有理数与无理数的判定
有理数和无理数的概念
有理数和无理数的概念在我们的数学世界中，有理数和无理数是两个非常基础且重要的概念。
它们就像是数学大厦的基石，支撑着整个数学体系的构建和发展。
首先，让我们来聊聊有理数。
有理数，简单来说，就是可以表示为两个整数之比的数。
这里的两个整数，分母不能为零哦。
比如说，整数 5 可以写成 5/1，所以 5 是有理数；再比如 05 可以写成 1/2，所以 05 也是有理数。
负数也不例外，－3 可以写成－3/1，所以－3 同样是有理数。
有理数包括正有理数、负有理数和零。
正有理数就是那些大于零的有理数，像 1、2、3 以及 1/2、2/3 等等；负有理数则是小于零的有理数，比如－1、－2、－1/2 等；而零，它既不是正数也不是负数，但属于有理数。
有理数在我们的日常生活中无处不在。
比如，去商店买东西时的价格，大部分都是有理数。
如果苹果一斤 5 元，那 5 就是一个有理数。
我们计算路程和时间的关系，速度等于路程除以时间，得到的结果也往往是有理数。
那无理数又是什么呢？无理数，是指那些不能表示为两个整数之比的实数。
比较常见的无理数有圆周率π，约等于 31415926 ；还有自然对数的底数 e，约等于 271828 ；以及根号 2 ，约等于 141421356无理数的存在让数学变得更加丰富多彩，也更加神秘。
以根号 2 为例，我们来看看它为什么是无理数。
假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为两个整数之比 p/q ，其中 p 和 q 互质（也就是最大公约数为1）。
那么有√2 ＝ p/q ，两边平方得到 2 ＝ p²/q²，即 p²＝ 2q²。
这意味着 p²是偶数，那么 p 也必然是偶数（因为奇数的平方还是奇数）。
设 p ＝ 2k （k 是整数），代入上式得到 4k²＝ 2q²，即 2k²＝ q²，这又说明 q 也是偶数。
但 p 和 q 都是偶数，这与它们互质矛盾，所以假设不成立，根号 2 不是有理数，而是无理数。
无理数的性质及与有理数的比较
无理数的性质及与有理数的比较在数学领域，有理数和无理数是两个重要的概念。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能用有限的小数或分数表示。
本文将探讨无理数的性质，并与有理数进行比较。
首先，无理数的定义是不能表示为有限小数或分数的数。
最著名的无理数是圆周率π，它的小数表示是无限不循环的。
这意味着π的小数部分永远不会重复。
类似地，根号2也是一个无理数，它不能表示为两个整数的比值。
无理数的这种特性使其在数学中具有重要的地位。
其次，无理数与有理数在数轴上的分布也有所不同。
有理数可以在数轴上找到一个精确的位置，而无理数则是无限不可数的。
这意味着在任何两个有理数之间，都存在无穷多个无理数。
例如，在数轴上的任意两个有理数之间，总能找到一个无理数。
这种无限性使得无理数在数学中具有广泛的应用。
此外，无理数还具有一些特殊的运算性质。
例如，无理数的加法、减法和乘法仍然是无理数。
这意味着两个无理数的和、差或积仍然是无理数。
然而，无理数的除法则可能是有理数。
例如，根号2除以根号2等于1，这是一个有理数。
这种运算性质使得无理数与有理数之间的关系更加复杂。
此外，无理数还具有一些有趣的性质。
例如，无理数的平方是无理数。
这意味着如果一个数是无理数，那么它的平方也是无理数。
这可以通过反证法证明。
假设一个数的平方是有理数，那么这个数本身就是有理数，这与无理数的定义相矛盾。
因此，无理数的平方必然是无理数。
最后，无理数与有理数之间存在一种特殊的关系，即无理数可以通过有理数的逼近来近似表示。
例如，我们可以用有理数来逼近根号2，使得它们的差尽可能地小。
这种逼近方法被广泛应用于实际问题的求解中。
通过有理数的逼近，我们可以获得无理数的近似值，从而更好地理解无理数的性质。
综上所述，无理数具有许多独特的性质，使其在数学中具有重要的地位。
与有理数相比，无理数在数轴上的分布更为广泛，运算性质更为复杂。
无理数的平方是无理数，但它们可以通过有理数的逼近来近似表示。
2.2：有理数与无理数
正整数
零
负整数 正分数
负分数 正整数
有理数 零 负有理数 负整数
正分数
正有理数
负分数
小数
｛无限 小数 无限 不循环 小数 ｛
如π 、0.1010010001 …
有限小数
无限 循环 小数
【注】有限小数和无限循环小数属于分数。
举例: 有限小数: _________________ -0.001 , 99.01 …… 3.1414 无限循环小数： ___________
正数集合：｛ 负数集合：｛ 有理数集合：｛ 无理数集合：｛
…｝； …｝； …｝； …｝。
1. 以下各正方形的边长不是有理数的是（ A.面积为25的正方形 C.面积为8的正方形
）。
B.面积为的正方形 D.面积为1.44的正方形
2.
3、判断下列说法是否正确，正确的填“√”，错误的填“×”。 (1)有理数可分为正有理数和负有理数两类. （ ） (2)有限小数都是有理数，无限小数都是无理数. （ ） (3)无理数是无限不循环小数，有理数是无限循环小数.（ ） (4)无理数的相反数仍是无理数. （ ） (5)任何分数一定是有理数. （ ）
π 无限不循环小数: ___________
有限 所有的分数都可以化成______小数， 无限循环 或者___________小数． 例: 1
= 0.5
7 11
2
=
0.6363636363
……
判断题： 1.所有的分数都可以化成小数. ( 对) 2.所有的小数也都可以化成分数.( 错 )
把下列各数填在相应的大括号内：
有理数与无理数
1、有理数：凡是能写成分数形式m/n（m、n是整数，
有理数与无理数
【有理数与无理数】无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数整数和分数统称为有理数数学上，有理数是两个整数的比，通常写作 a/b，这里 b 不为零。
分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为1的分数，当然亦是有理数。
数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作a/b，故又称作分数。
希腊文称为λογο?? ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。
不是有理数的实数遂称为无理数。
所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。
《有理数》概念、定义集合1、大于0的数叫做正数（positive）.2、小于0的数叫做负数（negative）.3、可以写成分数形式的数叫做有理数（rational number）.4、只有符号不同的两个数叫做互为相反数（opposite number）.5、数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolute value）.6、有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0.（3）一个数同0相加，仍得这个数.7、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.8、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0..9、乘积是1的两个数互为倒数.10、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.）11、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）.在an中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent），当an看作a 的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.12、有理数混合运算的运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减.（2）同级运算，从左到右进行.（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.13、把一个大于10的数表示成a×10n的形式（a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学计数法.有理数(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a 也不一定是正数；p不是有理数；(2)有理数的分类: ① 整数②分数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数 0和正整数；a＞0 a是正数；a＜0 a是负数；a≥0 a是正数或0 a是非负数；a≤ 0 ? a是负数或0 a是非正数.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数， .有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .。
有理数与无理数
有理数与无理数是数学中两种基本的数类型，它们在性质和运算上有很大的区别。
了解有理数与无理数的概念、性质和运算规则，对于学习高等数学和其他数学分支具有重要意义。
一、有理数1. 定义：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，即形如a/b（a、b为整数，且b≠0）的数。
有理数包括正整数、负整数、零和分数。
2. 性质：（1）加减法：两个有理数相加或相减，结果仍为有理数。
（2）乘除法：两个有理数相乘或相除，结果仍为有理数。
（3）倒数：一个非零有理数的倒数仍为有理数。
（4）绝对值：一个有理数的绝对值仍为有理数。
（5）有理数的四则运算满足交换律、结合律和分配律。
3. 运算规则：（1）加法：同号相加，异号相减，结果的符号与绝对值大的数相同；零与任何数相加，结果仍为零。
（2）减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（3）乘法：分配律、交换律和结合律。
（4）除法：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数；零除以任何非零数，结果仍为零。
二、无理数1. 定义：无理数是不能表示为两个整数的比值的实数，即不能表示为有限小数或无限循环小数的实数。
无理数包括圆周率π、2的平方根等。
2. 性质：（1）无理数不能表示为两个整数的比值，即不能表示为分数形式。
（2）无理数不能表示为有限小数或无限循环小数。
（3）无理数的长度无法用有限的数字表示。
（4）无理数的四则运算结果仍为无理数。
3. 运算规则：（1）加法和减法：无理数的加法和减法遵循有理数的加法和减法规则，但结果可能是无理数。
（2）乘法和除法：无理数的乘法和除法遵循有理数的乘法和除法规则，但结果可能是无理数。
（3）无理数之间不能进行比较大小的关系，因为它们的长度无法用有限的数字表示。
三、有理数与无理数的关系1. 有理数是无理数的一部分，但不是全部。
因为无理数还包括那些无法用有理数表示的实数，如√2等。
2. 有理数与无理数统称为实数。
实数是数学中最基本的概念之一，它包括了所有的有理数和无理数。
有理数,无理数,实数的区别
有理数,无理数,实数的区别
实数（R）可以分为有理数（Q）和无理数，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就是有限小数和无限循环小数；其中有理数又可以分为整数（Z）和分数；整数按照能否被2整除又可以分为奇数（不能被2整除的整数）和偶数（能被2整除的整数）。
1
1、性质不同
有理数：有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
实数：实数是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
2、所属不同
有理数：有理数属于实数，有理数包括正整数、0、负整数，又包括正整数和正分数，负整数和负分数。
实数：实属包括有理数，实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。
2
1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3、互为相反数的两数相加得0。
4、一个数同0相加仍得这个数。
5、互为相反数的两个数，可以先相加。
6、符号相同的数可以先相加。
7、分母相同的数可以先相加。
8、几个数相加能得整数的可以先相加。
七年级数学下重点概念整理(实数)
一、无理数
1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.判断方法 （1）根据定义判断 （2）整数和分数统称为有理数，整数可以看作是分母为 1 的分数，有理数都可以写成分 数的形工，而无理数则不能写成分数的形式。
3.无理数都是无限小数，但无限小数不定是无理数。 4.判断一个数是不是无理数时，不要把分数化成小数再判断。 二、实数
1.定义：有理数和无理数统称为实数。 2.分类： （1）根据定义分: 实数 有理数 整数 正整数：1，2，3------
0 负整数：-1，-2，-3-----分数 正整数
有限小数或无限不循环小数
负整数
无理数 正无理数 无限不循环小数
负无理数
（2）根据正负之分： 实数 正实数 正有理数
正无理数
0 负实数 负有理数
每一个点都表示一个实数。
2.实数的大小比较 （1）数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 （2）正实数大于 0，负实数小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值 大的反而小。
四、实数的有关概念及运算
6.1 实数
1.相反数 如果 a 表示任何一个实数，那么-a 就是 a 的相反数，a 与-a 互为相反数； 0 的相反数是 0. 2.绝对值 一个正实数的绝对值是它本身； 一个负实数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0.
系 任何一个有理数，在数轴上都有一个唯一确定的点与之对应，但是，数轴上的点并不是
都表示有理数，无理数也可以用数轴上的点表示。由此可见，数轴上表示有理数的点并
不是连续的，只有将有理数、无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以实数与数轴上
的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的
有理数与无理数辨析
有理数与无理数辨析四川省邻水县九龙中学 任贤德 2006.8在初中，我们已学过实数的有关概念，实数包括有理数和无理数。
很多同学对于有理数和无理数概念的理解较模糊，对学习造成一定影响，甚至到了高中，也存在这种现象。
为此，有必要对此进行辨析。
有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，如：218、18.25、1..6等。
我们可将整数、有限小数的小数位后面添加0，把它看成是以0为循环节的无限循环小数，如：218=218..0 ，18.25=18.25.0，在此观点下，有理数就可看成是无限循环小数。
而有理数又可化为分数，整数可看成是分母为1的分数，如：218=218/1，有限小数化成分数，先去掉小数点得到的数作为分子，若小数点后的位数有n 位,则分母就为n 10，如18.25=1825/100=73/4，无限循环小数可化为分数（其化法见后），如：1..6=4/3，所以有理数都可表示成分数，即表示成q/p(其中p 、q 是整数，且p 、q 互质)。
分数化小数时，若除不尽，则得到的小数一定是无限循环小数，因此分数与小数可以互化。
与此相对，无理数就是无限不循环的小数，如：2、3、π=3.1415926……、e=2.71828……、0.101001000……。
有人说无理数就是开方开不尽的数，这种理解是片面的，当然开方开不尽的数是无理数，但如π=3.1415926……、e=2.71828……并不是因为开方开不尽而得到的数，又如0.101001000……，1的后面依次多一个0，也不是因为开方开不尽而得到的数，所以前面对于无理数的理解是错误的，必须纠正。
下面再来谈谈有关的几个问题：1．（混）循环小数化为分数（此法证明须用到无穷递缩等比数列，证明较繁，故略去）（1） 无限循环小数化分数无限循环小数化分数时，其分母为9···90···0,其中9的个数为一个循环节的数字个数，0的个数为循环节前、小数点后0的个数，其分子为一个循环节的数字。