(专题)有理数与无理数的计算

XX教育学科教师辅导讲义

组长签字：

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二、课前自主学习

检查上次作业，让学生讲解错题，知识反馈。

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三、知识梳理+经典例题

课题1.有理数的加减乘除混合运算(30min.)

考点一：有理数的加法 1．有理数的加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数。

2．有理数加法的运算律：（1）加法交换律：a b b a +=+；（2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++。 点拨：灵活运用运算律的几条规则：①“相反数结合法”―互为相反数的两个数先相加；②“同号结合法” ―符号相同的两个数相加；③“同分母结合法”―分母相同的数先相加；④“凑整法”―几个数相加得到整数，先相加；⑤“同形结合法”―整数与整数，小数与小数相加。 考点二：有理数的减法

1．有理数减法的意义：有理数减法的意义与小学学过的减法意义相同。已知两个数的和与其中一个加数，求另一个数的运算叫做减法。减法是加法的逆运算。 2．有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 考点三：有理数的乘法 1．有理数的乘法法则：

（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘都得零。

（2）几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

（4）已知a 的相反数是123，b 的相反数是-21

2，求代数式32a b a b +-的值．

例2.计算：（1）4123

3(4)(5)(7)9234

---+--+

(2) )5

3

(143)3161(611-÷?-?

（3）（－36）×［+（）］

（4）（－2）×（）×（）×.

(5) (－521－251)÷33

2.

（6）125.0]3

2

4)65()21()83[(75.3-+---+--

例3.计算(1) ×(－)×(－) (2)(－)×(－)×0×

(3)(51－31)×(51+31)÷51×(－31) （4）()3135127822322??????

-÷-+?-+÷- ? ? ???????

（5）（-1117）×15+（+51

7

）×15+（-13713）÷5+（+11313）÷5

9

2

-125-183-721-212-9

7

5462510713247163

4

课题二实数（40min.）一．实数的分类

例4（1）(新疆中考)下列各数中，属于无理数的是( )

A. 3 B．－2 C．0 D.1 3

（2)(常德中考改编)下列各数：1

3

，π，

3

8，0，3，其中无理数的个数是( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

(3)有六个数：0.142 7，(－0.5)3，3.141 6，22

7

，－2π，0.102 002 000 2……，若无理数的个数为

x，整数的个数为y，非负数的个数为z，求x＋y＋z的值．

二.平方根的概念和性质

例5(1)(通辽中考)4的算术平方根是( )

A．－2 B．±2 C. 2 D．2

(2)若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a－b的值为( )

A．－2 B．±5 C．5 D．－5

(3)－27的立方根与81的平方根之和是________．

(4)若|a－2|＋b－3＋(c－4)2＝0，则a－b＋c＝________.

三、估算无理数的大小

例6(1)(杭州模拟)如图，数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点表示的数与4

－2

6最接近？( )

A．A B．B C．C D．D

(2)下列无理数中，在－2与1之间的是( )

A．－ 5 B．－ 3 C. 3 D. 5 (3)设a＝19－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是( )

A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 四、实数的概念和意义

例7(1）(福州中考)a的相反数是( )

A．|a| B.1

a

C．－a D. a

（2) (广安中考)实数a在数轴上的位置如图所示，则|a－1|＝________．

(3)如图，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和3，若点A关于B点的对称为点C，则点C所对应的实数为( )

A．23－1 B．1＋ 3 C．2＋ 3 D．23＋1

(4)计算：||

3－π＝________．

五、二次根式有意义的条件

例8(1）(随州中考)若代数式

1

x－1

＋x有意义，则实数x的取值范围是( )

A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1

【方法归纳】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，有时需要注意二次根式是否位于分母．(2)若3－m为二次根式，则m的取值范围是( )

A．m≤3 B．m＜3 C．m≥3 D．m＞3

(3)式子

x

2－x

有意义的x的取值范围是________．

六、二次根式的运算

例9.(1)计算：(－3)0－8＋|1－2|＋3(2－3)．

(2)计算41

2

＋3

1

3

－8的结果是( )

A.3＋ 2

B. 3

C.

3

3

D.3－ 2 (3）(泰安中考)化简：3(2－3)－24－|6－3|

例10.(1) (2). (3).

(4) （5）6×6-5; （6）

323

;6

? （7）()()1616-+

； （8）

2

327

3

+. （9）；

（10） 5322-? （11）12－ 3

1 （12）6)334(?-

（13）(6－215)×3－61

2

；

课题三、二元一次方程组的解法（25min.)

5312-?2

36?)75)(57(+-2

)62(+3231-+-二元一次方程组的解法

加减法

代入法

消元

一、知识概要

1.代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另外一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫代入消元法，简称代入法；

2.加减法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

例11（1） 若方程组???-=+=+3223432m y x y x 的解满足51

=

+y x ，则m = .

（2）如果方程组3,

5x ax by =??

+=?的解与方程组4,2y bx ay =??+=?的解相同,则a 、b 的值是( ) A. 12a b =-??=? B. 12a b =??=? C. 12a b =??=-? D. 1

2a b =-??=-?

（3）函数y ＝ax 与函数y ＝2

3x ＋b 的图象如图所示，则关于x 、y 的方程组???ax －y ＝03y －2x ＝3b 的解是

________．

（4）如果一次函数图象经过A 、B 两点(如图)，则该一次函数的表达式为y ＝________．

（5）已知代数式－3x

m －1

y 3

与52

x n y m ＋n

是同类项，那么m 、n 的值分别是( )

A.???m ＝2n ＝－1

B.???m ＝－2n ＝－1

C.???m ＝2n ＝1

D.???m ＝－2n ＝1

例12．若关于x ，y 的方程组???2x －y ＝m ，x ＋my ＝n 的解是???x ＝2，

y ＝1，则||m －n 的值为( )

A ．1

B ．3

C ．5

D ．2 例13.计算

来

25302510x y x y +=??-=-?

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三、随堂练(15min.)

一、选择题

1.81的算术平方根是( )

A ．9

B ．±9

C ．±3

D ．3 2．如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是( )

A ．a ＋b>0

B ．ab>0

C ．a －b>0 D.||a －||b >0 3．下列各式计算正确的是( ) A.3a ·a ＝3a B.a ·

1

a

＝a ·1

a

＝1 C.8a 9＝4a 3

D.m （m －3）＝m ·m －3

??

?=-=-05316

35y x y x ??

?=+=-10235y x y x ??

?=-=-2

4352y x y x ???=-=+23435

53y x y x ??

?=-=+5

74973y x y x

4．若20n 表示整数，则满足条件的最小正整数n 为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5．已知x ＝2＋1，则代数式x ＋1

x －1

的值为( )

A.2＋1

B.2＋2 C ．3 D.2－1

6．如图所示，数轴上表示2和5的对应点分别为C 和B ，若点C 是AB 的中点，则点A 表示的数是( )

A ．－ 5

B ．2－ 5

C ．4－ 5 D.5－2 7．已知a 、b 为两个连续整数，且a ＜7＜b ，则a ＋b 的值为( )

A ．1

B ．5

C ．6

D ．无法确定 8．已知m 为正整数，且2＜m ＜3，则满足此条件的所有m 值的和为( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．27 二、填空题

9．若x －3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________．

10．新定义一种运算“@”，其运算法则为：x@y ＝xy ＋4，则(2@6)@8＝________. 11．已知一个正数的两个平方根分别为2m －6和3＋m ，则(－m)2 016的值为________． 12．若||x －5＋(y ＋15)2＋z －1＝0，则3

xyz ＝________．

三、解答题

13． 计算下列各题： (1)1925； (2)3－210

27

；

(3)81＋3

－27＋16900； (4)－3－191

125

×

25

36

.

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四、归纳总结

1.通过本堂课的学习我收获了什么？在知识点标题上画“√”

2.我还有哪些没有解决的困惑？在知识点标题上画“×”

课后作业(40min.)

1.．已知3x a ＋

b y a

－b

与2x a ＋

1y 是同类项，那么（ ）

A ．a ＝4,b ＝2

B ．a ＝2,b ＝1

C ．a ＝3,b ＝2

D ．a ＝0,b ＝－1 2．若0173)5(2

=--+-+y x y x ，则x 、y 的值分别为（ ）

A ．7，7

B ．8，－3

C ．8，3

D ．以上结论都不对 3. 下列运算正确的是（ ）

A ．（5-）2=-5

B ．（-5）2=-5

C ．-2(5)-=5

D ．2

(5)-=5

4. 要使有意义，则x 应满足（ ） A ．≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠ C ．＜x ＜3 D ．＜x ≤3

5. 若则 ．

6. 计算：=+-3)23(2

.

7. 若为实数，且，则的值为 ．

1

21

3-+

-x x 2121212

1

()2

2340a b c -+-+-=，=+-c b a x y ，220x y ++-=2009

x y ??

?

??