人教版初三数学上册《二次函数与一元二次方程》教案
22．2 二次函数与一元二次方程
1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系．
2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．
3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．
一、情境导入
如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数与一元二次方程
【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断
下列函数的图象与x只有一个交点的是( )
A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1
解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，故选D.
【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴
如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．
解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x ＝2.
方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围
若函数y ＝mx 2
＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( )
A ．0
B ．0或2
C ．2或－2
D ．0，2或－2
解析：若m ≠0，二次函数与x 轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式
为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x 轴也有一个交点．由(m ＋2)2
－4m (12m
＋1)＝0，解得m ＝2或－2，当m ＝0时原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点，所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点．
方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当b
2
－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点；当b 2
－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点．
【类型四】利用抛物线与x 轴交点坐标确定一元二次方程的解
小兰画了一个函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象如图，则关于x 的方程x 2
＋ax ＋b ＝0的解
是( )
A ．无解
B ．x ＝1
C ．x ＝－4
D ．x ＝－1或x ＝4
解析：∵二次函数y ＝x 2
＋ax ＋b 的图象与x 轴交于(－1，0)和(4，0)，即当x ＝－1或4时，x 2＋ax ＋b ＝0，∴关于x 的方程x 2
＋ax ＋b ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝4，故选D.
方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解．
探究点二：二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 中的不等关系 【类型一】利用抛物线解一元二次不等式
抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)如图所示，则关于x 的不等式ax 2
＋bx ＋c ＞0的解集
是( )
A ．x ＜2
B ．x ＞－3
C ．－3＜x ＜1
D ．x ＜－3或x ＞1
解析：观察图象，可知当－3＜x ＜1时，抛物线在x 轴上方，此时y ＞0，即ax 2
＋bx ＋c
＞0，∴关于x 的不等式ax 2
＋bx ＋c ＞0的解集是－3＜x ＜1.故选C.
方法总结：抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．
【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是( )
A．x＜－1
B ．x＞3
C．－1＜x＜3
D．x＜－1或x＞3
解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x＞3.故选D.
方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系.。
人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》说课稿
人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》说课稿一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级数学上册第22章的第2节，这一节内容是在学生已经学习了函数、方程等基础知识的基础上进行讲解的。
二次函数和一元二次方程是中学数学中的重要内容，也是高考的必考内容。
本节内容主要介绍了二次函数的定义、性质以及一元二次方程的解法。
通过本节内容的学习，使学生能够掌握二次函数和一元二次方程的基本概念和性质，能够运用一元二次方程解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于函数、方程等概念已经有了初步的认识。
但是，对于二次函数和一元二次方程的性质和应用可能还不是很清楚。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，引导学生理解和掌握二次函数和一元二次方程的概念和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解二次函数的定义和性质，掌握一元二次方程的解法，能够运用二次函数和一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，培养学生的动手能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的定义和性质，一元二次方程的解法。
2.教学难点：二次函数和一元二次方程的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学模具、实物模型等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入二次函数和一元二次方程的概念。
2.讲解：讲解二次函数的定义和性质，演示一元二次方程的解法。
3.实践：让学生动手操作，进行实验和探究，加深对二次函数和一元二次方程的理解。
4.应用：通过解决实际问题，运用二次函数和一元二次方程的知识。
5.总结：对本节内容进行总结，强化学生的记忆。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出二次函数和一元二次方程的概念和性质。
二次函数与一元二次方程教案人教版九年级数学上册
教学重点：探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况。
教学难点：函数方程x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.
即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
5.一般地，从二次函数
y=ax2+bx+c的
图象可知：如果抛物线y=与x轴有公共点（x0，0），那么x0就是方程
ax2+bx+c=0的
一个根。
抛物线与x轴的三种位置关系：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。
这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。
环节3
当堂练习
1.若抛物线
26
y x x m
=-+与x轴1.学生独立完成。
2.小组交流讨论
1.展示学生实
践结果。
预设：部分
学生在做的
过程中遇到。
222二次函数与一元二次方程(教学设计)九年级数学上册(人教版)
22.2 二次函数与一元二次方程教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函数”22.2 二次函数与一元二次方程，内容包括：二次函数与一元二次方程的联系．2.内容解析解一元二次方程ax2+bx+c=0可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的值为0，求自变量的值．从图象上看，如果二次函数的图象与x轴有公共点，当自变量取公共点的横坐标时，函数的值为0.由此可求出相应的一元二次方程的根.当二次函数的图象与x轴有两个公共点时，相应的一元二次方程有两个不等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个公共点时，相应的一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与x 轴没有公共点时，相应的一元二次方程没有实数根．通过探究二次函数与一元二次方程的联系，进而掌握利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的方法。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次函数与一元二次方程的联系．二、目标和目标解析1.目标1) 理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
2）通过图象理解二次函数与一元二次方程联系的过程中，体会综合运用函数解析式和函数图象的数形结合思想。
2.目标解析达成目标1）的标志是：学生能够利用二次函数的图象，通过观察与x轴交点的横坐标，确定一元二次方程的近似解．达成目标2）的标志是：在探索二次函数与一元二次方程联系的过程中，理解二次函数与x轴的公共点个数与对应的一元二次方程的实数根的数量关系．三、教学问题诊断分析探究二次函数与一元二次方程的联系的过程与函数和一元一次方程的探究过程一致，但二次函数与x 轴公共点的个数共有三种情况.需学生理解当二次函数图象与x轴有公共点时，公共点的横坐标就是相应的一元二次方程的根.基于以上分析，本节课的教学难点是：用数形结合的思想探究二次函数与一元二次方程的联系．四、教学过程设计（一）探究新知以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .[问题一]球的飞行高度能否达到15 m? 若能，需要多少时间？[问题二]球的飞行高度能否达到20 m? 若能，需要多少时间？[问题三]结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？[问题四]球的飞行高度能否达到20.5 m? 若能，需要多少时间？[问题五]球从飞出到落地要用多少时间？[问题六]结合此问题，你发现二次函数与一元二次方程的联系.师生活动：教师提出问题，学生积极回答问题。
2022年人教版九年级数学上册第二十二章二次函数教案 二次函数与一元二次方程
22.2 二次函数与一元二次方程一、教学目标【知识与技能】了解二次函数与一元二次方程之间的联系,掌握二次函数图象与x轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式进行判别,了解用图象法确定一元二次方程的近似解的方法.【过程与方法】通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系,体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法.【情感态度与价值观】进一步增强学生的数形结合思想方法,增强学生的综合解题能力.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的联系,利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【教学难点】一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程（一）导入新课出示课件2:以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h（单位:m ）与飞行时间t（单位:s）之间具有函数关系h=20t-5t2．（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能,需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如能,需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？（二）探索新知探究一二次函数与一元二次方程的关系出示课件5:⑴小球的飞行高度能否达到15m？如果能,需要多少飞行时间？学生板演:解:15=20t-5t2,t2-4t+3=0,解得t1=1,t2=3.∴当球飞行1s或3s时,它的高度为15m.教师问:你能结合图形,指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？学生独立思考.出示课件6:（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能,需要多少飞行时间？学生板演:解:20=20t-5t2,t2-4t+4=0,解得t1=t2=2.故当球飞行2秒时,它的高度为20米.教师问:你能结合图形,指出为什么只在一个时间球的高度为20m？学生独立思考.出示课件7:（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能,需要多少飞行时间？学生板演:解:20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5米.教师问:你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?学生独立思考.出示课件8:（4）球从飞出到落地要用多少时间？学生板演:解:小球飞出时和落地时的高度均为0m,0=20t-5t2,t2-4t=0,解得t1=0,t2=4.当球飞行0秒和4秒时,它的高度为0米.即0秒时球地面飞出,4秒时球落回地面.教师问:从上面发现,二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?（出示课件9）学生答:一般地,当y取定值且a≠0时,二次函数为一元二次方程.教师举例说明:二次函数与一元二次方程关系．（出示课件10）例如,已知二次函数y=－x2＋4x的值为3,求自变量x的值,可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来,解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3 的值为0,求自变量x的值．出示课件12:例已知二次函数:y=2x2-3x-4的函数值为1,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程.反之,解一元二次方程2x2-3x-5=0,又可以看作已知二次函数的函数值为0时自变量x的值.学生答:2x2-3x-4=1；y=2x2-3x-5解之得:x1=-1,x2=2.5出示课件13:练一练:1.二次函数y=x2-3x+2,当x=1时,y= ;当y=0时,x= .2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为;与x轴的交点坐标为.学生自主思考后口答:1.0；1或22.(0,-1)；(0.5,0)和（-0.5,0）探究二:利用二次函数与x轴的交点讨论一元二次方程的根的情况教师问:观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有,公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（出示课件14）（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.学生自主思考后,教师加以指导:先画出函数图象---图象与x轴交点横坐标是多少--对应一元二次方程的根是多少.（出示课件15）教师问:由上述问题,你可以得到什么结论呢？（出示课件16）学生思考后,师生共同总结:方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x 轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时,对应的方程无实数根.反过来,由一元二次方程的根的情况,也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系.出示课件19:观察图象,完成下表:生观察后,独立完成表格.答案:0个；无；x2-x+1=0无解1个；3；x2-6x+9=0,x1=x2=32个；-2,1；x2+x-2=0,x1=-2,x2=1师生共同总结:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系（出示课件20）出示课件21:例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证:此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值．师生共同解决如下:解:(1)证明:∵m≠0,∴Δ＝[-(m＋2)]2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0,∴Δ≥0,因此抛物线与x轴总有两个交点；（2）令y=0,则（x-1）（mx-2）=0,即x-1=0或mx-2=0,解得x1=1,x2=2.当mm为正整数1或2时,x2的值为整数,因为当m为2时,Δ=0,抛物线与x轴只有一个交点,所以正整数m的值为1.出示课件22:已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点,则k的取值范围是．学生自主解决.221=0kx x +-函数与轴有两个交点，即有两个不相等的实数根x20024(101)00.k k k k k ∴∆>≠-⨯->≠>-≠且，即且则且，出示课件23-26:例2 如图,丁丁在扔铅球时,铅球沿抛物线268-10105x y x =++运行,其中x 是铅球离初始位置的水平距离,y 是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m 时,它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m,它离初始位置的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达到3m ？为什么？学生自主思考后,师生共同解决.解:⑴由抛物线的表达式得2682.1-,10105x x =++即2650.x x -+= 解得12=1=5.x x ，即当铅球离地面的高度为2.1m 时,它离初始位置的水平距离是1m 或5m.⑵由抛物线的表达式得2682.5-,10105x x =++即2690x x -+=. 解得x 1=x 2=3.即当铅球离地面的高度为2.5m 时,它离初始位置的水平距离是3m.⑶由抛物线的表达式得2683-,10105x x =++即26140.x x -+=因为2=-6-41140∆⨯⨯<（），所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.出示课件28:如图设水管AB 的高出地面2.5m,在B 处有一自动旋转的喷水头,喷出的水呈抛物线状,可用二次函数y=-0.5x 2+2x+2.5描述,在所示的直角坐标系中,求水流的落地点D 到A 的距离是多少？教师分析:根据图象可知,水流的落地点D 的纵坐标为0,横坐标即为落地点D 到A 的距离.即y=0 .学生独立解答:根据题意得 -0.5x 2+2x+2.5=0, 解得x 1=5,x 2=-1(不合题意舍去). 答:水流的落地点D 到A 的距离是5m. 探究三:利用二次函数求一元二次方程的近似解出示课件29:求一元二次方程的根的近似值（精确到0.1）.教师分析:一元二次方程x ²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x ²-2x-1 与x 轴的交点的横坐标,因此我们可以先画出这条抛物线,然后从图上找出它与x 轴的交点的横坐标,这种解一元二次方程的方法叫做图象法.师生共同解答.0122=--x x出示课件30,31:解:画出函数y=x²-2x-1 的图象（如下图）,由图象可知,方程有两个实数根,一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.先求位于-1到0之间的根,由图象可估计这个根是-0.4或-0.5,利用计算器进行探索,见下表:观察上表可以发现,当x分别取-0.4和-0.5时,对应的y由负变正,可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0,即有y=x2-2x-1的一个根,题目只要求精确到0.1,这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.教师总结归纳:一元二次方程的图象解法（出示课件32）利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象；(2)观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标,由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);(3)确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.出示课件33:根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（）A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26学生口答:C（三）课堂练习（出示课件34-41）1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,下列结论正确是（）A．abc＞0 B．2a+b＜0C．3a+c＜0 D．ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示,则一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0的近似根为( )A．x1≈－2.1,x2≈0.1 B．x1≈－2.5,x2≈0.5C．x1≈－2.9,x2≈0.9 D．x1≈－3,x2≈13.若二次函数y=-x 2+2x+k 的部分图象如图所示,且关于x 的一元二次方程-x 2+2x+k=0的一个解x 1=3,则另一个解x 2= .4.一元二次方程3x 2+x －10=0的两个根是x 1=－2,x 2=53,那么二次函数 y= 3x 2+x －10与x 轴的交点坐标是 .5.若一元二次方程20x mx n -+=无实根,则抛物线2y x mx n =-+图象位于（ ）A.x 轴上方B.第一、二、三象限C.x 轴下方D.第二、三、四象限6.二次函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是( )A ．k<3B ．k<3且k ≠0C ．k ≤3D ．k ≤3且k ≠07.已知函数y ＝(k －3)x ²＋2x ＋1的图象与x 轴有交点,求k 的取值范围．8.某学校初三年级的一场篮球比赛中,如图,队员甲正在投篮,已知球出手时距地面209米,与篮框中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行轨迹为抛物线,篮框距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系,问此球能否准确投中？(2)此时,若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1米,那么他能否获得成功？参考答案:1.C2.B3.-14.（-2,0）（5,0）35.A6.D7.解:当k＝3时,函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点,∴k＝3；当k≠3时,y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点,∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16,∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述,k的取值范围是k≤4.8.解:(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0,20),B(4,4),C(7,3),其中B是抛物线的顶点．9(x 设二次函数关系式为y＝a(x﹣h)2＋k,将点A、B的坐标代入,可得y＝﹣19﹣4)2+4.(7﹣4)2+4＝3,左边＝右边,即点将点C的坐标代入上式,得左边＝3,右边＝﹣19C在抛物线上．所以此球一定能投中.⑵将x＝1代入函数关系式,得y＝3.因为3.1＞3,所以盖帽能获得成功．（四）课堂小结1.抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有何关联？你能不画出抛物线y=ax2+bx+c而了解此抛物线与x轴的交点情况吗？你是怎样做的？2.你能利用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？（五）课前预习预习下节课（22.3第1课时）的相关内容.七、课后作业1.教材习题22.2第1、2、3、4、6题.2.配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:本课时教学首先通过具体情况让学生感受用方程思想方法来解决函数问题的思路,然后通过图象来探究一元二次方程的根和二次函数与x轴交点之间的关联.这样整个教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数间的关系来类比引导挖掘、探索二次函数与一元二次方程的关系.此外,通过观察图象直观理解、解答练习以及实际观察分析都是必经的途径与方法,重在让学生自主体会.。
21.3《二次函数与一元二次方程第1课时》教案
21.3二次函数与一元二次方程
第1课时
一、教学目标
1.理解二次函数图象与X轴交点的横坐标与一元二次方程的根之间的联系.
2 .经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，渗透数形结合的思想方法.
3 .通过共同探究的方式，培养学生的合作交流意识，以及观察问题和解决问题的能力.
4 .在探索二次函数与一元二次方程的关系的过程中，让学生感受数学知识之间的内在联系，认识到事物之间的联系与转化.
二、教学重难点
重点：理解二次函数图象与X轴交点的横坐标就是一元二次方程的根难点：探索二次函数与一元二次方程之间的关系.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
函数值等于O时自变量X的一个值，即二次函数的图象与X轴一个交点的横坐标.
即：
二次函败「必7丫，2, 二一元二次方程>J3x+20,
：）。
时，图象与簿!有两个交点11Δ^40c>0,有两个不相等的实败根」
2 .如果函数值y等于-5又会怎样呢？
首先，在图象上画出直线产-5此时这条直线与二次函数的图象有一个交点（-T，-》；再求解其对应的一元二次方程f+3x+2=-；,得到方程的解是M=X2=
结合上边的分析及其图象，我们得到：
：二痴由y⅛r÷2,U -元二次方程H=/
:图粼与直线r4只有一个交点：：A='*=C,有两个相等的实数《1:
3 .如果函数值y等于-2,又会怎样呢？
同样，先在图象上画出直线产-2,此时这条直线与二次函数的图象无交点；再求解其对应的一元二次方程f+3x+2=-2,此方程无解.。
人教版数学九年级上册教学设计22.2《二次函数与一元二次方程》
人教版数学九年级上册教学设计22.2《二次函数与一元二次方程》一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.2节《二次函数与一元二次方程》是本册教材的重要内容，主要介绍了二次函数与一元二次方程之间的关系。
通过本节课的学习，学生能够理解二次函数的图像与一元二次方程的解法，从而更好地解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数和方程的基础知识，对于函数的概念、图像和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数与一元二次方程之间的联系，以及如何运用二次函数的性质解决实际问题，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系，并通过实例演示如何运用二次函数解决实际问题。
三. 教学目标1.理解二次函数的图像与一元二次方程的解法之间的关系。
2.学会运用二次函数的性质解决实际问题。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的图像与一元二次方程的解法之间的关系。
2.如何运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索、发现、总结二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.运用多媒体课件辅助教学，直观展示二次函数的图像和一元二次方程的解法，帮助学生更好地理解知识点。
3.结合实际例子，让学生亲自动手操作，运用二次函数解决实际问题。
4.采用小组讨论、合作交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体课件和教学素材。
2.准备一些实际问题，用于让学生运用二次函数解决。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何运用数学知识解决实际问题。
例如，假设一个物体从静止开始做匀加速直线运动，已知初速度为0，加速度为2m/s²，求物体运动5秒后的位移。
2.呈现（10分钟）呈现二次函数y=ax²+bx+c的图像，同时呈现相应的一元二次方程ax²+bx+c=0的解法。
二次函数与一元二次方程教学设计人教版九年级数学上册
探究新知问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系。
考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地需要多少时间？归纳：从上面的问题可以看出，二次函数与一元二次方程有如下关系第（1）问师生共同分析，先用代数的方法解答，然后引导学生用图象法对此问进行解释和分析.第（2）问由学生分析并展示过程，同时让学生用图象演示为什只有一个时间小球的飞行高度达到20m？接着老师引导学生从二次函数的性质（即二次函数的最大值）来说明为什么只有一个时间？剩下的学生独立完成，学生代表分析并展示过程.根据刚才例题的讲解，类比一次函数与一元一次方程的联系，现在以小组为单位对二次函数与一元二次方程的关系进行讨论，并请代表展示结果.利用快传采集学生结果采用笔记通过探究问题体现数学来源于生活，其次也以解决实际问题的形式为后续体验一元二次方程与二次函数的联系作铺垫.让学生用数与形这两种不同的方法解决实际问题.培养学生自主思考的习惯，增强学生的归纳概括能力和表达能力，并激发好奇心和求知欲．探究新知问题：观察下图抛物线与x轴的交点情况，回答下列问题.（1）二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有个交点，分别为则一元二次方程方程的解为，根的判别式Δ0。
（2）二次函数y=x2−6x+9的图像与x轴有个交点，分别为则一元二次方程方程的解为，根的判别式Δ0。
（3）二次函数y=x2−x+1的图象与x轴公共点，则一元二次方程方程，根的判别式Δ0。
第（1）问师生共同分析，先引导学生观察图象对此问进行解释和分析.再用代数的方法解答验证。
剩下的学生独立完成，学生代表分析并展示过程.利用快传采集学生结果通过学生讨论、观察，得出判别式和二次函数与x轴交点个数的情况的关系.并让学生掌握特殊到一般的学习方法.归纳：二次函数的图象与x轴交点横坐标与一元二次方程根的关系：.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴交点的情况一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b24ac的情况有两个相等的实数根分别为：x1=x2=x0Δ=b2 – 4ac < 0通过以上环节的探究，教师指导学生思考归纳，并展示结果。
九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》教案、教学设计
（1）教师给出练习题，要求学生在规定时间内完成。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（3）教师挑选部分学生的作业进行展示、讲解，总结解题方法。
（五）总结归纳
1.教学内容：总结二次函数与一元二次方程的知识点，梳理知识结构。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学内容，总结二次函数与一元二次方程的知识点。
（2）学生分享自己的学习心得，交流学习过程中遇到的困难和解决方法。
（3）教师总结归纳，强调重点，指出易错点，为课后复习提供指导。
五、作业布置
为了巩固学生对二次函数与一元二次方程知识点的掌握，提高学生的实际应用能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合课堂所学，完成课后练习题第1、2、3题，加深对二次函数与一元二次方程概念的理解。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一次函数、一元一次方程等知识点有了深入的理解和掌握。在此基础上，学生对二次函数与一元二次方程的学习将更加顺利。然而，由于二次函数与一元二次方程的概念较为抽象，学生在理解上可能会遇到一定的困难。此外，学生在解决实际问题时，可能会对知识点的运用感到困惑。
2.从生活中的实际问题出发，选取一个案例，将其抽象为二次函数与一元二次方程模型，并求解。要求撰写解题过程，明确解题思路和方法。
3.小组合作，共同完成一道拓展题。题目如下：
拓展题：已知抛物线y = ax^2 + bx + c（a≠0）的图象，求该抛物线与x轴的交点坐标。
要求：各小组通过讨论、探究，给出至少两种解题方法，并在课堂上分享解题过程和心得。
4.培养学生面对困难、挑战的精神，鼓励学生勇于尝试、不断探索，树立克服困难的信心。
初中数学初三数学上册《二次函数与一元二次方程》教案、教学设计
在本章节的教学中，我们需要面对的是初三学生，他们在前两年的数学学习中，已经积累了一定的数学基础，掌握了函数、一元一次方程等基本知识。然而，二次函数与一元二次方程作为数学知识的一个难点，对学生而言，理解和运用上可能存在一定困难。
学生在学习过程中可能出现以下情况：对二次函数图像特征的理解不够深入，对一元二次方程求解方法的掌握不够熟练，以及在解决实际问题时不能灵活运用所学知识。因此，在教学过程中，我们要关注以下几点：
（3）鼓励学生进行合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
3.教学步骤：
（1）导入新课：通过生活中的实际问题，引出二次函数与一元二次方程的概念。
（2）探究新知：引导学生观察二次函数的图像，总结图像特征；教授一元二次方程的求解方法，并分析各种求解方法的适用条件。
（3）巩固练习：设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
（2）一元二次方程的求解方法有哪些？它们之间的优缺点是什么？
2.小组汇报
各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
（1）求解给定二次函数的顶点、开口方向和对称轴。
（2）利用一元二次方程求解实际问题的最优解。
2.教师巡回指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
3.鼓励学生分组讨论和合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
4.通过一元二次方程的求解过程，让学生体会数学的转化思想，培养学生解决问题的策略和方法。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生积极主动学习的态度。
2.引导学生体会数学在实际生活中的应用价值，增强学生的数学意识。
1.充分了解学生的知识储备，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。
二次函数与一元二次方程教案
二次函数与一元二次方程教案教案标题：探索二次函数与一元二次方程教案目标：1. 了解二次函数与一元二次方程的定义和基本性质；2. 掌握解一元二次方程的方法；3. 掌握二次函数的图像特征和性质；4. 能够应用二次函数和一元二次方程解决实际问题。
教案步骤：一、引入（5分钟）1. 利用实例引出学生对于二次函数和一元二次方程的初步认识。
2. 引导学生思考二次函数与一元二次方程的联系，并提出学习的目标。
二、理论讲解（15分钟）1. 介绍二次函数的定义和一般形式，解释二次函数图像的特征。
2. 讲解一元二次方程的定义和一般形式，介绍解一元二次方程的方法。
三、解题演练（20分钟）1. 给学生提供一些简单的一元二次方程，引导学生运用所学方法解题。
2. 给学生提供一些简单的二次函数图像，要求学生根据图像特征写出函数的表达式。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，引导学生将问题转化为一元二次方程，并解答问题。
2. 提供一些实际问题，引导学生根据问题描述绘制对应的二次函数图像，并分析解决问题的方法。
五、总结归纳（10分钟）1. 学生总结二次函数与一元二次方程的基本性质和解题方法。
2. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调学生在课后的复习重点。
六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，要求学生巩固所学的知识和解题方法。
2. 鼓励学生积极思考，提出问题并准备下节课的讨论。
教案评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度；2. 练习题表现：检查学生对于二次函数和一元二次方程的掌握情况；3. 实际问题解决能力：评估学生运用所学知识解决实际问题的能力。
教案扩展：1. 可以引入二次函数的最值问题，进一步拓展学生对于二次函数的理解；2. 可以引入一元二次方程的根与系数之间的关系，加深学生对于一元二次方程的理解。
教案注意事项：1. 确保学生已经掌握一元一次方程的解法和基本概念，为学习二次函数和一元二次方程打下基础；2. 鼓励学生多做练习，加深对于二次函数和一元二次方程的理解；3. 教师要及时给予学生反馈，帮助他们纠正错误和提高解题能力。