【精品专题训练】2021年中考数学抛物线压轴题二次函数最值问题专题训练 含答案与试题解析
2020-2021中考数学压轴题专题复习——二次函数的综合含详细答案
2020-2021中考数学压轴题专题复习——二次函数的综合含详细答案一、二次函数1．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3．当x=2时，y635=-，即顶点D的坐标为（2，635-）；（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB=13，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论：①当AB=AC时，则：（m）2+（﹣3）2=132，解得：m=±410，即点C坐标为：（410，0）或（﹣410，0）；②当AB=BC时，则：（5﹣m）2+92=132，解得：m=5222±，即：点C坐标为（5222+，0）或（5﹣222，0）；③当AC=BC时，则：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m=9710，则点C坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5222±，0）或（9710，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k125=，故函数的表达式为：y125=x﹣3，设点P坐标为（m，12 5m2485-m﹣3），则点H坐标为（m，125m﹣3），S△PAB12=•PH•x B52=（125-m2+12m）=－6m2+30m=25756()22m--+，当m=52时，S△PAB取得最大值为：752．答：△PAB的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2．对于二次函数 y=ax 2+（b+1）x+（b ﹣1），若存在实数 x 0，使得当 x=x 0，函数 y=x 0，则称x 0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b ，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值. 【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】 【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得. 【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a=- A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b ba a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称， 又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.∴b a -=ba-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.3．如图，已知二次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x ＝3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．【答案】（1）21342y x x =-；（2）当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）． 【解析】 【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为12y x =直线AB 的解析式为y=2x-12，直线MN 的解析式为y=2x-2t ，再通过解方程组1222y x y x t⎧=⎪⎨⎪=-⎩得N （42t,t 33），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112S 4t t t 223∆=⋅⋅-⋅⋅然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设Q 213m,m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据相似三角形的判定方法，当PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，则213m m 2|m |42-=；当PQ PO AC OC=时，△PQO ∽△CAO ，则2131m m m 422-=，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标．【详解】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3， ∴B 点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣6）， 把A （8，4）代入得a•8•2＝4，解得a ＝14， ∴抛物线解析式为y ＝14x （x ﹣6），即y ＝14x 2﹣32x ； （2）设M （t ，0），易得直线OA 的解析式为y ＝12x ， 设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ，把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 2b 12=⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣12， ∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y ＝2x+n ， 把M （t ，0）代入得2t+n ＝0，解得n ＝﹣2t ， ∴直线MN 的解析式为y ＝2x ﹣2t ，解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得4323x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则42N t,t 33⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM1124t t t 223=⋅⋅-⋅⋅ 21t 2t 3=-+21(t 3)33=--+，当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）； （3）设213m,m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵∠OPQ ＝∠ACO ， ∴当PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即PQ PO 84=， ∴PQ ＝2PO ，即213m m 2|m |42-=，解方程213m m 2m 42-=得m 1＝0（舍去），m 2＝14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程213m m 2m 42-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，即PQ PO 48=， ∴PQ ＝12PO ，即2131m m m 422-=，解方程2131m m m 422=-=得m 1＝0（舍去），m 2＝8，此时P 点坐标为（8，0）； 解方程2131m m m 422=-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．4．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ). (1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式； (2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34m ≤-， 求a 的取值范围.【答案】（1）11b c =⎧⎨=⎩；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161393a -≤≤- 【解析】 【分析】（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2y ax bx c =++，可得22(1)(1)a m b m c a am bm c b⎧++++=⎨++=⎩，化简即可得出；（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得214a m m=+，把b am =-，c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.【详解】解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b )由题意，得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩，解，得11b c =⎧⎨=⎩(2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①②①－②得，2am b b +=-，∴b am =-把b am =-代入②，得c am =-(3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=0a <Q ，22141,4am am a m m∴+=∴=+ 把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥-34m Q ≤-，314m ∴-≤≤-224(2)4m m m +=+-Q ，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大2393416m m ∴-≤+≤-216113943m m ∴-≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.5．如图，已知抛物线的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A ，且与y 轴交于点C （0，5）。
2021年二次函数压轴大题含答案解析
2021年中考数学压轴题如图1，抛物线y ＝ax 2−154x +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y =−34x +3经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为直线BC 下方的抛物线上一动点（不与点B ，C 重合），则△PBC 的面积能够等于△BOC 的面积吗？若能，求出相应的点P 的坐标；若不能，请说明理由；（3）如图2，现把△BOC 平移至如图所示的位置，此时三角形水平方向一边的两个端点点O ′与点B ′都在抛物线上，称点O ′和点B ′为△BOC 在抛物线上的一“卡点对”；如果把△BOC 旋转一定角度，使得其余边位于水平方向然后平移，能够得到这个三角形在抛物线上新的“卡点对”．请直接写出△BOC 在已知抛物线上所有“卡点对”的坐标．【解答】解：（1）分别把x ＝0，y ＝0代入一次函数表达式得：点C 、B 的坐标分别为（0，3）、（4，0），将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：{16a −15+c =0c =3，解得：{a =34c =3， 故抛物线的表达式为：y =34x 2−154x +3； （2）直线y =−34x 和直线BC 平行，直线y =−34x 和抛物线的交点就是满足条件的点P ，则{y =34x 2−154x +3y =−34x，解得：{x =2y =−32， 即当（2，−32）时，两个三角形面积相同；（3）抛物线的对称轴为：x =52，①当O ′B ′在水平位置时，如图2所示，O ′B ′＝4，则点B ′和O ′的横坐标分别为12、92， 将横坐标代入二次函数表达式得：y =2116， 故此时的“卡点对”坐标为（12，2116）和（92，2116）； ②当O ′C ′在水平位置时，O ′C ′＝3，则点B ′和O ′的横坐标分别为4、1， 将横坐标代入二次函数表达式得：y ＝0，故此时的“卡点对”坐标为（1，0）和（4，0）； ③当B ′C ′在水平位置时，同理可得：此时的“卡点对”坐标为（0，3）和（5，3）； 故抛物线上所有“卡点对”的坐标是（12，2116）和（92，2116）、（1，0）和（4，0）、（0，3）和（5，3）．。
专题20：二次函数压轴题-2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编(解析版)
专题20：二次函数压轴题-2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编一、单选题1．（2021·广东深圳市·九年级二模）如图，抛物线()2112y x =-++与()2221y x =---相交于点B ．两抛物线分别与y 轴交于点D 、E 两点．过点B 作x 轴的平行线，交两抛物线于点A 、C ，则以下结论错误的是（ ）A ．无论x 取何值，2y 总是负数B ．抛物线2y 可由抛物线1y 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到C ．当31x -<<时，随着x 的增大，12y y -的值先增大后减小D ．四边形AECD 为正方形【答案】C【解析】由抛物线开口向下，抛物线有最大值，()222110y x =---≤-<，可判断A ；由两个函数二次项系数相同，开口方向相同，两函数顶点横坐标之差为2-（-1）=3，纵坐标之差为-1-2=-3可判断B ；由两函数之差1266y y x -=-+，k =-6<0随着x 的增大，12y y -的值减小可判断C ；设AC 与DE 交于点F ，由两函数联立解出交点(1,2)B -，可求F （0，-2），当2y =-时，可求点(3,2)A --，点C (3，-2)，，当0x =时，D （0，1），点E （0，-5）可利用对角线互相平分，相等，互相垂直判断D ．【解答】A ．()2221y x =---∵1a =-,抛物线开口向下，函数有最大值，当x=2时，函数y 2最大=-1∴()222110y x =---≤-<，∴无论x 取何值，2y 的最大值是-1，总是负数；故选项A 正确；B ．∵两个函数的二次项系数相同，开口方向相同，∴两函数顶点横坐标之差为2-（-1）=3，∴2l 可由1l 向右平移3个单位，∵纵坐标之差为-1-2=-3；∴2l 可由1l 向下平移3个单位得到；∴2l 可由1l 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；故选项B 正确；C ．∵()()2212122166y y x x x ⎡⎤⎣⎦-=-++----=-+， ∵k =-6<0随着x 的增大，12y y -的值减小；故选项C 错误；D ．设AC 与DE 交于点F ，∵抛物线1l ：()2112y x =-++与2l ：()2221y x =---交于点B ，∴()212x -++()221x =---解得x =1，∴当1x =时，2y =-，∴点B （1，-2）∴F （0，-2），∵当2y =-时，()2122x -++=-，解得：3x =-或1x =，∴点(3,2)A --，当2y =-时，()2212x ---=-，解得：3x =或1x =，∴点C (3，-2)，∴AC =3-(-3)=6, ∴132AF CF AC ===， 当0x =时， ()2112=121y x =-++-+=∴D （0，1）， ()22021415y =---=--=-，点E （0，-5），∴()156DE =--=，∴132DF EF DE ===， ∴AF =CF ，DF =EF ，∴四边形AECD 为平行四边形，∵=6AC DE =，∴四边形AECD 为矩形，∵点(3,2)A --，点C (3，-2)，纵坐标都是-2，-3≠3，∴AC ∥x 轴，∴AC ⊥y 轴，又∵点D ，E 在y 轴上，∵AC DE ⊥，∴四边形AECD 为正方形．故选项D 正确．故选择：C ．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，抛物线平移，平行四边形的判定，矩形判定，正方形判定，掌握以上知识、熟练应用数形结合思想是解题关键．2．（2021·广州大学附属中学九年级二模）对于题目“一段抛物线L ：()3y x x c =--+（03x ≤≤）与直线1l ：2y x =+有唯一公共点，若c 为整数，确定所有c 的值．”甲的结果是1c =．乙的结果是3c =或4，则（ ）A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙结果合在一起也不正确【答案】D【解析】分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，△0=求得1c =，②当抛物线与直线不相切，但在03x ≤≤上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得3c =，4，5，故3c =，4，5．【解答】解：抛物线:(3)(03)L y x x c x =--+与直线:2l y x =+有唯一公共点， ∴①如图1，抛物线与直线相切，联立解析式(3)2y x x c y x =--+⎧⎨=+⎩，得2220x x c -+-=，△2(2)4(2)0c =---=，解得：1c =，当1c =时，相切时只有一个交点，和题目相符 所以不用舍去；②如图2，抛物线与直线不相切，但在03x 上只有一个交点，此时两个临界值分别为(0,2)和(3,5)在抛物线上，c ∴的最小值2=，但取不到，c 的最大值5=，能取到，25c ∴<，又c 为整数，3c ∴=，4，5，综上，1c =，3，4，5，所以甲乙合在一起也不正确，故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，数形结合是解此题的关键．二、解答题3．（2021·广东中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()1,0-，且对任意实数x ，都有22412286x ax bx c x x -≤++≤-+．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x 轴的正半轴交点为A ，与y 轴交点为C ；点M 是（1）中二次函数图象上的动点．问在x 轴上是否存在点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--；（2）存在，()1,0或()5,0或)2,0-或()2- 【解析】（1）令2412286x x x -=-+，解得123x x ==，可得函数2y ax bx c =++ 必过 (3,0)，再结合2y ax bx c =++ 必过 (1,0)-得出2b a =-，3c a =-，即可得到223y ax ax a =--，再根据242123x ax x a a --≤-，可看成二次函数223y ax ax a =--与一次函数412y x =-仅有一个交点，且整体位于412y x =-的上方，可得0a >，242123x ax x a a --=-有两个相等的实数根，再根据0∆=，可解得a 的值，即可求出二次函数解析式．（2）结合（1）求出点C 的坐标，设()2,23,(,0)M m m m N n --，①当AC 为对角线时，②当AM 为对角线时，③当AN 为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案．【解答】解：（1）令2412286x x x -=-+，解得123x x ==，当3x =时，24122860x x x -=-+=，∴2y ax bx c =++ 必过 (3,0)，又∵2y ax bx c =++ 必过 (1,0)-， ∴029303a b c b a a b c c a⎧-+==-⎧⇒⎨⎨++==-⎩⎩，∴223y ax ax a =--，即242123x ax x a a --≤-，即可看成二次函数223y ax ax a =--与一次函数412y x =-仅有一个交点，且整体位于412y x =-的上方∴0a >，∴242123x ax x a a --=-有两个相等的实数根∴0∆=∴2(24)4(123)0a a a +--=，∴2(1)0a -=，∴1a =，∴2b =-，3c =-，∴223y x x =--．（2）由（1）可知：(3,0)A ，(0,3)C -，设()2,23,(,0)M m m m N n --，①当AC 为对角线时，A C M N A Cn N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩ ∴2300(3)230m n m m +=+⎧⎨+-=--+⎩，解得10m =（舍），22m =， ∴1n =，即1(1,0)N ．②当AM 为对角线时，A M C N AM C N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩ ∴23002330m n m m +=+⎧⎨+--=-+⎩，解得10m =（舍）22m =， ∴5n =，即2(5,0)N ．③当AN 为对角线时，A N C M A N C Mx x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩ ∴23000323n m m m +=+⎧⎨+=-+--⎩，解得1217,17m m =+=-， ∴72n =-或27n =--， ∴43(72,0),(27,0)N N ---．综上所述：N 点坐标为()1,0或()5,0或()72,0-或()27,0--． 【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键．4．（2021·广东广州市·九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0),(3,0)A B -两点，与y 轴交于点C ．点D 在抛物线上，且在第一象限．（1）求,b c 的值；（2）如图1，过点D 作DE x ⊥轴，求OE DE +的最大值；（3）如图2，连接,AC CD ，若3DCO ACO ∠=∠，求点D 的横坐标．【答案】（1）23b c =⎧⎨=⎩；（2）214；（3）3513 【解析】（1）将(1,0),(3,0)A B -代入2y x bx c =-++即可得答案；（2）设D 坐标为()2,23m m m -++，用m 代数式表示OE DE +，配方即可得最大值；（3）在x 轴上取点(1,0)F ，连接CF ，过A 作AG CF ⊥于G ，过F 作FM CF ⊥交CD 的延长线于M ，过M 作MN x ⊥轴于N ，先求AG 和CG ，设FCO ACO θ∠=∠=，则33DCO ACO θ∠=∠=，在Rt ACG 和Rt CFM △中由tan 2θ可得FM 长度，另一方面，设MN x =，利用COF FNM ∽对应边成比例，可用x 的代数式表达FM ，从而列方程求出x 得到M 坐标和直线CM 解析式，即可求出D 的横坐标．【解答】解：（1）将(1,0),(3,0)A B -代入2y x bx c =-++得： 01093b c b c=--+⎧⎨=-++⎩， 解得23b c =⎧⎨=⎩； （2）D 在抛物线上，设坐标为()2,23,(03)m m m m -++<<，则2,23OE m DE m m ==-++，()222321233324OE DE m m m m m m ⎛⎫∴+=+-++=-++=--+ ⎪⎝⎭， 03m <<，∴当32m =时，OE DE +取最大值，为214； （3）在x 轴上取点(1,0)F ，连接CF ，过A 作AG CF ⊥于G ，过F 作FM CF ⊥交CD 的延长线于M ，过M 作MN x ⊥轴于N ，如图：3,1OC OA OF ===，222,3110AF CF AC ∴===+=，1232ACF S AG =⨯⨯=，AG ∴=，5CG ∴==， 设FCO ACO θ∠=∠=，则33DCO ACO θ∠=∠=，2ACG MCF θ∴∠=∠=，3tan 24AG CG θ∴==， 34FM CF ∴=可得FM =， FM CF ⊥，90CFO MFN ∴∠+∠=︒，而90OCF CFO ∠+∠=︒，OCF MFN ∴∠=∠，MN x ⊥轴，90COF MNF ∴∠=∠=︒，COF FNM ∴∽，13MN OF FN OC ∴==，设MN x =，则3,FN x FM ====，解得34x =， 13313,44ON OF FN x MN ∴=+=+==， 133,44M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 设直线CM 解析式为3y kx =+，将133,44M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得： 313344k =+，解得913k =-， ∴直线CM 解析式为9313y x =-+，解2931323y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩得0x =（舍去）或3513x =， D ∴的横坐标是3513． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是构造辅助线，利用∠DCO =3∠ACO 这一条件，难度较大．5．（2021·广东阳江市·九年级二模）如图，点B ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，OB ，OC 的长分别为28120x x -+=的两个根()OC OB >，点A 在x 轴的负半轴上，且3OA OC OB ==，连接AC ．（1）求过A ，B ，C 三点的抛物线的函数解析式； （2）点P 从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA 运动到点A ，点Q 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 运动到点C ，连接PQ ，当点P 到达点A 时，点Q 停止运动，求CPQ S △的最大值；（3）M 是抛物线上一点，是否存在点M ，使得15ACM ∠=︒？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21262y x x =--+；（2）922；（3）存在，M 2316434,33⎡---⎢⎣⎦或(423,43--- 【解析】（1）解x 2-8x+12=0得：x =6或2，故点B （2，0）、点C （0，6），由图象的旋转知，点A 、D 的坐标分别为（-6，0）、（0，2）；再用待定系数法即可求解；（2）由())2112626222CPQ P S CQ x t t t t =⨯⨯=⨯-=--△，即可求解； （3）分两种情况讨论①当点M 在AC 上方时，②当点M 在AC 下方时，解答即可．【解答】解：（1）由28120x x -+=得6x =或2x =．又∵OC OB >，∴点B 的坐标为()2,0，点C 的坐标为()0,6．∵OA OC =，∴点A 的坐标为()6,0-．设抛物线的函数解析式为2y ax bx c =++，将点A ，B ，C 的坐标代入2y ax bx c =++中，得36604206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得1226a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩．∴过A ，B ，C 三点的抛物线的函数解析式为21262y x x =--+． （2）∵OA OC =，∴45ACO ∠=︒．由题意得2PC t =，6CQ t =-，∴sin 452P x PC t =⋅︒=． ∴()()2112626222CPQ P S CQ x t t t t =⨯⨯=⨯-⨯=--△． ∵202-<，∴当3t =时，CPQ S △有最大值，最大值为922． （3）①如图，当点M 在AC 上方时，过点M 作ME x ⊥轴于点E ， 作MF y ⊥轴于点F ，连接MC ．∵15ACM ∠=︒，45ACO ∠=︒，∴60OCM ∠=︒．设点M 的坐标为()21,26602m m m m ⎛⎫--+-<< ⎪⎝⎭，则MF m =-． 在Rt MCF △中，∵tan MF CF MCF=∠， ∴33CF ==．∴36OF OC CF =-=+． ∵90MEO EOF MFO ∠=∠=∠=︒，∴四边形MEOF 是矩形．∴ME OF =．即21326623m m m --+=+，解得10m =（舍去），2343m =-- ∴316436ME m -==∴点M 的坐标为2316434,33⎡⎤---⎢⎥⎣⎦． ②如图，当点M 在AC 下方时，过点M 作MH x ⊥轴于点H ，设MC 与x 轴交于点G ，连接MC ．设点M 的坐标为()21,2662n n n n ⎛⎫--+<- ⎪⎝⎭， 则OH n =-，21262MH n n =+-． ∵15ACM ∠=︒，45CAO ∠=︒，∴60CGO HGM CAG ACM ∠=∠=∠+∠=︒．在Rt CGO △中，∵6OC =，∴23tan OC OG CGO ==∠ ∴23GH OH OG n =-=--在Rt MGH △中，tan 3MH GH HGM GH =⋅∠=， ∴2126362n n n +-=--， 解得10n =（舍去），2423n =--∴234GH n =--=，343MH GH ==∴点M 的坐标为(423,43---．综上所述，存在点M ，使得15ACM ∠=︒， 且点M 的坐标为2316434⎡--⎢⎣⎦或(423,43---． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形面积的计算，三角函数等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．6．（2021·广东汕头市·九年级一模）如图①，抛物线23y ax bx a =+-与x 轴负半轴交于点()1,0A -，与x 轴的另一交点为B ，与y 轴正半轴交于点()0,3C ，抛物线的对称轴与直线BC 相交于点M ，与x 轴交于点G ．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使得APB ABC ∠=∠，利用图①求点P 的坐标；（3）如图②，抛物线的对称轴与抛物线相交于点E ，连接EB ，在抛物线上是否存在点Q （不与点E 重合），使得QMB EMB S S =△△？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析为2y x 2x 3=-++，对称轴为1x =；（2）(122P +，）或(122P -，-）；（3）点Q 的坐标为()23，，31711722⎛-- ⎝⎭，或31711722⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）将()1,0A -，()0,3C 代入23yax bx a =+-，利用待定系数法即可求出抛物线解析式，并求出对称轴； （2）先由抛物线解析式求得3OB OC ==，并求出45ABC ∠=︒，再根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出MPB MBP ∠=∠，则由等腰三角形判定得MP MB =，最后由勾股定理及线段的和差关系可求出点P 的坐标；（3）先由三角形面积公式确定12EMB EM BG S =⋅△，求出相应的点坐标及直线的表达式，利用平面直角坐标系内点的坐标特点，则可分别从当EQ ∥BC 和GQ ∥BC 时求出点Q 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线23y ax bx a =+-与x 轴交于点()1,0A -，与y 轴交于点()0,3C ，∴将()1,0A -，()0,3C 代入23yax bx a =+-得： 3033a b a a --=⎧⎨-=⎩， 解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++；∴对称轴为12b x a=-=． （2）令0y =，得2230x x -++=，解得11x =-，23x =，∴3OB OC ==．∴45ABC ∠=︒．如图，当点P 在x 轴上方时，∵点P 在抛物线的对称轴上，∴PA PB =．∵45APB ABC ∠=∠=︒，∴()11804567.52PBA ∠=⨯︒-︒=︒． ∵PG AB ⊥， ∴122.52MPB APB ∠=∠=︒． ∴67.54522.5MBP ∠=︒-︒=︒．∴MPB MBP ∠=∠．∴MP MB =．在Rt BMG △中，45ABC ∠=︒，∴2BG MG ==，∴MB ==∴=MP∴2PG MG MP =+=+∴(12P +，．当点P 在x 轴下方时，由对称性可得P 点的坐标为(12P -，-．综上，符合条件的点P 的坐标为(12P +，或(12P -，-． （3）存在；∵()222314y x x x =-++=--+，E 为抛物线的顶点，∴E （1，4）． ∵12EMB EM BG S =⋅△． 由（2）得，M （1，2），∴422EM =-=，2BG =．设直线BC 的表达式为y kx b =+，将B （3，0），C （0，3）代入得，303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩．∴直线BC 的表达式为3y x =-+．设过点E 与BC 平行的直线与抛物线的交点为Q ，如图，当EQ ∥BC 时，QMB EMB S S =△△，则设直线EQ 的表达式为y x b =-+，将E （1，4）代入得，41b =-+解得5b =，∴直线EQ 的表达式为5y x =-+．∵直线5y x =-+与抛物线2y x 2x 3=-++交于点Q ，则2523y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩， 解得1114x y =⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=⎩．∴点Q 的坐标为（2，3）．∵4EG =，2EM =，∴2GM EM ==．设过点G 与BC 平行的直线与抛物线的交点为Q ，如图，当GQ ∥BC 时，QMB EMB S S =△△，则设直线GQ 的表达式为y x b =-+，将G （1，0）代入得，01b =-+，解得1b =，∴直线EQ 的表达式为1y x =-+．∵直线1y x =-+与抛物线2y x 2x 3=-++交于点Q ，则2123y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩， 解得11317117x y ⎧+=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩22317117x y ⎧-=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩．∴点Q 的坐标为31711722⎛-- ⎝⎭，或31711722⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． 综上所述，当QMB EMB S S =△△时，点Q 的坐标为()23，，31711722⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或31711722⎛-+ ⎝⎭，．【点评】本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的对称性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．7．（2021·广东广州市第二中学九年级二模）已知关于x 的二次函数()()22110y kx k x k k =--++≠．（1）不论k 为何值，抛物线都会经过一个定点，求这个定点的坐标；（2）若抛物线上始终存在两个不重合的点关于原点对称，求k 的取值范围；（3）若抛物线经过()11,P y -，()25,Q y 两点，记抛物线在PQ 之间（含点P 、点Q ）的这部分图象为G ．若点P 既不是图象G 的最低点，也不是图象G 的最高点，求21y y 的取值范围． 【答案】（1）（1，2）；（2）−1＜k ＜0；（3）1＜21y y ＜10，且21y y ≠4． 【解析】（1）把原解析式转化为k （x 2−2x ＋1）＝y −x −1，根据不论k 为何值，抛物线都会经过一个定点，可得221010x x y x ⎧-+=⎨--=⎩，即可求出定点坐标；（2）把两个关于原点对称的点的坐标分别代入抛物线里，两式相加，再根据2010k x k +≥＝-，，求出k 的取值范围；（3）先把P ，Q 坐标代入抛物线，求出y 1，y 2，再根据点P 既不是图象G 的最低点，也不是图象G 的最高点，可得−1＜112k-＜2，求出k 的范围，进而即可求解． 【解答】解：（1）原解析式可化为： k （x 2−2x ＋1）＝y −x −1，∵不论k 为何值，抛物线都会经过一个定点，∴221010x x y x ⎧-+=⎨--=⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩， ∴恒过定点（1，2）；（2）由题意可知，若（x 0，y 0）在抛物线上，则关于原点对称的点（-x 0，-y 0）也在抛物线上，∴()()20002000211211y kx k x k y kx k x k ⎧=--++⎪⎨-=+-++⎪⎩， 两式相加得：()202210kxk ++=， ∵k ≠0， ∴2010k x k+≥＝-， ∴−1≤k ＜0，当k ＝−1时，x 0＝0，y 0＝0（舍去），∴−1＜k ＜0；（3）∵抛物线经过P （−1，y 1），Q （5，y 2）两点，∴y 1＝4k ，y 2＝16k ＋6，∵点P 既不是图象G 的最低点，也不是图象G 的最高点， 抛物线的对称轴：直线211122k x k k --==， 且对称轴靠近P 点，即靠近x =−1，∴−1＜112k -＜2， ∴−2＜1k＜4，且k ≠0 ∵211663442y k y k k+=＝+， ∴−3＜32k＜6，且k ≠0， ∴1＜21y y ＜10，且21y y ≠4， 综上，21y y 取值范围：1＜21y y ＜10，且21y y ≠4． 【点评】本题是一道二次函数的综合题，考查了含有参数的抛物线恒过定点，关于原点对称的点的坐标之间的关系，掌握抛物线的对称性是解题的关键．8．（2021·广东广州市·九年级一模）已知，抛物线y ＝mx 2＋94x ﹣4m 与x 轴交于点A （﹣4，0）和点B ，与y 轴交于点C ．点D （n ，0）为x 轴上一动点，且有﹣4＜n ＜0，过点D 作直线1⊥x 轴，且与直线AC 交于点M ，与抛物线交于点N ，过点N 作NP ⊥AC 于点P ．点E 在第三象限内，且有OE ＝OD ．（1）求m 的值和直线AC 的解析式．（2）若点D 在运动过程中，12AD ＋CD 取得最小值时，求此时n 的值． （3）若点△ADM 的周长与△MNP 的周长的比为5∶6时，求AE ＋23CE 的最小值．【答案】（1）34m =；334y x =--；（2）n =（3【解析】（1）利用待定系数法将A （﹣4，0）代入y ＝mx 2＋94x ﹣4m ，求出m 的值，即可求得抛物线解析式，令0x =，求出点C 的坐标，设直线AC 的解析式为y kx b =+，将A 、C 的坐标代入即可求出答案； （2）在x 轴上方作射线AM ，使30MAO ∠=︒，过点D 作DK AM ⊥于K ，当C 、D 、K 在同一条直线上时，CD DK +最小，即12AD CD +取得最小值时，60CDO ADK ∠=∠=︒，应用三角函数定义即可求出答案； （3）根据ADM 的周长与MNP △的周长的比为5∶6，可得出3DN DM =，建立方程求出n 的值，再y 轴上取一点R ，使得43OR =，连接AR ，再AR 上取一点E 使得OE=OD ，构造相似三角形，可以证明AR 就是23AE CE +的最小值． 【解答】解：（1）∵抛物线y ＝mx 2＋94x ﹣4m 与x 轴交于点A （﹣4，0）， ∴29(4)(4)404m m -+⨯--=， 解得：34m =， ∴抛物线解析式为239344y x x =+-， 令0x =，得3y =-，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∵(4,0),(0,3)A C --，∴403k b b -+=⎧⎨=-⎩， 解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为334y x =--． （2）∵A （﹣4，0），(0)D n ，为x 轴上一动点，且40n -<<， ∴(4)4AD n n =--=+，在x 轴上方作射线AM ，使30MAO ∠=︒，过点D 作DK AM ⊥于K ，如图1，∴90AKD ∠=︒， ∴1,602DK AD ADK =∠=︒， 当C 、D 、K 在通一条直线上时，AD +DK 最小， 即12AD CD +取得最小值时，60CDO ADK ∠=∠=︒， ∵90OD n COD =-∠=︒，， ∴tan tan 60OC CDO OD =∠=︒，即33n =- ∴3n =（3）∵DM x ⊥轴，NP AC ⊥，∴90ADM NPM ∠=∠=︒，∵AMD NMP ∠=∠，∴AMD NMP ∽， ∵ADM 的周长与MNP △的周长的比为5∶6， ∴56AM MN =， ∵3sin 5DM OC DAM AM AC =∠==， ∴12DM MN =， ∴3DN DM =， ∵2339+33444DM n DN n n ==--+，， ∴23933=3(3)444n n n --++， 解得：1224n n =-=-，(舍去)，∴(2,0)D -，∴2OD =，如图2中，在y 轴上取一点R ，使得43OR =，连接AR ， 在AR 上取一点E 使得2OE OD ==，∵42343OE OR OC ==⨯=，， ∴2OE OR OC =， ∴OE OC OR OE =， ∵COE ROE ∠=∠，∴ROE EOC ∽，∴23RE OE CE OC ==， ∴23RE CE =， ∴当A R E 、、共线时，23AE CE AE ER AR +=+=， 此时23AE CE +最小， ∴23AE CE +的最小值22=AR OA OR =+22444()1033=+= 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、一次函数图像和性质、二次函数图像与性质，最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AR就是23AE CE的最小值；题目综合性很强，难度大，对学生数学能力考查较全面，属于中考压轴题．9．（2021·广东华侨中学九年级二模）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣12x＋2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣12x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝32与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标；（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣12x2+32x+2；（2）M（32，0）；（3）存在，点N的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）【解析】（1）利用待定系数法直接得出结论；（2）先判断出|BM﹣CM|最小时，BM＝CM，建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出∠ACB＝∠BHN＝90°，分两种情况，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）针对于y＝﹣12x+2，令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），令y＝0，则0＝﹣12x+2，∴x＝4，∴B（4，0），∵点C在抛物线y＝﹣12x2+bx+c上，∴c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣12x2+bx+2，∵点B（4，0）在抛物线上，∴﹣8+4b+2＝0，∴b＝32，∴抛物线的解析式为y＝﹣12x2+32x+2；（2）∵|BM﹣CM|最小，∴|BM﹣CM|＝0，∴BM＝CM，∴BM2＝CM2，设M（32，m），∵B（4，0），C（0，2），∴BM2＝（4﹣32）2+m2，CM2＝（32）2+（m﹣2）2，∴（4﹣32）2+m2＝（32）2+（m﹣2）2，∴m＝0，∴M（32，0）；（3）存在，理由：由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣12x2+32x+2，令y＝0，则0＝﹣12x2+32x+2，∴x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵B（4，0），C（0，2），∴BC2＝20，AC2＝5，AB2＝25，∴CB2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∵NH⊥x轴，∴∠BHN＝90°＝∠ACB，设N（n，﹣12n2+32n+2），∴HN＝|﹣12n2+32n+2|，BH＝|n﹣4|，∵以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似，∴①△BHN∽△ACB，∴BH HN AC BC，∴|4|5n -＝213|2|2225n n -++， ∴n ＝﹣5或n ＝3或n ＝4（舍），∴N （﹣5，﹣18）或（3，2），②△BHN ∽△BCA ，∴BH HN BC AC=， ∴|4|25n -＝213|2|225n n -++， ∴n ＝0或n ＝4（舍）或n ＝﹣2，∴N （0，2）或（﹣2，﹣3），即满足条件的点N 的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）．【点评】本题主要考查了一次函数与二次函数的性质、相似三角形的性质，运用数形结合与分类讨论的方法是解题的关键．10．（2021·广东汕头市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，215324y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．连接BC ，点D (t ，0)为线段OB 上一动点（不与O 、B 重合），DF ⊥x 轴交抛物线于点F ，交线段BC 于点E ．连接AE 、CF ．（1）求点A 、点B 和点C 的坐标；（2）设ADE 的面积为S ，求S 的最大值；（3）若CEF 为等腰三角形，请直接写出t 的值．【答案】（1）A (32-，0)，B (4，0)，C (0，-3)；（2）363128；（3）t 的值为1，32或2312【解析】（1）分别把y =0和x =0代入函数解析式，即可求出点A 、点B 和点C 的坐标； （2）先求出BC 解析式为334y x =-，根据点D 坐标为（t ，0），则E （t ，334t -），根据三角形面积公式即可得到S 关于t 的函数关系式，根据二次函数性质即可求解；（3）分别用含t 的式子表示出EF 2，2CE ，2CF 分CE =EF 、CF =CE 、CF =EF 三种情况分类讨论求解，舍去不合题意的解，问题得解．【解答】解：（1）当y =0时，2153024x x --=， 解得：132x =-，24x =， ∴A （32-，0），B （4，0）， 当x =0时，y =-3，∴C （0，-3）；（2）∵B （4，0），C （0，-3），∴BC 解析式为334y x =-. ∵DF ⊥x 轴，交线段BC 于点E ，∵点D 坐标为（t ，0），∴E （t ，334t -）， ∴DE =334t -+，AD =32t +， ∴S =1133(3)()2242DE AD t t ⋅=-++ 231598164t t =-++ 23536384128t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， ∴S 的最大值为363128； （3）∵点D 坐标为（t ，0）， ∴点F 坐标为215,324t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴EF 2=222215313322442t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 作CG ⊥EF 于G ，则22222516CE CG EG t =+=， 2222222221515332424CF CG FG t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=+=+--+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ①当CE =EF 时，222251=2162t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得1231330,,22t t t ===， ∵04t ＜＜，∴32t =； ②当CF =CE 时，222225151624t t t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，解得1230,1,4t t t ===， ∵04t ＜＜∴1t =；③当CF =EF 时，222221152224t t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12230,12t t ==， ∵04t ＜＜，∴2312t =； t 的值为1，32或2312．【点评】本题为二次函数综合题，考查了二次函数、勾股定理、等腰三角形分类讨论等知识，理解二次函数图象与性质，根据勾股定理表示出线段长，理解等腰三角形分类讨论思想是解题关键．11．（2021·东莞外国语学校九年级一模）如图，直线333y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线23y x bx c =++经过A 、B ，且与x 轴交于点C ，连接BC ．（1）求b、c的值；（2）点P为线段AC上一动点（不与A、C重合），过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝n，△PBD的面积为S，求S关于n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；（3）在（2）的条件下，当S最大时，点M在抛物线上，在直线PD上，是否存在点Q，使以M、Q、P、B为顶点为四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b 3c3（2）S＝﹣310n2+32n（0＜n＜5）；（3）存在，点Q的坐标为（52，3或（﹣723．【解析】（1）先求直线333y x=+与两轴交于A、B两点坐标，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，3，利用待定系数法求抛物线解析式；（2）由抛物线解析式求与x轴的另一交点C（2，0），可证△ABC∽△PBC，解得y D 3n，用面积差求S＝S△PCB﹣S△PCD＝﹣310n2+32n（0＜n＜5）；（3）先配方由S＝235531028n⎛⎫--+⎪⎝⎭，当n＝52时，S最大，求出点P的坐标为（﹣12，0），利用待定系数法求直线PD的表达式为y 3x+36，设点M坐标为（m，n），则n＝﹣36m2﹣36m3设点Q的坐标为（x 3+36），分类讨论，①当PB是边时，当PQ∥BM，且PQ=BM，此时点M（-3，0）利用平移可求Q1（﹣723；当BQ∥PM，且BQ=PM，此时BM中点在直线PD上，进而可求Q2（532，②当PB是对角线时，同理可求点Q的坐标为（523．【解答】解：（1）∵直线33y x=+与两轴交于A、B两点，令y=0,3x ，解得x ＝﹣3， 令x ＝0，则y故点A 、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（0，∵抛物线26y x bx c =++经过A 、B ， ∴将点A 、B的坐标代入抛物线表达式得2(3)306b c c ⎧---+=⎪⎨⎪=⎩，解得b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即b＝﹣6，c； （2）由（1）知，抛物线的表达式为y＝﹣6x 2﹣6x当y =0x 2， 解得x =-3，x =2，∵A （-3，0），∴C （2，0），AC ＝2-（-3）=2+3=5，∵PD ∥AB ，∴∠BAC =∠DPC ，∠ABC =∠PDC ，△ABC ∽△PDC ， ∴D OB AC y PC =，即5D y n=， 解得y D＝5， 则S ＝S △PCB ﹣S △PCD ＝12×PC ×（y B ﹣y D ）＝12××nn 2（0＜n ＜5）；（3）由S 323)223355352n n n ⎫-=-⎪⎝⎭ 知，当n ＝52时，S 最大， ∴PC =52，OP =PC -OC =52-2=12 点P 在x 轴负半轴上 ∴点P 的坐标为（﹣12，0）， 设PD 解析式为11y k x b =+∵PD ∥AB ， ∴13k ， ∴11102k b -+=，1133=236b =⨯ 直线PD 的表达式为y 3+36， 设点M 坐标为（m ，n ），则n 3233 设点Q 的坐标为（x 33）， ①当PB 是边时， 当PQ ∥BM ，且PQ=BM ，此时点M （-3，0）则点B 向左平移33M ，同样点P 向左平移33到点Q ，故Q 1（﹣72，﹣3）； 当BQ ∥PM ，且BQ =PM ， 此时BM 中点在直线PD 上， BM 中点坐标，x =2m ，y =32n +， 23+3326633366n m n m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩， 解得20m n =⎧⎨=⎩， 点P 向右平移2,5个单位得到M ，点B 向右平移2,5个点位得到Q ， 则Q 2（532，），②当PB 是对角线时，由中点坐标公式得：12（0﹣12）＝12（x +m ）且12（3）＝12（n 33， 整理得62363n m -=∴23336363n n m ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩解得30m n =-⎧⎨=⎩或03m n =⎧⎪⎨=⎪⎩故点Q 的坐标为（52，3）． 综上，点Q 的坐标为（52，3）或（﹣72，﹣3）． 【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析式，相似三角形判定与性质，三角形面积配方变为顶点式，利用平行四边形性质构造平行四边形，分类考虑PB 为边和对角线，利用平移，及中点坐标公式，解方程组与二元二次方程组，试题难度较大，综合性较强，熟练掌握相关知识，应用灵活是解题关键．12．（2021·广东江门市·九年级一模）如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于(1,0)A -，(,0)B m 两点，与y 轴相交于点(0,3)C -，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E 在x 轴上，且ECB CBD ∠=∠，求点E 的坐标；（3）若P 是直线BC 下方抛物线上任意一点，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与BC 交于点M ．当线段PM 取到最大值时，若F 为y 轴上一动点，求22PH HF ++的最小值． 【答案】（1）223y x x =--；（2）点E 的坐标是3,02⎛⎫⎪⎝⎭或()6,0；（3）2154 【解析】（1）利用待定系数法求解； （2）先求出顶点(1,4)D -，B （3,0），连接BD ，求出直线BD 的解析式为26y x =-，利用ECB CBD∠=∠得到CE ∥BD ，由此求出直线CE 的解析式为23y x =-得到点E 的坐标；同理求出点E 在点B 的右侧时点E 的坐标；（3）求得直线BC 的解析式为3y x =-．设()2,23P x x x --，则(,3)M x x ，得到PM 23924x ⎛⎫--+ ⎪⎭=⎝，利用函数性质得到当32x =时，PM 有最大值为94，此时315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．在x 轴的负半轴上取一点K ，过点F 作FN CK ⊥于点N ，由此得到当N ，F ，H 三点共线时，PH +HN 最小，即PH +HF +22CF 的值最小，求出NH ，即可得到答案．【解答】解：（1）把点(1,0)A -，(0,3)C -代入抛物线2y x bx c =++， 得103b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =--．（2）()222314y x x x =--=--， ∴顶点(1,4)D -．当0y =时，2230x x --=，解得3x =或-1．(3,0)∴B ．如图，连接BD ．设直线BD 的解析式为()3y k x =-．将点D 坐标代入，得24k -=-，解得2k =．∴直线BD 的解析式为26y x =-．ECB CBD ，//CE BD ∴．设直线CE 的解析式为2y x t =+．将点C 坐标代入，得3t =-．∴直线CE 的解析式为23y x =-．当0y =时，32x =． ∴此时点E 的坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭． 同理，当点E 在点B 的右侧时，点E 的坐标是()6,0．综上所述，点E 的坐标是3,02⎛⎫⎪⎝⎭或()6,0． （3）如图．∵点(3,0)B ，(0,3)C -，设直线BC 的解析式为：y kx b =+则303k b b +=⎧⎨=-⎩解得：13k b =⎧⎨=-⎩∴直线BC 的解析式为3y x =-．设()2,23P x x x --，则(,3)M x x ． ()()22239323324PM x x x x x x ⎛⎫∴=----=-+=--+ ⎪⎝⎭． ∴当32x =时，PM 有最大值为94，此时315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 在x 轴的负半轴上取一点K ，使45OCK ∠=︒，过点F 作FN CK ⊥于点N ．22FN CF ∴=． 当N ，F ，H 三点共线时，PH +HN 最小，即PH +HF 2的值最小， 在Rt OCK △中，45OCK ∠=︒，3OC =，3OK． 32OH ， 39322KH ． 在Rt KNH 中，45NKH ∠=︒，29224NH KH ∴==． 22PH HFCF 的最小值是92154PH NH ++=． 【点评】此题考查的是抛物线的综合知识，利用待定系数法求抛物线的解析式，平行线的性质的运用，二次函数的最值问题，利用锐角三角函数求线段长度，综合掌握各知识点是解题的关键．13．（2021·广东深圳市·九年级一模）如图，抛物线29(0)4=++≠y ax x c a 与x 轴相交于点(1,0)A -和点B ，与y 轴相交于点(0,3)C ，作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上存在点D ，使2∠=∠DCB ABC ，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，点F 的坐标为70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M 在抛物线上，点N 在直线BC 上，当以,,,D F M N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N 的坐标．【答案】（1）239344y x x =-++；（2）点D 坐标为92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）126666,3434N N ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，344,4N N ⎛⎛+ ⎝⎭⎝⎭【解析】（1）将A 、C 点坐标分别代入抛物线中，联立即可求得a 和c 的值，从而求出抛物线解析式； （2）过点C 作//CE x 轴交抛物线于点E ，则ECB ABC =∠∠，过点C 作DCE ABC ∠=∠交抛物线于点D ，设239,344D t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，借助DCH CBO ∽，即可求得t 的值，从而求得D 点坐标； （3）先求出直线BC 的解析式，设3(,3)4N n n ，分DF 为边和DF 为对角线两种情况讨论，表示出M 点坐标，代入抛物线中求得n 的值，即可得出N 点坐标．【解答】解：（1）：抛物线294y ax x c =++经过点(1,0),(0,3)A B - 9043a c c ⎧-+=⎪∴⎨⎪=⎩，解得343a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为239344y x x =-++ （2）过点C 作//CE x 轴交抛物线于点E ，则ECB ABC =∠∠过点C 作DCE ABC ∠=∠交抛物线于点D过点D 作DH CE ⊥于点H ，则90DHC ∠=︒2DCB DCE ECB ABC ∴∠=∠+∠=∠90,DHC COB DCH ABC ∠=∠=︒∠=∠DCH CBO ∴∽DH CH CO BO ∴= 设点D 的横坐标为t ，则239,344D t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ (0,3)C23944DH t t ∴=-+ ∵点B 是239344y x x =-++与x 轴的交点 2393044x x ∴-++=， 解得124,1x x ==-B ∴的坐标为(4,0)4OB ∴=，2394434t t t -+∴= 解得10t =（舍去），22t =∴点D 的纵坐标为：23993442t t -++= 则点D 坐标为92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）设直线BC 的解析式为：y kx b =+，将C （0,3），B （4，0）分别代入得，304b k b =⎧⎨=+⎩，解得334b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为：334y x =-+， 设3(,3)4N n n ，①当FD 为平行四边形的边时，如图，当N 点在M 点左侧时，则M N D F M N D F x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩即23(3)14M M x n y n -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩整理得2344M M x n y n =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，即3(2,4)4M n n , 故239()()34422443n n n -+++=-++， 解得：63n ， 此时126666,3,,33434N N ⎛⎛--+ ⎝⎭⎝⎭；同理当N 点在M 点右侧时可得3(2,2)4M n n ， 故23222439()()344n n n =-+-+-+-， 解得6643n ， 此时34666666664,43434N N ⎛⎛+-- ⎝⎭⎝⎭； ①当FD 为平行四边形的对角线时，则M N D F M N D F x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩,即0229733(3)52244M M x n n y n n =+-=-⎧⎪⎨=+--+=+⎪⎩故239()()34352244n n n +---=++，整理得2320n ，该方程无解． 综上所述：126666,3434N N ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，34666666664,,43434N N ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点评】本题考查二次函数综合，分别考查了求二次函数解析式，相似三角形的性质，和二次函数与平行四边形问题．（1）中直接代入点的坐标即可，难度不大；（2）中能正确作辅助线，构造相似三角形是解题关键；（3）中能分类讨论是解题关键，需注意平行四边形对边平行且相等，可借助这一点结合图象表示M 点坐标．14．（2021·广州市第十六中学九年级二模）在平面直角坐标系xOy 中，1C ：二次函数(233y mx m x =+（0m >）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）且4AB =，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的表达式；（2）将抛物线1C 向上平移n 个单位，得到抛物线2C ，当302x ≤≤时，抛物线2C 与x 轴只有一个公共点，结合函数图象，求出n 的取值范围；（3）将ACB △绕AB 的中点Q 旋转180︒，得到BDA ，若点M 是线段AD 上一动点，MB NB ⊥交直线AC 于点N ，点P 为线段MN 的中点，当点M 从点D 向点A 运动时．①求tan NMB ∠的值如何变化？请说明理由；②求点到达点A 时，直接写出点P 经过的路线长．【答案】（1）2323333y x x =--（2）5334n <433n =（3）①不变，理由见解析；②3【解析】（1）将二次函数解析式变为交点式，可求点A 的坐标，根据4AB =，可得抛物线对称轴为：1x =，根据对称轴公式可求m ．即可得到二次函数1C 的表达式；（2）设抛物线2C 的表达式为223y x x n =--+，当抛物线2C 经过点3(2，0)时，代入可求n 的值，计算此时在302x ≤≤时与x 轴的两个交点，当抛物线2C 经过点(0,0)时，代入可求n 的值，再计算抛物线2C 与x 轴只有一个公共点时n 的值，从而求解；（3）①先求得四边形ACBD 是矩形，证明BDM BCN ∆∆∽，列比例式并结合三角函数定义可得结论； ②首先证明点P 经过的路径是线段PQ 的长，如图2，根据三角形中位线定理即可求得．【解答】解：（1）2(3)3(3)(1)y mx m x mx x =++，当1x =-时，0y =，(1,0)A ∴-，4AB =，(1,0)A -，∴抛物线对称轴为：1x =，312m m -∴-=， 33m ∴=， ∴抛物线1C 的表达式为2323333y x x =--； （2）设抛物线2C 的表达式为2323333y x x n =--+， 当抛物线2C 经过点3(2，0)时，得534n =，此时抛物线2C ：在302x ≤≤时与x 轴有两个交点， 当抛物线2C 经过点(0,0)时，得3n =，若2233()4(3)033n --⨯⨯-+=， 解得：433n =， 当433n =时，当抛物线2C 与x 轴只有一个公共点，此公共点为(1,0)， 综上所述，n 的取值范围是5334n ≤<或433n =； （3）①tan NMB ∠的值为定值，不发生变化； 如图1中，Rt AOC ∆中，1OA =，3OC = 30ACO ∴∠=︒，60OAC ∠=︒，Rt BCO ∆中，3OB =，BC ∴==30OBC ∴∠=︒，60BCO ∠=︒，90ACB ∴∠=︒，由旋转得：90D ACB ∠=∠=︒，60ABD OAC ∠=∠=︒，D ，90CBD ∴∠=︒，∴四边形ADBC 是矩形，(3,0)B ，D ，2BD ∴=，90MBN DBC ∠=∠=︒，DBM CBN ∴∠=∠，90MAN MBN ∠=∠=︒，M ∴，A ，N ，B 四点共圆，DMB BNC ∴∠=∠，BDM BCN ∴∆∆∽，∴BM BD BN BC ===，tan BN NMB BM ∠==， tan NMB ∴∠的值为定值，不发生变化；②如图2，当M 在点D 时，P 与Q 重合，当M 与A 重合时，P 在直线AC 上，∴点P 经过的路线长是线段PQ 的长，Rt MBN ∆中，4AB =，30BNM ∠=︒，8MN ∴=，43BN = Q 是AB 的中点，P 是MN 的中点，PQ ∴是ABN ∆的中位线，1232PQ BN ∴== 即点M 到达点A 时，点P 经过的路线长是23【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角函数，含30度角的直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用相似三角形解决问题，属于中考压轴题．15．（2021·广东佛山市·九年级二模）已知抛物线223y x x =--交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ．。
2021中考数学真题分类专题14 二次函数解答压轴题(共32题含解析)
专题14二次函数解答压轴题（共32题）一、解答题1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上． （1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由．2．（2021·江苏南京市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点．（1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．3．（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．（1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为52x =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，连接OQ ．当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠．在y 轴上是否存在点F ，使得BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021·四川广元市·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值： x … 1- 0 1 2 3 …y 03 4 3 0 … （1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P 在点Q 上方），求AQ QP PC ++的最小值； （3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，ABD △的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．8．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：直线1y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 为直线AB 上一动点，连接OC ，AOC ∠为锐角，在OC 上方以OC 为边作正方形OCDE ，连接BE ，设BE t =． （1）如图1，当点C 在线段AB 上时，判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）真接写出点E 的坐标（用含t 的式子表示）；（3）若tan AOC k ∠=，经过点A 的抛物线()20y ax bx c a =++>顶点为P ，且有6320a b c ++=，POA 的面积为12k ．当2t =时，求抛物线的解析式．9．（2021·四川资阳市·中考真题）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．5D N CN '+的值最小时，求MN 的长． 10．（2021·四川南充市·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y （元）与购进数量x （千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z （元/千克）与一天销售数量x （千克）的关系为112100z x =-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w （元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）11．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若3MD MN =，求N 点的坐标． 12．（2021·湖北十堰市·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．13．（2021·四川达州市·中考真题）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？14．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表： 进货批次 A 型水杯（个） B 型水杯（个） 总费用（元）一100 200 8000 二 200 300 13000（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？15．（2021·湖北黄冈市·中考真题）已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y轴交于点C ，点(,0)N n 是x 轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n <，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ，交直线BC 于点G ．过点P 作PD BC ⊥于点D ，当n 为何值时，PDG BNG ≌；（3）如图2，将直线BC 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段OC 的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB ．①1tan BOB ∠=______；①当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时，求点N 的坐标．16．（2021·湖北黄冈市·中考真题）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x （单位：元/件），月销售量为y （单位：万件）．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a 元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a 的值．17．（2021·新疆中考真题）已知抛物线223(0)y ax ax a =-+≠． （1）求抛物线的对称轴；（2）把抛物线沿y 轴向下平移3a 个单位，若抛物线的顶点落在x 轴上，求a 的值；（3）设点()1,P a y ，()22,Q y 在抛物线上，若12y y >，求a 的取值范围．18．（2021·湖南长沙市·中考真题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点()1,A r 与点(),4B s 是关于x 的“T 函数”()()240,0,0,.x x y tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≥≠⎩是常数的图象上的一对“T 点”，则r =______，s =______，t =______（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于x 的“T 函数”2y ax bx c =++（0a >，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:l y mx n =+（0m ≠，0n >，且m ，n 是常数）交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，当1x ，2x 满足()11211x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．19．（2021·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2021·陕西中考真题）已知抛物线228y x x =-++与x 轴交于点A 、B （其中A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点B 、C 的坐标；（2）设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似且PC 与PO 是对应边？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2021·浙江杭州市·中考真题）在直角坐标系中，设函数21y ax bx =++（a ，b 是常数，0a ≠）．（1）若该函数的图象经过()1,0和()2,1两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．（2）写出一组a ，b 的值，使函数21y ax bx =++的图象与x 轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知1a b ==，当,x p q =（p ，q 是实数，p q ≠）时，该函数对应的函数值分别为P ，Q ．若2p q +=，求证6P Q +>．22．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接P A ，PD ，求PAD △面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线24(0)y ax bx a =+-≠沿射线AD 平移42得到新的抛物线1y ，点E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 23．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，与y 轴交于C （0，－3），对称轴为直线1x =-，直线y ＝－2x ＋m 经过点A ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，与对称轴交于点F ．（1）求抛物线的解析式和m 的值；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与①AOD 相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y ＝1上有M 、N 两点（M 在N 的左侧），且MN ＝2，若将线段MN 在直线y ＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN 的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．24．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点 （1）求证：①ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE +BF 的最大值；①点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．25．（2021·云南中考真题）已知抛物线22y x bxc 经过点()0,2-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小．设r 是抛物线22yx bxc 与x 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，97539521601r r r r r m r r +-++-=+-． （1）求b 、c 的值：（2）求证：2242160r r r -+=；（3）以下结论：1,1,1m m m <=>，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．26．（2021·山东泰安市·中考真题）二次函数2()40y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，当2DPB BCO ∠=∠时，求直线BP 的表达式； （3）请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由． 27．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，抛物线()223(69)y mx m x m =++-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若PBC ABC S S =△△，请直接写出点P 的坐标； （3）Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．28．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ①AB ，垂足为D ，PE ①x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当①PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和①PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．29．（2021·浙江中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几； （2）若该景区仅有,A B 两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示： 购票方式 甲乙丙可游玩景点 ABA 和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；①问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？30．（2021·湖北武汉市·中考真题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A ，B 两种农作物为原料开发了一种有机产品，A 原料的单价是B 原料单价的1.5倍，若用900元收购A 原料会比用900元收购B 原料少100kg ．生产该产品每盒需要A 原料2kg 和B 原料4kg ，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x 元（x 是整数），每天的利润是w 元，求w 关于x 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a 元（a 是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．31．（2021·四川乐山市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，且经过点30,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求b 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若二次函数2y ax bx c =++在13x ≤≤时，y 的最大值为1，求a 的值；（3）将线段AB 向右平移2个单位得到线段A B ''．若线段A B ''与抛物线241y ax bx c a =+++-仅有一个交点，求a 的取值范围．32．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC 的外心，且BCD △与ACO △104，求此抛物线的解析式； （3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA ∠=∠？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】 专题14二次函数解答压轴题 试题解析（共32题）一、解答题1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上．（1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由． 【答案】（1）1x =-；（2）213y y y <<，理由见解析 【分析】（1）由题意易得点()1,3和点()3,15，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当0,0m n <>时和当0,0m n ><时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可． 【详解】解：（1）当3,15m n ==时，则有点()1,3和点()3,15，代入二次函数()20y ax bx a =+>得：39315a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， ①抛物线解析式为22y x x =+， ①抛物线的对称轴为12bx a=-=-； （2）由题意得：抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，则由0mn <可得：①当0,0m n ><时，由抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0可得此时的抛物线开口向下，即0a <，与0a >矛盾； ①当0,0m n <>时，①抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，①此时抛物线的对称轴的范围为1322x <<，①点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上， ①它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为()3513571,2,4222222x x x <--<<-<<-<， ①0a >，开口向上，①由抛物线的性质可知离对称轴越近越小， ①213y y y <<． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2．（2021·江苏南京市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点．（1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1b =-；（2）1；（3）0a <或45a >． 【分析】（1）将点()()2,1,2,3--代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得； （3）分0a <和0a >两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：（1）将点()()2,1,2,3--代入2y ax bx c =++得：421423a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩，两式相减得：44b -=， 解得1b =-；（2）由题意得：0a ≠，由（1）得：2211()24y ax x c a x c a a=-+=-+-， 则此函数的顶点的纵坐标为14c a-， 将点()2,3-代入2y ax x c =-+得：423a c -+=-，解得41a c -=+， 则1141c c a c -=++，下面证明对于任意的两个正数00,x y ，都有00x y +≥2000(0x x y -=+-≥，00x y ∴+≥00x y =时，等号成立）， 当1c >-时，10c +>，则11111111c c c c +=++-≥=++（当且仅当111c c +=+，即0c 时，等号成立）， 即114c a-≥， 故当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由423a c -+=-得：41c a =--，则二次函数的解析式为241(0)y ax x a a =---≠，由题意，分以下两种情况：①如图，当0a <时，则当1x =-时，0y >；当3x =时，0y <，即141093410a a a a +-->⎧⎨---<⎩， 解得0a <；①如图，当0a >时，当1x =-时，14130y a a a =+--=-<，∴当3x =时，93410y a a =--->， 解得45a >， 综上，a 的取值范围为0a <或45a >． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．3．（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．（1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．【答案】（1）1a =；（2）12y y >，见解析；（3【分析】（1）根据对称轴2b x a=-，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出1x =±再表示出1(1)|AB =-，12CD x x =-=3=即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：212x a-=-= 1a（2）抛物线对称轴为直线1x =，且10a =>∴当1x <时，y 随x 的增大而减小，当1x >时，y 随x 的增大而增大．∴当111x -<<时，y 1随x 1的增大而减小，1x =-时，4y =，0x =时，1y =114y ∴<<同理：212x <<时，y 2随x 2的增大而增大1x =时，0y =．2x =时，1y =201y ∴<<12y y ∴>（3）令221x x m -+=22(1)0x x m -+-=2(2)41(1)m ∆=--⋅⋅-4m =1x ∴==11x ∴=21x =|1(1)|AB ∴=-=令23(1)x m -= 2(1)3m x ∴-=113x ∴=+213x =-+ 12CD x x ∴=-=AB CD ∴==∴AB 与CD【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．【答案】（1）24y x =+；（2）26【分析】（1）确定B 点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深 CD ′ 与杯高 OD ′ 之比为0.6，求出OD ′ ，接着利用抛物线解析式求出B '或A '横坐标即可完成求解．【详解】解：（1）设24y ax =+，①杯口直径 AB =4 ，杯高 DO =8 ，①()2,8B将2x =，8y =代入，得1a =，24y x ∴=+．（2）0.6CD OD ''=， 0.64CD CD '∴=+'， 6CD ∴'=，10OD '=，当10y =时，2104x =+，1x =2x =A B ∴''=即杯口直径A B ''的长为【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等．5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-+；（3）EM MP PB ++存在最小值，1+，此时点M 的坐标为51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】 （1）由题意易得5AD AB ==，进而可得()4,0A -，则有()10B ,，然后把点B 、D 代入求解即可； （2）设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当BF BE =时，①当EF BE =时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM 、DM ，由题意易得DM =EM ，四边形BOMP 是平行四边形，进而可得OM =BP ，则有1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，则有当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，然后问题可求解．【详解】解：（1）①四边形ABCD 为正方形，()4,5D -，①5AD AB ==，()4,0A -，①4AO =，①OB =1，①()10B ,， 把点B 、D 坐标代入得：164510b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩， ①抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）由（1）可得()10B ,，抛物线解析式为223y x x =+-，则有抛物线的对称轴为直线1x =-， ①点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，①()2,5E ，①由两点距离公式可得()()222120526BE =-+-=，设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当BF BE =时，如图所示：①由两点距离公式可得22BF BE =，即()()2211026a ++-=，解得：a =①点F 的坐标为(-或(1,-；①当EF BE =时，如图所示：①由两点距离公式可得22EF BE =，即()()2221526a ++-=，解得：5a =±①点F 的坐标为(1,5--或(1,5-；综上所述：当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F 的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-； （3）由题意可得如图所示：连接OM 、DM ，由（2）可知点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，()10B ,， ①1OB =，DM =EM ，①过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，①1,//PM OB PM OB ==，①四边形BOMP 是平行四边形，①OM =BP ，①1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，①当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，此时OD 与抛物线对称轴的交点为M ，如图所示：①()4,5D -，①OD ==①1DM MO ++1，即EM MP PB ++1+， 设线段OD 的解析式为y kx =，代入点D 的坐标得：54k =-， ①线段OD 的解析式为54y x =-， ①51,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为52x =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，连接OQ ．当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠．在y 轴上是否存在点F ，使得BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）254y x x =-+；（2）四边形OCPQ 是平行四边形，理由见详解；（3）（0，258）或（0，1）或（0，-1） 【分析】（1）设抛物线(1)(4)y a x x =--，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC 的解析式为：y =-x +4，设P （x ，-x +4），则Q （x ，254x x -+），（0≤x ≤4），得到PQ =()224x --+，从而求出线段PQ 长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点Q 作QM ①y 轴，过点Q 作QN ①y 轴，过点E 作EN ①x 轴，交于点N ，推出MDQ DQN EQN ∠=∠=∠，从而得MQ NEMD NQ=，进而求出E （5，4），设F （0，y ），分三种情况讨论，即可求解．。
2021年九年级数学中考复习专题 二次函数考察：最值问题综合(含答案)
2021年九年级数学中考复习专题二次函数考察：最值问题综合1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B（4，0），点A（3，m）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）若点P为线段OA上方抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）求tan∠OAB的值．（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△BAN为以AB为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点N的坐标．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y 轴交于点C，点D为抛物线的顶点．点A坐标的为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3）．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．3．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN 的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．4．已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（1）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（2）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝3时，求b的值；（3）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．（说明：y D表示D点的纵坐标，y Q表示Q点的纵坐标）5．如图甲，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所符合条件的点M的坐标；着不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），求出E点的坐标．6．如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，点A（2，1）．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x＝2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y＝x2从点O沿OA方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M到A 点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m．①用含m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，平移后的抛物线上是否存在点Q，使S△QMA＝2S△PMA，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．9．抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣1，0），一次函数y＝x+k的图象经过点B、C．（1）试求二次函数及一次函数的解析式；（2）如图1，点D（2，0）为x轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线PD 交线段CB于点Q，连接PC、DC，若S△CPD＝3S△CQD，求点P的坐标；（3）如图2，点E为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线BC于点F，当EF+CF的值最大时，求点E的坐标．10．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案1．解：（1）把点O（0，0），点B（4，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x，它的对称轴为：x＝﹣＝2；（2）把点A（3，m）代入y＝﹣x2+4x得m＝﹣32+4×3＝3，则点A的坐标为：（3，3），由点O（0，0），A（3，3）得直线OA的解析式为：y＝x，设点P（p，﹣p2+4p），则点Q（p，p），PQ＝y P﹣y Q＝﹣p2+4p﹣p＝﹣p2+3p＝﹣（p﹣）2+，当p＝时，PQ的值最大，最大值为；（3）如图1，过点B作BD⊥OA，交OA于点D，过点A作AE⊥OB，交OB于点E，∵A（3，3），∴AE＝3，OE＝3，∴△AOE为等腰直角三角形，∴∠AOE＝45°，OA＝OE＝3，在等腰Rt△BOD中，OB＝4，∴OD＝BD＝2，∴AD＝OA﹣OD＝3﹣2＝，∴tan∠OAB＝＝2；（4）存在，设点N（2，a），若AB＝AN，∵点A（3，3），B点（4，0），点N（2，a），∴＝，∴a1＝0，a2＝6，当a2＝6时，点P，点A，点B共线，∴a2＝6不合题意舍去，∴点N坐标为（2，0）若AB＝BN，∵点A（3，3），B点（4，0），点N（2，a），∴＝∴a3＝，a4＝﹣，∴点N坐标为（2，）或（2，﹣），综上所述：点N（2，）或（2，﹣）或（2，0）．2．解：（Ⅰ）依题意解得∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3；（Ⅱ）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，设M（x，0），P（x，﹣x2﹣2x+3），其中﹣3＜x＜﹣1，∵P、Q关于直线x＝﹣1对称，设Q的横坐标为a，则a﹣（﹣1）＝﹣1﹣x，∴a＝﹣2﹣x，∴Q（﹣2﹣x，﹣x2﹣2x+3），∴MP＝﹣x2﹣2x+3，PQ＝﹣2﹣x﹣x＝﹣2﹣2x，∴周长d＝2（﹣2﹣2x﹣x2﹣2x+3）＝﹣2x2﹣8x+2＝﹣2（x+2）2+10，当x＝﹣2时，d取最大值，此时，M（﹣2，0），∴AM＝﹣2﹣（﹣3）＝1，设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴设直线AC的解析式为y＝x+3，将x＝﹣2代入y＝x+3，得y＝1，∴E（﹣2，1），∴EM＝1，∴；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ的周长最大时，x＝﹣2，此时点Q（0，3），与点C重合，∴OQ＝3，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴D（﹣1，4），如图，过D作DK⊥y轴于K，则DK＝1，OK＝4，∴QK＝OK﹣OQ＝4﹣3＝1，∴△DKQ是等腰直角三角形，∴DQ＝DK＝，∴，设F（m，﹣m2﹣2m+3），则G（m，m+3），FG＝m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）＝m2+3m，∴m2+3m＝4，解得m1＝﹣4，m2＝1，当m＝﹣4时，﹣m2﹣2m+3＝﹣5，当m＝1时，﹣m2﹣2m+3＝0，∴点F（﹣4，﹣5）或（1，0）．3．解：（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）1°设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设M（t，﹣t+3）（0＜t＜3），则N（t，t2﹣4t+3），∴MN＝﹣t2+3t＝﹣，∴当t＝时，MN的值最大，其最大值为；2°∵△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上，∴△PMN为直角三角形，由1°知，当MN取最大值时，M（），N（），①当∠PMN＝90°时，PM∥x轴，则P点与M点的纵坐标相等，∴P点的纵坐标为，当y＝时，y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝，或x＝（舍去），∴P（）；②当∠PNM＝90°时，PN∥x轴，则P点与N点的纵坐标相等，∴P点的纵坐标为﹣，当y＝﹣时，y＝x2﹣4x+3＝﹣，解得，x＝，或x＝（舍去），∴P（，）；③当∠MPN＝90°时，则MN为△PMN的外接圆的直径，∴△PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，∴Q（），半径为，过Q作QK∥x轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图②，令y＝，得y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝＜（舍），或x＝，∴K（，），∴QK＝＞，即K点在以MN为直径的⊙Q外，设抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为点L，则l（2，﹣1），连接LK，如图②，则L到QK的距离为，LK＝，设Q点到LK的距离为h，则，∴＝，∴直线LK下方的抛物线与⊙Q没有公共点，∵抛物线中NL部分（除N点外）在过N点与x轴平行的直线下方，∴抛物线中NL部分（除N点外）与⊙Q没有公共点，∵抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，∴抛物线K点右边部分与⊙Q没有公共点，综上，⊙Q与MN右边的抛物线没有交点，∴在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使△PMN的外接圆圆心Q在MN边上；综上，点P的坐标为（）或（）．4．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），∴1+b+c＝0，即c＝﹣b﹣1，当b＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，∵点D（b，y D）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y D＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴AD＝AE，由已知AM＝AD，m＝3，∴3﹣（﹣1）＝（b+1），∴b＝2﹣1；（3）∵点Q（b+，y Q）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y Q＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，∵AM+2QM＝2（AM+QM），∴可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由∠GAM＝45°，得AM＝GM，则此时点M满足题意，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，∴QH＝MH，QM＝MH，∵点M（m，0），∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，解得，m＝﹣，∵AM+2QM＝，∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2•[（b+）﹣（﹣）]＝，∴b＝6．5．解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标为P（2，﹣1），∴CP＝＝2，设点M的坐标为（2，m），则PM＝|m+1|，CM＝，若CP＝PM＝2，则|m+1|＝2，∴m＝﹣1±2，∴点M（2，﹣1﹣2）或（2，﹣1+2）；若CP＝CM＝2，则＝2，∴m＝7，∴点M（2，7）；若PM＝CM，如图，过点C作CH⊥PM于H，∴CH＝2，PH＝4，∵CH2+HM2＝CM2，∴4+HM2＝（4﹣HM）2，∴HM＝，∴点M（2，）∴满足条件的点M分别为M1（2，7），M2（2，﹣1+2），M3（2，），M4（2，﹣2﹣1）；（4）当0＜x＜3时，在此抛物线上任取一点E，连接CE、BE，过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设点F（x，﹣x+3），则点E（x，x2﹣4x+3），∴EF＝﹣x2+3x，∴S△CBE＝S△CEF+S△BEF＝EF•OB，＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣＜0，0＜x＜3，∴当x＝时，S△CBE有最大值，此时，y＝x2﹣4x+3＝﹣，∴E（，﹣）．6．解：（1）如图1，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，∵A（2，1），∴AC＝1，OC＝BD，∵△AOB为等腰直角三角形，∴AO＝BO，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠DOB＝∠DOB+∠OBD＝90°，∴∠AOC＝∠OBD，在△ACO和△ODB中，∴△ACO≌△ODB（AAS），∴OD＝AC＝1，BD＝OC＝2，∴B（﹣1，2）；（2）∵抛物线过O点，∴可设抛物线解析式为y＝ax2+bx，∵抛物线的图象经过点A，点B，∴，解得：，∴经过A、B、O原点的抛物线解析式为y＝x2﹣x；（3）存在，理由如下：∵四边形ABOP，∴可知点P在线段OA的下方，过P作PE∥y轴交AO于点E，如图2，设直线AO解析式为y＝kx，∵A（2，1），∴k＝，∴直线AO解析式为y＝x，设P点坐标为（t，t2﹣t），则E（t，t），∴PE＝t﹣（x2﹣t）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣1）2+，∴S△AOP＝PE×2＝PE═﹣（t﹣1）2+，由A（2，1）可求得OA＝OB＝，∴S△AOB＝AO•BO＝，∴S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP＝﹣（t﹣1）2++＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，四边形ABOP的面积最大，此时P点坐标为（1，﹣），综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P，其坐标为（1，﹣）．7．解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y＝2x，∵A（2，4），∴2k＝4⇒k＝2，∴OA所在直线的函数解析式为y＝2x；（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，∴y＝2m（0≤m≤2），∴顶点M的坐标为（m，2m），∴抛物线函数解析式为y＝（x﹣m）2+2m，∴当x＝2时，y＝（2﹣m）2+2m＝m2﹣2m+4（0≤m≤2），∴点P的坐标为（2，m2﹣2m+4）；②∴|PB|＝|m2﹣2m+4|＝|（m﹣1）2+3|，∵（m﹣1）2+3≥3，当且仅当m＝1时取得最小值，∴当m＝1时，线段PB最短；（3）由（2）可得当线段PB最短时，此时点M坐标为（1，2），抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2＝x2﹣2x+3，假设抛物线上存在点Q使S△QMA＝2S△PMA，设点Q坐标为（a，a2﹣2a+3），∴，要想符合题意，故S△QMA＝1，∴|MA|＝，设点Q到线段MA的距离为h，∴h＝，∴＝×|a2﹣4a+3|＝1，即|a2﹣4a+3|＝2，即a2﹣4a+3＝2或﹣2，解得a＝2+或2﹣，∴点Q坐标为（2+，6+2）或（2﹣，6﹣2）．8．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）．（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），则S△PBC＝•PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此时x＝，故点P（，﹣）．（3）存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，作QH⊥CH，垂足为H，则HQ＝CQ，AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y＝x+3…①，则直线AH所在表达式中的k值为﹣，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+s，将点A的坐标代入y＝﹣x+s并解得：s＝，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，故点H（，），而点A（1，0），则AH＝，即：AQ+QC的最小值为．9．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∵一次函数y＝x+k的图象经过点B、C，∴k＝﹣5，∴B（5，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，∴﹣5a＝﹣5，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，一次函数的解析式为y＝x﹣5．（2）①当点P在直线BC的上方时，如图2﹣1中，作DH∥BC交y轴于H，过点D作直线DT交y轴于T，交BC于K，作PT∥BC交抛物线于P，直线PD交抛物线于Q．∵S△CPD＝3S△CQD，∴PD＝3DQ，∵PT∥DH∥BC，∴＝＝＝3，∵D（2，0），B（5，0），C（﹣5，0），∴OA＝OB＝5，OD＝OH＝2，∴HC＝3，∴TH＝9，OT＝7，∴直线PT的解析式为y＝x+7，由，解得或，∴P（，）或（，），②当点P在直线BC的下方时，如图2﹣2中，当点P与抛物线的顶点（2，﹣9）重合时，PD＝9．DQ＝3，∴PQ＝3DQ，∴S△CPD＝3S△CQD，过点P作PP′∥BC，此时点P′也满足条件，∵直线PP′的解析式为y＝x﹣11，由，解得或，∴P ′（3，﹣8），综上所述，满足条件的点P 的坐标为（，）或（，）或（2，﹣9）或（3，﹣8）．（3）设E （m ，m 2﹣4m ﹣5），则F （m ，m ﹣5），∴EF ＝（m ﹣5）﹣（m 2﹣4m ﹣5）＝5m ﹣m 2，CF ＝m ，∴EF +CF ＝﹣m 2+6m ＝﹣（m ﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴m ＝3时，EF +CF 的值最大，此时E （3，﹣8）．10．解：（1）把A （﹣3，0），B （1，0）代入y ＝x 2+bx +c 中，得，解得，∴y ＝x 2+2x ﹣3．（2）①设直线AC 的表达式为y ＝kx +b ，把A （﹣3，0），C （0，﹣3）代入y ＝kx +b ．得，解得，∴y ＝﹣x ﹣3，∵点P （m ，0）是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵a＝﹣1＜0，∴此函数有最大值．又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，∴当m＝﹣时，MN有最大值．②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得m＝﹣3+或0（舍弃）∴MN＝3﹣2，∴CQ＝MN＝3﹣2，∴OQ＝3+1，∴Q（0，﹣3﹣1）．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，则有，m2+3m＝﹣m，解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），∴MN＝CQ＝3+2，∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，∴Q（0，3﹣1）．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．。
2021年九年级数学中考二次函数综合型压轴题经典题型训练试题及答案详解(37页)
2021年九年级数学中考二次函数综合型压轴题经典题型训练试题1．已知，如图抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B 两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（4）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求的最大值；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；（3）联结BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．4．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴的负半轴交于点C，OC＝OB＝10．（1）求抛物线的解析式；（2）点P、Q在第四象限内抛物线上，点P在点Q下方，连接CP，CQ，∠OCP+∠OCQ＝180°，设点Q的横坐标为m，点P的横坐标为n，求m与n 的函数关系式；（3）如图2，在（2）条件下，连接AP交CO于点D，过点Q作QE⊥AB于E，连接BQ，DE，是否存在点P，使∠AED＝2∠EQB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3），D（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积大时，试求出点P的坐标，并求出△P AB面积的最大值；（3）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A，B两点，A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，四边形BCMN是平行四边形？并求出满足条件的N点的坐标．7．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D 作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．8．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其图象与x轴的一个交点为B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），且对称轴为直线x＝1，过点B，C作直线BC．（1）求二次函数和直线BC的表达式；（2）利用图象求不等式x2﹣3x≥0的解集；（3）点P是函数y＝ax2+bx+c的图象上位于第四象限内的一动点，连接PB，PC，①若△PBC面积最大时，求点P的坐标及△PBC面积的最大值；②在x轴上是否存在一点Q，使得以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．9．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2﹣4（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC ＝4S△BOC，求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD 长度的最大值．10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于C 点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y＝﹣x+3交于C，D两点，连接BD，AD．（1）求m的值；（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP ＝4S△ABD，求点P的坐标；（3）点M是抛物线对称轴上的点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标．11．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）求抛物线的解析式；（2）①如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；②抛物线上是否存在一点P，使△PBC是以BC为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知．在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OA＝2，若以O 为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．（2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，连接MO、MC，问：点M位于何处时三角形MOC的面积最大？并求出三角形MOC的最大面积．（3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP＝∠BOC？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m（m为大于0的常数）与x 轴相交于点A，与y轴相交于点C，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，以AB为直径的⊙M经过点C．（1）直接写出点A，C的坐标（用含m的式子表示）；（2）求ac的值；（3）若直线l平行于AC，且与抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点P，连接P A，PC，当△P AC的面积等于4时，求⊙M与抛物线y＝ax2+bx+c的交点坐标．14．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+5的对称轴是直线x＝2，且经过点（3，8），抛物线与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图2，已知Q（1，0），E（0，m），F（0，m+1），点P是第一象限的抛物线y＝ax2+bx+5上的一点，①当m＝1时，求使四边形EFPQ的面积最大时的点P的坐标；②若PQ＝PB，求m为何值时，四边形EFPQ的周长最小？15．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+3ax﹣18a（a ≠0），交x轴于点A、C两点，与y轴交于点B，且AC＝OB．（1）求a的值；（2）连接AB、BC，点D为BC上一点，直线AD交对称轴左侧的抛物线于点P，当2∠OBA+∠DAB＝90°时，求P点坐标．（3）在（2）的条件下，在AB上取点E，在AC上取点Q，使BE：AQ＝4：3，连接EQ，且AD平分线段EQ，在第二象限取点R，使射线QR⊥x轴于点Q，M为射线OB上的一点，在QR边上取点N，将∠OMN沿MN折叠，使MO的对应线段所在的直线与射线QR交于点K，得到△MNK的面积为4时，求∠MKN的度数．参考答案1．解：（1）∵B的坐标为（1，0），∴OB＝1．∵OC＝3OB＝3，点C在x轴下方，∴C（0，﹣3）．∵将B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线的解析式，得，解得：a＝，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．（2）如图1所示：连结AC与抛物线的对称轴交于点Q，此时△QBC的周长最小．∵x＝﹣＝﹣＝﹣，B（1，0），∴A（﹣4，0）．设直线AC的解析式为：y＝mx+n，∵A（﹣4，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3．∵y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴是直线x＝﹣，∴当x＝﹣时，y＝﹣×（﹣）﹣3＝﹣，∴点Q的坐标是（﹣，﹣）；（3）如图2所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．∵A（﹣4，0），B（1，0），∴AB＝5．＝AB•OC＝×5×3＝7.5．∴S△ABC设AC的解析式为y＝kx+b．∵将A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入得：，解得：k＝﹣，b＝﹣3，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．设D（a，a2+a﹣3），则E（a，﹣a﹣3）．∵DE＝﹣a﹣3﹣（a2+a﹣3）＝﹣（a+2）2+3，∴当a＝﹣2时，DE有最大值，最大值为3．∴△ADC的最大面积＝DE•AO＝×3×4＝6．∴四边形ABCD的面积的最大值为．（4）存在．①如图3，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．∵C（0，﹣3），令x2+x﹣3＝﹣3，∴x1＝0，x2＝﹣3．∴P1（﹣3，﹣3）．②平移直线AC交x轴于点E2，E3，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，当AC＝P2E2时，四边形ACE2P2为平行四边形，当AC＝P3E3时，四边形ACE3P3为平行四边形．∵C（0，﹣3），∴P2，P3的纵坐标均为3．令y＝3得：x2+x﹣3＝3，解得x1＝，x2＝．∴P2（，3），P3（，3）．综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（﹣3，﹣3），P2（，3），P3（，3）．2．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣2．（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，∴AK∥DG，∴△AKE∽△DFE，∴＝．设直线BC的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，∵A（﹣1，0），∴y＝﹣﹣2＝﹣，∴AK＝，设D（m，m2﹣m﹣2），则F（m，m﹣2），∴DF＝m﹣2﹣m2+﹣m+2＝﹣m2+2m．∴＝＝﹣（m﹣2）2+．∴当m＝2时，有最大值，最大值是．（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．∵l∥BC，∴直线l的解析式为y＝x，设P（a1，），①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0），∴AC＝，AB＝5，BC＝2，∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵△PQB∽△CAB，∴＝＝，∵∠QMP＝∠BNP＝90°，∴∠MQP+∠MPQ＝90°，∠MPQ+∠BPN＝90°，∴∠MQP＝∠BPN，∴△QPM∽△PBN，∴＝＝＝，∴QM＝，PM＝（a1﹣4）＝a1﹣2，∴MN＝a1﹣2，BN﹣QM＝a1﹣4﹣＝a1﹣4，∴Q（a1，a1﹣2），将点Q的坐标代入抛物线的解析式得×（a12）﹣×a1﹣2＝a1﹣2，解得a1＝0（舍去）或a1＝．∴P（，）．②当点P在直线BQ左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为（a1，2）．此时点P的坐标为（，）．综上所述，符合条件的点P的坐标是（，）或（，）．3．解：（1）把点A（4，0）和点B（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G，∴DG∥OB，∴△ADG∽△ABO，∴，∵AD＝3BD，∴AG＝3OG，∵A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，∴OG＝1，DG＝，∵D（1，），由平移得：点C的横坐标为1，当x＝1时，y＝﹣×1+×1+2＝3，∴m＝3﹣＝；（3）∵∠CBA＝2∠BAO，点C在该抛物线上且在第一象限，∴点C在AB的上方，如图2，过A作AF⊥x轴于A，交BC的延长线于点F，过B作BE⊥AF于点E，∴BE∥OA，∴∠BAO＝∠ABE，∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF，∴∠FBE＝∠ABE，∵∠BEF＝∠AEB＝90°，∴∠F＝∠BAF，∴AB＝BF，∴AE＝EF＝OB＝2，∴F（4，4），设BF的解析式为：y＝kx+n，则，解得：，∴BF的解析式为：y＝x+2，∴，解得或，∴C（2，3）．4．解：（1）∵OC＝OB＝10，∴C（0，﹣10），B（10，0），把C，B两点坐标代入y＝x2+bx+c，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣10．（2）如图1中，过点Q作QN⊥OC于N，过点P作PM⊥OC于M．∵∠OCP+∠OCQ＝180°，∠OCP+∠PCM＝180°，∴∠QCN＝∠PCM，∵∠QNC＝∠PMC＝90°，∴△QNC∽△PMC，∴＝，∴＝，整理得m＝12﹣n．（3）如图2中，作ET平分∠OED，交OD于T，过点T作TR⊥DE于R．由题意A（﹣4，0），P（n，n2﹣n﹣10），∴直线P A的解析式为y＝（n﹣10）x+n﹣10，∴D（0，n﹣10），∴m＝12﹣n，∴D（0，2﹣m），∴OD＝m﹣2，∵∠TEO＝∠TER，∠EOT＝∠ERT＝90°，ET＝ET，∴△EOT≌△ERT（AAS），∴OT＝TR，EO＝ER＝m，设OT＝TR＝x，在Rt△DTR中，∵DT2＝TR2+DR2，∴（m﹣2﹣x）2＝x2+（﹣m）2，∴x＝，∵∠OED＝2∠EQB，∠OET＝∠TED，∴∠OET＝∠EQB，∵∠EOQ＝∠QEB＝90°，∴△OET∽△EQB，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，整理得，m3﹣4m2﹣64m＝96＝0，可得（m﹣2）（m﹣8）（m+6）＝0，解得，m＝8或﹣6（舍弃）或2（舍弃），∵m＝12﹣n，∴n＝4，∴P（4，﹣12），5．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；（2）如图1，作PQ∥y轴交直线AB于点Q，设P（m，m2﹣2m﹣3），则Qm，m﹣3），∴PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S＝×3×（﹣m2+3m）△P AB＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，△P AB面积有最大值，最大值是，此时P点坐标为（，﹣）．（3）存在，理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），∵CE∥y轴，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，①如图2，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，解得：a＝2，a＝1（舍去），∴M（2，﹣1），②如图3，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，∴a2﹣3a＝2，解得：a＝，a＝（舍去），∴M（，），综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（，），6．解：（1）由直线y＝﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数的图象，根据题意得：，∴，则二次函数的解析式是：y＝﹣x2﹣x+1；（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M（x，﹣x+1），P（x，0），则MN＝PN﹣PM＝﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，所以，当x＝﹣时，MN的最大值为；（3）连接MC，BN，若BC＝MN，则四边形BCMN是平行四边形，∴﹣x2﹣x＝，解得x1＝﹣1，x2＝﹣2，故当N（﹣1，4）或（﹣2，4.5）时，四边形BCMN是平行四边形．7．解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴，∵，∴当时，S有最大值，最大值；（3）设点M（1，m），则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；①当MC是斜边时，1+（m﹣3）2＝m2+4+18；解得：m＝﹣2；②当MB是斜边时，同理可得：m＝4，故点M的坐标为：（1，﹣2），（1，4）．8．解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，B（3，0），∴A（﹣1，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入得：﹣3a＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B和点C的坐标代入得：，解得k＝1，b＝﹣3，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．（2）由x2﹣3x≥0可得到x2﹣2x﹣3≥x﹣3，由函数图象可得到x≥3或x≤0．（3）①作PM⊥x轴，垂足为M，交BC与点N．设P（m，m2﹣2m﹣3），则N（m，m﹣3）．∴PN＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m．＝PN•（OM+MB）＝PN•OB＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．∴S△PBC∴当△PBC的面积最大时，点P的坐标为（，﹣），△PBC的面积的最大值为．②∵点B和点Q均在x轴，以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，∴PC∥BQ，PC＝BQ．∴点P与点C关于x＝1对称，∴点P的坐标为（2，﹣3）．∴CP＝2．∵BQ＝PC＝2，B（3，0），∴点Q的坐标为（1，0）或（5，0）．9．解：（1）由题意对称轴为直线x＝﹣1，可设抛物线解析式：y＝a（x+1）2﹣4，把点A（﹣3，0）代入可得，a＝1，∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3，（2）如图1，y＝x2+2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，所以点C（0，﹣3），OC＝3，令y＝0，解得：x＝﹣3，或x＝1，∴点B（1，0），OB＝1，设点P（m，m2+2m﹣3），此时S△POC＝×OC×|m|＝|m|，S△BOC＝＝，由S△POC ＝4S△BOC得|m|＝6，解得：m＝4或m＝﹣4，m2+2m﹣3＝21，或m2+2m﹣3＝5，所以点P的坐标为：（4，21），或（﹣4，5）；（3）如图2，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得：，解得：，所以直线AC：y＝﹣x﹣3，设点Q（n，﹣n﹣3），点D（n，n2+2n﹣3）所以：DQ＝﹣n﹣3﹣（n2+2n﹣3）＝﹣n2﹣3n＝﹣（n+）2+，所以当n＝﹣时，DQ有最大值．10．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+3过点（3，0），∴﹣9+3m+3＝0，∴m＝2；（2）由，得或，∴C（0，3），D（，﹣），∵S△ABP ＝4S△ABD，∴AB×|P y|＝4×AB×，∴|P y|＝9，P y＝±9，当y＝9时，﹣x2+2x+3＝9，∴x2﹣2x+6＝0，∵△＝4﹣4×6＜0，∴此方程无实数解，当y＝﹣9时，﹣x2+2x+3＝﹣9，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，∴P（1+，﹣9）或P（1﹣，﹣9）；（3）由（1）知：抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的对称轴是：x＝1，∵点A与点B关于直线x＝1对称，连接BC交对称轴x＝1于点M，点M即为所求，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，∴B（3，0），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，把B（3，0）和C（0，3）代入得，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，∵抛物线的对称轴是：x＝1，∴当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴当MA+MC的值最小时，点M的坐标是（1，2）．11．（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得．∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）①在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3）．设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，∴．∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，若PE＝2ED，则PD＝3ED，设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3），即m2﹣5m+6＝0，解得m1＝2，m2＝3（舍）．当m＝2时，P（2，3），E（2，1），则PE＝1，∴；②存在，理由如下：设P（n，﹣n2+2n+3）．∵△PBC是以BC为底边的等腰三角形，∴PB＝PC．∵B（3，0），C（0，3），∴（n﹣3）2+（﹣n2+2n+3）2＝n2+（﹣n2+2n+3﹣3）2．解得n1＝，n2＝．∴，．12．解：（1）∵Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，∴OC＝OA＝2，∠BOC＝∠BAO＝30°，∴∠AOC＝30°+30°＝60°，如图，过点C作CD⊥OA于D，则OD＝×2＝，CD＝2×＝3，所以，顶点C的坐标为（，3），设过点O，C，A抛物线的解析式为为y＝ax2+bx，则，解得．所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x；（2）∵线段OC的长度一定，∴当点M到OC的距离最大时，△MOC的面积最大．∵C（，3），∴直线OC的解析式为y＝x，设点M到OC的最大距离d时，平行于OC的直线解析式为y＝x+m，联立，消掉未知数y并整理得，x2﹣x+m＝0，△＝（﹣）2﹣4m＝0，解得m＝．∴点M到OC的最大距离d＝×sin30°＝×＝．＝OC•d＝×＝．∴S△MOC即三角形MOC的最大面积是．（3）∵∠OAP＝∠BOA＝30°，∴2×＝2，∴直线AP与y轴的交点坐标为（0，2）或（0，﹣2），当直线AP经过点（2，0）、（0，2）时，解析式为y＝﹣x+2，联立，解得，．所以点P的坐标为（，），当直线AP经过点（2，0）、（0，﹣2）时，解析式为y＝x﹣2，联立，解得，．所以点P的坐标为（﹣，﹣）．综上所述，存在一点P（，）或（﹣，﹣），使∠OAP＝∠BOA．13．解：（1）对于直线y＝﹣x+m，令x＝0，得到y＝m，令y＝0，得到x＝2m，∴A（2m，0），C（0，m）．（2）如图，连接BC，∵以AB为直径的⊙M经过点C，∴∠ACB＝90°，∵∠BCO+∠CBO＝90°，∠BCO+∠ACO＝90°，∴∠CBO＝∠ACO，∵∠COB＝∠AOC＝90°，∴△COB∽△AOC，∴＝，∵OC＝m，OA＝2m，∴OB＝m，∴B（﹣m，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+m）（x﹣2m）＝ax2﹣amx﹣am2，∵C（0，m），∴﹣am2＝m，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣•x2+x+m．∴ac＝﹣×m＝﹣1．（3）设P（t，﹣•t2+t+m），作PN∥OC交AC于N，则N（t，﹣t+m），∴PN＝﹣•t2+2t，∵直线l平行于AC，且与抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点P，∴△P AC的面积最大，此时PN的值最大，∴t＝﹣＝m，∴PN＝m，∵S＝•PN•（x A﹣x C）＝4，△P AC∴•m•2m＝4，∴m＝2或﹣2（舍弃），∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，当y＝2时，x＝0或3，∴⊙M与抛物线y＝ax2+bx+c的交点坐标为（3，2）或（0，2）．14．解：（1）根据题意知，．解得．故抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+4x +5．由y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x +1）（x ﹣5）知，A （﹣1，0），B （5，0）；（2）①如图1，过点P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，如图1，设P （m ，n ），则OC ＝m ，PC ＝n ，∵点P 在抛物线的解析式：y ＝﹣x 2+4x +5上，∴n ＝﹣m 2+4m +5，∴S 四边形EFPQ ＝S 梯形PFOC ﹣S △EOQ ﹣S △QCP ＝（2+n ）×m ﹣×1×1﹣（m ﹣1）×n ＝m +n ﹣，∴S 四边形EFPQ ＝﹣m 2+3m +2，当m ＝﹣＝3时，S 最大．当m ＝3时，n ＝﹣9+12+5＝8，∴P （3，8）因此当四边形EFPQ 的面积最大时，点P 的坐标为（3，8）．②如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，垂足为D ，如图2，作Q 关于O 的对称点Q 1，连接EQ 1，则Q 1（﹣1，0），由（1）得B （5，0）A （﹣1，0）Q （1，0），∴QB ＝4，∵PQ ＝PB ，∴QD ＝DB ＝QB ＝2，∴OD ＝3，当x ＝3时，y ＝﹣9+13+5＝8，此时点P （3，8），PQ 、EF 的长固定，要使四边形的周长最小，即EQ +PF 最小即可， 当EQ 1∥PF 时，EQ +PF 最小，即四边形的周长最小，设直线PF 的关系式为y ＝k 1x +b 1，直线EQ 1的关系式为y ＝k 2x +b 2，由题意得：，，∴k1＝，k2＝m，当k1＝k2时，EQ1∥PF，即：＝m，解得：m＝．因此当m＝时，四边形EFPQ的周长最小．15．解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），∴c＝3，﹣＝1，∴b＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点M（1，4），∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A位于点B 的左侧），∴0＝﹣x2+2x+3，∴x1＝3，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，0），点B（3，0），∵点M（1，4），点B（3，0），∴直线BM解析式为y＝﹣2x+6，∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，∴点P（3﹣，m），∴S＝×PD×OD＝m×（3﹣m）＝﹣m2+m，△PCD∵点P在线段BM上，且点M（1，4），点B（3，0），∴0＜m≤4，∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）．（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）．若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）．若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去），综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．16．解：（1）对于抛物线y＝ax2+3ax﹣18a，令y＝0，可得ax2+3ax﹣18a＝0，解得x＝﹣6或3，∴C（﹣6，0），A（3，0），∴OC＝6，OA＝3，∴AC＝9，∵AC＝OB，∴OB＝6，∴B （0，6），∴﹣18a ＝6，∴a ＝﹣．（2）如图1中，取AB 的中点T ，连接OT ，设P A 交OT 于N ，交OB 于M ．∵OA ＝3，OB ＝6，∴AB ＝＝3，∵∠AOB ＝90°，AT ＝BT ，∴TO ＝TB ＝TA ＝，∴∠OBA ＝∠TOB ，∴∠ATO ＝∠OBA +∠TOB ＝2∠OBA ，∵2∠OBA +∠DAB ＝90°，∴∠ATO +∠DAB ＝90°，∴∠ANT ＝90°，∵S △AOT ＝S △AOB ＝•OT •AN ， ∴AN ＝＝，∴ON ＝＝＝，∵∠OAN ＝∠OAM ，∠ONA ＝∠AOM ＝90°，∴△ANO ∽△AOM ，∴＝，∴＝，∴OM＝，∴M（0，），∵A（3，0），∴直线AP的解析式为y＝﹣x+，由，解得或，∴P（﹣，）．（3）如图2中，过点E作ES∥AC交AD于S，交y轴于L，设直线AD交QE于J．∵AD平分线段QE，∴JE＝JQ，∵ES∥AQ，∴∠ESJ＝∠QAJ，∵∠EJS＝∠QJA，∴△ESJ≌△QAJ（AAS），∴ES＝AQ，∵BE：AQ＝4：3＝4：15，∴可以假设BE＝4m，AQ＝ES＝15m，则BL＝8m，LE＝4m，∴SL＝11m，OL＝6﹣8m，∴S（﹣11m，6﹣8m），∵点S在直线AD：y＝﹣x+上，∴6﹣8m＝m+，解得m＝，∴AQ＝5，OQ＝AQ﹣AO＝2，∴Q（﹣2，0），＝4时，过点M作MW⊥QR于W．当S△MNK∵QR∥OM，∴∠MNK＝∠NMB，∵∠NMK＝∠NMB，∴∠NMK＝∠MNK，∴MK＝KN，∴•KN•2＝4，∴KN＝MK＝4，∵∠MWK＝90°，KM＝4，WM＝OQ＝2，∴MK＝2MW，∴∠MKE＝30°，∴∠MKN＝180°﹣30°＝150°，当S＝4时，同法可得∠M′K′N′＝30°，△M′K′N′综上所述，满足条件的∠MKN的值为30°或150°。
2021年二次函数压轴大题含答案
2021年中考数学压轴题如图，在平面直角坐标系中，将抛物线C 1：y =x 2平移，使平移后的抛物线C 2经过点A （﹣3，0），B （1，0），与y 轴的交点为E ．（1）求抛物线C 2的函数解析式；（2）点P （m ，n ）（﹣3＜m ＜0）是抛物线C 2上的动点，设四边形OAPE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求四边形OAPE 的面积的最大值；（3）若y ＝x 2与平移后的抛物线对称轴交于D 点，在抛物线C 2的对称轴上，是否存在一点M ，使得以M ，O ，D 为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设抛物线C 2的函数解析式为y ＝x 2+bx +c ，把A 、B 的坐标代入得{9−8b +c =01+b +c =0，解得：{b =2c =−3， 故抛物线C 2的函数解析式为y ＝x 2+2x ﹣3；（2）连接OP ，作PH ⊥x 轴，作PQ ⊥y 轴，把P （m ，n ）代入y ＝x 2+2x ﹣3得n ＝m 2+2m ﹣3，由抛物线y ＝x 2+2x ﹣3得：点E （0，﹣3），则S ＝S △OAP +S △OEP =12×3（﹣m 2﹣2m +3）+12×3（﹣m ）=−32（m +32）2+638， 所以四边形OAPE 的面积最大值是638；（3）由y ＝x 2+2x ﹣3得对称轴是直线x ＝﹣1，所以D （﹣1，1）， 则DF ＝OF ＝1，则△DOF 为等腰直角三角形， ∴∠DOF ＝∠ODF ＝45°，OD =√2，BD =√5，∠BOD ＝135°，∴点M 只能在点D 上方，∵∠BOD ＝∠ODM ＝135°，∴当DM DO =OD OB 或DM OB =OB OD 时，以M 、O 、D 为顶点的三角形与△BOD 相似． ①DM DO =OD OB ，则解得DM ＝2，此时点M 坐标为（﹣1，3）；②若DM DO =OB OD，则解得DM ＝1，此时点M 坐标为（﹣1，2）； 综上，点M 坐标为（﹣1，3）或（﹣1，2）．。
【精品专题训练】2021年中考数学抛物线压轴题二次函数最值问题专题训练 含答案与试题解析
2021年中考数学抛物线压轴题二次函数最值问题专题训练一．解答题（共10小题）1．（2020•青白江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+√22CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2020•日照三模）如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+12OM的最小值．3．（2019秋•开福区校级期中）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M．（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+√22QB的最小值．4．（2019秋•金安区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点M（﹣4，6）和点N（2，﹣6）．（1）试确定该抛物线的函数表达式；（2）若该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C①试判断△ABC的形状，并说明理由；②在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使PM+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．5．（2019•中原区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP 为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+12MB的最小值以及此时点M、N的坐标．6．（2020•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2√33x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=−√33x+√3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．7．（2019秋•河北区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A （﹣1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是直线EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴一个动点，请直接写出CN +MN +12MB 的最小值以及此时点M 、N 的坐标，直接写出结果不必说明理由．8．（2020•莫旗一模）如图，二次函数y =−12x 2+32x +2的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．点P 是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P 的横坐标为x ． （1）写出线段AC ，BC 的长度：AC ＝ ，BC ＝ ； （2）记△BCP 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式；（3）过点P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，连结AH ，AP ，设AP 与BC 交于点K ，探究：是否存在四边形ACPH 为平行四边形？若存在，请求出PK AK的值；若不存在，请说明理由，并求出PKAK的最大值．9．（2019秋•泰安期中）如图，对称轴x ＝﹣1的抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （2，0），B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣2）， （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE=14OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．10．（2020•余干县模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，−83），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和AEAB的值．2021年中考数学抛物线压轴题二次函数最值问题专题训练参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2020•青白江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+√22CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作y轴的平行线交CA于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3△ACP的面积=12PH×OA=12×3×（x2﹣2x+3+x﹣3）=32（﹣x2+3x），当x=32时，△ACP的面积的最大，最大值为：278，此时点P（32，154）；（3）过点M作MN⊥AC，则MN=√22CM，故当B、M、N三点共线时，BM+√22CM＝BN最小，直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA＝45°，即BN=√22AB＝2√2=AN，则点N（1，2），由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y＝x+1，故点M（0，1）．2．（2020•日照三模）如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+12OM的最小值．【解答】解：（1）如图1，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，∴∠BDO ＝90°，∵OA 绕点O 逆时针旋转120°至OB ，∴OB ＝OA ＝4，∠AOB ＝120°，B 在第二象限， ∴∠BOD ＝60°， ∴sin ∠BOD =BD OB =√32，cos ∠BOD =OD OB =12， ∴BD =√32OB ＝2√3，OD =12OB ＝2， ∴B （﹣2，2√3），设过点A （4，0），B （﹣2，2√3），O （0，0）的抛物线解析式为y ＝ax 2+bx +c ， ∴{16a +4b +c =04a −2b +c =2√3c =0，解得：{a =√36b =−2√33c =0，∴抛物线的函数解析式为y =√36x 2−2√33x ； （2）存在△POB 为等腰三角形，∵抛物线与x 轴交点为A （4，0），O （0，0）， ∴对称轴为直线x ＝2， 设点P 坐标为（2，p ），则OP 2＝22+p 2＝4+p 2，BP 2＝（2+2）2+（p ﹣2√3）2＝p 2﹣4√3p +28，①若OP ＝OB ＝4，则4+p 2＝42 解得：p 1＝2√3，p 2＝﹣2√3，当p ＝﹣2√3时，∠POA ＝60°，即点P 、O 、B 在同一直线上， ∴p ≠﹣2√3， ∴P （2，2√3），②若BP ＝OB ＝4，则p 2﹣4√3p +28＝42 解得：p 1＝p 2＝2√3， ∴P （2，2√3）；③若OP ＝BP ，则4+p 2＝p 2﹣4√3p +28， 解得：p ＝2√3， ∴P （2，2√3）；综上所述，符合条件的点P 只有一个，坐标为（2，2√3）；（3）在OA 上取点K ，使AK ＝1，连接CK 交圆与点M ，连接OM 、CM ，此时，MC +12OM ＝MC +KM ＝CK 为最小值， 理由：∵AK ＝1，MA ＝2，OA ＝4， ∴AM 2＝AK •OA ，而∠MAO ＝∠OAM ， ∴△AKM ∽△AMO ，∴KM OM=12，即：MC +12OM ＝MC +KM ＝CK ， CK =√42+33=5，即：MC +12OM 的最小值为CK ＝5．3．（2019秋•开福区校级期中）如图，直线y ＝x +2与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2+m 交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ．（1）当四边形CODM 是菱形时，求点D 的坐标； （2）若点P 为直线OD 上一动点，求△APB 的面积；′（3）作点B 关于直线MD 的对称点B '，以点M 为圆心，MD 为半径作⊙M ，点Q 是⊙M 上一动点，求QB '+√22QB 的最小值．【解答】解：（1）∵D （m ，m ），OD =√2m ，四边形CODM 为菱形， ∴OD ＝OC ＝2=√2m ， ∴m =√2， ∴D （√2，√2）；（2）∵y ＝x +2与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2+m 交于A 、B 两点， ∴联立{y =x 2−2mx +m 2+m y =x +2，解得{x 1=m −1y 1=m +1，{x 2=m +2y 2=m +4，∵点A 在点B 的左侧，∴A （m ﹣1，m +1），B （m +2，m +4），∴AB =√(m −1−m −2)2+(m +1−m −4)2=3√2， ∵直线OD 的解析式为y ＝x ，直线AB 的解析式为y ＝x +2， ∴AB ∥OD ，两直线AB 、OC 之间距离h ＝2×√22=√2， ∴S △APB =12AB •h =12×3√2×√2=3；（3）∵A （m ﹣1，m +1），B （m +2，m +4）， ∴AM ＝1×√2=√2，BM ＝2×√2=2√2，由M 点坐标（m ，m +2），D 点坐标（m ，m ）可知以MC 为半径的圆的半径为 （m +2）﹣m ＝2，取MB 的中点N ，连接QB 、QN 、QB ′，∴MN =12BM =12×2√2=√2， ∵MN QM=QM BM=√22，∠QMN ＝∠BMQ ， ∴△MNQ ∽△MQB ， ∴QN QB=MN QM=√22， ∴QN =√22QB ，由三角形三边关系，当Q 、N 、B ′三点共线时QB ′+√22QB 最小， ∵直线AB 的解析式为y ＝x +2， ∴直线AB 与对称轴夹角为45°， ∵点B 、B ′关于对称轴对称， ∴∠BMB ′＝90°，由勾股定理得，QB ′+√22QB 最小值为B 'N =√B′M 2+MN 2=√(2√2)2+(√2)2=√10． 即QB '+√22QB 的最小值是√10．4．（2019秋•金安区校级月考）已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4经过点M （﹣4，6）和点N （2，﹣6）．（1）试确定该抛物线的函数表达式；（2）若该抛物线与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ①试判断△ABC 的形状，并说明理由；②在该抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PM +PC 的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点M 、N 的坐标代入抛物线表达式得：{16a −4b −4=64a +2b −4=−6，解得：{a =14b =−32， 故抛物线的表达式为：y =14x 2−32x ﹣4；（2）①y =14x 2−32x ﹣4，令y ＝0，则x ＝﹣2或8，x ＝0，则y ＝﹣4， 故点A 、B 、C 的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0）、（0，﹣4）， 则函数的对称轴为：x ＝3， 则AB ＝10，BC =√80，AC =√20，则AB 2＝BC 2+AC 2，故△ABC 为直角三角形；②作点M 关于函数对称轴的对称点D （10，6）， 连接CD 交函数对称轴于点P ，则点P 为所求，将点CD 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 并解得： 直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣4， 当x ＝3时，y ＝﹣1，故点P （3，﹣1）， 此时PM +PC 的值最小为CD ＝10√2．5．（2019•中原区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△CDP 为等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是直线EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴一个动点，请直接写出CN +MN +12MB 的最小值以及此时点M 、N 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，把A （﹣1，0），C （0，3）代入解析式得， ∴{−1−b +c =0c =3， 解得b ＝2，c ＝3．故该抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3．（2）令﹣x 2+2x +3＝0， 解得x 1＝﹣1，x 2＝3， 即B （3，0），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ′， 则{b′=33k +b′=0，解得：{k =−1b′=3，故直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3； ∴设P （t ，3﹣t ）， ∴D （t ，﹣t 2+2t +3），∴PD ＝（﹣t 2+2t +3）﹣（3﹣t ）＝﹣t 2+3t ， ∵OB ＝OC ＝3，∴△BOC 是等腰直角三角形， ∴∠OCB ＝45°，当CD ＝PC 时，则∠CPD ＝∠CDP ， ∵PD ∥y 轴，∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°， ∴∠CDP ＝45°， ∴∠PCD ＝90°，∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，解{y =x +3y =−x 2+2x +3 得{x =0y =3 或{x =1y =4，∴D （1，4）， 此时P （1，2）；当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°， ∴∠CDP ＝90°， ∴CD ∥x 轴， ∴D 点的纵坐标为3，代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3， 解得x ＝0或x ＝2， 此时P （2，1）；当PC ＝PD 时，∵PC =√2t ， ∴√2t ＝﹣t 2+3t ， 解得t ＝0或t ＝3−√2， 此时P （3−√2，√2）；综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3−√2，√2）．（3）CN+MN+12MB的最小值为3√3+32，N坐标为（1，3−√3），M坐标为（√3，0）．理由如下：如图，取G点坐标为（0，−√3），连接BG，∵B（3，0），∴直线BG解析式为：y=√33x−√3，∴tan∠GBO=√33，∴∠GBO＝30°，过M点作MB′⊥BG，∴B′M=12 BM，∴CN+MN+12MB＝CN+MN+B′M，∴CN+MN+12MB取最小值时，C、M、N、B′在同一条直线上，即CB′⊥BG，设直线CB′解析式为y=−√3x+b，∵C（0，3）故直线CB′解析式为为y=−√3x+3，∵抛物线的顶点为E坐标为（1，4），EF⊥x轴，N在EF、CB′上，∴N坐标为（1，3−√3），M（m，0）是x轴一个动点，也是CB′与x轴交点，∴M（√3，0）．∵CG＝3+√3，∠CGB＝60°，∴CB′＝CG sin∠CGB＝（3+√3）×√32=3√3+32，综上所述：CN+MN+12MB的最小值为3√3+32，N坐标为（1，3−√3），M坐标为（√3，0）．6．（2020•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2√33x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=−√33x+√3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y=−√33x+√3，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，√3），则c=√3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a=−√3 3，故抛物线的表达式为：y=−√33x2+2√33x+√3；（2）①当∠PCM＝90°时，由点A、B、C的坐标知，△ABC为直角三角形，故AC⊥BC，当△PCM为直角三角形时，点P与点A重合，∴点P（﹣1，0）；②当∠CPM＝90°时，则点C、P关于函数对称轴对称，此时点P（2，√3），故点P的坐标为（﹣1，0）或（2，√3）；（3）存在，理由：点P（2，√3），设图象沿BC方向向左平移3m个单位，则向上平移√3m个单位，则平移后点B′、P′的坐标分别为：（3﹣3m，√3m）、（2﹣3m，√3m+√3），点E（1，0），分别过点A、E作直线BC的平行线n、m，过点B′作直线m的对称点B″，则EB′＝EB″，当B″、E、P′三点共线时，EB'+EP'＝EB″+EP′＝B″P′最小；点E是AB的中点，则直线m与直线n、直线m与直线BC等距离，则点B″在直线n 上，直线BC的倾斜角为30°，则直线B′B″的倾斜角为60°，则设直线B′B″的表达式为：y=√3x+b，将点B′的坐标代入上式并解得：直线B′B″表达式为：y=√3x+（4√3m﹣3√3）…①，设过点A的直线n的表达式为：y=−√33x+b′，将点A的坐标代入上式并解得：直线n的表达式为：y=−√33（x+1）…②，联立①②并解得：x＝2﹣3m，故点B″（2﹣3m，√3m−√3），而P′（2﹣3m，√3m+√3），故EB'+EP'的最小值B″P′＝2√3．7．（2019秋•河北区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+12MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由．【解答】解：（1）y＝﹣x2+bx+c经过点C，则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3并解得：b＝2，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，理由：令y＝0，则x＝﹣1或3，故点B（3，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，当x=32时，PD最大值为：94；（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，直线BH 表达式中的k 值为√33，则直线CH 的表达式为：y =−√3x +3， 当x ＝1时，y ＝3−√3，当y ＝0时，x =√3， 故点N 、M 的坐标分别为：（1，3−√3）、（√3，0）， CN +MN +12MB 的最小值＝CH ＝CM +FH =3+3√32． 8．（2020•莫旗一模）如图，二次函数y =−12x 2+32x +2的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．点P 是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P 的横坐标为x ． （1）写出线段AC ，BC 的长度：AC ＝ √5 ，BC ＝ 2√5 ； （2）记△BCP 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式；（3）过点P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，连结AH ，AP ，设AP 与BC 交于点K ，探究：是否存在四边形ACPH 为平行四边形？若存在，请求出PK AK的值；若不存在，请说明理由，并求出PKAK的最大值．【解答】解：（1）二次函数y =−12x 2+32x +2， 当x ＝0时，y ＝2， ∴C （0，2）， ∴OC ＝2，当y ＝0时，−12x 2+32x +2＝0， 解得：x 1＝4，x 2＝﹣1， ∴A （﹣1，0），B （4，0）， ∴OA ＝1，OB ＝4，由勾股定理得：AC =2+12=√5，BC =√22+42=2√5； 故答案为：√5，2√5； （4分） （2）∵B （4，0），C （0，2），∴直线BC的解析式为：y=−12x+2，如图1，过P作PD∥y轴，交直线BC于D，设P（x，−12x2+32x+2），则D（x，−12x+2），∴PD＝（−12x2+32x+2）﹣（−12x+2）=−12x2+2x，有S=12PD•OB=12×4（−12x2+2x）＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（6分）（3）不存在，如图2，∵AC2+BC2=(√5)2+(2√5)2=25＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即AC⊥BC，∵PH⊥BC，∴AC∥PH，要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH＝AC=√5，（10分）∴S=12BC•PH=12×2√5×√5=5，∵而S＝﹣x2﹣4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，所以不存在四边形ACPH为平行四边形，∵AC∥PH，∴△AKC∽△PHK，∴PKAK =PHAC=√5=S√5√5=15S≤45；∴PKAK 的最大值是45．（12分）（说明：写出不存在给1分，其他说明过程酌情给分）9．（2019秋•泰安期中）如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE=14OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，∴B（﹣4，0）．设抛物线解析式是：y＝a（x+4）（x﹣2）（a≠0）．把C（0，﹣2）代入，得a（0+4）（0﹣2）＝﹣2．解得a=1 4．故该抛物线解析式是：y=14（x+4）（x﹣2）或y=14x2+12x﹣2；（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（﹣4，0），C（0，﹣2）代入得{−4m−2=0n=−2，解得{m=−12 n=−2，∴直线BC 的解析式为y =−12x ﹣2；作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，如图，设P （t ，14t 2+12t ﹣2），则Q （t ，−12t ﹣2），则PQ =−12t ﹣2﹣（14t 2+12t ﹣2）=−14t 2﹣t ， S △PBC ＝S △PBQ +S △PCQ =12•PQ •4=−12t 2﹣2t =−12（t +2）2+2，当t ＝﹣2时，△PBC 面积有最大值，最大值为2，此时P 点坐标为（﹣2，﹣2）；（3）设D （m ，0），∵DP ∥y 轴，∴E （m ，−12m ﹣2），P （m ，14m 2+12m ﹣2）， ∵PE =14OD ，∴|﹣m |＝4|−12m ﹣2−14m 2−12m +2|，∴m 2+3m ＝0或m 2+5m ＝0，∴m ＝﹣3，m ＝0（舍去）或m ＝﹣5，m ＝0（舍去）∴P （﹣3，−54）或P （﹣5，74）；（4）∵点A 、B 关于对称轴对称，∴点M 为BC 与对称轴的交点时，MA +MC 的值最小，此时△AMC 的周长最小．∵直线BC的解析式为y=−12x﹣2．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∴当x＝﹣1时，y=−3 2．∴抛物线对称轴上存在点M（﹣1，−32）符合题意，此时△AMC周长的最小值为AC+BC＝2√2+2√5．10．（2020•余干县模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，−83），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和AEAB的值．【解答】解：（1）由题意可列方程组：{c=−2a−2a+c=−83，解得：{a=23c=−2．故抛物线解析式为：y=23x2−43x﹣2；（2）连结BE，由（1）知，抛物线解析式为：y=23x2−43x﹣2，令y ＝0，则0=23x 2−43x ﹣2∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0），∴AB ＝4，∵∠AOC ＝90°，∴AC =√5，设直线AC 的解析式为：y ＝kx +b ，则{−k +b =0b =−2， 解得：{k =−2b =−2． ∴直线AC 的解析式为：y ＝﹣2x ﹣2；当△AOC ∽△AEB 时S △AOCS △AEB =（AC AB ）2＝（√54）2=516， ∵S △AOC ＝1，∴S △AEB =165，∴12AB ×|y E |=165，AB ＝4，则y E =−85， 则点E （−15，−85）；由△AOC ∽△AEB 得：AO AC =AE AB =√5，∴AE AB =√55．。
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2021年中考数学抛物线压轴题二次函数最值问题专题训练一．解答题（共10小题）1．（2020•青白江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+√22CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2020•日照三模）如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+12OM的最小值．3．（2019秋•开福区校级期中）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M．（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+√22QB的最小值．4．（2019秋•金安区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点M（﹣4，6）和点N（2，﹣6）．（1）试确定该抛物线的函数表达式；（2）若该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C①试判断△ABC的形状，并说明理由；②在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使PM+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．5．（2019•中原区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP 为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+12MB的最小值以及此时点M、N的坐标．6．（2020•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2√33x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=−√33x+√3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．7．（2019秋•河北区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A （﹣1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是直线EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴一个动点，请直接写出CN +MN +12MB 的最小值以及此时点M 、N 的坐标，直接写出结果不必说明理由．8．（2020•莫旗一模）如图，二次函数y =−12x 2+32x +2的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．点P 是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P 的横坐标为x ． （1）写出线段AC ，BC 的长度：AC ＝ ，BC ＝ ； （2）记△BCP 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式；（3）过点P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，连结AH ，AP ，设AP 与BC 交于点K ，探究：是否存在四边形ACPH 为平行四边形？若存在，请求出PK AK的值；若不存在，请说明理由，并求出PKAK的最大值．9．（2019秋•泰安期中）如图，对称轴x ＝﹣1的抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （2，0），B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣2）， （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE=14OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．10．（2020•余干县模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，−83），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和AEAB的值．2021年中考数学抛物线压轴题二次函数最值问题专题训练参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2020•青白江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+√22CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作y轴的平行线交CA于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3△ACP的面积=12PH×OA=12×3×（x2﹣2x+3+x﹣3）=32（﹣x2+3x），当x=32时，△ACP的面积的最大，最大值为：278，此时点P（32，154）；（3）过点M作MN⊥AC，则MN=√22CM，故当B、M、N三点共线时，BM+√22CM＝BN最小，直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA＝45°，即BN=√22AB＝2√2=AN，则点N（1，2），由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y＝x+1，故点M（0，1）．2．（2020•日照三模）如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+12OM的最小值．【解答】解：（1）如图1，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，∴∠BDO ＝90°，∵OA 绕点O 逆时针旋转120°至OB ，∴OB ＝OA ＝4，∠AOB ＝120°，B 在第二象限， ∴∠BOD ＝60°， ∴sin ∠BOD =BD OB =√32，cos ∠BOD =OD OB =12， ∴BD =√32OB ＝2√3，OD =12OB ＝2， ∴B （﹣2，2√3），设过点A （4，0），B （﹣2，2√3），O （0，0）的抛物线解析式为y ＝ax 2+bx +c ， ∴{16a +4b +c =04a −2b +c =2√3c =0，解得：{a =√36b =−2√33c =0，∴抛物线的函数解析式为y =√36x 2−2√33x ； （2）存在△POB 为等腰三角形，∵抛物线与x 轴交点为A （4，0），O （0，0）， ∴对称轴为直线x ＝2， 设点P 坐标为（2，p ），则OP 2＝22+p 2＝4+p 2，BP 2＝（2+2）2+（p ﹣2√3）2＝p 2﹣4√3p +28，①若OP ＝OB ＝4，则4+p 2＝42 解得：p 1＝2√3，p 2＝﹣2√3，当p ＝﹣2√3时，∠POA ＝60°，即点P 、O 、B 在同一直线上， ∴p ≠﹣2√3， ∴P （2，2√3），②若BP ＝OB ＝4，则p 2﹣4√3p +28＝42 解得：p 1＝p 2＝2√3， ∴P （2，2√3）；③若OP ＝BP ，则4+p 2＝p 2﹣4√3p +28， 解得：p ＝2√3， ∴P （2，2√3）；综上所述，符合条件的点P 只有一个，坐标为（2，2√3）；（3）在OA 上取点K ，使AK ＝1，连接CK 交圆与点M ，连接OM 、CM ，此时，MC +12OM ＝MC +KM ＝CK 为最小值， 理由：∵AK ＝1，MA ＝2，OA ＝4， ∴AM 2＝AK •OA ，而∠MAO ＝∠OAM ， ∴△AKM ∽△AMO ，∴KM OM=12，即：MC +12OM ＝MC +KM ＝CK ， CK =√42+33=5，即：MC +12OM 的最小值为CK ＝5．3．（2019秋•开福区校级期中）如图，直线y ＝x +2与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2+m 交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ．（1）当四边形CODM 是菱形时，求点D 的坐标； （2）若点P 为直线OD 上一动点，求△APB 的面积；′（3）作点B 关于直线MD 的对称点B '，以点M 为圆心，MD 为半径作⊙M ，点Q 是⊙M 上一动点，求QB '+√22QB 的最小值．【解答】解：（1）∵D （m ，m ），OD =√2m ，四边形CODM 为菱形， ∴OD ＝OC ＝2=√2m ， ∴m =√2， ∴D （√2，√2）；（2）∵y ＝x +2与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2+m 交于A 、B 两点， ∴联立{y =x 2−2mx +m 2+m y =x +2，解得{x 1=m −1y 1=m +1，{x 2=m +2y 2=m +4，∵点A 在点B 的左侧，∴A （m ﹣1，m +1），B （m +2，m +4），∴AB =√(m −1−m −2)2+(m +1−m −4)2=3√2， ∵直线OD 的解析式为y ＝x ，直线AB 的解析式为y ＝x +2， ∴AB ∥OD ，两直线AB 、OC 之间距离h ＝2×√22=√2， ∴S △APB =12AB •h =12×3√2×√2=3；（3）∵A （m ﹣1，m +1），B （m +2，m +4）， ∴AM ＝1×√2=√2，BM ＝2×√2=2√2，由M 点坐标（m ，m +2），D 点坐标（m ，m ）可知以MC 为半径的圆的半径为 （m +2）﹣m ＝2，取MB 的中点N ，连接QB 、QN 、QB ′，∴MN =12BM =12×2√2=√2， ∵MN QM=QM BM=√22，∠QMN ＝∠BMQ ， ∴△MNQ ∽△MQB ， ∴QN QB=MN QM=√22， ∴QN =√22QB ，由三角形三边关系，当Q 、N 、B ′三点共线时QB ′+√22QB 最小， ∵直线AB 的解析式为y ＝x +2， ∴直线AB 与对称轴夹角为45°， ∵点B 、B ′关于对称轴对称， ∴∠BMB ′＝90°，由勾股定理得，QB ′+√22QB 最小值为B 'N =√B′M 2+MN 2=√(2√2)2+(√2)2=√10． 即QB '+√22QB 的最小值是√10．4．（2019秋•金安区校级月考）已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4经过点M （﹣4，6）和点N （2，﹣6）．（1）试确定该抛物线的函数表达式；（2）若该抛物线与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ①试判断△ABC 的形状，并说明理由；②在该抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PM +PC 的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点M 、N 的坐标代入抛物线表达式得：{16a −4b −4=64a +2b −4=−6，解得：{a =14b =−32， 故抛物线的表达式为：y =14x 2−32x ﹣4；（2）①y =14x 2−32x ﹣4，令y ＝0，则x ＝﹣2或8，x ＝0，则y ＝﹣4， 故点A 、B 、C 的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0）、（0，﹣4）， 则函数的对称轴为：x ＝3， 则AB ＝10，BC =√80，AC =√20，则AB 2＝BC 2+AC 2，故△ABC 为直角三角形；②作点M 关于函数对称轴的对称点D （10，6）， 连接CD 交函数对称轴于点P ，则点P 为所求，将点CD 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 并解得： 直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣4， 当x ＝3时，y ＝﹣1，故点P （3，﹣1）， 此时PM +PC 的值最小为CD ＝10√2．5．（2019•中原区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△CDP 为等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是直线EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴一个动点，请直接写出CN +MN +12MB 的最小值以及此时点M 、N 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，把A （﹣1，0），C （0，3）代入解析式得， ∴{−1−b +c =0c =3， 解得b ＝2，c ＝3．故该抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3．（2）令﹣x 2+2x +3＝0， 解得x 1＝﹣1，x 2＝3， 即B （3，0），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ′， 则{b′=33k +b′=0，解得：{k =−1b′=3，故直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3； ∴设P （t ，3﹣t ）， ∴D （t ，﹣t 2+2t +3），∴PD ＝（﹣t 2+2t +3）﹣（3﹣t ）＝﹣t 2+3t ， ∵OB ＝OC ＝3，∴△BOC 是等腰直角三角形， ∴∠OCB ＝45°，当CD ＝PC 时，则∠CPD ＝∠CDP ， ∵PD ∥y 轴，∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°， ∴∠CDP ＝45°， ∴∠PCD ＝90°，∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，解{y =x +3y =−x 2+2x +3 得{x =0y =3 或{x =1y =4，∴D （1，4）， 此时P （1，2）；当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°， ∴∠CDP ＝90°， ∴CD ∥x 轴， ∴D 点的纵坐标为3，代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3， 解得x ＝0或x ＝2， 此时P （2，1）；当PC ＝PD 时，∵PC =√2t ， ∴√2t ＝﹣t 2+3t ， 解得t ＝0或t ＝3−√2， 此时P （3−√2，√2）；综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3−√2，√2）．（3）CN+MN+12MB的最小值为3√3+32，N坐标为（1，3−√3），M坐标为（√3，0）．理由如下：如图，取G点坐标为（0，−√3），连接BG，∵B（3，0），∴直线BG解析式为：y=√33x−√3，∴tan∠GBO=√33，∴∠GBO＝30°，过M点作MB′⊥BG，∴B′M=12 BM，∴CN+MN+12MB＝CN+MN+B′M，∴CN+MN+12MB取最小值时，C、M、N、B′在同一条直线上，即CB′⊥BG，设直线CB′解析式为y=−√3x+b，∵C（0，3）故直线CB′解析式为为y=−√3x+3，∵抛物线的顶点为E坐标为（1，4），EF⊥x轴，N在EF、CB′上，∴N坐标为（1，3−√3），M（m，0）是x轴一个动点，也是CB′与x轴交点，∴M（√3，0）．∵CG＝3+√3，∠CGB＝60°，∴CB′＝CG sin∠CGB＝（3+√3）×√32=3√3+32，综上所述：CN+MN+12MB的最小值为3√3+32，N坐标为（1，3−√3），M坐标为（√3，0）．6．（2020•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2√33x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=−√33x+√3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y=−√33x+√3，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，√3），则c=√3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a=−√3 3，故抛物线的表达式为：y=−√33x2+2√33x+√3；（2）①当∠PCM＝90°时，由点A、B、C的坐标知，△ABC为直角三角形，故AC⊥BC，当△PCM为直角三角形时，点P与点A重合，∴点P（﹣1，0）；②当∠CPM＝90°时，则点C、P关于函数对称轴对称，此时点P（2，√3），故点P的坐标为（﹣1，0）或（2，√3）；（3）存在，理由：点P（2，√3），设图象沿BC方向向左平移3m个单位，则向上平移√3m个单位，则平移后点B′、P′的坐标分别为：（3﹣3m，√3m）、（2﹣3m，√3m+√3），点E（1，0），分别过点A、E作直线BC的平行线n、m，过点B′作直线m的对称点B″，则EB′＝EB″，当B″、E、P′三点共线时，EB'+EP'＝EB″+EP′＝B″P′最小；点E是AB的中点，则直线m与直线n、直线m与直线BC等距离，则点B″在直线n 上，直线BC的倾斜角为30°，则直线B′B″的倾斜角为60°，则设直线B′B″的表达式为：y=√3x+b，将点B′的坐标代入上式并解得：直线B′B″表达式为：y=√3x+（4√3m﹣3√3）…①，设过点A的直线n的表达式为：y=−√33x+b′，将点A的坐标代入上式并解得：直线n的表达式为：y=−√33（x+1）…②，联立①②并解得：x＝2﹣3m，故点B″（2﹣3m，√3m−√3），而P′（2﹣3m，√3m+√3），故EB'+EP'的最小值B″P′＝2√3．7．（2019秋•河北区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+12MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由．【解答】解：（1）y＝﹣x2+bx+c经过点C，则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3并解得：b＝2，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，理由：令y＝0，则x＝﹣1或3，故点B（3，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，当x=32时，PD最大值为：94；（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，直线BH 表达式中的k 值为√33，则直线CH 的表达式为：y =−√3x +3， 当x ＝1时，y ＝3−√3，当y ＝0时，x =√3， 故点N 、M 的坐标分别为：（1，3−√3）、（√3，0）， CN +MN +12MB 的最小值＝CH ＝CM +FH =3+3√32． 8．（2020•莫旗一模）如图，二次函数y =−12x 2+32x +2的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．点P 是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P 的横坐标为x ． （1）写出线段AC ，BC 的长度：AC ＝ √5 ，BC ＝ 2√5 ； （2）记△BCP 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式；（3）过点P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，连结AH ，AP ，设AP 与BC 交于点K ，探究：是否存在四边形ACPH 为平行四边形？若存在，请求出PK AK的值；若不存在，请说明理由，并求出PKAK的最大值．【解答】解：（1）二次函数y =−12x 2+32x +2， 当x ＝0时，y ＝2， ∴C （0，2）， ∴OC ＝2，当y ＝0时，−12x 2+32x +2＝0， 解得：x 1＝4，x 2＝﹣1， ∴A （﹣1，0），B （4，0）， ∴OA ＝1，OB ＝4，由勾股定理得：AC =2+12=√5，BC =√22+42=2√5； 故答案为：√5，2√5； （4分） （2）∵B （4，0），C （0，2），∴直线BC的解析式为：y=−12x+2，如图1，过P作PD∥y轴，交直线BC于D，设P（x，−12x2+32x+2），则D（x，−12x+2），∴PD＝（−12x2+32x+2）﹣（−12x+2）=−12x2+2x，有S=12PD•OB=12×4（−12x2+2x）＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（6分）（3）不存在，如图2，∵AC2+BC2=(√5)2+(2√5)2=25＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即AC⊥BC，∵PH⊥BC，∴AC∥PH，要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH＝AC=√5，（10分）∴S=12BC•PH=12×2√5×√5=5，∵而S＝﹣x2﹣4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，所以不存在四边形ACPH为平行四边形，∵AC∥PH，∴△AKC∽△PHK，∴PKAK =PHAC=√5=S√5√5=15S≤45；∴PKAK 的最大值是45．（12分）（说明：写出不存在给1分，其他说明过程酌情给分）9．（2019秋•泰安期中）如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE=14OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，∴B（﹣4，0）．设抛物线解析式是：y＝a（x+4）（x﹣2）（a≠0）．把C（0，﹣2）代入，得a（0+4）（0﹣2）＝﹣2．解得a=1 4．故该抛物线解析式是：y=14（x+4）（x﹣2）或y=14x2+12x﹣2；（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（﹣4，0），C（0，﹣2）代入得{−4m−2=0n=−2，解得{m=−12 n=−2，∴直线BC 的解析式为y =−12x ﹣2；作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，如图，设P （t ，14t 2+12t ﹣2），则Q （t ，−12t ﹣2），则PQ =−12t ﹣2﹣（14t 2+12t ﹣2）=−14t 2﹣t ， S △PBC ＝S △PBQ +S △PCQ =12•PQ •4=−12t 2﹣2t =−12（t +2）2+2，当t ＝﹣2时，△PBC 面积有最大值，最大值为2，此时P 点坐标为（﹣2，﹣2）；（3）设D （m ，0），∵DP ∥y 轴，∴E （m ，−12m ﹣2），P （m ，14m 2+12m ﹣2）， ∵PE =14OD ，∴|﹣m |＝4|−12m ﹣2−14m 2−12m +2|，∴m 2+3m ＝0或m 2+5m ＝0，∴m ＝﹣3，m ＝0（舍去）或m ＝﹣5，m ＝0（舍去）∴P （﹣3，−54）或P （﹣5，74）；（4）∵点A 、B 关于对称轴对称，∴点M 为BC 与对称轴的交点时，MA +MC 的值最小，此时△AMC 的周长最小．∵直线BC的解析式为y=−12x﹣2．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∴当x＝﹣1时，y=−3 2．∴抛物线对称轴上存在点M（﹣1，−32）符合题意，此时△AMC周长的最小值为AC+BC＝2√2+2√5．10．（2020•余干县模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，−83），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和AEAB的值．【解答】解：（1）由题意可列方程组：{c=−2a−2a+c=−83，解得：{a=23c=−2．故抛物线解析式为：y=23x2−43x﹣2；（2）连结BE，由（1）知，抛物线解析式为：y=23x2−43x﹣2，令y ＝0，则0=23x 2−43x ﹣2∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0），∴AB ＝4，∵∠AOC ＝90°，∴AC =√5，设直线AC 的解析式为：y ＝kx +b ，则{−k +b =0b =−2， 解得：{k =−2b =−2． ∴直线AC 的解析式为：y ＝﹣2x ﹣2；当△AOC ∽△AEB 时S △AOCS △AEB =（AC AB ）2＝（√54）2=516， ∵S △AOC ＝1，∴S △AEB =165，∴12AB ×|y E |=165，AB ＝4，则y E =−85， 则点E （−15，−85）；由△AOC ∽△AEB 得：AO AC =AE AB =√5，∴AE AB =√55．。