重庆一中2021届高三第一学期第三次月考数学试题【含答案】
重庆市一中2021届高三数学11月月考试题 理(含解析)
重庆市一中2021届高三数学11月月考试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案） 1.在平面直角坐标系中，点sin100,cos 0()20P ︒︒位于第（ ）象限. A. 一 B. 二C. 三D. 四【答案】D 【解析】 【分析】由钝角的正弦值大于0，再由诱导公式得0cos 200<，即可得到答案. 【详解】()sin1000,cos 200cos 18020cos 200︒︒︒︒︒>=+=-<，∴点()sin100,cos 200P ︒︒位于第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查三角函数值的符号、诱导公式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．2.设,,x y z ∈R ，条件p ：22xz yz >，条件q ：x y >，则p 是q 的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】条件p ：22xz yz >，⇒条件q ：x y >；反之不成立：例如取0z =，则22xz yz =即可判断出．【详解】∵条件p ：22xz yz >⇒条件q ：x y >；反之，则不成立；例如取0z =，则22xz yz =． 则p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定、不等式的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力.3.设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若m α⊆，n β⊆，则m ，n 为异面直线 B. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥ C. 若//m α，//m β，则//αβD. 若αβ⊥，m α⊆，n β⊆，则m n ⊥ 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线、面的位置关系对每个选项一一判定，即可得到答案. 详解】对A ，若m ⊆α，n ⊆β，则m ，n 可能平行、相交、异面．故A 错误；对B ，若m ⊥α，则m 垂直平面α内所有的直线，又n ∥α，所以m ⊥n ．故B 正确； 对C ，若m ∥α，m ∥β，则α，β可能相交，平行．故C 错误；对D ，若α⊥β，m ⊆α，n ⊆β，则m ，n 可能平行、相交、异面．故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查学生的空间想象能力.4.已知正数a ，b 满足1a b +=，则9a bab+的最小值为（ ） A. 4B. 6C. 16D. 25【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得99191()a b a b ab b a b a +⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式即可求解． 【详解】正数,a b ，满足1a b +=，则991919()101016a b b a a b ab b a b a a b +⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当9b aa b =且1a b +=即13,44a b ==时取得最小值16． 故选：C ．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑． 5.设函数()1sin cos f x x x =+，则下列说法中正确的是（ ） A. ()f x 为奇函数 B. ()f x 为增函数C. ()f x 的最小正周期为2πD. ()f x 图象的一条对称轴为4πx =-【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的性质分别进行判断即可． 【详解】因为1()1sin cos 1sin 22f x x x x =+=+， 对A ，函数()f x 不关于原点对称，所以不为奇函数，故A 错误； 对B ，函数()f x 在R 上不具有单调性，故B 错误； 对C ，函数()f x 的周期22T ππ==，故C 错误； 利用排除法可得D 正确. 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式进行化简是解决本题的关键． 6.设正项等比数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若563S a S =+，则{}n a 的公比q =（ ）B. 1【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可算出结果．【详解】∵等比数列{}n a 的各项为正数，0q ∴>，∵563S a S =+，∴536S S a -=，即：546a a a +=，∴541131a q a q a q +=，化简得：210q q --=，解得q =又∵0q >，∴q =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，求解时注意公比的范围，考查运算求解能力．7.已知集合M x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，232x N y y ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，则M N ⋃=（ ）A. (0,1]B. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (0,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合M 和N ，由此能求出M N ⋃．【详解】∵12210,log (21)0,x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩⇒集合1|12M x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，∵323x+>,∴22||0323x N y y y y ⎧⎫⎧⎫===<<⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎩⎭， ∴{|01}(0,1]M x x ⋃=<=N ． 故选：A ．【点睛】本题考查并集的求法、不等式的求解、函数的定义域、值域等知识，考查运算求解能力．8.已知向量a ，b 满足||2a =，3b =，4a b +=，则||a b -=（ ）B.D. 3【答案】C 【解析】 【分析】对||4a b +=两边平方求出2a b ⋅的值，再求出2()a b -的值，从而求出||a b -的值． 【详解】∵||2a =，||3b =，180，∴222()213216a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=， ∴23a b ⋅=，∴222()213213310a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅=-=， ∴||10a b -=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图中的圆的半径均为2，则该几何体的体积为（ ）A. 8πB.28π3 C. π D. 7π6【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可得几何体为34个球，根据球的体积公式可求得结果. 【详解】根据几何体的三视图知，该几何体是半径为2的球体，切去14个球后所剩余部分，如图所示∴该几何体的体积为3432834V ππ=⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查球的体积的求解，关键是能够利用三视图准确还原几何体，属于基础题. 10.王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业，王老师特地组建了一个QQ 群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该QQ 群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ 群人数的最小值为（ ） A. 20 B. 22 C. 26 D. 28【答案】B 【解析】 【分析】设教师人数为x ，由题意判断人数关系，求出x 的值后，即可求得答案． 【详解】设教师人数为x ， ∵家长人数多于教师人数， ∴家长人数≥1x +， ∵女学生人数多于家长人数， ∴女学生人数≥2x +， ∵男学生人数多于女学生人数， ∴男学生人数≥3x +， ∴总人数≥46x +，∵教师人数的两倍多于男学生人数， ∴23x x >+， ∴3x >，当4x =时，家长人数为5，女学生人数为6，男学生人数为7，满足题意，总人数为22． 故选：B ．【点睛】本题考查集合的应用问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上.给出下列判断：①存在点F 使得1A C ⊥平面1B EF ；②在平面1111D C B A 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置无关；④三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关.其中正确判断的有（ ）A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】运用线面垂直的定义，结合反证法即可判断①；运用线面平行的判定定理，即可判断②；由二面角的平面角的定义，结合向量法即可判断③；由线面平行，结合三棱锥的体积公式可以判断④．【详解】对于①，假设存在F 使得1A C ⊥平面1B EF ，则1A C ⊥1B E ，又BC ⊥1B E ，BC ∩1A C ＝C ，∴1B E ⊥平面1A BC ，则1B E ⊥1A B ，这与1A B ⊥1AB 矛盾，所以①错误； 对于②，因为平面1B EF 与平面1111D C B A 相交，设交线为l ，则在平面1111D C B A 内与l 平行的直线平行于平面1B EF ，故②正确；对于③，以D 点为坐标原点，以DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立空间坐标系，则平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =而平面1B EF 的法向量n ，随着F 位置变化，故平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置有关，故③错误；对于④，三棱锥1B B EF -的体积即为三棱锥1F BB E -，因为1DD ∥平面11ABB A ，所以，当F 在线段1DD 上移动时，F 到平面11ABB A 的距离不变，故三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关，即④正确． 故选：D ．【点睛】本题考查线面垂直和平行的判断，以及二面角的求法和三棱锥体积，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题．12.已知函数()4cos f x x x π=-，等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，则189a a a ++=（ ）A. 6B. 3C.34D.32【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得函数在R 上单调递增，由()4cos f x x x π=-，可得1142cos cos 4222f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．根据等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，即()()66334f a d f a d -++=，可得612a =．再利用等差数列的性质即可得出．【详解】∵函数()4cos f x x x π=-，'0(n )4si f x x ππ+=≥，∴()f x 在R 上单调递增，∴对任意实数t ，1142cos cos 4222f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-++=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∵等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=， ∴391a a +=，∴612a =， ∵1891633(5)32a a a a d a ++=+==. 故选：D ．【点睛】本题考查函数的性质、等差数列的性质、三角函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.实数x ，y 满足402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32x y +的最大值为________.【答案】12 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由实数,x y ，满足402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，作出可行域如图，可得(4,0)A ，化目标函数32z x y =+为322zy x =-+， 由图可知，当直线322zy x =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为342012z =⨯+⨯=．故答案为：12．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为________. 【答案】840 【解析】 【分析】分析数列的奇数项，得出奇数项为222113151,,,222---⋯，根据此规律代入求出即可．【详解】奇数项为 222113151,,,222---⋯,根据此规律有：第41项为24118402-=，故答案为：840．【点睛】本题考查观察分析猜想归纳求数列的通项公式的方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题.15.已知正三棱锥的底面边长为________. 【答案】100π 【解析】 【分析】先画出图形，先根据正三棱锥的边长和体积求出正三棱锥的高，再根据正三棱锥的性质，确定外接球的球心在正三棱锥的高线上，利用勾股定理即可求出外接球的半径．【详解】如图，根据正三棱锥的性质有点P 在底面ABC 的投影为三角形ABC 的外心，设为D ， 其外接球的球心在PD 上，设为点O ，设外接球半径为r ，三角形ABC 的外接圆半径为R ，∵13V sh =，∴11322PD =⨯⨯， 所以8PD =， 由正弦定理有2sin ABR C=， 所以4AD R ==，在Rt ADO ∆中有，222AD OD AO +=， 所以2224(8)r r +-=解得=5r ， 所以外接球表面积24100S r ππ==， 故答案为：100π．【点睛】本题考查正三棱锥外接球半径的求法，需要用到球心的性质，考查空间想象能力和运算求解能力．16.设函数2(0)()(0)xe xf x xx ⎧≥=⎨<⎩，若方程(())f f x λ=恰有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的最大值为________.【答案】2ln 22- 【解析】 【分析】由题意，令2,0(),0xe x e x g x e x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数()g x λ=有两个不相等的实根12,x x ，画出图象，显然()()22112x x e g x eg x eλ====，进而得到()12112ln x x x x +=+-，由此即可得解．【详解】当0x ≥时，()1xf x e=，则(())xe f f x e =；当0x <时，2()0f x x =>，则2(())x f f x e =，令2,0(),0xe x e x g x e x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数()g x λ=有两个不相等的实根12,x x ，即函数()y g x =与直线y λ=有且仅有两个交点，作出图象如图所示，由图象可知，e λ≥，11x ≤-，0x ≥，且()()22112x xe g x e g x e λ====， ∴221xx e =，则()212ln x x =-，∴()12112ln x x x x +=+-，令()2ln()h x x x =+-，1x ≤-，则2()1h x x'=+，令()0h x '=，解得2x =-， 显然，当(,2)x ∈-∞-时，函数()h x 为增函数， 当(2,1)x ∈--时，函数()h x 为减函数，∴max ()(2)2ln 22h x h =-=-． 故答案为：2ln 22-．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想及数形结合思想，运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置） 17.法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对ABC 而言，若其内部的点P 满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则称P 为ABC 的费马点.如图所示，在ABC 中，已知45BAC ∠=︒，设P 为ABC 的费马点，且满足45PBA ∠=︒，2PA =.（1）求PAC的面积；（2）求PB 的长度.【答案】（13；（231. 【解析】 【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得15PAB ︒∠=，30PAC ︒∠=，可得在PAC ∆中，30PCA ︒∠=，可得2PA PC ==，利用三角形的面积公式即可求解PAC ∆的面积．（2）利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可求sin 45︒，sin15︒的值，在PAC ∆中，由正弦定理可得PB 的值．【详解】（1）由已知1801204515PAB ∠=︒-︒-︒=︒，所以451530PAC ∠=︒-︒=︒. 在PAC ∆中，1801203030PCA ∠=︒-︒-︒=︒，故2PA PC ==.所以PAC ∆的面积113sin 22322S PA PC PAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=. （2）在PAB △中，由正弦定理2sin15sin15sin 45sin 45PB PA PB ︒=⇒=︒︒︒（*）而()232162sin15sin 45302-︒=-=⨯-⨯=︒︒， 2sin 452=°代入（*）式得31PB =-.【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的面积公式、特殊角的三角函数值、两角差的正弦函数公式、正弦定理在解三角形中的综合应用，考查转化与化归思想、函数与方程思想．18.数列{}n a 满足1323nn n a a +=+⨯，13a =.（1）证明：3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项之和为n S .【答案】（1）证明见解析；（2）3nn S n =⋅.【解析】 【分析】（1）将等式两边同除以13n +，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．【详解】（1）由已知11111323223333333n n n n n n n n n n n a a a a a ++++++⨯==+⇒-=， 由定义知3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且公差为23，首项为1113a =，故12211(1)(21)3333n n n n a n n a n -+=+-=⇒=+. （2）由已知0121335373(21)3n n S n -=⨯+⨯+⨯+++，故1233335373(21)3n n S n =⨯+⨯+⨯+++，相减得：()01212332333(21)3n n n S n --=⨯++++-+，即()103132332(21)32313n n n nS n n ---=⨯+⨯-+=-⋅-，所以3n n S n =⋅.【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．19.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，且该四棱锥的每条棱长均为2，设BC ，CD 的中点分别为E ，F ，点G 在线段PA 上，如图.（1）证明：EF GC ⊥；（2）当//BG 平面PEF 时，求直线GC 和平面PEF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）35. 【解析】 【分析】 （1）设ACBD O =，由正棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，得到PO ⊥EF ，再由ABCD 是正方形结合EF 为△BCD 的中位线，可得EF ⊥AC ，得到EF ⊥平面PAC ，进一步得到EF ⊥GC ； （2）分别以PB ，OC ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出A ，P ，E ，F 的坐标，设(,,)G x y z ，且PG PA λ=，其中01λ≤≤，求得(0,,1)G λλ--，设平面PEF 的一个法向量为(,,)m a b c =，求得(0,2,1)m =，结合BG ∥平面PEF ，利用数量积为0求得λ，进一步得到120,,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又(0,1,0)C ，求出直线GC 的法向量为(0,2,1)=-n ．设GC 和平面PEF 所成角为θ，再由sin |cos ,|GC m θ=<>求解．【详解】（1）证明：由已知P ABCD -为正四棱锥，设AC ，BD 交于点O ， 由正棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，所以PO EF ⊥，由于正方形ABCD 满足AC BD ⊥，EF 为BCD ∆的中位线，故//EF BD ，所以EF AC ⊥， 所以EF ⊥平面PAC ，而CG ⊆平面PAC ，所以EF GC ⊥. （2）分别以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立如图坐标系，此时(0,1,0)A -，(0,0,1)P ，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 设(,,)G x y z ，且PG PA λ=，其中01λ≤≤， 即(,,1)(0,1,1)(0,,1)x y z G λλλ-=--⇒--， 设平面PEF 的法向量为(,,)m a b c =， 由于11,,122EP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(1,0,0)EF =-， 由00m EP m EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩解得(0,2,1)m =，由//BG 平面PEF 知0(1,,1)(0,2,1)130BG m BG m λλλ⊥⇒⋅=⇒---⋅=-=，解得13λ=，此时120,,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于(0,1,0)C ，故420,,33GC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以直线GC 的方向向量(0,2,1)=-n ， 设GC 和平面PEF 所成角为θ， 则003sin |cos ,|5||||0n m GC m n m θ⋅⨯=<>===⋅+.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． 20.已知函数()2ln f x x x =+.（1）经过点()0,2-作函数()f x 图象的切线，求切线的方程； （2）设函数()()()1xg x x e f x =--，求()g x 在(0,)+∞上的最小值.【答案】（1）32y x =-；（2）22ln 2-. 【解析】 【分析】（1）设切点坐标为()00,x y ，斜率()0k f x '=，利用点在曲线上和切线上，可得关于0,x k 的方程；（2）对()g x 求导，设出隐零点，根据单调性求出最小值，代入化简即可． 【详解】（1）由于2()1f x x'=+，设切点坐标为()00,x y ， 则0002ln y x x =+，切线斜率()0021k f x x '==+； 另一方面0000022ln 2y x x k x x +++==， 故0000002ln 221ln 013x x x x k x x +++=⇒=⇒=⇒=， 此时切点坐标为()1,1，所以切线方程为()131y x -=-，即32y x =-.（2）由已知()22ln xg x xe x x =--，故12()(1)21(1)xx g x x e x e x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于(0,)x ∈+∞，故10x +>，由于2()xh x e x=-在(0,)+∞单调递增， 同时0lim ()x h x →=-∞，lim ()x h x →+∞=+∞，故存在00x >使得()00h x =， 且当()00,x x ∈时()0h x <， 当()0,x x ∈+∞时()0h x >， 所以当()00,x x ∈时()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时()0g x '>，即函数()g x 先减后增. 故()()0min 0000()2ln xg x g x x e x x ==-+.由于()0000000202ln ln 2x x h x e x e x x x =-=⇒=⇒+=， 所以min ()22ln 2g x =-.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.21.已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅的值； （2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）6；（2）⎡⎢⎣⎦.【解析】 【分析】（1）设点(),P x y ，由该点在椭圆上得出22132y x =-，然后利用距离公式和向量数量积的坐标运算求出1122PF PF PF PF +⋅的值；（2）分直线l 的斜率不存在与存在两种情况讨论，在直线l 的斜率不存在时，可求得122S S =，在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，根据直线l 与圆222x y +=相切，得出()2221m k =+，并将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将12S S 表示为k 的函数，转化为函数的值域的求解，综合可得出答案.【详解】（1）由已知，())12,F F ，设(),P x y ，由12PF x ⎫===⎪⎪⎭，同理22PF x ⎫=⎪⎪⎭，可得21216222PF PF x x x ⎫⋅==-⎪⎪⎭，())2212,,3x y x y x PF y PF ⋅=--⋅-=+-．结合22163x y +=，得22132y x =-，故221212116622PF PF PF PF x x ⋅+⋅=-+=；（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x= 由对称性，不妨设x =，此时()(),,1,1,1,1ABC D -，故12221S S ==． 若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，=()2221m k =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 与椭圆方程联立， 得()222214260k x kmx m +++-=，由韦达定理得122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+．结合OC OD ==22221122113,322x y y x =-=-， 可知22221112221sin 112122sin 2OA OB AOBS OA OB x y x y S OC OD COD ⋅⋅∠==⋅=+⋅+⋅⋅∠()()2222121212121111313392222224x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++=++-+ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭． 将根与系数的关系代入整理得：()()22222212221263618319221k m m k m S S k-+++-=++，结合()2221m k =+，得()4212221284479221S k k S k ++=++． 设2211t k =+≥，(]10,1u t=∈，则221222178818813291688162,2222S t t u u S t t t ⎡⎤+-=+=-++=-++∈⎢⎥⎣⎦． 12S S ∴的取值范围是322,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题的求解，涉及椭圆上点的坐标的应用，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积比值的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程 22.已知曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩，（α为参数）.（1）若点22M m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在曲线C 上，求m 的值；（2）过点()1,0P 的直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求11||||PA PB +的取值范围. 【答案】（1）2±；（2）. 【解析】 【分析】（1）运用平方法和同角的平方关系，以及代入法，解方程可得所求值； （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），联立圆的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求范围． 【详解】（1）已知曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩，等价于2sin x y α=+，2cos x y α=-，由于22sin cos 1αα+=， 所以等价于2222()()4sin 4cos 4x y x y αα++-=+=. 整理得曲线C 的普通方程为222x y +=，将2M m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入解得m =. （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），与222x y +=联立得：22cos 10t t θ+⋅-=， 由韦达定理122cos t t θ+=-，121t t =-.由于1t ，2t 异号，故2112121111||||t t PA PB t t t t -+=+==将韦达定理代入，并结合2cos [0,1]θ∈，得11[2,||||PA PB +=. 【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化，考查直线参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查化简运算能力．选修4-5：不等式选讲23.已知正实数a ，b 满足()lg lg lg a b a b +=+.（1）证明：228a b +≥；（2）证明：()()2211254a b a b ++≥+. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知得ab a b =+，再利用基本不等式和不等式222a b ab +≥，即可证出228a b +≥；（2）用分析法，结合a b ab +=，分析出要证原不等式只需证()()4810ab ab -⋅-≥，因为4ab ≥，所以原不等式得证．【详解】证明：（1）由已知ab a b =+，均值不等式24ab a b ab =+≥⇒≥⇒≥，由均值不等式222a b ab +≥，结合4ab ≥，可知228a b +≥. （2）欲证()()2211254a b a b ++≥+， 只需证()()()2241125a b a b ++≥+， 只需证()()()2224125ab a b a b ⎡⎤⎣≥⎦++++， 即证()()()2242125ab a b ab a b ⎡⎤++-+≥+⎣⎦， 结合a b ab +=， 只需证()()2242125ab ab ab ab ⎡⎤+-+≥⎣⎦， 即()283340ab ab -+≥，即证()()4810ab ab -⋅-≥，ab ，从而原不等式得证.因为4【点睛】本题主要考查对数的运算性质，以及利用基本不等式证明不等式，是中档题．。
2021届重庆一中高三上学期第一次月考数学试卷及答案
2021届重庆一中高三上学期第一次月考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟一、单项选择题。
本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有1项是符合题目要求的.1. 设集合 A = {y |y =ln (1−x )} , B = {y |y =√4−2x },则 A ∩B= ( )A. [0,2)B. (0,2)C. [0,2]D. [0,1)2.a,b ∈(0,+∞), A =√a +√b , B =√a +b ,则 A,B 的大小关系是( )A. A<BB. A>BC. A ≤BD. A ≥ B3.已知直线 l 是曲线 y =√x +2x 的切线,则 l 的方程不可能是A.5x −2y +1=OB.4x −2y +1=OC.13x −6y +9=OD.9x − 4y + 4 = 04.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。
一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S 1 ,画面中剩余部分的面积为S 2,当 S 1 与S 2的比值为√5−12时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A.(3−√5)πB. (√5−1)πC. (√5+1)πD. (√5−2)π 5. 若函数f (x )={a x ,2<x ≤a log a (x −2),x >a(其中a >0,且a ≠1)存在零点,则实数 a 的取值范围是 A.(12,1)U (1,3) B.(1,3] C.(2,3) D.(2,3]6. 己知0<ω≤2,函数f (x )=sin (ωx )−√3cos (ωx ),对任意x ∈R ,都有f (π3−x)=−f (x ),则 ω 的值为( )A. 12B. 1C.32D. 27. 函数f (x )=2cos x +sin 2x 的一个个单调递减区间是( )A.(π4,π2)B.(0,π6)C.(π2,π)D. (5π6,π)8.设函数 f (x )在 R 上存在导数f ′(x ),对任意的 x ∈R ,有f (x )+f (−x )=2cos x ,且在[0,+∞)上有f′(x)>−sin x ,则不等式f(x)−f(π2−x)≥cos x−sin x的解集是A.(−∞,π4] B.[π4,+∞) C.(−∞,π6] D.[π6,+∞)二、多项选择题。
【新高考精品解析】重庆一中高2021届高三下期第三次月考数学试题及参考答案
重庆一中高2021届高三下期第三次月考数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单选题：共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知R C A B ⋂=Φ（）,则下面选项中一定成立的是A. A B A ⋂=B. A B B ⋂=C.A B ⋂=ΦD.A B R ⋃= 2．“33(2)(2)a b ->-”是“lg lg a b >”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．某同学掷骰子4次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为12的统计结果，则下列点数中一定不出现的是 A ．1B ．2C ．3D ．54．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”……，以此类推．今年是辛丑年，也是重庆一中建校90周年，则重庆一中建校的那一年是A ．壬酉年B ．壬戊年C ． 辛酉年D ．辛未年5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为12a ，则双曲线C 的渐近线方程为A ．12y x =±B ．2y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±6．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，D 为BC 的中点，点E 在边AC 上，且3AC AE =，设AD 与BE 交于点P ，则BP BC ⋅=A ．4B ．6C ．8D ．9 7．已知e 是自然对数的底数，关于x 的方程2x ex -=有两个不同的解1212,)x x x x <，则A ．121,3x x ><B ．121,3x x <>C ．124x x +>D ．212x x e > 8．已知n N +∈,若数列{}n a 的前n 项和是122nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()2log n n b a =--，设12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+，当且仅当5n ≥时，不等式n T t ≥成立，则实数t 的范围为 A ．4556⎛⎤ ⎥⎝⎦， B ．491log 23⎛⎤-∞+ ⎥ ⎝⎦， C ．5,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．449931log 2log 2103⎛⎤++ ⎥ ⎝⎦，二、多选题：共4题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知平面α和两条不同的直线,m n ，下面的条件中一定可以推出m n ⊥的是A ．,//m n αα⊥B ．,m n αα⊥⊥C ．,m n αα⊂⊥D ．//,//m n αα10．已知1F ，2F 是椭圆22:1925x y C +=的两个焦点，过1F 的斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，P AB 是的中点,O 为坐标原点，则下列说法正确的是A ．椭圆C 的离心率为35B ．存在点A 使得12AF AF ⊥C ．2212,8AF BF AB +==若则D ．OP 与AB 的斜率满足925op AB k k ⋅=-11．已知0a b >>，2a b +=，则Aa 的最大值是94B ．222a b ++的最小值是8C ．sin 2a b +<D ．ln 1b a +>12．已知2()2cos 10,0,24f x x ωπφωφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+->∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，具有下面三个性质：①将()f x 的图像右移π个单位得到的图像与原图像重合；②5,()12x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭；③()f x 在5012x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时存在两个零点，给出下列判断，其中正确的是A.()f x 在04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时单调递减 B.91()()()483162f f f πππ++=C.将()f x 的图象左移24π个单位长度后得到的图象关于原点对称D.若()g x 与()f x 图像关于3x π=对称，则当223x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()g x 的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2α=_______. 14．已知()()()()65601563111x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅++++，则4a =_______. 15．设复数z 满足22z z i =--，则z 的最小值为______.16．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -,,E F 分别为棱11AB A D 与上的点，且EF =,则EF 的中点P 的轨迹为L ,则L 的长度为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，59a =，10100S = ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若________，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 在①(1)n n n b a =-⋅，②n b =，③+1n n n b a a =⋅这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18. 中国福利彩票双色球游戏规则是由中华人民共和国财政部制定的规则，是一种联合发行的“乐透型”福利彩票. “双色球”彩票投注区分为红色球号码区和蓝色球号码区， “双色球”每注投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成，红色球号码从1—33中选择;蓝色球号码从1—16中选择.“双色球”奖级设置分为高等奖和低等奖,一等奖和二等奖为高等奖，三至六等奖为低等奖. “双色球”彩票以投注者所选单注投注号码与当期开出中奖号码相符的球色和个数确定中奖等级:一等奖:7个号码相符(6个红色球号码和1个蓝色球号码)(红色球号码顺序不限，下同)； 二等奖:6个红色球号码相符;三等奖:5个红色球号码和1个蓝色球号码相符；四等奖:5个红色球号码，或4个红色球号码和1个蓝色球号码相符； 五等奖:4个红色球号码，或3个红色球号码和1个蓝色球号码相符； 六等奖:1个蓝色球号码相符(有无红色球号码相符均可). （1）求中三等奖的概率（结果用a 表示）；（2）小王买了一注彩票，在已知小王中了高等奖的条件下，求小王中二等奖的概率.参考数据：613316C C a =19. 如图，四棱锥P ABCD -中，//,,2,4AB CD BC CD BC CD PD AB ⊥====,侧面PAB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形． （1）求证：CD PD ⊥；（2）作出平面PAD 与平面PBC 的交线m ,并求直线m 与平面PAB 所成角的大小.20. 已知锐角ABC ∆的面积为S ,角A B C 、、对边分别是a b c 、、，且满足22()b c a =+-.（1）求角A 的大小；（2）若a AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的取值范围.21. 过点A （-1,0)的直线l 与抛物线:C 24y x =交于P Q 、两点.（1）求线段PQ 的中点B 的轨迹方程；（2）抛物线C 的焦点为F ,若0120PFQ ∠≤,求直线l 的斜率的取值范围.22. 已知 21()ln ,()x f x x x g x e -=-=.（1）求()f x 过点(0,0)的切线方程；（2）正实数,a b 满足()()2()30f a f b g a b ab +-++=，求证：1a b +>.A重庆一中高2021届高三下期第三次月考数学试题参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.【答案】B 【解析】因为()R C A B φ=，所以B A ⊆，故A B B =,所以选B.2.【答案】C 【解析】因为33(2)(2)22a b a b a b ->-⇔->-⇔>，而lg lg 0a b a b >⇔>>，所以“33(2)(2)a b ->-”是“lg lg a b >”的必要不充分条件． 3.【答案】D 【解析】记4次出现的点数分别为1x ，2x ，3x ，4x ，则依题意有1234428x x x x +++=⨯=，222212341(2)(2)(2)(2)422x x x x -+-+-+-=⨯=，所以2(2)2i x -≤，1i =，2，3，4，即2i x -22i x ≤ 又{}1,2,3,4,5,6i x ∈，所以13i x ≤≤，1i =，2，3，4，所以点数5一定不出现，故选D ． 4.【答案】D 【解析】由题知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，则90=910⨯，90=712+6⨯， 因为2021年为辛丑年，则90年前的天干为“辛”，地支往前数6个，为“未”， 所以90年前为辛未年，故选D. 5.【答案】A 【解析】由题知，左焦点为(0)F c ，，其中一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=，则焦点到渐近线的距离为12a =222c b a =+，所以12a b =，即12b a =，故选A.6.【答案】C 【解析】法一：投影法依题意可知AD BC ⊥，且2BD =，4BC =根据向量数量积的几何意义可知()cos 248BP BC BC BP PBC BD BC ⋅=∠==⨯=．法二：坐标法如上图（右），以D 为坐标原点，分别以BC 、DA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xDy ，则(2,0)B -，(2,0)C ，(0,A ，(0,0)D ，23E ⎛ ⎝⎭，所以3223BEk ==+):2BE y x =+，令0x =，得y =(P ，所以(BP =，(4,0)BC =，所以2408BP BC ⋅=⨯=． 法三：基底法依题意可知3AC AE =，设AP xAB y AC =+，又1122AD AB AC =+， 因为//AP AD ，所以x y =①，又3AP xAB y AC xAB y AE =+=+，而点B ，P ，E 三点共线，所以31x y +=② 由①②可解得14x y ==，所以1144AP AB AC =+，所以1344BP AP AB AC AB =-=-， 又BC AC AB =-，所以()()2213134444BP BC AC AB AC AB AC AB AC AB ⎛⎫⋅=-⋅-=+-⋅ ⎪⎝⎭()221434444cos6084=+⨯-⨯⨯⨯︒=． 7.【答案】C 【解析】由2x ex -=，得2ln x x -=，在同一坐标系中作出函数2y x =-和ln y x =的图象，由图可知12x <，22x >，即222ln x x -=，112ln x x -=， 两式相减，得12214ln ln 0x x x x +-=->，即124x x +>，故选C8. 当n (n n +⨯log ⎧9.n α⊥，项，当直线m （不垂直）或者是异面的（不垂直）AC.10.BC 【解析】选项D ，设1112(),()A x ,y B x ,y ，则1212()22x x y y P ,++, 2211222219251925x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，②-①得：222221210925x x y y --+=， 即21212121()()()()0925x x x x y y y y +-+-+=所以21212121()()25()()9y y y y x x x x -+=--+，即259ABOP k k =-，所以D 错误； 11.【答案】AC 【解析】22a b b =-=-+219)24=-+，所以当17,44b a ==a +取得最大值94，故A 正确；2228a b ++=≥，当且仅当222a b +=即2a b =+时等号成立，此时由2a b +=解得2,0a b ==不合题意，故B 不正确；由题意得1,01a b ><<，此时sin b b <，所以sin a b +a <+b 2=，故C 正确；ln 2ln b a a a +=-+，令()2ln (12)f a a a a =-+<<，则1()1f a a'=-， 当1a >时，()0f a '<，函数()f a 在区间(1,2)上单调递减，()(1)1f a f <=，所以ln 1b a +<，故D 不正确．所以正确答案为：AC12.【答案】BCD 【解析】()2()2cos 1=cos 22f x x x ωϕωϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭,由①可得2kT k πω=⇒=,数形结合及性质②③综合可得,35412T T π<<,联立2k ω=,解得=4ω,即()()=cos 42f x x ϕ+,即5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,即425212ϕππ⨯+=,化简得6πϕ=.所以()cos(4)3f x x π=+.易得A 错误, 55315171cos +cos cos cos cos 12312122122948316f f f ππππππππ+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭+=⎝,故B 正确; +cos(4())cos(4)sin 4242432f x x x x ππππ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭,故C 正确;因为在函数()g x 中,2,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以()f x 的定义域为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故()f x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,即为()g x 的值域，故D 正确.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】2425-【解析】sin()4πααα+==，1sin cos 5αα∴+=， 两边平方得： 11+sin 225α=，所以24sin 225α=-.14.【答案】60【解析】左右两边同时求四阶导数，得：22456360(3)24120(1)360(1)x a a x a x +=++++. 令1x =-，得24360224a ⨯=，解得460a =. 15.令复数z x yi =+20x y +-=，即复数z 在复平面上对应的点Z 在直线20x y +-=上，那么z 的最小值即为OZ 的最小值，也就是点O 到直线20x y +-=的距离d ==16.【解析】 易知1AA 为线段AB 和1A D 的公垂线，过线段1AA 的中点O 作平面α使1AA α⊥，M 点为点F 在平面α 上的投影，N 点为E 点在平面α的投影，即线段EF 在平面α的投影为线段MN ，此时112FM EN AA ==； 因此，平面α与线段EF 的交点即为点EF 的中点P ，并且点P 也是线段MN 的中点。
2021年重庆一中高考数学三诊试卷
2021年重庆一中高考数学三诊试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知sin（）＝，则cosα＝（）A．B．C．D．2．（5分）已知A＝{x|2x＜8，x∈N}，且∅≠B⊆A，则满足条件的集合B有（）A．6个B．7个C．8个D．15个3．（5分）若向量＝（2k﹣1，k）与向量＝（4，1）共线，则＝（）A．0B．4C．D．4．（5分）已知（1﹣x）5+（1+x）7＝a0﹣a1x+a2x2﹣a3x3+a4x4﹣a5x5+a6x6﹣a7x7，则a1+a3+a5+a7的值为（）A．24B．﹣48C．﹣32D．725．（5分）2021年寒假，重庆一中书院“云”课堂为了解决孩子们在平时学习中的困惑、遗漏等，各个学科为孩子们量身定制了各重点章节的微课．其中高三年级数学学科安排了A，B，C三位老师录制“数列”、“三角函数”、“立体几何”、“概率统计”、“解析几何”、“函数与导数”6个章节的微课，每位老师录制两个章节，其中A老师不录制“函数与导数”，B老师不录制“三角函数”，则安排录制微课的情况一共有（）A．30种B．36种C．42种D．48种6．（5分）雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L＝＝（如图），其中h1为雷达天线架设高度，h2为探测目标高度，R为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于h1，h2．假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离412km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（）（参考数据：≈4.12）A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m7．（5分）已知点A（1，0），B（﹣1，0），若圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0上有且仅有一点P，使得＝0，则实数m的值为（）A．﹣11B．9C．﹣9或11D．9或﹣118．（5分）已知正实数a，b满足b（+ln），则2a+b的最小值为（）A．2B．4C．2e D．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（5分）若复数z＝3﹣i，其共轭复数为，则（）A．z的虚部为﹣iB．z•＝10C．在复平面上对应的点在第四象限D．＝i10．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题，其中所有正确的命题是（）A．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n11．（5分）已知等比数列{a n}首项a1＞1，公比为q，前n项和为S n，前n项积为T n，函数f（x）＝x（x+a1）（x+a2）…（x+a7），若f′（0）＝1，则（）A．{lga n}为单调递增的等差数列B．0＜q＜1C．为单调递增的等比数列D．使得T n＞1成立的n的最大值为612．（5分）已知直线l：2kx﹣2y﹣kp＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，点M（﹣1，﹣1）是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）A．p＝2B．k＝﹣2C．|AB|＝5D．△MAB的面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数f（x）满足：∀x∈R，f（﹣x）+f（x）＝0，且当x＞0时，f（x）＝，则f[f（）]的值为．14．（5分）袋中有形状、大小都相同的5只球，其中1只白球，2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）＝xe x，且f（0）＝0，则f（x）的极大值为．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧棱AA1＝t（t＞4），点E 是BC的中点，点P是侧面ABB1A1内的动点（包括四条边上的点），且满足tan∠APD＝4tan∠EPB，则四棱锥P﹣ABED的体积的最大值是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①f（x）＝2sin cos﹣2cos2+1，②f（x）＝2sin（）cos+1，③f（x）＝（sin cos）2﹣2cos2这三个条件中任选一个，填在横线上，并作出解答．问题：已知函数f（x）的解析式为_____．（1）若在△ABC中，f（A）＝，AB＝，AC＝1，D为BC的中点，求AD的长；（2）若g（x）＝f（π），ω＞0，当x时，g（x）的最大值为，求ω的取值范围．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足﹣＝，a1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项积为T n，若对任意的n∈N*，t≤4T n恒成立，求实数t的最大值．19．随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”于机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元）与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：序号123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.53837.56666当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：：模型②：﹣14.4；当x＞17时，确定y与x满足的线性回归方程为．（1）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①、②的相关指数R2的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程﹣14.4182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1﹣≈4.1）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式＝＝；a＝）（3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布N（0.52，0012）．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%但不超过53%，每部芯片奖励2元：若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元，记Y为每部芯片获得的奖励，求E（Y）（精确到0.01）．（附：若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545）20．已知四棱柱ABCD﹣A'B'C'D'中，底面ABCD为菱形，AB＝2，AA'＝4，∠BAD＝60°，E为BC中点，C'在平面ABCD上的投影H为直线AE与DC的交点．（1）求证：BD⊥A'H；（2）求二面角D'﹣BB'﹣C的正弦值．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣1，0），F2（1，0），点A（0，b），若△AF1F2的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1：2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（﹣1，），过P作斜率互为相反数的两直线l1、l2分别与椭圆交于M，N两点（M，N两点位于x轴下方），求三角形PMN的面积取得最大值时的直线MN的方程．22．已知函数f（x）＝，g（x）＝xln（x+1）．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：x＞0时，f（x）•g（x）＞x2；（3）设G（x）＝a（xf（x）+1）+cos x在区间（0，π]内有不相等的两个零点，求a的范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A；2．B；3．D；4．B；5．C；6．D；7．D；8．B；二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．BD；10．AD；11．BCD；12．ABC；三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．﹣6；14．；15．2e﹣2；16．；。
重庆市第一中学校2021届高三3月月考数学(理)试题
19．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，底面 为菱形， 为 的中点， 分别线段 ， 上一点， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．已知椭圆 的左.右焦点分别为 ， 为坐标原点.
（1）若斜率为 的直线 交椭圆 于点 ，若线段 的中点为 ，直线 的斜率为 ，求 的值；
∴q3＝ 8，∴q=2，
∴a2＝1 ．
故选B．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式的应用，比较基础．
4．B
【解析】
【分析】
根据三视图可判断几何体为半球的内部挖空了一个圆锥，运用球与圆锥的体积公式计算即可．
【详解】
∵几何体的三视图可得出几何体为半球的内部挖空了一个圆锥，如图：
∴该几何体的体积为 π 23 π×22×2＝ = ，
15． 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ， _____.
16．直线 与圆 相交于两点 ，若 ， 为圆 上任意一点，则 的取值范围是______.
三、解答题
17．已知数列 的前 项和 满足： ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
18．为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位: ).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).
3．实数数列 为等比数列，则 等于（ ）
A． B．4C．2D． 或4
4．某几何体的三视图如图所示（图中半圆.圆的半径均为2），则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的 分别为15，18，则输出的 为（ ）
2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题(解析版)
2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题一、单选题1．复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（）A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简211ii i=-+-，再利用复数的代数形式求出结果.【详解】解：∵()()()()2121211112i i i i i z i i i i ++====-+--+，则复数z 的虚部为1．故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；(2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．2．已知集合{}22,A xx x Z =<∈∣，则A 的真子集共有（）个A ．3B ．4C ．6D ．7【答案】D【分析】写出集合{1,0,1}A =-，即可确定真子集的个数.【详解】因为{}22,{1,0,1}A xx x Z =<∈=-∣，所以其真子集个数为3217-=.故选：D.【点睛】本题考查集合的真子集个数问题，属于简单题.3．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（）A ．10πB ．12πC ．14πD ．16π【答案】B【分析】首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．【详解】底面周长是：2×2π=4π，则侧面积是：14π48π2⨯⨯=，底面积是：π×22=4π，则全面积是：8π+4π=12π．故选B ．【点睛】本题考查了圆锥的全面积计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍.（当||x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.27B ．1.26C ．1.23D ．1.22【答案】B【分析】把已知数据代入公式计算12E E ．【详解】由题意211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-，12lg0.1E E =,∴0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈．故选：B ．【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．5．向量,a b 满足||1a = ，a 与b 的夹角为3π，则||a b - 的取值范围为（）A ．[1,)+∞B ．[0,)+∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D【分析】把||a b -用数量积表示后结合函数的性质得出结论．【详解】22222||()2121cos 3a b a b a a b b b b π-=-=-⋅+=-⨯⨯+ 21b b -+= 2134423b ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭- ，所以3||2a b -≥ ．1||2b = 时取得最小值．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的模，解题关键是把模用向量的数量积表示，然后结合二次函数性质得出结论．6．已知三棱锥P ABC -，过点P 作PO ⊥面,ABC O 为ABC ∆中的一点，,PA PB PB PC ⊥⊥，PC PA ⊥，则点O 为ABC ∆的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，可得BC ⊥PA ，由PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，PO ⊥BC ，可得BC ⊥AE ，同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ．故O 是△ABC 的垂心．【详解】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，∴BC ⊥PA ，∵PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，∴PO ⊥BC ，∴BC ⊥平面APE ，∵AE ⊂面APE ，∴BC ⊥AE ；同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ．∴O 是△ABC 的垂心．故选D ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，解题时要注意数形结合，属于基本知识的考查．7．设sin5a π=，b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．c b a<<【答案】C【分析】借助中间量1和12比较大小即可.【详解】解：由对数函数y x =在()0,∞+单调递增的性质得：1b =>=，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 单调递减的性质得：2413311142212c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<=，由三角函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的性质得1sin sin 562a ππ=>=.所以c ab <<.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于借助中间量1和12，尤其在比较a 与c 的大小时，将c 变形得24331142c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭，进而与12比较大小是重中之核心步骤.8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个确定的球面上，且BA BC ==，2ABC π∠=，若三棱锥P ABC -体积的最大值为3，则其外接球的半径为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】由题意分析知三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O P '⊥面ABC ，P 在大于半球的的球面上，根据棱锥体积公式求得||O P '，进而应用勾股定理求外接球的半径.【详解】由题意知：AC 中点O '为面ABC 外接圆圆心，若外接球球心为O ，半径为R ，三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O 在P ，O '之间，∴1||33P ABC ABC V S O P -'=⋅⋅= ，1||||32ABC S BA BC =⋅⋅= ，即||3O P '=，||||32AC O C '==，所以()22222'|||'|33O C OC OO R R =-=--=，解得2R =，故选：A【点睛】关键点点睛：理解三棱锥P ABC -体积的最大时P 的位置及与球心、底面外接圆圆心的关系，结合棱锥体积公式、勾股定理求球体半径.二、多选题9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是（）A ．若,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβB ．若,m n m α⊂⊥，则n α⊥C ．若,m n αα^Ì，则m n ⊥D ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n【答案】ABD【分析】根据空间线、面关系，结合空间关系相关图例以及线线、线面、面面间的平行、垂直判定与性质，即可知选项的正误.【详解】A ：,,//m n m n αβ⊂⊂，α、β不一定平行，错误.B ：,m n m α⊂⊥，n 不一定垂直于α，错误.C ：由线面垂直的性质：,m n αα^Ì，则必有m n ⊥，正确.D ：//,,m n αβαβ⊂⊂，m 、n 不一定平行，错误.故选：ABD10．下列函数中，在(0,1)内是减函数的是（）A ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．212log y x =C ．121=+y x D ．2log sin y x=【答案】ABC【分析】根据复合函数的单调性判断确定选项中各函数是否为减函数即可.【详解】A ：1(2t y =为减函数，||t x =在(0,1)上为增函数，所以||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数；B ：12log y t =为减函数，2t x =在(0,1)上为增函数，所以212log y x =为减函数；C ：1y t =为减函数，21t x =+在(0,1)上为增函数，所以121=+y x 为减函数；D ：2log y t =为增函数，sin t x =在(0,1)上为增函数，所以2log sin y x =为增函数；故选：ABC【点睛】结论点睛：对于复合函数的单调性有如下结论1、内外层函数同增或同减为增函数；2、内外层函数一增一减为减函数；11．下列关于函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的为（）A ．函数()f x 的图像关于直线83x π=对称B ．将函数()f x 的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D ．若()f x a =，则1cos 232a x π⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】AD 【分析】令1262x k πππ+=+得到对称轴，即可判断A ；根据平移变换知识可判断B ；求出其单调增区间即可判断C ；利用配角法即可判断D.【详解】对于A ，令1262x k πππ+=+()k ∈Z ，解得22()3x k k Z ππ=+∈，当1k =时，得83x π=，故A 正确；对于B ，将函数()f x 的图像向右平移3π个单位，得112sin[()]2sin 2362y x x ππ=-+=，故B 错误；对于C ，令122()2262k x k k Z πππππ-+<+<+∈4244()33k x k k Z ππππ⇒-+<<+∈，故C 错误；对于D ，若12sin()26x a π+=，则11cos()sin[()]23223x x πππ-=+-=1sin()262ax π+=，故D 正确.故选：AD【点睛】方法点睛：函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，.(2)周期2π.T ω=(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴(4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间；由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<，令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >；A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+；B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+；C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <；D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小.故选：ABC【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<，1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=.2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.三、填空题13．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【解析】由题意，根据球的体积公式343V R π=，则343233R ππ=，解得2R =，又根据球的表面积公式24S R π=，所以该球的表面积为24216S ππ=⋅=.14．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b + 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+ （），则{12,k k λ==，所以12λ=．【解析】向量共线．15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________.【答案】228【分析】由题知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==L 个数字，第21行最左端的数为21021231+=，从左到右第4个数字为228．【详解】观察数据可知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==L 个数字，第21行最左端的数为21021231+=，所以第21行从左到右第4个数字为228．故答案为：228.【点睛】关键点睛：本题考查合情推理、数列的前n 项和，解题关键要善于观察发现数据特征，考查了学生的逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．四、双空题16．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且101a <<，20201a =，则q 的取值范围为______；能使不等式12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立的最大正整数m =______.【答案】(1,)+∞4039【分析】根据已知求得1a 的表达式，由此求得q 的取值范围.根据12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立列不等式，化简求得m 的取值范围，从而求得最大正整数m .【详解】由已知201911201911a qa q =⇒=，结合101a <<知2019101q <<，解得1q >，故q 的取值范围为(1,)+∞.由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列.要使12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立则1212111m ma a a a a a +++≤+++ 即()111111111m m a q a q q q⎛⎫-⎪-⎝⎭≤--，将120191a q=代入整理得：40394039m q q m ≤⇒≤故最大正整数4039m =.故答案为：(1,)+∞；4039【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列前n 项和公式，属于中档题.五、解答题17．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，M 是线段AB 的中点，1160,22,2,DAB AB CD DD C M ∠=︒====（1）求证：1//C M 平面11A ADD ；（2）求异面直线 CM 与1DD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）14.【分析】（1）易得1111//,C D MA C D MA =，则四边形11AMC D 为平行四边形，得到11//C M D A ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由//CM DA ，将异面直线CM 与1DD 成的角，转化为 DA 与1DD 相交所成的角，然后在1ADD ，利用余弦定理求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =，所以//AB DC .又由M 是AB 的中点，因此//CD MA 且CD MA =.如图所示：连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1111//,CD C D CD C D =，可得1111//,C D MA C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形.因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11A ADD ，1D A ⊂平面11A ADD ，所以1//C M 平面11A ADD .（2）因为//CM DA ，所以异面直线CM 与1DD 成的角，即为 DA 与1DD 相交所成的直角或锐角，在1ADD中，1C M =，所以111,2AD AD DD ===，由余弦定理可得：22211111cos 24AD DD AD ADD AD DD +-∠==-⋅，所以异面直线CM 和1DD 余弦值为14.【点睛】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．18．已知数列{}n a 满足：13a =，且对任意的n *∈N ，都有1，1,n n a a +成等差数列.（1）证明数列{}1n a -等比数列；（2）已知数列{}n b 前n 和为n S ，条件①：()1(21)n n b a n =-+，条件②：11n n n b a +=-，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．．来求数列{}n b 前n 和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）由条件得121n n a a +=-，利用等比数列定义可得证.（2）选条件①得(21)2nn b n =+，选条件②得1(1)()2nn b n =+⋅利用错位相减法可得解.【详解】（1）由条件可知112n n a a ++=，即121n n a a +=-，∴()1121n n a a +-=-，且112a -=∴{}1n a -是以112a -=为首项，2q =为公比的等比数列，∴12nn a -=，∴()21nn a n N*=+∈（2）条件①：()1(21)(21)2nn n b a n n =-+=+，123325272(21)2nn S n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 23412325272(21)2n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅利用错位相减法:123413222222222(21)2nn n S n +-=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅- 118(12)6(21)212n n n S n -+--=++⋅--化简得()12(21)2n n S n n N +*=-+∈条件②：11(1)()12nn n n b n a +==+⋅-231111234(1)2222n nS n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 234111111234(1)22222n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅ 利用错位相减法:23411111111(1)222222n n n S n +=++++-+⋅ 1111[1()]11421(1)12212n n n S n -+-=+-+⋅-化简得()13(3)(2n n s n n N *=-+∈【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解;在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式19．已知椭圆C 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，短轴的两个端点分别为12,B B .且122B B =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且11F P FQ ⊥ ，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）10x +-=，或10x -=.【分析】（1）由题干条件可得c 和b 的值，进而求出2a 的值，从而求出椭圆方程；（2）首先考虑斜率不存在的情况，不符合题意；当斜率存在时，联立方程，可得()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，又110F P FQ ⋅= ，向量坐标化可得()()()2221212111110k x x k x x k F P FQ ⋅--==++++uuu r uuu r ，代入1212,x x x x +⋅，化简，即可求出k 的取值，从而求出直线方程.【详解】解（1）由条件可知：1c =，又122B B =，所以1b =，则22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-=，()2810k ∆=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，()()1111221,,1,F P x y F Q x y =+=+ ，∵110F P FQ ⋅= ，即()()()()()22212121212111110x x y y k x x k x x k +++=+--+++=，即()()()222222221411()102121k k kk k k k -+--++=++化简得：2201172k k =+-解得217,77k k ==±.故直线l的方程为10x +-=，或10x --=.【点睛】方法点睛：（1）将向量转化为坐标的关系；（2）联立直线和椭圆，求出两根之和，两根之积；（3）将两根之和和两根之积代入坐标关系中，解出k .20．已知()cossin 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）求()f B 的取值范围；（2）当4a =，433b =，且()f B 取（1）中的最大值时，求ABC 的面积.【答案】（1）30,12⎛+ ⎝⎦；（2）833或433【分析】（1）利用公式对函数化简，根据B 角的范围，求函数值域.（2）由（1）求出B 的大小，利用正弦定理和三角形面积公式即可求出结果.【详解】（1）2()cossin sin cos 222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭13(cos 1)3sin sin 2232x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为B 为三角形的内角，所以(0,)B π∈所以4,333B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3()0,12f B ⎛∈+ ⎝⎦（2）34()11,,23333f B B B ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，,326B B πππ∴+==，由正弦定理得：4343sin 1sin sin sin 22a b A A B A =⇒=⇒=()0,,3A A ππ∈∴=，或23A π=，若3A π=，则2C π=，183sin 23ABC S ab C ==若23π=A ，则6π=C，1sin 23==ABC S ab C 【点睛】本题考查了三角恒等变换、正弦定理和三角形面积公式等基本数学知识，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.21．在直三棱柱111ABC A B C -中，112,120,,AB AC AA BAC D D ==∠=分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交,AB AC 于点,M N ．（1）证明：平面1A MN ⊥平面11ADD A ；（2）求二面角1A A M N --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）155.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明MN ⊥平面ADD 1A 1；又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【详解】（1）证明：∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴BC ⊥AD ，∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴MN ∥BC ，∴MN ⊥AD ，∵AA 1⊥平面ABC,MN ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥MN ，∵AD,AA 1⊂平面ADD 1A 1，且AD∩AA 1=A ，∴MN ⊥平面ADD 1A 1∴，又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）设AA 1=1，如图：过A 1作A 1E ∥BC ，建立以A 1为坐标原点，A 1E ，A 1D 1，A 1A 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图：则A 1(0，0，0)，A(0，0，1)，∵P 是AD 的中点，∴M ，N 分别为AB ，AC 的中点．则31,,122M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则131,,122A M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,0,1A A =，)NM = ，设平面AA 1M 的法向量为(),,m x y z=，则100m AM m A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得10220x y z z ++=⎨⎪=⎩,令1x =，则y =，则()1,m =，同理设平面A 1MN 的法向量为(),,n x y z=，则100n A M n NM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得310220x y z ++=⎪⎨⎪=⎩，令2y =，则1z =-，则()0,2,1n =-，则()15cos ,5m n m n m n ⋅===-⋅，∵二面角A-A 1M-N 是锐二面角，∴二面角A-A 1M-N 的余弦值是155．【点睛】本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．22．已知21()(1)2xf x e ax b x =---.其中常数 2.71828e ≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅.（1）当2,4a b ==时，求()f x 在[1,2]上的最大值；（2）若对任意0,()a f x >均有两个极值点()1212,x x x x <，（ⅰ）求实数b 的取值范围；（ⅱ）当a e =时，证明：()()12f x f x e +>.【答案】（1）max ()1f x e =-；（2）（ⅰ）1b >；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题得2()4(1)x f x e x x =---，()24x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，由[1,2]x ∈，可得()0f x ''>，即()'f x 在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即()0f x '<，可知()f x 在[1,2]上单减，求得max ()(1)1f x f e ==-.（2）（ⅰ）利用两次求导可得(,ln )x a ∈-∞时，()'f x 单减；(ln ,)x a ∈+∞时，()'f x 单增，再由()f x 有两个极值点，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-恒成立，构造函数()ln g a a a a =-，利用导数求其最大值，可得实数b 的取值范围；（ⅱ）设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，求导可得()h x 在(,1)-∞单增，得到()(2)f x f x ''<-，可得()()112f x f x ''<-，()()122f x f x ''->，结合()'f x 在(1,)+∞上单增，可得()()122f x f x >-，得到()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -+>-+=+-+-，构造22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >，再利用导数证明()2(1)M x M e >=，即可得到()()12f x f x e+>【详解】（1）由2,4a b ==得，2()4(1)x f x e x x =---，求导()24x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，[1,2]x ∈ ，2[,]x e e e ∴∈，20x e ∴->，即()0f x ''>()f x '∴在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即[1,2]x ∀∈，()0f x '<，()f x ∴在[1,2]上单减，max ()(1)1f x f e ∴==-.（2）（ⅰ）求导()x f x e ax b '=--，因为对任意0,()a f x >均有两个极值点12,x x ，所以()0f x '=有两个根，求二阶导()x f x e a ''=-，令()0f x ''=，得ln x a=当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，由()0f x '=有两个根12,x x ，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-对任意0a >都成立，设()ln g a a a a =-，求导()ln g a a '=-，令()0g a '=，得1a =，当(0,1)x ∈时，()0g a '>，()g a 单增；当(1,)x ∈+∞时，()0g a '<，()g a 单减，max (()1)1g g a =∴=，1b ∴>又0,,()ba b f e x f x a -⎛⎫''-=>→+∞→+∞ ⎪⎝⎭Q ，所以实数b 的取值范围是：1b >.（ⅱ）当a e =时，()x f x e ex b '=--，()x f x e e ''=-，令()0f x ''=，得1x =当(,1)x ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，又12,x x 是()0f x '=的两根，且12x x <，121,1x x <∴>，121x ∴->设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，即22(2)2()2,(1)xxx xe ex b ee x b e e ex e x h x --⎡⎤=-=-------+<⎣⎦，则2()2220x x h x e e e e e -=+->-='()h x ∴在(,1)-∞单增，()(1)0h x h ∴<=，即()(2)f x f x ''<-又11,x <，()()112f x f x ''∴<-，()()122f x f x ''∴->又()f x ' 在(1,)+∞上单增，122x x ∴->，即1222x x x <-<，又()f x 在()12,x x 上单减，()()122f x f x ∴>-()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e-∴+>-+=+-+-令22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >则2()22x x M x e e ex e -'=--+，2()20x x M x e e e -''=+-≥()M x '∴在(1,)+∞单增，且(1)0M '=，()0M x '∴>，故()M x 在(1,)+∞单增又21x > ，()2(1)M x M e ∴>=，即()()12f x f x e+>【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，求极值，最值，以及证明不等式，证明不等式的方法：若证明()()f x g x <，(,)x a b ∈，可以构造函数()()()F x f x g x =－，如果()0F x '<，则()F x 在(,)a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知(,)x a b ∈时，有()0F x <，即证明了()()f x g x <，考查学生的函数与方程思想，化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题.。
《精编》重庆市高三数学上学期第三次月考试题 理 新人教A版.doc
重庆市第一中学2021届高三上学期第三次月考数学〔理〕试题2021.11数学试题共4页。
总分值150分。
考试时间120分钟。
本卷须知：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一.选择题(每题5分,共50分).{x N x U *∈=＜}6，集合{}{1,3},3,5A B ==，那么()B A C U ⋃等于( ) A.{}4,1 B.{}5,1 C.{}5,2D.{}4,22.等比数列{n a }中，128a a +=,2324a a +=，那么34a a +等于 〔 〕A.40B.623.命题“2,20x Z x x m ∃∈++≤〞的否认是( )A ．2,20x Z x x m ∃∈++> B ．不存在x Z ∈使220x x m ++> C ．2,20x Z x x m ∀∈++≤ D ．2,20x Z x x m ∀∈++> 4.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有1212()()0f x f x x x -<-,那么 ( )A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-5.数列｛n a ｝满足11a =，12()1()n n na n a a n +⎧=⎨+⎩为正奇数为正偶数，那么其前6项之和是( )A.16B.20C.33D.1206.函数sin (0)y ax b a =+>的图象如以下列图，那么函数log ()a y x b =+的图象可能是〔 〕A ．B ． C. D.7．对任意实数x ,都有|1|||2x x a +++>，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. 1a <-或 3a > B. 3a <-或 1a > C. 13a -<< D. 31a -<<,a b 是非零向量，且(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，那么a 与b 的夹角是〔 〕A.6π B.3π C.32π D.π659．设,,,a b c d R ∈，假设,1,a b 成等比数列，且,1,c d 成等差数列，那么以下不等式恒成立的是( )A. 2a b cd +≤B. 2a b cd +≥C. ||2a b cd +≤D. ||2a b cd +≥ 10. 正实数,a b 满足1a b +=，那么2112M a b =+++的整数局部是〔 〕 Ａ．1或2 Ｂ．2 Ｃ．2或3 Ｄ．3 二.填空题(每题5分,共25分). 11．数11+2i(i 是虚数单位)的实部是 12.在约束条件：x+2y ≤5，2x+y ≤4，x ≥0，y ≥0下，z=x+4y 的最大值是3cos()45πθ-=，(,)2πθπ∈，那么cos θ= ．1)(23++-=x x x x f 在点)21(，处的切线与函数2)(x x g =围成的封闭图形的面积等于_________；15.等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ；等比数列{}n b 首项为b ，公比为a 。
重庆市一中2021届高三数学11月月考试题 理(含解析)
重庆市一中2021届高三数学11月月考试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案） 1.在平面直角坐标系中，点sin100,cos 0()20P ︒︒位于第（ ）象限. A. 一 B. 二C. 三D. 四【答案】D 【解析】 【分析】由钝角的正弦值大于0，再由诱导公式得0cos 200<，即可得到答案. 【详解】()sin1000,cos 200cos 18020cos 200︒︒︒︒︒>=+=-<，∴点()sin100,cos 200P ︒︒位于第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查三角函数值的符号、诱导公式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．2.设,,x y z ∈R ，条件p ：22xz yz >，条件q ：x y >，则p 是q 的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】条件p ：22xz yz >，⇒条件q ：x y >；反之不成立：例如取0z =，则22xz yz =即可判断出．【详解】∵条件p ：22xz yz >⇒条件q ：x y >；反之，则不成立；例如取0z =，则22xz yz =． 则p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定、不等式的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力.3.设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若m α⊆，n β⊆，则m ，n 为异面直线 B. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥ C. 若//m α，//m β，则//αβD. 若αβ⊥，m α⊆，n β⊆，则m n ⊥ 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线、面的位置关系对每个选项一一判定，即可得到答案. 详解】对A ，若m ⊆α，n ⊆β，则m ，n 可能平行、相交、异面．故A 错误；对B ，若m ⊥α，则m 垂直平面α内所有的直线，又n ∥α，所以m ⊥n ．故B 正确； 对C ，若m ∥α，m ∥β，则α，β可能相交，平行．故C 错误；对D ，若α⊥β，m ⊆α，n ⊆β，则m ，n 可能平行、相交、异面．故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查学生的空间想象能力.4.已知正数a ，b 满足1a b +=，则9a bab+的最小值为（ ） A. 4B. 6C. 16D. 25【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得99191()a b a b ab b a b a +⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式即可求解． 【详解】正数,a b ，满足1a b +=，则991919()101016a b b a a b ab b a b a a b +⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当9b aa b =且1a b +=即13,44a b ==时取得最小值16． 故选：C ．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑． 5.设函数()1sin cos f x x x =+，则下列说法中正确的是（ ） A. ()f x 为奇函数 B. ()f x 为增函数C. ()f x 的最小正周期为2πD. ()f x 图象的一条对称轴为4πx =-【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的性质分别进行判断即可． 【详解】因为1()1sin cos 1sin 22f x x x x =+=+， 对A ，函数()f x 不关于原点对称，所以不为奇函数，故A 错误； 对B ，函数()f x 在R 上不具有单调性，故B 错误； 对C ，函数()f x 的周期22T ππ==，故C 错误； 利用排除法可得D 正确. 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式进行化简是解决本题的关键． 6.设正项等比数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若563S a S =+，则{}n a 的公比q =（ ）B. 1【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可算出结果．【详解】∵等比数列{}n a 的各项为正数，0q ∴>，∵563S a S =+，∴536S S a -=，即：546a a a +=，∴541131a q a q a q +=，化简得：210q q --=，解得q =又∵0q >，∴q =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，求解时注意公比的范围，考查运算求解能力．7.已知集合M x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，232x N y y ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，则M N ⋃=（ ）A. (0,1]B. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (0,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合M 和N ，由此能求出M N ⋃．【详解】∵12210,log (21)0,x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩⇒集合1|12M x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，∵323x+>,∴22||0323x N y y y y ⎧⎫⎧⎫===<<⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎩⎭， ∴{|01}(0,1]M x x ⋃=<=N ． 故选：A ．【点睛】本题考查并集的求法、不等式的求解、函数的定义域、值域等知识，考查运算求解能力．8.已知向量a ，b 满足||2a =，3b =，4a b +=，则||a b -=（ ）B.D. 3【答案】C 【解析】 【分析】对||4a b +=两边平方求出2a b ⋅的值，再求出2()a b -的值，从而求出||a b -的值． 【详解】∵||2a =，||3b =，180，∴222()213216a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=， ∴23a b ⋅=，∴222()213213310a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅=-=， ∴||10a b -=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图中的圆的半径均为2，则该几何体的体积为（ ）A. 8πB.28π3 C. π D. 7π6【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可得几何体为34个球，根据球的体积公式可求得结果. 【详解】根据几何体的三视图知，该几何体是半径为2的球体，切去14个球后所剩余部分，如图所示∴该几何体的体积为3432834V ππ=⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查球的体积的求解，关键是能够利用三视图准确还原几何体，属于基础题. 10.王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业，王老师特地组建了一个QQ 群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该QQ 群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ 群人数的最小值为（ ） A. 20 B. 22 C. 26 D. 28【答案】B 【解析】 【分析】设教师人数为x ，由题意判断人数关系，求出x 的值后，即可求得答案． 【详解】设教师人数为x ， ∵家长人数多于教师人数， ∴家长人数≥1x +， ∵女学生人数多于家长人数， ∴女学生人数≥2x +， ∵男学生人数多于女学生人数， ∴男学生人数≥3x +， ∴总人数≥46x +，∵教师人数的两倍多于男学生人数， ∴23x x >+， ∴3x >，当4x =时，家长人数为5，女学生人数为6，男学生人数为7，满足题意，总人数为22． 故选：B ．【点睛】本题考查集合的应用问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上.给出下列判断：①存在点F 使得1A C ⊥平面1B EF ；②在平面1111D C B A 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置无关；④三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关.其中正确判断的有（ ）A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】运用线面垂直的定义，结合反证法即可判断①；运用线面平行的判定定理，即可判断②；由二面角的平面角的定义，结合向量法即可判断③；由线面平行，结合三棱锥的体积公式可以判断④．【详解】对于①，假设存在F 使得1A C ⊥平面1B EF ，则1A C ⊥1B E ，又BC ⊥1B E ，BC ∩1A C ＝C ，∴1B E ⊥平面1A BC ，则1B E ⊥1A B ，这与1A B ⊥1AB 矛盾，所以①错误； 对于②，因为平面1B EF 与平面1111D C B A 相交，设交线为l ，则在平面1111D C B A 内与l 平行的直线平行于平面1B EF ，故②正确；对于③，以D 点为坐标原点，以DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立空间坐标系，则平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =而平面1B EF 的法向量n ，随着F 位置变化，故平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置有关，故③错误；对于④，三棱锥1B B EF -的体积即为三棱锥1F BB E -，因为1DD ∥平面11ABB A ，所以，当F 在线段1DD 上移动时，F 到平面11ABB A 的距离不变，故三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关，即④正确． 故选：D ．【点睛】本题考查线面垂直和平行的判断，以及二面角的求法和三棱锥体积，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题．12.已知函数()4cos f x x x π=-，等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，则189a a a ++=（ ）A. 6B. 3C.34D.32【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得函数在R 上单调递增，由()4cos f x x x π=-，可得1142cos cos 4222f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．根据等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，即()()66334f a d f a d -++=，可得612a =．再利用等差数列的性质即可得出．【详解】∵函数()4cos f x x x π=-，'0(n )4si f x x ππ+=≥，∴()f x 在R 上单调递增，∴对任意实数t ，1142cos cos 4222f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-++=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∵等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=， ∴391a a +=，∴612a =， ∵1891633(5)32a a a a d a ++=+==. 故选：D ．【点睛】本题考查函数的性质、等差数列的性质、三角函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.实数x ，y 满足402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32x y +的最大值为________.【答案】12 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由实数,x y ，满足402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，作出可行域如图，可得(4,0)A ，化目标函数32z x y =+为322zy x =-+， 由图可知，当直线322zy x =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为342012z =⨯+⨯=．故答案为：12．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为________. 【答案】840 【解析】 【分析】分析数列的奇数项，得出奇数项为222113151,,,222---⋯，根据此规律代入求出即可．【详解】奇数项为 222113151,,,222---⋯,根据此规律有：第41项为24118402-=，故答案为：840．【点睛】本题考查观察分析猜想归纳求数列的通项公式的方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题.15.已知正三棱锥的底面边长为________. 【答案】100π 【解析】 【分析】先画出图形，先根据正三棱锥的边长和体积求出正三棱锥的高，再根据正三棱锥的性质，确定外接球的球心在正三棱锥的高线上，利用勾股定理即可求出外接球的半径．【详解】如图，根据正三棱锥的性质有点P 在底面ABC 的投影为三角形ABC 的外心，设为D ， 其外接球的球心在PD 上，设为点O ，设外接球半径为r ，三角形ABC 的外接圆半径为R ，∵13V sh =，∴11322PD =⨯⨯， 所以8PD =， 由正弦定理有2sin ABR C=， 所以4AD R ==，在Rt ADO ∆中有，222AD OD AO +=， 所以2224(8)r r +-=解得=5r ， 所以外接球表面积24100S r ππ==， 故答案为：100π．【点睛】本题考查正三棱锥外接球半径的求法，需要用到球心的性质，考查空间想象能力和运算求解能力．16.设函数2(0)()(0)xe xf x xx ⎧≥=⎨<⎩，若方程(())f f x λ=恰有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的最大值为________.【答案】2ln 22- 【解析】 【分析】由题意，令2,0(),0xe x e x g x e x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数()g x λ=有两个不相等的实根12,x x ，画出图象，显然()()22112x x e g x eg x eλ====，进而得到()12112ln x x x x +=+-，由此即可得解．【详解】当0x ≥时，()1xf x e=，则(())xe f f x e =；当0x <时，2()0f x x =>，则2(())x f f x e =，令2,0(),0xe x e x g x e x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数()g x λ=有两个不相等的实根12,x x ，即函数()y g x =与直线y λ=有且仅有两个交点，作出图象如图所示，由图象可知，e λ≥，11x ≤-，0x ≥，且()()22112x xe g x e g x e λ====， ∴221xx e =，则()212ln x x =-，∴()12112ln x x x x +=+-，令()2ln()h x x x =+-，1x ≤-，则2()1h x x'=+，令()0h x '=，解得2x =-， 显然，当(,2)x ∈-∞-时，函数()h x 为增函数， 当(2,1)x ∈--时，函数()h x 为减函数，∴max()(2)2ln22h x h=-=-．故答案为：2ln22-．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想及数形结合思想，运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17.法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对ABC而言，若其内部的点P满足120APB BPC CPA∠=∠=∠=︒，则称P为ABC的费马点.如图所示，在ABC中，已知45BAC∠=︒，设P为ABC的费马点，且满足45PBA∠=︒，2PA=.（1）求PAC的面积；（2）求PB的长度. 【答案】（13；（231. 【解析】【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得15PAB︒∠=，30PAC︒∠=，可得在PAC∆中，30PCA︒∠=，可得2PA PC==，利用三角形的面积公式即可求解PAC∆的面积．（2）利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可求sin45︒，sin15︒的值，在PAC∆中，由正弦定理可得PB的值．【详解】（1）由已知1801204515PAB∠=︒-︒-︒=︒，所以451530PAC∠=︒-︒=︒.在PAC∆中，1801203030PCA∠=︒-︒-︒=︒，故2PA PC==.所以PAC ∆的面积113sin 22322S PA PC PAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=. （2）在PAB △中，由正弦定理2sin15sin15sin 45sin 45PB PA PB ︒=⇒=︒︒︒（*）而()232162sin15sin 45302-︒=-=⨯-⨯=︒︒， 2sin 452=°代入（*）式得31PB =-.【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的面积公式、特殊角的三角函数值、两角差的正弦函数公式、正弦定理在解三角形中的综合应用，考查转化与化归思想、函数与方程思想．18.数列{}n a 满足1323nn n a a +=+⨯，13a =.（1）证明：3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项之和为n S .【答案】（1）证明见解析；（2）3nn S n =⋅.【解析】 【分析】（1）将等式两边同除以13n +，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．【详解】（1）由已知11111323223333333n n n n n n n n n n n a a a a a ++++++⨯==+⇒-=， 由定义知3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且公差为23，首项为1113a =，故12211(1)(21)3333nnnna nn a n-+=+-=⇒=+.（2）由已知0121335373(21)3nnS n-=⨯+⨯+⨯+++，故1233335373(21)3nnS n=⨯+⨯+⨯+++，相减得：()01212332333(21)3n nnS n--=⨯++++-+，即()13132332(21)32313nn nnS n n---=⨯+⨯-+=-⋅-，所以3nnS n=⋅.【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．19.已知四棱锥P ABCD-的底面为正方形，且该四棱锥的每条棱长均为2，设BC，CD的中点分别为E，F，点G在线段PA上，如图.（1）证明：EF GC⊥；（2）当//BG平面PEF时，求直线GC和平面PEF所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）35.【解析】【分析】（1）设AC BD O=，由正棱锥的性质可知PO⊥平面ABCD，得到PO⊥EF，再由ABCD是正方形结合EF为△BCD的中位线，可得EF⊥AC，得到EF⊥平面PAC，进一步得到EF⊥GC；（2）分别以PB，OC，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A，P，E，F的坐标，设(,,)G x y z，且PG PAλ=，其中01λ≤≤，求得(0,,1)Gλλ--，设平面PEF的一个法向量为(,,)m a b c=，求得(0,2,1)m=，结合BG∥平面PEF，利用数量积为0求得λ，进一步得到120,,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又(0,1,0)C ，求出直线GC 的法向量为(0,2,1)=-n ．设GC 和平面PEF 所成角为θ，再由sin |cos ,|GC m θ=<>求解．【详解】（1）证明：由已知P ABCD -为正四棱锥，设AC ，BD 交于点O ， 由正棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，所以PO EF ⊥，由于正方形ABCD 满足AC BD ⊥，EF 为BCD ∆的中位线，故//EF BD ，所以EF AC ⊥， 所以EF ⊥平面PAC ，而CG ⊆平面PAC ，所以EF GC ⊥. （2）分别以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立如图坐标系，此时(0,1,0)A -，(0,0,1)P ，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 设(,,)G x y z ，且PG PA λ=，其中01λ≤≤， 即(,,1)(0,1,1)(0,,1)x y z G λλλ-=--⇒--， 设平面PEF 的法向量为(,,)m a b c =， 由于11,,122EP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(1,0,0)EF =-， 由00m EP m EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩解得(0,2,1)m =，由//BG 平面PEF 知0(1,,1)(0,2,1)130BG m BG m λλλ⊥⇒⋅=⇒---⋅=-=，解得13λ=，此时120,,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于(0,1,0)C ，故420,,33GC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以直线GC 的方向向量(0,2,1)=-n ， 设GC 和平面PEF 所成角为θ， 则003sin |cos ,|5||||0n m GC m n m θ⋅⨯=<>===⋅+.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． 20.已知函数()2ln f x x x =+.（1）经过点()0,2-作函数()f x 图象的切线，求切线的方程； （2）设函数()()()1xg x x e f x =--，求()g x 在(0,)+∞上的最小值.【答案】（1）32y x =-；（2）22ln 2-. 【解析】 【分析】（1）设切点坐标为()00,x y ，斜率()0k f x '=，利用点在曲线上和切线上，可得关于0,x k 的方程；（2）对()g x 求导，设出隐零点，根据单调性求出最小值，代入化简即可． 【详解】（1）由于2()1f x x'=+，设切点坐标为()00,x y ， 则0002ln y x x =+，切线斜率()0021k f x x '==+； 另一方面0000022ln 2y x x k x x +++==， 故0000002ln 221ln 013x x x x k x x +++=⇒=⇒=⇒=， 此时切点坐标为()1,1，所以切线方程为()131y x -=-，即32y x =-.（2）由已知()22ln xg x xe x x =--，故12()(1)21(1)xx g x x e x e x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于(0,)x ∈+∞，故10x +>，由于2()xh x e x=-在(0,)+∞单调递增， 同时0lim ()x h x →=-∞，lim ()x h x →+∞=+∞，故存在00x >使得()00h x =， 且当()00,x x ∈时()0h x <， 当()0,x x ∈+∞时()0h x >， 所以当()00,x x ∈时()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时()0g x '>，即函数()g x 先减后增. 故()()0min 0000()2ln xg x g x x e x x ==-+.由于()0000000202ln ln 2x x h x e x e x x x =-=⇒=⇒+=， 所以min ()22ln 2g x =-.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.21.已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅的值； （2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）6；（2）⎡⎢⎣⎦.【解析】 【分析】（1）设点(),P x y ，由该点在椭圆上得出22132y x =-，然后利用距离公式和向量数量积的坐标运算求出1122PF PF PF PF +⋅的值；（2）分直线l 的斜率不存在与存在两种情况讨论，在直线l 的斜率不存在时，可求得122S S =，在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，根据直线l 与圆222x y +=相切，得出()2221m k =+，并将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将12S S 表示为k 的函数，转化为函数的值域的求解，综合可得出答案.【详解】（1）由已知，())12,F F ，设(),P x y ，由12PF x ⎫===⎪⎪⎭，同理22PF x ⎫=⎪⎪⎭，可得21216222PF PF x x x ⎫⋅==-⎪⎪⎭，())2212,,3x y x y x PF y PF ⋅=--⋅-=+-．结合22163x y +=，得22132y x =-，故221212116622PF PF PF PF x x ⋅+⋅=-+=；（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x =由对称性，不妨设x =，此时()(),,1,1,1,1ABC D -，故12221S S ==． 若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，=()2221m k =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 与椭圆方程联立， 得()222214260k x kmx m +++-=，由韦达定理得122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+．结合OC OD ==22221122113,322x y y x =-=-， 可知22221112221sin 112122sin 2OA OB AOBS OA OB x y x y S OC OD COD ⋅⋅∠==⋅=+⋅+⋅⋅∠()()2222121212121111313392222224x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++=++-+ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭． 将根与系数的关系代入整理得：()()22222212221263618319221k m m k m S S k-+++-=++，结合()2221m k =+，得()4212221284479221S k k S k ++=++． 设2211t k =+≥，(]10,1u t=∈，则221222178818813291688162,2222S t t u u S t t t ⎡⎤+-=+=-++=-++∈⎢⎥⎣⎦． 12S S ∴的取值范围是322,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题的求解，涉及椭圆上点的坐标的应用，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积比值的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程 22.已知曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩，（α为参数）.（1）若点22M m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在曲线C 上，求m 的值；（2）过点()1,0P 的直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求11||||PA PB +的取值范围. 【答案】（1）2±；（2）. 【解析】 【分析】（1）运用平方法和同角的平方关系，以及代入法，解方程可得所求值； （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），联立圆的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求范围． 【详解】（1）已知曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩，等价于2sin x y α=+，2cos x y α=-，由于22sin cos 1αα+=， 所以等价于2222()()4sin 4cos 4x y x y αα++-=+=. 整理得曲线C 的普通方程为222x y +=，将2M m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入解得m =. （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），与222x y +=联立得：22cos 10t t θ+⋅-=， 由韦达定理122cos t t θ+=-，121t t =-.由于1t ，2t 异号，故2112121111||||t t PA PB t t t t -+=+==将韦达定理代入，并结合2cos [0,1]θ∈，得11[2,||||PA PB +=. 【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化，考查直线参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查化简运算能力．选修4-5：不等式选讲23.已知正实数a ，b 满足()lg lg lg a b a b +=+.（1）证明：228a b +≥；（2）证明：()()2211254a b a b ++≥+. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知得ab a b =+，再利用基本不等式和不等式222a b ab +≥，即可证出228a b +≥；（2）用分析法，结合a b ab +=，分析出要证原不等式只需证()()4810ab ab -⋅-≥，因为4ab ≥，所以原不等式得证．【详解】证明：（1）由已知ab a b =+，均值不等式24ab a b ab =+≥⇒≥⇒≥，由均值不等式222a b ab +≥，结合4ab ≥，可知228a b +≥. （2）欲证()()2211254a b a b ++≥+， 只需证()()()2241125a b a b ++≥+， 只需证()()()2224125ab a b a b ⎡⎤⎣≥⎦++++， 即证()()()2242125ab a b ab a b ⎡⎤++-+≥+⎣⎦， 结合a b ab +=，只需证()()2242125ab ab ab ab ⎡⎤+-+≥⎣⎦， 即()283340ab ab -+≥，即证()()4810ab ab -⋅-≥，ab ，从而原不等式得证.因为4【点睛】本题主要考查对数的运算性质，以及利用基本不等式证明不等式，是中档题．。
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重庆一中2021届高三第一学期第三次月考数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．作答时，务必将答案书写在答题卡规定的位置上．写在本试卷上及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项．1．已知复数21iz i=-，则复数z 的虚部是（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -2．已知集合{}2|2,A x x x Z =<∈，则A 的真子集共有（ ）个 A ．3 B ．4 C ．6 D ．73．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（ ） A ．10π B ．12π C ．14π D ．16π4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍．（当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.22B ．1.23C ．1.26D ．1.27 5．向量,a b 满足||1a =，a 与b 的夹角为3π，则||a b -的取值范围为（ ） A ．[1,)+∞ B ．[0,)+∞ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3⎫+∞⎪⎣⎭6．已知三棱锥P ABC -，过点P 作PO ⊥平面ABC ，O 为ABC 中的一点，且,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，则点O 为ABC 的（ ）A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心7．设sin5a π=，2log3b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个确定的球面上，且6BA BC ==2ABC π∠=，若三棱锥P ABC -体积的最大值为3，则其外接球的半径为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,,//m n m n αβ⊆⊆，则//αβ B ．若,m n m α⊆⊥，则n α⊥ C ．若,m n αα⊥⊆，则m n ⊥ D ．若//,,m n αβαβ⊆⊆，则//m n 10．下列函数中，在(0,1)内是减函数的是（ ）A ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．212log y x = C ．121y x =+ D ．2log sin y x =11．下列关于函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的为（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线83x π=对称 B ．将函数()f x 的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．若()f x a =，则1cos 232a x π⎛⎫-=⎪⎝⎭12．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x x<'，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f < D ．()()()1212f x x f x f x <三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡相应的位置上．13．已知球O 的体积为323π，则球O 的表面积为___________． 14．已知向量,a b 不共线，若a b λ+与2a b +平行，则λ的值为___________．15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________．16．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且101a <<，20201a =，则q 的取值范围为_________；能使不等式12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的最大正整数m =_________．（注：前一空2分，后一空3分）四、解答题：本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡相应题目指定方框内，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．17．（本小题满分10分）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，M 是线段AB 的中点，1160,22,2,6DAB AB CD DD C M ∠=︒====．（1）求证：1//C M 平面11A ADD ；（2）求异面直线CM 与1DD 所成角的余弦值． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：13a =，且对任意的n N *∈，都有1，1,n n a a +成等差数列． （1）证明数列{}1n a -等比数列；（2）已知数列{}n b 前n 和为n S ，条件①：()1(21)n n b a n =-+，条件②：11n n n b a +=-， 请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．．来求数列{}n b 前n 和n S ． 注：若两个条件都计算了．．．．．．．．．，只按照第一个条件来评分．．．．．．．．．．．！ 9．（本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，短轴的两个端点分别为12,B B ．且122B B =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程． 20．（本小题满分12分）已知()cos sin 3cos 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）求()f B 的取值范围；（2）当434,a b ==，且()f B 取（1）中的最大值时，求ABC 的面积． 21．（本小题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，12,120AB AC AA BAC ==∠=︒，D ，1D 分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点M ，N ．（1）证明：平面1A MN ⊥平面11ADD A ；（2）求二面角1A A M N --的余弦值． 22．（本小题满分12分）已知21()(1)2xf x e ax b x =---．其中常数 2.71828e ≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅． （1）当2,4a b ==时，求()f x 在[1,2]上的最大值； （2）若对任意0,()a f x >均有两个极值点()1212,x x x x <， （ⅰ）求实数b 的取值范围；（ⅱ）当a e =时，证明：()()12f x f x e +>．参考答案一、单项选择题：1-8：BDBCDACA二、多项选择题：9．ABD 10．ABC 11．AD 12．ABC 三、填空题13．16π 14．1215．228 16．1q > 4039 四、解答题17．解：（1）证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =，所以//AB DC ．又由M 是AB 的中点，因此//CD MA 且CD MA =．连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1111//,CD C D CD C D =，可得1111//,C D MA C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形．因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11A ADD ，1D A ⊂平面11A ADD ，所以1//C M 平面11A ADD ． 5分（2）因为//CM DA ，所以异面直线CM 与1DD 成的角，即为 DA 与1DD 相交所成的直角或锐角，在1ADD 中，16C M =，故116,1,2AD AD DD ===，由余弦定理可得：22211 111cos24AD DD ADADDAD DD+-∠==-⋅，故异面直线CM和1DD余弦值为14．10分18．解：（1）由条件可知112n na a++=，2分即121n na a+=-，∴()1121n na a+-=-，且112a-=4分∴{}1na-是以112a-=为首项，2q=为公比的等比数列，∴12nna-=，∴()21nna n N*=+∈6分（2）条件①：()1(21)(21)2nn nb a n n=-+=+，123325272(21)2nnS n=⋅+⋅+⋅+++⋅8分23412325272(21)2nnS n+=⋅+⋅+⋅+++⋅10分利用错位相减法可求得()12(21)2nns n n N+*=-+∈12分条件②：11(1)12nnnnb na+⎛⎫==+⋅ ⎪-⎝⎭231111234(1)2222n nS n=⋅+⋅+⋅+++⋅8分234111111234(1)22222n nS n+=⋅+⋅+⋅+++⋅10分利用错位相减法可求得()13(3)2nns n n N*⎛⎫=-+∈⎪⎝⎭12分注：若两个条件都计算了，只按照第一个条件来评分！19．解（1）易知椭圆C的方程为2212xy+=4分（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为1x=，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，22(1)12y k x xy =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-=，()2810k ∆=+>， 6分 设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++， ()()1111221,,1,F P x y FQ x y =+=+，∵110F P FQ ⋅=， 8分 即()()()()()2221212121211110x x y y k x x k x x k i +++=+--+++=， 得217,77k k ==±． 10分 故直线l 的方程为710x +-=，或710x --=． 12分 20．解：（1）2()cossin 3sin cos 3222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 13(cos 1)3sin sin 2232x x x π+⎛⎫=+=++⎪⎝⎭4分 因为B 为三角形的内角，所以(0,)B π∈所以4,333B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3()0,1f B ⎛∈+ ⎝⎦ 5分 （2）3()1326f B B B πππ=+⇒+=⇒= 7分 由正弦定理得：43433sin 1sin sin sin 22a b A A B A =⇒=⇒=9分 若3A π=，则2C π=，183sin 2ABCSab C == 11分 若23A π=，则6C π=，143sin 2ABCS ab C == 12分 21．（1）证明：因为AB AC =，D 是BC 的中点，所以，BC AD ⊥． 因为//MN BC ，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点．所以MN AD ⊥．因为1AA ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，所以1AA MN ⊥． 又因为AD ，1AA 在平面11ADD A 内，且AD 与1AA 相交， 所以MN ⊥平面11ADD A ，．又MN ⊂平面1A MN ， 所以平面1A MN ⊥平面11ADD A ； 5分（2）设11AA =．如图，过1A 作1A E 平行于11B C ，以1A 为坐标原点，分别以1111,,A E A D A A 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -（点O 与点1A 重合）．则1(0,0,0),(0,0,1)A A ．因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为,AB AC 的中点，故3131,1,,122M N ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1131,,1,(0,0,1),(3,0,0)2A M A A NM ⎛⎫===⎪⎝⎭． 6分 设平面1AA M 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111,,n A M n A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即11110,0,n A M n A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故有()()11111131,,,10,22,,(0,0,1)0.x y z x y z ⎧⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪⋅=⎩从而1111310,220.x y z z ++=⎨⎪=⎩取11x =，则13y =- 所以1(1,3,0)n =-是平面1AA M 的一个法向量． 8分 设平面1A MN 的法向量为()2222,,n x y z =，则212,,n A M n NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即2120,0,n A M n NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故有()()22222231,,,10,2,,3,0,0)0.x y z x y z ⎧⎫⋅=⎪⎪⎨⎝⎭⎪⋅=⎩ 从而2222310,2230.x y z x ++==取22y =，则21z =-， 所以2(0,2,1)n =-是平面1A MN 的一个法向量． 10分 设二面角1A A M N --的平面角为θ，又θ为锐角， 则1212|(1,3,0)(0,2,1)|15cos 25n n n n θ⋅-⋅-===⨯ 故二面角1A A M N --1512分 22．解：（1）2()4(1)[1,2]xf x e x x x =---∈，()24,()20xxf x e x f x e ''=='--->∵()f x '在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，∴()0,()f x f x <'在[1,2]上单减，∴max ()(1)1f x f e ==-． 3分（2）（ⅰ）(),()xxf x e ax b f x e a =-'-='-'，()f x '在(,ln )a -∞单减，(ln ,)a +∞单增， ∵()f x 有两个极值点12,x x ，∴(ln )ln 0f a a a a b =--<'，ln b a a a >-对任意0a >都成立，设()ln g a a a a =-，()ln ,()g a a g a '=-在(0,1)单增，(1,)+∞单减，∴(1)1b g >=，又∵0,,()ba b f e x f x a -⎛⎫-=>→+∞→+∞ ⎪⎝⎭''，∴1b >． 7分（ⅱ）当a e =时，()xf x e ex b '=--，可证()f x '在(,1)-∞单减，在(1,)+∞单增，∵12,x x 是()0f x '=两根，且12x x <．∴121,1x x >> 设()()(2),(1)h x f x f x x -'-<'=则2()2220xxh x e ee e e -=+->-='∴()h x 在(,1)-∞单增，()(1)0,()(2)h x h f x f x ''<=<-∵()()()112111,21,2x x f x f x f x <-=<''-'>，又∵()f x '在(1,)+∞上单增， ∴212x x <-，即1222x x x <-<，又∵()f x 在()12,x x 上单减，()()122f x f x >-()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -+>-+=+-+-令22()22x xM x e eex ex e -=+-+-，(1)x >22()22,()20x x x x M x e e ex e M x e e e --=--''+-'=+≥，()M x '在(1,)+∞单增，(1)0M '=，∴()0M x '>，故()M x 在(1,)+∞单增又∵x ()221,(1)x M x M e >>=，∴()()12f x f x e +> 12分。