第四讲矩形和菱形性质和判定

第四讲矩形和菱形性质和判定
矩形的性质：
矩形的判定： _______________________________________________________________________________________________ 1. 如图，在矩形ABCD中，延长AB至E，BE=DF，连EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点.
BP=1，PQ=2 2 ，∠ AEF=45°，求矩形ABCD的面积.
2. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F在AC上，且AE=CF。

( 1)求证：△ BOE≌△ DOF
( 2)若BD=EF，连DE，BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由。

3. 如图，AB=CD，AD=AE，DE=BC，且∠ BAD=∠ CAE，求证：四边形EBCD是矩形。

4. 如图，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形
5. 在?ABCD中,过点D作DE⊥ AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.
(1) 求证:四边形BFDE是矩形;
(2) 若CF=3，BF=4，DF=5，求证:AF 平分∠ DAB.
6. 如图,在△ ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ BCA的角平分线于点E，
交∠ BCA的外角平分线于点F.
(1) 求证：EO=FO；
(2) 当点O 运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论。

7. 已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
( 1)求证：△ BOE≌△ DOF；
1
( 2)若OA= BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．
2
菱形的性质： _______________________________________________________________________________________________
菱形的判定： _______________________________________________________________________________________________
1、如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为__ .
2、如图2,在菱形ABCD中, 对角线AC=4,∠ BAD=120° , 则菱形ABCD的周长为 __________
3、如图3, 在菱形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O,下列结论：① AC⊥BD;②OA=OB③; ∠ ADB=∠ CDB;④△ ABC是等边三角形, 其中一定成立的是 ___________
4、如图4，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB=2，∠ ABC=60°，则BD的长为___________
BD=4，则菱形
ABCD 的周长是 __________
例 1.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B=60°，∠FAC 、∠ECA 是△ABC 的两个外角， AD 平分∠ FAC ，CD 平分∠ ECA.求证：四边形 ABCD 是菱形。

例 2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M ，与 BC 相交于点 N ，连接 BM ，
DN.(1) 求证：四边形 BMDN 是菱形； (2) 若 AB=4， AD=8，求 MD 的长。

例 3.如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， E 、 F 为对角线 AC 上两点，且 AE=CF ，DF ∥BE ，AC 平分∠ BAD ， 求证：四边形 ABCD 为菱形。

例 4：如图 , 在 Rt △ABC 中, ∠ACB=90°,D 为 AB 的中点 , 且 AE ∥CD,CE ∥ AB.
(1) 证明：四边形 ADCE 是菱形； (2) (2) 若∠ B=60°,BC=6,求菱形 ADCE 的高 .
5、如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O ，E 、
F 分别是 AB 、 BC 的中点，连 EF ，若 EF=
3 ，
例5：已知：如图，在?ABCD中，E，F 分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.
（1）求证：△ ABE ≌△ CDF；
（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由。

是（
A. 平行四边形ABCD
B. 菱形ABCD
C. 矩形ABCD
D. 对角线互相垂直的四边形ABCD
5. 如图所示，在△ ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ ABD，等边△ ACE，等边△ BCF. （1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题（只填满足的条件，不需证明）：
①当△ ABC满足 __________________ 条件时，四边形DAEF是矩形；
练习：如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点 B 落在AC上的点M处，将边CD沿CF 折叠，使点D落在AC上的点N 处.
1）求证：四边形AECF是平行四边形；
2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面
积.
作业： 1. 矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（
A. 对角相等
B. 对角线互相平分
C. 对角线相等
D. 对边相等
2. 如图，矩形ABCD沿AE 折叠，使D点落在BC边上的F 点处，如果∠BFA＝
30°，那么∠
A.20 °
B. 30
C. 45
D. 60
3. 菱形具有而一般平行四边形不一定具有的特征是（
A. 对边相等
B. 对角线互相平分
C. 对角相等
D. 对角线互相垂直平分
4. 已知四边形ABCD，顺次连接各边中点，得到四边形EFGH，添加下列条件能使四边形EFGH成为菱形的
第8题
图
__ 条件时，四边形 DAEF 是菱形形； __ 条件时，以 D 、 A 、 E 、F 为顶点的四边形不存在
E
②当△ ABC 满足
③当△ ABC 满。