向量法证明垂直
向量垂直证明方法
向量垂直证明方法要证明两个向量垂直，我们可以使用两种常见的方法：点积为零和向量的特性。
方法1：点积为零设有两个向量A和B，我们要证明它们垂直，则需要证明它们的点积等于零。
向量的点积定义为两个向量对应分量的乘积之和。
设A=(a1, a2, a3)和B=(b1, b2, b3)为两个三维向量，则它们的点积为A·B=a1b1+a2b2+a3b3。
当A·B=0时，即证明了向量A和B垂直。
例如，假设A=(1, 2, 3)和B=(2, -1, 1)，我们可以计算它们的点积为A·B=1*2+2*(-1)+3*1=2-2+3=3。
由于点积不为零，所以向量A和B不垂直。
方法2：向量的特性向量的特性是基于向量的定义和运算规则来进行推导和证明的。
例如，设A=(a1, a2, a3)和B=(b1, b2, b3)为两个三维向量，我们知道向量的长度可以表示为该向量与自身的点积的开方，即A =√(A·A)。
根据向量的定义，两个向量垂直等价于它们的点积为零，也就是A·B=0。
通过向量的运算规则，我们可以得到推导垂直的条件。
首先，两个相同向量的点积等于该向量的平方，即A·A= A ^2。
然后，两个向量的点积与它们的长度之积等于它们的数量积，即A·B= A ·B ·cosθ，其中θ为A和B之间的夹角。
由此，我们可以得到两个向量垂直的条件，即cosθ=0，所以θ=90。
例如，假设A=(1, 2, 0)和B=(2, -1, 0)为两个三维向量，我们可以计算它们的长度为A =√(1^2+2^2+0^2)=√5，B =√(2^2+(-1)^2+0^2)=√5。
然后，计算它们的点积为A·B=1*2+2*(-1)+0*0=0。
因此，根据向量的特性，我们可以得出结论A和B垂直。
总结起来，要证明两个向量垂直，我们可以使用点积为零或者向量的特性来进行证明。
立体几何中的向量方法平行与垂直的证明
求平面法向量的方法：
p, q为 平 面内 不 共 线 的 两 个 向 量 ，设a ( x, y, z),
p a
0 ,
恰
当的给
定x,
y,
z中 一 个
的值，
即可得
一个
法 向 量a.
q a 0
求平面的法向量
1.已 知 平 面经 过 三 点A(1,2,3), B(2,0,1),C(3,2,0)， 求 平 面的 一 个 法 向 量.
2.已 知 点A(a,0,0), B(0, b,0),C(0,0, c)， 求 平 面ABC的 一 个 法 向 量.
3.设u, v分 别 是 平 面 , 的 法 向 量 ， 判 断 下 列 平面 ,
的位置关系： (1)u (1,1,2),v (3,2, 1 );(2)u (2,0,4),v (1,0,2);
9、已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形, 且∠C1CB = ∠C1CD = ∠BCD,
（１）求证： CC1⊥BD
（２）CD/ CC1=?时A1C ⊥平面C1BD
B1
A1
A1C ⊥平面C1BD 与
C1
∠C1CB = ∠C1CD =
D1
∠BCD的值无关，可用恒
成立得比值为1的结果
n m n // m //
证明平行问题
4.正方体ABCD A1B1C1D1中 (1)M，N分别是C1C，B1C1的中点，求证：MN // 平面A1BD. (2)证明：平面A1BD // 平面CB1D1. 5.在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，E, F,G分别为A1D1, D1D, D1C1的中点，求证：平面EFG// 平面AB1C.
两个空间向量垂直的公式
两个空间向量垂直的公式“两个空间向量垂直的公式”，也称为叉积公式，是在空间上判断两条线段是否垂直的一种计算方法。
它是由三角函数的知识扩展而来的，可以用于计算两个空间向量之间的夹角，也可以用来判断两条线段之间的垂直关系。
叉积公式有两种形式：一种是矢量形式，另一种是矩阵形式。
矢量形式：设$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ 是两个空间中的两个向量，它们的叉积为：$$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=(a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)$$矩阵形式：若已知两个空间中的两个向量：$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$，则它们的叉积可写成如下矩阵形式：$$\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}$$根据叉积公式，可以判断两个空间向量是否垂直，即可以判断两条线段是否垂直，若两个空间向量的叉积为零向量，则证明这两个向量垂直。
例如设$\overrightarrow{a}=(6,4,0)$ 、$\overrightarrow{b}=(3,2,-1)$ 是两个空间中的向量，则它们的叉积为：$$\begin{aligned} \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}&=(a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)\\ &=(4\times(-1)-0\times2, 0\times 3 - 6\times (-1), 6\times 2 - 4\times 3 )\\ &=(-4,18,-12) \end{aligned}$$可以看出，叉积不为零向量，因此$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$不垂直。
向量垂直定理
向量垂直定理向量垂直定理是数学中的一个重要定理，它是解决向量垂直问题的基础。
在平面几何和空间几何中，向量垂直定理都有着广泛的应用。
向量垂直定理的表述是：两个向量的点积为0，则这两个向量垂直。
这个定理的证明可以通过向量的几何意义来理解。
我们需要了解向量的点积和向量的几何意义。
向量的点积是指两个向量的数量积，它的值等于这两个向量的模长乘积与它们夹角的余弦值。
向量的几何意义是指向量在空间中的方向和长度。
接下来，我们来证明向量垂直定理。
假设有两个向量a和b，它们的点积为0，即a·b=0。
我们需要证明这两个向量垂直。
根据向量的点积公式，a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示它们夹角的余弦值。
因为a·b=0，所以cosθ=0，即θ=90°或270°。
当θ=90°时，向量a和b垂直；当θ=270°时，向量a和b反向垂直。
因此，当a·b=0时，向量a和b垂直或反向垂直。
这个定理的应用非常广泛。
在平面几何中，我们可以利用向量垂直定理来判断两条直线是否垂直。
如果两条直线的方向向量垂直，则它们是垂直的；反之，如果两条直线的方向向量不垂直，则它们不是垂直的。
在空间几何中，向量垂直定理同样有着广泛的应用。
例如，在三维空间中，我们可以利用向量垂直定理来判断两个平面是否垂直。
如果两个平面的法向量垂直，则它们是垂直的；反之，如果两个平面的法向量不垂直，则它们不是垂直的。
除了在几何中的应用，向量垂直定理还可以用来解决一些物理问题。
例如，在力学中，我们可以利用向量垂直定理来求解物体在斜面上的运动问题。
如果物体的重力向量和斜面的法向量垂直，则物体在斜面上的运动是匀速的；反之，如果物体的重力向量和斜面的法向量不垂直，则物体在斜面上的运动是加速的。
向量垂直定理是数学中的一个重要定理，它在几何和物理中都有着广泛的应用。
32(二)向量方法证明空间线面垂直关系
学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.知识点一 向量法判断线线垂直思考 若直线l 1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案 l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l 1与l 2垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A 、B 与C 、D ，计算向量AB →与CD →的坐标，若AB →·CD →＝0，则两直线垂直，否则不垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直. 梳理 设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案 垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内. (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.梳理 设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R ).知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理 若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.类型一 证明线线垂直例1 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OO 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1→＝(1，0，1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1→， ∴AB 1⊥MN .反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直.如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)， ∵AC →＝(－3，0，0)，BC 1→＝(0，－4，4)， ∴AC →·BC 1→＝0.∴AC ⊥BC 1. 类型二 证明线面垂直例2 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0). 所以AB 1→＝(1，2，－3)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0). 因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0. AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD . 反思与感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量. (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点.求证：直线PB 1⊥平面P AC .证明 如图建系，C (1，0，0)，A (0，1，0)，P (0，0，1)，B 1(1，1，2)，PC →＝(1，0，－1)，P A →＝(0，1，－1)，PB 1→＝(1，1，1)，B 1C →＝(0，－1，－2)，B 1A →＝(－1，0，－2).PB 1→·PC →＝(1，1，1)·(1，0，－1)＝0， 所以PB 1→⊥PC →，即PB 1⊥PC .又PB 1→·P A →＝(1，1，1)·(0，1，－1)＝0， 所以PB 1→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面P AC . 类型三 证明面面垂直例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明 由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E (0，0，12)，故AA 1→＝(0，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，AC 1→＝(－2，2，1)，AE →＝(－2，0，12).设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1，1，0). 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1，4). 因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， 所以n 1⊥n 2.所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C . 反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E 、F 分别是AC 、AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面ABC .证明 以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A (0，0，a )，则易得B (0，0，0)，C ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，D (0，3a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫34a ，34a ，a 2，F (0，32a ，a 2)，故AB →＝(0，0，－a )，BC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.设平面ABC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－az 1＝0，x 1＋y 1＝0，取x 1＝1，∴n 1＝(1，－1，0)为平面ABC 的一个法向量. 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面BEF 的一个法向量， 同理可得n 2＝(1，1，－3).∵n 1·n 2＝(1，－1，0)·(1，1，－3)＝0， ∴平面BEF ⊥平面ABC .1.下列命题中，正确命题的个数为( )①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a 与平面α平行，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 ①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确. 2.已知两直线的方向向量为a ，b ，则下列选项中能使两直线垂直的为( ) A.a ＝(1，0，0)，b ＝(－3，0，0) B.a ＝(0，1，0)，b ＝(1，0，1) C.a ＝(0，1，－1)，b ＝(0，－1，1)D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)答案 B解析因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交答案 B解析∵a∥μ，∴l⊥α.4.平面α的一个法向量为m＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定答案 C解析∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直.5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，ν＝(t，5，1)，则t的值为________.答案 5解析∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.空间垂直关系的解决策略40分钟课时作业一、选择题1.设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2，2，1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( ) A.－2 B.2 C.6 D.10 答案 D解析 因为a ⊥b ，故a ·b ＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m ＝0，解得m ＝10.2.若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1，2，4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A.10B.－10C.12D.－12答案 B解析 因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直， 所以a ·b ＝(－1，2，4)·(x ，－1，－2)＝0， 解得x ＝－10.3.已知点A (0，1，0)，B (－1，0，－1)，C (2，1，1)，P (x ，0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( )A.(1，0，－2)B.(1，0，2)C.(－1，0，2)D.(2，0，－1) 答案 C解析 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2，0，1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0， ① AC →·AP →＝(2，0，1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，②联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1，0，2).4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A.AC B.BD C.A 1D D.A 1A 答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A (0，1，0)，B (1，1，0)，C (1，0，0)，D (0，0，0)，A 1(0，1，1)，C 1(1，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1，AC →＝(1，－1，0)， BD →＝(－1，－1，0)，A 1D →＝(0，－1，－1)，A 1A →＝(0，0，－1)， ∵CE →·BD →＝(－1)×(－12)＋(－1)×12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD .5.若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( ) A.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(－3，1，1) B.n 1＝(1，1，2)，n 2＝(－2，1，1) C.n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－1，2，1) D.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(0，－2，－2) 答案 A解析 ∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0， ∴n 1·n 2＝0，故选A.6.两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( )A.－3B.6C.－6D.－12 答案 B解析 α⊥β⇒μ·v ＝0⇒－6＋y ＋z ＝0，即y ＋z ＝6. 二、填空题7.在三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则异面直线SC 与BC 是否垂直________.(填“是”或“否”) 答案 是解析 如图，以A 为原点，AB ，AS 分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29， 得B (0，17，0)，S (0，0，23)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，0， SC →＝⎝⎛⎭⎪⎫21317，417，－23，CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. 因为SC →·CB →＝0，所以SC ⊥BC .8.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________.(填序号) 答案 ①②③解析 ∵AP →·AB →＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP ⊥AB ，即①正确；∵AP →·AD →＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP ⊥AD ，即②正确； 又∵AB ∩AD ＝A ， ∴AP ⊥平面ABCD ，即AP →是平面ABCD 的一个法向量，即③正确； ∵AP →是平面ABCD 的法向量， ∴AP →⊥BD →，即④不正确.9.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos 2x ＋2，0)和点Q (cos x ，－1，3)，其中x ∈[0，π].若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________. 答案 π2或π3解析 由题意得OP →⊥OQ →，∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0， ∴cos x ＝0或cos x ＝12.又x ∈[0，π]， ∴x ＝π2或x ＝π3.10.在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3，1)，C (2，－2，1).若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________. 答案 (－2，4，1)或(2，－4，－1)解析 据题意，得AB →＝(－1，－1，2)，AC →＝(1，0，2).设n ＝(x ，y ，z )，∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，y ＝－2x . ∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得y ＝4或y ＝－4.当y ＝4时，x ＝－2，z ＝1；当y ＝－4时，x ＝2，z ＝－1.三、解答题11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点.证明：CD ⊥平面P AE .证明 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设P A ＝h ，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B (4，0，0)，C (4，3，0)，D (0，5，0)，E (2，4，0)，P (0，0，h ).易知CD →＝(－4，2，0)，AE →＝(2，4，0)，AP →＝(0，0，h ).因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP ，而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .证明 建立如图所示空间直角坐标系，则P (0，0，1)，B (0，1，0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0，设BE ＝x (0≤x ≤3)，则E (x ，1，0)，PE →·AF →＝(x ，1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0， 所以x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .13.已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点.(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置.(1)证明 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a ，则 A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a ).设E (0，a ，e ) (0≤e ≤a )，A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E →·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0，∴A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解 设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). ∵DB →＝(a ，a ，0)，DA 1→＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0. 取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，a e)， 由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2，∴2－a e ＝0，即e ＝a 2. ∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。
高中数学证明直线与平面垂直的方法
高中数学证明直线与平面垂直的方法高中数学中，证明直线与平面垂直是一个重要而基础的概念。
垂直关系在几何学中占有核心地位，因为它决定了物体的形状、大小和位置。
证明直线与平面垂直不仅需要运用基础的几何知识，还需要严谨的逻辑推理。
下面将详细介绍证明直线与平面垂直的几种方法。
方法一：定义法根据直线与平面垂直的定义，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。
在实际证明中，我们通常需要选择平面内的一条特殊直线（如平面的法线或已知与直线垂直的直线）来进行证明。
方法二：向量法向量法是证明直线与平面垂直的一种常用方法。
首先，我们需要确定直线和平面的向量表示。
如果直线的方向向量与平面的法向量平行（即它们的外积为零），则直线与平面垂直。
这种方法需要一定的向量知识和运算能力。
方法三：几何性质法通过利用几何图形的性质来证明直线与平面垂直也是一种常见方法。
例如，如果一条直线同时垂直于一个平面的两条相交直线，那么这条直线与这个平面垂直。
这种方法依赖于对几何图形的深入理解和灵活运用。
方法四：反证法反证法是一种常用的逻辑推理方法，也可以用于证明直线与平面垂直。
假设直线与平面不垂直，然后根据已知条件和几何性质推导出矛盾，从而证明原假设不成立，即直线与平面垂直。
这种方法需要较强的逻辑推理能力。
方法五：综合法综合法是将以上几种方法综合运用，根据具体情况选择合适的方法进行证明。
在实际应用中，我们可能需要结合定义法、向量法、几何性质法和反证法等多种方法来完成证明。
注意事项在证明直线与平面垂直时，需要注意以下几点：理解定义：首先要清楚直线与平面垂直的定义，这是进行证明的基础。
选择适当的方法：根据题目的具体条件和已知信息，选择最合适的方法进行证明。
逻辑推理：在证明过程中，要保持清晰的逻辑思路，每一步都要有充分的理由和依据。
严谨性：几何证明需要严谨的态度和精确的表达，不能随意跳过关键步骤或忽略重要细节。
通过以上方法的学习和实践，我们可以更好地理解和掌握直线与平面垂直的概念，提高我们的几何证明能力和逻辑推理能力。
用空间向量法证明平行垂直
用空间向量法证明平行垂直嘿，大家好，今天咱们来聊聊空间向量的那些事儿。
听起来挺学术的对吧？别担心，我们不打算用什么复杂的公式，把它变得像背唐诗那样枯燥。
相反，咱们就像在咖啡馆里聊八卦一样轻松，来一场有趣的向量之旅。
咱们得明白什么叫空间向量。
想象一下，你在一个立体的空间里，就像在三维游戏中走来走去。
空间向量就是从一个点指向另一个点的箭头，简单吧？有了这个概念，咱们可以开始讲平行和垂直这两个小伙伴的故事了。
平行就像是两条平行线，永远不相交，怎么走也不会碰上。
垂直呢，就是像个十字架，两条线碰面，形成个直角，嘿，这可是数学界的“老友记”。
现在，咱们说说平行。
要证明两个向量平行，简单得很。
只要它们的方向相同，或者说一个是另一个的倍数，这就够了。
比如说，你有一个向量 ( vec{a = (2, 4, 6) )，再给你一个向量 ( vec{b = (1, 2, 3) )。
哇，这不就是 ( vec{a = 2vec{b )吗？所以，它们平行，没跑！就像你跟你家狗子，走到哪儿都不离不弃，谁也不影响谁。
再来聊聊垂直。
要证明两个向量垂直，我们用到个小妙招：点积。
点积的计算就像是把两个向量的分量一一相乘，然后加起来。
嘿，只要点积等于零，这俩家伙就立马变成了“好兄弟”，结下不解之缘。
比如，咱们有向量 ( vec{c = (1, 2, 3) ) 和向量 ( vec{d = (3, 1, 0) )。
你算算它们的点积：( 1 times 3 + 2 times (1) + 3 times 0 = 3 2 + 0 = 1 )。
哎呀，这可不等于零啊，所以它们并不是垂直的，可能是“朋友”关系，没那么亲密。
咱们就得提一下空间向量的应用。
想象一下，你在操场上打篮球，向量就是你投篮的路径。
你想让投篮更精准，那就得找到平行和垂直的关系。
比如，平行的向量可以代表你的助攻，而垂直的向量则可以是防守的对手。
你得在这两者之间找到平衡，才能把球稳稳地投进篮筐。
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )1．下列各组向量中不平行的是( )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．已知平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________．4．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1 (2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A 组 专项基础训练1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．在平面D ．平行或在平面3．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )A ．(2,4，－1)B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(5,13，－3)4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．已知平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(23，23，1)C ．(22，22，1) D ．(24，24，1) 12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则t 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个．14．如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
BD＝AD－AB＝ b－ a， 1 → → 1→ 1 1 OG＝OC＋CG＝ (AB＋AD)＋ CC1＝ (a＋ b)－ c， 2 2 2 2 1 1 1 ∴A1O·BD＝ (c＋ a＋ b)· (b－ a)＝ c· (b－ a)＋ (a＋ b)· (b－ a) 2 2 2 1 2 2 1 2 ＝ c· b－ c· a＋ (b － a )＝ (|b | － |a |2)＝ 0. 2 2 ∴A1O⊥BD，∴ Α1O⊥ BD. 同理可证，A1O⊥OG，∴ A1O⊥ OG. 又∵ OG∩ BD＝ O，且 A1O⊄面 GBD， ∴ A1O⊥面 GBD.
→
→
→
→
误区警示
审题不清致误
【示例】 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱BB1
的中点，在棱DD1上是否存在点P，使MD⊥平面PAC?
[错解] 如图建立空间直角坐标系，则 A(1 ， 0，0)， C(0，1， 0)， D(0， 0， 0)， 1 M(1，1， )， 2 假设存在 P(0，0，x)满足条件， 则PA＝(1，0，－x)，AC＝(－1，1，0)．
→
→
题型三
证明面面垂直
在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝ 【 例 3】 90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点， 求证：平面BEF⊥平面ABC.
[规范解答 ]建系如图，取 A(0，0，a)， 则易得 B(0，0，0)，C( 3 3 a， a，0)， 2 2
→
→
3 3 a， a， 0)＝ 0 2 2
→ ∴ n⊥CD，∴平面 BEF⊥平面 ABC.
【变式3】 在正棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是 △PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝ PF∶FB＝1∶2. 求证：平面GEF⊥平面PBC； 证明 如图，以三棱锥的顶点P为原
→
→
→
→
→
→
→
→
而OB∩BG＝B，且A1O⊄面GBD，
∴OA1⊥面GBD. 法三 同方法二建系后，设面GBD的一个法向量为n＝(x，y，
z) → BG·n＝0， － 2x＋ z＝ 0， 则 ∴ → － 2x－ 2y＝ 0， n＝ 0， BD·
令 x＝ 1 得 z＝ 2，y＝－1， ∴平面 GBD 的一个法向量为(1，－1， 2)， 显然A1O＝ (－ 1，1，－2)＝－ n， ∴A1O∥n，∴A1O⊥面 GBD.
题型一
证明线线垂直
【例1】 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长
都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧 1 棱 CC1 上的点，且 CN＝ CC1.求证：AB1⊥ 4 MN.
解
法一
(基向量法 )
设AB＝ a，AC＝ b，AA1＝ c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得 |a |＝ |b |＝ |c|＝ 1， a· c＝ b· c＝ 0， → 1 AB1＝ a＋ c，AM＝ (a＋ b)， 2 1 → → → 1 1 1 AN＝ b＋ c， MN＝AN－AM＝－ a＋ b＋ c， 4 2 2 4 1 1 1 ∴AB1·MN＝ (a＋ c)· (－ a＋ b＋ c) 2 2 4 1 1 1 ＝－ ＋ cos 60°＋ ＝ 0. 2 2 4 → ∴AB1⊥MN，∴ AB1⊥ MN.
为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
[思路探索] 可证明A1O与平面 GBD 内两个不共线向量垂直或 建系后，证明A1O与平面 GBD 的法向量平行．
解 法一 设A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c.
→
→
→
→
→
则 a· b＝0，b· c＝0，a· c＝0. → → → → 1 → → 1 而A1O＝A1A＋AO＝A1A＋ (AB＋AD)＝c＋ (a＋b)， 2 2
点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x
轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3， 则A(3，0，0)、B(0，3，0)、C(0，0， 3)、E(0，2，1)、F(0，1，0)、G(1， 1，0)，P(0，0，0)．
于是PA＝(3，0，0)，FG＝(1，0，0)， 故PA＝3FG，∴PA∥FG. 而 PA⊥平面 PBC，∴FG⊥平面 PBC， 又 FG⊂平面 EFG， ∴平面 EFG⊥平面 PBC.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
法二
如图取D为坐标原点，DA、DC、
DD1所在的直线分别作x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为2， 则O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2， 1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)， → →
→ → →
∴OA1＝ (1，－ 1，2)，OB＝(1，1，0)，BG＝ (－ 2，0，1)， 而OA1·OB＝ 1－ 1＋ 0＝ 0， OA1·BG＝－ 2＋ 0＋ 2＝ 0. ∴OA1⊥OB，OA1⊥ BG，即OA1⊥OB， OA1⊥ BG，
3 3 a D(0， 3a，0)， E( a， a， )， 4 4 2 F(0， 3 a a， )， 2 2 2分
∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC. 又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD. 又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC， → 3 3
∴CD＝(－ a， a，0)为平面 ABC 的一个法向量 2 2 设平面 BEF 的法向量 n＝(x，y，z)，1＝－ ＋0＋ ＝0. 4 4
→ → ∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN.
规律方法 将线线垂直问题转化为向量垂直问题后，注意 选择基向量法还是坐标法，熟练掌握证明线线垂直的向量
方法是关键．
题型二
证明线面垂直
【例2】 如图所示，在正方体ABCD－
A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G
→
→
→
→
→
→
→
→
法二
(坐标法)
设 AB 中点为 O，作 OO1∥ AA1. 以 O 为坐标原点， OB 为 x 轴， OC 为 y 轴， OO1 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系．由已知得
1 1 3 3 1 1 A(－ ，0，0)，B( ，0，0)，C(0， ，0)，N(0， ， )，B1( ，0， 2 2 2 2 4 2 1)， 1 3 ∵M 为 BC 中点，∴ M( ， ，0)． 4 4 1 3 1 → ∴MN＝(－ ， ， )，AB1＝(1， 0，1)， 4 4 4
→
→
解题时一定要看清题目条件是在“棱”DD1上探
求一点，而不是在其延长线上．
[正解] 由以上步骤得x＝2，
∵0≤x<1， ∴不存在点P，使MD⊥平面PAC.
解答数学题，必须根据题目的特征和给出的信
息或启示，充分运用条件，达到尽可能满足结论需要的要 求．为此，通过审题全面掌握题意就成了解题的基础．审 题时必须要认真仔细，注意隐含条件的挖掘，谨防出错．
向量法证明垂直
线线垂直、线面垂直、面面垂直
垂直－－向量法证明
(1)线线垂直：l m a b 0 (2)线面垂直：l a l a m 0, a n 0 (3)面面垂直： 0
l
m
l
b a
a
n m
→
→
设平面 PAC 的法向量为 n＝ (x1， y1， z1)， → PA· n＝ 0， x1－ xz1＝ 0， 则由 得 → － x1＋ y1＝ 0. n＝ 0， AC· 1 1 令 x1＝1 得 y1＝ 1，z1＝ ，即 n＝ (1， 1， )， x x 1 由题意MD∥n，由MD＝(－ 1，－ 1，－ )得 x＝2， 2 ∴存在点 P(0， 0， 2)满足条件．
4分
→
3 3 即 (x， y， z)· (－ a， a， 0)＝ 0，∴ x＝ y. 4 4 3 a 由 n· BF＝ 0，即 (x， y， z)· (0， a， )＝ 0， 2 2 3 a 有 ay＋ z＝ 0⇒ z＝－ 3y. 2 2 取 y＝ 1，得 n＝(1，1，－ 3). ∵ n· CD＝ (1， 1，－ 3)· (－ 8分 10 分 12 分