常见不定积分的求解方法
不定积分求解方法及技巧
不定积分求解方法及技巧不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求解函数的原函数的过程。
在不定积分中，我们将对函数进行积分的过程称为求解原函数，通常用∫f(x)dx 表示。
下面我将详细介绍不定积分的求解方法和技巧。
1. 基本积分法：基本积分法也称为反函数法，是最基础的求解不定积分的方法。
利用基本积分法，我们可以根据一些简单的函数的不定积分结果，求解出更复杂的函数的不定积分。
例如，对于一个多项式函数 f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + k ，我们可以分别求解每一项的不定积分。
2.积分换元法：积分换元法也称为变量代换法，是一种常用的求解不定积分的方法。
当被积函数中存在一个复杂的函数表达式时，我们可以通过一个新的变量代换，将复杂的函数转化为简单的函数，从而更容易求解不定积分。
通常，我们选用新变量u或t，使得被积函数的形式更加简化。
3. 分部积分法：分部积分法是一种特殊的积分求解方法，它可以将一个函数的不定积分通过分部积分公式转化为另一个函数的不定积分。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx ，其中u(x) 和 v(x) 是两个可导函数。
4.偏微分方程解法：在一些复杂函数的不定积分求解中，我们可以通过偏微分方程求解方法，将不定积分转化为偏微分方程的求解问题。
利用偏微分方程解法，我们可以将不定积分问题转化为求解偏微分方程的初始条件问题或边界条件问题。
5.换元换限法：换元换限法是一种将不定积分问题转化为定积分问题的方法。
在不定积分中，我们通常使用常数C来表示不定积分结果的任意常数项。
而在定积分中，我们可以通过换元换限的方法将不定积分转化为定积分，从而求出准确的积分结果。
1.善于运用基本积分公式和常用函数的不定积分结果，掌握它们的微分公式和积分公式，可以更快地求解不定积分。
2.熟练掌握积分换元法和分部积分法，灵活地根据被积函数的形式选择合适的方法，将复杂的函数转化为简单的函数，从而更容易求解不定积分。
常见不定积分的求解方法
常见不定积分的求解方法常见的不定积分求解方法有以下几种：1.直接反求导法：根据已知函数的导函数的特征，反向求解原函数。
例如，对于常见的函数，如多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数，可以直接运用基本导数公式进行反求导。
2. 分部积分法：适用于求解由两个函数的乘积构成的积分。
分部积分法是应用导数的乘法法则对乘积进行转化，即∫[u(x)v'(x)]dx =u(x)v(x) - ∫[v(x)u'(x)]dx。
通过反复使用分部积分法，可以将复杂的积分转化为易于求解的形式。
3.换元积分法：也被称为代换法或变量替换法。
通过对被积函数中的自变量进行替换，将原函数表达式转化为一个更容易求解的形式。
常见的替换方式包括三角代换、指数代换、倒数代换等。
4.三角恒等变换：适用于含有三角函数的积分。
根据三角函数的特性和恒等变换公式，将函数中的三角函数进行替换或转换，进而简化积分表达式。
5.格斯宾公式：适用于含有根式的积分。
格斯宾公式是一种将根式积分转变为有理函数积分的方法，通过对根式进行分子有理化、配凑分母等方式进行变换，从而使得积分变得更容易求解。
6.球体坐标和柱体坐标的应用：在求解具有球对称性或柱对称性的问题时，可以通过将直角坐标系转换为球体坐标系或柱体坐标系，以简化积分的求解。
7.特殊积分方法：一些具有特殊特征的积分可以使用特殊的方法进行求解，如分式分解法、欧拉代换法、辛普森三分法、求和法等。
需要注意的是，不同的积分表达式可能需要结合多种方法来求解。
在实际求解过程中，需要根据具体的积分形式和所学的积分方法选择合适的求解策略。
常见不定积分的求解方法
常见不定积分的求解方法
1.代换法：当被积函数中含有复杂的函数关系时，我们可以通过适当
的代换将其转化为更简单的形式，从而求解不定积分。
根据具体情况，可
以选择代换变量、代换函数或代换式子。
2.分部积分法：用于求解由两个函数的乘积所组成的不定积分。
根据
分部积分公式：
∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx
选择适当的函数u(x)和v'(x)进行代入，并反复应用分部积分，直至
求解出不定积分。
3.分式分解法：用于求解由多个分式相加组成的不定积分。
根据部分
分式定理，将复杂的分式分解为简单的分式，并分别求解不定积分。
4.积化和差法：将被积函数中的一些项进行积化和差，通过适当的变换，将不定积分转化为更简单的形式。
例如，常见的积化和差有平方差公式、和差化积公式等。
5.凑微分法：对于一些复杂的不定积分，可以采用凑微分的方法将其
化简。
根据不同情况，可以采用配方法、恒等变换、特殊关系式等凑微分。
6.特殊函数积分法：对于一些特殊的函数，有对应的积分公式或者常
用的积分技巧，可以直接使用这些方法进行求解。
例如，指数函数的积分、三角函数的积分等。
除了上述的常见方法外，在实际求解不定积分时还可以根据具体的情
况选择其他适当的方法。
此外，对于一些无法求解的积分，还可以采用数
值积分的方法进行近似求解。
无论采用哪种方法，求解不定积分需要熟悉
常用的积分公式，掌握各种积分方法的应用技巧，并具备一定的数学思维能力和逻辑推理能力。
不定积分计算方法总结
不定积分计算方法总结一、背景引入微积分作为数学的一个重要分支，是研究函数的变化规律的工具之一。
在微积分中，不定积分是其中的一大核心概念。
不定积分可以被看作是求函数原函数的逆运算，它在解决各种实际问题时起着重要的作用。
本文将总结一些常见的不定积分计算方法，帮助读者更好地掌握这一技巧。
二、常见的不定积分计算方法1. 基本积分公式基本积分公式是求解不定积分时最基础、最重要的方法之一。
常见的基本积分公式有：- ∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n为常数，C为常数。
例如，∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C。
- ∫e^x dx = e^x + C。
- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
通过熟练掌握这些基本积分公式，可以快速计算出许多不定积分。
2. 代换法代换法是解决一些复杂不定积分的常用方法之一。
它通过引入一个新的变量，将原先的变量换成新变量，从而将原本较难处理的积分转化为较容易处理的形式。
例如，对于∫(x^2 + 1)^(1/2) dx，我们可以令u = x^2 + 1，将积分转化为∫u^(1/2) du，然后再使用基本积分公式来计算。
3. 分部积分法分部积分法是求解某些复杂函数积分时常用的方法。
它基于对积分符号下的函数进行分解，并适当选择哪一部分作为u，哪一部分作为dv，通过不断应用分部积分公式，将原先的积分转化为更简单的形式。
分部积分公式的表达式为∫u dv = uv - ∫v du。
例如，对于∫x sin(x) dx，我们可以将u = x，dv = sin(x) dx，然后使用分部积分公式来计算。
4. 三角代换法三角代换法是处理包含三角函数的积分时的一种常用方法。
它通过合理选择三角函数的变量替换原先的变量，将三角函数的积分转化为更易求解的形式。
例如，对于∫sqrt(a^2 - x^2) dx，我们可以令x = asin(t)，从而将积分转化为∫sqrt(a^2 - a^2 sin^2(t)) a cos(t) dt，然后再进行计算。
不定积分的基本方法与应用
不定积分的基本方法与应用不定积分是微积分中的重要概念，它是求函数的原函数的过程。
在本文中，我们将介绍不定积分的基本方法以及其在实际应用中的具体运用。
一、基本方法1. 代入法（反导法）代入法是最常用的不定积分求解方法之一。
当需要求解一个函数的不定积分时，我们可以通过将该函数的导函数代入到不定积分的表达式中，来求解原函数。
例如，对于函数 f(x) = x^2，我们可以求解其不定积分∫ x^2 dx = 1/3 x^3。
2. 分部积分法分部积分法是另一种常用的不定积分求解方法。
根据分部积分法，当需要求解一个函数积分的时候，我们可以将该函数分解为两个函数之积，并应用积分的线性性质进行求解。
例如，对于函数f(x) = x e^x，我们可以通过分部积分法求解其不定积分∫ x e^x dx = x e^x - ∫ e^x dx。
3. 换元法换元法是通过变量代换来求解不定积分的方法。
当需要求解一个复杂函数的不定积分时，我们可以通过引入一个新的变量并进行代换，从而将原来的不定积分变为一个简单的形式。
例如，对于函数 f(x) =sin(x^2)，我们可以通过换元法求解其不定积分∫ sin(x^2) dx = ∫ 2xcos(x^2) dx。
二、应用不定积分在物理学、经济学等领域中有广泛的应用。
以下是一些具体的应用案例：1. 面积计算通过不定积分，我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积。
这在几何学和物理学领域中非常有用。
例如，通过计算曲线 y = x^2 和坐标轴之间的面积，我们可以求解二次函数的不定积分∫ x^2 dx，并得到面积为1/3。
2. 弹性力学不定积分在弹性力学中起着重要的作用。
通过应变-位移关系的不定积分，我们可以求解物体受力下的形变情况。
例如，通过对应变关系的不定积分，我们可以求解弹簧受力下的位移，从而帮助设计弹簧的使用和有效性。
3. 经济学在经济学中，不定积分被广泛用于边际利润和成本分析。
通过求解边际效益和边际成本的不定积分，我们可以得到投入和产出之间的最优关系，在经济决策中有着重要的应用。
不定积分的几种形式及求解技巧
不定积分的几种形式及求解技巧不定积分是微积分中的重要概念，通常用来求解函数的原函数。
在求解不定积分时，我们有几种不同的形式和求解技巧。
1. 一般形式不定积分：一般形式的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)是要求积分的函数。
求解一般形式的不定积分的方法主要有以下几种：- 直接积分法：根据不同函数的性质，应用相关的积分求法，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
例如，对于多项式函数f(x)=x^n，不定积分为∫x^n dx=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C是常数。
- 分部积分法：分部积分法可以将一个复杂的函数积分转化为两个简单函数的乘积积分。
公式表达为：∫u dv = uv - ∫v du。
通过选取适当的u和dv，进行分部积分求解不定积分。
例如，对于函数f(x)=x*sin(x)，可以令u=x，dv=sin(x)dx，然后进行分部积分求解。
- 代换法：代换法是通过选择一个新的变量来简化不定积分的求解过程。
通过选择适当的代换变量可以将复杂的函数转化为一个简单的函数。
例如，对于函数f(x)=e^x，我们可以令u=e^x，然后进行代换求解。
- 部分分式分解法：当不定积分的被积函数可以使用部分分式分解时，就可以将其转化为一组简单的分式的和的形式，然后依次求解。
例如，对于函数f(x)=1/(x^2+1)，可以将其分解为1/((x+1)(x-1))的形式，然后再分别进行不定积分求解。
2. 特殊形式不定积分：特殊形式的不定积分是指一些常见的函数在积分过程中的特殊形式。
这些特殊形式的不定积分可以通过特定的方法进行求解。
常见的特殊形式不定积分有以下几种：- 三角函数不定积分：对于一些常见的三角函数，例如sin(x)、cos(x)、tan(x)等，其不定积分可以通过特定的恒等变换和公式进行求解。
例如，∫sin(x)dx=-cos(x)+C，∫cos(x)dx=sin(x)+C，∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C。
不定积分的解法汇总
不定积分的解法汇总不定积分是求解函数的原函数的过程。
它是微积分中的一项重要内容，具有广泛的应用。
下面我们来汇总一下不定积分的常见解法。
1. 基本初等函数的不定积分：基本初等函数是指常见的函数如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
对于这些函数，我们可以直接使用其原函数公式进行不定积分。
例如：- 多项式函数的不定积分：对于非常数项的多项式函数，我们按照幂的降序进行积分，并添加任意常数项。
- 指数函数和对数函数的不定积分：利用指数函数和对数函数的定义，我们可以得到其原函数。
- 三角函数的不定积分：根据三角函数的性质和积分公式，可以得到三角函数的不定积分。
2. 分部积分法：分部积分法是基于乘积的求导法则，其公式为：\int u\,dv=uv-\int v\,du。
通过将积分转化为乘积的形式，再运用分部积分法，可以求得不定积分。
3. 凑微分法：凑微分法是通过观察被积函数的形式，巧妙选择合适的替换，将被积函数凑成某一常见函数的微分形式，从而转化为易于求解的问题。
常用的凑微分法包括代换法和换元法。
4. 换元法：换元法是不定积分中最常用的方法之一，它通过引入新的变量来改变被积函数的形式。
根据题目的不同情况，可以选择合适的换元方法，如代换，三角代换，指数换元等，使得被积函数可以被简化为求解原始函数的形式。
5. 特殊不定积分：在实际求解中，会遇到一些特殊的函数形式，其不定积分可以通过一些特殊的技巧进行求解。
对于有理函数，可以使用部分分式分解的方法进行化简；对于根式函数，可以通过有理化、三角代换等方法进行变形。
需要注意的是，不定积分的结果通常是一个包含任意常数项的函数。
在实际求解中，常常需要利用已知条件或边界条件进一步确定常数的值。
不定积分的解法包括基本初等函数的不定积分、分部积分法、凑微分法、换元法和特殊不定积分等。
熟练掌握这些解法并灵活运用，对于解决不定积分问题将会非常有帮助。
不定积分求解方法
不定积分求解方法不定积分是高等数学中的重要概念，它是定积分的逆运算。
不定积分的求解方法有很多种，下面将介绍其中的几种常见方法。
一、换元法换元法是不定积分中最常用的方法之一。
它的基本思想是将被积函数中的自变量用一个新的变量来代替，从而将原来的积分转化为一个更容易求解的积分。
具体来说，设被积函数为f(x)，将x用一个新的变量u来代替，即x=g(u)，则有：∫f(x)dx=∫f(g(u))g'(u)du其中g'(u)表示g(u)的导数。
换元法的关键在于选择合适的代换变量，使得被积函数能够被简化或者消去。
二、分部积分法分部积分法是另一种常用的不定积分求解方法。
它的基本思想是将被积函数分解成两个函数的乘积，然后利用分部积分公式将原来的积分转化为一个更容易求解的积分。
具体来说，设被积函数为f(x)g(x)，则有：∫f(x)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx-∫f'(x)∫g(x)dx dx其中f'(x)表示f(x)的导数。
分部积分法的关键在于选择合适的f(x)和g(x)，使得被积函数能够被简化或者消去。
三、三角代换法三角代换法是一种特殊的换元法，它适用于被积函数中含有三角函数的情况。
具体来说，设被积函数为f(x)，将x用一个新的变量t来代替，即x=a tan t，则有：∫f(x)dx=∫f(a tan t) a sec^2 t dt其中sec t=1/cos t。
三角代换法的关键在于选择合适的三角函数，使得被积函数能够被简化或者消去。
四、分式分解法分式分解法适用于被积函数为有理函数的情况。
具体来说，将被积函数表示为若干个分式的和的形式，然后利用部分分式分解公式将原来的积分转化为一个更容易求解的积分。
分式分解法的关键在于选择合适的分式分解方式，使得被积函数能够被简化或者消去。
以上是不定积分求解的几种常见方法，当然还有其他的方法，如换元积分法、对数代换法等。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法，以便更快地求解不定积分。
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常见不定积分的求解方法的讨论马征指导老师：封新学摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。
关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。
The discussion of common indefinite integral methodof calculatingMa ZhengAbstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly.Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.0引言不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。
不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如⎰-x k dx 22sin 1（其中10<<k ）；dx x x ⎰sin ；dx e x ⎰-2；dx x ⎰ln 1等。
这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展。
同时，同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比较困难，下面将不定积分的各种求解方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。
1 不定积分的概念定义：在某区间I 上的函数)(x f ，若存在原函数，则称)(x f 为可积函数，并将)(x f 的全体原函数记为⎰dx x f )(,称它是函数)(x f 在区间I 内的不定积分，其中⎰为积分符号，)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量。
若)(x F 为)(x f 的原函数，则：⎰dx x f )(=)(x F +C(C 为积分常数)。
在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说：dx d (⎰dx x f )() 和 ⎰'dx x f )(是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。
性质：1.微分运算与积分运算时互逆的。
注：积分和微分连在一起运算时：⎰d ——————>完全抵消。
⎰d ——————>抵消后差一常数。
2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即：⎰±dx x g x f )]()([=⎰dx x f )(±⎰dx x g )(。
3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：⎰dx x kf )(=k ⎰dx x f )((k ≠0)。
在这里，给出两个重要定理：(1)导数为0的函数是常函数。
(2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。
以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。
上面将不定积分的概念以及性质做了简单的介绍，下面，我们开始讨论不定积分的各种求解方法。
2 直接积分法(公式法)从解题方面来看，利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法)。
下面先给出基本求导公式：(1) k kx =)'( (2) x x1)'(-=μμμ (3) xx 1)'(ln = (4) x x 211)'(arctan += (5) x x 211)'(arcsin -= (6) ax x a ln 1)'(log = (7) e ex x =)'( (8) x x cos )'(sin = (9) x x sin )'(cos -= (10)x x sec )'(tan 2=(11) x x csc )'(cot 2-=。
根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表：(1))(是常数k C kx kdx +=⎰ (2))1(11-≠++=+⎰μμμμC x dx x (3) C x xdx +=⎰ln (4) C x dx x +=+⎰arctan 112 (5)C x dx x +=-arcsin 112 (6) C a a dx a x x +=⎰ln (7) C e dx e x x +=⎰ (8) C x xdx +=⎰sin cos(9) C x xdx +-=⎰cos sin (10) C x xdx +=⎰tan sec 2(11) C x xdx +-=⎰cot csc 2 。
下面举例子加以说明：例2.1： 求⎰+-dx x x )143(2解 原式= ⎰⎰⎰+-dx xdx dx x 432= ⎰⎰⎰+-dx xdx dx x 432 = )()2(4)3(332213C x C x C x +++-+ =C x x x ++-232 注意：这里三个积分常数都是任意的，故可写成一个积分常数。
所以对一个不定积分，只要在最后所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种情况不再说明。
例2.2： 求dx x x ⎰+122解 原式=dx x x ⎰+-+11)1(22=⎰⎰+-12xdx dx =C x x +-arctan注：此处有一个技巧的方法，这里先称作“加1减1”法，相当于是将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式计算，下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到时具体讲解。
直接积分法只能计算较简单的不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。
3 第一类换元法(凑微法)利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如xdx x cos sin 2⎰就无法求出，必须将它进行变形，然后就可以利用基本积分公式求出其积分。
如果不定积分⎰dx x f )(用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为)()]([)(x x g x f ϕϕ'=， 作变量代换)(x u ϕ=，并注意到)()(x d dx x ϕϕ='，则可将关于变量x 的积分转化为关于u 的积分，于是有⎰⎰⎰='=.)()()]([)(du u g dx x x g dx x f ϕϕ如果⎰du u g )(可以求出，不定积分⎰dx x f )(的计算问题就解决了，这就是第一类换元法(凑微分法)。
注：上述公式中，第一个等号表示换元u x =)(ϕ，最后一个等号表示回代)(x u ϕ=.下面具体举例题加以讨论例3.1：求⎰+dx x )12(10. 解 原式=⎰'++dx x x )12()12(2110 =)12()12(2110++⎰x d x u x =+12 ⎰+⋅=C du u u 1121211110 12+=x u C x ++)12(22111 对变量代换比较熟练后，可省去书写中间变量的换元和回代过程。
例3.2：求)(25812x d x x ⎰+-. 解 原式)(9)4(12x d x ⎰+-=)(1)34(13122x d x ⎰+-= )34(1)34x (1312-+-=⎰x d C x +-=34arctan 31 例3.3：求⎰-x dx 21解 )1111(21)1)(1(1112xx x x x -++=+-=- ∴]1)1(1)1([21112⎰⎰⎰---++=-xx d x x d x C x x +--+=]1ln 1[ln 21 C xx +-+=11ln 21 在这里做一个小结，当遇到形如：⎰++c bx x a dx 2的不定积分，可分为以下3中情况：=∆c bx x a ++2的：①∆大于0时。
可将原式化为))((21x x x x --，其中，x 1、x 2为02=++c bx x a 的两个解，则原不定积分为：⎰--))((21x x x x dx ])()()()([)(1221112⎰⎰------=x x x x d x x x x d x xC x x x x x x +---=2112ln )(1 ②∆等于0时。
可利用完全平方公式，然后可化成⎰---)()(2k x d k x 。
然后根据基本微分公式(2)便可求解。
③∆小于0时。
形如例4，可先给分母进行配方。
然后可根据基本积分公式(4)便可求解。
例3.4： 求⎰xdx sec 解 原式⎰⎰⎰-===x x d x xdx x dx sin1sin cos cos cos 22 ⎰-+=)sin 1)(sin 1(sin x x x d])sin 1(sin )sin 1(sin [21⎰⎰-++=x x d x x dC x x +-+=sin 1sin 1ln 21该题也可利用三角函数之间的关系求解：原式dx xx x x x ⎰++=tan sec tan sec sec 2 )tan (sec tan sec 1x x d xx ++=⎰ C x x ++=tan sec ln .虽然两种解法的结果不同，但经验证均为x sec 的原函数，这也就体现了不定积分的解法以及结果的不唯一性。
例3.5：求xdx ⎰cos 2. 解 xdx ⎰cos 2)2cos (2122cos 1⎰⎰⎰+=+=xdx dx dx x ⎰⎰+=)2(2cos 4121x xd dx C x x ++=42sin 2 例3.6：求⎰xdx sec 6.解 ⎰xdx sec 6⎰=xdx x sec )sec 2(22⎰+=)(tan )tan 21(2x d x ⎰++=)(tan )tan tan 21(42x d x x C x x x +++=tan 51tan 32tan 53 注：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。