2020学年 江西省抚州市临川一中 高一下学期期中数学试题(解析版)
（）
A． 2 39 3
B． 26 3 3
C． 8 3 3
D． 2 3
【答案】A
【解析】分析：先利用三角形的面积公式求得 c 的值，进而利用余弦定理求得 a ，再利
用正弦定理求解即可.
详解：由题意，在 ABC 中，
利用三角形的面积公式可得 SABC
1 bc sin 2
A
1 1 c sin 600 2
3，
3．已知 ab 0 ， bc 0 ，则直线 ax by c 通过（ ）
A．第一､ 二､ 三象限
B．第一､ 二､ 四象限
C．第一､ 三､ 四象限
D．第二､ 三､ 四象限
【答案】D
【解析】将方程整理为一般式，即可根据斜率以及 y 轴上的截距判断直线经过的象限.
【详解】
ax by c 等价于 y a x c ， bb
方程 * 有两个不相等的正实数根，即有两个边 a 满足题中的条件．
由此可得满足条件的△ABC 有两个解．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了利用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判别式与韦达定理等知识，
属于基础题．
10．在 ABC 中， A 60，b 1，SABC
3，则
a 2b c
的值等于
sin A 2sin B sin C
9．在 ABC 中， b 19, c 20, B 60o ，那么这样的三角形有（ ）
A．0 个 【答案】C
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解析】据余弦定理可得 b2 a2 c2 2accosB ，代入题中数据化简得
a2 20a 39 0 ，由根的判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由 此可得△ABC 有两个解．
bx
1 axax1
若k
Tx
恒成立，则 k
的最大值为（
）
A． 1 9
【答案】B
B． 1 18
C．9
D． 8 441
【解析】先根据 an 与 Sn 之间的关系，求得 an 和 bn ，再用裂项求和求得Tx ，再求得Tx
的最小值即可. 【详解】
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对数列 an ，因为 6Sn an2 3an ，令 n 1 ，可得 a1 3 故当 n 2 时， 6Sn1 an21 3an1 两式相减后可得 an an1 an an1 3an an1 0
【详解】
解： 在△ABC 中， b 19 ， c 20 ， B 60 ，
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由余弦定理 b2 a2 c2 2accosB ，得： 361 400 a2 2 a 20 cos60 ，
得： a2 20a 39 0 … *
202 4 1 39 244 0 ，且两根之和、两根之积都为正数，
最小值即可. 【详解】
因为直线 2ax by 2 0(a 0,b 0) 过点 (1, 2) ，
故可得 a b 1，因为 a 0,b 0
故 1 1 ab ab 2 b a 22 b a 4，
ab a b
ab
ab
当且仅当 b a ,?a b 1时，即 a b 1 时取得最小值.
根据题意 a 0 ，故直线经过第二、四象限； b
又因为 c 0 ，故直线经过第二、三、四象限. b
故选：D.
【点睛】
本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限，属基础题.
4．不等式
cx2
5x
a
0 的解集为
x
|
1 3
x
1 2
，则
a、c
的值（
）
A． a 6 ， c 1 B． a 6 ， c 1 C． a 1， c 1 D． a 1，
故选：A. 【点睛】 本题考查等比数列的下标和性质，注意对结果正负的取舍，属中档题.
6．已知直线 2ax by 2 0(a 0,b 0) 过点 (1, 2) ，则 1 1 的最小值是（ ） ab
A．2
B．3
C．4
D．1
【答案】C
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【解析】根据直线过点 (1, 2) ，即可得到 a, b 的等式，再利用均值不等式求得 1 1 的 ab
2020 学年江西省抚州市临川一中高一下学期期中数学试题
一、单选题
1．不等式 x(x 2) 0 的解集为（ ） x3
A．{x | x 0 或 x 3}
B．{x | x 2或 0 x 3}
C．{x | x 2或 x 0}
D．{x | 2 x 0 或 x 3}
【答案】D 【解析】将分式不等式等价转化，用数轴标根法求解不等式解集即可. 【详解】
解得 c 6, a 1.
故选：D.
【点睛】
本题考查由二次不等式的解集求参数的值，涉及韦达定理，属基础题.
5．已知数列an为等比数列，其中 a5, a9 为方程 x2 2019x 9 0 的二根，则 a7 的
值（ ）
A． 3
【答案】A
B．3
C． 3
D．9
【解析】由韦达定理求得 a5a9 ，再利用等比数列的下标和性质，即可求得 a7 .
【详解】
根据面积公式 S 1 absinC ，以及 a2 b2 c2 2abcosC ， 2
可得 2absinC 2abcosC ，解得 tanC 1.
由同角三角函数关系，因为
C
0,
2
，故可得
cosC
2. 2
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故答案为： 2 . 2
【点睛】
本题考查面积公式和余弦定理的使用，属综合基础题. 14．已知 m≠0，则过点(1，－1)的直线 ax＋3my＋2a＝0 的斜率为________.
合题意确定 A、B 的范围，从而确定 ABC 的形状．
【详解】
解：由题意可得，
tanA
4 4
2 ， tanB3
9 1
27 ，所以 tanB
3
73
3
故 tan A B 2 3 1，
1 2 3
0 AB ，
A B 3 ， 4
C ； 4
又 tanA 0， tanB 0， 0 A ， 0 B ，
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以 1 为第 3 项， 9 为第 6 项的等比数列的公比，则该三角形形状为（ ） 3
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】A
【解析】首先由等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，结合已知可得 tanA 2 ，
tanB 3，然后利用两角和的正切公式可求出 tan A B 1，从而求出 C ，再结
∵ sinBcosB 3 ，∴ sin2B 3 ,
4
2
∴2B＝60°或 120°，则 A=90°或 60°.
由题意知 A 90
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∴△ABC 等边三角形． 故选 A． 【点睛】 本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函 数及二倍角正弦公式的合理运用．
因为 an 0 ，故可得 an an1 3
故an是首项为 3，公差为 3 的等差数列，故 an 3n .
由此可得 bx
1
9x x 1
1 9
1 x
1 x 1
故 Tx
1 9
1 1
1 2
1 2
1 3
1 x
x
1 1
1 9
x
x 1
9
x
x 1
容易知当
x
1
时， Tx
取得最小值 T1
1 18
.
故要满足题意，只需 k 1 即可. 18
推导出 A＝60°或 90°，从而得到△ABC 的形状． 【详解】 ∵tanA+tanB 3 3 tanAtanB，
即 tanA+tanB 3 （1﹣tanAtanB），
∴
tanA tanB 1 tanAtanB
tan（A+B）
3 ，又 A 与 B 都为三角形的内角，
∴A+B＝120°，即 C＝60°，
不等式 x(x 2) 0 等价于 xx 2x 3 0
x3
方程 x x 2x 3 0 的三个实数根分别为 2, 0,3 ，
采用数轴标根法作图如下：
故不等式 x(x 2) 0 的解集为 x2,0 3, .
x3
故选：D. 【点睛】 本题考查分式不等式的求解，涉及高次不等式的求解，注意数轴标根法的使用，属综合 基础题.
【详解】
因为 a5, a9 为方程 x2 2019x 9 0 的二根，
故可得 a5a9 9 ， a5 a9 2019 ，故 a5 0, a9 0
根据等比数列的下标和性质 a5a9 a7 2 9 ，解得 a7 3 .
又因为 a7 a5q2 , a5 0 ，故可得 a7 0 ，故 a7 3 .
2．等比数列 an 各项均为正数，若 a1 1， an2 2an1 15an 则 an 的前 6 项和为
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（）
A．364
B．63
C． 63 32
D． 1365 1024
【答案】A
【解析】将 an2 2an1 15an 转化为关于公比的方程，求得公比，再用等比数列前 n 项
容易知 a1 2, a2 3, a3 1, a4 2, a5 3, a6 1
a7 2, a8 3, a9 1, ，
故可总结出数列an是以 6 为周期的周期数列；
设该数列一个周期内的和为 S ，
则 S2019 336 S a1 a2 a3 6.
故选：D. 【点睛】
本题考查由递推公式求得数列的周期，从而利用数列的周期性计算前 n 项和，属基础题.
江西省抚州市临川区第一中学高一数学下学期期中试题(扫描(2021年整理)
江西省抚州市临川区第一中学2017-2018学年高一数学下学期期中试题（扫描版）
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2019-2020学年临川一中高一(下)第一次月考数学试卷(含解析)
2019-2020学年临川一中高一(下)第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知△ABC中，a=2√2，b=2√3，B=60°，那么角sin A等于()A. −√22B. 1 C. √22D. 122.在△ABC中，若AB=√13，BC=3，C=120°，则AC的值为()A. 1B. 2C. √2D. √33.在等比数列{a n}中，a2a3a4=8，a7=32，则a2=()．A. −1B. 1C. ±1D. 24.等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n和T n，若S nT n =2n+13n+2，则a3+a11+a19b7+b15=()A. 6970B. 129130C. 123124D. 1351365.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S5=35，则a3=A. 5B. 7C. 9D. 116.已知数列{a n}满足2a n−a n a n+1=1，a1=32，则a2021=()A. 20202019B. 20212020C. 20222021D. 202320227.在△ABC中，A=60°，a=5，b=6，那么满足条件的△ABC()A. 有一个解B. 有两个解C. 无解D. 不能确定8.已知等差数列{a n}的前17项之和S17>0，则下列一定成立的是()A. a17>0B. a16>0C. a9>0D. a8>09.在等比数列{a n}中，a1=2，若数列{a n+1}也是等比数列，则{a n}的前n项和S n等于()A. 2n+1−2B. 3nC. 2nD. 3n−110.已知数列{a n}的各项均为正数，且满足a n+12−a n2−2(a n+1+a n)=0，且a2,a4,a8成等比数列，则数列{1a n a n+1}的前2019项和为()A. 20192020B. 10098080C. 20198080D. 2018202111.已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=n√3√3a+1∈N∗)，则a2016等于()A. 0B. −√3C. √3D. √3212.已知数列a1=1，a2=2，且a n+2−a n=2−2(−1)n，n∈N∗，则S2017的值为()A. 2016×1010−1B. 1009×2017C. 2017×1010−1D. 1009×2016二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，a=√3b，A=120°，则角B的大小为______ ．14.若一个三角形的三边是连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，则这个三角形最大角的余弦值为______．15.已知数列{a n}满足对n∈N∗，有a n+1=11−a n ，若a1=12，则a2015=______ ．16.已知数列{a n}满足a n+1=a n2−a n+1(n∈N∗)，且a1=43，则1a1+1a2+⋯+1a2019的值的整数部分为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，∠A，∠B，∠C，所对边分别为a，b，c.已知n⃗=(b,2c)，m⃗⃗⃗ =(sinC,sinB⋅cosA)，且m⃗⃗⃗ ⊥n⃗．(1)求∠A的值；(2)若a=2√3，c=2，求△ABC的面积．18.在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+1=(1+q)a n−qa n−1(n≥2,q≠0)(Ⅰ)设b n=a n+1−a n(n∈N∗)，证明{b n}是等比数列；(Ⅱ)当q=2时，求数列{a n}的通项公式．19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m⃗⃗⃗ =(cos A−2cos C,2c−a)，n⃗=(cos B,b)平行．(1)求sin C的值；sin A(2)若bcos C+ccos B=1，△ABC的周长为5，求b的长．20.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos∠BAC=−1，AB=3√2，BD=√3．3(1)求AD的长；(2)求△ABC的面积．21. 设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，且S 4=−62，S 6=−75，求：(1){a n }的通项公式a n 及前n 项的和S n ；(2)|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 14|.22. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=12，a n+1=n+12na n ．(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =n(2−S n )，n ∈N ∗，若集合M ={n|b n ≥λ,n ∈N ∗}恰有5个元素，求实数λ的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．利用正弦定理即可得解．解：由正弦定理可得：sinA=asinBb =2√2×sin60°2√3=√22．故选：C．2.答案：A解析：本题主要考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.直接利用余弦定理计算即可求解．解：在△ABC中，若AB=√13，BC=3，∠C=120∘，，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=−4(舍去)．故选A．3.答案：C解析：本题考查等比数列的定义和性质考查了计算能力，属于基础题．根据等比数列的性质可求出a3=2，再求出公比，即可求出a2.解：等比数列{a n}中，a2a3a4=8，则a33=8，则a3=2，∵a7=32，∴q4=a7a3=16，解得q=±2，则a 1=a 3q 2=24=12，∴a 2=a 1q =±1， 故选C ．4.答案：B解析：本题主要考查等差数列性质的应用，结合等差数列的前n 项和公式以及性质是解决本题的关键． 根据等差数列的性质，结合等差数列的前n 项和公式进行转化即可． 解：在等差数列中a 3+a 11+a 19b 7+b 15=3a 112b 11，=32⋅2a 112b 11=32⋅a 1+a 21b 1+b 21=32⋅a 1+a 212×21b 1+b 212×21=32⋅S 21T 21=32×2×21+13×21+2=32×4365=129130， 故选B ．5.答案：B解析：本题考查了等差数列的前n 项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列{a n }的前n 项和公式及其性质即可得出．解：由等差数列{a n }的前n 项和公式及其性质由S 5=35， ∴5(a 1+a 5)2=35，∴a 3=7． 故选B ．6.答案：D解析： 【试题解析】本题考查了通过数列的递推关系求通项公式，考查了利用规律对通项公式的猜想和验算，属于中档题.根据题意可得a n+1=2−1a n，先求a 1=32，a 2=2−1a 1=43，a 3=2−1a 2=54，a 4=2−1a 3=65，…，所以猜测a n =n+2n+1，经验证即可得解．解：因为2a n −a n a n+1=1，所以a n+1=2−1a n，因为a 1=32，所以a 2=2−1a 1=43，a 3=2−1a 2=54，a 4=2−1a 3=65，…，所以猜测a n =n+2n+1， 代入2a n −a n a n+1=2n+4n+1−n+2n+1×n+3n+2=n+1n+1=1，所以a n =n+2n+1满足题意，所以a 2021=20232022， 故选D ．7.答案：C解析：本题考查正弦定理，属于基础题．由正弦定理求出sin B ，然后利用大边对大角和正弦函数的性质即可求解． 解：已知△ABC 中，∠A =60°，a =5，b =6， 所以由正弦定理可得5sin60°=6sinB ，解得sinB =3√35>1，故B 不存在，所以满足条件的△ABC 不存在． 故选C ．8.答案：C解析：S17=17(a1+a17)2=17⋅a9>0，∴a9>0．9.答案：C解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，则可得a n=2⋅q n−1，故a n+1=2⋅q n−1+1，可得a1+1=3，a2+1=2q+1，a3+1=2q2+1，由于数列{a n+1}也是等比数列，故(2q+1)2=3(2q2+1)，解之可得q=1，故{a n}的前n项和S n=na1=2n故选C设等比数列{a n}的公比为q，可得数列{a n+1}的前3项，由等比中项可得关于q的方程，解之可得q=1，故等比数列{a n}为常数列，易得答案．本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及公比的求解，属中档题．10.答案：C解析：本题考查由递推关系判断等差数列，及裂项相消法求和，考查模型应用及运算能力，属于中档题．由a n+12−a n2−2(a n+1+a n)=0推导出{a n}，再结合a2,a4,a8成等比数列求出通项公式，最后利用裂项相消法求{1a n a n+1}的前2019项和．解析：解：由于数列{a n}的各项均为正数，所以a n+1−a n=2所以{a n}为等差数列，且公差为2，由题意易得(4+a2)2=a2(a2+12)解得a2=4所以a n=2n所以1a n a n+1=12n(2n+2)=14(1n−1n+1)所以数列{1a n a n+1}的前2019项和为14(1−12)+14(12−13)+14(13−14)+⋯+14(12019−12020)=14(1−1 2020)=20198080．故选C．11.答案：C解析：本题考查数列的周期性，考查运算能力，属于中档题．通过计算数列的前几项，可得数列{a n}为最小正周期为3的数列，计算即可得到所求值．解：满足a1=0，a n+1=n√3√3a+1∈N∗)，a2=1√3√3a+1=−√3，a3=2√3√3a+1=−2√3−3+1=√3，a4=3√3√3a+1=√3−√33+1=0，a5=4√33a+1=−√3，…，可得数列{a n}为最小正周期为3的数列，可得a2016=a3×672=a3=√3，故选C．12.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．a n+2−a n=2−2(−1)n，n∈N∗，可得a2k+1−a2k−1=2+2=4，k∈N∗，a2k+2−a2k=2−2=0，k∈N∗，可得数列{a n}的奇数项成等差数列，公差为4，偶数项满足：a2k=a2=2．解：∵a n+2−a n=2−2(−1)n，n∈N∗，∴a2k+1−a2k−1=2+2=4，k∈N∗，a2k+2−a2k=2−2=0.k∈N∗，∴数列{a n}的奇数项成等差数列，公差为4，偶数项满足：a2k=a2=2．∴S2017=(a1+a3+⋯+a2017)+(a2+a4+⋯+a2016)=1×1009+1009×10082×4+2×1008=2017×1010−1． 故选：C ．13.答案：30°解析：本题考查了正弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用正弦定理即可得出．解：∵△ABC 中a =√3b ，A =120°， ∴sin120°=√3sinB ，B 为锐角． ∴sinB =12，可得B =30°．故答案为30°．14.答案：18解析：本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角形的边角关系，属中档题．设三角形的三边分别为n −1，n ，n +1，对应的角分别为A 、B 、C ，由题意和正弦定理可得cosA =n+12(n−1)，再由由余弦定理可得cosA =n+42(n+1)，可得n+12(n−1)=n+42(n+1)，解方程可得a 值，可得三边长，由余弦定理可得．解：设三角形的三边分别为n −1，n ，n +1，对应的角分别为A 、B 、C ， 则A <B <C ，由题意可得C =2A ， 由正弦定理可得n−1sinA =n+1sinC =n+12sinAcosA ， ∴cosA =n+12(n−1)，又由余弦定理可得cosA =n 2+(n+1)2−(n−1)22n(n+1)=n+42(n+1)，∴n+12(n−1)=n+42(n+1)，解得n =5， ∴三角形的三边分别为4，5，6， ∴三角形的最大边所对角的余弦值cosC =42+52−622×4×5=18．故答案为：18． 15.答案：2解析：本题考查了递推式的应用、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由a n+1=11−a n ，a 1=12，可得a 2=2，a 3=−1，a 4=12，…，因此a n+3=a n .即可得出． 解：∵a n+1=11−a n ，a 1=12，∴a 2=2，a 3=−1，a 4=12，…， ∴a n+3=a n ．∴a 2015=a 3×671+2=a 2=2．故答案为2．16.答案：2解析：本题考查数列的递推公式，利用题中的等式和累加法进行求解即可得数列的通项公式，然后求出数列{1a n }的通项公式，再进行后面的求解即可得，是个中档题． 解：因为a n+1=a n 2−a n +1，即a n+1−1=a n (a n −1)，所以1an+1−1=1a n (a n −1)=1a n −1−1a n ， 所以1an −1−1a n+1−1=1a n ． 所以1a1−1−1a 2−1=1a 1， 1a 2−1−1a 3−1=1a 2， 1a 3−1−1a 4−1=1a 3，⋯，1a 2019−1−1a 2020−1=1a 2019，将上述各式两边分别相加可得1a 1−1−1a 2020−1=1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 2019，因为a 1=43，所以1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 2019=3−1a 2020−1．因为a n+1−a n=a n2−2a n+1=(a n−1)2>0，所以a n+1>a n，所以数列{a n}为递增数列．而a2=a1(a1−1)+1=43×13+1=139，a3=a2(a2−1)+1=139×49+1=13381，a4=a3(a3−1)+1=13381×5281+1=69166561+1>2，所以a2020>a2019>⋯>a4>2，所以0<1a2020−1<1，所以2<3−1a2020−1<3，所以1a1+1a2+⋯+1a2019的值的整数部分为2．17.答案：解：(1)∵m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，∴bsinC+2csinBcosA=0，由正弦定理可知，bsinB =csinC，∴bc+2bccosA=0，∵b≠0，c≠0，∴1+2cosA=0，∴cosA=−1 2∵0<A<π，∴A=2π3；(2)△ABC由余弦定理可知，a2=b2+c2−2bccosA，∴b2+4−4bccos120°=12，∴b2+2b−8=0，∵b>0，∴b=2，s△ABC=12bcsinA=12×2×2×√32=√3．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题(1)由m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，结合向量数量积的性质及正弦定理可求A，(2)△ABC由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，结合已知可求b，然后代入s△ABC=12bcsinA即可求18.答案：证明：(Ⅰ)∵数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+1=(1+q)a n−qa n−1(n≥2,q≠0)，∴a n+1−a n=q(a n−a n−1)，即b n=a n+1−a n=qb n−1，n≥2，又b1=a2−a1=1，q≠0，∴{b n}是首项为1，公比为q的等比数列．解：(Ⅱ)由(Ⅰ)得a2−a1=1，a3−a2=q，…，a n−a n−1=q n−2，将以上各式相加，得：a n−a1=1+q+⋯+q n−1=1+2+⋯+2n−2=1−2n−11−2=2n−1−1．∴a n=2n−1．n=1时，上式也成立，∴数列{a n}的通项公式a n=2n−1．解析：(Ⅰ)推导出b n=a n+1−a n=qb n−1，n≥2，b1=a2−a1=1，q≠0，由此能证明{b n}是首项为1，公比为q的等比数列．(Ⅱ)由a2−a1=1，a3−a2=q，…，a n−a n−1=q n−2，利用累加法能求出数列{a n}的通项公式．本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．19.答案：解：(1)由已知向量m⃗⃗⃗ =(cosA−2cosC,2c−a)与n⃗=(cosB,b)平行∴b(cosA−2cosC)=(2c−a)cosB，由正弦定理得(cosA−2cosC)sinB=(2sinC−sinA)cosB，化简可得sin(A+B)=2sin(B+C)，又A+B+C=π，所以sinC=2sinA，因此sinCsinA=2.…(6分)(2)bcosC+ccosB=b⋅a2+b2−c22ab +c a2+c2−b22ac=2a22a=a=1，由(1)知ca =sinCsinA=2，∴c=2，…(10分)由a+b+c=5，得b=2．解析：本题考查向量知识的运用，考查正弦定理、余弦定理，解题的关键是边角互化，属于中档题．(1)利用向量共线的条件，建立等式，利用正弦定理，将边转化为角，利用和角公式，即可得到结论；(2)由bcosC +ccosB =1利用余弦定理，求得a ，再由(1)计算c ，利用△ABC 周长为5，即可求b 的长．20.答案：解：(1)因为AD ⊥AC ，cos∠BAC =−13，且∠BAC ∈(0,π)，所以sin∠BAC =2√23． 又sin∠BAC =sin(π2+∠BAD)=cos∠BAD =2√23， 在△ABD 中，由余弦定理得， 即AD 2−8AD +15=0，解得AD =5或AD =3， 因为AB >AD ，所以AD =3．(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin∠BAD =AB sin∠ADB ， 又由cos∠BAD =2√23，得sin∠BAD =13， 所以sin∠ADB =√63． 因为∠ADB =∠DAC +∠C =π2+∠C ， 所以cosC =√63． 在Rt △ADC 中，cosC =√63，则tanC =√22=AD AC=3AC ， 所以AC =3√2，所以△ABC 的面积S =12AB ·AC ·sin∠BAC=12×3√2×3√2×2√23=6√2．解析：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．(1)由诱导公式求得sin∠BAC =sin(π2+∠BAD)=cos∠BAD =2√23，在△ABD 中，由余弦定理可求得； (2)由正弦定理求得sin∠ADB =√63，cosC =√63，AC =3√2，由三角形面积公式可求得．21.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得{4a 1+4×32d =−626a 1+6×52d =−75，解得a 1=−20，d =3． ∴a n =−20+(n −1)×3=3n −23；S n =(−20+3n−23)n 2=32n 2−432n.(2)∵a n =3n −23，∴由a n <0得n <8，∴|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 14|=−a 1−a 2−⋯−a 7+a 8+⋯+a 14=S 14−2S 7=32×142−432×14−2(32×72−432×7)=7(42−43)−7(21−43)=−7−7×(−22)=147．解析：(1)由S 4=−62，S 6=−75，可得到等差数列{a n }的首项a 1与公差d 的方程组，解之即可求得{a n }的通项公式a n 及前n 项的和S n ；由(1)可知a n ，由a n <0得n <8，从而|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 14|=S 14−2S 7，计算即可． 本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查解方程组的能力，求得a n 是关键，属于中档题．22.答案：解：(I)由已知得a n+1n+1=12a n n，其中n ∈N ∗ ∴数列{a n n }是公比为12的等比数列，首项a 1=12 ∴a n n =(12)n∴a n =n 2n(2)由(1)知S n =12+222+323+⋯+n 2n ，12S n=122+223+324…+n 2n+1， 两式相减可得，12S n =12+122+123+⋯+12n −n 2n+1，=12(1−12n )1−12−n 2n+1=1−n+22n+1∴s n =2−n+22因此，b n =n(n+2)2n ，b n+1−b n =(n+1)(n+3)2n+1−n(n+2)2n =−n 2+32n+1所以，当n =1，b 2−b 1>0即b 2>b 1，n >2时，b n+1−b n <0即b n+1−b n <0b 1=32,b 2=2,b 3=158,b 4=32,b 5=3532,b 6=34 要使得集合M 有5个元素，实数λ的取值范围为34<λ≤3532．解析：(I)由已知得a n+1n+1=12a n n，结合等比数列的通项公式可求a n n ，进而可求a n (2)由(1)知S n =12+222+323+⋯+n 2n ，利用错位相减可求s n ，然后利用数列的单调性可求b n 的最大值与最小值，进而可求实数λ的取值范围本题主要考查了等比数列的定义及通项公式求解的应用，数列的错位相减求和方法的应用，及数列单调性在求解数列的最值求解中的应用，试题具有一定的综合性。
江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题 Word版含解析
临川一中2019-2020学年高一（下）入学考试数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =-≤，则{}22xB x =≤，A B =( )A. 112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B. 102x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C. 102x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ D. 112xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】 【分析】计算{}02A x x =≤≤，12B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，再计算交集得到答案. 【详解】{}{}22002A x x x x x =-≤=≤≤，{}1222xB x x x ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭，故102A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭. 故选：B.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题. 2.若实数1122log log a b <，则( )A. ()ln 0a b ->B. 33a b <C. 330a b ->D. sin sin a b >【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性得到0a b >>，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】1122log log a b <，故0a b >>，取1a =，12b =，则()ln 0a b -<，A 错误；33a b >，B 错误； 33a b >，故330a b ->，C 正确；取a π=，2b π=，sin sin a b <，D 错误.故选：C.【点睛】本题考查了不等关系的判断，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.3.如图，若OA a =，OB b =，OC c =，B 是线段AC 靠近C 的一个三等分点，则下列等式成立的是( )A. 4133c b a =-B. 3122c b a =+ C. 3122c b a =-D. 2136c b a =+【答案】C 【解析】 【分析】代换3122OC OA AC OB OA =+=-，计算得到答案. 【详解】()333131222222OC OA AC OA AB OA OB OA OB OA b a =+=+=+-=-=-.故选：C.【点睛】本题考查了向量加法的运算法则，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递减的函数是( ) A. 23y x = B. 1cos y x =+ C. 2xy -= D. 1lny x= 【答案】D【分析】依次判断每个函数的单调性和奇偶性得到答案.【详解】()23y f x x ==，则()()()2233y f x x x f x =-=-==，函数为偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，故A 不满足；()1cos y f x x ==+，则()()1cos f x x f x -=+=，函数为偶函数，在区间()0,∞+上有增有减，故B 不满足；()2x y f x -==是非奇非偶函数，故C 不满足；()1lny f x x ==，()()1ln f x f x x-==，函数为偶函数，当()0,x ∈+∞时，()ln f x x =-，函数单调递减，满足. 故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 5.在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，角α终边上有一点)3,1P-，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A. 362-26-26+【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角三角函数定义可求得sin α,cos α代入两角和的正弦公式可求得结果. 【详解】(3,1)P -在终边上, 133sin ,cos 223131αα∴==-==++. 123262sin sin cos cos sin 444222πππααα-⎛⎫⎛⎫∴+=+=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查利用两角和的正弦公式求解三角函数值的问题,涉及到任意角三角函数的定义,属于基础题.6.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数()tan 12f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()0ω>图象中的两条相邻“平行曲线”与直线2020y =相交于A ，B 两点，且2AB =.则()f x 的一个增区间为( ) A. 72,12⎛⎫--⎪⎝⎭B. ()1,1-C. 51,6⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,3【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知函数()tan 12f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期2T AB ==，从而求出2πω=，再整体代入法求出函数的单调递增区间，从而得出答案．【详解】解：由题意可知函数()tan 12f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2T AB ==，∴2πω=，解得2πω=，∴()tan 212f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,22122k x k k Z ππππππ-+<+<+∈得7522,66k x k k Z -+<<+∈， 当1k =-时，得197,66x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故A 错； 当0k =时，得75,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故B 错、C 对；当1k =时，得517,66x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故D 错； 故选：C ．【点睛】本题主要考查正切函数的周期性与单调性，考查数学想象能力，属于基础题．7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12log 2,011,1x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩，若()6f a =-，则a 为( ) A. 116- B. 5- C. 116-或5D. 116-或5- 【答案】D 【解析】 【分析】利用()f x 是奇函数，以及函数()f x 在0x >上的解析式，合理转化，列出方程，即可求解.【详解】由题意，当0x >时，()12log 2,011,1x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩， ①当01a <<时，由()12log 26f a a =+=-，解得82a =，此时无解；②当1a ≥时，由16a +=-，解得7a =-，此时无解； 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f a f a =--， 因为()6f a =-，所以()6f a -=，③当10a -<<时，则01a <-<，可得()12log ()26f a a -=-+=，解得116a =-；④当1a ≤-，则1a -≥，可得()16f a a -=-+=，解得5a =-， 综上可得，实数a 的值为116-或5-. 故选：D.【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式的应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的解析，结合函数的奇偶性合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8.已知函数()()411f x x x x =+>-，则()f x 的最小值为( ) A. 4 B. 5C. 6D.163【答案】B 【解析】 【分析】 易得()4111f x x x =+-+-,再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题, 10x ->,故()()44111+1511f x x x x x =+-+≥⋅-=--,当且仅当411x x =--,即3x =时取等号. 故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式求和的最小值问题,属于基础题.9.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A. 17(1)a r + B. 17[(1)(1)]a r r r +-+C. 18(1)a r +D. 18[(1)(1)]a r r r+-+【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可.详解】解：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +，孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +，⋯⋯孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和， 此时将存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数：17171618(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r aS a r a r a r r r r r++-=++++⋯⋯++==+-++-；故选D ．【点睛】本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.10.已知函数()()21,1ln 1,1x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩,则方程()()1ff x =根的个数为( )A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】C 【解析】 【分析】令()u f x =,先求出方程()1f u =的三个根11u =,211u e=+,31u e =+,然后分别作出直线1u =,11u e=+,1u e =+与函数()u f x =的图象,得出交点的总数即为所求结果. 【详解】令()u f x =,先解方程()1f u =.（1）当1u ≤时,则()211f u u =-=,得11u =；（2）当1u >时,则()()ln 11f u u =-=,即()ln 11u -=±,解得211u e=+,31u e =+. 如下图所示：直线1u =,11u e=+,1u e =+与函数()u f x =的交点个数为3、2、2, 所以,方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数为3227++=. 故选：C.【点睛】本题考查复合函数的零点个数,这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数,求出外层函数的若干个根,再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数,考查数形结合思想,属于中档题． 11.将函数()4cos 2f x x ⎛π=⎫⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，n A ⋅⋅⋅，若P 点坐标为()0,2，则12n PA PA PA ++⋅⋅⋅+=( )A. 55B. 355 D. 0【答案】A 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像知共有5个交点，交点关于()1,0对称，则12535PA PA PA PA ++⋅⋅⋅+=，计算得到答案.【详解】()4cos 2f x x ⎛π=⎫⎪⎝⎭，函数周期为4T =，函数图像关于()1,0中心对称，画出函数图像：根据图像知，共有5个交点，交点关于()1,0对称，()31,0A ， 则125333322555PA PA PA PA PA PA PA ++⋅⋅⋅+=++==. 故选：A.【点睛】本题考查了三角函数交点问题，向量的模，确定共有5个交点，交点关于()1,0对称是解题的关键.12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数()1,0,R x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，以下关于狄利克雷函数()f x 的五个结论中，正确的个数是( )个. ①函数()f x 偶函数； ②函数()f x 的值域是{}0,1； ③若0T ≠且T 为有理数，则f x Tf x 对任意的x ∈R 恒成立；④在()f x 图象上存在不同的三个点A ，B ，C ，使得ABC 为等边角形. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D 【解析】 【分析】当x Q ∈时，x Q -∈，当R x C Q ∈时，R x C Q -∈，函数为偶函数，①正确，函数()f x 的值域是{}0,1，②正确，T 为有理数，则当x Q ∈时，x T Q +∈，当R x C Q ∈时，R x T C Q +∈，故f x T f x ，③正确，()0,1，33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭构成等边三角形，故④正确，得到答案.【详解】当x Q ∈时，x Q -∈，当R x C Q ∈时，R x C Q -∈，故()()f x f x =-，函数为偶函数，①正确；函数()f x 的值域是{}0,1，②正确；T 为有理数，则当x Q ∈时，x T Q +∈，当R x C Q ∈时，R x T C Q +∈，故f x T f x ，③正确；()01f =，30f ⎛= ⎝⎭，30f =⎝⎭，故()0,1，3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3⎫⎪⎪⎝⎭构成等边三角形，故④正确； 故选：D.【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的理解能力和对于函数性质的灵活运用.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上. 13.已知向量()2,3a =，(),1b x =，若a b ⊥，则实数x 的值是______. 【答案】32- 【解析】 【分析】直接利用向量垂直公式计算得到答案.【详解】a b ⊥，则230a b x ⋅=+=，解得32x =-. 故答案为：32-. 点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，属于简单题.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若231018a a a ++=，则9S =______. 【答案】54 【解析】 【分析】计算得到56a =，()1995992a a S a +==，计算得到答案. 【详解】()231011531234318a a a a d a d a ++=+=+==，故56a =，()199599542a a S a +===. 故答案为：54.【点睛】本题考查了等差数列求和，意在考查学生的计算能力.15.已知实数x ，y 满足：210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩，221z x y =--，则z 的取值范围是______.【答案】[)0,5 【解析】 【分析】如图所示，画出可行域和目标函数1221z x y =--，根据几何意义得到15,53z ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数1221z x y =--，即112z y x +=-， 112z +-表示直线在y 轴上的截距， 根据图像知：当直线过点()2,1-，即2x =，1y =-时，1z 有最大值为5； 当直线过点12,33⎛⎫⎪⎝⎭，即13x =，23y =时，1z 有最小值为53-， 故15,53z ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故[)0,5z ∈. 故答案为：[)0,5.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.16.如图，在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，D ，E 分别边AB ，AC 上的点，1AE =且12⋅=AD AE ，若P 是线段DE 上的一个动点，则⋅BP CP 的最小值为______.【答案】116- 【解析】 【分析】 计算1AD =，设()1123DP DE AE AD AC AB λλλ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，则211416BP CP λ⎛⎫=-- ⎪⋅⎝⎭，计算得到答案.【详解】11cos 22AD AE AD AE A AD ⋅=⋅==，故1AD =.设()1123DP DE AE AD AC AB λλλ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭，[]0,1λ∈，则()()()()BP CP AP AB AP AC AD DP AB AD DP AC ⋅=-⋅-=+-⋅+-222111113323322416AB AC AB AC λλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++⋅-+-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故14λ=时，⋅BP CP 有最小值为116-. 故答案为：116-.【点睛】本题考查了向量的数量积的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知()()()222121f x ax a x a =-+++，a R ∈.（1）当2a =时，解不等式()0f x ≥； （2）求关于x 的不等式()0f x ≥的解集. 【答案】（1）(]5,2,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）当0a =时，解集为(],2-∞；当0a <时，故解集为1,2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；当1a =时，解集为R ；当0a >且1a ≠时，故解集为(]1,2,a a ⎡⎫-∞++∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）将2a =代入不等式，解得答案.（2）()()()221f x x ax a ⎡⎤=--+⎣⎦，讨论0a =，0a <，1a =和0a >且1a ≠几种情况，计算得到答案. 【详解】（1）当2a =时，()229100f x x x =-+≥，解得2x ≤或52x ≥， 故解集为(]5,2,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭. （2）()()()()()222212121f x ax a x a x ax a ⎡⎤=-+++=--+⎣⎦当0a =时，()20f x x =-+≥，解得2x ≤，故解集为(],2-∞； 当0a <时，12a a +<，故解集为1,2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；当1a =时，()()220f x x =-≥恒成立，故解集为R ；当0a >且1a ≠时，12a a +>，故解集为(]1,2,a a ⎡⎫-∞++∞⎪⎢⎣⎭. 综上所述：当0a =时，解集为(],2-∞；当0a <时，故解集为1,2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；当1a =时，解集为R ；当0a >且1a ≠时，故解集为(]1,2,a a ⎡⎫-∞++∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了解不等式，分类讨论是常用的数学技巧，需要灵活掌握. 18.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，3116a =，1218a a -=，数列{}n b 满足13b =-，且11n b ++与1n b -的等差中项是n a . （1）分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求242n S b b b =++⋅⋅⋅+的值.【答案】（1）112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，1122n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）221222343nS n n ⎛⎫=⋅--- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用等比数列公式得到112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，故1122nn n b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用累加法计算得到答案. （2）212142n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1）231116a q a ==，121118a a a a q -=-=，解得12q =或1q =-（舍去），114a =， 故11111422n n n a -+⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.11n b ++与1n b -的等差中项是n a ，故1112n n n b b a +++-=，故1122nn n b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ()()()112211...n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+1211111122...2322222n n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++--=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）212142n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()22421144121242212234314nnn n n S b b b n n ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+=--=⋅--- ⎪⎝⎭-.【点睛】本题考查了数列的通项公式，数列求和，累加法，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 19.将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()fϕ的值；（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围．【答案】（1）0；（2）,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】 【分析】（1）首先化简()g x 解析式，然后求得左移ϕ个单位后函数()f x 的解析式，根据()f x 的奇偶性求得ϕ的值，进而求得()fϕ的值.（2）根据（1）中求得的()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求得226x πϕ++的取值范围，根据ϕ的取值范围，求得22πϕ+的取值范围，根据()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，以及正弦型函数的单调性列不等式，解不等式求得ϕ的取值范围. 【详解】（1）()()314sin cos sin 321cos 222g x x x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫∴=++- ⎪⎝⎭，又()f x 为偶函数，则262k ϕππ+=+π（k Z ∈），02πϕ<≤，6πϕ∴=．()06f f πϕ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭．（2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫∴++∈++++⎪⎝⎭， 02πϕ<≤，72,666πππϕ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦，32,222πππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦， ()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数．262ππϕ∴+≥且02πϕ<≤．,62ππϕ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦．【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题. 20.已知函数()2xxag x e e =-，是奇函数. （1）求a 的值，并证明函数()g x 的单调性；（2）若对任意的()1,9t ∈，使得不等式()()31log log 30t g t g k -+⋅>成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =，证明见解析；（2）[)2,k ∈+∞ 【解析】 【分析】（1）根据()00g =得到2a =，设12x x <，计算()()210g x g x -<得到证明.（2）根据函数的单调性和奇偶性得到221124k m m m ⎛⎫>-=-- ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】（1）函数()2xx a g x e e =-是奇函数，故()00220a g e a e =-=-=，故2a =. 当2a =时，()22x x g x e e =-，()()22xx g x e g x e-=-=-，函数为奇函数.函数单调递增， 证明：设12x x <， 则()()()21212112212212221xx x x x x x xg x g x e e e e e e e +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为12x x <，故210x x e e ->，12110x x e++>，故()()210g x g x ->，故函数单调递增.（2）()()31log log 30t g t g k -+⋅>，故()()31log log 3t g t g k ->-⋅， 即31log log 3t t k ->-⋅，设3log t m =，则()0,2m ∈，故1k m m->-， 即221124k m m m ⎛⎫>-=-- ⎪⎝⎭，当2m =时，211224m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故2k ≥. 【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，利用函数性质解决不等式恒成立问题，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.21.已知数列{a n }的首项135a =，1321nn n a a a +=+，n *∈N ．(1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； (2)记12111n nS a a a =+++，若S n <100，求最大正整数n ； (3)是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且a m －1，a s －1，a n －1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）99；（3）不存在 【解析】试题分析：（1）根据1321n n n a a a +=+可得111111133n n n a a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，根据135a =，可知1110a -≠，即1111131n n a a +-=-，据此即可求证；（2）根据等比数列的通项公式可得11213nn a ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，进而即可表示出n S ，对其进行整理可得113n n S n =+-，由于100n S <，所以有111003nn +-<，即1993n <，至此，即可得到最大正整数n ；（3）首先假设存在，根据等差数列的性质可得2m n s +=，再根据等比的性质可得()()()2111m n s a a a --=-，结合（2）中得到的通项公式可将其化简为3323m n s +=⋅，接下来再根据均值不等式可知333323m n m n s ++≥=⋅，当且仅当m n =时等号成立，至此，再根据,,m n s 互不相等即可得结果.试题解析：(1)因为＝＋，所以－1＝－.又因为－1≠0，所以－1≠0(n ∈N *)． 所以数列为等比数列．(2)由(1)可得－1＝·n －1，所以＝2·n＋1.S n ＝＋＋…＋＝n ＋2＝n ＋2·＝n ＋1－，若S n <100，则n ＋1－<100，因为函数y= n ＋1－单调增， 所以最大正整数n 的值为99. (3)假设存在，则m ＋n ＝2s ，(a m －1)(a n －1)＝(a s －1)2， 因为a n ＝，所以＝2，化简得3m＋3n＝2·3s，因为3m＋3n≥2·＝2·3s，当且仅当m ＝n 时等号，又m ，s ，n 互不相等，所以不存在． 22.已知()22log 21f x ax x a =-+-，a R ∈.（1）求()f x 的解析式；（2）设()()2xh x f x -=，当0a >时，任意1x ，[]21,1x ∈-，使()()1212a h x h x +-≤成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()22221xxf x a a =⋅-⋅+-；（2）5745a ⎤-∈⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）设2log x t =，则2t x =，代入化简得到答案.（2）设2x t =，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()12a h t at t -=+-，讨论1a >，1a =，105a <<，1152a ≤≤，1425a <≤，415a <<几种情况，根据函数的单调性求最值，计算得到答案. 【详解】（1）()22log 21f x ax x a =-+-，设2log x t =，则2t x =，()()2222212221t t t t f t a a a a =-⋅+-=⋅-⋅+-，则()22221x xf x a a =⋅-⋅+-.（2）()()()22212xx x h x f x a a --==⋅-+-，设2x t =，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()12ah t at t-=+-， 当1a >时，函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()()()12max 16312222a a h x h x h h -+⎛⎫-=-=≤⎪⎝⎭，解得45a ≤，不成立； 当1a =时，()2h t t =-，函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()()()12max 16312222a a h x h x h h -+⎛⎫-=-=≤ ⎪⎝⎭，解得45a ≤，不成立； 当01a <<时，根据双勾函数性质知：()12ah t at t -=+-在1a a ⎛- ⎝上单调递减， 在1,a a ⎫-+∞⎪⎪⎭上单调递增.若105a <<12a a->，故函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 故()()()12max 13612222a a h x h x h h -+⎛⎫-=-=≤⎪⎝⎭，27a ≥，不成立； 若1152a ≤≤，1122aa-≤≤，且()122h h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 故()()()12max 1131212222a a a h x h x h h a a a -+⎛⎫-=-=---≤⎪⎝⎭， 5712a -≤≤； 若1425a <≤，1122aa-≤≤，且()122h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()()()()12max1331221222a a a h x h x h h a a a --+-=-=--≤，解得1425a <≤； 若415a <<112a a -<，故()()()12max 16312222a a h x h x h h -+⎛⎫-=-=≤ ⎪⎝⎭，无解. 综上所述：5745a ⎤-∈⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了求函数解析式，不等式恒成立问题，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有@高考资源网- 21 -。
江西省2020学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)
高一数学下学期期中联考试题（含解析）一、选择题：在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1.若角α的终边经过点()1,1P -，则（ ） A. sin 1α=B. tan 1α=-C. ⎩⎨⎧≥-<+--=)0)(1()0(2)(2x x f x a x x x fD. sin α= 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可得α的三个三角函数值后可得正确的选项.【详解】因为角α的终边经过点()1,1P -，故r OP ==所以sin tan 122ααα==-=-，故选B. 【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题.2.已知()1,1A --，()1,3B ，(),5C x ，若AB BC u u u r u u u rP ,则x =（ ）A. 2B. 3-C. 2-D. 5【答案】A 【解析】 【分析】先求出,AB BC u u u v u u u v的坐标，再利用共线向量的坐标关系式可求x 的值.【详解】()()2,4,1,2AB BC x ==-u u u v u u u v ，因AB BC P u u u v u u u v ，故()4122x -=⨯，故2x =.故选A.【点睛】如果()()1122,,,a x y b x y ==v v ，那么：（1）若//a b v v，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥v v ，则12120x x y y +=；3.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则该数列第16项为（ ） A. 98 B. 112C. 144D. 128【答案】D 【解析】 【分析】设该数列为{}n a ，根据题中数据归纳得到22242n n a a n --=-，从而可求16a . 【详解】设该数列为{}n a ，则22242n n a a n --=-，且22=a ，所以426416146,10,,30a a a a a a -=-=-=L ，累加得到：162302610141822263081282a +=+++++++=⨯=，故选D. 【点睛】本题考查归纳推理，属于容易题，归纳时注意相邻两个数的差的变化规律.4.在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1,45a b B ===︒，则角A =（ ）A. 30︒B. 60︒C. 30150︒︒或D.60120︒︒或【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可解得sin 1sin 2a B Ab ==，利用大边对大角可得范围()0,45A ∈︒，从而解得A 的值．【详解】1,45a b B ===︒Q ，∴由正弦定理可得：1sin 1sin 2a BA b===，1a b =<=Q ，由大边对大角可得：045A ︒<<︒，∴解得：30A =︒．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围．5.如图所示，D 是ΔABC 的边AB 的中点，则向量DC u u u r=（ ）A. 12BC BA -+u u u r u u u rB. 12BC BA --u u u r u u u rC. 12BC BA -u u u r u u u rD.12BC BA +u u u r u u u r【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则可得DC DB BC =+u u u v u u u v u u u v，化简后可得正确选项.【详解】1122DC DB BC AB BC BA BC =+=+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u uu v u u u v ，故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.6.函数()2sin f x x =是（ ）A. 最小正周期为2π的奇函数B. 最小正周期为2π的偶函数C. 最小正周期为π的奇函数D. 最小正周期为π的偶函数【答案】D 【解析】 【分析】首先由()()f x f x -=判断函数为偶函数；利用二倍角的余弦公式化简原式11cos222x =-，根据求最小周期公式得出结论． 【详解】因为函数()2sin f x x =，所以()()()22sinf x x sin x f x -=-==，∴函数2sin y x =为偶函数函数2sin y x ==1cos22x-， ∴最小正周期为T=22π=π，故选D ．【点睛】本题考查主要三角函数的奇偶性、二倍角的余弦公式的应用、三角函数最小周期公式T=2πω，属于基础题．7.在ΔABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则B =（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式可把题设条件转化为2sin B B =，从而得到sin B =，再依据b a >得到0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而3B π=.【详解】因为sin cos sin cos a B C c B A +=，故sin sin cos sin sin cos 2A B C C B A B +=即()sin sin cos sin cos 2B A C C A B +=，故2sin 2B B =，因为()0,B π∈，故0sin >B ，所以sin B =，又b a >，故A B >，从而0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=，故选B. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.8.若将函数sin 2y x =的图像向右平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ ） A. ()23Z k x k ππ=+∈ B. ()23Z k x k ππ=-∈ C. ()212Z k x k ππ=-∈ D. ()212Z k x k ππ=-∈ 【答案】A 【解析】 【分析】求出sin 2y x =的图像的对称轴后再把对称轴向右平移12π个单位长度可得平移后图像的对称轴方程.【详解】令2,2x k k Z ππ=+∈，解得42ππ+=k x ，k Z ∈， 故sin 2y x =的图像的对称轴为直线42ππ+=k x ，k Z ∈， 所以平移后图像的对称轴为直线241223k k x πππππ=++=+，k Z ∈，故选A. 【点睛】本题考查三角函数图像的性质和图像的平移，属于基础题.9.在ΔABC 中，已知3C π∠=，BC a =，AC b =，且,a b 是方程213400x x -+=的两根，则AB 的长度为（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 7【答案】D 【解析】 【分析】由方程的解求出,a b 的值，根据余弦定理即可求出AB 的长度．【详解】 a b Q ， 是方程 213400x x -+=的两根，5a ∴=，8b =，或8a =，5b =，由余弦定理222212cos 2564285492AB c a b ab C ==+-=+-⨯⨯⨯=， 则7AB =，故选D ．【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）A bc c b a cos 2222-+=；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.10.如果把Rt ΔABC 的三边a ，b ，c 的长度都增加(0)m m >，则得到的新三角形的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 由增加的长度决定 【答案】A 【解析】 【分析】先设出原来的三边为a 、b 、c 且c 2＝a 2+b 2，以及增加同样的长度为x ，得到新的三角形的三边为a +m 、b +m 、c +m ，知c +m 为最大边，可得所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，可得最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．【详解】解：设增加同样的长度为m ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2+b 2，c 为最大边； 新的三角形的三边长为a +m 、b +m 、c +m ，知c +m 为最大边，其对应角最大． 而（a +m ）2+（b +m ）2﹣（c +m ）2＝m 2+2（a +b ﹣c ）m ＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦()()222()()()2a m b m c m a m b m ＞+++-+=++0，则为锐角， 那么它为锐角三角形． 故选：A ．【点睛】本题考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力，属于基础题．11.在ΔABC 中，AB AC AB AC +=-u u u v u u u v u u u v u u u v，AB AC =，E 、F 分别为BC的三等分点，则cos EAF ∠=（ ）A.25B.45C.12D.15【答案】B 【解析】 【分析】先由AB AC AB AC u u u v u u u v u u u v u u u v +=-得到0AB AC =u u u v u u u vg ，再用,AB AC u u u v u u u v 表示,AE AF u u u v u u u v ，最后利用夹角公式计算cos EAF ∠.【详解】因为AB AC AB AC u u u v u u u v u u u v u u u v+=-，两边平方后可得222222AB AC AB AC AB AC AB AC -⋅=++⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，所以0AB AC =u u u v u u u v g ，故AB AC ⊥u u u v u u u v，设AB AC a ==，因为E 、F 分别为BC 的三等分点 则2133AE AB AC =+u u u vu u uv u u u v ，1233AF AB AC =+u u u v u u u v u u u v ， 所以22112433339AE AF AB AC AB AC a ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，而AE ==u u u v，AF ==u u u v ，所以244cos 5a EAF ∠==，故选B. 【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用a =v ；（2）计算角，cos ,a b a b a b⋅=v vv v v v .特别地，两个非零向量,a b v v 垂直的等价条件是0a b ⋅=v v .12.已知锐角ΔABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若)(2c a a b +=，则2sin sin()AB A -的取值范围是（ ）A. （B. 12（ C. 12（ D. （ 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化简)(2c a a b +=后可得2sin a c a B =-，再利用正弦定理把边角关系化为角的三角函数的关系式，从而得到2B A =，因此2sin sin sin()AA B A =-，结合A 的范围可得所求的取值范围.【详解】22222cos ,2cos ,2sin ,b a c ac B ac c ac B a c a B =+-∴=-∴=-Q()()sin sin 2sin cos sin 2sin cos sin A C A B A B A B B A ∴=-=+-=-，因为ABC ∆为锐角三角形，所以,2A B A B A =-∴=，0,02,03222A B A A B A πππππ<<<=<<--=-<Q ，64A ππ∴<< ，故()2sin 1sin (,sin 22A A B A =∈-,选B. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.二、填空题.13.已知(0,)2πα∈，若2sin 2sin αα=，则=αtan _____. 【答案】2 【解析】 【分析】利用倍角公式和同角三角函数的基本关系式化简后即得tan 2α=.【详解】因为2sin 2sin αα=，故22sin cos sin ααα=，因(0,)2πα∈，故sin cos 0αα≠，故2sin 2sin cos ααα=即tan 2α=.【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．14.已知ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222 b c a bc +-=，则角A =______．【答案】60︒. 【解析】 【分析】由222b c a bc +-=，根据余弦定理可得结果. 【详解】222b c a bc +-=Q ，∴由余弦定理得，2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又0A π<<，则3A π=，故答案为3π. 【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）A bc c b a cos 2222-+=；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()*121N n n a a n n ++=+∈，则21S 的值为_______．【答案】231 【解析】【分析】先求出22a =，由121n n a a n ①++=+，可以得到1223n n a a n ②+++=+，两式相减可得22n n a a +-=，所以数列{}n a 的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，然后分别求出21a 、20a ，从而()()()()211352124620121112201022S a a a a a a a a ++=+++⋯++++⋯+=+，可得到答案。
2019-2020学年江西省抚州市高一期中数学试题及答案
C.
【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零
点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函
数；（2）函数是否连续.
6．若函数
f (x) 的定义域是[0,3] ，则函数 g(x)
f (x 1) 的定义
x 1
域为（）
A． [0, 3]
B．[1, 2]
C．[0,1) (1,3] D．[1,1) (1, 2]
故选：D． 【点睛】
本题考查函数的定义域的求法，注意运用定义域的定义和
分式分母不为 0，考查运算能力，属于中档题． 7．已知函数 f (x) (m2 m 1)xm22m2 是幂函数，且在 (0, ) 上是 减函数，则实数 m （ ）
A． 2
B． 1
C． 4
D． 2 或 1
【答案】A
【解析】首先根据 f (x) 为幂函数得到 m 2 或 m 1，再根据
本题主要考查同一函数的概念，需要满足定义域和对应法
则相同才是同一函数，属于简单题. 5．在下列区间中，函数 f x ex 4x 3的零点所在的区间为 （）
A．
1 4
,
0
【答案】C
B．
0,
1 4
C．
1 4
,
1 2
D．
1 2
,
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【解析】先判断函数
f
x
在
R
x 1
定义域不同，故 A 错. 选项 C， f (x) x2 9 中 x 满足 x 3 或 x 3 ， g(x) x 3 x 3 中 x 满足 x 3 ，定义域不同，故 C 错. 选项 D.， f (x) x 的定义域为 R ， g(x) x2 的定义域为 R ， 且 g(x) x2 x x ，故 D.错. 选项 B， f (x) ， g(x) 的定义域和对应法则都相同. 故选：B 【点睛】
江西省2020版高一下学期期中数学试卷(II)卷(新版)
江西省2020版高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·长沙月考) 下列角中与终边相同的角是（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·郑州期末) sin780°等于（）A . ﹣B .C .D . ﹣3. （2分） (2016高二下·黄冈期末) 如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 =﹣0.7x+ ，则 =（）月份x1234用水量y 4.5 4 3 2.5A . 10.5B . 5.15C . 5.25D . 5.24. （2分）(2020·福州模拟) 2021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）A . 甲的物理成绩领先年级平均分最多B . 甲有2个科目的成绩低于年级平均分C . 甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史D . 对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果5. （2分） (2016高二上·山东开学考) 已知sinx= ，x∈（﹣，﹣π），则x的值为（）A . ﹣π+arcsinB . ﹣π﹣arcsinC . ﹣ +arcsinD . ﹣2π+arcsin6. （2分） (2016高三上·兰州期中) 函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则φ的值为（）A .B . -C .D . -7. （2分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图，则f（x）的解析式和S=f（0）+f（1）+f（2）+…+f （2013）+f（2014）+f（2015）+f（2016）的值分别为（）A . f（x）=sin2πx+1，S=2016B . f（x）=sin2πx+1，S=2016C . f（x）=sin x+1，S=2017D . f（x）=sin x+1，S=20178. （2分） (2019高二上·保定月考) 在圆x2+y2＝4上任取一点，则该点到直线的距离d∈[0，1]的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为（）A . 60B . 80C . 120D . 18010. （2分） (2018高一下·威远期中) 已知α （- ，0）且sin2α=- ，则s inα+cosα=（）A .B . -C . -D .11. （2分） (2016高一下·湖南期中) 在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一上·长春期末) 已知x∈[0，1]，则函数的值域是（）A .B .C . [ ， ]D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·赣榆期末) 在直角坐标系中，如果相异两点都在函数的图象上，那么称为函数的一对关于原点成中心对称的点（与为同一对）.函数的图象上有________对关于原点成中心对称的点．14. （1分）(2012·湖北) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=________15. （1分）已知函数f（x）= ，关于f（x）的叙述①最小正周期为2π②有最大值1和最小值﹣1③对称轴为直线④对称中心为⑤在上单调递减其中正确的命题序号是________．（把所有正确命题的序号都填上）16. （1分）(2019·上饶模拟) 某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）已知函数满足如下条件：①函数的最小值为-3，最大值为9；② 且；③若函数在区间上是单调函数，则的最大值为2．试探究并解决如下问题：（Ⅰ）求，并求的值；（Ⅱ）求函数的图象的对称轴方程；（Ⅲ）设是函数的零点，求的值的集合．18. （10分）(2018·天津模拟) 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛.若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和数学期望.19. （10分） (2019高二下·佛山月考) 在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个。
2020年江西省抚州市临川一中高一下学期期中数学试题(附带详细解析)
【解析】
【分析】
采用列举的方式，总结出数列的周期，再根据数列的周期性求和即可.
绝密★启用前
2020年江西省抚州市临川一中高一下学期期中数学试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．不等式 的解集为（）
即tanA+tanB （1﹣tanAtanB），
∴ tan（A+B） ，又A与B都为三角形的内角，
∴A+B＝120°，即C＝60°，
∵ ，∴ ,
∴2B＝60°或120°，则A=90°或60°.
由题意知
∴△ABC等边三角形．
故选A．
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．
（1）若 ，求 的长；
（2）设 ，求该空地种植古树的最大面积.
22．已知数列ห้องสมุดไป่ตู้和 满足 若 为等比数列，且
（1）求 和 ；
（2）设 ，记数列 的前 项和为
①求 ；
江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年度高一第一学期期中试题 数学【含解析】
江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年度高一第一学期期中试题数学【含解析】一、选择题1.设全集U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =≤，则A B =（ ）A. {|01}x x ≤<B. {|01}x x <≤C. {|0}x x <D. {|1}x x >【答案】B 【解析】全集U R =，{}0A x x =，{}|1B x x =≤，{|01}A B x x ⋂=<≤.故选B.2.若指数函数(13)x y a =-在R 上递减，则实数a 的取值范围是( ) A. 1(0,)3B. (1,)+∞C. RD. (,0)-∞【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的性质得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】解：由题意得：0131a <-< ， 解得：103a <<， 故选：A ．【点睛】本题考查指数函数单调性，是一道基础题．3.已知1212()1(1)12x x f x f x x ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则1746f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）． A. 16- B. 16C.56D. 56-【答案】A【解析】1212()1(1)12x x f x f x x ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则1711111211214646266f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-++=+⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A ．4.下列函数中,在其定义域内与函数5y x =有相同的奇偶性和单调性的是( ) A. 1y x=-B. 3x y =C. ln y x =D. 122xx y =-【答案】D 【解析】 【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性判断即可． 【详解】解：函数5y x =在R 上递增，是奇函数， 对于A ，在定义域无单调性，是奇函数，不符合题意； 对于B ，是非奇非偶函数，不符合题意； 对于C ，是偶函数，不符合题意；对于D ，在定义域R 上递增，是奇函数，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，是一道基础题．5.在映射:f A B →中，}{(,)|,A B x y x y R ==∈，且:(,)(,)f x y x y x y →-+，则与B 中的元素(2,1)--对应的A 中的元素为( )A. 31(,)22-- B. 31(,)22-C. 31(,)22-D. 31(,)22【答案】C 【解析】 【分析】由题意，令21x y x y -=-⎧⎨+=-⎩，解出即可．【详解】解：由题意，21x y x y -=-⎧⎨+=-⎩解得：31,22x y =-=， 故选：C ．【点睛】本题考查了映射的定义，属于基础题． 6.已知函数()f x 对任意不相等的实数12,x x 都满1212()()0f x f x x x ->-，若 1.5(2)a f =，0.61[()]2b f -=，(ln 2)c f =，则,,a b c 的大小关系( )A. b a c <<B. b c a <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用1212()()0f x f x x x ->-可得函数的单调性，进而分析0.61.512,,ln 22-⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小，借助()f x 单调性，可得答案． 【详解】解：1212()()0f x f x x x ->-∴当120x x ->时，有12())0(f x f x ->，即对任意12x x >，有12()()f x f x >， 所以函数()f x 在其定义域内为增函数，0.60.6 1.51122,ln 2ln 12e -⎛⎫<=<<= ⎪⎝⎭，1.5(2)f ∴>0.61[()]2f ->(ln 2)f ，∴c b a <<， 故选：D ．【点睛】本题考查函数单调性的判定与应用，关键是应用1212()()0f x f x x x ->-判定函数的单调性，是基础题．7.已知函数23x y a -=+(0a >且1a ≠）的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则3log (3)f =( )A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图象与性质，求出定点P 的坐标，再利用待定系数法求出幂函数()f x ，从而求出3log (3)f 的值．【详解】解：函数23x y a -=+中，令20x -=，解得2x =， 此时134y =+=，所以定点(2,4)P ； 设幂函数()a yf x x ，则24a =，解得2a =； 所以2()f x x =， 所以()()2339f ==，()333log l 9og 2f ∴==．故选：D ．【点睛】本题考查用待定系数法求幂函数解析式，以及指数函数的性质，是基础题． 8.根据表中的数据,可以断定方程20x e x --=的一个根所在的区间是( )x1-0 1 2 3x e0.3712.72 7.39 20.09A. (1,0)B. (1,0)-C. (2,3)D. (1,2)【答案】D 【解析】 【分析】令()2x f x e x =--，求出选项中的端点函数值，从而由零点的存在性定理判断根的位置． 【详解】解：令()2x f x e x =--， 由上表可知，则(1)0.37120f -≈+-<，(0)10210f =--=-<，(1) 2.72120f ≈--<， (2)7.39220f ≈-->， (3)20.09320f ≈-->．故(1)(2)0f f <， 故选：D ．【点睛】本题考查零点存在性定理，若连续函数在某区间端点上对应的函数值异号，则在该区间上必有零点，属于基础题．9.函数2()46f x x x =--的定义域为[0,]m ，值域为[10,6]--，则m 的取值范围是 A. [0，4] B. [4，6] C. [2，6] D. [2，4]【答案】D 【解析】 【分析】因为函数()246f x x x =--的图象开口朝上，由 ()()()046,210f f f ==-=-，结合二次函数的图象和性质可得m 的取值范围.【详解】函数()246f x x x =--的图象是开口朝上，且以直线2x =为对称轴的抛物线， 故()()()046,210f f f ==-=-，函数()246f x x x =--的定义域为[]0,m ,值域为[]10,6--，所以24m ≤≤，即m 的取值范围是[]2,4,故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数的定义域与值域，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力.10.关于x 的不等式92310x x a ⋅+⋅-<对任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. 2a <- B. 1a ≤-C. 2a ≤-D. 1a <-【答案】B 【解析】 【分析】分离参数a 后，构造函数求出值域可得． 【详解】解：92310x x a ⋅+⋅-<对任意0x >恒成立22231112(3)(3)3x x x xa -⋅+∴<=-⋅，令1(0,1)3x t =∈ 所以92310x x a ⋅+⋅-<对任意0x >恒成立等价于22a t t <-对任意(0,1)t ∈恒成立，()221112t t t =--->-，∴1a ≤-． 故选：B ．【点睛】本题考查了函数恒成立问题，可以通过分离参数转化最值问题，而且还可以避免分类讨论，属中档题．11.已知函数()4f x x x =-，若直线y a =与函数()f x 的图象有三个交点,,A B C ，它们的横坐标分别为12,3,x x x ，则123x x x ++的取值范围是( )A. (6,622)+B. [8,622)+C. [6,622)+D. (8,622)+【答案】D 【解析】 【分析】将()4f x x x =-去掉绝对值，写为分段函数的形式，做出()y f x =的图像，同时做出直线y a =的图像，当直线y a =与函数()f x 的图象有三个交点的时候，利用()y f x =图像的对称性可得结果．【详解】解：22(2)4,(4)()4(2)4,(4)x x f x x x x x ⎧--≥=-=⎨--+<⎩， 其图像如图：设函数()y f x =的图象与直线y a =的交点对应横坐标分别为12,3,x x x ， 则124x x +=，34222x <<+， 所以1238622x x x <++<+ 故选：D ．【点睛】本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质的应用，属中档题． 12.函数()f x 的定义域为D ，若满足如下两个条件：（1）()f x 在D 内是单调函数；（2）存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，那么就称函数()f x 为“希望函数”，若函数()()()log 0,1x a f x a t a a =+>≠是“希望函数”，则t 的取值范围是（）A. 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据“希望函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解. 【详解】因为函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“希望函数”,所以()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，且函数是单调递增的.所以22log log m a naa t m a t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩即22m mn n a t a a t a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩20x xa a t ∴--=有2个不等的正实数根，140t ∴∆=+>且两根之积等于0t ->解得104t -<<，故选A. 【点睛】本题主要考查了函数的值域，单调性，二次方程根的问题，属于难题. 二.填空题13.函数2()ln(1)1xf x x x =++-的定义域为________。
江西省抚州市临川区第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含解析
江西省抚州市临川区第一中学2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故答案选2. 已知，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故答案选3. 函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，即函数的定义域为故答案选4. 在映射中，，且，则元素在作用下的原像是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，解得在作用下的原像是故答案选5. 下列函数中在定义域上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故为增函数；，当时，为减函数；为减函数；为减函数故答案选6. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】对于，函数与的定义域不同，不是相同函数；对于, ，函数的定义域为，的定义域均为，所以，函数与是同一函数；对于，函数与的定义域不同，不是相同函数；对于，由得，，，，故函数与的定义域不同，不是相同函数；故答案选7. 函数的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数是偶函数，所以选项不正确；当时，函数是增函数，所以不正确，正确。
故答案选8. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于分段函数：一次函数单调递增，则指数函数单调递增，则且当时，应满足结合可得实数的取值范围是故答案选9. 若函数为奇函数且在上为减函数，又，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】是奇函数，且在上为减函数在内是减函数又，当时，当时，的解集是故答案选点睛：本题综合性较强，涉及抽象函数的单调性、奇偶性、零点问题，最后解决不等式，各知识点联系密切，由奇偶性结合已知条件能判定本题的单调区间和零点，在解不等式时进行分类讨论10. 函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，当时，当时，零点在区间内故答案选11. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则的值域必须包含区间当时，则当时，符合题意；当时，不符合题意；当时，，解得，即实数的取值范围是故答案选点睛：语句的转化，当函数的值域为时转化为真数位置的函数的值域必须包含区间，只要讨论函数的值域即可，当参量作为最高次项的系数是要分类讨论是否为012. 定义域为的函数满足.当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，当时，当时，则故当时，解得当时，解得故实数的取值范围是故答案选..................第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 幂函数经过，则__________．【答案】3解得14. 若，则__________．【答案】2【解析】，故答案为15. 函数的单调递减区间为__________．【答案】【解析】的对称轴为解得函数的单调递减区间为16. 给出下列五个命题：①若函数为奇函数，则；②函数的图象与函数的图象关于对称；③函数只有2个零点；④函数（且）的图象恒过定点；⑤函数与函数互为反函数；其中真命题是（把你认为正确的命题序号都填上）__________．【答案】④⑤【解析】函数为奇函数，则必成立，但时，函数为奇函数，故错误；函数的图象与函数的图象关于轴对称，故错误；函数有3个零点,和是其两个根，当时也存在一个零点，所以共3个零点，故错误而④⑤正确故答案为④⑤三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知，集合，（1）若，求集合（用区间表示）；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：代入，解一元二次不等式，分解因式，求两根，写成区间形式；若，表示不等式恒成立，所以分成和两种情况讨论，求解不等式，即可得到实数的取值范围。
江西省抚州市2020版高一下学期数学期中考试试卷C卷
江西省抚州市2020版高一下学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·姚安期中) 复数（1﹣ i）•i的虚部是（）A . 1B . ﹣1C . iD . ﹣i2. （2分）如图，正三棱柱的各棱长都2，E，F分别是的中点，则EF的长是（）A . 2B .C .D .3. （2分） (2016高三上·临沂期中) 若点（sin ，cos ）在角α的终边上，则sinα的值为（）A .B .D .4. （2分）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一下·嘉兴期中) 化简的结果是（）A .B .C .D .6. （2分）已知则（）A .B .C .D .7. （2分）若直线L的参数方程为(t为参数），则直线L的倾斜角的余弦值为（）B .C .D .8. （2分）化简的结果是（）A . ﹣cos1B . cos1C . cos1D . ﹣cos19. （2分）(2019·黄山模拟) 已知x∈（0，），cos（x+ ）= ，则sinx的值为（）A . -B .C .D . -10. （2分）若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·辽宁模拟) 已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,把函数的图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象.关于函数 ,下列说法正确的是（）A . 在上是增函数B . 其图象关于直线对称C . 函数是奇函数D . 当时,函数的值域是12. （2分）函数的一个单调增区间是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·金华月考) 若复数（i为虚数单位），则z的实部为________．14. （1分）(2020·咸阳模拟) 若向量与向量垂直，则 ________.15. （1分）三角形ABC中，，且，则三角形ABC面积最大值为________.16. （1分） (2020高一下·宁波期中) 计算 ________；的值是________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2020高一下·湖州期末) 已知平面向量，满足，，．（1）求向量与的夹角；（2）当实数x为何值时，与垂直．18. （10分） (2016高一上·永兴期中) 已知△ABC的两条高线所在直线的方程为2x﹣3y+1=0和x+y=0，顶点A（1，2），求：（1） BC边所在直线的方程；（2）△ABC的面积．19. （10分）(2013·辽宁理) 设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．20. （10分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，sinA+sinB=2sinC，a=2b．（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若S△ABC= ，求c．21. （10分） (2020高一下·宝应期中) 在中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，且.（1）求角A的大小；（2）若，的面积，求a的值．22. （10分） (2019高三上·维吾尔自治月考) 在中，角，，所对的边分别为，，，已知满足 .（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的面积的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。