2015-2016年甘肃嘉峪关市酒钢三中高一(上)数学期末试卷及答案

2015-2016学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高一（上）期末数学试卷一.选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂抹在“机读答题卡”第1-12题的相应位置上）1．（5.00分）已知直线x﹣y﹣2=0，则该直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（5.00分）直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣23．（5.00分）函数y=lnx+2x﹣3的零点必定位于的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．（5.00分）已知l，m，n是不同的直线，α，β，γ是不重合的平面，下列命题中正确的个数为（）①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若m∥α，m∥β，则α∥β；④l∥α，m⊂α，则l∥m．A．1 B．2 C．3 D．45．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π+1 B．C．D．4π+86．（5.00分）已知直线l过点（2，1），且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（）A．x﹣y﹣1=0 B．x+y﹣3=0或x﹣2y=0C．x﹣y﹣1=0或x﹣2y=0 D．x+y﹣3=0或x﹣y﹣1=07．（5.00分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.58．（5.00分）半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（）A．B．C．D．9．（5.00分）已知直线l1：ax﹣y+b=0，l2：bx﹣y﹣a=0，则它们的图象可能为（）A．B．C．D．10．（5.00分）若两条平行线L1：x﹣y+1=0，与L2：3x+ay﹣c=0 （c＞0）之间的距离为，则等于（）A．﹣2 B．﹣6 C．.2 D．011．（5.00分）方程lnx﹣x2+4x﹣4=0的实数根个数为（）A．0 B．1 C．2 D．312．（5.00分）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．（5.00分）若直线（a+1）x+y+2﹣a=0不经过第二象限，则a的取值范围是．14．（5.00分）无论a取何值时，方程（a﹣1）x﹣y+2a﹣1=0表示的直线所过的定点是．15．（5.00分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=BB1，求异面直线A1B与B1C所成的角．16．（5.00分）已知一个几何体的三视图图图所示，求该几何体的外接球的表面积．三.解答题（共70分）17．（10.00分）求与直线4x﹣3y+1=0垂直，且与坐标轴围成的三角形面积是24的直线l的方程．18．（12.00分）已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．19．（12.00分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点，求证：（1）PQ∥平面DCC1D1（2）EF∥平面BB1D1D．20．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．（1）证明：PB∥平面ACM；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．21．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BEP的体积．22．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O 为AD中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂抹在“机读答题卡”第1-12题的相应位置上）1．（5.00分）已知直线x﹣y﹣2=0，则该直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：设该直线的倾斜角为α，由直线x﹣y﹣2=0，变形为．∴，∵α∈[0°，180°），∴α=30°．故选：A．2．（5.00分）直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故选：A．3．（5.00分）函数y=lnx+2x﹣3的零点必定位于的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：由题意可得函数的定义域（0，+∞），令f（x）=lnx+2x﹣3∵f（1）=﹣1，f（2）=ln2+1＞0由函数零点的判定定理可知，函数y=f（x）=lnx+2x﹣3在（1，2）上有唯一的零故选：B．4．（5.00分）已知l，m，n是不同的直线，α，β，γ是不重合的平面，下列命题中正确的个数为（）①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若m∥α，m∥β，则α∥β；④l∥α，m⊂α，则l∥m．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：（1）假设α∩β=l，则过l有两个平面α，β都与m垂直，矛盾．∴假设错误，∴α∥β．故①正确．（2）以直三棱柱为例，设直三棱柱的两个侧面为α，β，底面为γ，则α⊥γ，β⊥γ，但α与β相交．故②错误．（3）当α∩β=l时，若m∥l，m⊄α，m⊄β，则m∥α，m∥β，显然α与β不平行；故③错误．（4）以正方体ABCD﹣A'B'C'D'为例，AB∥平面A'B'C'D'，AC∥平面A'B'C'D'，但AB与AC不平行，故④错误．故选：A．5．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π+1 B．C．D．4π+8【解答】解：由三视图知几何体是一个组合体，上面是一个直径为2的球，则球的体积是，下面是一个棱长为2的正方体，则体积是23=8∴几何体的体积是故选：C．6．（5.00分）已知直线l过点（2，1），且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（）A．x﹣y﹣1=0 B．x+y﹣3=0或x﹣2y=0C．x﹣y﹣1=0或x﹣2y=0 D．x+y﹣3=0或x﹣y﹣1=0【解答】解：①当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为0，符合题意此时直线方程为x﹣2y=0；②当直线不经过原点时，设直线方程为x﹣y+c=0将点（2，1）代入，得c=﹣1∴此时直线的方程为x﹣y﹣1=0综上，符合题意的直线为x﹣y﹣1=0或x﹣2y=0故选：C．7．（5.00分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C，故选：C．8．（5.00分）半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，设圆锥的底面半径为r，则2πr=πR，即r=，∴圆锥的高h==，∴圆锥的体积V==，故选：C．9．（5.00分）已知直线l 1：ax﹣y+b=0，l2：bx﹣y﹣a=0，则它们的图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：由直线l1：ax﹣y+b=0，l2：bx﹣y﹣a=0，可得直线l1：y=ax+b，l2：y=bx﹣a．①若a＞0，b＞0，A的斜率有一个小于0，不符合；B中l1的截距小于0，不符合；对于C：令x=0，两条直线相较于y轴的正半轴上的一点，与截距异号相矛盾，C 不符合；此时D的斜率，一个大于0，一个小于0，也不符合．②若a＜0，b＞0，A的l1的斜率大于0，不符合；B中两条直线的斜率都大于0，不符合；对于C，两条直线的斜率都小于0，不符合；对于D的l1斜率小于0，l2的斜率大于0，都符合，且截距都大于0，符合．同理讨论：a＞0，b＜0；a＜0，b＜0．没有符合要求的．综上可知：只有D．有可能．故选：D．10．（5.00分）若两条平行线L1：x﹣y+1=0，与L2：3x+ay﹣c=0 （c＞0）之间的距离为，则等于（）A．﹣2 B．﹣6 C．.2 D．0【解答】解：由两条平行线L1：x﹣y+1=0，与L2：3x+ay﹣c=0 （c＞0）之间的距离为，可得，∴a=﹣3，c≠3，直线L1的方程即：3x﹣3y+3=0，由=，解得c=3，或c=﹣9 （舍去），∴==﹣2，故选：A．11．（5.00分）方程lnx﹣x2+4x﹣4=0的实数根个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由lnx﹣x2+4x﹣4=0得lnx=x2﹣4x+4，作出函数y=lnx与y=x2﹣4x+4的图象，由图象知两个函数有2个交点，即方程lnx﹣x2+4x﹣4=0的实数根个数为2个，故选：C．12．（5.00分）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d=则球半径R2==则该球的表面积S=4πR2=故选：B．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．（5.00分）若直线（a+1）x+y+2﹣a=0不经过第二象限，则a的取值范围是a≤﹣1．【解答】解：直线l：（a+1）x+y+2﹣a=0化为y=﹣（a+1）x﹣2+a．∵直线l：（a+1）x+y+2﹣a=0不经过第二象限，∴﹣（a+1）≥0，且a﹣2≤0，解得a≤﹣1．∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．故答案为：（﹣∞，﹣1]．14．（5.00分）无论a取何值时，方程（a﹣1）x﹣y+2a﹣1=0表示的直线所过的定点是（﹣2，1）．【解答】解：方程（a﹣1）x﹣y+2a﹣1=0（a∈R）即a（x+2）+（﹣x﹣y﹣1）=0，由，解得：定点坐标为（﹣2，1），故答案为（﹣2，1）．15．（5.00分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=BB1，求异面【解答】解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=BC=BB1=1，则A1（1，0，1），B（0，0，0），B1（0，0，1），C（0，1，0），=（﹣1，0，﹣1），=（0，1，﹣1），设异面直线A1B与B1C所成的角为θ，cosθ===，∴θ=60°．∴异面直线A1B与B1C所成的角为60°．故答案为：60°．16．（5.00分）已知一个几何体的三视图图图所示，求该几何体的外接球的表面积50π．【解答】解：由三视图可知该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，棱锥的高为3，把三棱锥补成长方体，则长方体的对角线长等于其外接球的直径，设球的半径为R，∵长方体的对角线长=，∴2R=，R=∴外接球的表面积S=4πR2=50π．故答案为：50π．三.解答题（共70分）17．（10.00分）求与直线4x﹣3y+1=0垂直，且与坐标轴围成的三角形面积是24的直线l的方程．【解答】解：设与直线4x﹣3y+1=0垂直的直线为3x+4y+m=0，与两个坐标轴的交点分别为（0，﹣），（﹣，0）．∴|﹣||﹣|=24，解得m=±24．∴要求的直线为：3x+4y±24=0．18．（12.00分）已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．【解答】解：（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），则由，求得m=﹣2，n=7，故P′（﹣2，7）．（2）由，解得：交点为，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点为，所以得到对称的直线方程为7x+y+22=019．（12.00分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点，求证：（2）EF∥平面BB1D1D．【解答】（1）证明：连结AC、D1C，∵ABCD是正方形，∴Q是AC的中点，又P是AD1的中点，∴PQ∥D1C，∵PQ⊄平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1．（2）证明：取CD中点G，连结EG、FG，∵E，F分别是BC，C 1D1的中点，∴FG∥D1D，EG∥BD，又FG∩EG=G，∴平面FGE∥平面BB1D1D，∵EF⊂平面FGE，∴EF∥平面BB1D1D．20．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．（1）证明：PB∥平面ACM；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．【解答】（1）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，∵O为AC的中点，∴O为BD的中点，又∵M为PD的中点，∴PB∥MO，∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，∴PB∥平面ACM．（2）解：取DO中点N，连接MN，AN，∵M为PD的中点，∴MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，在Rt△DAO中，∵AD=1，AO=，∠DAO=90°，∴DO=，∴AN=，在Rt△ANM中，tan∠MAN===，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为．21．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BEP的体积．【解答】解：证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连接FG、EG∴FG为△CDP的中位线∴FG CD∵四边形ABCD为矩形，∵E为AB的中点∴AE CD∴FG AE∴四边形AEGF是平行四边形（2分）∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE∴AF∥平面PCE（4分）（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA∩AD=A∴CD⊥平面ADP又AF⊂平面ADP，∴CD⊥AF在RT△PAD中，∠PDA=45°∴△PAD为等腰直角三角形，∴PA=AD=2（6分）∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CD∩PD=D∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PCE∴平面PCE⊥平面PCD（8分）（Ⅲ）PA⊥底面ABCD在Rt△BCE中，BE=1，BC=2，（10分）∴三棱锥C﹣BEP的体积V C﹣BEP=V P﹣BCE==（12分）22．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O 为AD中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：在△PAD卡中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD．又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．（2）解：连接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，所以OB ∥DC ．由（1）知PO ⊥OB ，∠PBO 为锐角， 所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角．因为AD=2AB=2BC=2，在Rt △AOB 中，AB=1，AO=1，所以OB=，在Rt △POA 中，因为AP=，AO=1，所以OP=1，在Rt △PBO 中，PB=，所以cos ∠PBO=，所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为．（3）解：假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为．设QD=x ，则S △DQC =x ，由（2）得CD=OB=，在Rt △POC 中，PC=，所以PC=CD=DP ，S △PCD ==，由V p ﹣DQC =V Q ﹣PCD ，得x=，所以存在点Q 满足题意，此时=．。