一个数同0相加，仍得这个数.7、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.8、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0..9、乘积是1的两个数互为倒数.10、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.）11、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）.在an中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent），当an看作a 的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.12、有理数混合运算的运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减.（2）同级运算，从左到右进行.（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.13、把一个大于10的数表示成a×10n的形式（a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学计数法.有理数(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a 也不一定是正数；p不是有理数；(2)有理数的分类: ① 整数②分数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数 0和正整数；a＞0 a是正数；a＜0 a是负数；a≥0 a是正数或0 a是非负数；a≤ 0 ? a是负数或0 a是非正数.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数， .有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .。
七年级数学上册 2.2 有理数与无理数 有理数和无理数有
有理数和无理数有什么区别？
负数的出现，导致了减法运算，无理数的出现，导致了开方运算．引入了无理数，数的范围就由有理数扩展到了实数．对于实数的研究，必须先搞清有理数和无理数有什么区别．
主要区别有两点：
第一，把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，
比如4=4.0；41
0.8;0.3 53
==
……而无理数只能写成无限不循环小数，比如
1.4142, 3.1415926
=π=根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数．
第二，所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数却不能写成两个整数之比．根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫“比数”，把无理数改叫“非比数”．本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它太不理解罢了．
a
b
（a，b为自然数且互质）于是有a2=2b2,故a2是偶数。
现在来看当a2是偶数时，a是偶数还是奇数．
假设a是奇数，即a=2m+1(m是自然数)，则有
a2=(2m+1)2=4m2+4m+1
因为等式右边必为奇数，而a2是偶数，所以等式不可能成立．故a必为偶数．
设a=2m，代入a2=2b2时得到b2=2m2，故b2为偶数，因此b也是偶数。
既然a，b都是偶
数，
a
b
根据有理数与无理数的这些区别，也不用担心化分数
22
7
为小数时，它会不会是无限不循环小数。
因为一切可以写成
n
m
（n是整数，m是自然数）的数必是有理数。
1。
无理数与有理数的运算法则
无理数与有理数的运算法则
无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，例如π和√2；有
理数是指可以表示为两个整数的比值的数，例如1/2和-3/4。
无理数与有理数的运算法则如下：
1.无理数与有理数相加减：无理数与有理数相加减的结果是无理数。
例如：π + 2 = π + 2，√2 - 3/4 = √2 - 0.75。
2.无理数与无理数相加减：无理数之间相加减的结果仍为无理数。
例如：π + √2 = π + √2，π - √2 = π - √2。
3.无理数与有理数相乘：无理数与有理数相乘的结果是无理数。
例如：π× 2 = 2π，√2 × 3/4 = (3/4)√2。
4.无理数与无理数相乘：无理数之间相乘的结果仍为无理数。
例如：π×√2 = π√2，√2 ×√3 = √6。
5.无理数与有理数相除：无理数与有理数相除的结果是无理数。
例如：π÷ 2 = π/2，√2 ÷ 3/4 = (4/3)√2。
6.无理数与无理数相除：无理数之间相除的结果可能是有理数或无理数。
例如：π÷√2 = π/√2 = √2π，√2 ÷√3 = √(2/3)。
总之，无理数与有理数的运算结果仍为无理数，无理数之间的运算结果可能是有理数或无理数。
- 1 -。
七年级数学上册2.2有理数与无理数教案(新版)苏科版 (2)
有理数与无理数第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
有理数和无理数的概念
有理数和无理数的概念有理数和无理数，这两个概念听上去简单，但其实藏着不少趣味和奥秘。
生活中，我们常常用到有理数。
想想你买咖啡花了多少钱，或者你每天走多少步，这些都可以用有理数来表示。
有理数就是那些可以写成分数的数，像1/2、-3、0.75，都是它的成员。
其实，它们的本质是可以在数轴上找到的，既定且稳定。
再说无理数。
这个词听起来就有点神秘。
无理数指的是那些不能用简单的分数来表示的数字，比如圆周率π或者√2。
它们就像大海深处的宝藏，难以捉摸。
无理数的出现，让我们在数字的世界中，感受到了更多的深邃与复杂。
比如，√2的值是1.41421356……，这个小数是无限不循环的。
想想看，每次尝试去描述它，都显得那么无力，仿佛在追逐那永远无法到达的彼岸。
有理数与无理数之间的关系，就像是阳光与阴影。
有理数的规则性，让人倍感安心；而无理数的复杂性，则是对我们的思维挑战。
试想，如果没有无理数，很多数学理论都会变得简单得多。
比如，在几何学中，直角三角形的斜边长度常常涉及到无理数。
这种深度，恰恰是数学的魅力所在。
接下来，咱们可以深入探讨一下这两类数字的应用。
日常生活中，有理数常用于财务、测量等实际场景。
想象一下，你在超市购物，计算每种商品的价格，这一切都离不开有理数。
无理数的应用则更为抽象，常常出现在物理学、工程学等领域。
比如，建筑师在设计桥梁时，需要用到圆周率π来计算曲线的长度，这样的精准是无理数带来的奇妙效果。
有理数的定义，虽然简单，却能引发深刻的思考。
它的实用性让我们在生活中无处不在。
无理数的定义，则是让我们看到了数字的无穷可能性。
就像人类的智慧一样，有限的理性中，隐藏着无限的未知。
在数学史上，有理数和无理数的争论从古至今。
古希腊时期，毕达哥拉斯学派认为所有数都可以用分数来表示，这一观点支配了他们的思维。
直到他们发现了无理数的存在，整个数学界才被震撼了。
有人甚至认为，这是一种哲学上的颠覆，让我们重新审视了现实。
接下来，咱们聊聊如何识别有理数和无理数。
无理数与有理数的运算法则
无理数与有理数的运算法则
无理数和有理数是数学中两种不同的数。
有理数可以表示为两个整数的比例，而无理数则无法表示为有理数的比例。
在进行无理数和有理数的运算时，有以下法则：
1. 无理数和有理数相加减，结果为无理数。
例如，π+3=π+3，√2-4=√2-4。
2. 无理数和有理数相乘，结果为无理数。
例如，π×2=2π，√3×5=5√3。
3. 无理数和有理数相除，结果为无理数。
例如，π÷5=π/5，√5÷2=√5/2。
4. 无理数之间的加减乘除，结果为无理数。
例如，π+√2=π+√2，π×√2=π√2，π÷√2=π/√2。
5. 有理数之间的加减乘除，结果为有理数。
例如，2+3=5，4-2=2，2×3=6，6÷2=3。
在实际运用中，我们需要注意无理数和有理数的运算结果是否有实际意义，并根据需求进行适当的化简或精度控制。
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n 0
的形式.
无限不循环小数叫做无理数.
练一练
把下列各数分别填在相应的集合里：
12 , 6 , 3 . 14 , 0 . 222 , 521 120 , 0 , ,1 . 696696669
正数集合： 有理2011江苏无锡中考
请写出一个大于1且小于2的 无理数 .
2.2有理数与无理数
教学目标
1.理解有理数和无理数的意义 2.会判断一个数是有理数还是无理数
思考
1.什么叫做有理数？
我们把能够写出分数形式 的数叫做有理数.
m n
m , n 是整数，
n 0
思考
2.（1）你能把0.81、1.56化为分数形式吗？
（2）你能把0.666…、0.818181…化为分数形式吗？
聚焦导学案
既不是正数也不是整数的有理数是（ ） A.0和负分数 B.负分数 C.负整数和负分数 D.正整数和正分数 不小于－2.5而小于2.8的非负整数有（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
聚焦导学案
写出所有适合下列条件的数： （1）不大于3的正整数： （2）大于－3且不大于4的整数：
； .
反思感悟
1.我最大的收获是? 2.我对自己的表现感想是?
3.我与昨天相比有哪些进步? 4.你对本节课的学习还有哪些 困惑和建议?
（3）你能把0.1333…、0.3456456456…化为分数形式吗？
注意：1.实际上，有理数包括整数和分数两大类， 即整数和分数都是有理数 2.有限小数和循环小数都可以化为分数，所以它们都是有理数
将下列八个数填人它所在的数集里：
－18，3.1416，0，2004，π， 22 －0.1235，－96%,
√） （ ×）
（×）
（×）
3.没有最大的正整数也没有最大的负整数 （ ×）
4.0是最小的数
5.某数不是正数就是负数
探索
将两个边长为1的小正方形，沿图中红线剪开， 重新拼成一个大正方形它们的面积为2.
a
a
1
1
a
a 2
2
a
.
如果设大正方形的边长为a，那么 a是有理数吗？
事实上，a不能写成 n m , n 是整数， A是一个无限不循环小数.
7
正数集 负数集 整数集
正分数集
负分数集
有理数集
2,+7,
22 7
·· … ，0，0.715，3.142，
2003
我们不是负数 非负数
－2，－0.3，－51.6，0，－ 2004 ，… 非正数
－2，－3，－51，0，－2004，… 非正整数
●请写出不大于3的所有非负整数.
0，1，2，3.
判断
1.一个有理数不是整数就是分数 2.一个有理数不是正数就是负数 （