基本积分方法
三十个基本积分公式
指数函数积分E(n, a)表示e的x次方的n次方的积分。
详细描述
∫e^(nx) dx = (e^n * x) / n + C，其中C是积分常数，x是变量。这个公式用于计算指数函数的不定积分，结果 是一个关于x的线性函数，乘以e的n次方，并除以n。
02
三角积分公式
正弦函数积分 Sin(n, a)
幂函数积分 Phi(n, a)
总结词
幂函数积分Phi(n, a)表示x的n次方的积分。
详细描述
∫x^n dx = (1/n+1) * x^(n+1) + C，其中C是积分常数，x是变量。这个公式用于 计算幂函数的不定积分，结果是一个关于x的幂函数，其指数增加1，并乘以 1/(n+1)。
指数函数积分 E(n, a)
04
反三角积分公式
反正弦函数积分 asin(n, a)
总结词
计算反正弦函数的定积分
详细描述
对于函数 f(x) = sin(nx) 在区间 [0, a] 的定积分，可以使用反正弦函数积分 公式计算，即：∫asin(nx) dx = acos(nx) + C，其中 C 是积分常数。
反余弦函数积分 acos(n, a)
03
对数积分公式
自然对数积分 ln(n, a)
总结词
计算自然对数积分，即求解函数 f(x) = ln(n, a) 的定积分。
详细描述
自然对数积分是数学中常见的一种积分，其定义为求解函数 f(x) = ln(n, a) 的定积分。其中，n 是底数，a 是真数。自然 对数积分在解决各种数学问题中具有广泛的应用，例如求解 微分方程、概率论和统计学等。
部积分法和递推法等。
基本积分公式直接积分法
基本积分公式直接积分法下面是一些常用的基本积分公式：1.常数函数的积分∫kdx = kx + C其中，k为常数，C为常数项。
2.幂函数的积分∫x^nd x = (1/(n+1))x^(n+1) + C,其中，n≠-1，C为常数项。
3.正弦函数的积分∫sinxdx = -cosx + C4.余弦函数的积分∫cosxdx = sinx + C5.指数函数的积分∫e^xdx = e^x + C6.对数函数的积分∫(1/x) dx = ln，x， + C7.倒数函数的积分∫1/(x^2)dx = -(1/x) + C8.基本三角函数的积分∫sec^2xdx = tanx + C以上仅列举了一些基本的积分公式，还有其他很多常用的积分公式可以参考。
当然，还有一些特殊的积分公式，如换元积分法、分部积分法等，可以通过特定的变化方式将复杂的函数转化为易于求解的形式，从而进行积分运算。
在进行直接积分求解时，一般的思路是先根据题目给出的函数，结合各种基本的积分公式进行变形，然后利用积分公式求解，并在最后加上常数项C。
具体步骤如下：1.根据题目给出的函数进行变形，利用一些简单的代数运算将其化简。
2.判断题目给出的函数是否符合基本积分公式中的其中一种形式，如果符合，则可以直接按照相应的基本公式进行求解。
3.如果不符合基本积分公式中的形式，则可以尝试利用一些变形技巧，如换元积分法、分部积分法等，将其转化为符合基本公式的形式。
对于复杂的函数，可能需要多次变形或使用多个变换方法。
4.求解出积分后，需要记得加上常数项C，这是因为积分运算的结果是一个函数的无穷个解，加上常数项C可以表示出所有的解。
需要注意的是，在进行积分运算时，要特别留意函数的定义域，避免出现不可积分的情况。
此外，不定积分求解通常存在多种解法，有时我们可以选择适用性较强的方法，以便更快地求得结果。
总结起来，基本积分公式是求解不定积分时的重要工具，通过利用这些公式，我们可以将一个函数进行积分从而得到其原函数。
三十个基本积分公式
三十个基本积分公式积分是微积分中的重要概念，它在数学、物理学、工程学等众多领域都有着广泛的应用。
而掌握基本的积分公式，是进行积分运算的基础。
下面，我们就来详细介绍三十个基本积分公式。
公式一：∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这是最简单的积分公式，常数的积分就是常数乘以自变量再加上常数 C。
公式二：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）当自变量 x 的幂次为 n 时，积分结果是幂次加 1 后除以新的幂次加1，再加上常数 C。
公式三：∫1/x dx ＝ ln|x| ＋ C这个公式在处理分式形式的积分时经常用到。
公式四：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身。
公式五：∫a^x dx ＝（1/ln a)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）对于底数为 a 的指数函数，其积分公式如上。
公式六：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C正弦函数的积分是负的余弦函数。
公式七：∫cos x dx ＝ sin x ＋ C余弦函数的积分是正弦函数。
公式八：∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C正切函数的积分与余弦函数的对数有关。
公式九：∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C余切函数的积分与正弦函数的对数有关。
公式十：∫sec x dx ＝ ln|sec x ＋ tan x| ＋ C 正割函数的积分较为复杂。
公式十一：∫csc x dx ＝ ln|csc x ＋ cot x| ＋ C 余割函数的积分也有一定的特殊性。
公式十二：∫sec^2 x dx ＝ tan x ＋ C正割平方的积分是正切函数。
公式十三：∫csc^2 x dx ＝ cot x ＋ C余割平方的积分是负的余切函数。
公式十四：∫sec x tan x dx ＝ sec x ＋ C正割与正切的乘积的积分是正割函数。
公式十五：∫csc x cot x dx ＝ csc x ＋ C余割与余切的乘积的积分是负的余割函数。
积分 求法
积分求法积分是微积分中的重要概念之一，是对一定范围内函数曲线的面积或累加结果的计算过程。
在数学、物理学、工程学、经济学、统计学等领域中，积分的应用非常广泛。
本文将为读者介绍积分的求法及其应用。
一、基本积分法1. 常数函数积分法当被积函数为常数函数时，积分结果是该常数与积分上限和下限的差值。
即：∫a^b Cdx = C(b-a)对于幂函数f(x) = xn，当n不等于-1时，求积分可以用幂函数的求导公式，即：∫xn dx = 1/(n+1) * xn+1 + C其中，C为任意常数。
当n等于-1时，求积分则需要注意，即：一般地，对于任何形如ae^x的函数，也可采用同样的方法求积分。
∫sinx dx = -cosx + C有时候我们还需要用到以下的积分恒等式：二、分部积分法当被积函数难以被分解或者分式分解时，可以采用分部积分法。
分部积分法中，我们会将原函数分解成两个部分：一个部分为一个简单的函数，另一个部分为能够处理积分的部分，其代表式为：∫u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - ∫v(x) u'(x) dx其中，u(x)和v(x)代表积分中的两个函数。
三、换元积分法最后，我们介绍一种常用的积分求解方法：换元积分法。
换元积分法有时也称为u-代换法，即将被积函数中的一个未知数用另一个未知数来表示，从而更方便进行积分的计算。
换元积分法的一般步骤为：1. 找到被积函数中的一个未知数x，以及导数为此式的另一未知数t2. 令t = g(x)，然后用x的函数表示g(x)3. 对新积分的被积函数中的t进行处理得到的积分求解公式例如，若有被积函数：∫f(x) dx现在设t = g(x)，则有x = g^(-1)(t)，则：其中，g'(x)为g(x)的导数。
换元积分法常常应用于函数积分中多个未知数、复杂函数、三角函数等情况。
四、应用积分是微积分的重要组成部分，应用非常广泛。
在数学中，积分被用于求解函数曲线的面积、体积、长度、质心等问题；在物理学中，积分被用于计算质量、力、功等物理量；在工程学中，积分被用于计算电路、信号处理、噪音抑制等问题，广泛应用于控制理论、电路分析、机器学习等领域。
高等数学积分公式
高等数学积分公式高等数学中的积分公式有很多，下面列举了一些常用的积分公式和相关的计算方法。
1.积分的线性性质：设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上可积，k为任意常数，则有：∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx ∫[a, b] kf(x)dx = k∫[a, b] f(x)dx2.基本积分公式：∫ x^n dx = 1/(n+1) x^(n+1) + C，其中n≠-1，C为常数∫ dx = x + C∫ e^x dx = e^x + C∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ 1/(a^2 + x^2) dx = (1/a) arctan(x/a) + C，其中a≠0∫ 1/(sqrt(a^2 - x^2)) dx = arcsin(x/a) + C，其中a>03.积分的分部积分法：设函数u(x)、v(x)具有连续的一阶和二阶导数，则有积分的分部积分公式：∫ u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - ∫ u'(x) v(x) dx4.三角函数的积分公式：∫ sin^n(x) cos^m(x) dx，其中n、m均为非负整数，可用以下公式求解：a. 若n为奇数，m为偶数，则利用恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1进行化简b. 若n为偶数，m为奇数，则利用恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1进行化简，并对其中的sin^2(x)进行积分c. 若n和m均为奇数，则利用恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1进行化简，并对其中的cos^2(x)进行积分5.带根号的积分公式：∫ sqrt(a^2 - x^2) dx = (1/2) (x sqrt(a^2 - x^2) + a^2 arcsin(x/a)) + C，其中a>0∫ sqrt(x^2 + a^2) dx = (1/2) (x sqrt(x^2 + a^2) + a^2 ln，x + sqrt(x^2 + a^2)，) + C，其中a>06.积分的换元法：设u=g(x)是连续可导函数的微分函数，函数f(g(x))在区间[a,b]上连续，则有：∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du7.分式积分法：设f(x)、g(x)是多项式函数，g(x)≠0∫ f(x)/g(x) dx = [∑ A_i/(x-a_i) + B_j(x-b_j)^k_j +C_i*e^(a_i*x)]dx其中A_i、B_j、C_i为待求系数，a_i、b_j为g(x)的一阶或二阶零点，k_j为g(x)的重根的重数8.参数方程的积分公式：设平面上的点(x(t),y(t))的运动由参数方程x=f(t)，y=g(t)给出，则有：∫[a, b] y(t) x'(t) dt = ∫[a, b] x(t) y'(t) dt以上列举的只是常用的积分公式，实际上积分的计算有时需要结合多种公式和方法进行推导和计算。
基本的3种不定积分方法
基本的3种不定积分方法基本的三种不定积分方法是：代入法、分部积分法和换元法。
这些方法都用于求解函数的不定积分，即求函数的原函数。
1.代入法：代入法是基本的一种不定积分方法。
它通过选取适当的变量代换，将被积函数转化为更容易求解的形式。
首先，通过观察被积函数的形式，选取一个变量代换来简化函数。
例如，如果被积函数中有一个较为复杂的根式，我们可以选取一个新的变量，使得根式可以被表示为新变量的幂函数。
然后对新变量进行求导和求逆，并用新变量替代原变量进行积分。
举个例子，如果我们计算不定积分∫(x/(1+x²)) dx，我们可以选取u=1+x²，使得被积函数可以表示为 du/dx。
然后我们对等式两边同时求导，得到 du=2xdx，进而得到∫(x/(1+x²)) dx = ∫(1/u) du。
通过代入法，我们将原来的被积函数转化为了一个更简单的函数进行积分。
2.分部积分法：分部积分法是另一种常用的求不定积分的方法。
它是导数乘积的逆运算，通过将一个积分分解为两个函数的乘积，以便其中一个函数的导数形式可以被简化。
分部积分法的公式为∫(u dv) = uv - ∫(v du)。
其中 u 和 v 分别为两个待定函数，du 和 dv 分别为其导数。
具体应用分部积分法时，我们首先选择一个函数 u 作为被积函数的导数，然后选取另一个函数 dv，使得 dv 尽可能简单。
然后我们计算出u 的导数 du 和 v 的不定积分。
例如，对于不定积分∫(x sinx) dx，我们可以选取 u=x，dv=sinx。
然后计算出 du=dx 和v=∫sinx dx=-cosx。
最后根据分部积分法公式，我们得到∫(x sinx) dx = -xcosx + ∫cosx dx = -xcosx + sinx + C。
通过分部积分法，我们将原来的被积函数分解为两个函数的乘积，以便其中一个函数可以更容易地被积分。
3.换元法：换元法是一种常用的不定积分方法。
三十个基本积分公式
三十个基本积分公式1. 反比例函数的积分公式：∫ 1/x dx = ln|x| + C2. 幂函数的积分公式：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-13. 常数函数的积分公式：∫ k dx = kx + C，其中k为常数4. 正弦函数的积分公式：∫ sin(x) dx = -cos(x) + C5. 余弦函数的积分公式：∫ cos(x) dx = sin(x) + C6. 正切函数的积分公式：∫ tan(x) dx = ln|sec(x)| + C7. 余切函数的积分公式：∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C8. 指数函数的积分公式：∫ e^x dx = e^x + C9. 对数函数的积分公式：∫ ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C10. 双曲正弦函数的积分公式：∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C11. 双曲余弦函数的积分公式：∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C12. 双曲正切函数的积分公式：∫ tanh(x) dx = ln(cosh(x)) + C13. 双曲余切函数的积分公式：∫ coth(x) dx = ln|sinh(x)| + C14. 分式函数的积分公式：∫ (1/x) dx = ln|x| + C15. 部分分式分解的积分公式：∫ (Ax + B)/(x^2 + cx + d) dx = (1/2)ln(x^2 + cx + d) + C16. 倒数函数的积分公式：∫ (1/(a + bx)) dx = (1/b)ln|a + bx| + C，其中b≠017. 平方差分式的积分公式：∫ (x + a)√(x^2 + bx + c) dx = (1/3)(x + a)^2√(x^2 + bx + c) + (2/3)a^2ln|x + (1/3)(2bx + c)| + C18. 三角函数积分的积分公式：∫ sin^n(x) cos(x) dx = ((sin^(n+1)(x))/(n+1)) + C，其中n≠-1 19. 双曲函数积分的积分公式：∫ sinh^n(x) cosh(x) dx = ((sinh^(n+1)(x))/(n+1)) + C，其中n≠-1 20. 对数和幂函数的积分公式：∫ ln^n(x) dx = x(ln^n(x) - n∫ ln^(n-1)(x) dx) + C，其中n≠0 21. 倒数和对数函数的积分公式：∫ x^(-1/2) ln(x) dx = -2√x(ln(x) - 2) + C22. 指数和三角函数的积分公式：∫ e^x sin(x) dx = (1/2)e^x (sin(x) - cos(x)) + C23. 分部积分法的积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du24. 三角函数和双曲函数的积分公式：∫ sin(x) cosh(x) dx = (1/2)sinh(2x) + C25. 分式和三角函数的积分公式：∫ (sin(x))/(a + b*sin(x)) dx = (1/b)ln|tan(x/2) + √(a/b) + C26. 分式和双曲函数的积分公式：∫ (sinh(x))/(a + b*sinh(x)) dx = (1/b)ln|tanh(x/2) + √(a/b) + C27. 三角函数和指数函数的积分公式：∫ sin(x) e^(ax) dx = (a/(a^2 + 1))e^(ax) - (1/(a^2 + 1))cos(x) + C28. 分式和指数函数的积分公式：∫ (e^(ax))/(1 + e^(ax)) dx = ln|1 + e^(ax)| + C，其中a≠029. 部分分式分解和多项式的积分公式：∫ (x^n)/(x-a) dx = (1/(n+1))x^(n+1) + a∫ (x^(n-1))/(x-a) dx，其中n≠-1，a≠030. 推广型积分法的积分公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C，其中F为f的原函数，g为可导函数以上是三十个基本积分公式，这些公式是数学中常用的积分技巧，熟练掌握它们可以在解决各种积分问题时提供很大的帮助。
高数积分公式大全
高数积分公式大全高等数学中的积分是数学分析的重要内容之一，它是求函数面积、定积分、不定积分等的方法，被广泛应用于科学和工程领域。
下面是高等数学中常用的积分公式大全，供大家参考和学习。
一、基本积分公式：1. 常数函数积分公式：∫c dx = cx + C（其中c为常数，C为积分常数）2. 幂函数积分公式：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C（其中n不等于-1，C 为积分常数）3. 指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C4. 三角函数积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C5. 乘方函数积分公式：∫(a^x) dx = (1/log(a)) * (a^x) + C（其中a为正数且不等于1，C为积分常数）6. 对数函数积分公式：∫(1/x) dx = ln|x| + C二、常用积分公式：1. 三角函数的复合积分：∫sin(ax) dx = - (1/a) * cos(ax) + C∫cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C2. 反三角函数的积分：∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C3. 指数函数的积分：∫e^(ax) dx = (1/a) * e^(ax) + C4. 对数函数的积分：∫(1/x) dx = ln|x| + C5. 分式函数的积分：∫(1/(x-a)) dx = ln|x-a| + C（其中a不等于0）∫(1/(x^2+a^2)) dx = (1/a) * arctan(x/a) + C（其中a不等于0）6. 三角函数的积分：∫sin^n(x) cos^m(x) dx7. 部分分式的积分：∫(p(x)/q(x)) dx8. 具体函数的特殊积分：∫e^x sin(x) dx∫e^x cos(x) dx∫(sin(x))^n (cos(x))^m dx（其中n和m为正整数）三、数列求和公式：1. 等差数列求和公式：S_n = (n/2)(a_1 + a_n)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，a_n为末项）2. 等比数列求和公式：S_n = (a_1(1-q^n))/(1-q)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，q为公比）以上是高等数学中一些常见的积分公式，通过掌握和灵活运用这些公式，可以帮助我们更好地解决数学中的问题。
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注2. 凑微分法的关键是“凑”, 凑的目的是把被积函数的
中间变量变得与积分变量相同. 即
f [(x)] (x)dx 凑 f [(x)]d(x). 3
“凑微分”的方法有: (1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式, 依据恒等变形的原则, 把 dx凑成d(x) . 如
(3)
1 ln x dx x
解 原式
1 ln xd ln x
1
ln
xd(1 ln
x)
2
(1
ln
3
x)2
C
3
ex
(4)
dx ex 1
解 原式 d(ex 1) 2 ex 1 C
ex 1
例10 求下列各式的不定积分
(1)
xdx 3x2 4
注1:换元积分法是先换元,再积分,最后回代.这与凑微分法 (先凑后换元)不一样. 注2: 本节利用换元积分法来求解被积函数为无理函数的 不定积分. 换元的目的是将无理函数的不定积分转换为有理函数的积分. 分两类讲:
1.根号里是一次式的,即 n ax b
2.根号里是二次式的,即 n a2 x2 , n x2 a2 .
x
1 4
sin
2x
C
同理可得
cos2
xdx
1 2
x
1 4
sin
2x
C
(2) sin3 xdx 解 原式 sin2 xdx cos x (cos2 x 1)d cos x 1 cos3 x cos x c.
3
结论4: 一般地, 对形如 sinn xdx, cosn xdx 这样的不定积分
9. 4 9x2 ;
10.
1
dx cos
; x
11.
arcsin x dx; 1 x2
12.
cot sin
d .
16
注:对于同一个不定积分,采用的方法不同,有时得到的原函数 的表达式就完全不同,但这些不同的表达式之间仅相差一个 常数.如
法一:
sin
x
cos
xdx
sin
e2xdx 1 e2xd (2x) 1 e2x C.
2
2
(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x) .如
ln x dx
2
3
ln xd ln x (ln x)2 C
x
3
方法1较简单, 而方法2则需一定的技巧, 请同学们务必记牢
以下常见的凑微分公式！
a2 x2 解 原式
dx a2 (1 ( x )2 )
ad(x) a
a (1 ( x )2 )
a
a
d(x) a
(1 ( x )2 ) a
arcsin x C a
7
dx
(5)
a2 x2
解
原式
dx a2 (1 ( x )2 )
由复合函数和反函数求导法则得{F[ 1(x)] C} [F (t)]t tx
F (t) 1 f [(t)](t) 1 f ((t)) f (x)
xt
(t)
则F[ 1(x)] 是 f (x) 的一个原函数.
即 f (x)dx F[1(x)] C 19
5
8. (sin x cos x)dx d(cos x sin x)
9. (2x 1)dx d(x2 x)
11.
dx sin2
x
d
cot
x
10. dx d tan x cos2 x
例8 求下列各式的不定积分
(1) dx
;
(2)
e
3 2
x1dx.
3 2x
若n m，则化为
（
1 2
sin
2x）ndx
来积分.
13
(4) sin mxsin nxdx
对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分.
解
原式
1 2
[cos(m
n)x
cos(m
n)
x]dx
sin(m n)x sin(m n)x C 2(m n) 2(m n)
2
2
注: 这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用
恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d(x)(可不必换元),
使原积分变成一个可直接用积分公式来计算.
这种方法称为凑微分法. 其理论依据为
2
定理4 设 f (u)du F(u) C,且 u (x)具有连续导数,则
f [(x)]d(x) F[(x)] C.
b)
6
dx
(3) a2 x2
解
原式
1 2a
[
a
1
x
a
1
x
]dx
1 2a
a
1
x
d (a
x)
1 2a
a
1
x
d (a
x)
1 ln a x 1 ln a x C 1 ln a x C
2a
2a
2a a x
(4) dx (a 0)
证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可. [F((x)) C] Fu ux f ((x)) (x)
注1.定理4中,若u为自变量时,当然有 f (u)du F(u) C
成立.当u 换为(x)时, 就有 f [(x)]d(x) F[(x)] C
结论2:
f '(x) dx f (x)
ln
f (x) C
(2) tan xdx
解
原式
sin cos
x x
dx
d cos x cos x
ln cos x C ln sec x C.
8
同理可得 cot xdx ln sin x C ln csc x C
1 a2
ad(x) a
1
1 ( x)2 a
x
d( ) a
1 arctan x C
1 ( x)2 a
a
a
a
a
例9 求下列各式的不定积分
3x2 2
(1) x3 2x 3 dx
解
原式 d (x3 2x 3)
x3 2x 3
ln x3 2x 3 C
§5.3 基本积分法
利用直接积分法求出的不定积分是很有限的. 为了求出更多函数的不定积分, 下面建立一些有效地积分法.
一.凑微分法
例 计算 cos 2xdx
分析:此不定积分的被积函数是复合函数,在积分表中查不到. 这是因为被积函数cos2x的变量是“2x” , 与积分变量“x”不 同但.如果能把被积表达式改变一下, 使得被积函数的变量与
ln a
4. dx d (arcsin x) d (arccos x) 1 x2
5. dx d(arctan x) d(arc cot x) 1 x2
6. dx d ln x, dx d ln(1 x)
x
1 x
7. sin xdx d cos x,cos xdx d sin x
解 原式 1 2
dx2
1
d(3x2 4) 1
3x2 4 C
3x2 4 3 2 3x2 4 3
9
结论3:
xn1 f (axn b)dx 1 f (axn b)d (axn b) an
(2) x2 (x3 1)2dx
解 原式 1 (x3 1)2d (x3 1) 1 (x3 1)3 C
12
当n为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分 再积分；
(3) sin2 x cos xdx
解 原式 sin2 xd sin x 1 sin3 x C 3
一般地,对形如 sinn x cosm xdx 这样的不定积分
若n≠m，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；
若同为偶，则化为 sinn xdx, cosn xdx 来积分.
原式
1
xd
sin
x
1 2
sin2
x
C
法二:
sin
x
cos
xdx
cos
sxd
cos
x
1 2
cos2
x
C
法三:
sin
x cos
xdx
1 2
sin
2xdx
1 4
sin
2xd 2x
1 4
cos 2x
C
17
二.换元法
例12
求
x 1 dx x
注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的.但作变换
f [(t)](t)dt F(t) C, 则 f (x)dx F[1(x)] C
证明 f [(t)](t)dt F(t) C, 则 F(t) f [(t)](t),
而 F[ 1(x)]，由F (t) 和 t 1(x) 复合而成.