f行列式的计算
（完整版）行列式的计算方法（课堂讲解版）
（完整版）⾏列式的计算⽅法（课堂讲解版）计算n 阶⾏列式的若⼲⽅法举例n 阶⾏列式的计算⽅法很多，除⾮零元素较少时可利⽤定义计算（①按照某⼀列或某⼀⾏展开②完全展开式）外，更多的是利⽤⾏列式的性质计算，特别要注意观察所求题⽬的特点，灵活选⽤⽅法，值得注意的是，同⼀个⾏列式，有时会有不同的求解⽅法。
下⾯介绍⼏种常⽤的⽅法，并举例说明。
1．利⽤⾏列式定义直接计算例计算⾏列式 001002001000000n D n n=-LLMM M M L L解 D n 中不为零的项⽤⼀般形式表⽰为 112211!n n n nn a a a a n ---=L .该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利⽤⾏列式的性质计算例：⼀个n 阶⾏列式n ij D a =的元素满⾜,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称⾏列式，证明：奇数阶反对称⾏列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L故⾏列式D n 可表⽰为1213112232132331230000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L，由⾏列式的性质A A '=，1213112232132331230000n nn n n n na a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00n n n n n n na a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因⽽得D n = 0.3．化为三⾓形⾏列式若能把⼀个⾏列式经过适当变换化为三⾓形，其结果为⾏列式主对⾓线上元素的乘积。
第一章行列式第一讲
（2）消去变换法：通过行列的加减使大部分元素变为零，然后进行计算。 例：计算 1 2 3 n x 1 2 n 1 D得
1 x 0 0 D 0 x 1 1 x 0 0 x 1 1 x 0 x 1 x x 1 1 1 1 1 1
a00
a00
....
a00
1 1 1 1 k 1 k .... a1k x1 a1k x2 a1k xn1 k k 0 k 0 k 0 D .... .... .... . n 1 n 1 n 1 n 1 k n 1 k .... an1k xnn 1 k an1k x1 an1k x2 k 0 k 0 k 0 1 1 x1 x2 n 1 ai0 .... .... i0 x1n 1 x2n 1 .... .... .... 1 xn n 1 a (x x ) . i i 0 j 0 1 j i n i .... xnn 1
令右下角的元素1=x+(1-x)将行列式表示为两个行列式之和得
1 x 1 1 0 1 x 0 0 1 x D 0 0 0 x x x
0 1 x 1 1 0 0 1 x 0 0 0 1 x 0 1 x 0 0 0 0 x 1 x x x x
的第i列，则有
三、行列式的计算
（1）提公因子法：将行列式某行(列)的公因子提出来，再进行计算。 例：计算
线性代数课件1-5~1-6行列式的性质与计算
a11 a1i a1 j a1n a21 a2 i a2 j a2 j an1 ani anj anj
a11 ka1 j a1 j a1n a21 ka2 j a2 j a2 j an1 kanj anj anj
推论 如果行列式有两行（列）完全相同， a11 a12 a1n 则此行列式为零. 证明 设行列式为 D 互换相同的两行，有
D D
D0
1 7 5 6 6 2 0
6 6 2
a21 a22 b1 b1 b2 b2 a n1 a n 2 ann bn bn a2 n
4 0 0
r4 2 r5
3 0 0 0
5
0 0 0 1 4 0 0 0
0 0 2 0 3 0 5 0 0
0 r 3r 0 0 2 5 1 0 0 3 0 1 2 5 0 0
r2 r1
0 16 2 7
0 16 2 7
r3 4r2 0 2 1 1 D 0 8 4 6 r4 8r2 0 0 8 10 0 16 2 7 0 0 10 15
0 2 1 1
1
3
1
2
1 3 1
2
1 3 1 2 5 r4 r3 0 2 1 1 2 8 5 40. 4 2 0 0 8 10 5 0 0 0 2
a11 ai1 a12 a1n a i 2 a in a11 ai1 a12 a1n a i 2 a in
k 0. ka i 1 ka i 2 ka in a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
行列式的计算方法
行列式的若干计算方法摘 要 归纳总结行列式的计算方法,并举例说明它们的应用. 关键词 行列式;初等变换;计算方法;化简 中图分类号 O175The number of calculation method of determinantAbstract :Summarized determinant method of calculation, and examples of their application. Keywords:Determinant; elementary transformation; calculation methods; simplification.引言行列式是研究线性代数的一个重要工具,在线性方程组,矩阵,二次型中用到行列式,在数学其它分支也常常用到行列式,因此行列式的计算显得尤其重要,但行列式的计算灵活多变,需要较强的技巧,一直是学生不易领会和掌握的,本文在已经学过行列式的计算方法的基础上总结出如下一些常用方法.1 定义法根据行列式的定义121212()12(1)n n nj j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑我们可以利用定义直接计算行列式,其中11()n j j j τ是11n j j j 的逆序数.例1证明1112131415212223242531324142515200000000a a a a a a a a a a D a a a a a a ==. 分析 观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.证明 由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为1212n j j nj a a a则 12512125()12(1)n j j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑. （1）其中115,,,j j j 为1,2,3,4,5的任意排列,在D 中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（1）式中每一项至少有一个来自后三行后三列.故D =0.注意 此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.2化三角形法化三角形是将原行列式化为上（下）三角形或对角形行列式进行计算的一种方法,是计算行列式最基本的计算方法之一,这是因为由行列式的定义我们可以直接计算上（下）三角形或对角形行列式.一般而言,对任意行列式都可化为三角形行列式,但是有的行列式化简时非常繁琐,应该先利用性质实施一些初等变换,然后再化简.例2 计算行列式12312341345121221n n n n D n n n -=--.分析 直接用化三角形法化简很烦,观察发现对于任意相邻两列中的元素,位于同一行的元素中,后面元素与前面元素相差1,因此先从第1n -列乘-1加到第n 列,第2n -列乘-1加到第1n -列, 这样做下去直到第1列乘-1加到第2列,然后再计算就显得容易.解 12312341345121221n n n n D n n n -=--1111121111311111111n n n n -=--111111000201000nn n n -=---120001000120001nn n n n n +++-=--- 000001(1)00002n nn n n n---=- (1)(2)21(1)(1)2n n n n n ---=- (1)12(1)(1)2n n n n n --+=-.问题推广在例2中1,2,,n ,这n 个数我们可以看成有限个等差数列在循环,那么对于一般的等差数列也应该适应.计算行列式111111111111111111112(1)23234(1)(3)(2)a a d a d a n d a nd a d a d a d a nd a D a d a d a d a a d a n da a da n da n d+++-+++++=+++++-++-+-1111(1)2(1)(1)(1)a d d d d a d d d d n d a d d d n d d a n d n d d dd+-=+-+-- 12(1)000a ddd d d ndd ndn d nd -=---1(1)02(1)000d n da nnd ndd ndn dnd -+++-=---(1)(2)121(1)()()(1)n n n d n d a nd nn----=+++--(1)(2)1112((1))1()()(1)2n n n n a a n d nd n ---++-=--. 如果将例2中的数11a =，1d =代入(1)(2)1112((1)1()()(1)2n n n n a a n d nd n ---++-=--结论显然成立.3加边法利用行列式按行（列）展开的性质把n 阶行列式通过加行（列）变成与之相等的1n +阶行列式,然后计算.添加行列式的四种方法:设111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a =.（1）首行首列111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a =121112121222121000n n n n n nna a a a a a a a a a a a =.（2）首行末列111212122212nnnn n nna a aa a aDa a a=111213121222321230001n n n na a a aa a a aa a a a=.（3）末行首列111212122212nnnn n nna a aa a aDa a a=1111212212223313231000nnna a a aa a a aa a a a=.（4）末行末列111212122212nnnn n nna a aa a aDa a a=1112131212223231323330001a a a aa a a aa a a a=.例3计算123123123123(0)nnnnx a a a aa x a a aD a a x a a xa a a x a++=+≠+.解1212121212(1)(1)1nnnnn n na a ax a a aa x a aDa a aa a x a+⨯+++=+将第一行乘(1)-加到其余各行上去,得12(1)(1)11001001000100nn na a axxx+⨯+--=--将第2列,,第n列分别乘1x,全都加到第一列,得121(1)(1)100000000000nk n k n n a a a a x x x x=+⨯++=∑1111(1)n nnn n k k k k x a x x a x -===+=+∑∑.加边法是将原行列式中添加适当的行(列),构成一个新的行列式,并以此行列式为过渡来达到计算原行列式的目的.4降阶法n 阶行列式等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即1(1,2,,)nij ij j D a A i n ===∑ 或 1(1,2,,)nij ij i D a A j n ===∑.行列式按一行（列）展开将高阶转化为若干低阶行列式计算方法称为降阶法.这是一种计算行列式的常用方法.例4 计算1301301411210110D =. 解 130109110220011D -=-9111220110-=⨯-21421-==-.注意 对于一般的n 阶行列式若直接用降阶法计算量会大大加重.因此必须先利用行列式的性质将行列式的某一行（列）化为只含有一个非零元素,然后再按此行（列）展开,如此进行下去,直到二阶.5递推法递推法是根据行列式的结构利用n 阶行列式的性质,把给定的行列式n D 用与n D 有相同形式的1n D -阶行列式表示出来,然后将1n D -阶行列式再用与1n D -有相同形式的2n D -阶行列式表示出来,这样一直做下去直到n D 被有相同形式2D 的表示出来,这样n D 可被易计算的2D 表示出来,故可达到计算n D 的目的.例50001000101n D αβαβαβαβαβαβ++=++证明11,n n n D αβαβ++-=-其中αβ≠分析 此行列式的特点是除主对角线及其上下两条对角线的元素外其余的元素都为零,这种行列式称“三条线”行列式,从行列式的左上方往右下方看即知n D 与1n D -具有相同的结构.因此可考虑用递推法证明.证明 把行列式n D 按第一行展开，得12()n n n D D D αβαβ--=+-于是有递推关系式12()n n n D D D αβαβ--=+-或 112()n n n n D D D D αβα----=- 类似有1223()n n n n D D D D αβα-----=-3221()D D D D αβα-=-. 由于1()D αβ=+ 22()D αβαβ=+-因而221()()n nn n D D αβαβαβααββ--⎡⎤-=+--+=⎣⎦.若 0α= 时 n n D β= 若 0α≠ 时 11()n nn nn D D βααα--=+利用计算递推,得1212112()()()()()n n n n nn n nn n D D D D βββββααααααααα-----=+=++==+++21()()n βββααα=++++=1111()11n n n nβαβαβααβα+++--=-- 所以 11()n n n D αβαβαβ++-=≠-.若αβ=时,从 21()()1n n D n βββααα=++++=+得到(1)n n D n α=+故 11(1)n n n n D n αβαβαβααβ++⎧-≠⎪-=⎨⎪+=⎩当 当 .6析因法基本方法:如果行列式D 中有一些元素是变量x 的多项式,那么将行列式D 当作一个多项式()f x 然后对行列式施行某些变换,求出()f x 互素的一次因式,使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c ,根据多项式相等的定义,比较()f x 与()g x 的某一项的系数,求出c 值,便可求得()D cg x =.例6 计算行列式221123122323152319x D x -=-分析 这是一个关于x 的4次多项式,在复数范围内此多项式可分解成4个一次因式的乘积解 令()f x =221123122323152319x D x -=-则()f x 是关于x 的4次多项式,由行列式的性质当1,2x x =±=±时()0f x ≡.因此()f x 有四个一次因式(1),(1),(2),(2)x x x x -+-+.()g x (1)(1)(2)(2)x x x x =-⋅+⋅-⋅+于是 ()f x (1)(1)(2)(a x x x x =⋅-⋅+⋅-⋅+.比较D 中4x 的系数,得3a =-()D f x ==3(1)(1)(2)(2)x x x x -⋅-⋅+⋅-⋅+.注意 找一次因式时因该先观察,若行列式是关于x 的n 次多项式就相应的找n 个一次因式（重因式按重因式个数计算）而不要意味的看行列式的阶数n 相应的找n 个一次因式.7利用方阵特征值在线形变换的研究中,矩阵的特征多项式非常重要,由矩阵的特征多项式，再根据根与系数的关系式可知矩阵全体特征值的积为相应行列式的值.因此,我们可以用这个办法来计算行列式.例8 计算如下行列式的值123123123123n n n n n a a a a a a a a M a a a a a a a a λλλλ++=++.解n b bM bb=+123123123123n nn na a a a a a a a a a a a aa a a 因为行列式b bbb的特征值为,,,b b b ,行列式123123123123n nn na a a a a a a a a a a a a a a a 的特征值为1,0,,0ni i a =∑.所以n M 的特征值为1,,,ni i b a b b =+∑.由行列式的特征值与行列式的关系式知11()nn n i i M b a b -==+∑.8对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法.例9 计算n 阶行列式00010011n D αβαβαβαβαβαβ++=++.解 按第1行展开,得12()n n n D D D αβαβ--=+-即 112()n n n n D D D D αβα----=- 由此递推,即得 1n n n D D αβ--=因为n D 中α于β对称,又有 1n n n D D βα--=αβ≠当 时,从上式两边消去1n D -,得11n n n D αβαβ++-=- αβ=当 时,112()(1)n n n n n n n D D D n βββββββ---=+=++==+.与例题5作比较可看出对于同一个行列式的计算有多种方法.因此我们在选择方法时因该遵守简单原则,这样不但可以减少计算量,而且还可以保证答案的正确性.9数学归纳法数学归纳法有两种一种是不完全归纳法,另一种是完全归纳法,通常用不完全归纳法寻找行列式的猜想,再用数学归纳法证明猜想的正确性. 基本方法1) 先计算1,2,3n =时行列式的值. 2) 观察1,2,3D D D 的值猜想出n D 的值. 3)用数学归纳法证明.例10 计算行列式0001001n a b ab a b ab D ab++=+.解：因为 221a b D a b a b -=+=-33222a b D a ab b a b-=++=-所以，猜想 11n n n a b D a b++-=- . (1)证明 当1n =时,(1)式显然成立.设1n k ≤-时,(1)式显然成立,则n k =时(1)00000()1k k a bab a b ab D a b ab -++=++ (1)000001k a b ab ab ababa b -++-+12()k k a b D abD --=+-11()k k k k a b a b a b ab a b a b ----=+---11k k a b a b++-=-∴当n k =时(1)式也成立,从而得证.即 11n n n a b D a b++-=-.注意 一般而言,对于给定的一个行列式,要猜想一个之比较困难,所以一般情况下是先给定其值,然后再证明.11范德蒙行列式范德蒙行列式1232222123111111231111nn n i j j i nn n n n nx x x x D x x x x x x x x x x ≤<≤----==-∏因此可将给定行列式化为范德蒙行的形式然后直接计算.例11 计算1n -阶行列式1n D -131313222222223333336n n n n n n n n n nn n n n ---------=----.解 用加边法将行列式化为范德蒙行列式131311321111102222222033333360n n n n n n n D n n n n n n n n -------=-------132132132111112222233333n n nn nn n n n n n ---=1221221221111112222!133331n n n n n n n n n n n------= 221(2)(3)212212211111112222!(1)133331n n n n n n n n n nn n n ---+-+++----=- (1)(2)(1)(2)12211(1)!()(1)(!)n n n n n i j nk n i j k -----≤<≤==--=-∏∏12利用拉普拉斯定理拉普拉斯定理的四种特殊情形01)nn nn mm mnmmA ABC B =⋅; 2)nn nm nn mm mmA C AB B =⋅;3)(1)nnmn nn mm mm mnA AB BC =-⋅ ; 4)(1)0nm nn mn nn mmmmC A A B B =-⋅.故可将已知行列式选取适当地行列,化成上述四种特殊情形计算. 例12 计算n 阶行列式n a a a ab D b bλαββββαβββββα=. 解 n D =0000aaaabλαββββααββααβ----(1)(2)0000n aaaab n λαββββαβαβ-+-=--00(1)00(2)0n b n αβλααβαβαβ---=⋅+--[]2(2)(1)()n n ab n λαλβαβ-=+---⋅-.n 阶行列式的计算,证明方法较多,不同的题目用到不同的计算方法,同样的题目有时也可以用到不同方法,至于选择哪一种要视具体题目而定.但是更重要的是同一道题不仅仅局限于某一种计算方法,而是要用多种方法综合起来才能完成.。
第1 讲 行列式的计算 - 清华大学出版社
an 2 ann
a1n
a2 n ann
.
等式右边的行列式称为左边行列式 D 的转置，记作 D T . 所以 D T D . 性质 2 行列式的某两行（列）元素成比例，则行列式为零. 性质 3 如果行列式中有一行（列）的每个元素都是两个数的和，则行列式 可拆成两个行列式的和. 即
ai1 ain ai1 ka j1 ain ka jn . an1 ann an1 ann
3. 行列式的展开定理
(1) 余子式，代数余子式
在 n 阶行列式中，将元素 aij 所在的行与列上的元素划去，其余元素按照原 来 的 相 对 位 置 构 成 的 n 1 阶 行 列 式 ， 称 为 元 素 aij 的 余 子 式 ， 记 作 M ij .
1 2 . 2
行和与列和均不相等，但第 1 行（列）中不含 的两个元素之一为
0，可直接按对角线方法计算.
1
解
0 2
0 2 1 2 ( 1)( 1) 4( 1) 4( 1) ( 3)( 3). 2
2
考研线性代数选讲
a11
a1n
a11 a1n
a11 a1n
cin .
bi1 ci1 bin cin bi1 an1 ann
bin ci1
an1 ann
an1 ann
性质 4
行列式的两行（列）互换，行列式变号.
(1) (2) (3) (4)
AB A B (其中 B 为 n 阶方阵)； 1 A1 A （其中 A 可逆） ； A O A O A C A B ， (5) O B C B O B
行列式加减法计算公式
行列式加减法计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵所对应的一个数。
行列式的加减法是对两个行列式进行运算，得到一个新的行列式的过程。
在实际问题中，行列式的加减法计算公式有很多应用，可以帮助我们解决复杂的线性代数问题。
在本文中，我们将详细介绍行列式的加减法计算公式及其应用。
一、行列式的定义二、行列式的加法计算公式1. 行列式的加法性质：两个行列式相加，等于这两个行列式的每一个元素相加。
对于两个3阶方阵A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]和B=[-1 -2 -3; -4 -5 -6; -7 -8 -9]，则有|A+B|=|1+(-1) 2+(-2) 3+(-3)||4+(-4) 5+(-5) 6+(-6)||7+(-7) 8+(-8) 9+(-9)|=|-1 0 0||-1 0 0||0 0 0|=02. 行列式的减法计算公式：利用行列式的减法性质，可以通过每一个元素相减，得到新的行列式的值。
行列式的加减法计算公式在解决线性代数问题中有着广泛的应用。
其中包括以下几个方面：1. 解线性方程组：通过解线性方程组，可以利用行列式的加减法计算公式快速求解未知数的值，简化计算步骤。
2. 求逆矩阵：通过行列式的加减法计算公式，可以求解方阵的逆矩阵，从而用于矩阵的运算。
行列式的加减法计算公式是线性代数中的重要内容，通过掌握行列式的加减法计算公式，可以帮助我们解决复杂的线性代数问题，提高计算效率。
希望本文对读者有所帮助，欢迎阅读。
第二篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，在矩阵运算中占有非常重要的地位。
行列式的定义是一个数学函数，它将一个方阵映射到一个实数上。
同时，行列式也是线性代数中用于解不定方程组、判断矩阵是否可逆、计算面积和体积等问题的工具之一。
在行列式的运算中，加减法是其中一项重要的操作。
下面就让我们来学习一下行列式的加减法计算公式。
首先，我们先来回顾一下行列式的定义和性质。
线性代数第一章行列式
04
式可以表示为三个向量的向量积的 二倍，即 |a b c| = 2abc。
向量积的符号由行列式的值决定，当行列式 值为正时，向量积为正；当行列式值为负时， 向量积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的 形状，当行列式值为正时，平行四 边形为锐角；当行列式值为负时， 平行四边形为钝角。
行列式与平行四边形面积的关系
行列式可以表示平行四边形的面积，即 |a b| = ab/2。
当行列式值为正时，平行四边形的面积为正； 当行列式值为负时，平行四边形的面积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的方向，当行 列式值为正时，平行四边形为顺时针方向；当 行列式值为负时，平行四边形为逆时针方向。
行列式与空间向量的关系
01
02
03
行列式可以表示空间向量的模长，即 |a b c| = abc。
当行列式值为正时，空间向量的模长 为正；当行列式值为负时，空间向量 的模长为负。
行列式可以用来判断空间向量的方向 ，当行列式值为正时，空间向量为右 手系；当行列式值为负时，空间向量 为左手系。
05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
定义
代数余子式是去掉一个元素所在的行和列后，剩 下的元素构成的二阶行列式。
性质
代数余子式与去掉的元素所在的行和列的符号有 关。
计算方法
可以通过二阶行列式的计算法则来计算代数余子 式。
行列式的展开定理
01
定理内容
一个n阶行列式等于它的任一行 （或列）的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和。
02
03
定性。
求解线性方程组
03
在求解线性方程组时，可以利用展开定理计算系数矩阵的行列
式值，从而判断方程组是否有解。
第一章行列式的计算
1
a2 a3
x
将第1列的( a 1)倍加到第2列，将第1列的 ( a２)倍加到第3列， , 将第1列的( a n )倍加到最 后一列，得
1 0 0 1 x a1 0 n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 a1 x a 2 i 1 1 a 2 a1 a 3 a 2
４ 例4
用降阶法计算, 按一行（列）展开 计算
a
b
c d a b
d c . b a
b a D4 c d d c
解 将 的第2、、行都加到第 行，并从第 行中 34 1 1 D4
提取公因子a b c d，得
1
1
1 1
b a d c , D4 ( a b c d ) c d a b d c b a
例
这是一个关于三个未知 a , b, c的线性方程组. 数 D 20 0, D1 40,
D2 60,
D3 20.
由克莱姆法则，得 D D D a 1 2, b 2 3, c 3 1. D D D 于是，所求的多项式为
f ( x ) 2 x 2 3 x 1.
已知四阶行列式D的第一行元素依次是1,3,0，-2，第二行
对应元素的代数余子式依次是8，ｋ,-7,10，求ｋ．
解
a11 A21 a12 A22 a13 A23 a14 A24 0
1 8 3k 0 (7) (2) 10 0
k 4
2 ( Dn 2 Dn 3 )
n
)2 ] ( ) [(
2
n 2 ( D2 D1 ) n
(Dn 2 n 1 ) n Dn Dn 1 2 Dn 2 n 1 n
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2 1 00 0 0 1 2 10 0 0 0 1 20 0 0 Dn 0 0 02 1 0 0 0 01 2 1 0 0 00 1 2
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拆元法
计算行列式
将行列式的一行(列)分成两个数的和
x a a a a x a a a a x a a a a x
n阶行列式的计算
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主要有如下几种方法
行列式定义法 化三角形法 按行列展开法 综合法 递推法 消去化零法 拆元法
加边法 数学归纳法 利用线性方程组的解 利用递推方程组 乘以已知行列式 利用拉普拉斯定理 特征值法
注意观察行列式特点, 如行(列)和为常数
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递推法
求n阶三对角行列式的值
0 0
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x y y y xy y y y xy 0 y y z x y y zx x y y zx xy y y z z x y 0 z x y 0 zx x y z z zx 0 z zx 0 0 zx
0
0
1 0
0
0
0
1 0
0
0
Dn
0
0
0 0
0
0
0 1
0
0
00
1
通常这样的行列式, n阶和n-1阶形状相同
一定要计算1阶,2阶,3阶的情况 得到递推公式
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消去法
求n阶三对角线型行列式的值
x a a a 0 0
a x a a xa 0
(x a) 来自 a 2a
0
a a x a 2a x a
n1
n
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x a aa a x a a a a a a a a x
xaa 0a 0a
a
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x a a a xaa a a
a x a a 0a x a
a
a
a
0a
a a
a a a x 0a a x xa a a a a a
0 x a a x a
0 a a a a a
0 a x a a x
常见于证明题,想办法得到递推公式
1 1 11
x1
x2
x3 xn
Dn x12 x22 x32 xn2
(xi x j )
1 jin
x n1 1
x n1 2
x n1 3
x n1 n
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利用递推方程组
求n阶行列式的值
x y yy z x yy z z xy z z zx
xy 0 0 0 y zx xy 0 0 y
0 zx xy 0 y
0 0 0 xy y 0 0 0 zx xy
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总结
对于n阶行列式,尝试求出n=1,2,3,4,5的情况 注意观察行列式的特点: 1. 处理箭形或者三角形行列式 2. 各行各列的和为常数 3. 各行或者各列存在相似的比例关系,或者有某种重复出现 的情况 4. 行列式有递推的情况 5. 行列式分成小块
a
xa a a
a a x
xa 0 0 0 a a a a
a x a a a x a a
a a a a a a
a a a x a a a x
x a a
a a a
a x a
0 x a 2a
(x a)
a a a x 0 0 0 x
n1
n
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加边法
计算行列式(爪型行列式)
通常这样的行列式行(列)有重复出现的元素
b a1 a2
a3 an
a1 b a2 a3 an
a1
a2 b a3 an (b 0)
a1
a2
a3 b an
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数学归纳法
证明范得蒙得（Vandermonde)行列式