蔡成丰_从零开始的微分几何(20161019)

从零开始的微分几何
Sean Carrol的《时空与几何》节选
what is manifold？
例子：n维欧几里德空间，二维球面，甜甜圈表面...
manifold的大白话定义：n维manifold就是局域上像n维欧几里德空间的地皮被粘 接起来构成的空间。(古人以为大地是平的，是因为地球表面是2维manifold。)
不是manifold的例子：一条线接在一个面上，两个怼在一起的锥，一个线段...
manifold的严格定义：需要从一些基本概念的严格定义开始
map： 将集合M中每一个元素都对应到集合N中的元素的一套规则。 ，它们是 ，作用方式是 其中a为A中元素
composition of map：若有两套maps composition是一个由A到C的map，记为
pullback and pushforward of tensors
pullback和pushforward对tensor是对one-form和vector的推广： pullback一个像l个one-forms的tensor (它吃掉l个vectors)：
下指标
pushforward一个像k个vectors的tensor(它被k个one-forms吃掉)
one-form and cotangent spaces
one-form是这样一只怪物，吃掉一个tangent vector，然后吐出一个实数: 所有这种(线性)怪物构成的空间叫p上的cotangent space。一个one-form的例子： 它吃掉一个方向导数后得到函数f的导数 ，这种吃掉vector吐出数
注意到:体现为vector的部分总是带有上指标(vector基底是下指标)， 体现为dual vectors的部分总是带下指标(one-form基底是上指标)
pullback of function
考虑两manifold 之间有map 和从N到实数R的函数 ， 那么显然有一个从M到R的函数
这样一个复合很有用以至于它 有了自己的名字：pullback ， 记为 它把函数f从N拉回到M上
容易发现其性质：
Lie derivative
设 与 分别为X与Y两个vector fields生成的flows
我们想知道在x点处的Y与x附近一个点
处的Y进行比较，但我们不能简
单地把两点处的Y的分量进行比较，因为它们属于不同的切空间 为了定义一个合理的导数，我们得在同一个切空间中比较两个vectors。对于vector 我们可以使用pushforward的方式。
是否注意到这里的X的形式是你熟悉的某样东西呢？ 不妨试试求一个 又表示什么呢？ ，应用一点三角恒等式，会发现它等于 ，这
对于某个固定 ，flow 的光滑映射)，记作
是一个从M到M的diffeomorphism(逆映射也光滑 ，若它满足以下规则：
它构成一个commutative group。我们叫它one-parameter group of transformation.
的怪物我们也叫它dual vector. one-form也有它的坐标基底，就是
由起变换法则
我们很容易发现分量的变换形式为:
tensors
所谓tensor就是一个吃掉k个dual vectors和l个vectors，然后吐出数的多线性map (坐标无关)，我们可以取坐标基
一个著名的例子：metric tensor，吃掉两个vectors吐出一个叫“内积”的数
当且仅当
时
Lie bracket测量了构成无穷小“平行四边形”的失败程度
同理，我们可以定义one-form
的Lie derivative:
稍作计算：
更简单的，函数f的Lie derivative就是沿着X的方向导数:
对于tensor，可由如下命题得到：
1.若t_1与t_2是同类型的tensors，则显然有
integral curve:M上有一个vector field X. X的一条integral curve x(t)是M上一条在x(t) 点处的tangent vector为X(x)的曲线，用坐标描述就是： 意义很明显，就是对 Xdt 积分出来的曲线。现假设 t＝0时刻穿过x_0，那么有微分方程 其初值 则map 叫做X生成的flow ,flow满足对任意 由ODE的唯一性保证 为一条integral curve在
这个群局域上看起来像加法群R，但它不必全局上与R同构。比如前一页中那个例子
中 与 是相同的。我们发现这个群同构于SO(2) 群
以及U(1)群
考虑一个无穷小参数 ，加上一点微积分就可以得到
X就叫做变换
的infinitesimal generator(无穷小生成元)。进一步的，给定vector
field X，起对应的flow具有X的指数形式：
one-to-one(injective):有map
，N中每个元素至多对应M中一个元素
onto(surjective): N中每个元素至少有一个M中的元素对应
invertible (bijective): one-to-one且onto. 可定义 inverse map： 使得
M是一个differential manifold要求: 1.M是一个topological space;
那么什么是topological space呢？有集合X，搞一个袋子T装着X的很多子集ui，这些 子集要满足: 1) X和空集是ui的一份子，2)所有ui的成员u1,u2,...的任意有限交集也是 ui的一份子，3)所有ui的成员u1,u2,...的任意并集也是ui的一份子。 袋子T叫X的 topology，每个ui叫open set，然后一对组合(X,T)就叫topological space. 例子：1)一个集合X的dicrete topology:这个袋子装了X的所有子集. 2)集合X的trivial topology: ，很平庸的袋子，就装空集和全集俩子集，显然满足“并 交”条件。 3)实数域R，是一条直线，直线上所有开区间 (a,b)与它们的并集构成了 所谓的usual topology.同理可推广到任意欧几里德空间R^n
pushforward of vector
若V(p)是M上一点p处的一个vector，我们可以定义一个在N上的vector，叫V的 pushforward , 效果上看就是把原本作用于N上的函数f ，以及
给pullback到M上，再用V作用于它。考虑M上vector的一组基 N上vector一组基 ，我们可以联系V和它的pushforward：
2.若t_1与t_2是任意类型的tensors，则有
命题2的一个例子：考虑有
构造张量积
则使用
把流动后的它扯回x处。
得到Leibnitz rule:
推广到
有
于是我们可以把pushforward看作一个矩阵
pullback of one-form
one-form是vector的dual vector，一般地它有pullback而不是pushforward：如果 N上有一个one-form，那么它pullback到M上作用于M上的vector时等于把这个 vector pushforward到N上再被one-form作用： pullback的作用也可以表达成矩阵操作: 它和pushforward的矩阵一样，但缩并的指标不同。 什么样的东西有pullback，什么东西有pushforward呢？ 函数f有pullback；vector是作用于函数的，有pushforward；one-form是作用于 vector的，有pullback ， ，同样的这
atlas(地图册).
叫coordinate neighbourhood
叫coordinate function
vectors and tangent spaces
manifold M上任意光滑实函数 构成一个空间F。假设有一条参数曲线， 是一个函数 (比如4点整经过逸夫楼到4点15经过图书馆途经的轨迹)， 我们可以定义f在曲线路过的p点上的方向导数为 ，我们将求方向 导数这一操作看一看作p点上的一个vector，如果你画了无数条经过p点的参数曲线， 沿着每一条在p点定义一个vector，那么所有这些vector所在的线性空间叫p点上的 tangent space。这些方向导数要线性且满足Leibnitz rule
这样的定义是坐标无关的，如果想把矢量和坐标建立起联系：
由于函数f是任意的，我们可以去掉它得到 于是 可作为vector基底
作为坐标基的好处是，我们假如考虑另一组坐标 就知道
，那么从链式法则我们
而坐标无关的vector 用 vector各分量的变换由
张开为
于是我们知道变换坐标系之后 得
两外，发现了吗？vector 不过是一个从函数到函数的map 。覆盖整个 manifold M每一点上的vector构成一个vector field
2.伴随着M有一族这样的组合 sets ，而 是从
,ห้องสมุดไป่ตู้中 是能够覆盖整个M的open 到一个同样维度的欧几里德空间中的open set
中的homeomorphism (一种有连续逆映射的bijective连续映射)，给定了
使得它们的交集非空，在欧几里德
空间那边有map
从
每一对
是无穷阶可微的。
叫chart，一整本 叫
我们通过
的差值，得到Lie derivavite:
map
，再取
也有其他等价的表述
利用无穷小生成
再把这个vector pushforward到x点(利用
)
最终
一些练习：
几何上讲Lie bracket描述了两个flows之间的non-commutativity(非对易性)：
两个过程的差值正比于Lie bracket