1.1.2.6用有理数估计无理数的大致范围
2021年初中数学课程标准
2021年初中数学课程标准初中数学课程标准（7~9年级）一、数与代数一）数与式1、有理数1.1 理解有理数的含义，能够用数轴上的点表示有理数，并且能够比较有理数的大小。
1.2 理解相反数和绝对值的含义，掌握求有理数相反数和绝对值的方法，知道a表示有理数的含义。
1.3 理解乘方的含义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单混合运算（以三步以内为主）。
1.4 理解有理数的运算律，能够运用运算律简化运算。
1.5 能够运用有理数的运算解决简单的问题。
2、实数2.1 理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能够用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
2.2 理解乘方与开方互为逆运算，能够用平方运算求百以内整数的平方根，能够用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根。
2.3 理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能够求实数的相反数和绝对值。
2.4 能够用有理数估计一个无理数的大致范围。
2.5 理解二次根式、最简二次根式的概念，理解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，能够用它们进行有关的简单四则运算。
3、代数式3.1 借助现实情境理解代数式，进一步理解用字母表示数的含义。
3.2 能够分析问题中的简单数量关系，并用代数式表示。
3.3 能够求代数式的值，能够根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并能代入具体的值进行运算。
4、整式与分式4.1 理解整数指数幂的含义和根本性质，能够用科学计数法表示数。
4.2 理解整式的概念，掌握合并同类型和去括号的方法，能够进行简单的整式加法和减法运算，能够进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）。
4.3 能够推导乘法公式：（a+b）（a-b）=a²-b²，（a±b）²=a²±2ab+b²，理解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。
4.4 理解分式和最简分式的概念，能够利用分式的根本性质进行约分和通分，能够进行简单的分式加、减、乘、除运算。
初中数学学段目标及各章节课标要求
初中数学学段目标及各章节课程标准要求目录第三学段目标 (2)七年级上册 (3)第一章有理数 (3)第二章整式的加减 (3)第三章一元一次方程 (3)第四章图形几何初步 (3)七年级下册 (4)第五章相交线与平行线 (4)第六章实数 (5)第七章平面直角坐标系 (5)第八章二元一次方程组 (5)第九章不等式与不等式组 (5)第十章数据的收集、整理与描述 (6)八年级上册 (6)第十一章三角形 (6)第十二章全等三角形 (6)第十三章轴对称 (7)第十四章整式乘法与因式分解 (7)第十五章分式 (7)八年级下册 (8)第十六章二次根式 (8)第十七章勾股定理 (8)第十八章平行四边形 (8)第十九章一次函数 (8)第二十章数据的分析 (9)九年级上册 (9)第二十一章一元二次方程 (9)第二十二章二次函数 (9)第二十三章旋转 (10)第二十四章圆 (10)第二十五章概率初步 (10)九年级下册 (11)第二十六章反比例函数 (11)第二十七章相似 (11)第二十八章锐角三角函数 (11)第二十九章投影与视图 (11)第三学段目标知识技能1．体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。
2．探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识投影与视图;探索并理解平面直角坐标系，能确定位置.3．体验数据收集、处理、分析和推断过程,理解抽样方法,体验用样本估计总体的过程;进一步认识随机现象,能计算一些简单事件的概率。
数学思考1．通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程,体会模型的思想，建立符号意识;在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
第三学段(7—9年级)数学课程标准与修订大纲知识点对照
第三学段（7—9年级）数学课程标准与修订大纲知识点对照一、数与式在本学段中，学生将学习实数、整式和分式、方程和方程组、不等式和不等式组、函数知识，探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，发展符号感，体会数学与现实生活的密切联系，增强应用意识，提高应用代数知识与方法解决问题的能力。
在教学中，应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经理从实践中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合作性的过程，应加强方程、不等式、函数等内容的联系，介绍有关代数问题的几何背景；应避免繁琐的运算。
说明: ①涂黑——表示与修订大纲比较，课程标准新增内容.②删除——表示与修订大纲比较，课程标准删除内容.③方框.具体目标1．数与式（1）有理数②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不包括字母）。
倒数。
③理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）。
④理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。
⑤能运用有理数的运算解决简单的问题。
⑥能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。
（2）实数①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
②了解开方与乘方互为方根逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
③了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应。
④能用有理数估计一个无理数的大致范围。
⑤了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值。
⑥了解二次根式的概念及加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）。
最简二次根式，同类二次根式，积与商的方根的运算性质，字母二次根式的讨论和运算。
（3）代数式①在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义。
估算无理数的大小
估算无理数的大小在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方。
一般情况下从1到达20整数的平方都应牢记。
例：估算的取值范围。
解：因为1＜3＜4，所以＜＜，即：1＜＜2如果想估算的更精确一些，比如说想精确到0.1．可以这样考虑：因为17的平方是289，18的平方是324，所以1.7的平方是2.89，1.8的平方是3.24．因为2.89＜3＜3.24，所以＜＜，所以1.7＜＜1.8。
如果需要估算的数比较大，可以找几个比较接近的数值验证一下。
比较无理数大小的几种方法：比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。
一、直接法直接利用数的大小来进行比较。
①、同是正数:例: 与3的比较根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。
因为3=>,所以3>②、同是负数:根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。
③、一正一负:正数大于一切负数。
二、隐含条件法:根据二次根式定义，挖掘隐含条件。
例:比较与的大小。
因为成立所以a-2≧0即a≧2所以1-a≦-1所以≧0，≦-1所以>三、同次根式下比较被开方数法: 例:比较4与5大小因为四、作差法:若a-b>0,则a>b例：比较3-与-2的大小因为3---2=3--+2=5-2<=2.5所以：5-2>0即3->-2五、作商法:a>0,b>0,若>1,则a>b例：比较与的大小因为÷=×=<1所以：<六、找中间量法要证明a>b,可找中间量c，转证a>c,c>b例:比较与的大小因为>1,1>所以>七、平方法:a>0,b>0,若a2>b2,则a>b。
例:比较与的大小()2=5+2+11=16+2 ()2=6+2+10=16+2所以:<八、倒数法:九、有理化法:可分母有理化，也可分子有理化。
2014年河北中考《数学考试说明》数与式部分详解及配套中考题
一、数与式（一）有理数考试要求1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小．2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值，知道｜a｜的含义（a表示有理数）并解决简单的化简计算问题，会用有理数表示具有相反意义的量，掌握相反数的性质．3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）．4．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算．5．能运用有理数的运算解决简单的问题．6．能对含有较大数的信息作出合理的解释和推断．（二）实数考试要求1．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根和立方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算及计算器求某些非负数的平方根，会用立方运算及计算器求某些数的立方根．3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，会求无理数的相反数和绝对值．4．能用有理数估计一个无理数的大致范围．5．了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能按问题的要求对结果取近似值．6．了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化），会确定二次根式有意义的条件．（三）代数式考试要求1．理解用字母表示数的意义．2．能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示．3．能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义．4．会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的数值进行计算．能通过代数式的适当变形求代数式的值，能根据代数式的值或特征推断代数式反应的规律.（四）整式与分式考试要求1．了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数．2．了解整式的概念，理解单项式的系数和次数，多项式的次数、项和项数的概念，明确他们之间的关系，会进行简单的整式加、减运算和乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）．能合理运用整式加、减运算构造多项式,进一步解决问题.3．会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何背景，并能进行简单的计算，能根据需要进行相应的变形．4．会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）．能运用因式分解的知识进行代数式的变形，从而解决有关问题．5．了解分式的概念，会确定分式有意义的条件，掌握分式的基本性质，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算，能灵活运用恰当的方法解决与分式有关的问题．(1)“数与代数”领域，删除了一些内容:①对“大数”的认识与应用——“能对含有较大数字的信息作出合理的解释与推断”(实验稿P31)②对有效数字的要求——“了解有效数字的概念”（实验稿P32）(2）新增加的内容▲“数与代数”中既有必学的内容，也有选学的内容①知道｜a｜的含义（这里a表示有理数）②最简二次根式和最简分式的概念③能进行简单的整式乘法运算中增加了一次式与二次式相乘近几年考试题目实数1.下列各数中，为负数的是（）1A．0 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．22.计算30的结果是( )A．3 B．30 C．1 D．03.计算 3³(-2) 的结果是( ）A ．5B 。
估算无理数大小的方法
估算无理数大小的方法
一。
估算无理数大小可是数学里挺重要的一招。
这就好比咱在黑暗里找路，得有个大致的方向。
1.1 先来说说啥是无理数。
像圆周率π、根号 2 这些没法写成两个整数之比的数，就是无理数。
1.2 为啥要估算它们大小呢？比如说，您要盖房子，得知道材料够不够，这时候就得大概知道无理数的大小。
二。
那咋估算呢？有几个法子。
2.1 找临近的整数。
比如说根号 5，因为 2 的平方是 4，3 的平方是 9，所以根号 5 就在 2 和 3 之间。
2.2 利用平方。
还拿根号 5 举例，咱可以算算 2.2 的平方，2.3 的平方，慢慢逼近，就能更准确地估算。
2.3 跟常见的无理数比较。
像知道根号 2 约等于 1.414，那要是有个无理数比根号 2 大，那肯定比 1.414 大。
三。
估算的时候得注意些事儿。
3.1 别马虎，一步算错，后面全错，那可就“差之毫厘，谬以千里”啦。
3.2 多练，熟能生巧嘛，练得多了，估算起来就又快又准。
学会估算无理数大小，就像手里多了把利器，解决数学问题的时候，那叫一个得心应手！。
利用考试命题双向细目表提高中考复习的针对性
b
反比例函数 （6）能根据一次函数的图角求二元一次议程组的近似解 b
反比例函数 （7）能用一次函数解决实际问题
c
反比例函数 25、反比例函数
反比例函数 （1）体会反比例函数的意义
b
二次函数 （2）能根据已知条件确定反比例函数表达式
c
二次函数 （3）能画反比例函数的图象
b
二次函数
（4）根据图象和解析表达式y=k/x（k≠0）探索并理解其 性质（k＞0或k＜0时，图象的变化情况）
a
（6）知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知 直线
a
（7）会用三角尺或量角器过一点画一条直线的 垂线
b
（8）了解线段垂直平分线及其性质[2]
a
30、平行线
（1）知道两直线平行，同位角相等
a
（2）探索平行线的性质
c
（3）知道过直线外一点有且仅有一条直线平等 于已知直线
a
（4）会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这 条直线的平行线
（1）了角正多边形的概念
a
（2）探索并了解多边形的内角和与外角和公式
c
36、特殊四边形
（1）掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 的概念
b
四边形
（2）掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 的性质
c
四边形 四边形 四边形 四边形 四边形 四边形 四边形 四边形
四边形
（3）了解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 之间的关系
c
二次函数 （5）能用反比例函数解决实际问题
c
二次函数 26、二次函数
二次函数 （1）体会二次函数的意义
b
二次函数 （2）通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式 c
新人教版数学七年级下册第六章《实数》全章教案
5．144的算术平方根是多少？怎样用符号表示？
学生活动：独立思考1、2答案，提出疑难问题。
给学生充足的时间和空间，理解和感知算术平方根概念，通过讨论、交流，提出问题
师
生
互
动
归
纳
新
知
问题1：你能叙述算术平方根的概念吗？
一般地：如果一个正数 的平方等于a，即 =a，那么这个正数 叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数。
年级
七年级
课题
6.1平方根(2)
课型
新授
教
学
目
标
知识
技能
1．用有理数估计无理数的大致范围，并初步体验“无限不循环小数”的含义．
2．用计算器求一个非负数的算术平方根．
过程
方法
通过用计算器求值及近似值计算，提高学生的运算能力和动手能力；
情感
态度
通过利用计算器求值体验现代科技产品迅速、精确的功能，激发学习的兴趣。
问题（四）
两种运算有什么不同？
问：前四个是什么运算？后面的又是什么运算？
教师板书：求一个数a的平方根的运算，叫开平方，其中a叫被开方数.。
学生思考，小组讨论，个别回答
问题是知识能力生长点，通过富有实际意义的问题，激发学生原有认知，促使学生主动地进行探索和思考，让他们体会数学的韵味.。
尝
试
应
用
问题（五）
（2）0的平方根和算术平方根都是0。
区别
（1）定义不同：
“如果一个数 的平方等于a，那么这个数 叫做a的平方根”，
“如果一个正数x的平方等于a,即 ,那么这个正数x叫做a的算术平方根”。
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1. (2011 安徽省) 设1a =，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是
A ．1和2 Ｂ．2和3 Ｃ．3和4 Ｄ．4和5
答案：C
2. (2011 江苏省徐州市) 的值（ ）
Ａ．在2到3之间 B ．在3到4之间 C ．在4到5之间 D ．在5到6之间
答案：B
3. (2011 安徽省芜湖市) 已知a 、b 为两个连续的整数，且a b <
<，则a b += ．
答案：11
4. (2011 辽宁省本溪市) ）
A ．2
B ．4
C ．15
D ．16
答案：B
5. (2011 辽宁省大连市) ）
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5
答案：B
6. (2011 福建省泉州市) 比较大小：>”或“<”号填空）．
答案：>；
7. (2011 山东省威海市) 在实数0，2-中，最小的是（ ）
A ．2-
B ．
C ．0 D
答案：A
8. (2011 广西贺州市) 在22-__________.
答案：2
9. (2011 四川省凉州市) 已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5且
21amn bn +=，则2a b += 。
答案：
52
10. (2011 广西柳州市) 在0，2-，3 ）
A ．0
B ．2-
C ．3 D
答案：B
11. (2011 天津市) ）
（Ａ）1到2之间 （Ｂ）2到3之间 （Ｃ）3到4之间 （Ｄ）4到5之间
答案：C
12. (2011 贵州省六盘水市) 一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数________与________之间．
答案：4与5或5与4
13. (2011 贵州省遵义市) a 、b 均为正整数，且a >b <则a b +的最小值．．．是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
答案：B
14. (2011 河北省)
π-40，，这四个数中，最大的数是 ．
答案：π
15. (2011 贵州省黔南州) 估计20的算术平方根的大小在（ ）
A ．2与3之间
B ．3与4之间
C ．4与5之间
D ．5与6之间
答案：C。