等腰三角形经典拔高题(含答案)
等腰三角形典型例题练习(含答案)-2
等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析全等三角形的判定与性质；角平分线的定义. 14189444. 在△ABC中, AD是∠BAC的平分线, E、F分别为AB.AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°, 求证DE=DF.考点:考点：分析: 过D作DM⊥AB, 于M, DN⊥AC于N, 根据角平分线性质求出DN=DM, 根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD, 根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．解答: 证明: 过D作DM⊥AB, 于M, DN⊥AC于N,即∠EMD=∠FND=90°,∵AD平分∠BAC, DM⊥AB, DN⊥AC, ∴DM=DN（角平分线性质）, ∠DME=∠DNF=90°,∵∠EAF+∠EDF=180°, ∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°,∵∠AFD+∠NFD=180°, ∴∠MED=∠NFD,在△EMD和△FND中, ∴△EMD≌△FND, ∴DE=DF．，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF.，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5. 在△ABC中, ∠ABC.∠ACB的平分线相交于点O, 过点O作DE∥BC, 分别交AB.AC于点D.E. 请说明DE=BD+EC.考点: 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质. 1418944分析: 根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB, 和DE∥BC, 利用两直线平行, 内错角相等和等量代换, 求证出DB=DO, OE=EC．然后即可得出答案．解答: 解: ∵在△ABC中, OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠DBO=∠OBC, ∠ECO=∠OCB,∵DE∥BC, ∴∠DOB=∠OBC=∠DBO, ∠EOC=∠OCB=∠ECO,∴DB=DO, OE=EC, ∵DE=DO+OE, ∴DE=BD+EC．∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC.∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6. ＞已知: 如图, D是△ABC的BC边上的中点, DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别为E, F, 且DE=DF. 请判断△ABC是什么三角形？并说明理由.考点: 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质. 1418944分析: 用（HL）证明△EBD≌△FCD, 从而得出∠EBD=∠FCD, 即可证明△ABC是等腰三角形．解答: △ABC是等腰三角形.证明: 连接AD, ∵DE⊥AB, DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°, 且DE=DF,∵D是△ABC的BC边上的中点, ∴BD=DC,∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）, ∴∠EBD=∠FCD, ∴△ABC是等腰三角形．7. 如图, △ABC是等边三角形, BD是AC边上的高, 延长BC至E, 使CE=CD. 连接DE.（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点: 等边三角形的性质；等腰三角形的判定. 1418944分析: （1）由题意可推出∠ACB=60°, ∠E=∠CDE, 然后根据三角形外角的性质可知: ∠ACB=∠E+∠CDE, 即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知, BD不但为AC边上的高, 也是∠ABC的角平分线, 即得：∠DBC=30°, 然后再结合（1）中求得的结论, 即可推出△DBE是等腰三角形．（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形.（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得: ∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．解答: 解: （1）∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60°,∵CD=CE, ∴∠E=∠CDE, ∵∠ACB=∠E+∠CDE, ∴,（2）∵△ABC是等边三角形, BD⊥AC, ∴∠ABC=60°, ∴,∵∠E=30°, ∴∠DBC=∠E, ∴△DBE是等腰三角形．∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形.∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．8. 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, CD是AB边上的高, ∠A=30°. 求证: AB=4BD.考点: 含30度角的直角三角形. 1418944分析: 由△ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=30°可以推出AB=2BC, 同理可得BC=2BD, 则结论即可证明．解答: 解: ∵∠ACB=90°, ∠A=30°, ∴AB=2BC, ∠B=60°.又∵CD⊥AB, ∴∠DCB=30°, ∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD. ∴AB=2BC=4BD.又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．9. 如图, △ABC中, AB=AC, 点D.E分别在AB.AC的延长线上, 且BD=CE, DE与BC相交于点F. 求证: DF=EF.考点: 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 1418944分析: 过D点作DG∥AE交BC于G点, 由平行线的性质得∠1=∠2, ∠4=∠3, 再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2, 则∠B=∠1, 于是有DB=DG, 根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC, 即可得到结论．解答: 证明: 过D点作DG∥AE交BC于G点, 如图,∴∠1=∠2, ∠4=∠3,∵AB=AC, ∴∠B=∠2, ∴∠B=∠1, ∴DB=DG, 而BD=CE, ∴DG=CE,在△DFG和△EFC中, ∴△DFG≌△EFC, ∴DF=EF.10. 已知等腰直角三角形ABC, BC是斜边. ∠B的角平分线交AC于D, 过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证：BD=2CE.考点: 全等三角形的判定与性质. 1418944分析: 延长CE, BA交于一点F, 由已知条件可证得△BFE全≌△BEC, 所以FE=EC, 即CF=2CE, 再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD, 所以BD=2CE．解答: 证明: 如图, 分别延长CE, BA交于一点F.∵BE⊥EC, ∴∠FEB=∠CEB=90°, ∵BE平分∠ABC, ∴∠FBE=∠CBE,又∵BE=BE, ∴△BFE≌△BCE （ASA）. ∴FE=CE. ∴CF=2CE.∵AB=AC, ∠BAC=90°, ∠ABD+∠ADB=90°, ∠ADB=∠EDC, ∴∠ABD+∠EDC=90°.又∵∠DEC=90°, ∠EDC+∠ECD=90°, ∴∠FCA=∠DBC=∠ABD.∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB, ∴BD=2EC．11. （2012•牡丹江）如图①, △ABC中. AB=AC, P为底边BC上一点, PE⊥AB, PF⊥AC, CH⊥AB, 垂足分别为E、F、H. 易证PE+PF=CH. 证明过程如下:如图①, 连接AP.∵PE⊥AB, PF⊥AC, CH⊥AB, ∴S△ABP= AB•PE, S△ACP= AC•PF, S△ABC= AB•CH.又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC, ∴AB•PE+ AC•PF= AB•CH.∵AB=AC, ∴PE+PF=CH.（1）如图②, P为BC延长线上的点时, 其它条件不变, PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想, 并加以证明:（2）填空：若∠A=30°, △ABC的面积为49, 点P在直线BC上, 且P到直线AC的距离为PF, 当PF=3时, 则AB边上的高CH=7．点P到AB边的距离PE=4或10．考点: 等腰三角形的性质；三角形的面积. 1418944分析: （1）连接AP. 先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP, S△ACP, S△ABC, 再由S△ABP=S △ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH, 再由△ABC的面积为49, 求出CH=7, 由于CH＞PF, 则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点, 运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时, 运用结论PE=PF+CH．（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH.（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论: ①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．解答: 解: （1）如图②, PE=PF+CH. 证明如下:∵PE⊥AB, PF⊥AC, CH⊥AB, ∴S△ABP= AB•PE, S△ACP= AC•PF, S△ABC= AB•CH,∵S△ABP=S△ACP+S△ABC, ∴AB•PE= AC•PF+ AB•CH, 又∵AB=AC, ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中, ∠A=30°, ∴AC=2CH.∵S△ABC= AB•CH, AB=AC, ∴×2CH•CH=49, ∴CH=7．分两种情况:①P为底边BC上一点, 如图①.∵PE+PF=CH, ∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P为BC延长线上的点时, 如图②.∵PE=PF+CH, ∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12. 数学课上, 李老师出示了如下的题目:“在等边三角形ABC中, 点E在AB上, 点D在CB的延长线上, 且ED=EC, 如图, 试确定线段AE与DB的大小关系, 并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后, 进行了如下解答:（1）特殊情况, 探索结论当点E为AB的中点时, 如图1, 确定线段AE与DB的大小关系, 请你直接写出结论: AE=DB（填“＞”, “＜”或“=”）.（2）特例启发, 解答题目解: 题目中, AE与DB的大小关系是: AE=DB（填“＞”, “＜”或“=”）. 理由如下: 如图2, 过点E作EF∥BC, 交AC于点F. （请你完成以下解答过程）（3）拓展结论, 设计新题在等边三角形ABC中, 点E在直线AB上, 点D在直线BC上, 且ED=EC．若△ABC的边长为1, AE=2, 求CD的长（请你直接写出结果）．考点: 等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.1418944分析: （1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°, 求出∠DEB=30°, 求出BD=BE即可；（2）过E作EF∥BC交AC于F, 求出等边三角形AEF, 证△DEB和△ECF全等, 求出BD=EF即可；（3）当D在CB的延长线上, E在AB的延长线式时, 由（2）求出CD=3, 当E在BA的延长线上,D在BC的延长线上时, 求出CD=1．（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1.（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．解答: 解: （1）故答案为: =.（2）过E作EF∥BC交AC于F,∵等边三角形ABC, ∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°, AB=AC=BC,∴∠AEF=∠ABC=60°, ∠AFE=∠ACB=60°, 即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,∴△AEF是等边三角形, ∴AE=EF=AF,∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°, ∴∠DBE=∠EFC=120°, ∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°,∵DE=EC, ∴∠D=∠ECD, ∴∠BED=∠ECF,在△DEB和△ECF中, ∴△DEB≌△ECF, ∴BD=EF=AE, 即AE=BD, 故答案为: =.（3）解：CD=1或3,理由是: 分为两种情况: ①如图1过A作AM⊥BC于M, 过E作EN⊥BC于N, 则AM∥EM,∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC=1,∵AM⊥BC, ∴BM=CM= BC= , ∵DE=CE, EN⊥BC, ∴CD=2CN,∵AM∥EN, ∴△AMB∽△ENB, ∴= , ∴= ,∴BN= , ∴CN=1+ = , ∴CD=2CN=3；②如图2, 作AM⊥BC于M, 过E作EN⊥BC于N,则AM∥EM,∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC=1,∵AM⊥BC, ∴BM=CM= BC= , ∵DE=CE, EN⊥BC, ∴CD=2CN,∵AM∥EN, ∴= , ∴= , ∴MN=1, ∴CN=1﹣= , ∴CD=2CN=113. 已知: 如图, AF平分∠BAC, BC⊥AF于点E, 点D在AF上, ED=EA, 点P在CF上, 连接PB交AF于点M. 若∠BAC=2∠MPC, 请你判断∠F与∠MCD的数量关系, 并说明理由.考点: 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 1418944分析: 根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD, 推出∠CDA=∠CAD=∠CPM, 求出∠MPF=∠CDM, ∠PMF=∠BMA=∠CMD, 在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可．解答: 解: ∠F=∠MCD,理由是：∵AF平分∠BAC, BC⊥AF, ∴∠CAE=∠BAE, ∠AEC=∠AEB=90°,在△ACE和△ABE中∵, ∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC,∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线, ∴CM=BM, CE=BE, ∴∠CMA=∠BMA,∵AE=ED, CE⊥AD, ∴AC=CD, ∴∠CAD=∠CDA,∵∠BAC=2∠MPC, 又∵∠BAC=2∠CAD,∴∠MPC=∠CAD, ∴∠MPC=∠CDA, ∴∠MPF=∠CDM,∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等）,∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°, ∠F+∠MPF+∠PMF=180°,又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD, ∴∠MCD=∠F．又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F.又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．14. 如图, 已知△ABC是等边三角形, 点D.E分别在BC.AC边上, 且AE=CD, AD与BE相交于点F.（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论.（2）求∠BFD的度数.考点: 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质. 1418944分析: （1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°, AB=CA, 结合AE=CD, 可证明△ABE≌△CAD, 从而证得结论；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD, ∠ABE=∠CAD, 可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．解答: （1）证明: ∵△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠C=60°, AB=CA.在△ABE和△CAD中,∴△ABE≌△CAD∴AD=BE.（2）解: ∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,又∵△ABE≌△CAD, ∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD. ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．15. 如图, 在△ABC中, AB=BC, ∠ABC=90°, F为AB延长线上一点, 点E在BC上, BE=BF, 连接AE、EF和CF, 求证：AE=CF.考点: 全等三角形的判定与性质. 1418944分析: 根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF, 根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF．解答: 证明: ∵∠ABC=90°, ∴∠ABE=∠CBF=90°,又∵AB=BC, BE=BF, ∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）. ∴AE=CF.又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．16. 已知: 如图, 在△OAB中, ∠AOB=90°, OA=OB, 在△EOF中, ∠EOF=90°, OE=OF, 连接AE、BF. 问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由.考点: 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形. 1418944分析: 可以把要证明相等的线段AE, CF放到△AEO, △BFO中考虑全等的条件, 由两个等腰直角三角形得AO=BO, OE=OF, 再找夹角相等, 这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果, 当然相等了, 由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D, 交OA于C, 可证明∠BDA=∠AOB=90°, 则AE⊥BF．解答: 解: AE与BF相等且垂直,理由: 在△AEO与△BFO中,∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形, ∴AO=OB, OE=OF, ∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF,∴△AEO≌△BFO, ∴AE=BF.延长BF交AE于D, 交OA于C, 则∠ACD=∠BCO,由（1）知∠OAE=∠OBF, ∴∠BDA=∠AOB=90°, ∴AE⊥BF．17. （2006•郴州）如图, 在△ABC中, AB=AC, D是BC上任意一点, 过D分别向AB, AC引垂线, 垂足分别为E, F, CG是AB边上的高.（1）DE, DF, CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上, （1）中的结论还成立吗？若不成立, 又存在怎样的关系？请说明理由．考点: 等腰三角形的性质. 1418944分析: （1）连接AD, 根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积, 进行分析证明；（2）类似（1）的思路, 仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系. 即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积.（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答: 解: （1）DE+DF=CG.证明: 连接AD,则S△ABC=S△ABD+S△ACD, 即AB•CG= AB•DE+ AC•DF, ∵AB=AC, ∴CG=DE+DF．（2）当点D在BC延长线上时, （1）中的结论不成立, 但有DE﹣DF=CG.理由: 连接AD, 则S△ABD=S△ABC+S△ACD, 即AB•DE= AB•CG+ AC•DF∵AB=AC, ∴DE=CG+DF, 即DE﹣DF=CG.同理当D点在CB的延长线上时, 则有DE﹣DF=CG, 说明方法同上．18. 如图甲所示, 在△ABC中, AB=AC, 在底边BC上有任意一点P, 则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高）, 即PD+PE=CF, 若P点在BC的延长线上, 那么请你猜想PD.PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明.考点: 等腰三角形的性质；三角形的面积. 1418944分析: 猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB= AB•PD, S△PAC= AC•PE, S △CAB= AB•CF, S△PAC= AC•PE, AB•PD= AB•CF+ AC•PE, 即可求证．解答: 解: 我的猜想是: PD.PE、CF之间的关系为PD=PE+CF. 理由如下:连接AP, 则S△PAC+S△CAB=S△PAB,∵S△PAB= AB•PD, S△PAC= AC•PE, S△CAB= AB•CF,又∵AB=AC, ∴S△PAC= AB•PE, ∴AB•PD= AB•CF+ AB•PE,即AB（PE+CF）= AB•PD, ∴PD=PE+CF．即AB（PE+CF）= AB•PD，∴PD=PE+CF.即AB（PE+CF）=AB•PD，∴PD=PE+CF．。
八年级数学全等三角形证明拔高集训(经典)
八年级数学全等三角形证明拔高集训(经典)1.如图所示，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠BDE＝90，且AB＝CB，BD＝ED，连接AD并交BE于F，且AF＝DF，AD＝AB。
证明BE＝2CD。
2.在Rt△ABC中，∠BAC＝90，且AB＝AC。
点D和E 分别位于AC和CA的延长线上，且CD＝AE。
连接BD，过点A作AM⊥BD于M交BC于N，连接EN并延长交BD于F。
证明DF＝EF。
3.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90，点D在BC上，且AC＝DC。
连接AD，过点C作CE⊥___于E，点F在CE 的延长线上，连接DF。
若∠F＝45，证明AE＝EF。
4.如图所示，△ABC和△DAF都是等腰直角三角形，其中∠BAC＝∠DAF＝90，且AB＝AC，AD＝AF。
DF的延长线交BC于E，且∠AFC＝90.证明BE＝CE。
5.在Rt△ABC中，∠BAC＝90，且AB＝AC。
点E为AC 上一点，连接BE，过点A作AE⊥BE于H交BC于D。
点F也为AC上一点，且AE＝CF。
连接DF交BE于G，连接AG。
若AG平分∠CAD，证明AH＝AC。
6.如图所示，∠ACB＝∠CDE＝90，且AC＝BC，AB＝2CD＝2ED。
连接BD交CE于G，且GD＝GB。
F是AB的中点。
证明___。
7.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝BC。
AD、BE分别垂直于过点C的直线于D、E，延长BE至F。
连接CF，以CF为腰作等腰直角三角形GCF，使∠GCF＝90°，连接AG 交过点C的直线于H。
证明BF＝2CH。
8.在△ABC中，AD⊥BC于D，点E在BC上，且AB＝BE＝CD。
点F是AE的中点，连接CF并延长交AB于G。
若AD＝BD，证明BG＝BD。
9.在Rt△ABC中，∠ABC＝90，且AB＝CB。
点E、O分别为BC、AC的中点，连接AE。
过点B作BG⊥AE于G交AC于M，过点A作AH⊥GO交其延长线于H。
等腰三角形拔高题
一．填空题1．等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 ；如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 ；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是 . 2．线段是对称图形，它有_______条对称轴．3. 等腰三角形的一个内角为70º，它一腰上的高与底边所夹的度数为_________.4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，腰长为2 cm ，则其腰上的高为 cm ．5．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为60°，则它的两底长分别为____________．6．△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若∠BAC=115°， 则∠EAF=___________． 7. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，且0222=---++ca bc ab c b a ，则三角形为_______________三角形. 二．选择题1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．已知∠AOB＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是（ ）A ．含30°角的直角三角形；B ．等边三角形C ．顶角是30的等腰三角形；D ．等腰直角三角形.4．如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ） A ．45° B ．55° C ．60° D ．75°5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2，则此梯形较小的底角是( ) A ．45° B ．30° C ．60° D ．90°6. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）A 顶角B 顶角的一半C 顶角的2倍D 底角的一半PA E CB DAD E7.在中，B C，若的周长为24，则的取值范围（）（A）（B）（C）（D）8．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC ＝ 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（）A．13 B．14C．15 D．169．△ABC中，AB=AC ，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7 B．11 C．7或11 D．7或10A BC EF F EDCBA M FEPD C B A10.如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为( ) A.4 B.6C.8D.10三．解答题1. 如图，△ABC 中，点E 在AC 上，点F 在BC 上，在AB 上找一点N ，使△ENF的周长最小.2. 已知，如图，△ABC 的∠ABC 的平分线BD与∠ACB 的外角平分线交于D 点，DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，求证：EF = BE –CF 。
三角形拔高题1
三角形拔高题1 1、如图，∠1+∠2+∠3+∠4=（）A、180°B、360°C、480°D、540°2、如图，已知点P为△ABC三条内角平分线AD、BE、CF的交点，作DG⊥PC于G，则∠PDG 等于（）A．∠ABE B．∠DAC C．∠BCF D．∠CPE3、两本书按如图所示方式叠放在一起，则∠3+∠2+2∠1=（）A．3600 B．5400 C．7200 D．以上答案均不对4、如图，△ABC中，∠A=57°，BD、BE将∠ABC三等分，CD、CE将∠ACB三等分，则∠BDE=_______.EDCBAO 20°20°5、小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形．应该带（ ）A ．第1块B ．第2块C ．第3块D ．第4块6、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶2，则这个等腰三角形底角的度数为（ ）A ．72°B ．45°C ．45°或72°D ．60°7、如果一个等腰三角形一腰上的的高于另一腰的夹角为30°，则其顶角的度为 ．8、若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，则底角的度数为（ ）A ．67°50＇B ．67.5°C ．22.5°D ．22.5°或67.5°9、如图，已知一个五边形 ABCDE 纸片，一条直线将该纸片分割成两个多边形．若这两个多边形内角和分别为 m 和 n ，则 m ＋n 不可能是（ ）A ．540°B ．720°C ．900°D ．1080°10、如图，已知长方形ABCD ，一条直线将该矩形ABCD 分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M 和N ，则M ＋N 不可能是（ ）A ．360°B ．540°C ．720°D ．630°11、如图，小明从O 点出发，前进6米后向右转20°，再前进6米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O 时一共走了（ ）A ．72米B ． 108米C ． 144米D ．120米12、如图所示，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝ °D CB A13、一个 n 这形，其中 n －1 个内角的和为 1230°，则这个 n边形对角线的总条数为 条14、如图，正五边形ABCD ，BG 平分∠ABC ，DG 平分五边形的外角∠EDF ，则∠G 的度数为（ ）A ．36°B ．54° C．60° D ．72°15、如图，将锐角△ABC 沿 D H 、GF 、FE 翻折，三个顶点均落在点 O 处． 若∠1=85°，则 2 的度数为A ．75°B ．85°C ．90°D ．95°16、已知一个多边形的每一个内角都是156°，这个多边形的边数是___________17、如图①，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，且与△ABC 的外角∠ACE 的平分线交于点D 。
八年级数学等腰三角形拓展提高(轴对称)拔高练习(含答案)
八年级数学等腰三角形拓展提高（轴对称）拔高练习试卷简介:<p> 本卷共5小题，4道选择题，一道证明题。
满分100分，时间30分钟。
本卷立足基础，又有一定的难度，希望学生在牢固掌握基础知识的前提下学会灵活应用。
</p>学习建议:<p> 先将基础知识复习一遍，在做一些拓展题目，增加知识的灵活应用。
</p>一、单选题(共4道，每道20分)1.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（）A.30°B.40°C.45°D.36°答案：D解题思路：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C ∵BD=BC=AD，∴∠BDC=∠C，∠DBA=∠A ∵∠BDC=∠A+∠DBA ,∴∠ABC=∠C=2∠A ∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∴5∠A=180°∴∠A=36°。
易错点：等边对等角的多次应用和三角形外角的性质试题难度：二颗星知识点：等腰三角形的性质2.线段AB和CD互相垂直平分于O点，且OC= AB，顺次连结A、D、B、C，那么图中的等腰直角三角形共有( )A.4个B.6个C.8个D.10个答案：C解题思路：解：如图，∵AB、CD互相垂直平分，∴∠AOC=90°∵OC=AB，∴OC=CA，∴△AOC为等腰直角三角形。
同理，△AOD、△BOD、△BOC也是等腰直角三角形。
从而，∠1=∠2=45°。
∴∠CAD=90°∵AO垂直平分CD，∴△CAD是等腰直角三角形。
同理，△CBD、△ACB、△ADB也是等腰直角三角形。
∴共有8个等腰直角三角形。
易错点：三线合一性质的应用试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的判定与性质3.如图（4），△ABC中，∠BAC=100°，DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线，则∠DAE等于（）A.50°B.45°C.30°D.20°答案：D解题思路：解：如图，∵DF和EG分别为AB和AC的中垂线，∴DA=DB，EA=EC∴∠1=∠3，∠2=∠4∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠EAD=180°∴2∠1+2∠2+∠EAC=180°又∠1+∠2+∠EAC=100°∴∠1+∠2=180°-100°∴∠EAC=20°。
等腰三角形拔高训练(三套)
等腰三角形训练一1. 如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F是OC 上除点P 、O 外一点，连结DF 、EF ，则DF 与EF 的关系如何？证明你的结论。
2. 等边三角形△ABC 中，AD=CE,求∠BPC 的度数。
3. 如图，已知ABC ∆中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE=CE ，BD 交CE 于F ，21∠=∠。
求证：（1）BA=BC ；（2）BF=2AD4.如图,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,CE 与BD 相交于点M,BD 交AC 于点N ， 证明:（1）BD=CE. （2）BD ⊥CE.5.如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．6.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC •于点D ，•求证：•BC=3AD.7．如图，已知在△ABC中，AB = AC，∠A = 120°，DF垂直平分AB交AB于F，交BC于D，求证：BD =12 DC.8.在△ABC中，AB=AC, ∠A=120°,AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC 于N,交AC于F，求证：BM=MN=NC.9.如图:△ABC和△ADE是等边三角形，证明：BD=CE.10.如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE•都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH•的形状并说明理由．11.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=21BD．求证：BD是∠ABC的角平分线．等腰三角形训练二1.如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC，D为DC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．求证：AB垂直平分DF．2.如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC3．如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC•交AB于E，求证：AE=BE．4、已知，如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF 的交点，求证：△BCF≌△DCE5、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。
等腰三角形经典试题综合训练(含解析)
等腰三角形经典试题综合训练（含解析）一．选择题（共18小题）1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2．等腰三角形腰长为5，则其底边长a的取值范围为（）A．0＜a≤5 B．5≤a≤10 C．0＜a＜10 D．0＜a＜53．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°4．等腰三角形一腰上的高于另一腰的夹角为50°，那么这个三角形的顶角为（）A．40°B．100°C．140°D．40°或140°5．下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（）A．40°B．36°C．30°D．25°7．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE8．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC 于M、N，则△AMN的周长为（）A．12 B．4 C．8 D．不确定9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，对于下列结论：①AD⊥BC；②AE=AF；③AD上任意一点到AB，AC的距离相等；④AD上任意一点到点B，点C 的距离相等．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在三边上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点，则∠DGE 的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°11．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．2个B．3个C．4个D．无数个13．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°14．如图，在△ABC中，AB=AC=8，点D在BC上，DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE的周长是（）A．24 B．18 C．16 D．1215．如图，△ABC中，∠ABC=63°，点D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，且AB=AD=DE=EC，则∠C 的度数是（）A．21°B．19°C．18°D．17°16．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n﹣1（n＞2）的度数为（）A．B．C．D．17．如图钢架中，∠A=10°，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A=P1P2，则这样的钢条至多需要（）A．5根B．6根C．7根D．8根18．如图，已知△ABC是等腰三角形，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上的一个动点（不与A、B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF的值为（）A．3 B．4 C．D．二．填空题（共8小题）19．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A=度．20．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=度．21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b 的代数式表示△ABC的周长为．22．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且AB=BD，AD=DC，则∠C=度．23．如图，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠BED=°．24．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是．25．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm 每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为时，△ACP是等腰三角形．26．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N 构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．三．解答题（共9小题）27．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=42°，求∠BED的度数．28．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．求证：OE=OF．29．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．（1）求证：∠CBE=∠BAD；（2）当△ABC满足什么条件时，AE=CE．直接写出条件．30．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．31．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF．32．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．33．如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题；如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．34．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PE∥AB 交BC于点D，交AC于点F．（1）若点P在BC上（如图一），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF AB（填“＞”“＜”或“=”）（2）当点P在△ABC内（如图二）时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出你的猜想，不需要证明．35．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？等腰三角形综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故选A．2．等腰三角形腰长为5，则其底边长a的取值范围为（）A．0＜a≤5 B．5≤a≤10 C．0＜a＜10 D．0＜a＜5【分析】由已知条件腰长是5，底边长为a，根据三角形三边关系列出不等式，通过解不等式即可得到答案．【解答】解：根据三边关系可知：5﹣5＜a＜5+5，即0＜a＜10．故选C．3．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．【解答】解：①当顶角是80°时，它的底角=（180°﹣80°）=50°；②底角是80°．所以底角是50°或80°．故选C．4．等腰三角形一腰上的高于另一腰的夹角为50°，那么这个三角形的顶角为（）A．40°B．100°C．140°D．40°或140°【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD=50°，∴顶角∠A=90°﹣50°=40°；如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD=50°，∴顶角∠BAC=50°+90°=140°，综上所述，顶角等于40°或140°．故答案为：40°或140°．5．下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】认真阅读每一问题给出的已知条件，根据等腰三角形的概念、性质判断正误．【解答】解：①等腰三角形的两腰相等，正确；②等腰三角形的两底角相等，正确；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等，正确；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴就是底边上的高所在的直线，正确．故选D．6．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（）A．40°B．36°C．30°D．25°【分析】根据AB=AC可得∠B=∠C，CD=DA可得∠ADB=2∠C=2∠B，BA=BD，可得∠BDA=∠BAD=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CD=DA，∴∠C=∠DAC，∵BA=BD，∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，故选B．7．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，故选C．8．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC 于M、N，则△AMN的周长为（）A．12 B．4 C．8 D．不确定【分析】根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠BEM，∠BCE=∠CEN，然后求出∠ABE=∠BEM，∠ACE=∠CEN，根据等角对等边可得BM=ME，CN=NE，然后求出△AMN的周长=AB+AC．【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠CBE=∠BEM，∠BCE=∠CEN，∴∠ABE=∠BEM，∠ACE=∠CEN，∴BM=ME，CN=NE，∴△AMN的周长=AM+ME+AN+NE=AB+AC，∵AB=AC=4，∴△AMN的周长=4+4=8．故选C．9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，对于下列结论：①AD⊥BC；②AE=AF；③AD上任意一点到AB，AC的距离相等；④AD上任意一点到点B，点C 的距离相等．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先根据角平分线的性质可得AD上任意一点到AB，AC的距离相等，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据全等三角形的性质得到AE=AF，根据线段垂直平分线的性质得到AD上任意一点到点B，点C的距离相等．【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，AD上任意一点到AB，AC的距离相等，故①③正确；∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△ADE与Rt△AFD中，∴Rt△ADE≌Rt△AFD，∴AE=AF；故②正确；∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BD，∴AD上任意一点到点B，点C的距离相等，故④正确；故选D．10．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在三边上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点，则∠DGE 的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【分析】首先连接DE，DF，由AB=AC，可得∠B=∠C，又由BE=CD，BD=CF，利用SAS可判定△BDE≌△CFD，即可得DE=DF，然后由三线合一的性质，证得DG⊥EF，继而求得答案．【解答】解：连接DE，DF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴DE=DF，∵G为EF的中点，∴DG⊥EF，即∠DGE=90°．故选C．11．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB=AB时，②当OA=AB时，③当OA=OB时，分别求得符合的点B，即可得解．【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；②当OA=AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；③当OA=OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，1+1+2=4，故选：D．12．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．2个B．3个C．4个D．无数个【分析】如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等边三角形，由此即可对称结论．【解答】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN，在△PEM和△PON中，，∴△PEM≌△PON．∴PM=PN，∵∠MPN=60°，∴△PNM是等边三角形，∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个，故选D13．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．14．如图，在△ABC中，AB=AC=8，点D在BC上，DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE的周长是（）A．24 B．18 C．16 D．12【分析】因为AB=AC，所以△ABC为等腰三角形，由DE∥AB，可证△CDE为等腰三角形，同理△BDF也为等腰三角形，根据腰长相等，将线段长转化，求周长．【解答】解：∵AB=AC=15，∴∠B=∠C，由DF∥AC，得∠FDB=∠C=∠B，∴FD=FB，同理，得DE=EC．∴四边形AFDE的周长=AF+AE+FD+DE=AF+FB+AE+EC=AB+AC=8+8=16．故四边形AFDE的周长是16．故选C．15．如图，△ABC中，∠ABC=63°，点D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，且AB=AD=DE=EC，则∠C 的度数是（）A．21°B．19°C．18°D．17°【分析】设∠C=x．由DE=EC，根据等边对等角得出∠C=∠EDC=x，根据三角形外角的性质得出∠AED=∠C+∠EDC=2x．同理表示出∠ADB=∠ABC=3x，则3x=63°，求出x即可．【解答】解：设∠C=x．∵DE=EC，∴∠C=∠EDC=x，∴∠AED=∠C+∠EDC=2x．∵AD=DE，∴∠AED=∠DAE=2x，∴∠ADB=∠DAE+∠C=3x．∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABC=3x，∴3x=63°，∴x=21°．故选A．16．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n﹣1（n＞2）的度数为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1A2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度数，找出规律即可得出∠A n﹣1A n B n﹣1的度数．【解答】解：∵在△ABA1中，∠A=70°，AB=A1B，∴∠BA1A=70°，∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1==35°；同理可得，∠B2A3A2=17.5°，∠B3A4A3=×17.5°=，∴∠A n﹣1A n B n﹣1=．故选：C．17．如图钢架中，∠A=10°，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A=P1P2，则这样的钢条至多需要（）A．5根B．6根C．7根D．8根【分析】由于焊上的钢条长度相等，并且AP1=P1P2，所以∠A=∠P1P2A，则可算出∠P2P1P3的度数，并且和∠P1P3P2度数相等，根据平角的度数为180度和三角形内角和为180度，结合等腰三角形底角度数不大于90度即可求出最多能焊上的钢条数．【解答】解：如图：∵∠A=∠P1P2A=10°，∴∠P2P1P3=20°，∠P1P3P2=20°，∴∠P1P2P3=140°，∴∠P3P2P4=30°∴∠P3P4P2=30°∴∠P2P3P4=120°∴∠P4P3P5=40°∴∠P3P5P4=40°∴∠P3P4P5=100°∴∠P5P4P6=50°∴∠P4P6P5=50°∴∠P4P5P6=80°∴∠P6P5P7=60°，∴∠P6P7P5=60°，∴∠P5P6P7=60°，∴∠P8P6P7=70°，∴∠P6P8P7=70°，∴∠P6P7P8=40°，∴∠P8P7P9=80°，∴∠P7P9P8=80°，∴∠P9P8P7=20°，∴∠P9P8C=90°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上8条．故选D．18．如图，已知△ABC是等腰三角形，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上的一个动点（不与A、B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF的值为（）A．3 B．4 C．D．【分析】连接AD，过点C作CE⊥AB于点E，根据勾股定理求出CE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：连接AD，过点C作CE⊥AB于点E，∵AC=BC=5，AB=8，∴AE=4，∴CE==3，∴S△ABC=AB•CE=×8×3=12．∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴S△ABC=S△ACD+S△BDC=AC•DE+BC•DF=×5×（DE+DF）=12，∴DE+DF=．二．填空题（共8小题）19．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A=75度．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=30°，∴∠A=（180°﹣30°）=75°，故答案为：75．20．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=55度．【分析】首先求出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠A，从而利用四边形内角和定理求出∠EDF．【解答】解：∵∠AFD=145°，∴∠CFD=35°又∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E ∴∠C=180°﹣（∠CFD+∠FDC）=55°∵AB=AC ∴∠B=∠C=55°，∴∠A=70°根据四边形内角和为360°可得：∠EDF=360°﹣（∠AED+∠AFD+∠A）=55°∴∠EDF为55°．故填55．21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b 的代数式表示△ABC的周长为2a+3b．【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；【解答】解：∵AB=AC，BE=a，AE=b，∴AC=AB=a+b，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE=b，∴∠ECA=∠BAC=36°，∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，∴CE=BC=b，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b 故答案为：2a+3b．22．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且AB=BD，AD=DC，则∠C=36度．【分析】根据已知题目中所给的等量关系，用一个角分别表示出其他的角，利用三角形内角和等于180°，便可得出∠C的度数．【解答】解：由题意知，在△ABC中，AB=AC，所以∠B=∠C，又AB=BD，AD=DC，所以∠C=∠DAC，∠BAD=∠BDA=2∠C，由三角形内角和为180°可得，∠C+∠C+3∠C=180°，得∠C=36°．故填36．23．如图，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠BED=80°．【分析】先利用SSS证明△ABD≌△EBD，再根据全等三角形对应角相等即可求出∠BED．【解答】解：在△ABD与△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴∠BED=∠A=80°．故答案为80．24．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是cm2．【分析】过点P作PE⊥BP，垂足为P，交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP=∠EBP，结合BP=BP 以及∠APB=∠EPB=90°即可证出△ABP≌△EBP（ASA），进而可得出AP=EP，根据三角形的面积即可得出S=S EPC，再根据S△PBC=S△BPE+S EPC=S△ABC即可得出结论．△APC【解答】解：过点P作PE⊥BP，垂足为P，交BC于点E，如图所示．∵AP垂直∠B的平分线BP于点P，∴∠ABP=∠EBP．在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=EP．∵△APC和△EPC等底同高，∴S△APC=S EPC，∴S△PBC=S△BPE+S EPC=S△ABC=cm2．故答案为：cm2．25．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm 每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为3或6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．【分析】由于没有说明哪一条边是腰，故需要分情况讨论．【解答】解：∵AC=6，BC=8，∴由勾股定理可知：AB=10，当点P在CB上运动时，由于∠ACP=90°，∴只能有AC=CP，如图1，∴CP=6，∴t==3，当点P在AB上运动时，①AC=AP时，如图2，∴AP=6，PB=AB﹣CP=10﹣6=4，∴t==6，②当AP=CP时，如图3，此时点P在线段AC的垂直平分线上，过点P作PD⊥AC于点D，∴CD=AC=3，PD是△ACB的中位线，∴PD=BC=4，∴由勾股定理可知：AP=5，∴PB=5，∴t==6.5；③AC=PC时，如图4，过点C作CF⊥AB于点F，∴cos∠A==，∴AF=3.6，∴AP=2AF=7.2，∴PB=10﹣7.2=2.8，∴t==5.4；综上所述，当t为3或6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．故答案为：3或6或6.5或5.4．26．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N 构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x=0或x=4﹣4或4＜x＜4．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．三．解答题（共9小题）27．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=42°，求∠BED的度数．【分析】已知AE平分∠BAC，ED∥AC，根据两直线平行同旁内角互补，可求得∠DEA的度数，再由三角形外角和为360°求得∠BED度数．【解答】解：∵BE⊥AE∴∠AEB=90°∵AE平分∠BAC∴∠CAE=∠BAE=42°又∵ED∥AC∴∠AED=180°﹣∠CAE=180°﹣42°=138°∴∠BED=360°﹣∠AEB﹣∠AED=132°28．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．求证：OE=OF．【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案．【解答】证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF．29．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．（1）求证：∠CBE=∠BAD；（2）当△ABC满足什么条件时，AE=CE．直接写出条件．【分析】（1）根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．（2）根据等边三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．（2）当△ABC满足是等边三角形的条件时，AE=CE．30．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．【分析】（1）线段BC的中垂线可以直接作出的，不需要附带“过点A作”；（2）根据已知条件利用AAS可证△ABD≌△ACD，得出AB=AC．【解答】（1）解：作辅助线不能同时满足两个条件；（2）证明：作△ABC的角平分线AD．∴∠BAD=∠CAD，在△ABD与△ACD中，∵，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB=AC．31．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF．【分析】首先过点D作DM∥AC交BC于M，易证得△DMF≌△ECF，继而证得DF=EF．【解答】证明：过点D作DM∥AC交BC于M，∴∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DMB，∴BD=MD，∵BD=CE，∴MD=CE，在△DMF和△ECF中，，∴△DMF≌△ECF（AAS），∴DF=EF．32．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=25°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出∠BAD，根据点D的运动方向可判定∠BDA的变化情况．（2）假设△ABD≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等得出AB=DC=2，即可求得答案．（3）假设△ADE是等腰三角形，分为三种情况：①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA=DE时，求出∠DAE=∠DEA=70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA=ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．【解答】解：（1）∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠BDA=180°﹣40°﹣115°=25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．（2）当△ABD≌△DCE时．DC=AB，∵AB=2，∴DC=2，∴当DC等于2时，△ABD≌△DCE；（3）∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°﹣40°）=70°，∵∠BAC=180°﹣40°﹣40°=100°，∴∠BAD=100°﹣70°=30°；∴∠BDA=180°﹣30°﹣40°=110°；③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，∴∠BAD=100°﹣40°=60°，∴∠BDA=180°﹣60°﹣40°=80°；∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．33．如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题；如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．【分析】先根据AB=AC，∠A=108°，求得∠C=36°，再过点A作∠DAC=36°，则△ACD和△ABD均为等腰三角形．【解答】解：如图2所示，由AB=AC，∠A=108°，可知∠C=36°，过点A在∠BAC内部作射线AD，使得∠DAC=36°，则△ABD中，∠BAD=72°，∠ADB=72°，△ACD中，∠DAC=∠C=36°，故△ACD和△ABD均为等腰三角形，故射线AD即为所求．34．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PE∥AB 交BC于点D，交AC于点F．（1）若点P在BC上（如图一），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB（填“＞”“＜”或“=”）（2）当点P在△ABC内（如图二）时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出你的猜想，不需要证明．【分析】（1）先求出四边形PFAE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PF=AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠BPE=∠C，然后求出∠B=∠BPE，利用等角对等边求出PE=BE，然后求解即可；（2）根据平行四边形的判定得出四边形AEPF为平行四边形，根据平行四边形的性质，平行线的性质即可得证．【解答】解：（1）答：PD+PE+PF=AB．证明如下：∵点P在BC上，∴PD=0，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形PFAE是平行四边形，∴PF=AE，∵PE∥AC，∴∠BPE=∠C，∴∠B=∠BPE，∴PE=BE，∴PE+PF=BE+AE=AB，∵PD=0，∴PD+PE+PF=AB；（2）当点P在△ABC内时，结论PD+PE+PF=AB仍然成立．证明：∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF为平行四边形，∴PE∥AF ∵PF∥AB，∴∠FDC=∠B，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠FDC=∠C，∴DF=CF，∴DF+PE=CF+AF，即DF+PE=AC，又∵DF=PD+PF，AC=AB，∴PD+PF+PE=AB，即上述结论成立．35．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？【分析】（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；（2）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（3）类似（2）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，理由如下：∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（3）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．。
中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为( )A.12B.9C.12或9D.9或72.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°3.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为( )A.36°B.60°C.72°D.108°4.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝( )A.10°B.15°C.20°D.25°5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为( )A.BD＝CEB.AD＝AEC.DA＝DED.BE＝CD6.等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是( )A.有一个内角是60°B.有一个外角是120°C.有两个角相等D.腰与底边相等7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A.60°B.90°C.120°D.150°8.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A.(1，1)B.(3，1)C.(3，3)D.(1，3)9.如图，△ABC中∠A=30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B为( )A.75°B.76°C.77°D.78°10.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为( )A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.12 cm二、填空题11.等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．12.如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝3，AE＝4，则AC＝.13.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为.14.如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝________.15.已知一张三角形纸片ABC(如图甲)，其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙)．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为．16.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(蜨，同“蝶”)，如图为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件(大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形)，已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP.若∠ADQ＝25°，则∠DCP的度数为.三、解答题17.如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，求∠B的度数.18.如图，△ABC中，AC＝BC，点D在BC上，作∠ADF＝∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F.（1）求证：CF∥AB；（2）若∠CAD＝20°，求∠CFD的度数.19.如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.(1)求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数.20.如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°.(1)若∠1＝50°，求∠2；(2)连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3.21.如图，在△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB于点D，CD＝BD，BE平分∠ABC，点H是BC 边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．(1)求证：△ADC≌△FDB；(2)求证：CE＝12BF；(3)判断△ECG的形状，并证明你的结论；22.如图，已知在等边三角形ABC中，点D、E分别在直线AB、直线AC上，且AE＝BD．(1)当点D、E分别在边AC、边AB上时，如图1所示，EB与CD相交于点G，求∠CGE 的度数；(2)当点D、E分别在边CA、边AB的延长线上时，如图2所示，∠CGE的度数是否变化？如不变，请说明理由．如变化，请求出∠CGE的度数．答案1.A2.D3.C4.C.5.C6.C7.A8.D9.D10.C.11.答案为：100°.12.答案为：7.13.答案为：40°.14.答案为：75°15.答案为：72°.16.答案为：20°.17.解：∵AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°∴∠CAD＝(180°﹣100°)÷2＝40°∵∠CDB是△ACD的外角∴∠CDB＝∠A＋∠ACD＝100°＝40°＋100°＝140°∵DC＝DB∴∠B＝(180°﹣140°)÷2＝20°.18.（1）证明：∵AC＝BC∴∠B＝∠BAC∵∠ACE＝∠B+∠BAC∴∠BAC＝12∠ACE∵CF平分∠ACE∴∠ACF＝∠ECF＝12∠ACE∴∠BAC ＝∠ACF∴CF ∥AB ；（2）解：∵∠BAC ＝∠ACF ，∠B ＝∠BAC ，∠ADF ＝∠B ∴∠ACF ＝∠ADF∵∠ADF+∠CAD+∠AGD ＝180°，∠ACF+∠F+∠CGF ＝180° 又∵∠AGD ＝∠CGF∴∠F ＝∠CAD ＝20°.19.证明：(1)∵△ABC 是等边三角形∴AB ＝BC ，∠ABE ＋∠EBC ＝60°.∵△BEF 是等边三角形∴EB ＝BF ，∠CBF ＋∠EBC ＝60°.∴∠ABE ＝∠CBF.在△ABE 和△CBF 中⎩⎨⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBF EB ＝BF ，∴△ABE ≌△CBF(SAS).∴AE ＝CF.(2)∵等边△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线∴∠BAE ＝30°，∠ACB ＝60°.∵△ABE ≌△CBF∴∠BCF ＝∠BAE ＝30°.∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝30°＋60°＝90°.20.解：(1)∵△ABC 是等边三角形∴∠B ＝∠A ＝∠C ＝60°∵∠B ＋∠1＋∠DEB ＝180°∠DEB ＋∠DEF ＋∠2＝180°∵∠DEF ＝60°∴∠1＋∠DEB ＝∠2＋∠DEB∴∠2＝∠1＝50°；(2)连接DF∵DF∥BC∴∠FDE＝∠DEB∵∠B＋∠1＋∠DEB＝180°，∠FDE＋∠3＋∠DEF＝180°∵∠B＝60°，∠DEF＝60°∴∠1＝∠3.21.证明：(1)∵AB＝BC，BE平分∠ABC∴BE⊥AC，CE＝AE∵CD⊥AB∴∠ACD＝∠DBF在△ADC和△FDB中∴△ADC≌△FDB(ASA)；(2)∵△ADC≌△FDB∴AC＝BF又∵CE＝AE∴CE＝12BF；(3)△ECG为等腰直角三角形．∵点H是BC边的中点∴GH垂直平分BC∴GC＝GB∵∠DBF＝∠GBC＝∠GCB＝∠ECF，得∠ECG＝45°又∵BE⊥AC∴△ECG为等腰直角三角形.22.(1)证明：∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°在△ABE和△BCD中AE＝BD,∠A＝∠DBC,AB＝BC∴△ABE≌△BCD∴∠ABE＝∠BCD∵∠ABE＋∠CBG＝60°∴∠BDG＋∠CBG＝60°∵∠CGE＝∠BCG＋∠CBG∴∠CGE＝60°；(2)证明：∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°∴∠EAB＝∠CBD＝120°在△ABE和△BCD中AB＝BC,∠EAB＝∠CBD,AE＝BD∴△ABE≌△BCD(SAS)∴∠D＝∠E∵∠ABE＝∠DBG，∠CAB＝∠E＋ABE＝60°∴∠CGE＝∠D＋∠DBG＝60°．。
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等腰三角形练习题
一、计算题：
1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB
求∠A 的度数
2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数
3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数
4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数
5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数
6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若
BE=AC,BD=2
1
,DE+BC=1,
求∠ABC 的度数
C
C
B
7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD
求∠B ：∠C 的值
二、证明题：
8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交
BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE
9. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系
10. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC
11. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC,
求证：BC=BD+AD
12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60°
求证：CD=AB-BD
C
B A D E P A B
C
D A
D
F E O
A B C D E C
A B
C
D
13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线 求证：CD=2
1
CE
14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED
15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G
求证：EG=FG
16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点
求证：AF=FC
17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BD
A B
D
F E C B
D
C A B
D E
1 2 F
18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30° 求证：AD=DC
19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED
20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FH
C D
A
B
D C
E
F
等腰三角形练习题
A
一、计算题：
C E F
F
C D F
20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FH
延长EH 交AF 于点G 由∠BAD+∠BCD=180°,
∠DCF+∠BCD=180° 得∠BAD=∠DCF,
由外角定理,得∠1=∠2, 故△FGM 是等腰三角形 由三线合一,得EH ⊥FH
A
B
D
C
E
F
H
G 1
2。