有理数和无理数
有理数和无理数的区别是什么？
有理数和无理数的区别是什么？
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有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。
有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
简单来讲，能够用分数表达的数就是有理数，不能用分数表达的
数就是无理数。
有理数是整数和分数的统称，正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因此有理数的数集可分为正有理数、负有理数和零。
无理数，也称为无限不循环小数。
简单来说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、根号2等。
有理数的性质是一个整数a和一个正整数b的比，例如3比8，通常为a比b。
无理数的性质是由整数的比率或分数构成的数字。
有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法4种运算均可进行。
而无理数是指实数范围内，不能表示成两个整数之比的数。
有理数与无理数
【有理数与无理数】无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数整数和分数统称为有理数数学上，有理数是两个整数的比，通常写作 a/b，这里 b 不为零。
分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为1的分数，当然亦是有理数。
数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作a/b，故又称作分数。
希腊文称为λογο?? ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。
不是有理数的实数遂称为无理数。
所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。
《有理数》概念、定义集合1、大于0的数叫做正数（positive）.2、小于0的数叫做负数（negative）.3、可以写成分数形式的数叫做有理数（rational number）.4、只有符号不同的两个数叫做互为相反数（opposite number）.5、数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolute value）.6、有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0.（3）一个数同0相加，仍得这个数.7、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.8、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0..9、乘积是1的两个数互为倒数.10、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.）11、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）.在an中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent），当an看作a 的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.12、有理数混合运算的运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减.（2）同级运算，从左到右进行.（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.13、把一个大于10的数表示成a×10n的形式（a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学计数法.有理数(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a 也不一定是正数；p不是有理数；(2)有理数的分类: ① 整数②分数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数 0和正整数；a＞0 a是正数；a＜0 a是负数；a≥0 a是正数或0 a是非负数；a≤ 0 ? a是负数或0 a是非正数.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数， .有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .。
有理数与无理数
有理数与无理数是数学中两种基本的数类型，它们在性质和运算上有很大的区别。
了解有理数与无理数的概念、性质和运算规则，对于学习高等数学和其他数学分支具有重要意义。
一、有理数1. 定义：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，即形如a/b（a、b为整数，且b≠0）的数。
有理数包括正整数、负整数、零和分数。
2. 性质：（1）加减法：两个有理数相加或相减，结果仍为有理数。
（2）乘除法：两个有理数相乘或相除，结果仍为有理数。
（3）倒数：一个非零有理数的倒数仍为有理数。
（4）绝对值：一个有理数的绝对值仍为有理数。
（5）有理数的四则运算满足交换律、结合律和分配律。
3. 运算规则：（1）加法：同号相加，异号相减，结果的符号与绝对值大的数相同；零与任何数相加，结果仍为零。
（2）减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（3）乘法：分配律、交换律和结合律。
（4）除法：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数；零除以任何非零数，结果仍为零。
二、无理数1. 定义：无理数是不能表示为两个整数的比值的实数，即不能表示为有限小数或无限循环小数的实数。
无理数包括圆周率π、2的平方根等。
2. 性质：（1）无理数不能表示为两个整数的比值，即不能表示为分数形式。
（2）无理数不能表示为有限小数或无限循环小数。
（3）无理数的长度无法用有限的数字表示。
（4）无理数的四则运算结果仍为无理数。
3. 运算规则：（1）加法和减法：无理数的加法和减法遵循有理数的加法和减法规则，但结果可能是无理数。
（2）乘法和除法：无理数的乘法和除法遵循有理数的乘法和除法规则，但结果可能是无理数。
（3）无理数之间不能进行比较大小的关系，因为它们的长度无法用有限的数字表示。
三、有理数与无理数的关系1. 有理数是无理数的一部分，但不是全部。
因为无理数还包括那些无法用有理数表示的实数，如√2等。
2. 有理数与无理数统称为实数。
实数是数学中最基本的概念之一，它包括了所有的有理数和无理数。
有理数与无理数的认识与比较
有理数与无理数的认识与比较在我们探索数学的奇妙世界时，有理数和无理数是两个重要的概念。
它们如同数学王国中的两位“居民”，各自有着独特的特点和性质。
让我们一起来揭开它们神秘的面纱，深入认识并比较一下有理数和无理数。
首先，我们来聊聊有理数。
有理数，简单来说，就是可以表示为两个整数之比的数。
这包括整数、有限小数和无限循环小数。
比如说，5 是一个整数，它当然是有理数；025 可以写成 1/4，也是有理数；而像0333 这样的无限循环小数，它可以表示为 1/3，同样属于有理数的范畴。
有理数在我们的日常生活中无处不在。
当我们去购物计算价格、分配物品、计算时间等，用到的大多是有理数。
比如，一个苹果3 元钱，这就是一个有理数的价格表示。
有理数的运算规则相对简单且明确，我们在小学和初中阶段就已经熟练掌握了有理数的加、减、乘、除运算。
接下来，让我们把目光转向无理数。
无理数，是那些不能表示为两个整数之比的数，也就是无限不循环小数。
最著名的无理数当属圆周率π和自然常数 e 了。
π的值约为 31415926 ，它的小数部分无限且不循环；e 的值约为 271828 ，也是如此。
无理数的出现，让数学的世界更加丰富多彩。
在几何中，比如计算正方形的对角线长度，如果边长为 1，那么对角线的长度就是√2 ，这就是一个无理数。
那么，有理数和无理数有哪些不同呢？从表现形式上看，有理数要么是整数，要么是有限小数，要么是无限循环小数；而无理数则是无限不循环小数。
在数量上，有理数是可数的，也就是说我们可以按照一定的顺序把有理数一个一个地列举出来；而无理数是不可数的，它们的数量远远多于有理数。
从运算性质来看，有理数的四则运算结果仍然是有理数，但无理数的四则运算结果就不一定了。
例如，√2 乘以√2 等于 2 ，是有理数；但√2 加√2 等于2√2 ，还是无理数。
在数轴上，有理数和无理数密密麻麻地分布着，共同构成了实数的集合。
有理数可以准确地在数轴上找到对应的点，而无理数也能在数轴上找到对应的位置，只不过其表示往往更加复杂。
无理数与有理数的差异与联系
无理数与有理数的差异与联系在数学中，我们经常会遇到无理数和有理数这两个概念。
无理数和有理数在数轴上分布不均，有着明显的差异。
然而，它们之间也存在着联系和相互补充的关系。
本文将探讨无理数和有理数的差异与联系。
一、无理数的定义和特点无理数是指不能表示为两个整数之间的比值的数。
它们的十进制表示是无限不循环的小数。
无理数的定义最早可以追溯到古希腊数学家毕达哥拉斯提出的“无法用整数表示的数”。
以π（圆周率）和√2（根号2）为例，它们都是无理数。
1.1 π的无理性π是一个代表圆周长与直径之比的数学常数，其十进制表示为3.1415926535……。
π是一个无理数，这意味着无法用两个整数的比值来精确表示π的值。
无论我们取多少位小数，都无法找到一个有限的数字序列来准确表示π。
1.2 √2的无理性√2是一个代表平方根的数学符号，表示一个数的平方等于2。
然而，√2也是一个无理数。
我们无法找到两个整数的比值来精确表示√2的值。
√2的十进制表示为1.4142135623……，这个小数是无限不循环的。
二、有理数的定义和特点有理数是可以表示为两个整数之间的比值的数。
有理数的十进制表示可以是有限小数或循环小数。
有理数包括整数、分数和小数。
以2、-3/4和0.6为例，它们都是有理数。
2.1 整数的有理性整数是没有小数部分的数。
整数可以表示为分母为1的分数，因此整数是有理数。
例如，2和-5都是整数，也是有理数。
2.2 分数的有理性分数是两个整数的比值，其中分母不为零。
分数可以表示为有限小数或循环小数。
例如，-3/4可以写为-0.75，是一个有限小数，因此是有理数。
2.3 小数的有理性小数是可以写成有限小数或循环小数的数。
例如，0.6可以写为3/5，是一个有限小数，因此是有理数。
三、无理数与有理数的差异3.1 表示形式的差异无理数和有理数在数轴上的表示形式存在明显的差异。
有理数可以表示为两个整数之间的比值，因此它们在数轴上的位置是有限的。
【数学知识点】有理数和无理数的定义及区别
【数学知识点】有理数和无理数的定义及区
别
有理数为整数和分数的统称, 不是有理数的实数称为无理数。
接下来给大家分享有理数和无理数的定义及区别。
有理数是指整数(正整数、0、负整数)和分数的统称, 有理数是整数和分数的集合。
正整数和正分数合称为正有理数, 负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
有理数a,b的大小顺序的规定: 如果a-b是正有理数, 则称当a大于b或b小于a, 记作a>b或b<a。
任何两个不相等的有理数都可以比较大小。
无理数, 也称为无限不循环小数, 不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式, 小数点之后的数字有无限多个, 并且不会循环。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e(其中后两者均为超越数)等。
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
简单的说, 无理数就是10进制下的无限不循环小数, 如圆周率等。
(1)性质的区别:
有理数是两个整数的比, 总能写成整数、有限小数或无限循环小数。
无理数不能写成两个整数之比, 是无限不循环小数。
(2)结构的区别:
有理数是整数和分数的统称。
无理数是所有不是有理数的实数。
(3)范围区别:
有理数集是整数集的扩张, 在有理数集内, 加法、减法、乘法、除法(除数不为零)4种运算均可进行。
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
感谢您的阅读, 祝您生活愉快。
【数学知识点】有理数和无理数的定义及分类
【数学知识点】有理数和无理数的定义及分类有理数为整数和分数的统称，不是有理数的实数称为无理数。
接下来给大家分享有理数和无理数的定义及分类。
有理数是指整数(正整数、0、负整数)和分数的统称，有理数是整数和分数的集合。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
有理数a,b的大小顺序的规定：如果a-b是正有理数，则称当a大于b或b小于a，记作a>b或b<a。
任何两个不相等的有理数都可以比较大小。
(一)按有理数的定义分类：(1)整数：整数就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。
整数包括正整数、0、负整数。
其中零和正整数统称自然数。
(2)分数：分数是一个整数a和一个正整数b的不等于整数的比。
分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。
(二)按有理数的性质分类:(1)正有理数：除了负数、0、无理数的数字都是正有理数。
正有理数还被分为正整数和正分数。
(2)0：0是介于-1和1之间的整数，是最小的自然数，也是有理数。
(3)负有理数：负有理数指小于0的有理数，就是小于零并能用小数表示的数。
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e(其中后两者均为超越数)等。
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率等。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
有理数和无理数区别是什么
有理数和无理数区别是什么
01
有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。
有理
数的小数部分是有限或为无限循环的数。
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
简单来讲，能够用分数表达的数就是有理数，不能
用分数表达的数就是无理数。
实数（R）可以分为有理数（Q）和无理数，其中无理数就是无限不循
环小数，有理数就是有限小数和无限循环小数；其中有理数又可以分为整
数（Z）和分数；整数按照能否被2整除又可以分为奇数（不能被2整除
的整数）和偶数（能被2整除的整数）。
有理数（Q）
有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
正整数和正分
数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数
可分为正有理数、负有理数和零。
由于任何一个整数或分数都可以化为十
进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。
比如4=4.0,4/5=0.8。
无理数（R-Q）
无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小
数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有
非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。
二者区别
简单来讲，能够用分数表达的数就是有理数，不能用分数表达的数就是无理数。
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1.7320
3.14159265
无限不循环小数
无限不循环小数叫无理数
有理数和无理数 统称为 实数
归纳
实数的分类 (二分法)
整数 有理数
实 数 无理数
有限小数或 无限循环小数
分数
无限不循环小数
无理数也有正负之分
2
3
3 π是正无理数
3
2
3
-π是负无理数
正 无 理 数
3.6 3.6
1 2 3 4
有理数都可以用数轴上的点表示
探究 直径为1个单位长度的圆从原点沿
数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点 到达O′，点O′的坐标是多少？
o0
1
OO′= π
3 O′ 4 O′的坐标是 π
2
无理数π可以用数轴上的点表示
以单位长度为边长画一个正方形，以 原点为圆心，正方形对角线为半径画弧， 与正半轴的交点表示什么？
实数与数轴上的点是一一对应的
数a的相反数是-a
无理数常见的3种典型:
3 1 、带根号的（指开方开不尽的数）： 2 ， 2 3+1 ， 9
(3)、无限不循环小数：0.101001000„(两个 “1”之间依次多一个0)
1 4， 3+ 含有自然底数e的数 2 、含有的数： ，
巩固 1、下列命题错误的是( A )
B C DE 2
随堂练习
一、判断： (完成导学案练习里源自判断题) ） ）1.实数不是有理数就是无理数。（ 2.无理数都是无限不循环小数。（ 3.无理数都是无限小数。（ ） 4.带根号的数都是无理数。（ × ） 5.无理数一定都带根号。（ × ） 6.两个无理数之和一定是无理数。（
）
把下列各数填入相应的集合内： 3 9 3 5 64 0 . 6 4 0 3 9 0.13 （1）有理数集合：{ 9 64 0. 6 3 3 0.13 ｝ 4 3 （2）无理数集合：{ 3 ｝ 9
无 限 循 环 小 数
11 0.12 9
9 1 0.8 11 5 0 .5 9
任何一个有理数都可写成有限小数和无 限循环小数的形式. 有限小数和无限循环小数都是有理数
探究 把下列各数写成小数的形式：
2 1.4142
3
3 1.442
3
5 1.710 3 2 . 2360 7 1.913 5
5
（3）整数集合：{
9
（4）分数集合：{ 0. 6
9
3
3 4
5
64 0.13
3 ｝ ｝
3
（5）实数集合：{
64
3 0. 6 4
9 3 0.13
小结 1、本节课你学了什么知识? 有限小数或 有理数 实数的定义 无限循环小数 无理数 无限不循环小数 实数的分类 (二分法、三分法)
2
2
无理数 ±
2
可以在数轴上表示
归纳总结
1、每一个有理 数都可以用数 轴上的点表示
2、每一个无 理数都可以用 数轴上的点表 示； 每一个实数都 可用数轴上的 点来表示； 数轴上的每一 个点都表示一 个实数；
一 上实 一 的数 对 点与 应 是数 的 轴
的相反数是 ； 0 的相反数是 0 ； 2 2 0 0
复习
你认识下列各数吗？
9 3 3 5 11 有理数分类：
正整数 整数 零 有 负整数 理 数 正分数 分数 负分数
5
0.875 0
正整数 正数
有 正分数 理 零 数 负整数 负数 负分数
引入 把下列各数写成小数的形式：
3 3.0
有 限 小 数
47 5.875 8 3 0.6 5
A.有最小的正数 B.没有最大的有理数 C.有绝对值最小的数 D.正分数既是有理数又是实数 2、下列结论正确的是( D ) A.无限小数是无理数 B.有理数都可以表示成分数形式 C.无理数都是带根号的数 D.无理数都是无限不循环小数
引入 在数轴上表示下列各数：
1 2 0 3 1 2 0 3
-3 -2 -1 0
数 0 实 正
实 数
实 数 的 分 类 （ 三 分 法 ）
3、把下列各数分别填在相应的集合中：
3.1415926 3 1.732 25 16 0.3 36 3 3.1415926 7 … 25 1.732 0.3 36 … 16
有理数集合
无理数集合
7
2 的相反数是 2 ；
a的相反数是-a 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.
例1、(1)求 3 64 的绝对值; (2)已知一个数的绝对值是 3 ， 求这个数。 2、请将数轴上是各点与下列实数对应 起来：
2 1.5
A -3 -2 -1 0
5
1
3
3 4