用向量方法证明直线垂直,求两直线夹角
三维空间两直线夹角公式
三维空间两直线夹角公式在三维空间中，两条直线的夹角是指两条直线之间的夹角。
在几何学中，夹角是两个不重合直线之间的夹角，从一个向量到另一个向量所需的最小旋转角度。
为了计算三维空间中两条直线之间的夹角，我们需要使用向量和点之间的关系。
让我们假设有两条直线L1和L2、每条直线都可以用一个点和一个方向向量来表示。
点在直线上，方向向量指示直线的方向。
我们先找到两条直线L1和L2上的两个点A和B，然后分别计算这两个点定义的两个向量V1和V2、向量V1和V2分别是直线L1和L2上的一部分。
接下来，我们可以使用向量点积的概念来计算夹角。
夹角公式：cosθ = (V1 • V2) / (，V1，• ，V2，)其中，•表示向量的点积运算符。
V1，和，V2，表示向量V1和V2的模长（长度）。
θ是夹角的度数。
向量的点积是通过将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加来计算的。
它的几何意义是向量的长度乘以它们之间的夹角的余弦。
在实际计算过程中，可能会遇到一些问题。
例如，如果向量的模长为0，那么无法计算夹角。
此外，点积计算可能会导致数值溢出或不精确。
为了避免这些问题，可以先检查向量的模长是否为零，并使用浮点数算法来准确计算点积。
另一个需要注意的问题是夹角的度数是一个非负的值，它的范围在0到180度之间。
如果夹角大于180度，则可以通过使用它的补角（360度减去夹角）来计算。
此外，还可以使用反余弦函数来计算夹角。
在计算机程序中，我们可以使用反余弦函数来计算夹角。
总结起来，计算三维空间中两条直线的夹角需要以下步骤：1.找到两条直线上的两个点A和B。
2.计算两个点的向量V1和V23.检查向量的模长是否为零。
如果为零，无法计算夹角。
4. 使用点积公式计算夹角的余弦值：cosθ = (V1 • V2) / (，V1，• ，V2，)。
5. 使用反余弦函数来计算夹角：θ = arccos(cosθ)。
6.如果夹角大于180度，则使用其补角来计算：θ=360度-θ。
《用向量法求两直线的夹角(第一课时)》
∴a＝± 1.
当堂检测
4．已知直线 l1：3x＋y－2＝0 与直线 l2：mx－y＋1＝0 的夹角 为 45° ，求实数 m 的值．
解 设直线 l1，l2 的法向量为 n1，n2， 则 n1＝(3,1)，n2＝(m，－1)．
由题意： |3m－1| |n1· n2| 2 cos 45° ＝|n |· ＝ 2＝ 2 . |n | 1 2 10· 1＋m
l
e 与向量 a垂直时，我们把 a
a
A
e
B
新知探究
三、两直线的夹角
1.定义：两条相交直线所成的
锐角或直角为两条相交直线 的夹角。
y
o
x
如果两条直线平行或重合,我们
2.范围： 平面上两条直线夹角的范围: 0, 2
规定它们的夹角为0
新知探究
四、两直线的夹角与方向向量夹角的关系 思考：两条直线所成的角 与两直线的方向
距离等于向量 P1 P在向量 n方向上射影长 d,
C P1 P ( x0 , y0 ), B
C ( A, B ) d P1 P ( x0 , y0 ) B n A2 B 2
n
A2 B 2 当B 0时，可直接由图形证得 （略）
Ax0 By0 C
2
4
典例精讲
例 2.直线 l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0 与直线 l2：(a－1)x＋(2a ＋3)y＋2＝0 垂直，则 a 的值为________．
±1
解析
n1＝(a＋2,1－a)，n2＝(a－1,2a＋3)，
∵l1⊥l2，
∴n1· n2＝(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3) ＝(a－1)(－a－1)＝0，
高二数学 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二) 1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量则l1⊥l2⇔________，cos θ＝________________.2．求两直线所成的角应注意的问题：在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝v1·v2|v1||v2|.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取________作为两直线的夹角．探究点一两条直线垂直问题怎样利用向量证明两直线垂直？例1 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点．求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C.跟踪1在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE ＝BF，求证：A1F⊥C1E.例2 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA ＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．跟踪2长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．探究点三探索性问题例3已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M为底面BC边的中点，N为侧棱CC1上的点．(1)当CNCC1为何值时，MN⊥AB1；(2)在棱A1C1上是否存在点D，使MD∥平面A1B1BA，若存在，求出D的位置；若不存在，说明理由跟踪3 如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .问当CD CC 1的值等于多少时，A 1C ⊥BD 且 A 1C ⊥BC 1?【达标检测】1. 若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则 ( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1、l 2相交但不垂直D ．不能确定2．设l 1的方向向量a ＝(1,3，－2)，l 2的方向向量b ＝(－4,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．52C ．12D ．33. 在正四面体ABCD 中，点E 为BC 中点， 点F 为AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为( )A. 13B. 12C. 23D. 634.如图所示，三棱柱OAB —O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．【课堂小结】用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)一、基础过关1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均错 2.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A3．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°4．已知A (3,0，－1)、B (0，－2，－6)、C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对5．A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) A.3010 B.12 C.3015 D.1510 6．在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.二、能力提升7．设ABCD 、ABEF 都是边长为1的正方形，F A ⊥平面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角为________．8．已知空间三点A (0,0,1)，B (－1,1,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为________．9．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，则AB 连线与xOz 平面的交点坐标是____________．10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，证明OA 1⊥AM .11.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．12.直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．三、探究与拓展13．已知△ABC，∠C＝90°，SA⊥面ABC，且AC＝2，BC＝13，SB＝29，求异面直线CS与AB所成角的余弦值．。
空间中两直线垂直的判定
空间中两直线垂直的判定一、引言在空间几何中，直线是最基本的图形之一。
而两条直线的相互关系也是空间几何中一个非常重要的问题。
其中，两条直线是否垂直是一个经典的问题，本文将从多个角度探讨如何判定空间中两条直线是否垂直。
二、定义在空间几何中，两条直线垂直是指它们在交点处相互成直角。
三、方法一：向量法向量法是判定两条直线是否垂直的一种常用方法。
其基本思想是：如果两条非零向量的点积为0，则它们垂直。
具体步骤如下：1.求出两条直线的方向向量；2.计算这两个向量的点积；3.如果点积为0，则这两条直线垂直；否则不垂直。
四、方法二：坐标法坐标法也是判定两条直线是否垂直的一种常用方法。
其基本思想是：如果两个向量的坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)，则它们垂直当且仅当a1b1+a2b2+a3b3=0。
具体步骤如下：1.取出每一条直线上的两个点，求出它们的坐标；2.计算这两个向量的坐标积；3.如果坐标积为0，则这两条直线垂直；否则不垂直。
五、方法三：斜率法斜率法是判定两条直线是否垂直的一种简单方法。
其基本思想是：如果两条直线的斜率之积为-1，则它们垂直。
具体步骤如下：1.求出每一条直线的斜率；2.计算这两个斜率的乘积；3.如果乘积为-1，则这两条直线垂直；否则不垂直。
需要注意的是，当其中一条或者两条直线的斜率不存在时，无法使用该方法进行判定。
六、方法四：投影法投影法也是判定两条直线是否垂直的一种常用方法。
其基本思想是：如果一个向量在另一个向量上的投影为0，则它们垂直。
具体步骤如下：1.取出每一条直线上的一个点作为原点，求出该点到另一条直线上所有点的向量；2.将这些向量投影到第一条向量上，得到它们在第一条向量上对应的长度；3.如果所有长度都为0，则这两条直线垂直；否则不垂直。
需要注意的是，当两条直线平行时，无法使用该方法进行判定。
七、总结本文介绍了四种常用的方法来判定空间中两条直线是否垂直，分别是向量法、坐标法、斜率法和投影法。
直线与平面垂直的方法
直线与平面垂直的方法直线与平面垂直是一个基本的几何概念，它表示直线与平面之间的相互关系。
在三维空间中，直线与平面的垂直关系可以通过几种方法来确定。
方法一：使用向量求垂直设直线L的向量方向为v，平面P的法线向量为n。
则L与P垂直的条件是v·n=0，即直线L的向量与平面P的法线向量的点积为0。
这是因为两个向量的点积为0意味着它们相互垂直。
具体而言，我们可以通过以下步骤使用向量求垂直：1. 求直线的向量：a) 确定直线上两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)；b) 直线的向量v = AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。
2. 求平面的法线向量：a) 找出平面上的三个点（点A、点B、点C）；b) 确定平面的两个向量：AB和AC；c) 使用向量叉乘，求平面的法线向量：n = AB ×AC。
3. 进行点乘运算：a) 将直线的向量v和平面的法线向量n进行点乘运算。
b) 若结果为0，则直线与平面垂直；c) 若结果不为0，则直线与平面不垂直。
方法二：使用平面的方程求垂直设平面P的方程为Ax + By + Cz + D = 0，直线L的参数方程为{x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct}，其中(a, b, c)为直线的方向向量。
则直线L与平面P垂直的条件是平面的法线向量(n)与直线的方向向量(a, b, c)的点乘为0。
具体而言，我们可以通过以下步骤使用平面的方程求垂直：1. 将直线的参数方程代入平面的方程中，得到以下表达式：A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0。
2. 展开并整理上述表达式，得到以下结果：Ax0 + By0 + Cz0 + D + (aA + bB + cC)t = 0。
3. 对比上述方程中t的系数，即(aA + bB + cC)，若其为0，则直线与平面垂直；若不为0，则直线与平面不垂直。
两条直线相交角度取值范围
两条直线相交角度取值范围直线相交角度取值范围是指两条直线之间的夹角，可以通过几何学方法、三角函数和向量方法来求解。
下面将介绍这些方法并探讨直线相交角度的取值范围。
一、几何方法1.垂直直线的情况当直线之间垂直相交时，它们的夹角为90度，即直角。
这是最简单的情况，两个垂直直线的夹角只能是90度。
2.平行直线的情况当直线之间平行时，它们永远不相交，因此没有夹角。
3.一般情况对于一般情况的两条直线，可以使用几何方法求解它们的夹角。
首先，我们需要确定两条直线的斜率。
斜率是直线上任意两点的纵向变化与横向变化之比。
设直线L1的斜率为m1，直线L2的斜率为m2。
若直线L1斜率为m1，直线L2斜率为m2，则两直线夹角θ的正切值为：tan(θ) = |(m2 - m1) / (1 + m1 * m2)|根据反正切函数的定义，我们可以得到夹角θ的值：θ = arctan |(m2 - m1) / (1 + m1 * m2)|夹角θ的正负取决于斜率的差值。
如果m2 - m1大于0，则夹角为正；如果m2 - m1小于0，则夹角为负。
根据上述公式，我们可以求解两条直线的夹角。
二、三角函数方法1.垂直直线的情况垂直直线的夹角为90度，即正弦值为1。
因此，两个垂直直线的夹角范围为[0, 90]度。
2.平行直线的情况平行直线的夹角为0度，即正弦值为0。
因此，两个平行直线的夹角范围为[0, 0]度。
3.一般情况对于一般情况的两条直线，我们可以使用三角函数来求解夹角的取值范围。
根据三角函数的定义，我们可以知道：sin(θ) = |(m2 - m1) / √(1 +m1^2) √(1 + m2^2)|夹角θ的正负取决于斜率的差值。
如果m2 - m1大于0，则夹角为正；如果m2 - m1小于0，则夹角为负。
我们可以使用反正弦函数求解夹角θ的值：θ = arcsin |(m2 - m1) / √(1 + m1^2) √(1 + m2^2)|根据反正弦函数的定义域，我们可以得到夹角θ的取值范围。
高中数学直线的方向向量与直线的向量方程知识点解析
知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平
面平行
1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1 与l2重合⇔ v1∥v2 . 2.已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v， 则由共面向量定理，可得 l∥α或l在α内⇔ 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2 .
2 题型探究
PART TWO
题型一 空间中点的位置确定
例1 已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以A→B 的方向为正向，在直线AB上建立 一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP∶PB＝1∶2；求点P的坐标.
(2)AQ∶QB＝2∶1.求点Q的坐标.
解 因为AQ∶QB＝2∶1， 所以A→Q＝－2Q→B，O→Q－O→A＝－2(O→B－O→Q)， O→Q＝－O→A＋2O→B，
2.求两直线所成的角应注意的问题
在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以
cos〈v1，v2〉＝
v1·v2 |v1||v2|
.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，
当〈v1，v2〉为钝角时，应取其 补角 作为两直线的夹角.
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
|AB|
点 C 的坐标为
A.72，－21，52
B.83，－3，2
√C.130，－1，73
D.52，－27，32
解析 设C(x，y，z)， →
两条空间直线夹角计算公式
如何计算两条空间直线的夹角在三维空间里，两条直线的夹角是非常重要的概念，它可以用于许多实际问题的解决，如机械工程、物理学、计算机图形学等领域。
下面介绍两条空间直线夹角计算公式，帮助你轻松解决问题。
1. 向量夹角公式
两条空间直线的夹角可以通过它们的方向向量求得。
具体来说，设两条直线分别为L1和L2，它们的方向向量为u和v，那么它们的夹角θ可以用如下公式计算：
cosθ = (u·v) / (|u| × |v|)
其中，u·v表示u和v的数量积，|u|和|v|分别表示u和v的模长。
由此可得，θ = arccos(cosθ)。
需要注意的是，上述公式只能计算0°到180°之间的夹角，如果θ大于180°，则需要将结果减去π得到夹角的补角。
2. 求交角公式
除了通过向量夹角公式计算两条直线的夹角外，还有一种方法是通过它们的交角来求解。
具体方法是，找到两条直线的一个公共点P 和分别垂直于它们的两个平面，然后计算这两个平面的夹角就是两条直线的夹角。
公式如下：
cosθ = (n1·n2) / (|n1| × |n2|)
其中，n1和n2分别表示两个平面的法向量，|n1|和|n2|分别表示它们的模长。
同样地，由此可得，θ = arccos(cosθ)。
需要注意的是，在寻找两条空间直线的交点时，可能会出现一些特殊情况，如两条直线平行、重合或异面，这些情况需要单独考虑。
总结起来，两条空间直线的夹角计算可以由向量夹角公式或求交角公式得出。
在具体应用中，需要根据实际问题选择合适的方法进行计算，并注意处理特殊情况。
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3.2．2用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 学习目标：
1、进一步理解向量的坐标表示和坐标运算
2、能建立适应的空间直角坐标系并利用坐标方法求空间两个向量的夹角
3、利用向量的数量积解决与立体几何有关的问题 复习回顾
1、 向量数量积的运算及其性质？
2、 向量夹角与线线夹角的联系与区别？
3、 如何求向量的夹角？ 一、课前达标： 1、异面直线所成的角：
分别在直线n m ,上取定向量,,b a
则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a
,所成的角或其补角（如图1所示），
则
.|||||
|cos b a b a
⋅⋅=θ 2、预习检测
（1）如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证EF ⊥DA 1
.
（2）如图，在正方体ABCDA ′B ′C ′D ′中，E `1 、F 1分别是A 1B `1、C 1D 1的四等分点，求BE 1与DF 1所成的角．
二、典例分析：
1、建立坐标系证明线线垂直，求夹角
例3 在棱长为1的正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、BD 的中点，G 在CD 上，且CG ＝CD/4，H 为C 1G 的中点，⑴求证：EF ⊥B 1C ；⑵求EF 与C 1G 所成角的余弦值；⑶求FH 的长。
注意思考： （1） 如何建立坐标系、把已知条件转化为向量表示？
（2） 如何对已经表示出来的向量进行运算才可获得所需结论？
巩固练习：练习A 1 练习B 1
2、选取基向量求解线线夹角：例4、（见课本100页）
O -A B C ,O A =4,O B =5,O C =3;
A O
B =B O
C =
C O A =90,M ,N O A ,B C M N ,B C
∠∠∠三棱锥分别是中点，求直线所成角
注意：基向量的选取；如何用基向量来表示未知向量。
巩固练习：练习B 3 三：作业：如下图，直棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.
（1）求的长； （2）求cos 〈1BA ，1CB 〉的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .
18. 已知：PA ⊥矩形ABCD ，M 、N 分别为AB 、PC 中点。
（1）求证：MN//平面PAD ；（2）求证：MN ⊥CD ；（3）若∠PDA ＝45°，求证MN ⊥平面PCD 。
总结反思：空间向量的引入，给传统的立体几何内容注入了新的活力，向量是既有大小又有方向的量，既具有图形的直观性，又有代数推理的严密性，是数形结合的
一个很好的桥梁。
而空间向量是处理空间问题的重要方法，通过将空间元素间的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，为学生处理某些立体几何问题提供了的新视角。
借助空间向量这一工具，可以降低思维难度，增加了可操作性，从而减轻了学生负担，使他们对立体几何更容易产生兴趣。