数学人教版八年级上册探究线段间的数量关系
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题(含答案) (44)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题（含答案)如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC CD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，12MAN BAD ∠=∠．（1）如图（1），将MAN ∠绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图（2），将MAN ∠绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图（3），将MAN ∠绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的反向延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．【答案】（1）详见解析；（2）MN BM DN =-，证明见解析；（3）MN DN BM =-.【解析】 【分析】（1）延长MB 到G ，使BG DN =，连接AG ，易证ABG ≌ADN △，可得AG AN =，BG DN =，∠=∠NAD BAG ，再根据12MAN BAD ∠=∠，可得∠=∠MAG MAN ，易证AMG ≌AMN ，等量代换可得MN BM DN =+.（2）在BM 上截取BG ，使BG DN =，连接AG ，易证ADN △≌ABG ，可得AN AG =，NAD GAB ∠=∠，所以12MAN NAD BAM DAB ∠=∠+∠=∠，可得MAN MAG ∠=∠，易证MAN △≌MAG △，等量代换即可得出MN BM DN =-.（3）在DC 上截取DF=BM ，易证△ABM ≌△ANF ，可得AF AM =，∠=∠DAF MAB ，根据12∠=∠+∠=∠MAN NAB BAM DAB ，等量代换可得12∠+∠=∠NAB DAF DAB ，可得∠=∠FAN MAN ，即可证明△FAN ≌△MAN ，得到=FN MN ，等量代换可得MN BM DN =-． 【详解】（1）如图（1），延长MB 到G ，使BG DN =，连接AG ． ∵90ABG ABC ADC ∠=∠=∠=︒，AB AD =， 在△ABG 与△AND 中，BG DN NDA GBA AG AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABG ≌ADN △（SAS ）．∴AG AN =，BG DN =，∠=∠NAD BAG ．∵12MAN BAD ∠=∠， ∴12∠+∠=∠-∠=∠NAD MAB BAD MAN BAD∴12∠+∠=∠+∠=∠=∠NAD MAB BAG MAB GAM BAD ．∴GAM MAN ∠=∠．又AM AM =，∴在△AMG 与△AMN 中，AG AN MAG NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AMG ≌AMN （SAS ）． ∴MG MN =．∵MG BM BG =+．∴MN BM DN =+．（1） （2） （3） （2）MN BM DN =-．证明：如图（2），在BM 上截取BG ，使BG DN =，连接AG ． ∵90ABC ADC ∠=∠=︒，AD AB =， ∴在△ABG 与△AND 中，BG DN NDA GBA AG AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABG ≌ADN △（SAS ）． ∴AN AG =，NAD GAB ∠=∠，∴12MAN NAD BAM DAB ∠=∠+∠=∠．∴12MAG BAD ∠=∠．∴MAN MAG ∠=∠． ∴在△AMG 与△AMN 中，AG AN MAG NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AMG ≌AMN （SAS ）． ∴MN MG =． ∴MN BM DN =-． （3）MN DN BM =-．证明：如图（3），在DC 上截取DF=BM ， ∵90ABC ADC ∠=∠=︒，AD AB =， ∴在△ABM 与△ANF 中，BM DF ABM ADF AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△ANF （SAS ）． ∴AF AM =，∠=∠DAF MAB ，∴12∠=∠+∠=∠MAN NAB BAM DAB ，∴12∠+∠=∠NAB DAF DAB ，∴()12∠=∠-∠+∠=∠FAN DAB NAB DAF DAB∴∠=∠FAN MAN ． ∴在△FAN 与△MAN 中，AF AM FAN NAM AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAN ≌△MAN （SAS ）， ∴=FN MN ． ∵=-FN DN DF ∴MN BM DN =-． 【点睛】本题考查截长补短的辅助线的做法，并且这道题属于类比探究题型，只要把第一问做出来，那么后面几问跟第一问的辅助线，证明思路都比较相似，如果实在没有思路的话可类比第一问证得哪两个三角形全等，在第二问中也找到这样的三角形即可.32．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、CD 边上，且AE DF =，联结BE 、AF ．求证：AF BE =．【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得AB=AD ，∠BAE=∠D=90°，再根据已知条件AE DF =可证ABE △≌DAF △，即可得出AF BE =.【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB DA =，90BAE ADF ∠=∠=︒． 在ABE △与DAF △中，AB DA BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE △≌DAF △（SAS ）． ∴AF BE =． 【点睛】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形四边相等，四角相等都等于90°是解题关键.33．如图，已知ABC △．（1）请你在BC 边上分别取两点D ，E （BC 的中点 除外），联结AD 、AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（l ）成立的相应条件，证明AB AC AD AE +>+． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据图中只存在两对面积相等的三角形，可得出在BC 上选取的点不能使三等分点，只能是BD CE DE =≠，这样的话就存在△ABD 和△AEC面积相等，两个三角形再加上一个公共的三角形也就是△ADE 就可以得到△ABE 和△ABE 面积相等，即满足条件.（2）分别过点D 、B 作CA 、EA 的平行线，两线相交于F 点，DF 与AB 交于点G ．可得到ACE FDB ∠=∠，AEC FBD ∠=∠，易证AEC ≌FBD ，可得到AC FD =，AE FB =；在AGD △中根据三角形三边关系可得AG DG AD +>，在BFG 中根据三边关系可得，BG FG FB +>，两个式子合并可得AB FD AD FB +>+，即可得到AB AC AD AE +>+．【详解】（1）如图（1），相应的条件就应该是BD CE DE =≠， 设点A 到直线BC 的距离是h ，则可得到12ABDSBD h =，12ACES EC h =， ∵BD=CE ∴ABDACESS=；又∵ABEABDADES SS=+，ADCAECADESSS=+，∴ABEADCSS=；此时此图中只存在两对面积相等的三角形，分别是：△ABD 和△AEC 面积相等，△ABE 和△ADC 面积相等.（1） （2）（2）如图（2），分别过点D 、B 作CA 、EA 的平行线，两线相交于F 点，DF 与AB 交于点G ．∴ACE FDB ∠=∠，AEC FBD ∠=∠． 在AEC 和FBD 中，又CE BD =，∴AEC ≌FBD ．∴AC FD =，AE FB =． 在AGD △中，AG DG AD +>，在BFG 中，BG FG FB +>，即AB FD AD FB +>+． ∴AB AC AD AE +>+． 【点睛】本题考查了（1）两个三角形等底同高面积相等的情况，如果在一个较大的三角形一边上选取两条相等的线段，再与另一个顶点组成的两个三角形面积一定相等；（2）通过作已知直线的平行线构造全等三角形，将要证明的线段间的关系进行等量代换，可证出结论.34．已知AE AB ⊥，DA AC ⊥，AE AB =，AD AC =．直线MN 过点A ，交DE 、BC 于点M 、N ．（1）若AM 是EAD 中线，求证：AN BC ⊥； （2）若AN BC ⊥，求证：EM DM =． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）延长AM 至F ，使MF AM =，易证EMF △≌DMA △，可得DAM F ∠=∠，EF AD =，再根据AD AC =可得EF AC =，再利用∠BAC 、∠BAE 、∠EAD 和∠DAC 四个角和为360°，可得180BAC DAE ∠=︒-∠，利用△AEF 的内角和可得180AEF DAE ∠=︒-，可得BAC AEF ∠=∠，即可证明ABC △≌EAF △，最后利用等角的余角相等的等量代换以及△ABN 的内角和为180°可得出结论.（2）过点E 作EF AD ∥交AM 的延长线于F ，则F DAM ∠=∠，根据DA AC ⊥，可得90DAM CAN ∠+∠=︒；AN BC ⊥，可得90CAN C ∠+∠=︒，等量代换得出F DAM C ∠=∠=∠．根据周角等于360°，可得180BAC DAE ∠=︒-∠；根据三角形内角和可得180∠=︒-∠AEF DAE ，可得BAC AEF ∠=∠，则可证明ABC △≌EAF △（AAS ），得到EF AC =；易证EFM △≌DAM △，即可得到EM DM =．【详解】解：（1）如图，延长AM 至F ，使MF AM =，∵AM 是EAD 中线，∴EM DM =．在EMF △和DMA △中，EM DMEMF AMD MF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EMF △≌DMA △（SAS ）．∴DAM F ∠=∠，EF AD =． ∵AD AC =，∴EF AC =．∵AE AB ⊥，DA AC ⊥，∴360902180BAC DAE DAE ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠． ∵180180180AEF F EAM DAM EAM DAE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-， ∴BAC AEF ∠=∠．在ABC △和EAF △中，EF ACBAC AEF AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC △≌EAF △（SAS ）．∴EAF B ∠=∠．∵AE AB ⊥，∴90EAF BAN ∠+∠=︒．∴90B BAN ∠+∠=︒．在ABN 中，()1801809090ANB B BAN ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∴AN BC ⊥． （2）如图，过点E 作EF AD ∥交AM 的延长线于F ，则F DAM ∠=∠，∵DA AC ⊥，∴90DAM CAN ∠+∠=︒．∵AN BC ⊥，∴90CAN C ∠+∠=︒．∴F DAM C ∠=∠=∠．∵AE AB ⊥，DA AC ⊥，∴360902180BAC DAE DAE ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠． ∵180180180AEF F EAM DAM EAM DAE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠， ∴BAC AEF ∠=∠．在ABC △和EAF △中，BAC AEFF C AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC △≌EAF △（AAS ）．∴EF AC =． ∵AD AC =，∴EF AD =．在EFM △和DAM △中，F DAM EMF DMA EF AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴EFM △≌DAM △（AAS ）．∴EM DM =．【点睛】本题考查三角形全等以及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线”这一辅助线做法，构造全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形；第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法.35．如图，在ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是AC 上的一点，且AE BD ⊥的延长线交于E ，又BD 平分ABC ∠，求证：12AE BD =．【答案】详见解析【解析】【分析】延长AE ，BC 交于点F ，根据在Rt △BEF 中，∠EBF+∠F=90°，在Rt △ACF中∠FAC+∠F=90°，可得∠EBF=∠FAC ，进而可证ACF ≌BCD，可得AF BD =，易证ABE △≌FBE ，可得AE EF =，即12AE AF =，所以12AE BD =. 【详解】解：延长AE ，BC 交于点F ，∵90EAD ADE ∠+∠=︒，90BDC CBD ∠+∠=︒，ADE BDC ∠=∠，∴EAD CBD ∠=∠．∵在ACF 和BCD 中，90EAD CBD AC BC ACF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴ACF ≌BCD （ASA ）．∴AF BD =．∵在ABE △和FBE 中，90ABE FBE BE BE AEB FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴ABE △≌FBE （ASA ）．∴AE EF =，即12AE AF =． ∴12AE BD =． 【点睛】本题考查全等三角形证明中与等腰三角形三线合一相关的辅助线，如果一个题目中一条线段既是高线又是角平分线，那么我们可以将这个高线和角平分线所在的三角形补全，即可证得等腰三角形，就可以利用这些条件构造全等.36．如图，AD BC ∥，12∠=∠，34∠=∠，直线DC 过点E 交AD 于D ，交BC 于点C ．求证：AD BC AB +=．【答案】详见解析【解析】【分析】在线段AB 上取AF AD =，连接EF ，易证ADE ≌AFE △，可得D AFE ∠=∠，因为AD BC ∥得，∠D+∠C=180°，再根据邻补角∠AFE+∠BFE=180°，可得∠BFE=∠C ，可证CBE △≌FBE ，可得BC=BF ，再进行等量代换即可得出答案.【详解】解：在线段AB 上取AF AD =，连接EF ，在ADE 与AFE △中，12AF AD AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ADE ≌AFE △（SAS ）．∴D AFE ∠=∠．由AD CB 又可得180C D ∠+∠=︒，∴180AFE C ∠+∠=︒．又180BFE AFE ∠+∠=︒，∴C BFE ∠=∠．在CBE △与FBE 中，34C BFE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴CBE △≌FBE （AAS ）．∴BF BC =．∵AB BF AF =+，∴AB AD BC =+．【点睛】本题考查全等三角形证明中辅助线其中一种截长补短的方法，在遇到两条线段和等于第三条线段的时候可用截长补短构造全等三角形，即在较长的线段上截取某条较短线段长度，或者延长一条较短线段长度使之等于另一条线段长度.37．如图，在ABC △和A B C '''中，AC A C ''=，'AB A B '=，D 、D 分别为BC 、B C ''的中点，且AD A D ''=，求证：ABC △≌A B C '''．【答案】详见解析【解析】【分析】分别延长AD 、A D ''到E ，E '，使得AD DE =，A D D E ''''=，连接BE 、B E ''， 易证ACD ≌EBD △，ACD '''△≌E B D '''△，可得到AC EB =，A C EB ''''=． 易证ABE △≌A B E '''△，可得BAD B A D '''∠=∠．再证明ABD △≌A B D '''△．可得BD B D ''=，BC B C ''=，即可证得ABC △≌A B C '''.【详解】解：如图，分别延长AD 、A D ''到E ，E '，使得AD DE =，A D D E ''''=， 连接BE 、B E ''，在△ACD 与△EDB 中AD DE ADC BDE CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△EDB （SAS ）同理可证A C D E B D ≅'''''',∴AC=EB ，A C E B ='''';在△ABE 与A B E '''中，AB A B BE B E AE A E '''''=⎧'⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE A B E '≅''（SSS ）∴BAD B A D '''∠=∠，'E E ∠=∠∴'''DAC D A C ∠=∠,∵∠BAC=∠BAD+∠DAC ，B A C B A D D'A'C'∠∠∠'''''+'=,∴BAC B A C ∠∠'''=；在△ABC 与A'B'C'中B AC AB A B BAC AC A C '''''''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC A'B'C'≅（SAS ）【点睛】本题考查全等三角形的证明，在证明全等但条件不够的时候可以考虑做辅助线，并且本题有中点，所以考虑倍长中线的辅助线做法是本题的解题关键.38．如图，在ABC △中，CD 是C ∠的角平分线，2A B ∠=∠，求证：BC AC AD =+．【答案】详见解析【解析】【分析】在BC 上取一点E 使得CE AC =，易证ACD ≌ECD ，可得2DEC A B ∠=∠=∠，再根据三角形的外角可得2B BDE DEC B ∠+∠=∠=∠，所以B BDE ∠=∠，可得DE BE =，通过等量代换可得出BC AC AD =+.【详解】解：如图，在BC 上找到E 点，使得CE AC =，在ACD 和ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ACD ≌ECD （SAS ）．∴DE AD =．∵2A B ∠=∠，B BDE DEC A ∠+∠=∠=∠，∴B BDE ∠=∠．∴DE BE =．∵BC BE CE =+，∴BC DE AC AD AC =+=+【点睛】本题考查利用截长补短的辅助线结合全等解题；本题的解题关键是看到三条线段之间和或者差的关系，要利用截长方法在较长线段上截取与其中一条较短线段相等的线段，构造全等三角形，或者利用补短的方法，将其中一条较短线段延长，构造全等三角形.39．如图，已知ABC △，AC BC <，请用尺规作图在BA 上取一点P ，使得PA PC BA +=．【答案】详见解析.【解析】【分析】作线段BC 的垂直平分线MN ，直线MN 交AB 于点P ，连接PC ，点P 即为所求．【详解】解：如图点P 即为所求．理由：MN 垂直平分线段BC ，PC PB ∴=，PC PA PB PA AB ∴+=+=．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键在于灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．40．如图，AB BC ⊥，AB BC =，点D 在BC 上．以D 为直角顶点作等腰直角三角形ADE ，则当D 从B 运动到C 的过程中，探求点E 的运动轨迹．【答案】线段．【解析】【分析】过点E 作EF BC ⊥交直线BC 于点F ，根据D 点在B 点，BC 中点以及C 点时，得出E 点所在位置，进而得出E 点在一条直线上，进而得出答案．【详解】如图所示：过点E 作EF BC ⊥交直线BC 于点F ，当点D 与点B 重合时，点E 与点C 重合，当点D 在BC 中点时，∵90ADB EDF ∠+∠=︒，90ADB DAB ∠+∠=︒，∴DAB EDF ∠=∠．∵在ADB △和DEF 中，90B F BAD FDE AD DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB △≌DEF （AAS ）．∴BD EF =，AB DF =．∵AB BC =，BD CD =，∴FC CD EF ==．∴45ECF FEC ∠=∠=︒．∵∠ACB=45°，∴∠ECA=90°，当点D 与点C 重合时，∠ECA=90°，∴点E 与另两个点E 都在过点C 且垂直于AC 的一条直线上．综上所述：当D从B运动到C的过程中，点E的运动轨迹是线段．【点睛】此题主要考查了点的轨迹问题，根据已知得出D点在不同位置时E点位置是解题关键．。
初二数学 证明线段数量关系专题
初二数学证明线段数量关系专题1. 题目：已知$a > b > 0$，$c > d > 0$，则一定有( )A.$a^{2} > b^{2}$B.$c^{2} > d^{2}$C.$ac > bd$D.$a/d > b/c$2. 题目：已知$a > b > 0$，则下列不等式正确的是( )A.$1/a < 1/b$B.$ac^{2} > bc^{2}$（$c \neq 0$）C.$a^{3} > b^{3}$D.$a^{2} > b^{2}$3. 题目：已知$a > b > 0$，则下列不等式正确的是( )A.$a^{3} < b^{3}$B.$a^{2} > b^{2}$C.$ac^{2} > bc^{2}$（$c \neq 0$）D.$ac > bc$4. 题目：已知$a > b > 0$，则下列不等式中正确的是( )A.$a^{2} < ab$B.$ac < bc$（$c < 0$）C.$ac^{2} > bc^{2}$（$c \neq 0$）D.$ac > bc$（$c > 0$）5. 题目：已知 a，b，m 都是正实数，则不等式 a + m > 2b 的一个充分不必要条件是 ( )A. a + m/2 > bB. a + m/2 ≥ bC. a > bD. a ≥ b6. 题目：已知 a，b，m 都是正实数，则下列不等式中恒成立的是 ( )A. a + m > 2bB. a + m/2 ≥ bC. a^2 + m^2 > 2bmD. a^2 + m^2 ≥ 2bm7. 题目：已知 a，b，m 都是正实数，且 a < b，则下列不等式中一定成立的是 ( )A. a^2 + m < b^2 + mB. a^2 + m < (a + m)^2C. (a + m)/2 < (b + m)/2D. a/b < (a + m)/(b + m)。
初中两条线段数量关系教案
初中两条线段数量关系教案教学目标：1. 理解并掌握线段的和、差、倍、分等基本数量关系；2. 能够运用线段的数量关系解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
教学内容：1. 线段的和差关系；2. 线段的倍分关系；3. 实际问题的解决。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾小学学过的线段的知识，如线段的定义、特点等；2. 提问：线段有哪些基本的数量关系呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解线段的和差关系，如：线段AB和线段BC的和等于线段AC，即AB + BC = AC；2. 讲解线段的倍分关系，如：线段AB是线段BC的2倍，即AB = 2BC；3. 通过示例和练习，让学生理解和掌握线段的和差、倍分关系；4. 引导学生发现线段的数量关系与图形的性质之间的关系。
三、课堂练习（15分钟）1. 给出几组线段的长度，让学生计算它们的和、差、倍、分；2. 让学生尝试解决一些实际问题，如：在平面直角坐标系中，两点A(2,3)和B(6,7)之间的线段长度是多少？四、总结与拓展（5分钟）1. 让学生总结本节课所学的内容，线段的和差、倍分关系及其应用；2. 提问：你们还能想到其他的线段数量关系吗？它们有什么应用呢？教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业的完成情况，评价学生对线段数量关系的掌握程度；2. 通过学生的实际问题解决能力，评价学生对线段数量关系的应用能力；3. 通过学生的课堂表现，评价学生的学习兴趣和积极性。
教学反思：本节课通过讲解线段的和差、倍分关系，让学生掌握了线段的基本数量关系，并通过实际问题解决，培养了学生的应用能力。
在教学过程中，要注意引导学生发现线段的数量关系与图形的性质之间的关系，提高学生的逻辑思维能力。
同时，也要关注学生的学习兴趣和积极性，通过生动有趣的示例和练习，激发学生的学习兴趣。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题二(含答案) (57)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题二（含答案)如图，已知直线//AB 射线CD ，0100CEB ∠=。
P 是射线EB 上一动点，过点P 作//PQ EC 交射线CD 于点Q ，连结CP 。
作PCF PCQ ∠=∠，交直线AB 于点F ，CG 平分ECF ∠。
（1）若点,,P F G 都在点E 的右侧。
①求PCG ∠的度数；②若040EGC ECG ∠-∠=，求CPQ ∠的度数。
（2）在点P 的运动过程中，是否存在这样的情形，使32EGC EFC ∠=∠，若存在，求出CPQ ∠的度数；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）①40°；②60°；（2）60°或15°.【解析】【分析】（1）①根据平行线的性质可知080ECQ ∠=，再结合角平分线的性质可求得1122PCG PCF FCG QCF FCE ∠=∠+∠=∠+∠，进而求解即可. ②根据平行线性质可得QCG EGC ∠=∠，结合已知条件040EGC ECG ∠-∠=且QCG ECG ECQ ∠+∠=∠可求得020EGC GCF FCP ∠=∠=∠=,根据平行线性质进而可求得060CPQ ECP EGC GCF FCP ∠=∠=∠+∠+∠=. （2）根据已知条件设3,2EGC x EFC x ∠=∠=，则GCF x ∠=，分①当点G F 、在点E 的右侧时②当点G F 、在点E 的左侧时两种情况,结合已知条件进行求解即可.【详解】（1）①∵0100CEB ∠=，//AB CD ，∴080ECQ ∠=，∵PCF PCQ ∠=∠，CG 平分ECF ∠， ∴1122PCG PCF FCG QCF FCE ∠=∠+∠=∠+∠ 01402ECQ =∠=②∵//AB CD∴QCG EGC ∠=∠，080QCG ECG ECQ ∠+∠=∠=，∴080EGC ECG ∠+∠=又∵040EGC ECG ∠-∠=，∴0060,20EGC ECG ∠=∠=∴020ECG GCF ∠=∠=()00018040202PCF PCQ ∠=∠=-= ∵//PQ CE ∴060CPQ ECP ∠=∠=（2）设3,2EGC x EFC x ∠=∠=，则GCF x ∠=，①当点G F 、在点E 的右侧时，则ECG PCF PCD x ∠=∠=∠=，∵080ECD ∠=，∴0480x =，解得020x =，∴0360CPQ x ∠==②当点G F 、在点E 的左侧时，则ECG GCF x ∠=∠=，∵01803CGF x ∠=-，080GCQ x ∠=+，∴00180380x x -=+，解得025x =，∴0005080130FCQ ECF ECQ ∠=∠+∠=+= ∴01652PCQ FCQ ∠=∠= ∴000655015CPQ ECP ∠=∠=-=【点睛】此题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，解题在于熟练掌握平行线和角平分线的性质运用以及分情况讨论问题.62．如图，已知：OA OB =，OC OD =．（1）请找出图中一对全等的三角形，并说明理由；（2）若90O ︒∠=，25C ︒∠=，求BED ∠的度数．【答案】（1）△OAD ≌△OBC ，证明见解析；（2）∠BED=40°【解析】【分析】（1）由SAS 可以判定△OAD ≌△OBC（2）△OAD ≌△OBC 可得∠D=∠C=25°利用三角形内角和为180°可得∠OBC=65°利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠BED 的度数.【详解】解（1）△OAD ≌△OBC理由：在△OAD 与△OBC 中OA=OB O=O OD=OC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△OAD ≌△OBC （SAS ）（2）由（1）可知：△OAD ≌△OBC∴∠D=∠C∵∠C=25°∴∠D=25°∵∠O=90°∴∠OBC=180°-∠O-∠C=180°-90°-25°=65°在△BDE中，∠OBC=∠D+∠BED∴∠BED=∠OBC-∠D=65°-25°=40°【点睛】本题考查了全等的判定及性质，以及三角形内角和和外角和的性质，掌握全等的判定是解题的关键.63．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一侧岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20米有一树C，继续前行20米到达D处；③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走;④测得DE的长为5米．求河流的宽度是多少?并说明理由．【答案】河流的宽度是5m ，证明见解析【解析】【分析】）根据全等三角形对应角相等可得AB=DE ；利用“角边角”证明Rt △ABC 和Rt △EDC 全等，再根据全等三角形对应边相等解答．【详解】解：河的宽度是5m ；证明如下：由作法知，BC=DC ，∠ABC=∠EDC=90°，在Rt △ABC 和Rt △EDC 中，ABC=EDC=90BC=DC ACB=ECD ⎧∠∠⎪⎨⎪∠∠⎩∴Rt △ABC ≌Rt △EDC （ASA ），∴AB=ED=5，即河流的宽度是5m【点睛】本题考查了全等三角形的应用，正确理解题中的测量距离是解题的关键.64．背景知识：如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，若AC BC =，则：AB ==．（1）解决问题：如图（1），90ACD ∠=︒，AC DC =，MN 是过点A 的直线，过点D 作DB MN ⊥于点B ，连接CB ，现尝试探究线段BA 、BC 、BD 之间的数量关系：过点C 作CE CB ⊥，与MN 交于点E ，易发现图中出现了一对全等三角形，即 ≌，由此可得线段BA 、BC 、BD 之间的数量关系是： ；（2）类比探究：将图（1）中的MN 绕点A 旋转到图（2）的位置，其它条件不变，试探究线段BA 、BC 、BD 之间的数量关系，并证明；（3）拓展应用：将图（1）中的MN 绕点A 旋转到图 （3）的位置，其它条件不变，若2BD =，BC =AB 的长为 （直接写结果）． 【答案】（1）△EAC ≌△BDC ；；（2）BD −，证明见解析；（3）4.【解析】【分析】（1）利用ASA 证明出△EAC ≌△BDC ，从而得出AE=BD ，EB=AE+AB=BD+AB ，根据EB =进一步得出答案即可；（2）过C 作EC ⊥CB 交MN 于E ，利用ASA 证明△ACE ≌△DCB ，进而求得线段之间的关系，进一步求证即可；（3）过C 作EC ⊥CB 于MN 于E ，利用ASA 证明△ACE ≌△DCB ，然后进一步即可求出AB 的长.【详解】（1）∵CE CB ⊥，∴∠ACE+∠ACB=90°，∵90ACD ∠=︒，∴∠BCD+∠ACB=90°∴∠ACE=∠BCD ，在四边形ACDB 中，∵DB MN ⊥，90ACD ∠=︒，∴∠CAB+∠D=180°，∵∠CAB+∠EAC=180°∴∠D=∠EAC ，在△EAC 与△BDC 中，∵∠EAC=∠D ，AC=DC ，∠ACE=∠DCB ，∴△EAC ≌△BDC(ASA)，∴AE=BD ，EC=BC ，∴EB=AE+AB=BD+AB ，在Rt△ECB中，∵EC=BC，∴EB ，∴，故答案为：△EAC≌△BDC；；（2）BD−，证明：如图（2），过C作EC⊥CB交MN于E，则∠ECB=90°，∴∠ECB+∠BCA=∠ACD+∠BCA,∴∠ECA=∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠ABD=∠ACD=90°，记AC与BD的交点为F，则∠BFA=∠DFC，∴∠BAF=∠FDC，在△ACE与△DCB中，∵∠BAF=∠FDC，AC=DC，∠ECA=∠BCD，∴△ACE≌△DCB(ASA)，∴AE=BD，CE=CB，∴在Rt△BCE中，，∴,即：BD−；（3）如图（3）过C作EC⊥CB于MN于E，MN与CD相交于F，∵∠ACD=∠ACF=90°，∠ECB=90°，∴∠ACB+∠BCF=∠BCF+∠ECF，∴∠ACB=∠ECF，∴∠ACB+90°=∠ECF+90°，∴∠ACE=∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°−∠AFC，∠D=90°−∠BFD，∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAE=∠D，在△ACE与△DCB中，∵∠ACE=∠BCD，AC=DC，∠CAE=∠D，∴△ACE≌△DCB(ASA)，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴，又∵BE=AB−AE=AB−BD,∴AB−，∵BD=2，，∴AB=4.【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.65．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E 是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE.(1)求证：△ABE≌△BCD；(2)判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；(3)若CD＝1，试求△AED的面积．【答案】（1）见解析；（2）AE＝BD，AE⊥BD，理由见解析；（3）△AED 的面积为3.2【解析】【分析】（1）由已知条件可推导得到AB BC ABE C BE CD =∠=∠=，，，由SAS 即可证明△ABE ≌△BCD ；(2)由（1）可得△ABE ≌△BCD 可得AE ＝BD ，再由角的转化可得∠AFB ＝90°，即可证明AE ⊥BD ；(3)因为 △AED 的面积＝梯形ABCD 的面积﹣△ABE 的面积﹣△CDE 的面积,即可求解△AED 的面积．【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABE +∠C ＝180°，∵∠C ＝90°，∴∠ABE ＝90°＝∠C ，∵E 是BC 的中点，∴BC ＝2BE ，∵BC ＝2CD ，∴BE ＝CD ，在△ABE 和△BCD 中，AB BC ABE C BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△BCD （SAS ）；（2）解：AE ＝BD ，AE ⊥BD ，理由如下：由（1）得：△ABE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∵∠BAE ＝∠CBD ，∠ABF +∠CBD ＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AFB＝90°，∴AE⊥BD；（3）解：∵△ABE≌△BCD，∴BE＝CD＝1，∵AB＝BC＝2CD＝2，∴CE＝BC﹣BE＝1，∴CE＝CD，∴△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积＝1 2（1+2）×2﹣12×2×1﹣12×1×1＝32【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握性质证明三角形全等.66．如图，△ABC 中，AB=BC，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF.（1）求证：AE⊥CF；（2）若∠CAE=25°，求∠ACF 的度数．【答案】（1）见解析；（2）65°．【解析】【分析】（1）运用HL 定理直接证明△ABE ≌△CBF ，即可解决问题．（2）证明∠BAE=∠BCF=25°；求出∠ACB=45°，即可解决问题．【详解】如图，延长AE 交CF 于点H ，在Rt △ABE 与Rt △CBF 中，AE CF AB BC ⎧⎨⎩＝＝ ∴△ABE ≌△CBF （HL ）∴∠BAE=∠BCF ，∵∠F+∠BCF=90°，∴∠BAE+∠F=90°，∴∠AHF=90°，∴AE ⊥CF（2）∵AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ACB=45°=∠BAC ，且∠CAE=25°，∴∠BAE=20°，∵△ABE ≌△CBF ，∴∠BAE=∠BCF=20°，∴∠ACF=65°．【点睛】此题考查全等三角形的判定及其性质的应用问题，准确找出图形中隐含的相等或全等关系是解题的关键．67．如图1，在△ABC中，点D、点E分别在边AB、BC上，DE=AE，且∠B=∠C=∠DEA=β。
八年级数学 判断线段的数量关系
八年级数学判断线段的数量关系一、引言数学中的线段是指由两个不同点之间的所有点组成的集合。
判断线段的数量关系是数学中的一个重要概念，它能帮助我们更好地理解线段之间的关系，从而应用到各种实际问题中。
二、线段的定义线段是由两个不同的点A和B确定的，记作AB。
线段AB上的所有点都在直线AB上，且点A和点B是线段AB的端点。
三、线段的分类根据线段的位置关系，线段可以分为以下几种情况：1.相交线段：两个线段在某一点上相交，且在该点的两侧都有其他点。
例如，线段AB和线段CD在点O上相交。
2.垂直线段：两个线段相交，且相交的角度为90度。
例如，线段AB和线段CD相交形成直角。
3.平行线段：两个线段在同一平面上，且没有交点。
例如，线段AB 和线段CD平行。
4.重合线段：两个线段完全重合，即它们的所有点都相同。
例如，线段AB和线段CD完全重合。
四、线段的数量关系1.线段相交的情况当两个线段相交时，较多的线段数量关系可以用以下几种方式来判断：（1）交叉判断法：如果两个线段在某一点上相交，且在该点的两侧都有其他点，则较多的线段数量关系为“两个”。
（2）角度判断法：如果两个线段相交，且相交的角度小于180度，则较多的线段数量关系为“两个”。
（3）区域判断法：如果两个线段相交，且相交的区域面积较大，则较多的线段数量关系为“两个”。
2.线段平行的情况当两个线段平行时，可以用以下几种方式来判断线段的数量关系：（1）长度判断法：如果两个线段长度相等，则线段的数量关系为“相等”。
（2）位置判断法：如果两个线段在同一直线上，但没有交点，则线段的数量关系为“无穷多个”。
（3）夹角判断法：如果两个线段的夹角为180度，则线段的数量关系为“无穷多个”。
3.线段重合的情况当两个线段完全重合时，线段的数量关系为“一个”。
五、实例分析1.例题一：设线段AB和线段CD相交于点O，线段AB的长度为5cm，线段CD的长度为8cm，判断线段的数量关系。
人教版八年级数学上册《一线三等角模型》专项练习-附含答案
人教版八年级数学上册《一线三等角模型》专项练习-附含答案【模型说明】 C D E BA应用：通过证明全等实现边角关系的转化 便于解决对应的几何问题；【例题精讲】例1．（基本“K ”型）如图 一个等腰直角三角形ABC 物件斜靠在墙角处（∠O ＝90°） 若OA ＝50cm OB ＝28cm 则点C 离地面的距离是____ cm ．【答案】28【详解】解：过点C 作CD ∠OB 于点D 如图∠90CDB AOB ∠=∠=︒∠ABC ∆是等腰直角三角形∠AB =CB 90ABC ∠=︒∠90ABO CBD ∠+∠=︒又90CBD BCD ∠+∠=︒∠ABO BCD ∠=∠在ABO ∆和BCD ∆中AOB BDC ABO BCD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABO BCD AAS ∆≅∆∠28cm CD BO ==故答案为：28．例2.（特殊“K ”型）在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E 在直线m 上方有AB AC = 且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1 当90α=︒时 猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2 当0180α<<︒时 问题（1）中结论是否仍然成立？如成立 请你给出证明；若不成立 请说明理由；(3)应用：如图3 在ABC 中 BAC ∠是钝角 AB AC =,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠ 直线m 与CB 的延长线交于点F 若3BC FB = ABC 的面积是12 求FBD 与ACE 的面积之和． 【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立 理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【解析】（1）解：DE ＝BD +CE 理由如下∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90° ∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90° ∴∠DBA ＝∠EAC∵AB ＝AC ∴△DBA ≌△EAC （AAS ）∴AD ＝CE BD ＝AE ∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立 理由如下∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α∴∠DBA ＝∠EAC∵AB ＝AC ∴△DBA ≌△EAC （AAS ）∴BD ＝AE AD ＝CE ∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ） ∴S △ABD ＝S △CAE设△ABC 的底边BC 上的高为h 则△ABF 的底边BF 上的高为h∴S △ABC ＝12BC •h ＝12 S △ABF ＝12BF •h∵BC ＝3BF∴S △ABF ＝4∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．例3.（“K ”型培优）已知：ABC 中 90ACB ∠=︒ AC CB = D 为直线BC 上一动点 连接AD 在直线AC 右侧作AE AD ⊥ 且AE AD =．（1）如图1 当点D 在线段BC 上时 过点E 作EH AC ⊥于H 连接DE ．求证：EH AC =； （2）如图2 当点D 在线段BC 的延长线上时 连接BE 交CA 的延长线于点M ．求证：BM EM =；（3）当点D 在直线CB 上时 连接BE 交直线AC 于M 若25AC CM = 请求出ADB AEMS S △△的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）43或47【详解】证明（1）∠AE AD ⊥ 90ACB ∠=︒∠90∠=︒-∠EAH CAD 90∠=︒-∠ADC CAD EAH ADC ∴∠=∠在AHE 与DCA △中 90AHE ACB EAH ADCAE AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AHE DCA AAS ∴△≌△ EH AC ∴=； （2）如图2 过点E 作EN AC ⊥ 交CA 延长线于N∠AE AD ⊥ 90ACB ∠=︒∠90∠=︒-∠EAN CAD 90∠=︒-∠ADC CAD EAN ADC ∴∠=∠在ANE 与DCA △中 90ANE DCA ENA ACDAN AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()△≌△∴ANE DCA AAS EN AC ∴= 又∠AC BC = EN BC ∴=又在ENM 与BCM 中 90EMN BMC N BCA EN BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()△≌△∴ENM BCM AAS 则BM EM =； （3）如图 当点D 在线段BC 上时∠25AC CM = ∠可设5AC a = 2CM a =由（1）得：AHE DCA △≌△ 则AH CD = 5===EH AC BC a由∠90EHM BCM ∠=∠=︒ BMC EMH ∠=∠ ∠MHE MCB △≌△（AAS ） ∠CM HM = 即2HM CM a == ∠522AH AC CM HM a a a a =--=--= ∠3AM AH HM a CD AH a ==5EH AC a == 4BD BC CD a =-= 11454221133522△△⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯ADBAEM BD AC a a S S AM EH a a ； 如图 点D 在CB 延长线上时 过点E 作EN AC ⊥ 交AC 延长线于N∠25AC CM = ∠可设5AC a = 2CM a =∠EN AC ⊥ AE AD ⊥ ∠90ANE EAD ACB ∠=∠=∠=︒∠90∠=︒-∠EAN CAD 90∠=︒-∠ADC CAD EAN ADC ∴∠=∠在ANE 与DCA △中 90ANE DCA ENA ACDAN AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()△≌△∴ANE DCA AAS EN AC ∴= AN CD = 又∠AC BC = EN BC ∴=又在ENM 与BCM 中 90EMN BMC N BCA EN BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()△≌△∴ENM BCM AAS ∠2==CM NM a 5NE BC AC a === ∠9AN AC CM MN a =++=7AM AC CM a =+= 9AN CD a == ∠4BD a = 11454221177522△△⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯ADBAEM BD AC a a S S AM EN a a 点D 在BC 延长线上 由图2得：AC CM < ∠25AC CM =不可能 故舍去综上：ADB AEM S S △△的值为43或47 【变式训练1】如图 90,ABC FA AB ∠=⊥于点A 点D 在直线AB 上,AD BC AF BD ==．(1)如图1 若点D 在线段AB 上 判断DF 与DC 的数量关系和位置关系 并说明理由；(2)如图2 若点D 在线段AB 的延长线上 其他条件不变 试判断（1）中结论是否成立 并说明理由．【答案】(1)DF =DC DF ∠DC ；理由见解析；(2)成立 理由见解析【解析】（1）解：∠90,ABC FA AB ∠=⊥∠90ABC DAF ∠∠==在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF ABC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠△ADF ∠△BCD ∠DF =DC ADF BCD ∠=∠∠∠BDC +∠BCD =90° ∠∠BDC +∠ADF =90°∠∠FDC =90° 即DF ∠DC ．（2）∠90,ABC FA AB ∠=⊥∠90DBC DAF ∠∠==在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF DBC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠△ADF ∠△BCD ∠DF =DC ADF BCD ∠=∠∠∠BDC +∠BCD =90° ∠∠BDC +∠ADF =90°∠∠FDC =90° 即DF ∠DC ．【变式训练2】在ABC 中 90ACB ∠=︒ AC BC = 直线MN 经过点C 且AD MN ⊥于D BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时．∠请说明ADC CEB △≌△的理由；∠请说明DE AD BE =+的理由；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时 DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系?请写出等量关系 并予以证明．(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时 DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．【答案】(1)∠理由见解析；∠理由见解析(2)DE AD BE =- 证明见解析(3)DE BE AD =-【解析】(1)解：∠∠AD MN ⊥于D BE MN ⊥于E∠90ADC BEC ∠=∠=︒∠90ACB ∠=︒ ∠90ACD BCE ∠+∠=︒90ACD DAC ∠+∠=︒ ∠DAC BCE =∠∠在ADC 和CEB △中ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ADC CEB △≌△ ∠∠ADC CEB △≌△ ∠AD EC = CD BE =∠DC CE DE += ∠AD EB DE +=(2)结论：DE AD BE =-∠BE EC ⊥ AD CE ⊥∠90ADC BEC ∠=∠=︒∠90EBC BCE ∠+∠=︒∠90ACB ∠=︒∠90ACE BCE ∠+∠=︒∠ACD EBC ∠=∠∠ADC CEB △≌△∠AD EC = CD BE =∠DE EC CD AD EB =-=-(3)结论：DE BE AD =-∠90ACB ∠=︒∠90ACD BCE ∠+∠=︒∠BE MN ⊥ AD MN ⊥∠90ADC DEC ∠=∠=︒∠90ACD DAC ∠+∠=︒∠DAC BCE =∠∠在ADC 和CEB △中ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ADC CEB △≌△ ∠AD EC = CD BE =∠DE CD EC EB AD =-=-．【变式训练3】（1）如图1 在∠ABC 中 ∠BAC ＝90° AB ＝AC 直线m 经过点A BD ∠直线m CE ∠直线m 垂足分别为点D 、E ．求证：∠ABD ∠∠CAE ；（2）如图2 将（1）中的条件改为：在∠ABC 中 AB ＝AC D 、A 、E 三点都在直线m 上 并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α 其中α为任意锐角或钝角．请问结论∠ABD ∠∠CAE 是否成立？如成立 请给出证明；若不成立 请说明理由．（3）拓展应用：如图3 D E 是D A E 三点所在直线m 上的两动点（D A E 三点互不重合） 点F 为∠BAC 平分线上的一点 且∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形 连接BD CE 若∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC 求证：∠DEF 是等边三角形．【答案】（1）见详解；（2）成立 理由见详解；（3）见详解【详解】（1）证明：BD ⊥直线m CE ⊥直线m 90BDA CEA ∴∠=∠=︒90BAC ∠=︒ 90BAD CAE ∴∠+∠=︒90BAD ABD ∠+∠=︒ CAE ABD ∴∠=∠在ADB ∆和CEA ∆中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；解：（2）成立 理由如下：α∠=∠=BDA BAC180α∴∠+∠=∠+∠=︒-DBA BAD BAD CAE CAE ABD ∴∠=∠在ADB ∆和CEA ∆中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；（3）证明：∠∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形∠,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒ ∠∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC =120°∠180120DBA BAD BAD CAE ∠+∠=∠+∠=︒-︒ ∠CAE ABD ∠=∠∠()ADB CEA AAS ∆∆≌ ∠AE BD =∠,FBD FBA ABD FAE FAC CAE ∠=∠+∠∠=∠+∠ ∠FBD FAE ∠=∠∠DBF EAF ∆∆≌（SAS ） ∠,FD FE BFD AFE =∠=∠∠60BFA BFD DFA AFE DFA DFE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∠∠DFE 是等边三角形．【课后作业】1．如图是高空秋千的示意图 小明从起始位置点A 处绕着点O 经过最低点B 最终荡到最高点C 处 若90AOC ∠=︒ 点A 与点B 的高度差AD ＝1米 水平距离BD ＝4米 则点C 与点B 的高度差CE 为（ ）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米【答案】B【详解】解：作AF∠BO于F CG∠BO于G∠∠AOC=∠AOF+∠COG=90° ∠AOF+∠OAF=90° ∠∠COG=∠OAF在∠AOF与∠OCG中AFO OGCOAF COGAO OC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AOF∠∠OCG（AAS） ∠OG=AF=BD=4米设AO=x米在Rt∠AFO中 AF2+OF2=AO2即42+（x-1）2=x2解得x=8.5．则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）．故选：B．2．如图 ∠ABC＝∠ACD＝90° BC＝2 AC＝CD则△BCD的面积为_________．【答案】2【详解】解：如图作DE垂直于BC的延长线垂足为E∠90ACB BAC ∠+∠=︒ 90ACB DCE ∠+∠=︒ ∠BAC DCE ∠=∠在ABC 和CED 中 ∠90BAC DCE ABC CED AC CD ∠=∠⎧⎪∠==︒⎨⎪=⎩∠()ABC CED AAS ≌ ∠2BC DE == ∠122BCD S BC DE =⨯⨯= 故答案为：2．3．如图 ABC 为等边三角形 D 是BC 边上一点 在AC 上取一点F 使=CF BD 在AB 边上取一点E 使BE DC = 则EDF ∠的度数为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．70【答案】C 【详解】∠ABC 是等边三角形 ∠∠B=∠C=60°在∠EDB 和∠DFC 中 60BD CF B C BE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠∠EDB ∠∠DFC ∠∠BED=∠CDF ∠∠B=60° ∠∠BED+∠BDE= 120° ∠∠CDF+∠BDE= 120°∠∠EDF=180°-（∠CDF+∠BDE ）=180°-120°=60°.故选C.4．已知∠ABC 中 ∠ACB =90° AC =BC ．BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直 且垂足分别为D E ．学习完第十二章后 张老师首先让同学们完成问题1：如图1 若AD =2.5cm DE =1.7cm 求BE 的长；然后 张老师又提出问题2：将图1中的直线CE 绕点C 旋转到∠ABC 的外部 BE 、AD 与直线CE 的垂直关系不变 如图2 猜想AD 、DE 、BE 三者的数量关系 并给予证明．【答案】BE 的长为0.8cm ；DE =AD +BE ．【详解】解：如图1 ∠∠ACB =∠BEC =∠ADC =90°∠∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠CAD ∠∠BCE =∠CAD在∠ACD 和∠CBE 中 BEC ADC BCE CAD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ） ∠AD =CE =2.5cm BE =CD∠DE =1.7cm ∠BE =CD =CE -DE =2.5-1.7=0.8cm ∠BE 的长为0.8cm ；如图2 DE =AD +BE 理由如下：∠∠ACB =∠BEC =∠ADC =90° ∠∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠CAD∠∠BCE =∠CAD在∠ACD 和∠CBE 中 BEC ADC BCE CAD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ） ∠AD =CE BE =CD ∠DE =AD +BE ．5．如图 在ABC 中 AB BC =．（1）如图∠所示 直线NM 过点B AM MN ⊥于点M ⊥CN MN 于点N 且90ABC ∠=︒．求证：MN AM CN =+．（2）如图∠所示 直线MN 过点B AM 交MN 于点M CN 交MN 于点N 且AMB ABC BNC ∠=∠=∠ 则MN AM CN =+是否成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MN AM CN =+仍然成立 理由见解析【详解】证明：（1）∠AM MN ⊥ ⊥CN MN∠90AMB BNC ∠=∠=︒ ∠90ABM BAM ∠+∠=︒∠90ABC ∠=︒ ∠90ABM CBN ∠+∠=︒ ∠BAM CBN ∠=∠在AMB 和BNC 中 AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()AMB BNC AAS ≅△△ ∠AM BN = BM CN = ∠BN MB MN += ∠MN AM CN =+；（2）MN AM CN =+仍然成立 理由如下：∠180AMB MAB ABM ABM ABC CBN ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒∠AMB ABC ∠=∠ ∠MAB CBN ∠=∠在AMB 和BNC 中 AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()AMB BNC AAS ≅△△ ∠AM BN = NC MB =∠MN MB BN =+ ∠MN AM CN =+．6．如图 在∠ABC 中 ∠ACB ＝90° AC ＝BC 直线l 经过顶点C 过A 、B 两点分别作l 的垂线AE 、BF E 、F 为垂足．（1）当直线l 不与底边AB 相交时∠求证：∠EAC ＝∠BCF ．∠猜想EF 、AE 、BF 的数量关系并证明．（2）将直线l 绕点C 顺时针旋转 使l 与底边AB 交于点D （D 不与AB 点重合） 请你探究直线l EF 、AE 、BF 之间的关系．（直接写出）【答案】（1）∠证明见解析 ∠EF ＝AE +BF ；证明见解析；（2）AE ＝BF +EF 或BF ＝AE +EF ．【详解】（1）证明：∠∵AE ⊥EF BF ⊥EF ∠ACB ＝90°∴∠AEC ＝∠BFC ＝∠ACB ＝90°∴∠EAC +∠ECA ＝90° ∠ECA +∠FCB ＝90° ∴∠EAC ＝∠FCB∠EF ＝AE +BF ；证明：在△EAC 和△FCB 中 AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAC ≌△FCB （AAS ）∴CE ＝BF AE ＝CF∴EF ＝CE +CF ＝AE +BF即EF ＝AE +BF ；（2）∠当AD ＞BD 时 如图①∵∠ACB ＝90° AE ⊥l 直线同理可证∠BCF ＝∠CAE （同为∠ACD 的余角）又∵AC ＝BC BF ⊥l 直线即∠BFC ＝∠AEC ＝90°∴△ACE ≌△CBF （AAS ）∴CF ＝AE CE ＝BF∵CF ＝CE +EF ＝BF +EF∴AE ＝BF +EF ；∠当AD ＜BD 时 如图②∵∠ACB ＝90° BF ⊥l 直线同理可证∠CBF ＝∠ACE （同为∠BCD 的余角）又∵AC ＝BC BE ⊥l 直线 即∠AEC ＝∠BFC ＝90°．∴△ACE ≌△CBF （AAS ）∴CF ＝AE BF ＝CE∵CE ＝CF +EF ＝AE +EF ∴BF ＝AE +EF ．7．（1）某学习小组在探究三角形全等时 发现了下面这种典型的基本图形．如图1 已知：在ABC 中 90BAC ∠=︒ AB AC = 直线l 经过点A BD ⊥直线l CE ⊥直线l 垂足分别为点D E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想 如果三个角不是直角 那结论是否会成立呢？如图2 将（1）中的条件改为：在ABC 中 AB AC = D A E 三点都在直线l 上 并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠= 其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立 请你给出证明；若不成立 请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神 并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3 过ABC 的边AB AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△ 则AEI S =△______． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立 理由见解析；（3）3.5【详解】解：（1）证明：如图1中 ∠BD ∠直线l CE ∠直线l∠∠BDA =∠CEA =90°∠∠BAC =90°∠∠BAD +∠CAE =90°∠∠BAD +∠ABD =90°∠∠CAE =∠ABD在∠ADB 和∠CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ）∠AE =BD AD =CE∠DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中∠∠BDA =∠BAC =α∠∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α∠∠DBA =∠CAE在∠ADB 和∠CEA 中BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ）∠AE =BD AD =CE∠DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3 过E 作EM ∠HI 于M GN ∠HI 的延长线于N ．∠∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN∠EM =GN在∠EMI 和∠GNI 中GIN EIM EM GNGNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠∠EMI ∠∠GNI （AAS ）∠EI =GI∠I 是EG 的中点．∠S △AEI =12S △AEG =3.5．故答案为：3.5．8．如图 在∠ABC 中 AB ＝AC ＝2 ∠B ＝∠C ＝40° 点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合） 连接AD 作∠ADE ＝40° DE 交线段AC 于点E ．（1）当∠BDA ＝105°时 ∠EDC ＝ ° ∠DEC ＝ °；点D 从点B 向点C 运动时 ∠BDA 逐渐变 ．（填“大”或“小”）（2）当DC 等于多少时 ∠ABD ∠∠DCE ？请说明理由．（3）在点D 的运动过程中 ∠ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以 请直接写出∠BDA 的度数；若不可以 请说明理由．【答案】（1）35105︒︒， 小；（2）2 理由见解析；（3）110︒或80°【详解】（1）40B C ∠=∠=︒ 40ADE ∠=︒1801804040100BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒180140ADB EDC ADE ∠+∠=︒-∠=︒180140ADB BAD B ∠+∠=︒-∠=︒180140DEC EDC C ∠+∠=︒-∠=︒BAD EDC ∴∠=∠ ADB DEC ∠=∠∴当∠BDA ＝105°时∴∠EDC ＝1801801054035BAD ADB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠DEC ＝ADB ∠105=︒；当点D 从点B 向点C 运动时 BAD ∠逐渐变大 180140BDA B BAD BAD ∠=︒-∠-∠=︒-∠ 则∠BDA 逐渐变小故答案为：35105︒︒，小； （2）BAD EDC ∠=∠ ADB DEC ∠=∠当DC AB =2=时 ABD DCE ∴≌（AAS ） 2DC ∴=（3）∠ADE 的形状可以是等腰三角形 BDA ∠=110︒或80︒40B C ∠=∠=︒ 1804040100BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒∠当DA DE =时 ()118040702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒ 1007030BAD BAC DAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒1801804030110BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；∠当EA ED =时 ADE ∠=40,1804040100DAE DEA ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒1004060BAD BAC DAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒180180406080BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠当AE AD =时 ADE ∠=40,1804040100DEA DAE ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒100BAC ∠=︒∴此时D 点与B 点重合由题意可知点D 不与点B 、C 重合∴此种情况不存在综上所述当∠ADE是等腰三角形时BDA∠=110︒或80︒．9．如图线段AB=6 射线BG∠AB P为射线BG上一点以AP为边做正方形APCD且点C、D与点B在AP两侧在线段DP上取一点E使得∠EAP=∠BAP直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）（1）求证：△AEP∠∠CEP；（2）判断CF与AB的位置关系并说明理由；（3）△AEF的周长是否为定值若是请求出这个定值若不是请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）CF∠AB理由见解析；（3）是为16．【详解】解：（1）证明：∠四边形APCD 正方形 ∠DP平分∠APC PC=P A ∠APC=90°∠∠APE=∠CPE=45°在∠AEP与∠CEP中AP CPAPE CPEPE PE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AEP∠∠CEP（SAS）；（2）CF∠AB理由如下：∠∠AEP∠∠CEP ∠∠EAP=∠ECP∠∠EAP=∠BAP ∠∠BAP=∠FCP ∠∠APC=90° ∠∠FCP+∠CMP=90° ∠∠AMF=∠CMP ∠∠AMF+∠P AB=90° ∠∠AFM=90° ∠CF∠AB；（3）过点C作CN∠PB．∠CF∠AB BG∠AB ∠∠PNC=∠B=90° FC∠BN∠∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠P AB又AP=CP ∠∠PCN∠∠APB（AAS） ∠CN=PB=BF PN=AB∠∠AEP∠∠CEP ∠AE=CE∠∠AEF的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=16．故∠AEF的周长是否为定值为16．。
人教版八年级上册数学《压轴题测试卷》含答案
人教版八年级上册数学《压轴题测试卷》含答案一、压轴题1．如图1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，直线DE经过点C，过点A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D和E，AD=8，BE=6．（1）①求证：△ADC≌△CEB；②求DE的长；（2）如图2，点M以3个单位长度/秒的速度从点C出发沿着边CA运动，到终点A，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B出发沿着线BC—CA运动，到终点A．M，N两点同时出发，运动时间为t秒(t＞0)，当点N到达终点时，两点同时停止运动，过点M作PM⊥DE 于点P，过点N作QN⊥DE于点Q；①当点N在线段CA上时，用含有t的代数式表示线段CN的长度；②当t为何值时，点M与点N重合；③当△PCM与△QCN全等时，则t=．2．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=29CP，求PFAF的值．（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）3．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC 和△AED 是等边三角形，连接BD ，EC 交于点O ，连接AO ，下列结论：①BD =EC ；②∠BOC =60°；③∠AOE =60°；④EO =CO ，其中正确的有 ．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB =BC ，∠ABC =∠BDC =60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．4．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，以AB 为边向AB 左侧作等边△ABE ，直线CE 与直线AD 交于点F ．请探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC 的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF 和CF 之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB 为边向AB 右侧作等边△ABE ，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC 的度数；（2）在图1中探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．5．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，DAE BAC ∠=∠． （初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB __________EC ．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连结BE 、CD ．当5AB =，2AD =时，在旋转过程中，ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________．6．探究：如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若∠B ＝30°，则∠ACD的度数是 度；拓展：如图②，∠MCN ＝90°，射线CP 在∠MCN 的内部，点A 、B 分别在CM 、CN 上，分别过点A 、B 作AD ⊥CP 、BE ⊥CP ，垂足分别为D 、E ，若∠CBE ＝70°，求∠CAD 的度数；应用：如图③，点A 、B 分别在∠MCN 的边CM 、CN 上，射线CP 在∠MCN 的内部，点D 、E 在射线CP 上，连接AD 、BE ，若∠ADP ＝∠BEP ＝60°，则∠CAD +∠CBE +∠ACB ＝ 度．7．（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌．②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．（2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）8．如图（1），AB ＝4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点 P 在线段 AB 上以 1/cm s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 t （s ）．（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t ＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由， 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．9．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．（1）求OAB ∠的度数；（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值． （3）若45OPD ∠=︒，求点D 的坐标．10．Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别是△ABC 边AC 、BC 上的点，点P 是一动点．令∠PDA =∠1，∠PEB =∠2，∠DPE =∠α．（1）若点P 在线段AB 上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2= ；（2）若点P 在线段AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ； （3）若点P 运动到边AB 的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P 运动到△ABC 形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．11．（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．12．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：（1）非等边的等腰三角形有________条对称轴，非正方形的长方形有________条对称轴，等边三角形有___________条对称轴；（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1-4和图1-5中，分别修改图1-2和图1-3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．13．如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰ABE△中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=12∠AEB．（2）如图3，在非等腰ABE△中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=12∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．14．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=，∠DCE=，BC、DC、CE之间的数量关系为；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．15．小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：（1）取特殊情况，探索讨论：当点E 为AB 的中点时，如图（2），确定线段AE 与DB 的大小关系，请你写出结论：AE _____DB （填“>”，“<”或“=”），并说明理由．（2）特例启发，解答题目：解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE _____DB （填“>”，“<”或“=”）．理由如下：如图（3），过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ．（请你将剩余的解答过程完成） （3）拓展结论，设计新题：在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =，若△ABC 的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你画出图形，并直接写出结果）．16．已知：MN ∥PQ ，点A ，B 分别在MN ，PQ 上，点C 为MN ，PQ 之间的一点，连接CA ，CB ．（1）如图1，求证：∠C=∠MAC+∠PBC ；（2）如图2，AD ，BD ，AE ，BE 分别为∠MAC ，∠PBC ，∠CAN ，∠CBQ 的角平分线，求证：∠D+∠E=180°；（3）在（2）的条件下，如图3，过点D 作DA 的垂线交PQ 于点G ，点F 在PQ 上，∠FDA=2∠FDB ，FD 的延长线交EA 的延长线于点H ，若3∠C=4∠E ，猜想∠H 与∠GDB 的倍数关系并证明．17．直线MN 与PQ 相互垂直，垂足为点O ，点A 在射线OQ 上运动，点B 在射线OM 上运动，点A 、点B 均不与点O 重合．（1）如图1，AI 平分BAO ∠，BI 平分ABO ∠，若40BAO ∠=︒，求AIB ∠的度数； （2）如图2，AI 平分BAO ∠，BC 平分ABM ∠，BC 的反向延长线交AI 于点D ． ①若40BAO ∠=︒，则ADB =∠______度（直接写出结果，不需说理）；②点A 、B 在运动的过程中，ADB ∠是否发生变化，若不变，试求ADB ∠的度数：若变化，请说明变化规律．（3）如图3，已知点E 在BA 的延长线上，BAO ∠的角平分线AI 、OAE ∠的角平分线AF 与BOP ∠的角平分线所在的直线分别相交于的点D 、F ，在ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出ABO ∠的度数．18．完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若3,1a b ab ，求22a b +的值． 解：因为3,1a b ab 所以()29,22a b ab +==所以2229,22a b ab ab ++==得227a b +=．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若228,40x y x y +=+=，求xy 的值；（2）①若()45x x -=,则()224x x -+= ； ②若()()458x x --=则()22()45x x -+-= ； （3）如图，点C 是线段AB 上的一点，以AC BC 、为边向两边作正方形，设6AB =，两正方形的面积和1218S S +=，求图中阴影部分面积．19．如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中；（1）如图2，当∠α＝时，//DE BC，当∠α＝时，DE⊥BC；（2）如图3，当顶点C在△DEF内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N，①此时∠α的度数范围是；②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由；③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．20．已知ABC，P 是平面内任意一点（A、B、C、P 中任意三点都不在同一直线上）．连接 PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．（1）如图，当点 P 在ABC 内时，①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝；②探究 s、t、x、y 之间的数量关系，并证明你得到的结论．（2）当点 P 在ABC 外时，直接写出 s、t、x、y 之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）①证明见解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=10,2 11【解析】【分析】（1）①先证明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；②由全等三角形的性质得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①当点N在线段CA上时，根据CN＝CN−BC即可得出答案；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得t＝2即可；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，则CM＝CN，得3t＝10−8t，解得t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，则3t＝8t−10，解得t＝2；即可得出答案．【详解】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中ADC CEBDAC ECB AC CB∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①当点N在线段CA上时，如图3所示：CN＝CN−BC＝8t−10；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得：t＝2，∴当t为2秒时，点M与点N重合；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，∴CM＝CN，∴3t＝10−8t，解得：t ＝1011； 当点N 在线段CA 上时，△PCM ≌△QCN ，点M 与N 重合，CM ＝CN ，则3t ＝8t−10，解得：t ＝2；综上所述，当△PCM 与△QCN 全等时，则t 等于1011s 或2s ， 故答案为：1011s 或2s ． 【点睛】 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒； （2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，在BCE 和CAD 中，60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ BCE CAD ≌（SAS ），∴∠BCE =∠DAC ，∵∠BCE +∠ACE =60°，∴∠DAC +∠ACE =60°，∴∠AFE =60°．（2）证明：如图1中，∵AH ⊥EC ，∴∠AHF =90°，在Rt △AFH 中，∵∠AFH =60°，∴∠FAH =30°，∴AF =2FH ，∵ EBC DCA ≌，∴EC =AD ，∵AD =AF +DF =2FH +DF ，∴2FH +DF =EC ．（3）解：在PF 上取一点K 使得KF =AF ，连接AK 、BK ，∵∠AFK =60°，AF =KF ，∴△AFK 为等边三角形，∴∠KAF =60°，∴∠KAB =∠FAC ，在ABK 和ACF 中，AB AC KAB ACF AK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ ABK ACF ≌(SAS )，BK CF =∴∠AKB =∠AFC =120°，∴∠BKE =120°﹣60°=60°，∵∠BPC =30°，∴∠PBK =30°， ∴29BK CF PK CP ===， ∴79PF CP CF CP =-=， ∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-=∴779559CP PF AF CP == . 【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.3．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A +∠C =180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF ≌△ACO ，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF ＜CF ，进而判断出∠OBC ＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP 是等边三角形，得出BD=BP ，∠DBP=60°，进而判断出△ABD ≌△CBP （SAS ），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=CE ，①正确，∠ADB=∠AEC ，记AD 与CE 的交点为G ，∵∠AGE=∠DGO ，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE ，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB 上取一点F ，使OF=OC ，∴△OCF 是等边三角形，∴CF=OC ，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB ，∴∠BCF=∠ACO ，∵AB=AC ，∴△BCF ≌△ACO （SAS ），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF ，要使OC=OE ，则有OC=12CE ， ∵BD=CE ，∴CF=OF=12BD ， ∴OF=BF+OD ，∴BF ＜CF ，∴∠OBC ＞∠BCF ，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC ＞30°，而没办法判断∠OBC 大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．4．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．【解析】【分析】（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AF C=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE ，∴△ABG ≌△EBF （SAS ），∴BG ＝BF ，又AF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG 为等边三角形，∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．5．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE ；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7【解析】【分析】（1）由DE ∥BC ，得到DB EC AB AC=，结合AB=AC ，得到DB=EC ； （2）由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB=CE ；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB ≌△EAC ，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC 的AC 始终保持不变，即可．【详解】[初步感知]（1）∵DE ∥BC ， ∴DB EC AB AC=， ∵AB=AC ，∴DB=EC ，故答案为：=，（2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ；[深入探究]（3）如图③，设AB ，CD 交于O ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AD=AE ，AB=AC ，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ，∠ABD=∠ACE ，∵∠BOD=∠AOC ，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高，∴AM=EM=MD ，∴AM+BD=CM ；故答案为：90°，AM+BD=CM ；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，△ADE与△ADC面积的和达到最大，∴△ADC面积最大，∵在旋转的过程中，AC始终保持不变，∴要△ADC面积最大，∴点D到AC的距离最大，∴DA⊥AC，∴△ADE与△ADC面积的和达到的最大为2+12×AC×AD=5+2=7，故答案为7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．6．探究：30；（2）拓展：20°；（3）应用：120【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性质依次求出∠A，∠ACD即可；（2）利用直角三角形的性质直接计算得出即可；（3）利用三角形的外角的性质得出结论，直接转化即可得出结论．【详解】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；故答案为：30，（2）∵BE⊥CP，∴∠BEC＝90°，∵∠CBE＝70°，∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°，∵AD ⊥CP ，∴∠CAD ＝90°﹣∠ACD ＝20°；（3）∵∠ADP 是△ACD 的外角，∴∠ADP ＝∠ACD +∠CAD ＝60°，同理，∠BEP ＝∠BCE +∠CBE ＝60°，∴∠CAD +∠CBE +∠ACB ＝∠CAD +∠CBE +∠ACD +∠BCE ＝（∠CAD +∠ACD ）+（∠CBE +∠BCE ）＝120°，故答案为120．【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的外角的性质，垂直的定义，解本题的关键是充分利用直角三角形的性质：两锐角互余，是一道比较简单的综合题．7．（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+【解析】【分析】（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．【详解】解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD ECB ∠=∠，∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．②∵CDE ∆为等边三角形，∴60CDE ∠=︒．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，又∵ADC BEC ∆∆≌，∴120ADC BEC ∠=∠=︒，∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．③AD BE =ADC BEC ∆∆≌，∴AD BE =．故填：AD BE =；（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，∴ACD ECB ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中，AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴E ACD BC ∆∆≌，∴ADC BEC ∠∠=．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．②∵CDA CEB ∆∆≌，∴BE AD =．∵CD CE =，CM DE ⊥，∴DM ME =．又∵90DCE ∠=︒，∴2DE CM =，∴2AE AD DE BE CM =+=+．故填：①90°；②2AE BE CM =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．8．（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP 和△BPQ 全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.【详解】(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,又∠A=∠B= 90°，在△ACP 和△BPQ 中，{AP BQA B AC BP=∠=∠=∴△ACP ≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.∴∠CPQ= 90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC= BP ，AP= BQ ，34t t xt =-⎧⎨=⎩解得11t x =⎧⎨=⎩; ②若△ACP ≌△BQP ，则AC= BQ ，AP= BP ，34xt t t =⎧⎨=-⎩解得：232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. 【点睛】本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.9．（1）45°；（2）PE 的值不变，PE=4，理由见详解；（3）D(8，0)．【解析】【分析】（1）根据A，B ，得△AOB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可求出∠OAB 的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，再证明△POC ≌△DPE ，根据全等三角形的性质得到OC=PE ，即可得到答案；（3）证明△POB ≌△DPA ，得到PA=OB=DA=PB ，进而得OD 的值，即可求出点D 的坐标．【详解】（1）A，B ，∴OA=OB=∵∠AOB=90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴∠OAB=45°；（2）PE 的值不变，理由如下：∵△AOB 为等腰直角三角形，C 为AB 的中点，∴∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，∵PO=PD ，∴∠POD=∠PDO ，∵D 是线段OA 上一点，∴点P 在线段BC 上，∵∠POD=45°+∠POC ，∠PDO=45°+∠DPE ，∴∠POC=∠DPE ，在△POC 和△DPE 中，90POC DPE OCP PED PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△POC ≅△DPE(AAS)，∴OC=PE ，∵OC=12AB=12×， ∴PE=4；（3）∵OP=PD ，∴∠POD=∠PDO=(180°−45°)÷2=67.5°，∴∠APD=∠PDO−∠A=22.5°，∠BOP=90°−∠POD=22.5°，∴∠APD=∠BOP ，在△POB 和△DPA 中，OBP PAD BOP APD OP PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△POB ≌△DPA(AAS)，∴PA=OB=DA=PB ，∴DA=PB=∴OD=OA−DA=8，∴点D 的坐标为(8-，0)．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质定理，图形与坐标，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键．10．(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．【详解】解：(1) ∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案为：150；(2) ∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案为：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，设DP与BE的交点为F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，设PE与AC的交点为G，∵∠PGD＝∠EGC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．11．（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG，OF=MG，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），设直线PR为y＝kx+b，则341bk b=⎧⎨+=⎩，解得1k2b3⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线PR为y＝﹣12x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.12．（1）1，2，3；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；（2）中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，在图1-4和图1-5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．【详解】解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，故答案为1，2，3；（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．13．（1）见解析；（2）仍然成立，见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和互补等对边四边形的定义可利用SAS证明△ABD≌△BAC，可得∠ADB=∠BCA，从而可推出∠ADB=∠BCA=90°，然后在△ABE中，根据三角形的内角和定理和直角三角形的性质可得∠ABD=12∠AEB，进一步可得结论；（2）如图3所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G，F，根据互补等对边四边形的定义可利用AAS证明△AGD≌△BFC，可得AG=BF，进一步即可根据HL证明Rt△ABG≌Rt△BAF，可得∠ABD=∠BAC，由互补等对边四边形的定义、平角的定义和四边形的内角和可得∠AEB+∠DHC=180°，进而可得∠AEB=∠BHC，再根据三角形的外角性质即可推出结论．【详解】（1）证明：∵ AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，在△ABD和△BAC中，AD=BC，∠DAB=∠CBA，AB=BA，∴△ABD≌△BAC(SAS)，∴∠ADB=∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠ADB=∠BCA=90°，在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA=12（180°−∠AEB）=90°−12∠AEB，∴∠ABD=90°−∠EAB=90°−(90°−12∠AEB)=12∠AEB，同理：∠BAC=12∠AEB，∴∠ABD=∠BAC=12∠AEB；（2）∠ABD=∠BAC=12∠AEB仍然成立；理由如下：如图3所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G，F，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，又∠ADB+∠ADG=180°，∴∠BCA=∠ADG，又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD=∠BFC=90°，在△AGD和△BFC中，∠AGD=∠BFC ，∠ADG=∠BCA ，AD=BC∴△AGD ≌△BFC （AAS ），∴AG=BF ，在Rt △ABG 和Rt △BAF 中，AB BA AG BF =⎧⎨=⎩∴Rt △ABG ≌Rt △BAF （HL ），∴∠ABD=∠BAC ，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠EDB+∠ECA=180°，∴∠AEB+∠DHC=180°，∵∠DHC+∠BHC=180°，∴∠AEB=∠BHC ．∵∠BHC=∠BAC+∠ABD ，∠ABD=∠BAC ，∴∠ABD=∠BAC=12∠AEB ． 【点睛】本题以新定义互补等对边四边形为载体，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理与三角形的外角性质以及四边形的内角和等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．14．（1）70°，40°，BC +DC =CE ；（2）①α=β；②当点D 在BC 上移动时，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB =60°．【解析】【分析】（1）证△BAD ≌△CAE ，推出∠B=∠ACE ，根据三角形外角性质和全等三角形的性质求出即可；（2）①证△BAD ≌△CAE ，推出∠B=∠ACE ，根据三角形外角性质求出即可；②分三种情况：（Ⅰ）当D 在线段BC 上时，证明△ABD ≌△ACE （SAS ），则∠ADB=∠AEC ，∠ABC=∠ACE ，推出∠DAE+∠DCE=180°，即α+β=180°；（Ⅱ）当点D 在线段BC 反向延长线上时，α=β，同理可证明△ABD ≌△ACE （SAS ），则∠ABD=∠ACE ，推出∠BAC=∠DCE ，即α=β；（Ⅲ）当点D 在线段BC 的延长线上时，由①得α=β；（3）当点D 在线段BC 的延长线上或在线段BC 反向延长线上移动时，α=β，由CE ∥AB ，。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题一(含答案) (39)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题一（含答案)如图，ABC和DBE都是等腰直角三角形，AD CE．试猜想线段AD和,,，BD BEABC BA BC DBE∠==∠=9090=，连接,CE之间的数量关系和位置关系，并加以证明．【答案】,=⊥，证明见解析．AD CE AD CE【解析】【分析】根据已知条件利用SAS证明△ABD≌△CBE即可得到=∠=∠∴，延长AD交CE于,F AF交BC于G，利用AD CE BAD BCE,∠=∠，即可证得AD⊥CE.∠+∠+∠=︒，BGA FGC180BAD BGA ABC【详解】AD CE AD CE=⊥,,证明：延长AD交CE于,F AF交BC于G,由于ABC和DBE都是等腰直角三角形,∴==∠=∠=,BA BC BD BE ABC DBE,,90∴∠-∠=∠-∠,ABC DBC DBE DBC∴∠=∠,ABD CBE在ABD △和CBE △中BA BC ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()ABD CBE SAS ≌,,AD CE BAD BCE =∠=∠∴．由于180BAD BGA ABC ∠+∠+∠=︒,180BCE FGC CFG ∠+∠+∠=︒,BGA FGC ∠=∠,FCG ABC ∴∠=∠,90FCG ∴∠=,AD CE ∴⊥,所以,AD CE AD CE =⊥．【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，三角形内角和，对顶角相等.82．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1,△ABC是等边三角形,点D是边BC下方一点,∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD, CE=BD，∠ABD=∠ACE,∠DAE=60°,根据∠BAC+∠BDC=180°,可知∠ABD+∠ACD=180°,则∠ACE+∠ACD=180°,易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．根据上述解题思路,三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；（2）如图2,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC．点D是边BC下方一点,∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）DA=DB+DC；（2DA=DB+DC，证明见解析；【解析】【分析】（1）结论：DA=DB+DC．理由：由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．（2．理由：延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=（DB+DC）2；【详解】（1）结论DA=DB+DC．理由如下：如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB；（2）结论: DA=DB+DC．理由如下：如图,将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE∴AE =AD ，CE =BD ，∠ABD =∠ACE ,∠DAE =90°，∵∠BAC =90°，∠BDC =90°，∴∠ABD +∠ACD =180°，∵∠ABD =∠ACE ，∴∠ACE +∠ACD =180°，∴点D 、C 、E 在同一条直线上．∵∠DAE =90°，DA =EA∴△ADE 是等腰直角三角形，∴DA 2+AE 2=DE 2，∴2DA 2=( DB +DC )2DA =DB +DC ．【点睛】考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，解题关键是添加常用辅助线构造全等三角形．83．如图，已知BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =．求证：B D ∠=∠．【答案】证明见解析．【解析】【分析】根据题意证明BAC DAE ∆≅∆即可求解．【详解】证明：∵BAD CAE ∠=∠∵BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即：BAC DAE ∠=∠在ABC ∆和DAE ∆中AB AD BAC ADE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵()BAC DAE SAS ∆≅∆∵B D ∠=∠【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法．84．如图，已知AE AB ⊥，AF AC ⊥，AE AB =，AF AC =．（1）求证：AEC ABF ∆∆≌；（2）求证：EC BF ⊥．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据垂直的定义和等式的基本性质可得∠EAC=∠BAF ，然后利用SAS 即可证出AEC ABF ∆∆≌；（2）设AB 与EC 的交点为O ，根据全等三角形的性质可得∠AEC=∠ABF ，然后根据对顶角相等可得∠AOE=∠BOM ，再根据三角形的内角和定理和等量代换即可求出∠OMB=90°，最后根据垂直的定义即可证明．【详解】解：（1）∵AE AB ⊥，AF AC ⊥，∴∠EAB=∠CAF=90°∴∠EAB ＋∠BAC=∠CAF ＋∠BAC∴∠EAC=∠BAF在△AEC 和△ABF 中AE AB EAC BAF AC AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEC ABF ∆∆≌（SAS ）（2）设AB 与EC 的交点为O ，如下图所示∵AEC ABF ∆∆≌∴∠AEC=∠ABF∵∠AOE=∠BOM∴∠OMB=180°－∠ABF －∠BOM=180°－∠AEC －∠AOE=∠EAB=90°∴EC BF ⊥【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、对顶角的性质和垂直的判定，掌握全等三角形的判定及性质、对顶角相等和垂直的定义是解决此题的关键．85．（问题）在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点E 在直线BC 上（,B C 除外），分别经过点E 和点B 作AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系.（探究发现）某数学兴趣小组在探究AE ，EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 中点时，只需要取AC 边的中点G （如图1），通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；（数学思考）那么点E 在直线BC 上（,B C 除外）（其他条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”“点E 在线段BC 的延长线上”“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论.【答案】（1）AE EF =；（2）AE EF =；（3）仍然成立AE EF =..【解析】【分析】(1)【探究发现】取AC 中点G ，连接EG ，根据三角形全等的判定即可证明EAG FEB ∆≅∆()ASA ，即可得出AE 和EF 的数量关系;(2)【数学思考】分三种情况讨论:①若点E 在线段BC 上， 在AC 上截取CG CE =，连接GE ;②若点E 在线段BC 的反向延长线上，在AC 反向延长线上截取CG CE =，连接GE ;③若点E 在线段BC 的延长线上，在AC 延长线上截取CG CE =，连接GE ; 根据三角形全等的判定即可证明EAG FEB ∆≅∆()ASA ，即可得出AE 和EF 的数量关系.【详解】（1）AE 和EF 的数量关系为：AE EF =.理由：如图1，取AC 中点G ，连接EG ，ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，AG BE =，CEG ∆ 是等腰直角三角形，45CGE ∴∠=︒，135EGA ∠=︒，AE EF ⊥，AB BF ⊥，135EBF ∴∠=︒，EAG FEB ∠=∠，在EAG ∆和FEB ∆中EAG FEB AG BEEGA FBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EAG FEB ASA ∴∆≅∆，AE EF ∴=.（2）①如图2，若点E 在线段BC 上，在AC 上截取CG CE =，连接GE ，9045,,,90ACB CGE CEG AE EF AB BF AEF ABF ACB ∠=︒∴∠=∠=︒⊥⊥∴∠=∠=∠=︒FEB AEF AEB EAC ACB ∴∠+∠=∠=∠+∠，,,,45,135,FEB EAC CA CB AG BE CBA CAB AGE EBF ∴∠=∠=∴=∠=∠=︒∴∠=∠=︒在EAG ∆和FEB ∆中EAG FEB AG BEEGA FBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EAG FEB ASA ∴∆≅∆，AE EF ∴=.②如图3，若点E 在线段BC 的反向延长线上，在AC 反向延长线上截取CG CE =，连接GE ，9045,,,90ACB CGE CEG AE EF AB BF AEF ABF ACB ∠=︒∴∠==︒⊥⊥∴∠=∠=∠=︒,FEB AEF AEC EAG C AECFEB EAGCA CB ∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠=,45,45,AG BE CBA CAB AGE EBF ∴=∠=∠=︒∴∠=∠=︒在EAG ∆和FEB ∆中EAG FEB AG BEEGA FBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EAG FEB ASA ∴∆≅∆AE EF ∴=.③如图4，若点E 在线段BC 的延长线上，在AC 延长线上截取CG CE =，连接GE ，9045,,,90ACB CGE ABC AE EF AB BF AEF ABF ∠=︒∴∠=∠=︒⊥⊥∴∠=∠=︒+=90=+45FEB AEB EAG AEB EBF GFEB EAGCA CB ∴∠∠︒∠∠∠=︒=∠∴∠=∠=，在EAG ∆和FEB ∆中EAG FEB AG BEEGA FBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EAG FEB ASA ∴∆≅∆AE EF ∴=.【点睛】通过做辅助线得到CG CE =，利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定定理，即可得出AE 和EF 的数量关系，运用“从特殊到一般”的数学思想，利用图形，数形结合推理论证即可，注意情况的分类.86．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，2ABC C ∠=∠．求证：AC AB BD =+ 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法1：如图2，在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，可以得到全等三角形，进而解决问题方法二：如图3，延长AB 到点E ，使得BE BD =，连接DE ，可以得到等腰三角形，进而解决问题（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC AB BD =+（2）根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，EA ED =，2DCB B ∠=∠，90DAE B ∠+∠=︒，探究DC 、CE 、BE 之间的数量关系，并证明【答案】（1）证明见解析；（2）BE DC CE =+，证明见解析【解析】【分析】（1）方法一，在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，用SAS 定理证明ABD AED ∆≅∆，然后得到BD ED =，2AED ABC C ∠=∠=∠，从而得到EDC C ∠=∠，然后利用等角对等边求证ED EC =，使问题得解；方法二，延长AB 到点E ，使得BE BD =，连接DE ，利用三角形外角的性质得到∠ABC=2∠E ，从而得到∠E=∠C ，利用AAS 定理证明△AED ≌△ACD ，从而求解；（2）在EB 上截取EF ，使得EF DC =，连接AF ，利用三角形外角的性质求得AEB AED CDE AED ∠+∠=∠+∠，从而得到AEB CDE ∠=∠，利用SAS 定理证明AEF EDC ∆≅∆，然后利用全等三角形的性质求解．【详解】解：（1）方法一：如图2，在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，∵AD 平分BAC ∠，∴BAO EAO ∠=∠又∵AB AE =，AD AD =∴ABD AED ∆≅∆∴BD ED =，2AED ABC C ∠=∠=∠∵AED C EDC ∠=∠+∠∴EDC C ∠=∠∴ED EC =∴BD EC =∴AC AE EC AB BD =+=+方法二：如图3，延长AB 到点E ，使得BE BD =，连接DE ，∵AD 平分BAC ∠，∴BAO EAO ∠=∠∵BE BD =∴∠ABC=2∠E又∵2ABC C ∠=∠∴∠E=∠C∵AD=AD∴△AED ≌△ACD∴AC=AE=AB+BE=AB+BD（2）在EB 上截取EF ，使得EF DC =，连接AF∵EA ED =∴EAD EDA ∠=∠∴2180DAE AED ∠+∠=︒∵90DAE B ∠+∠=︒∴22180DAE B ∠+∠=︒∴2AED B C ∠=∠=∠∵BED CDE C ∠=∠+∠∴AEB AED CDE AED ∠+∠=∠+∠∴AEB CDE ∠=∠∴AEF EDC ∆≅∆∴EC AF =,2AFE C B ∠=∠=∠∵AFE B BAF ∠=∠+∠∴ABF BAF ∠=∠∴BF AF =∴BF CE =∴BE EF BF DC CE =+=+．【点睛】本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．87．如图，E 是AB 上一点，DE 与AC 交于点F ，AF CF =，//AB DC ．线AE 与DC 有怎样的数量关系，证明你的结论．【答案】AE DC =,证明详见解析【解析】【分析】利用平行线的性质求得A DCF ∠=∠，然后利用ASA 定理证明AEF CDF ∆≅∆，从而使问题求解．【详解】证明： ∵//AB DC∵A DCF ∠=∠又∵AFE DFC ∠=∠，AF CF =∵AEF CDF ∆≅∆（ASA ）∴AE DC =【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，题目比较简单，掌握两直线平行，内错角相等及ASA定理证明三角形全等是解题关键．88．如图，利用尺规，在△ABC的边AC下方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD＝AB．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【答案】作图见解析，证明见解析．【解析】【分析】根据作一个角等于已知角的作法画出∠CAE并截取AD=BC即可画出图形，利用SAS即可证明△ACB≌△CAD，可得CD=AB．【详解】如图所示：∵AC＝CA，∠ACB＝∠CAD，AD＝CB，∴△ACB≌△CAD（SAS），∴CD＝AB．【点睛】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角及全等三角形的判定与性质，正确作出图形并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．⊥，垂足分别是89．如图，点E、F是线段AB上的点，DE AD⊥，CF BC点D 和点C ，DE CF =，AF BE =，求证：//AD BC ．【答案】见解析【解析】【分析】先根据“HL ”证明△ADE ≌△BCF ，可证∠A=∠B ，然后根据内错角相等，两直线平行即可解答．【详解】∵DE AD ⊥，CF BC ⊥，∴∠D=∠C=90°．∵AF BE =，∴AE=BF ．在△ADE 和△BCF 中，∵AE=BF ，DE CF =，∴△ADE ≌△BCF(HL)，∴∠A=∠B ，∴//AD BC ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．90．如图，在等边ABC ∆中，10AB AC BC ===厘米，4DC =厘米，如果点M 以3厘米/的速度运动．（1）如果点M 在线段CB 上由点C 向点B 运动．点N 在线段BA 上由B 点向A 点运动，它们同时出发，若点N 的运动速度与点M 的运动速度相等：①经过“2秒后，BMN ∆和CDM ∆是否全等？请说明理由．②当两点的运动时间为多少秒时，BMN ∆刚好是一个直角三角形？（2）若点N 的运动速度与点M 的运动速度不相等，点N 从点B 出发，点M 以原来的运动速度从点C 同时出发，都顺时针沿ABC ∆三边运动，经过25秒时点M 与点N 第一次相遇，则点N 的运动速度是__________厘米/秒．（直接写出答案）【答案】（1）①BMN CDM ∆≅∆，理由详见解析；②当209t =秒或109t =秒时，BMN ∆是直角三角形；（2）3.8或2.6．【解析】【分析】（1）①根据题意得CM=BN=6cm ，所以BM=4cm=CD ．根据“SAS ”证明△BMN ≌△CDM ；②设运动时间为t 秒，分别表示CM 和BN ．分两种情况，运用特殊三角形的性质求解：I ．∠NMB=90°；Ⅱ．∠BNM=90°；（2）点M 与点N 第一次相遇，有两种可能：∵．点M 运动速度快；②．点N 运动速度快，分别列方程求解．【详解】解：（1）∵BMN CDM ∆≅∆．理由如下：3N M V V ==厘米/秒，且2t =秒，236()CM cm ∴=⨯=236()BN cm =⨯=1064()BM BC CM cm =-=-=BN CM ∴=4()CD cm =BM CD ∴=60B C ∠=∠=︒，BMN CDM ∴∆≅∆．(SAS)∵设运动时间为t 秒，BMN ∆是直角三角形有两种情况：∵．当90NMB ∠=︒时，60B ∠=︒，90906030BNM B ∴∠=-∠=-︒=︒︒︒，2BN BM ∴=，32(103)t t ∴=⨯-209t ∴=（秒）； ∵．当90BNM ∠=︒时，60B ∠=︒，90906030BMN B ∴∠=-∠=-︒=︒︒︒．2BM BN ∴=，10323t t ∴-=⨯109t ∴=（秒） ∴当209t =秒或109t =秒时，BMN ∆是直角三角形； （2）分两种情况讨论：∵．若点M 运动速度快，则3251025N V ⨯-=，解得 2.6N V =； ∵．若点N 运动速度快，则2520325N V -=⨯，解得 3.8N V =． 故答案是3.8或2.6．【点睛】本题考查等边三角形的性质和特殊直角三角形的性质及列方程求解动点问题，两次运用分类讨论的思想，难度较大．三、填空题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
人教版《义务教育课程标准教科书·数学》专题复习证明线段间的数量关系教学设计工作单位：天津市西青区杨柳青第三中学姓名：杨燕2015年11月19日专题复习证明线段间的数量关系一、内容和内容解析（一）内容证明线段间的数量关系（二）内容解析证明线段相等是几何学习中的一个重要部分，解决线段相等的问题，需要综合应用三角形全等、等腰三角形的有关性质、线段中垂线性质及角平分线性质等知识.学生所遇到的几何问题多为证明线段的相等、线段的和差倍分问题，然而，对于初步涉入几何证明的学生而言，如何证明两条线段相等、线段的和差倍分问题，是有一定难度的，特别对方法的选择，往往让学生无法着手.为此，围绕“证明线段间的数量关系”这一专题，设计本节复习课，通过课题引入、实例分析、一题多变（多解）、归纳总结等教学过程，让学生对“证明线段间的数量关系”的方法确立一个较为系统的认知，并加以实际运用.通过本节课的学习，一方面可以让学生系统地掌握证明线段相等及证明和差倍分的方法；另一方面，帮助学生加深相关的几何知识、定理的认识，并结合问题渗透转化的思想方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力.基于以上分析，本节课的教学重点是：运用相关知识证明线段间的数量关系及渗透转化的思想方法.二、目标和目标解析（一）目标1. 能够判断并会证明线段间的数量关系.2. 通过对线段间和差倍分关系的探究，经历解决问题的过程,体会转化的数学思想.3. 通过规范解题格式，进一步训练推理能力，提高解题技能；通过一题多解开拓解题思路，优化解题方法；通过一题多变强化思维训练，提升数学解题能力.（二）目标解析目标1要求学生能用证明线段相等的几种常用方法证明两条线段相等，熟练运用三角形全等的有关性质、等腰三角形性质等知识解决线段间和差倍分问题.目标2要求学生经历师生互动的学习过程，体会演绎证明的严谨性，进一步提升分析、解决几何问题的能力；尝试探究，将归纳出的“证明线段相等”的方法融合到解决问题中去，感悟转化的思想.目标3要求学生在分析、解决线段间数量关系问题时，能准确表述推理过程；在解决证明线段相等问题时，能从多角度考虑，并能比较选出最优解法；在解决变式问题时，能找出变化中的不变量，运用已有的经验解决问题.三、教学问题诊断分析本节课的教学对象为中学八年级的学生.在此之前，学生已掌握了三角形全等、等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线和角平分线等相关知识，初步具备了“证明线段间的数量关系”的基础.虽然学生已经学习过证明两条线段相等的方法，但是综合运用以前所学知识来证明线段相等，严密、规范地写出解题过程及准确地选出最优解法，对于部分学生还存在一定困难；证明线段的和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题.“转化”是证明线段的和差倍分问题的指导思想，由于学生对此类问题接触较少，因此如何进行思考，他们还需要一定的引导，以便对证明线段的和差倍分问题的一般方法形成一个较为系统的认识，为后续的学习奠定良好的基础.综上所述，本节课的难点是：证明过程中书写的严密性、规范性和方法的优化及如何将证明线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题.四、教学过程（一）课前准备1.证明线段相等的常用方法师生活动：学生课前在导学案完成，课上教师展示学生完成结果，订正.【设计意图】让学生建构“证明线段相等”的知识体系，为本节课的学习进行铺垫. 2.课前展标师生活动：学生思考记忆，教师展示本节课要达到的目标. 【设计意图】让学生明确本节课的要求.（二）典型例题例1 如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB =AC ，AD =AE . 求证 BD =CE .师生活动：学生思考、在导学案完成，教师巡视、指导、讲评.【设计意图】本题是八上教材82页第6题，学生相对比较熟悉，既符合学生最近发展区，又能够充分调动学生学习与探究的积极性.通过这道题，一方面进一步巩固证明线段相等的两种方法，熟悉等腰三角形的基本图形；另一方面训练推理求解过程中书写的严密性、规范性及方法的优化. 题后及时进行归纳总结，养成良好的学习习惯.通过一题多解，培养学生发散思维能力.例2 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 和BE 分别是BC 边和AC 边上的高，ABC DE EAH交于点H ，且AE =BE .求证 AH =2BD .师生活动：学生思考，教师引导、分析、板书.【设计意图】本题是八上教材91页第3题改编加深的题目，通过例1学生对等腰三角形的基本图形应比较熟悉了，但对于如何证明倍分问题会感到困难，通过教师及时引导、分析，让学生学会解决此类问题的思考方法，感悟转化思想.通过板书，规范解题格式；通过反思，培养良好的学习习惯.例3 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点D ，过点D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F .探究线段EF ,BE 和CF 之间的数量关系.师生活动：学生思考，猜想，得出结论，教师引导，分析.【设计意图】本题是八上教材83页第10题改编的题目，通过例2的问题解决，学生对转化思想已有所体会，但对于如何证明三条线段间的数量关系问题仍会感到困难，通过教师及时引导、分析，让学生学会解决此类问题的思考方法，再次感悟转化思想. 解决该问题的过程设计为：学生先进行猜想，再运用相关知识进行论证，使学生经历了一个观察、猜想、探究、推理、认识基本图形的全过程，由发展学生合情推理能力到发展学生的演绎推理能力.变式 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线和∠ACB 的外角平分线 交于点D ,过点D 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F , 问：线段EF ,BE 和CF 之间的上述关系还成立吗？如不成立，请说出它们的关系并证明.师生活动：学生思考，猜想，小组交流，完成.课上教师展示学生完成结果，订正.【设计意图】学生通过例3的探究，对于解决线段和差问题已经积累了一定的经验，此时类比例3的探究过程，通过小组内生生互动，最终自己在学案中完成，培养学生自主探究学习的优秀品质和严谨的逻辑思维能力.积累利用已有的知识、经验解决未知问题的经验，培养学生良好的学习习惯.（三）归纳总结1.证明线段相等的常用方法有哪些？2.线段间有哪些数量关系？解决问题时常用到哪种数学思想方法？3.本节课涉及到哪些基本图形？C ABF DECA BFDE师生活动：学生思考，回答问题；教师展示结果，评价.【设计意图】引导学生及时总结归纳出解题思路、方法等等，体会转化思想在学习线段和差倍分问题中的作用，进一步积累解题经验．同时，让学生学会反思，养成良好的学习习惯.（四）分层作业 必做题1. 如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线 CE 交AB 于点E ，过点E 作BC 的 平行线交AC 于点D ,交∠ACB 的外角∠ACG 的平分线 于点F . 求证 DE =DF2.如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE ∥AB ， 过点E 作EF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F . 求证 （1）DE=DC=EC ；（2）DF=2DE .3. 如图，已知点D 是AC 上一点，△DEC 是等腰三角形，DE =DC ， 且∠BAC =∠ABC . 求证：BC =AD +DE .【设计意图】分层作业，使“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”． “必做题”是帮助学生巩固基础知识和基本技能；“选做题”是为学有余力的学生设置的，主要是培养学生综合运用能力.（五）达标检测GA BC DEFFABCD EFAED ABE1.如图，已知在△ABC中，AB=AC, ∠A=120°，AE=CE，FE⊥AC于点E，交BC于点F.求证BF=2CF证明：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠BAC=120°，∴∠B+∠C=60°.∵AB=AC，∴∠=∠= °.∵FE⊥AC，AE=CE，∴= .∴∠=∠= °.∴∠BAF=∠BAC－∠= °.∵在Rt△ABF中，∠B=30°，∴BF= .∵= ，∴BF=2CF.2.如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角，过交点D作BC的平行线交AB的延长线于点E,交AC的延长线于点F.线段EF、BE和CF之间又会有怎样的数量关系呢?请说出它们的关系并证明.师生活动：学生课上在导学案完成，课上教师订正，小组成员互评.【设计意图】及时反馈矫正.五、板书设计AB CE D F【设计意图】将黑板分成左右两部分，它们对课堂所起的作用分别是：左边让学生明确知识要点和相应的数学思想、方法，突出本节课的重点；右边是解题板书，给学生示范. 该板书设计突出本节课的核心内容，能够有效利用黑板，起到辅助教学、提高课堂教学效益的作用.六、教学设计说明（一）本节课体现我校的“导学式”高效教学模式，教学过程主要包含以下几个环节：1.提出目标；2.典型例题；3.归纳总结；4.分层作业；5.达标检测. 在典型例题环节，精心选择了具有典型性、代表性、“难易适度”（太简单，不利于培养学生的解题能力，太难，不利于调动学生学习的积极性）的3道例题，使学生通过对这些题的分析，掌握分析和解决同类问题的思路和方法，能举一反三.在归纳总结环节，让学生通过独立思考、合作交流，及时总结归纳出本节课的解题思路、方法和体会（包括解题经验与教训）等等，在积极参与归纳总结的教学活动过程中，感悟转化的数学思想，积累数学学习活动经验.（二）在本节课上，充分发挥学生的主体地位，给学生充分的自我展示的机会，让学生上讲台展示自己的做法，整堂课体现了课标中的“教师为主导，学生为主体”的思想.在课堂上，借助小组讨论的形式，开展互动式学习，充分调动学生的积极性、主动性，让学生在思维碰撞中产生“火花”，在自我展示和讲解中发展能力，在交流合作中实现共同进步.（三）在教学中，将交互式电子白板融入课堂教学，利用电子白板的功能完成批注，运用实物投影，展示学生的证明过程，形象、直观的呈现素材，及时反馈学生的课堂达成情况，激发学生的学习兴趣，运用几何画板的动态功能，进行几何图形的连续变式，让学生直观感受图形间的变化与联系，从而突破难点，提高课堂效率.。