导数运算公式的逆用
导数公式逆用中的函数构造
导数公式逆用中的函数构造在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它表示了函数在其中一点的变化率。
导数的计算通常使用导数公式，而逆用中的函数构造则是根据已知的导数来构造一个原函数。
在导数公式逆用中的函数构造中，我们可以利用已知的导数来求解原函数。
由于求导是一个线性运算，即导数函数具有加法和乘法性质，我们可以运用这些性质来构造原函数。
首先，我们考虑一些基本的导数公式，如常数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数、三角函数导数等。
这些导数公式是我们构造原函数的基础。
1.常数函数的导数是0，即如果f(x)=C，其中C是一个常数，那么f'(x)=0。
因此，我们可以使用常数函数来构造原函数。
2. 幂函数的导数是幂次减一后乘以原函数的系数，即如果f(x) = Cx^n，其中C和n是常数，那么f'(x) = Cnx^(n-1)。
利用这个性质，我们可以通过已知的导数来构造原函数。
3.指数函数的导数是指数函数自身乘以原函数的系数，即如果f(x)=Ce^x，其中C是常数，那么f'(x)=Ce^x。
同样地，我们可以通过已知的导数构造指数函数的原函数。
4. 对数函数的导数是倒数函数除以原函数的系数，即如果f(x) = Cln(x)，其中C是常数，那么f'(x) = C/x。
我们可以运用这个性质来构造对数函数的原函数。
5. 三角函数的导数可以通过三角函数的定义公式和三角函数的相关性质来求解。
例如，sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)，tan(x)的导数是sec^2(x)等。
通过对这些导数公式的熟悉，我们可以构造出原函数。
除了使用基本的导数公式之外，我们还可以运用导数的加法性质和乘法性质来构造原函数。
1.导数的加法性质：如果f(x)和g(x)分别是两个函数的导数，那么f(x)+g(x)是两个函数的和的导数。
通过这个性质，我们可以将已知的导数分解为几个已知导数的和，然后分别构造出原函数，最后求和即可。
求导公式的逆用
解：设 F(x)
g(x) ex
f
(
x) ex
1
则
F
'
(
x)
g'(x)ex g(x)ex e2x
0
F ( x)在R上单调递增
由
f (x) 2019 e x
1得
f
(
x) ex
1
2019
，又
F
(0)
f
(0) e0
1
2019
不等式为 F(x) F(0) x 0 不等式解集为(0, )
课堂练习
1.设函数 f (x) 的导函数为 f ' (x) ，且在 R 上 2 f (x) xf ' (x) 0 恒成立，则 f (1) ， 2019 f ( 2019) ，2020 f ( 2020) 的大小关系为 2. f (x) 是定义在 R 上的函数，其导数为 f ' (x) ，且满足 f ' (x) 2 f (x) ， 则有（ ） A. e4038 f (2019) f (0), f (2019) e4038 f (0) B。 e4038 f (2019) f (0), f (2019) e4038 f (0) C. e4038 f (2019) f (0), f (2019) e4038 f (0) D. e4038 f (2019) f (0), f (2019) e4038 f (0) 3.设 f (x) 是定义在 R 上的函数，其导函数为 f ' (x) ，若 f (x) f ' (x) 1 ， 且 f (0) 2019则不等式 ex f (x) ex 2018 的解集为
F (x)在（- ，0）上单调递减，在（0， ）上单调递增
例谈导数运算法则的逆向应用
例谈导数运算法则的逆向应用————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：例谈导数运算法则的逆向应用-中学数学论文例谈导数运算法则的逆向应用江苏昆山中学陆增宏近年来，导数在高考中所处的位置越来越重要，导数的应用很广，而导数的运算是基础，这就要求学生必须熟练掌握导数四则运算法则。
逆向运用导数运算法则解题，不仅能使学生进一步巩固对运算法则的理解，而且还能培养学生的数学思维品质，提高学生的数学解题能力。
一、逆向运用乘法运算法则例1：设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集为。
析：由f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，得[f（x）g（x）]′＞0令F（x）=f（x）g（x）。
则F（x）在（-∞，0）上是单调增函数又因为f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数所以F（x）是奇函数，所以F（-3）=-F（3）=0借助于F（x）的草图即得不等式f（x）g（x）＜0的解集为{x|x＜-3，或0＜x＜3}。
二、逆向运用除法运算法则三、逆向运用加减法运算法则例3：f（x）的定义域为R，f（-1）=-6，对于任意x∈R，导函数f′（x）＞2恒成立，则不等式f（x）＜2x-4的解集为析：由f（x）＜2x-4，得f（x）-2x+4＜0令F（x）=f（x）-2x+4，则F′（x）=f′（x）-2＞0所以F（x）在（-∞，+∞）上是增函数又F（-1）=f（-1）-2×（-1）-4=0所以由f（x）＜2x-4得F（x）＜0，F（x）＜F（-1），x＜-1所以不等式（x）＜2x-4的解集为{x|x＜-1}。
事实上，本题也可以这样考虑：由导函数f′（x）＞2恒成立，得f′（x）-2＞0，从而有[f（x）-2x]′＞0，令F（x）=f（x）-2x，则F′（x）＞0，所以F（x）在（-∞，+∞）上是增函数，又F（-1）=f（-1）-2×（-1）=-4，所以由f（x）＜2x-4，得f（x）-2x＜-4，即F（x）＜F（-1），所以x＜-1，不等式f（x）＜2x-4的解集为{x|x＜-1}。
导数反推原函数公式
导数反推原函数公式在这个过程中，我们首先需要理解导数和原函数的关系。
导数可以理解为一个函数的变化率，它告诉我们函数在每个点上的斜率（即切线的斜率），也就是函数变化的速度。
而原函数则是函数的积分，可以理解为对导数的逆运算。
对于一个函数f(x)来说，如果它在一些区间上存在原函数F(x)，那么F'(x)=f(x)。
也就是说，F'(x)就是f(x)的导数。
因此，导数反推原函数的公式就是根据这个关系而来的。
下面可以通过一个具体的例子来说明导数反推原函数的过程。
假设我们要求函数f(x)=x²的原函数。
我们可以首先确定f(x)的导数是多少，然后根据导数的定义反推原函数。
首先，对于f(x)=x²，我们可以直接使用求导法则得到它的导函数。
f'(x)=2x根据导数反推原函数的公式，我们需要反求F(x)，使得F'(x)=f(x)。
也就是要找到F(x)，使得F'(x)=2x。
我们可以根据求导的逆运算来进行求解。
对于导数为2x的函数F(x)，可以通过积分来得到它的原函数。
∫2x dx = x² + C其中C是一个常数，表示积分常数。
因为对于同一个函数而言，不同的原函数只相差一个常数项。
因此，我们可以将其简化为：F(x)=x²+C这就是原函数f(x)=x²的一个解，即F(x)=x²+C。
在这个过程中，我们通过求导的逆运算（即积分）反推出了f(x)的原函数。
通过这个简单的例子，我们可以看出导数反推原函数的过程。
具体而言，我们需要先确定函数的导数，然后通过求导的逆运算（即积分）来反推出原函数的表达式。
需要注意的是，积分过程中由于不知道原函数F(x)与常数项C之间的具体关系，因此我们需要加入一个常数项C，来表示任意的常数解。
对于更复杂的函数，我们同样可以使用导数反推原函数的方法来求解。
但是由于导数和原函数的关系比较复杂，这个过程可能会比较繁琐。
反向求导公式
反向求导公式反向求导是微积分中的一个重要概念，它是指在已知函数的导函数的情况下，求出原函数。
在求导过程中，我们经常使用一些常用的导函数公式，这些公式可以帮助我们求出原函数。
而在反向求导中，我们需要根据这些公式的逆过程，即反过来应用这些公式，从而求出原函数。
下面是一些常用的反向求导公式：1. 反向求导基本公式：- 公式1：求导前的函数是x的n次方函数，导数是nx^(n-1)。
那么反向求导时，如果函数的导数是nx^(n-1)，那么函数原本就是x的n次方函数。
- 公式2：求导前的函数是常数函数，导数是0。
那么反向求导时，如果函数的导数是0，那么函数原本就是常数函数。
2. 反向求导与数学运算的关系：- 公式3：求导前的函数是两个函数的和，导数是这两个函数的导数的和。
那么反向求导时，如果函数的导数是两个函数的导数的和，那么函数原本就是两个函数的和。
- 公式4：求导前的函数是两个函数的乘积，导数是这两个函数的导数的乘积再加上其中一个函数乘以另一个函数的导数。
反向求导时，如果函数的导数是两个函数的导数的乘积再加上其中一个函数乘以另一个函数的导数，那么函数原本就是两个函数的乘积。
- 公式5：求导前的函数是两个函数的商，导数是这两个函数的导数的差再除以第二个函数的平方。
反向求导时，如果函数的导数是这两个函数的导数的差再除以第二个函数的平方，那么函数原本就是两个函数的商。
3. 反向求导与复合函数的关系：- 公式6：如果已知函数f(x) = g(h(x))，那么反向求导时，可以使用链式法则，将导数f'(x)表示为g'(h(x)) * h'(x)。
这些公式是反向求导的基本工具，通过这些公式可以帮助我们求出原函数。
在实际应用中，我们常常根据具体的函数形式和导数的特点，灵活运用这些公式来求解问题。
总结起来，反向求导就是通过已知导数求出原函数的过程。
通过应用一些常用的反向求导公式，我们可以更加方便地求解原函数。
逆用求导数公式解题
逆用求导公式构造新函数，确定构造出新函数的性质常见的构造函数方法有如下几种： (1)利用和、差函数求导法则构造函数①对于不等式)(x f '＋)(x g '>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )； ②对于不等式)(x f '－)(x g '>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )； 特别地，对于不等式)(x f '>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx . (2)利用积、商函数求导法则构造函数①对于不等式)(x f 'g (x )＋f (x ))(x g '>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； ②对于不等式)(x f 'g (x )－f (x ))(x g '>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )(g (x )≠0)．(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数①对于不等式x )(x f '＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； ②对于不等式x )(x f '－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x (x ≠0)；③对于不等式x )(x f '＋nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝x n f (x )； ④对于不等式x )(x f '－nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x n (x ≠0)；⑤对于不等式)(x f '＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e x f (x )； ⑥对于不等式)(x f '－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e x ；⑦对于不等式)(x f '＋kf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e kx f (x )； ⑧对于不等式)(x f '－kf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e kx ；⑨对于不等式f (x )＋)(x f 'tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝sin xf (x )； ⑩对于不等式f (x )－)(x f 'tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )sin x (sin x ≠0)；⑪对于不等式)(x f '－f (x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝cos xf (x )； ⑫对于不等式)(x f '＋f (x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )cos x (cos x ≠0)．1．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x ≠时，()()'0f x f x x+>，若1122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．a c b << 解：构造()()F x xf x =，且()F x 为偶函数，()()()F x xf x f x ''=+，由()()()()()000f x xf x f x F x f x xxx''+'+>⇒>⇒>，∴0x >，()0F x '>，函数()F x 在()0,+∞单调递增，12a F ⎛⎫=⎪⎝⎭，()()22b F F =-=，()1ln ln 22c F F ⎛⎫== ⎪⎝⎭，a c b << 2．已知()'f x 是函数()()0f x x R x ∈≠且的导函数，当0x >时 ，()()'0xf x f x -<成立，记()()()0.2220.22220.2log 5,,20.2log 5f f f a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 构造()()f x F x x=,()()()20xf x f x F x x'-'=<,()F x ∴单调递减，()0.22a F =，()20.2b F =，()2log 5c F =，c a b <<，选C3.定义在上R上的可导函数)(x f ，满足2)()(x x f x f =+-，当0<x 时，xx f <')(，则不等式x x f x f +-≥+)1(21)(的解集为_________ 解：构造221)()(x x f x g -=，0)()(=-+x g x g ，由)(x g 为奇函数，当0<x 时，0)()(<-'='x x f x g ，)(x g 为减函数，，x x f x f +-≥+)1(21)(，可得22)1(21)1(21)(x x f x x f ---≥-，即)1()(x g x g -≥∴x x -≤1，即21≤x优解：根据经验判断，所解的不等式一定是)1()(x g x g ->，这样就不需要复杂的变形结合)(x g 的单调性快速得出答案。
利用求导法则构造函数
利用求导法则构造函数近年高考试卷中常出现一种客观题，考查导数运算法则的逆用、变形应用能力。
这种题目的背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)”等特征式，旨在考查学生对导数运算法则的掌握程度。
解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题。
本文结合实例介绍此类问题的几种常见形式及相应解法。
常用的构造函数有：1.和与积联系：如f(x)+xf'(x)，构造xf(x)；2xf(x)+x^2f'(x)，构造x^2f(x)；3f(x)+xf'(x)，同样构造x^2f(x)；3f(x)+xf'(x)，构造x^3f(x)；………；nf(x)+xf'(x)，构造x^n f(x)；f'(x)+f(x)，构造e^xf(x)等等。
2.减法与商联系：如xf'(x)-f(x)>0，构造F(x)=f(x)/x；x^2f'(x)-2f(x)>0，构造F(x)=f(x)/x^2；xf'(x)-nf(x)>0，构造F(x)=f(x)/x^n；f'(x)-f(x)，构造F(x)=f(x)/e^x；2xe^xf'(x)-2f(x)，构造F(x)=f(x)/(2xe^x)等等。
在构造函数时，有时候不唯一，关键是要合理构造函数。
给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。
一种常见形式是巧设“y=f(x)±g(x)”型可导函数。
当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f'(x)±g'(x)”时，不妨联想、逆用“f'(x)±g'(x)=[f(x)±g(x)]'”，构造可导函数y=f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题。
导数与微分互为逆运算
导数与微分互为逆运算
在高等数学中，微积分和求导数是一对相关联的基本概念。
求导
数指的是求函数在某一点处的斜率，即在此点处函数变化速率；而微
积分则是用几何或者分析方法去研究函数的变化规律。
它们之间有着
密切的关系。
微分和导数可以互相转换，也就是说，可以用求导数的方法求出
微分，也可以利用微分的公式求出导数，而且微分和导数互为逆运算，可以彼此抵消。
我们可以用实际例子来解释，如果现在有一个函数
y=f(x)，此时这个函数的一阶导数是多少，用微分运算即可求出导数，做法是：在函数中，把f(x)按x进行展开变化，然后把相应的函数项
积分，最后得到f(x)的微分。
由此可见，微分和导数依存于同一个基
础函数当中，所以彼此之间可以互抵消，即完成了微分和导数的互为
逆运算。
另一方面，微分和导数的关系还体现在对称性上。
假设现在有一
个函数，当把函数的自变量变为原来的相反数时，函数中的峰和谷就
会发生变化。
我们在这种情况下，利用微分和求导数，可以把原函数
中新变得的峰和谷还原回去，这也证明了，微分和求导数互为逆运算。
总之，求导数和微分是高等数学的基本概念，它们之间有着密切
的关系，可以完成互相转换，进而互为逆运算，使得通过求导数或者
微分，可以研究函数在某一点处的斜率，并且能够分析函数变化规律。