湘教版八年级上册数学5.3 二次根式的加法和减法教案
二次根式的加法和减法+第1课时++课件++++2024--2025学年湘教版八年级数学上册+
【典例】计算下列各题：
(1) 12－6 13＋2 48；
2 (2)3
9x＋6
x4－2x
1 x.
分析：先将二次根式化为最简二次根式，再进行同类二次 根式的合并，含有字母的二次根式的加减运算与只含数字 的二次根式的加减运算方法完全相同
解答：(1) 12－6 13＋2 48 ＝2 3－6× 33＋2×4 3 ＝2 3－2 3＋8 3 ＝(2－2＋8) 3 ＝8 3.
A．19 个
() B．20 个
C．21 个
D．22 个
4．如图，从一个大正方形中裁去面积为 8 cm2 和 18 cm2 的两个小正方形，则 留下的阴影部分面积和为___2_4__c_m__2 ___.
5．如图，某小区有一块长方形的空地，长 243 m，宽 108 m．现计划在空地 的最外侧挖一条宽为 3 m 的水沟，其余部分改造成草坪，则这块长方形草坪的周长 是多少米？
二次根式加、减运算的步 骤
(1)把每一个二次根式化简；
(2)合并可合并的同类二次 根式
1．若 32－3 x＝2 2，则 x 的值为
A． 2
B．2 2
C．2
2 3
D．89
(D )
2．计算3－ 11＋ 11－4的结果是 (
)
A．－1
B．1
C．7－2 11
D．2 11－7
3．在 1， 2， 3，…， 2020中，与 5是同类二次根式(不含 5)的一共有
如果分母中含有二次根式，让分子和分母同时乘有理化因子，使分母中不再含有 二次根式．
1.学习二次根式加减法的步骤 2.能够做简单的二次根式加减法.
同类二次根式 几个被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式可以像同类 项一样进行合并． 二次根式加、减运算的步骤 (1)把每一个二次根式化简； (2)合并可合并的同类二次根式． 注意：在二次根式的运算中，运算的最后结果要化简到不能再化简为止．
新湘教版八年级上册初中数学 课时1 二次根式的加法和减法 教学课件
课堂小结
二次根 式加减
法则
一般地，二次根式的加
减时，可以先将二次根式 化成最简二次根式，再将 被开方数相同的二次根式 进行合并.
运 算 原 理 运算律仍然适用
注意 运算顺序
与实数的运算 顺序一样
第二十一页，共二十六页。
当堂小练
1.二次根式： 12、 3、18、中27，与 能进3 行合并的
2
是
A. 12与 3 2
B.
（
3与 18 2
）C
C . 12与 27 2.下列运算中错误的是
D . 18与 27
（ ）A
A. 2 3 5
B. 2 3 6 C. 8 2 2
D. （ 3）2 3
第二十二页，共二十六页。
当堂小练
3.三角形的三边长分别为
形的周长为_5___5_+_2__10__.
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明
理由.
分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零； (2)根据三角形的三边关系来判断.
解：(1)由题意得 a 8 2 2,b 5,c 3；2 (2)能.理由如下：∵ 2 2＜3 2＜5即，a＜c＜b， 又∵ a c 5 ∴2, a+c＞b，∴能够成三角形，周长为
序号）.
① 48;②- 125;③ 11;④ 3;⑤ 18. 32
第九页，共二十六页。
新课讲解
知识点2 二次根式的加减及其应用
思考 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板 上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
问题1 怎样列式求两个正方形边长的和?
湘教版数学八年级上册5.3《二次根式的加减运算》教学设计2
湘教版数学八年级上册5.3《二次根式的加减运算》教学设计2一. 教材分析湘教版数学八年级上册5.3《二次根式的加减运算》是本册教材中的一个重要内容。
在此之前，学生已经学习了二次根式的性质和化简方法，为本节课的学习打下了基础。
本节课主要介绍了二次根式的加减运算规则，通过实例引导学生理解并掌握运算法则，进一步培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析八年级的学生在数学学习方面已有一定的基础，对于二次根式的概念和性质已有所了解。
但学生在进行二次根式的加减运算时，往往会因为对运算法则理解不深而出现错误。
因此，在教学过程中，需要关注学生对运算法则的理解和运用，引导学生逐步掌握二次根式的加减运算方法。
三. 教学目标1.理解二次根式的加减运算法则。
2.能够正确进行二次根式的加减运算。
3.培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减运算法则。
2.难点：如何引导学生理解并掌握二次根式的加减运算方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论，自主探索二次根式的加减运算法则。
2.运用实例讲解，让学生在实际操作中感受并理解运算法则。
3.采用小组合作学习，培养学生团队合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.教学PPT：包含二次根式的加减运算实例和练习题目。
2.练习题：包括基础题和拓展题，用于巩固所学知识。
3.教学素材：相关的一次性和可复制的教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次根式的性质和化简方法，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）展示几个二次根式的加减运算实例，让学生观察和思考，引导学生发现其中的规律。
3.操练（10分钟）让学生在小组内进行讨论，共同探索二次根式的加减运算法则。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成一些基础的二次根式加减运算题目，检验自己对运算法则的理解和掌握程度。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将二次根式的加减运算应用到实际问题中，举例讲解并让学生尝试解决实际问题。
湘教版八年级数学上册《 5.3 二次根式的加法和减法》课件
43 33 32
4 3 3 32
质是合并同类二次 根式．
22
3
9xx
1 x
x
整式的加减的实质 是合并同类项．
2 9xx 1 x
3
x
先化简,后合并
2xxx
211 x
0
计算: 8 18 4 2如何合并
2 2 3 2 4 同2类二次
2 3 4 2 根式?
9 2
与合并同类项类似,把同类二次根式的系 数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部 都不变,
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察 是思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
例题解析
例: 下列各式中,哪些是同类二次根式?
12
48
18
50
23 43 32 52
1
22
32 42
45
35 23
11 3
2
3
注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化
为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次
根式前面的因式及符号无关．
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
最新湘教版初中数学八年级上册5.3第1课时二次根式的加减运算优质课教案
53 二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加减运算教学重难点及突破重点：二次根式加减法运算。
难点：1、同类二次根式的概念及其判断方法2、熟练进行二次根式加减法的运算。
突破：二次根式加减法运算的关键在于二次根式化简，在讲解过程中引入几个整式加减法的运算。
教学方法：启发引导，讲练结合为主，自主探究教学准备：教师准备：多媒体课件精选二次根式的加减的例题。
学生准备：复习最简二次根式，预习二次根式的加减运算法则。
教学步骤（一）、明确目标学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．（二）、整体感知同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力．教学设计：一、复习回顾最简二次根式、整式加减法等知识，引入二次根式加减法1、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？2可以化简吗？（学生回答）A、判断是否为最简二次根式的两条标准：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2。
B与可以化简3、什么是同类项？（）4、如何进行整式的加减运算？（课件出示练习题让学生计算）（计算17题1、2小题）5、计算：（1）2-3+5 （2）2223 a b ba ab+-（教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．）（教师提出问题）二次根式的加减运算与整式的加减运算有什么相似之处？这就是今天要探讨的问题——二次根式的加减运算二、引出同类二次根式并让学生进行判断1、自学课本第10—11页内容，完成下面的题目：A、什么是同类二次根式？B、判断是否同类二次根式时应注意什么？（学生回答）：几个二次根式化成_______________后，如果它们的________相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式。
湘教版八年级数学上册《5.3.二次根式的加、减法》课件
结束
加、减、乘、除运算
1. 二次根式 a 在实数范围内有意义，必须满足a≥0 .
• 学习了二次根式以后，代数式可看成是把数和表示 数的字母用运算符号(加、减、乘、除、乘方和开方） 连接而成的式子.
3. 积与商的算数平方根性质公式从右至左地使用， 可以进行二次根式的乘、除运算.
4. 实数的运算律在二次根式的加、减、乘、除运算 中仍然成立.
所以BE的长度为 8 18 .
8 18 =2 23 2（化成最简二次根式）
= 23 2（分配律）
= 5 2.
在进行二次根式的加减运算时， 通常应先将每个 二次根式化简，然后再将被开方数相同的二次根式的
系数相加减，但被开方数不变.
例1 计算： (1)5 8-2 27+ 18 ； (2)2 18- 50+13 45.
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021
= 62- 832
=2-22+2-22
= 62- 832
=2-2 2+ 2-2
=
2
3-
3 2
=- 2.
=
3 2
3.
从例3可以看到，二次根式相乘，与多项式 的乘法相类似，我们可以利用多项式的乘法公式， 对某些二次根式的乘法进行简便运算.
八年级数学上册 第5章 二次根式 5.3 二次根式的加法和减法 第1课时 二次根式的加减法课件 湘教
数学 八年级 上册•X
第5章 二次根式
5.3 二次根式的加法和减法 第1课时 二次根式的加减法
精选教育课件
1
二次根式的加减运算，首先要把每个二次根式化简，然后再将 被开方数相同的 二次根式 的系数相加减，但 被开方数 不变． 自我诊断. 27＋ 3＝ 4 3 .
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果 被开方数 相同，这几个二次根式就叫作同类二次根式．
精选教育课件
2
1．在下列二次根式中：2 2，21 80， 21，4 0.75，12 0.2.
(1)能与 3合并的是 4 0.75 ；
(2)能与 5合并的是
1 2
80，12
0.2
；
(3)能与 2合并的是2 来自，1 2.2．若 a、b 为有理数，且 8＋ 18＋ 18＝a＋b 2，则 a＝ 0
3．当 y＝23时，
精选教育课件
7
(3)( 445－ 20－5 118)－(16 245－ 54)．
解：原式＝32 5－2 5－56 2－76 5＋ 25＝－65 2－76 5.
精选教育课件
4
5．有两根绳子，长分别为( 48－ 32)m 和(6 2－4 3)m，则其总长为 2 2 m. 6．计算： (1) 8＋ 32－ 2； (2)2 12＋5 3－3 48； (3)(3 3＋2 8)－(2 12＋3 2)．
解：(1)5 2； (2)－3 3； (3) 2－ 3.
精选教育课件
5
7．已知△ABC 的三边 a、b、c，其中 a＝ 40cm，b＝ 160cm，若周长是 9 10cm，求 c 的长．
解：a＝2 10cm，b＝4 10cm， c＝9 10－a－b＝9 10－2 10－4 10＝3 10(cm)．
湘教版数学八年级上册5.3《二次根式的加减运算》说课稿
湘教版数学八年级上册5.3《二次根式的加减运算》说课稿一. 教材分析湘教版数学八年级上册5.3《二次根式的加减运算》这一节，是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的乘除运算的基础上进行教学的。
本节主要让学生掌握二次根式的加减运算法则，会进行二次根式的加减运算。
教材通过例题和练习，让学生在具体的情境中感知和理解二次根式的加减运算规则，培养学生的运算能力和数学思维能力。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了二次根式的基本性质，如：二次根式中的被开方数相同，则这两个二次根式相等；被开方数互为相反数，则这两个二次根式互为相反数。
同时，学生也已经学习了二次根式的乘除运算，如：√a×√b=√ab，√a÷√b=√a（其中a≥0，b>0）。
但是，学生在进行二次根式的加减运算时，b容易出错，如：将不同的二次根式进行合并，或者在化简过程中出现错误。
因此，在教学这一节时，需要引导学生正确掌握二次根式的加减运算法则，并通过大量的练习，让学生熟练地进行二次根式的加减运算。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次根式的加减运算法则，会进行二次根式的加减运算。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的运算能力和数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验到数学的乐趣，增强学生学习数学的信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握二次根式的加减运算法则，会进行二次根式的加减运算。
2.教学难点：如何引导学生正确进行二次根式的加减运算，特别是在化简过程中的注意事项。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、讲解法、练习法、合作交流法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习二次根式的性质和乘除运算，引导学生进入二次根式的加减运算学习。
2.讲解新课：讲解二次根式的加减运算法则，并通过例题进行演示。
3.学生练习：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识。
最新湘教版八年级数学上册精品课件-5.3二次根式的加法和减法(第1课时)
• 第四级 • 第五级
d
单击此处编母版标题样式
解 设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别
•
单为击此S1，处S2编，辑由母S版1 文πR本2 ，样S式2 R• 第二S级1，r S2 . 则
πr 2
可知
• 第π三级
π
d
Rr
•
S 第四级 • 1第五级
S2
ππ
763.02 150.72
• 第四级
=2 11 3 • 1第1五级11 2 = 48 4 1 3 1 +4 1
分析：• 第(1•三)若第级四几级 个非负数的和为零，则这几个非负 数必须为零•；第五(2级)根据三角形的三边关系来判断.
解：(1)由题意得 a 8 2 2,b 5,c 3 2；
(2)能.理由如下：∵ 2 2＜3 2＜5，即a＜c＜b， 又∵ a c 5 2,∴a+c＞b， ∴能够成三角形，周长为a b c 5 2 5.
(2) 80 ，45 ，20 .
2
2,3
2,
2; 2
4 5 , 3 5, 2 5 .
2019/8/31
化简后被开方数相同
3
单击此处编母版标题样式
问题3 有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二
次根式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分
到•四单个击不此同处的编栅辑栏母里版吗文？本样式
• 第二级
• 第三级
13 2- 6 3;
2 5.
2 与 3 能合并吗？
二次根式的加减与 合并同类项类似.
单击此处编母版标题样式
典例精析
例3 计算: (1) 80 45; (2) 9a 25a; • 单击此处编辑母版文本样式
八年级数学上册 5.3 二次根式的加法和减法(一)教学课件 (新版)湘教版.ppt
(4) 5012132
(5)2 6 51 6 2
11
知识梳理
二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式 (2)把各个同类二次根式合并. 如何合并同类二次根式
与合并同类项类似,把同类二次根式的系数 相加减,做为结果的系数,根号及根号内部都不 变。
12
(如 2与 3 )不能合并
6
自主探究 例1：计算
(1)23 32 233
解： （ 3 原 22 式 2 ） （ 333 ）
2 2 3
强调：
(2)8 18 12
先化简，
解： 原 42 式 9243 再合并
2 23 22 3
5 22 3 7
知识梳理
二次根式加减法的步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
判断同类二次根式的关键是什么？ ①化:化成最简二次根式， ②看:看被开方数是否相同,根指数也相同 (都等于2).
4
下列各式中,哪些是同类二次根式?
2
75
1
1
27
50
3
2 8ab 3 3
6b
Hale Waihona Puke a 2b5同类二次根式合并： 把根号外系数或字母相加减,根指
数和被开方数不变。
注意:不是同类二次根式的二次根式
一化 二找 三合并
8
注意:不是同类二次根式的二次根式
(如 2 与 3 )不能合并
练习 1.判断:下列计算是否正确?为什么?
1 2 3 5 ; 2 2 2 2 2 ;
3 81 8 49235
2 9
随堂练习
计算1
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5.3 二次根式的加法和减法 5.3.1 二次根式的加减运算（1） （第8课时） 教学内容： 二次根式的加减 教学目标： 理解和掌握二次根式加减的方法． 先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简． 重难点关键： 1．重点：二次根式化简为最简根式． 2．难点关键：会判定是否是最简二次根式． 教学过程 一、复习引入 学生活动：计算下列各式． （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减． 二、探索新知 学生活动：计算下列各式．
（1）22+32 （2）28-38+58 （3）7+27+397 （4）33-23+2 老师点评： （1）如果我们把2当成x，不就转化为上面的问题吗？ 22+32=（2+3）2=52 （2）把8当成y； 28-38+58=（2-3+5）8=48=82 （3）把7当成z； 7+27+97=27+27+37=（1+2+3）7=67 （4）3看为x，2看为y． 33-23+2 =（3-2）3+2 =3+2 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的． （板书）32+8=32+22=52 33+27=33+33=63 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并． 例1．计算 （1）8+18 （2）16x+64x 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52 （2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x
例2．计算 （1）348-913+312 （2）（48+20）+（12-5）
解：（1）348-913+312=123-33+63=（12-3+6）3=153 （2）（48+20）+（12-5）=48+20+12-5 =43+25+23-5=63+5 三、巩固练习 P169 练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（293xx+y23xy）-（x21x-5xyx）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，
•再合并同类二次根式，最后代入求值． 解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0 ∴4x2-4x+1+y2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0 ∴x=12，y=3
原式=293xx+y23xy-x21x+5xyx =2xx+xy-xx+5xy
=xx+6xy 当x=12，y=3时，
原式=12×12+632=24+36 五、归纳小结 本节课应掌握： （1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业 1．P172 习题5.3 A组 1、2、 2．选作课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题
1．以下二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（ ）． A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 2．下列各式：①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④243=22，其中错误的有（ ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题
1．在8、1753a、293a、125、323aa、30.2、-218中，与3a是同类二次根式的有________． 2．计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是________． 三、综合提高题
1．已知5≈2.236，求（80-415）-（135+4455）的值．（结果精确到0.01）
2．先化简，再求值． （6xyx+33xyy）-（4xxy+36xy），其中x=32，y=27． 答案: 一、1．C 2．A 二、1．1753a 323aa 2．6b-2a 三、1．原式=45-355-455-1255=155≈15×2.236≈0.45 2．原式=6xy+3xy-（4xy+6xy）=（6+3-4-6）xy=-xy，
当x=32，y=27时，原式=-3272=-922 5.3.1 二次根式的加减运算（2） （第9课时） 教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标 运用二次根式、化简解应用题． 通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题． 重难点关键 讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学过程 一、复习引入 上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固． 二、探索新知 P169 动脑筋 P170例3 计算
（1） （6-83）×2 （2） （2+2）（1-2）
P170例4 计算 （1） （2+1）（2-1） （2） （2-3）2
P171例5 计算
（1） （32+2）÷2 （2） 321+3-21 三、巩固练习 P171 练习 1、2、3 四、应用拓展
例6．若最简根式343abab与根式23226abbb是同类二次根式，求a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式23226abbb不是最简二次根式，因此把23226abbb化简成|b|·26ab，才由同类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b． 解：首先把根式23226abbb化为最简二次根式： 23226abbb=2(216)ba=|b|·26ab
由题意得432632ababab ∴24632abab ∴a=1，b=1 五、归纳小结 本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、布置作业 1．P172 习题5.3 A组 3、4． 2．选用课时作业设计． 综合提高题 1．若最简二次根式22323m与212410nm是同类二次根式，求m、n的值． 2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个
数的平方，如3=（3）2，5=（5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （2-1）2=（2）2-2·1·2+12=2-22+1=3-22 反之，3-22=2-22+1=（2-1）2 ∴3-22=（2-1）2 ∴322=2-1 求：（1）322 （2）423； （3）你会算412吗？ （4）若2ab=mn，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
答案: 1．依题意，得2223241012mmn ，2283mn ，223mn
所以223mn或223mn 或223mn 或223mn 2．（1）322=2(21)=2+1 （2）423=2(31)=3+1 （3）412=2423(31)=3-1 （4）mnamnb 理由：两边平方得a±2b=m+n±2mn 所以amnbmn
5.3.2 二次根式的混合运算 （第10课时） 教学内容 ： 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用． 教学目标 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键 重点： 二次根式的乘除、乘方等运算规律； 难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题: 1．计算 （1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用． 二、探索新知 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立． 整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
例1．计算: （1）（6+8）×3 （2）（46-32）÷22 分析：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律． 解：（1）（6+8）×3 =6×3+8×3