知识讲解-单调性与最大(小)值-基础
1函数的单调性知识讲解
练习: 1.证 明 函 数 f(x)=-2x+1在 R上 是减函数;
2.求 函 数 f ( x ) x 3 在 x 0上 x
的单调性.
三.单调性的应用
例3：已知f(x)是定义在[-1，1]上的 增函数，且f(x-1)<f(x2-1).求实数x 的范围
高考真题：
1．（2009 福建卷理）下列函数 f (x) 中，满足“对任意 x1 ，x2 （0， ），当 x1 < x2 时，都有 f (x1) > f (x2 ) 的是
告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少 时,压强p将增大.试用函数单调性证明之.
用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤：
1、设元： 设 x1,x2 给定 ,且 区 x1x间 2.
2、作差： 计f算 (x1)f(x2)至最 . 简
3、变形：
4、定号： 判断上述差的符号 . 5、结论： 若差0则为增函.数
A． f (x) = 1 x
C . f (x) =2x+2
B. f (x) = (x 1)2
D.
(x)
1 =x-1
x2 4x,
2．（2009
天津卷理）已知函数
f
(x)
4 x
x2,
x0 x0
若 f (2 a2 ) f (a), 则实数 a 的取值范围是
A (, 1) (2, ) B (1, 2)
练习2、已知函数f(x)=x2+ax-1在(-∞,1] 上单调递减，求实数a的范围
4.说出下列函数的单调性:
(1) y k x b; (2) y ax 2 bx c; (3) y k ;
x (4 ) y x k (k 0 ).
单调性与最大小值实例教案
点击此处获取的文章，以下内容为：单调性与最大小值实例教案一、教学目的1、使学生能够掌握函数的单调性及最大值和最小值的概念和判定方法。
通过教学使学生掌握具备单调性的函数的概念，并掌握合理选择单调区间的方法。
以实例提高学生发现、研究、解决问题的能力。
2、使学生掌握基本函数的单调性及最大值最小值的求法。
通过教学使学生掌握不等式的解法，借此提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容一、函数的单调性与最大小值概念1、函数的单调性概念：函数在单调上升或单调下降的区间叫做单调区间，如果函数在某一区间内具有单调性，就称此函数在这一区间内是单调函数。
2、最大值和最小值的概念：函数在某一区间中，取得最大值或最小值，就称这个点为函数在这一区间的最大值或最小值。
二、函数的单调性判定法1、借助导数可以判断函数的单调性。
2、当函数的导数为正时，函数单调上升；当函数的导数为负时，函数单调下降；3、当函数的导数为零时，函数在该点处可能取极大值或极小值，需要进一步判定。
三、最大值最小值的判定方法1、对基本函数，最大值、最小值的判定方法比较简单。
对于普通函数，需要通过求导后分析才能得出最大值、最小值。
2、求解最大值、最小值的方法可以应用数学分析等工具。
3、实例教学可以提高学生对函数单调性和最大小值判定方法的理解和掌握。
三、教学方法1、讲解法。
通过讲解基本函数和案例讲解单调性判断的基本思路以及最大值、最小值的判定方法。
2、实例分析法。
通过对具体实例进行分析，引导学生了解如何判定最大小值和单调性。
3、巩固练习法。
通过练习，提高学生自己判定实例的能力。
四、教学手段1、黑板演示，引导学生了解基本函数的单调性和最大小值的判定方法。
2、实际案例演示，通过具体案例分析，便于学生更好地理解单调性与最大小值概念及判定方法。
3、个性化教学，让学生自主探究，指导学生完成实例分析与判定。
五、教学过程第一部分：知识讲解（15分钟）1、引入函数单调性和最大小值的概念，介绍基本函数的特点。
导数与函数的单调性、极值与最值-讲义(学生版)
导数与函数的单调性、极值与最值一、课堂目标1．掌握利用导数求解函数单调区间的方法步骤 ．2．掌握极值与极值点的概念，能够结合函数与导数图象找出极值点与极值 ．3．掌握利用导数求解函数极值的方法步骤．4．掌握利用导数求解给定区间上可导函数最值的方法步骤．二、知识讲解1. 导数与函数单调性知识精讲（1）导数与函数单调性①如果在区间内，，则曲线在区间对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于，曲线呈上升状态，因此在上是增函数，如下图所示；，（）（），（），②如果在区间内，，则曲线在区间对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于，曲线呈下降状态，因此在上是减函数，如下图所示.，（）（），（），（2）导数绝对值的大小与函数图象的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓.知识点睛函数在区间可导.（1）若，则函数在此区间内单调递增；（2）若，则函数在此区间内单调递减；（3）若，则函数在此区间内为常数函数.经典例题A.① B.② C.③ D.④1.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（）．巩固练习2.是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能是下列选项中的（ ）．A.B.C. D.经典例题A. B.C.D.3.函数的图象如图所示，则的图像可能是（ ）．A.4.已知函数的图像如图所示，则等式的解集为（ ）．B.C.D.巩固练习A.B.C.D.5.如果函数的图像如右图，那么导函数的图像可能是（）．2. 利用导数求函数的单调区间的步骤知识精讲（1）确定的定义域；（2）求导数；（3）由（或）解出相应的的取值范围.当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数.知识点睛需要注意的是：1.在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题是必须在定义域内进行；2.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点（即导函数的零点）外，还要注意定义域内的不连续点和不可导点.经典例题A. B.C.D.6.函数的单调递增区间是（）．巩固练习A. B.C. D.7.函数的单调递增区间为（）．A.B.C.D.8.函数，的单调递减区间是（ ）．和和和和经典例题A. B.C.D.9.函数在上是减函数，则的取值范围是（）．巩固练习A. B.C. D.10.若为函数的递增区间，则的取值范围为（）．A. B.C.D.11.若函数为增函数，则实数的取值范围为（ ）．经典例题12.已知在区间上不单调，实数的取值范围是（ ）．A. B.C.D.巩固练习A. B.C. D.13.已知函数在上不单调，则的取值范围是（）．经典例题14.函数在上存在单调增区间，则实数的范围是．巩固练习A. B.C.D.15.若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（）．3. 导数与函数的极值知识精讲函数极值与极值点的定义一般地，设函数的定义域为，设，如果对于附近的任意不同于的,都有：①，则称为函数的一个极大值点，且在处取极大值;②，则称为函数的一个极小值点，且在处取极小值.极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小.（）（）（）（）（）（）（）（）（）知识点睛极值点的判断一般地，设函数在处可导，且.①如果对于左侧附近的任意，都有，对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极大值点；②如果对于左侧附近的任意，都有，对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极小值点；（）（）（）（）（）（）（）（）③如果在的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则一定不是的极值点.（）（）经典例题A.B.C. D.16.函数在上的极小值点为（）．A.B.C.D.17.已知，在处有极值，则，的值为（ ）．，或，，或，，以上都不正确巩固练习A.B.C.D.18.函数的极大值为，那么等于（）．4. 求函数的极值的方法知识精讲求极值的步骤：（1）求导数；（2）求方程的所有实数根；（3）检验在方程的根的左右两侧的值的符号：①如果是左正右负，则在这个根处去的极大值；②如果是左负右正，则在这个根处去的极小值；③如果是左右同号，则在这个根处无极值.知识点睛导数与极值的关系：如果函数在区间上是单调递增的，在区间上是单调递减的，则是极大值点，是极大值.如果函数在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增的，则是极小值点，是极小值.经典例题（1）（2）19.求下列函数的极值．．．巩固练习（1）（2）20.求下列函数的极值．．．A. B. C.D.21.设函数，则函数的极小值为（）．经典例题22.判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．．巩固练习23.判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．．经典例题24.设函数在和处有极值，且，求，，的值及函数的极值．25.若有极大值和极小值，则的取值范围是 .巩固练习26.已知函数在处取得极值，求的值．5. 求函数在上的最值的步骤知识精讲（1）函数的最大（小）值一般地，如果在上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.（2）求函数在上的最值的步骤①求函数在区间上的极值；②将函数的各极值点与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.知识点睛最值与极值的区别与联系（1）函数的最值是一个整体性的概念，反映的是函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较；函数的极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；（2）函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有；（3）极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得；函数有极值时不一定有最值，有最值时也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得必定是极值.经典例题27.已知函数，求函数在上的最大值和最小值．巩固练习28.函数的最大值为．A.， B.，C.，D.，29.函数在区间上的最大值，最小值分别为（）．30.函数，的最小值等于．经典例题A. B.C.D.31.函数在上最大值为，最小值为，则实数取值范围为（）．巩固练习A. B.C. D.32.若函数在内有最小值，则的取值范围是（）．经典例题（1）（2）33.已知函数．求曲线在点处的切线方程．求函数在区间上的最大值和最小值．巩固练习（1）（2）34.已知函数，曲线在处的切线经过点．求实数的值．设，求在区间上的最大值和最小值．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！四、出门测（1）（2）35.已知函数．写出函数的单调递减区间．求函数的极值．11（1）（2）36.已知函数．求曲线在点处的切线方程；求在区间上的最小值和最大值．。
高中数学二次函数最值与单调性解题方法
高中数学二次函数最值与单调性解题方法二次函数是高中数学中非常重要的一个知识点，掌握二次函数的最值与单调性解题方法对于学生来说是至关重要的。
本文将从最值和单调性两个方面介绍二次函数的解题方法，并通过具体的例题来说明考点和解题技巧。
一、二次函数的最值解题方法1. 最值的概念首先，我们来了解一下最值的概念。
对于一个函数，最大值是指函数在定义域内取得的最大值，最小值是指函数在定义域内取得的最小值。
2. 最值的求解方法对于二次函数，我们可以通过求导数的方法来求解最值。
具体步骤如下：（1）先求出二次函数的导数；（2）令导数等于零，解方程得到临界点；（3）将临界点代入原函数，求出函数在临界点处的函数值；（4）比较函数值，得出最值。
下面通过一个例题来说明最值的求解方法。
例题1：求函数f(x) = x^2 - 2x + 3的最值。
解：首先求导数，f'(x) = 2x - 2。
令f'(x) = 0，解方程得到临界点x = 1。
将临界点代入原函数，f(1) = 1^2 - 2 * 1 + 3 = 2。
因此，函数f(x)的最小值为2。
二、二次函数的单调性解题方法1. 单调性的概念单调性是指函数在定义域内的增减性质。
对于一个函数，如果在定义域内任意两个点x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) < f(x2)，则函数为增函数；当x1 < x2时，有f(x1) > f(x2)，则函数为减函数。
2. 单调性的判断方法对于二次函数，我们可以通过判断二次函数的二次项系数的正负来判断函数的单调性。
（1）当二次项系数大于零时，二次函数开口向上，函数为增函数；（2）当二次项系数小于零时，二次函数开口向下，函数为减函数。
下面通过一个例题来说明单调性的判断方法。
例题2：判断函数g(x) = -x^2 + 4x - 3的单调性。
解：由于二次项系数为负，所以二次函数开口向下，函数为减函数。
综上所述，通过求导数的方法可以求解二次函数的最值，而通过判断二次项系数的正负可以判断二次函数的单调性。
函数的最大(小)值 说课稿 教案 教学设计
单调性与最大（小）值一、 教学内容解析函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都要经历直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.二、教学目标按照教学大纲的要求，根据教材和学情，确定如下教学目标： 1.从实际问题出发，使学生通过观察、思考，直观感知函数的单调性.通过探究，讨论函数图像的变化趋势与y 值随自变量x 的变化情况之间的关系.让学生体验“任意”二字的含义，将图形语言与自然语言建立联系.在此过程中培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯.2.从具体的二次函数2x y =在区间),0(+∞上为增函数入手，通过学生对“y 值随x 的增大而增大”的逐层深入认识，将自然语言转化为数学符号语言，教师再加以合理引导，顺利突破本课第一个难点。
使学生从形与数两方面理解增、减函数的概念，掌握运用函数图像和单调性的定义判断函数单调性的方法.在此，让学生领会数形结合的数学思想方法，经历从具体到抽象，从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.3．通过对增、减函数概念的深入挖掘，初步掌握证明函数单调性的方法与步骤，培养学生归纳、概括、抽象的能力和语言表达能力，提高学生的推理论证能力.三、学生学情分析 学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，已具备了一定的观察事物能力和抽象思维能力，但对于感性思维向理性思维的过渡仍有一定的障碍，对于自然语言向符号语言的转化，学生会觉得比较困难.另外，单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.四、重、难点分析重点：增、减函数概念的形成及单调性的初步应用.难点：增、减函数的概念形成以及根据定义证明函数的单调性. 五、教学策略分析本节课是函数单调性的起始课，根据新课改的教学理念，结合本节课的教学内容和学生的认知水平，主要采用让学生自主探究、独立思考、合作交流、探究成果展示及教师启发引导的教学方式进行教学.同时使用多媒体辅助教学，增强直观性，提高教学效果和教学质量.在学生的学法上我重视让学生利用图形直观启迪思维，完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．六、教学过程 （一）创设情境 引例某品牌电热水壶，烧开一壶水需要6分钟，水开后自动断电，50分钟后冷却至室温.（1）你能描述一下，水温随时间的变化时如何变化的吗？ （2）你能用图像表示出这种变化关系吗？（3）你能将“图像的变化趋势”与“水温随着时间的增加而变化”相结合起来吗？这是一个实际问题，在描述上述变化关系时，把定义域分成了两个区间去研究.函数图像上升、下降的趋势反应的是函数的一个基本性质------函数的单调性.（通过朴素的实际问题，让学生把增、减函数的图形语言与自然语言对应起来，同时为理解函数的单调性是函数的局部性质打下伏笔.）（二）自主探究1. 个人独立完成或学习小组合作完成.任意写出一个函数的解析式及定义域，画出草图，任意列出一些自变量和相应的函数值，将“图像的上升、下降趋势”与“y 值随x 的变化”结合起来.2.展示探究成果. 探究成果预设：)(2R x x y ∈= }0{1≠=x x xyX<0 x>0 x y-3 -4 -2 -3 -1 -20 -11 02 13 2x y0.5 21 12 0.53 0.334 0.255 0.2)(2R x x y ∈=,在),(+∞-∞上，y 值随x 的增大而增大，图像是上升的.)0,(-∞∈x 时，y 值随x 的增大}0{1≠=x x x y 当),0(+∞∈x 时，y 值也随x 的增而减小，图像是下降的；当大而减小，图像也是下降的.xy 1=的图像在整个定义域上教师追问：能不能说是下降的？能不能说整个定义域上y 值随x 的增大而减小？二次函数2x y =的函数值y 3.教师用几何画板演示随x 的变化而变化的过程，并任意选取自变量给出相应的y 值，让学生再次感受图像上升与y 随x 的增大而增大相对应；图像下降与y 随x 的增大而减小相对应.(三)抽象出增、减函数的定义1.问题引导：究竟如何理解“y 随x 的增大而增大”呢？学生探讨，得出“y 随x 的增大而增大”可以用符号语言表示为“当21x x <时，都有)()(21x f x f <”.函数2x y =，在),0(+∞∈x 上满足，当21x x <时，)()(21x f x f <，则2x y =在),0(+∞上是增函数.2.一般的，对于函数x f y (=），在定义域的某个区间),(b a 上，如何说明它是增函数呢？让学生归纳出增函数的定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.用图像刻画增函数.3.对比增函数的定义，由学生归纳出减函数的定义. 一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间D 上是减函数.用图像刻画减函数。
函数的单调性与极值点例题和知识点总结
函数的单调性与极值点例题和知识点总结在数学的学习中，函数的单调性与极值点是非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际问题的解决中发挥着巨大作用。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入理解函数的单调性与极值点，并对相关知识点进行总结。
一、函数单调性的定义函数的单调性指的是函数在其定义域内的增减性质。
如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值$x_1$、＄x_2$，当$x_1 ＜x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就称函数在这个区间上是增函数（或减函数）。
例如，函数$f(x) ＝ x^2$在区间$（＼infty, 0)＄上是减函数，在区间$（0, ＋＼infty)＄上是增函数。
二、判断函数单调性的方法1、定义法设$x_1$、＄x_2$是给定区间上的任意两个自变量的值，且$x_1 ＜x_2$，计算$f(x_2) f(x_1)＄，若$f(x_2) f(x_1) ＞ 0$，则函数在该区间上是增函数；若$f(x_2) f(x_1) ＜ 0$，则函数在该区间上是减函数。
例 1：判断函数$f(x) ＝ 2x 1$在区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上的单调性。
解：设$x_1$，＄x_2$是区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上的任意两个实数，且$x_1 ＜ x_2$。
则$f(x_2) f(x_1) ＝（2x_2 1) （2x_1 1) ＝ 2(x_2 x_1)＄因为$x_1 ＜ x_2$，所以$x_2 x_1 ＞ 0$，＄2(x_2 x_1) ＞ 0$，即$f(x_2) f(x_1) ＞ 0$。
所以函数$f(x) ＝ 2x 1$在区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上是增函数。
2、导数法对于可导函数，如果其导数$f'（x) ＞ 0$，则函数在相应区间上是增函数；如果$f'（x) ＜ 0$，则函数在相应区间上是减函数。
函数的基本性质-1.3.1单调性与最大(小)值-学生用
三人行学堂学科老师个性化教案教师 陈永福学生姓名上课日期 上课时段 年 月 日 到 学科数学年级高一（上） 必修一类型新课讲解□ 复习课讲解□教学目标教学内容 单调性与最大（小）值学习问题解决1、函数单调性的证明及判断方法2、由函数的单调性求参数的取值范围3、由函数的单调性解不等式4、求函数的最大（小）值知识清单1、增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数f （x ）的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的 两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 <x 2时结论 那么就说函数f(x)在区间D 上是 函数 那么就说函数f(x)在区间D 上是函数图示2、如果函数)(x f y =在区间D 上是 函数或 函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做函数)(x f y =的 。
3、函数的最大（小）值一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足 （1）对于任意的I x ∈，都有 （1）对于任意的I x ∈，都有 （2）存在I x ∈0，使得 （2）存在I x ∈0，使得 那么就称M 是函数)(x f y =的最大值 那么就称M 是函数)(x f y =的最小值方法探究一、函数单调性的证明及判断方法 方法点拨1、函数单调性的证明：现阶段只能用定义证明，其步骤为（1）取值：设x 1，x 2为该区间内任意两个自变量的值，且x 1 <x 2；（2）作差变形：作差f(x 1)-f(x 2)，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； （4）作结论：根据定义作出结论；其中最关键的步骤为作差变形，在变形时一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方式，直到符号判断水到渠成。
2、函数单调性的判断方法（1）图像法：先作出函数图象，利用图象直观判断函数单调性；（2）直接法：就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接判断它们单调性。
高一数学复习知识讲解课件25 单调性与最大(小)值(第1课时) 函数单调性
3.2函数的基高一数学复习知3.2.1单调性与最大函数单调数的基本性质复习知识讲解课件最大(小)值(第1课时)数单调性在区间D上单调递增在区间D上单调递减要点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上__________这一区间具有_________________，区间注意：(1)函数单调性关注的是整个区间单调递增或(严格的)单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大_______________，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．个区间上的性质，单独一点不存在单调性递增或单调递减义域，则该点处区间可开可闭，若区间端可能大．3．通过上面两道题，你对函数的单调 答：函数单调性定义中的，必须是x 1x 2时，要注意保持其任意性．的单调性定义有什么新的理解？ 必须是任意的，应用单调性定义解决问题课时学案探究1 (1)证明函数的单调性的常用方是：①取值，在给定区间上任取两个自变量进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式根据条件判断f (x 1)－f (x 2)变形后的正负；(2)讨论函数的单调性常见有两种：一种数在定义域的子区间上具有不同的单调性常用方法是利用函数单调性的定义，其步骤自变量x 1，x 2；②作差变形，将f (x 1)－f (x 2)形式，且含有x 1－x 2的因式；③判断符号，；④得出结论．一种是参数对单调性的影响，一种是函调性．思考题2 (1)如图所示为函数f (x )的图________________________，单调递减区间[－1，0]，[1，2]，[3，4] 的图象，其单调递增区间是_________减区间是________________________．[0，1]，[2，3](2)【多选题】设f (x )，g (x )都是单调函数A ．若f (x )单调递增，g (x )单调递增，B ．若f (x )单调递增，g (x )单调递减，C ．若f (x )单调递减，g (x )单调递增，D ．若f (x )单调递减，g (x )单调递减，调函数，则下列命题中正确的是()，则f (x )－g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增BC ，则f (x )－g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减探究3求函数的单调区间常用方法方法：①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．课 后 巩 固1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，A．减函数C．先减后增函数4)上是()B．增函数CD．先增后减函数2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是(A ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) 的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，)D B ．f (x 1)<f (x 2) D ．不能确定3．函数y ＝|x |－1的单调递减区间为A ．(0，＋∞) C ．(－∞，－1)解析解析 y ＝|x |－1＝x －1，x ≥0，－x －1，x <0，易知( )B ．(－∞，0)B D ．(－1，＋∞)易知其单调递减区间为(－∞，0)．故选B.4．【多选题】已知四个函数的图象如的函数是()BC图象如图所示，其中在定义域内具有单调性自助 餐一、证明单调性的探究1 单调性的证明证明某个函数在给定区间上的单调性明．它的步骤如下：第一步：取值．设x 1，x 2是给定区间上第二步：作差变形．写出差式f (x 1)方等手段，向有利于判断差的符号的方向变形式．第三步：判断符号．根据已知条件，第四步：下结论．根据定义，作出结论调性的方法与技巧调性，最常用的方法就是用定义去证区间上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2. －f (x 2)，并且通过提取公因式、通分、配方向变形，一般写成几个最简因式相乘的，确定f (x 1)－f (x 2)的符号． 出结论．(5)图象变换对单调性的影响．①上下平移不影响单调区间，即y ②左右平移影响单调区间．如＝2的减y x 间为(－∞，－1]．③y ＝kf (x )，当k ＞0时单调区间与f (x＝f (x )和y ＝f (x )＋b 的单调区间相同． 的减区间为－∞，，＝＋2的减区(0]y (x 1))相同，当k ＜0时与f (x )相反．例2 已知f (x )>0在R 上恒成立，并且满f (x )>1，求证：f (x )在R 上是增函数．【证明证明】】 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则∵x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1，又f (x )＞0在R 上恒成立∴f (x 2)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)＝f (x 2－x 1)·f (∴f (x )在R 上是增函数． 并且满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，当x >0时，则x 2－x 1>0，成立，x 1)>f (x 1)．。
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（1）证明函数单调性要求使用定义；
（2）如何比较两个量的大小？(作差)
（3）如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)
举一反三：
【变式1】（2014福建南安期中）
已知函数 ．
（Ⅰ）判断函数 在 上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（Ⅱ）若 ，求函数 在 上的值域．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
③不能随意合并两个单调区间；
④有的函数不具有单调性.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
基本方法：观察图形或依据定义.
3．函数的最大（小）值
一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
(1)对于任意的 ，都有 （或 ）；
(2)存在 ，使得 ，那么，我们称 是函数的最大值（或最小值）.
如果对于 内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间 上是减函数.
要点诠释：
（1）属于定义域A内某个区间上；
（2）任意两个自变量 且 ；
（3）都有 ；
（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数f(x)在ห้องสมุดไป่ตู้间 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间 上具有单调性， 称为函数f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
要点诠释：
①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
(2)定义域为 ，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则 上为减函数；
(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， 单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；
【高清课堂：函数的单调性356705例3】
（4）先画出y=x2-2x-3，然后把 轴下方的部分关于 轴对称上去，就得到了所求函数的图象，如下图
，故 ，即f(x1)-f(x2)<0
∴x1<x2时有f(x1)<f(x2)
上是增函数.
②当-1<x1<x2<0 ∴x1-x2<0，0<x1x2<1
∵0<x1x2<1
故 ，即f(x1)-f(x2)>0
∴x1<x2时有f(x1)>f(x2)
上是减函数.
同理：函数 是减函数, 函数 是增函数.
（2）函数 的图象如下
【答案】（1）f(x)在 上递减，在 上递减，在 上递增.
（2）f(x)在 上递增.
【解析】(1)由图象对称性，画出草图
∴f(x)在 上递减，在 上递减，在 上递增.
(2)
∴图象为
∴f(x)在 上递增.
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
(1)y=|x+1|；(2) (3) ；（4）y=|x2-2x-3|.
【答案】（1）函数的减区间为 ，函数的增区间为(-1，+∞)；（2） 上为减函数；（3） 单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；(4)单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）．
【解析】(1) 画出函数图象，
∴函数的减区间为 ，函数的增区间为(-1，+∞)；
若a>0，在区间 ，函数是减函数；在区间 ，函数是增函数；
若a<0，在区间 ，函数是增函数；在区间 ，函数是减函数．
要点三、一些常见结论
(1)若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
(2)若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上 为增（或减)函数；
(3)若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数；若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量 ，使 等于最值；
②对于定义域内的任意元素 ，都有 （或 ），“任意”两字不可省；
③使函数 取得最值的自变量的值有时可能不止一个；
④函数 在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.
4.证明函数单调性的步骤
要点二、基本初等函数的单调性
1.正比例函数
当k>0时，函数 在定义域R是增函数；当k<0时，函数 在定义域R是减函数.
2.一次函数
当k>0时，函数 在定义域R是增函数；当k<0时，函数 在定义域R是减函数.
（2）反比例函数
当 时，函数 在区间 上是减函数；
当 时，函数 在区间 上是增函数.
4.二次函数
(1)取值.设 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 ；
(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；
(4)得出结论.
5.函数单调性的判断方法
(1)定义法；
(2)图象法；
(3)对于复合函数 ，若 在区间 上是单调函数，则 在区间 或者 上是单调函数；若 与 单调性相同（同时为增或同时为减），则 为增函数；若 与 单调性相反，则 为减函数．
单调性与最大（小）值
【学习目标】
1.理解函数的单调性定义；
2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性．
【要点梳理】
要点一、函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间
如果对于 内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间 上是增函数；
【典型例题】
类型一、函数的单调性的证明
【高清课堂：函数的单调性356705例1】
例1.已知：函数
（1）讨论 的单调性.
（2）试作出 的图象.
【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.
【解析】
（1）设x1，x2是定义域上的任意实数，且x1<x2，则
①当 时，x1-x2<0，1<x1x2
【解析】（Ⅰ）当 时，任取 ，
因为 ， ， ，
所以 ，得 ，故函数 在 上是减函数；
（Ⅱ）当 时，由（1）得 在 上是减函数,
从而函数 在 上也是减函数，
, .
由此可得，函数 在 上的值域为 ．
类型二、求函数的单调区间
例2.判断下列函数的单调区间；
(1)y=x2-3|x|+2；(2)
【思路点拨】对 进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。
所以y=|x2-2x-3|的单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）.■