3.2.2比例的基本性质黄金争分割4教案
《比例的基本性质、黄金分割》教案-01
想一想：若 = ，则 = 、 = 都成立吗？理由是什么？
五、应用巩固
1、已知3a=4b，求（1） （2） （3）
2、若 = ，求 。
3、已知a:2=3:5，求a。
4、已知x:y:z=2:3:4,求 的值
六、小结
（1）比例的基本性质（2）比例变形的基本思路（3）检验变形是否正确的方法
2.“交叉相乘”法在什么情况下适用？对方程 -1= 也适用吗？
三、探究新知
如果四条线段a,b,c,d是成比例线段，思考并回答：
（1）写出它们的比例式
（2）对于线段a,b,c,d,若 = ，则ad=bc，为什么？
议一议：小结比例的基本性质，并理解其特点
做一做：1、如果ad=bc，
a)那么 =_____， =______.
七、作业
P．70习题3.2 A组1,2
课
后
反
思
《比例的基本性质、黄金分割》教案
课
题
3.2.2比例的基本性质
共2课时
第1课时
课
型
新 授
教
学
目
标
1.理解并掌握比例的基本性质，能利用比例的基本性质进行简单的比例变形；
2.经历对比例性质的探索过程，体会数学知识的内在联系及相互转化思想。
重ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
点
难
点
重点：比例的基本性质及其应用
难点：利用比例的基本性质进行变形
b)试一试，你还能写出不同的比例式吗？理由是什么?
c)式子 = 与 = 成立吗？
2、如果2x=3y,那么 =___; =____.
小结：比例的基本性质可把比例式与等积式相互转化。
部编人教版九年级数学下册《比例性质、黄金分割》教案-新版
27.1 比例性质、黄金分割一、教学目标 1．核心素养通过图形相似的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力． 2. 学习目标（1）掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解合比性质和等比性质．能运用比例的性质解决与比例线段有关的几何问题． （2）知道黄金分割的定义，并能运用. 3．学习重点（1）掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解合比性质和等比性质． （2）了解黄金分割的意义，并能运用. 4．学习难点运用比例的基本性质解决有关问题；黄金比，找黄金分割点. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务1 上网学习，思考：什么是比例的基本性质？什么是合比性质？什么是等比性质？怎么推导？任务2 上网学习，思考：什么是黄金分割？黄金比是多少，怎么得来？黄金分割有怎样的应用？ 2．预习自测1.已知23a b =，则a b b +的值为（ ） A.23 B.34 C.53 D.35【知识点:比例性质】 答案：C 解析：略2.已知点M 是线段AB 的黄金分割点(AM>BM)，若AB=8cm ，则AM 的长为（ ） A.(4 5 –4)cm B.(12-4 5 )cm C.(2 5 –2)cm D.(6-2 5 )cm 【知识点:黄金分割】答案：A 解析：略3.若x ：6=(5+x)：8,则x=______. 【知识点:比例基本性质】 答案：x=15 解析：略 （二）课堂设计 1．知识回顾（1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比.（2）比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
（3）比例：表示两个比相等的式子叫做比例. 2．问题探究问题探究一 什么是比例的基本性质？●活动1 交流学习，合作探究探究：已知80：2=200∶5，仔细观察：两个外项和两个内项，你发现了什么？ 两外项积是：80×5＝400 两内项积是：2×200＝400验证：6:10=9:15，463121：：=，644530=，2.4：3=5.6：7. 归纳：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．这叫做比例的基本性质. 比例的基本性质：若四条线段满足a cb d=，则有ad=bc ． ●活动2 探究：已知 a·d=b·c ，你能得到哪些比例式?a c ab b dcd d b d c c a b a c d c a a b d b b d b a a c dc======== 对调内项或外项后，比例依然成立!!80 × 5=2 ×200归纳：更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项交换外项同时交换内外项反比性质(把比的前项、后项交换)：a cb d b d a c=⇔=． ●活动3 例题讲解，比例基本性质的应用 例1：判断：5x=6y ，则x ：y=5：6（ ） 【知识点:比例基本性质】解：× 由比例的基本性质得6x=5y ，与已知5x=6y 不符，所以错误.点拨：在改写比例时，x 作外项，和x 相乘的5一定也作外项。
《比例的基本性质》教案
《比例的基本性质》教案一、教学目标：1. 让学生理解比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积。
2. 培养学生运用比例基本性质解决问题的能力。
3. 培养学生合作交流、归纳概括的能力。
二、教学重点：1. 比例的基本性质：在比例里，两内项之积等于两外项之积。
2. 运用比例的基本性质解决实际问题。
三、教学难点：1. 比例的基本性质的灵活运用。
2. 解决实际问题时，比例的设置。
四、教学方法：1. 采用自主学习、合作交流的方式。
2. 运用多媒体课件辅助教学。
3. 实例演示，引导学生发现并总结比例的基本性质。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习相关知识，如比的定义、比的性质等，为学生学习比例的基本性质做好铺垫。
2. 自主学习：让学生独立观察一组具体的比例，引导学生发现两内项之积等于两外项之积的特点。
3. 合作交流：学生分组讨论，分享各自发现的比例基本性质，教师引导学生归纳总结。
4. 实例演示：教师通过具体例子，展示比例基本性质在解决问题中的应用，让学生体会其作用。
5. 练习巩固：设计一些练习题，让学生运用比例基本性质解决问题，巩固所学知识。
6. 拓展延伸：引导学生思考比例基本性质在实际生活中的应用，激发学生学习兴趣。
7. 总结反馈：对本节课的主要内容进行总结，了解学生的掌握情况，针对性地进行辅导。
8. 布置作业：设计一些课后作业，让学生进一步巩固比例基本性质。
9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，总结经验教训，为下一步教学做好准备。
10. 教学评价：通过课堂表现、作业完成情况等对学生进行评价，了解学生的学习效果。
六、教学内容与资源：1. 教学内容：比例的定义和组成比例的基本性质的推导和证明比例在实际问题中的应用2. 教学资源：多媒体课件教学挂图练习题册实际问题案例七、教学步骤与方法：1. 教学步骤：步骤一：导入新课，复习相关知识步骤二：自主学习，发现比例的基本性质步骤三：合作交流，总结比例的基本性质步骤四：实例演示，应用比例的基本性质解决问题步骤五：练习巩固，学生独立解决实际问题步骤六：拓展延伸，讨论比例在生活中的应用步骤七：总结反馈，复习本节课的主要内容步骤八：布置作业，巩固所学知识2. 教学方法：讲授法：讲解比例的基本性质的推导和证明引导法：引导学生发现比例的基本性质互动法：小组讨论，分享解题心得实践法：解决实际问题，体验比例的应用八、教学评价设计：1. 评价目标：学生能理解并运用比例的基本性质学生能解决实际问题，运用比例知识2. 评价方法：课堂表现：观察学生在课堂上的参与度和理解程度作业完成情况：检查学生作业的准确性和完整性实际问题解决：评估学生在解决实际问题时的创意和准确性九、教学反思：1. 反思内容：教学内容的难易程度是否适合学生教学方法是否有效，学生是否积极参与教学评价是否全面，能否准确反映学生的学习情况2. 反思时间：课后即时反思，调整教学策略定期反思，如每周或每月，总结教学经验和不足十、课后作业设计：1. 作业内容：练习题：包括选择题、填空题、解答题等，巩固比例的基本性质实际问题：运用比例知识解决生活中的问题2. 作业要求：准确无误：要求学生解答正确，无计算错误书写规范：要求学生作业书写清晰，格式规范创新思考：鼓励学生在解决问题时展现创新思维3. 作业反馈：及时批改：教师应及时批改作业，给予学生反馈鼓励表扬：对学生的进步和创意给予表扬，增强信心辅导纠正：对作业中出现的问题，给予个别辅导和纠正重点和难点解析一、教学内容与资源补充说明：实际问题案例应贴近学生生活，具有代表性，能够引导学生将比例知识应用于实际情境中，增强学生的学习兴趣和解决实际问题的能力。
《比例的性质与黄金分割》示范教学方案
第二十一章 相似形22．1 比例线段第3课时 比例的性质与黄金分割一、教学目标1.理解比例的基本性质;2.能根据比例的基本性质求比值,能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形;3.知道黄金分割的定义,会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.二、教学重点及难点重点：比例的基本性质.难点：掌握黄金分割的概念,并能解决相关的实际问题．三、教学用具多媒体课件．四、相关资源无五、教学过程【课堂导入】配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度．若有含糖a 千克的糖水b 千克，含糖c 千克的糖水d 千克，含糖e 千克的糖水f 千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变．可表示为a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.你有什么发现？设计意图：以糖水为例，吸引学生的学习兴趣 【新知讲解】 1. 比例的基本性质两条线段的比是它们长度的比，也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.(1)基本性质如果“ab =cd”,那么ad=bc (b,d≠0).反之也成立，即如果ad =bc ,那么ab =ca(b,d≠0).2.合比性质：如果ab =ca，等式两边同时加上1.得a+bb=c+dd即：如果ab =ca，那么a+bb=c+dd(b,d≠0).3.等比性质如果a1b1=a2b2=⋯=a1b n且b1+b2+⋯+b n≠0，那么a1+a2+⋯+a n b1+b2+⋯+b n =a1 b1设a1b1=a2b2=⋯=a1b n=k,得a1=b1k，a2=b2k，…, a n=b n k代入待证明的等式左边，提取公因式并约分即得等比性质.4.黄金分割把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割(golden section)，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值√5−12叫做黄金数.设计意图：通过练习，使学生掌握比例性质与黄金分割得概念．【典型例题】例1如果四条线段a,b,c,d构成ab =cd,m>0,则下面推理正确的有()①ab =cmdm;②ab=7a+cm7b+dm;③ab=c+md+m;④aa+cm=bb+dm.A.1个B.2个C.3个D.4个解①∵ab =cd,m>0,∴ab=cmdm;②∵ab=cd,m>0,∴ab=7a7b=cmdm,∴ab=7a+cm7b+dm;③ab=c+md+m错误;④设ab =cd=k,则a=kb,c=kd,所以aa+cm=bkbk+kdm=bb+dm.综上所述,推理正确的有①②④.例2若x∶y=2∶3,y∶z=2∶5,则x∶y∶z=4∶6∶15.例3如图,在△ABC中,ABAC =BDCD,且AB=6,AC=4,BC=5,求CD和BD的长.解:∵AB AC =BD CD ,∴ABAC =BC -CDCD , ∵AB=6,AC=4,BC=5,∴64=5-CDCD,解得CD=2,∴BD=BC-CD=5-2=3.设计意图：通过练习，灵活运用比例性质． 【随堂练习】1. 如图，已知AB DB ＝ACEC.求证：(1)AD DB ＝AE EC ；(2)AB AC ＝ADAE.证明：(1)∵AB DB ＝AC EC ，∴AB －DB DB ＝AC －EC EC ，即AD DB ＝AEEC ；(2)∵AD DB ＝AE EC ，∴DB AD ＝EC AE .∴DB ＋AD AD ＝EC ＋AE AE (合比性质)．∴AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝AD AE. 2. 主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体,如果舞台AB 长为20米,一个主持人现站在舞台AB 的黄金分割点C 处,则下列结论一定正确的是( )①AB ∶AC =AC ∶BC ;②AC ≈6.18米;③AC =10(√5-1)米;④BC =10(3-√5)米或10(√5-1)米. A.①②③④ B.①②③ C.①③D.④解：若AC <BC ,则AB ∶BC =BC ∶AC ,所以①不一定正确;AC ≈0.618AB ≈12.36或AC ≈20-12.36=7.64,所以②错误;若AC 为较长线段时,AC =√5-12AB =10(√5-1),BC =10(3-√5);若BC 为较长线段时,BC =√5-12AB =10(√5-1),AC =10(3-√5),所以③不一定正确,④正确. 3. 如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD 内,点E 是AB 的黄金分割点,BE>AE ,若AB=2a ,则BE 长为( )A.(√5+1)aB.(√5-1)aC.(3-√5)aD.(√5-2)a设计意图：通过学生练习，使教师及时了解学生对知识的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．六、课堂小结1.比例的基本性质两条线段的比是它们长度的比，也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.(1)基本性质如果“ab =cd”,那么ad=bc (b,d≠0).反之也成立，即如果ad =bc ,那么ab =ca(b,d≠0).2.合比性质：如果ab =ca，等式两边同时加上1.得a+bb=c+dd即：如果ab =ca，那么a+bb=c+dd(b,d≠0).3.等比性质如果a1b1=a2b2=⋯=a1b n且b1+b2+⋯+b n≠0，那么a1+a2+⋯+a n b1+b2+⋯+b n =a1 b1设a1b1=a2b2=⋯=a1b n=k,得a1=b1k，a2=b2k，…, a n=b n k代入待证明的等式左边，提取公因式并约分即得等比性质.4.黄金分割把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割(golden section)，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值√5−12叫做黄金数.设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象.七、板书设计22.1比例线段第3课时比例的性质与黄金分割11.比例的基本性质2.合比性质3.等比性质4.黄金分割。
《比例的基本性质、黄金分割》教案04
《比率的基天性质、黄金切割》教课设计比率的基天性质黄金争分课题课型新授时间割备课构成员主备审查1、在应用中进一步理解线段的比、成比率线段，认识黄金切割、黄金矩形、教课目标黄金三角形的意义。
2、会找出一条线段的黄金切割点，找出一个图形中的黄金切割点。
重点黄金切割的意义。
难点如何找一条线段的黄金切割点或在一个图形中找出黄金切割点。
学习过程旁注与纠错A CB一、课前预习与导学1、以下列图的五角星中，AC BCAB与AC的关系是（）AC BC AC BCA. 相等B AB＞AC C. AB＜AC D不可以确立A C B2、（ 1）以下列图，若点 C 是 AB 的黄金切割点，AB＝ 1，则 AC≈ ____BC≈ _____；（ 2）一条线段的黄金切割点有____个。
3、若线段 AB＝ 4cm，点 C 是线段 AB的一个黄金切割点，则AC的长为多少？（结果保留四个有效数字）A D CB4、以下列图的五角星中，AD＝ BC，且 C、D 两点都是A B 的黄金切割点，AB＝1，求 CD的长。
一、课题引入，激发学习兴趣1、请同学们赏识以下两幅图片从学生的直觉中感悟美和体验美，培育学生的审美能力图（ 1）图（2）学生观察、2．（ 1）检查并统计学生最喜爱一组矩形中的哪一个？（P84 T3 ）思虑、比较、（2 赏识芭蕾舞演员身体各部分之间适合的比率与人以均匀、协调的美感及计算并作出上海东方明珠塔体的挺秀艳丽。
引人课题：黄金切割判断二、探究新知1. 我们都见过电冰箱吧，你们最常有到的冰箱一般都是什么形状的？( 长方联合图形理形) 请看屏幕，假如老师把一个冰箱作成正方形，请同学们看看它和从前的解黄金切割对比哪个更雅观适用呢？( 学生判断感觉还是长方形美丽。
)的意义2.依据供给的一系列的数值计算出冰箱门宽与长的比值。
3. 书上 P86 页上方也有一个近似的图形，请同学们量出线段BC 与 AB 的比值，算算大体是多少？4.把书上 10-2 中的矩形 ABCD的长 AB与宽 BC画在同一条直线上（如图 10-3 ）AB BC所示，此时点 B 把线段 AB分成两部分，假如AC AB ，那么线段AC 被点 B 黄金切割。
《比例的基本性质、黄金分割》教案-10
《比例的基本性质、黄金分割》教案一、教学目标：知识与技能目标：(1) 结合现实情境，知道什么叫黄金分割，会求作一条线段的黄金分割点。
(2) 在应用中进一步理解线段的比，成比例线段等相关内容。
过程与方法目标：(1) 在实际操作、思考、交流等过程中增强践意识和自信心，发展学生探究和综合应用知识的能力。
(2) 通过展现学习过程，培养学生的自主学习能力、表达能力和逻辑思维能力。
二、课堂结构设计：设计本节课时，贯彻“自主参与、自主探究、合作交流、自主构建”的教育理念，采用“探、研、点、练、悟”五环节主体探究模式，让学生在自主、合作、探究的浓厚氛围中掌握知识、形成技能、培养情感，充分体现科学性与人文性的统一。
三、教学过程设计：在教学过程中为达到教学目标，充分发挥学生主体作用，最大限度地激发学生学习的积极性、主动性、自觉性，具体设计如下：（一）创设情境观察一组图片(生活中与黄金分割有关的图片)。
图1：不同位置的松鼠照片图2：电视新闻主持人图3：主要建筑图片。
等等同时比较上述国旗有共同图案吗？五角星这个图案看上去有什么感觉？为什么完美？因为它蕴含着一定的数学知识，这就是本节课要探讨的课题——黄金分割）〔设计意图〕唤醒学生对美的感受，营造一个感受美、关注美、探究美的氛围，搭建一个自主体验、合作探究、自主构建的认知平台。
（二）自读探知:学生度量五角星中点C到点A、点B的距离及AB间的距离，(每组老师分发追备好的五角星)。
（1）发现度量的线段有什么关系?（2）线段的比值有什么关系?（3）计算AC/AB和BC/AC的值，发现了什么？引导学生探究问题并阅读课本68页，形成概念。
〔设计意图〕通过学生亲自动手操作、计算，亲自经历知识的形成过程，自己发现AC/AB=BC/AC，阅读课本形成概念，培养学生综合运用线段比的能力和探究的能力，同时养成良好的读书习惯。
（三）合作探究做一做：已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点。
小组合作探究并发表想法后阅读课本68页，按书中的方法做一做。
《比例的基本性质》教案设计
《比例的基本性质》教案设计一、教学目标：知识与技能：1. 学生能理解比例的基本性质，并能在实际问题中应用。
2. 学生能通过比例解决问题，培养运用比例解决实际问题的能力。
过程与方法：1. 学生通过观察、分析、归纳比例的基本性质。
2. 学生通过实际例题，运用比例解决问题。
情感态度价值观：1. 学生体验数学与生活的联系，培养学习数学的兴趣。
二、教学重点、难点：重点：比例的基本性质。
难点：比例的应用。
三、教学方法：情境教学法、引导发现法。
四、教学过程：1. 导入新课：创设情境，引导学生发现比例的基本性质。
2. 教学新课：引导学生通过观察、分析、归纳比例的基本性质。
3. 巩固练习：出示练习题，让学生运用比例解决问题。
4. 课堂小结：总结本节课所学内容，让学生掌握比例的基本性质及应用。
五、课后作业：1. 完成练习册的相关题目。
2. 寻找生活中的比例现象，下节课分享。
六、教学评价：1. 学生能运用比例解决实际问题，体现学生对比例基本性质的理解和运用。
2. 学生课堂参与度高，积极回答问题，表现学习兴趣。
3. 学生课后作业完成情况，巩固所学知识。
七、教学反思：课后对教学过程进行反思，检查教学目标是否达成，教学方法是否得当，学生学习效果如何，根据反思结果调整教学策略。
八、教学拓展：1. 让学生进一步探索比例在其他领域的应用，如几何、物理等。
2. 引导学生关注生活中的比例现象，提高学生运用数学知识解决问题的能力。
九、教学资源：1. PPT课件：展示比例的基本性质及其应用。
2. 练习题：供学生课堂练习和课后巩固。
3. 生活实例：用于引导学生发现和解决实际问题。
十、教学进度安排：1. 第1-2课时：讲解比例的基本性质。
2. 第3-4课时：练习比例的应用。
3. 第5-6课时：教学评价与总结。
4. 课后作业：每课时布置适量练习，巩固所学知识。
十一、教学环境与设备：1. 教室环境：宽敞、明亮，有利于学生集中注意力。
2. 教学设备：计算机、投影仪、黑板、粉笔等。
《比的基本性质》课教案
《比的基本性质》优质课教案第一章：教学目标1.1 知识与技能：学生能够理解比的基本概念，掌握比的意义。
学生能够运用比的基本性质进行计算和解决问题。
1.2 过程与方法：学生通过观察、分析和归纳，探索比的基本性质。
学生能够运用比较的方法，解决实际问题。
1.3 情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣和好奇心，积极主动参与课堂活动。
学生能够理解数学在生活中的应用，培养解决问题的能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本章通过具体的例子和练习题，引导学生理解和掌握比的基本性质。
学生通过观察和分析，发现比的基本性质，并能够运用到实际问题中。
2.2 学情分析：学生已经学习了分数和小数的基本概念，对比较大小有一定的理解。
学生需要通过观察和操作，进一步理解和掌握比的基本性质。
第三章：教学重点与难点3.1 教学重点：学生能够理解和掌握比的基本性质，包括比的大小不变性质和比值的变化规律。
3.2 教学难点：学生能够运用比的基本性质解决实际问题，如比较不同物品的价格和距离等。
第四章：教学方法与手段4.1 教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、分析和归纳比的基本性质。
运用比较的方法，让学生通过实际例子解决问题。
4.2 教学手段：利用多媒体课件和实物教具，帮助学生直观地理解比的基本性质。
提供练习题和小组讨论，让学生巩固所学知识。
第五章：教学过程5.1 导入：通过引入实际例子，如比较水果的重量，引发学生对比的好奇心。
引导学生思考比较的方法和比的基本性质。
5.2 探究与讲解：学生观察和分析实际例子，发现比的基本性质。
教师引导学生归纳和总结比的基本性质，并进行解释和讲解。
5.3 练习与运用：提供练习题，让学生运用比的基本性质进行计算和解决问题。
学生进行小组讨论，分享解题方法和经验。
5.4 总结与反思：学生回顾本节课所学内容，总结比的基本性质。
教师引导学生反思比的基本性质在实际问题中的应用。
第六章：教学评价6.1 评价目标：评价学生对比的基本性质的理解和掌握程度。
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3.2.2 比例的基本性质黄金争分割
●教学目标
（一）教学知识点
1.知道黄金分割的定义.
2.会找一条线段的黄金分割点.
3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
（二）能力训练要求
通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.
（三）情感与价值观要求
理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.
●教学重点
了解黄金分割的意义，并能运用.
●教学难点
找黄金分割点和画黄金矩形.
●教学方法
讲解法
●教具准备
投影片一张：（记作§4.2 A ）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
图4－6
［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC 、BC 的长度，然后计算AB AC 、AC BC
,它们的值相等
吗？
［生］相等. ［师］所以
AC BC AB AC =. 1.黄金分割的定义
在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden
section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中AB AC
≈0.618.
投影片（§4.2 A ）
黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点C 就是线段AB 的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割.
黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等.
黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种应用.
［师］既然黄金分割的实用价值这么大，我们就必须把它学好，还要用好，下面我们来学习如何找一条线段的黄金分割点.
2.作一条线段的黄金分割点.
图4－7
如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：
（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21
AB .
（2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .
（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.
［师］你知道为什么吗？
若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的线AC 、BC 间须满足
AC BC AB AC =.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB =1.
证明：∵AB =1,AC =x ,BD =21AB =21
∴AD =x +21
在Rt △ABD 中，由勾股定理，得
（x +21）2=12+（21
）2
∴x 2+x +41=1+41
∴x 2=1－x
∴x 2=1·（1－x ）
∴AC 2=AB ·BC 即：
AC BC AB AC = 即点C 是线段AB 的一个黄金分割点，
在x 2=1－x 中
整理，得x 2+x －1=0
∴x =2512411±-=+±-
∵AC 为线段长，只能取正
∴AC =21
5-≈0.618 ∴AB AC
≈0.618
∴黄金比约为0.618.
3.想一想
图4－8
古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）.把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD
为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，
BC AB BE BC =,点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD
的宽与长的比是黄金比吗？
［师］请大家互相交流.
［生］因为四边形AEFD 是正方形，所以AD =BC =AE ,又因为BC AB BE BC =,所以AE AB BE AE =,即
AE BE AB AE =,因此点E 是AB 的黄金分割点，矩形ABCD 宽与长的比是黄金比.
［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？
Ⅲ.随堂练习
1.解：设AB =a ,根据题意，得
AE =2a
,
由勾股定理，得
EF =EB =22AE AB ++ =42
2
a a + =25
a
∴AF =AH =BE －AE =21
5-a
BH =AB －AH =a －a a 253215-=- ∴=AB AH 215215-=-a a
2151553215253-=--=--=a a AH BH ∴AH BH AB AH =
∴点H 是AB 的黄金分割点.
Ⅳ.课时小结
本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比.
2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.
3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
Ⅴ.课后作业
习题4.3
Ⅵ.活动与探究
要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB的黄金分割点C作为第一个试验点，C点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC的黄金分割点D，D的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.
这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.
●板书设计
一、1.黄金分割的定义.
2.作一条线段的黄金分割点及黄金矩形.
3.想一想
二、随堂练习
三、课时小节
四、课后作业。