不定积分公式大全 含求积分通用方法及例题
不定积分
一、不定积分的解题技巧引例：不定积分 /(1 -x)cos2xdx f (1 -x)cos2xdx=/cos2xdx - f xcos2xdx=(1/2) f cos2xd2x -(1/4) f 2xcos2xd2x=(1/2)sin2x- (1/4) f 2xdsin2x=(1/2)sin2x- (1/2)xsin2x (1/4) f sin2xd2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2x Cf (1 -x)cos2xdx求导行：1-x -1 0积分行：cos2x 1/2*sin2x -1/4*cos2x所以：f (1 -x)cos2xdx =(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C注：分步积分的时候，f a*bdx哪个放到d后面去(那个先反过来求导)？这里遵循一个原则：对，反，幂，三，指。
越后的先放到d里去如f x A2 cosxdx x A2 是幂函数，cosx是三角函数。
所以，要这样化f xA2dsinx而不是1/3 f cosxdxA3引例2: f 1/(1 xA4)dx原式=1/2((1 xA2 1-xA2)/1 xA4)=0.5(1 xA2/1 xA4) 0.5(1咲人2/1 xA4)=0.5(1 xA-2/xA-2 xA2)< 就是分子分母同除x的平方>如果是不定积分，两类换元法和拼凑法一般来说结合使用灵活系数比较大不过你要相信考试不定积分形式比较简单方法比较独到，绝对不是“暴力“积岀来的，一想到你的方法越做越陷入死路，我想因该要变通.第二,对于有独特的因子你要留意.定积分，比不定积分要难一些，因为很多函数是没有初等函数的，方法是拼凑法和化为二元再交换顺序，其中拼凑发很关键，我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现方法与技巧一、换元法1. 凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”岀一个函数的微分。
对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式，另一方面，对于那些不易观察的，则不妨从被积函数中拿岀一个表达式，求其微分，从而决定如何凑微分。
不定积分典型例题
不定积分典型例题一、直接积分法直接积分法是利用基本积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时往往需对被积函数进行简单恒等变形，使之逐项能用基本积分公式. 例1、求 dx x x x ∫−)11(2解 原式＝ C x x dx x x ++=−∫−41474543474)(例2、求 dx e e x x ∫++113解 原式＝ C x e e dx e e x xx x ++−=+−∫2221)1( 例3、求 dx xx ∫22cos sin 1解 原式 ∫∫∫+=+=dx x dx x dx x x x x 222222sin 1cos 1cos sin cos sin C x x +−=cot tan 例4、 ∫dx x2cos 2 解 原式＝ C x x dx x ++=+∫2sin 2cos 1 例5、 dx xx ∫+221 解 原式∫∫+−=+−+=dx x dx x x )111(111222C x x +−=arctan 注：本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧.二、第一类换元积分法(凑微分法)C x G Cu G duu g dxx x g dx x f ux ++====∫∫∫=)]([)()()(')]([)()(ϕϕϕϕ还原求出令凑成在上述过程中，关键的一步是从被积函数)(x f 中选取适当的部分作为)('x ϕ，与dx 一起凑成 )(x ϕ的微分 du x d =)(ϕ且 ∫du u g )(易求.例1、求 ∫dx xxcos tan 解 原式＝ ∫∫−=x x xd dx x x x cos cos cos cos cos sin C xx d x +=−=−∫cos 2cos )(cos 23 例2、求 ∫−dx xx x 2arcsin解 原式)()(1arcsin 211arcsin 2x d x x dx xxx ∫∫−=⋅−=C x x d x +==∫2)(arcsin )(arcsin arcsin 2注)(21x d dx x= 例3、求 ∫−−dx xx 2491解 原式∫∫−−+−=−)49()49(81)2(3)2(21221222x d x x x dC x x x x x d +−+=−+−=∫222494132arcsin 214941)32(1)32(21例4、求 ∫+⋅+dx xx x 2211tan解 原式＝ C x x d x ++−=++∫|1cos |ln 11tan 222例5、求 dx x x x ∫−−12解 原式＝ ∫∫∫−+=−−−+dx x x dx x dx x x x x x 1)1()1(22222 C x x x d x x +−+=−−+=∫2323223)1(313)1(1213例6、求 ∫+dx xtan 11解 原式＝ ∫∫+−+=+dx xx xx dx x x x sin cos sin cos 1(21cos sin cos C x x x x x d x x x +++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∫|)sin cos |ln (21)sin (cos sin cos 121 例7、求 ∫−+−dx xxx 11ln 112 解 原式＝C xx x x d x x +−+=−+−+∫11ln 41)11(ln 11ln 212 例8、求 ∫+dx e x11解 原式＝ ∫∫∫+−=+−+dx e e dx dx e e e x x x xx 111 C e x e d edx xx x++−=++−=∫∫)1ln()1(11例9、求 ∫−+dx e e xx 1解 原式＝ C e e d e dx e e x x x x x +=+=+∫∫arctan )()(11122 例10、求 ∫+dx xxsin 1sin解 原式＝ ∫∫∫−−=+−dx xxdx dx x 2cos sin 1)sin 111( dx xxdx x x ∫∫+−=22cos sin cos 1C x x x ++−=sec tan 例11、求 ∫−xx dxln 32解 原式 )(ln )ln 32(21x d x −∫−=C x x d x +−+−⋅−=−−−=∫−2121)ln 32(121131)ln 32()31()ln 32( C x +−−=ln 3232例 12、求 ∫+dx xb x a 2222cos sin 1解 原式＝ ∫∫+=+)tan ()tan (111)(tan tan 12222x badx ba ab x d xa b C x baab +=)tan arctan(1 例13、求 ∫++dx x x 1164解 原式＝∫∫∫+++−=+++−dx x x dx x x x dx x x x x 232322226224)(1)(1)(11 C x x dx x dx x ++=+++=∫∫33232arctan 31arctan )(113111 例14、求 ∫+dx x x )1(18解 原式＝∫∫∫+−=+−+dx x x dx x dx x x x x 8788811)1(1C x x ++−=)1ln(81||ln 8例15、求 ∫+−−dx x x x 54232解 原式＝ dx x x x x x x d ∫∫+−++−+−541454)54(23222∫+−−++−=1)2()2(4|54|ln 2322x x d x x C x x x +−++−=)2arctan(4|54|ln 232 注 由于分子比分母低一次，故可先将分子凑成分母的导数，把积分化为形如 ∫++dx cbx ax 21的积分(将分母配方，再凑微分). 例16、已知 2ln )1(222−=−x x x f ，且 x x f ln )]([=ϕ，求 ∫dx x )(ϕ.解 因为 1111ln )1(222−−+−=−x x x f ，故 11ln )(−+=x x x f ，又因为x x x x f ln 1)(1)(ln)]([=−+=ϕϕϕ，得x x x =−+1)(1)(ϕϕ，解出11)(−+=x x x ϕ，从而C x x dx x dx x x dx x +−+=−+=−+=∫∫∫|1|ln 2)121(11)(ϕ 例17、求 ∫dx x4cos 1解 原式C x x x d x x xd ++=+==∫∫322tan 31tan tan )tan 1(tan sec例18、求 ∫++dx x x x2)ln (2ln 1 解 原式＝C x x x x x x d +=+∫)2ln arctan(21)ln (2)ln (2三、第二类换元法设 )(t x ϕ=单调可导，且0)('≠t ϕ，已知 C t F dt t t f +=∫)()(')]([ϕϕ，则C x F Ct F dt t t f dxx f x t t x ++==−===∫∫−)]([)()(')]([)(1)()(1ϕϕϕϕϕ还原令选取代换 )(t x ϕ=的关键是使无理式的积分化为有理式的积分(消去根号)，同时使 dt t t f ∫)(')]([ϕϕ易于计算.例1、求 ∫−+221)1(xx xdx解 令 tdt dx t x cos ,sin ==原式＝∫∫−−=+t td t t tdt t 22cos 2cos cos )1(sin cos sin t d tt cos )cos 21cos 21(221∫++−−= C xx C t t +−−−+−=+−+−=221212ln 221cos 2cos 2ln 221例2、求 ∫+241xxdx解 令 tdt dx t x 2sec ,tan ==原式＝t d t t t d ttt tdt t t tdt sin )sin (sin sin sin sin 1sin cos sec tan sec 24424342∫∫∫∫−−−=−==⋅ C xx x x C t t ++++−=++−=)1(3)1(sin 1sin 13123323 例3、求 dx x x ∫−229解 令 t x sec 3=，则 tdt t dx tan sec 3⋅=原式＝ ∫∫∫−==⋅⋅dt t t dt tttdt t t t )cos (sec sec tan tan sec 3sec 9tan 3221sin |tan sec |ln C t t t +−+=12222ln C xa x a a x a x +−−−+=C xa x a x x +−−−+=2222ln 例4、求 ∫+dx x x )2(17解 令 t x 1=，则dt tdx 21−=，原式∫∫∫++−=+−=−+=)21(21114121)1(2777627t d t dt t t dt t ttC x x C t +++−=++−=||ln 21|2|ln 141|21|ln 14177 注 设n m ,分别为被积函数的分子，分母关于x 的最高次数，当1>−m n 时，可用倒代换求积分.例5、求 dx x xx ∫−+1122解 令t x 1=，dt tdx 21−=原式 ∫∫−+−=−−+=dt t t dt t t t t 222211)1(11111∫∫−−+−−=22212)1(11t t d dt tC xx x C t t +−−=+−+−=1arcsin 11arcsin 22例6、求 dx xx x∫−432解 原式 ∫∫∫−⋅=−=⋅−==dt t t t dt t t dt t t t t tx dt t dx 11211212541051411386121211令∫∫−++=⋅−+−=5554510)111(51211112dt t t dt t t t C t t t +−++=|1|ln 51251210125510 C x x x +−++=1ln 5125125612512565例7、求 ∫+xedx 1解 令t e x =+1，12−=t e x ，dt t tdx 122−=原式＝ C t t dt t dt t t t ++−=−=−⋅∫∫11ln 11212122C e e x x +++−+=1111ln例8、求 ∫+dx xx xln 1ln解 令x t ln 1+=原式∫∫−=+=dt tt x d x x 1ln ln 1lnC x x C t t dt tt ++−=+−=−=∫ln 1)2(ln 32232)1(2123例9、求 dx x x ∫++−+1111 解 令 tdt dx t x t x 2,1,12=−==+因为原式dx xx x x dx x x x ∫∫+−+=+−+=12||ln 2122而 ∫∫∫−+=−=+dt t t dt t dx x x 111(2121222 C x x x C t t t +++−+++=++−+=1111ln 1211ln2原式＝C x x x x x +++−+−+−+1111ln214||ln 2＝C x x x +++++−11ln 414四、分部积分法分部积分公式为 ∫∫−=vdx u uv dx uv ''使用该公式的关键在于 ',v u 的选取，可参见本节答疑解惑4. 例1、求 ∫dx e x x 3解 原式＝x x x x x x de x e x e x de x e x de x ∫∫∫+−=−=63323233 C e xe e x e x x x x x +−+−=66323 例2、求 ∫dx xx 2cos 22 解 原式∫∫+=+=xdx x x dx x x cos 2161)cos 1(21232 ∫∫−+=+=xdx x x x x x d x x sin sin 2161sin 21612323 ∫∫−++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323 C x x x x x x +−++=sin cos sin 216123 例3、求 ∫dx e x 3解 原式C e te e t det dt e t t t t tttx dtt dx ++−==∫∫==66333222332令C eex ex xxx++−=333663332例4、求 ∫dx x )cos(ln解 原式 ∫+=dx x x x )sin(ln )cos(ln∫−+=dx x x x x x )cos(ln )sin(ln )cos(ln移项，整理得原式C x x x++=)]sin(ln )[cos(ln 2注 应用一次分部积分法后，等式右端循环地出现了我们所要求出的积分式，移项即得解，类似地能出现循环现象的例题是求如下不定积分：∫∫xdx e xdx e xx ββααsin cos 或例5、求 ∫++dx x x )1ln(2解 原式 dx x x x x x ∫+−++=221)1ln(C x x x x ++−++=221)1ln(例6、求 ∫dx xx23ln解 原式＝ ∫∫−−=−=1(ln 3ln )1(ln 233xxd x x x xdC x x x x x x x x xd xx x x +−−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=∫6ln 6ln 3ln )1(ln 2ln 3ln 2323 例7、推导 ∫+dx a x n)(122的递推公式 解 令 ∫+=dx a x I nn )(122∫++−+++=dx a x a a x n a x x I n n n 12222222)(2)(∫++−++=dx a x na nI a x x n n n 122222)(122)(122222)(+−++=n n nI na nI a x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=+n nn I n a x xna I )12()(212221 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−=−−11222)32()()1(21n n n I n a x xa n I 例8、推导 ∫=xdx I n n tan 的递推公式.解 ∫⋅=−xdx x I n n 22tan tan ∫−⋅=−dx x x n )1(sec tan 22∫∫−−−⋅=xdx xdx x n n 222tan sec tan 2122tan 11)(tan tan −−−−−−=−=∫n n n n I x n I x xd 注 应用分部积分法可以建立与正整数n 有关的一些不定积分的递推公式. 例9、已知)(x f 的一个原函数是 2x e −，求 ∫dx x xf )(' 解 原式C e x xf dx x f x xf x xdf x +−=−==−∫∫2)()()()( 例10、求 ∫+dx x x x )1ln(arctan 2解 因为 ∫+dx x x )1ln(2∫++=)1()1ln(2122x d x C x x x +−++=22221)1ln()1(21 所以 原式＝ ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++22221)1ln()1(21arctan x x x xd[]∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−−++=2222221)1ln(21arctan )1ln()1(21x x x x x x x []C x x xx x x x +++−−−++=23)1ln(23)1ln()1(arctan 212222 注 本题是三类函数相乘的形式，这类问题大多采用本题的方法.例11、求 ∫+dx x xe x)1(2arctan 解 令 tdt dx t x 2sec ,tan ==原式dt e t t dt tte t t t ∫∫=⋅=cos sin sec sec tan 42 C t t e dt te t t+−==∫)2cos 2(sin 1012sin 21C x x x e x ++−+=)1(5)1(22arctan 例12、求 xdx x x arctan 122∫+ 解 原式＝ xdx x arctan )111(2∫+−∫∫+−=xdx x dx x arctan 11arctan 2 C x x x x +−+−=22)(arctan 21)1ln(21arctan例13、求 ∫−+⋅dx x x x x 22211arcsin 解 令 tdt dx t x t x cos ,arcsin ,sin ===，原式 ∫∫∫+=⋅+=tdt dt t ttdt tt t t 222sin cos cos sin )sin 1(2221cot cot 21)cot (t tdt t t t t td ∫∫++−=+−= C t t t t +++−=221|sin |ln cosC x x x x x +++−−=22)(arcsin 21||ln arcsin 1注 直接积分法、换元法、分部积分法是求不定积分最重要的方法，主要用到了“拆、凑、换、分”的技巧，同时应注意这些方法的综合运用. 五、有理函数的积分有理函数的积分总可化为整式和如下四种类型的积分： (1) C a x A dx ax A+−=−∫||ln (2) )1()(11)(1≠+−−−=−−∫n C a x n A dx a x A n n (3) ∫=∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=+++−n upx ap q nna u dup q p x dxdx q px x dx )(44)2()(2224422222＝令＝令 (4) ∫∫++−+++−−=+++−n n n q px x dxp a q px x n dx q px x dx a x )()2()(1)1(21)()(2122,其中 042<−q p .这就是说有理函数积分，从理论上讲，可先化假分式为整式与真分式之和，再将真分式化为若干部分分式之和，然后逐项积分，但这样做有时非常复杂，因此我们最好先分析被积函数的特点，寻求更合适，更简捷的方法也是很必要的. 例1、求 ∫+−322x x dx解 原式＝ C x x x d x dx +−=−+−=+−∫∫21arctan 21)1(2)1(2)1(22例2、求 ∫++++dx x x x x 4545242 解 原式＝ ∫∫++++++dx x x xdx x x x )4)(1(5)4)(1(422222 2222222)4111(65arctan )4)(1(251dx x x x x x dx x dx ∫∫∫+−++=++++= C x x x ++++=41ln 65arctan 22 本题若用待定系数法，较麻烦一些，也可获得同样的结果.事实上，设 41454522242+++++=++++x DCx x B Ax x x x x ，通分后应有 )1)(()4)((45222+++++=++x D Cx x B Ax x x比较等式两端x 的同次幂的系数，得0=+C A ，0=+D B ，54=+C A ，44=+D B 由此， 1,35,1,35−=−===D C B A故原式＝ dx x x x x ∫⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+−−+++4135113522C x x x ++++=arctan 41ln 6522 例3、求 ∫−13x xdx解 设11123++++−=−x x C Bx x A x x ，通分后应有)1)(()1(2−++++=x C Bx x x A x 比较等式两端x 的同次幂的系数，得0 ,1 ,0=−=+−=+C A C B A B A ，由此，31,31,31=−==C B A故原式＝ dx x x x x ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−−−)1(31)1(312∫∫∫+++++++−−=43)21()21(211126113122x x d dx x x x x dx C x x x x +++++−=312arctan 311)1(ln 6122例4、求 ∫−)1(42x x dx解 原式＝ dx x x dx x x dx x x x x ∫∫∫+−−−=−−+)1)(1(1)1(1)1()1(22224222 dx x x dx x x ∫∫++−−−+=)1111(21)111(2222 ∫∫+−−+−=dx x dx x x 22112111211 C x x x x +−−++−=arctan 2111ln411 注：本题若用待定系数法，应当将被积函数分解为)1)(1)(1(1)1(12242x x x x x x ++−=−22111x F Ex x D x C x B x A +++++−++= 然后再确定系数，显然这样做比较麻烦，也可获同样结果，此处从略.例5、求 ∫++dx x x dxx 334811 解 令u x =4，则dx x du 34=，于是，原式∫∫+−++=++=du u u du u u u )24111(41234122 )|2|ln 4|1|ln (41C u u u ++−++=C x x x ++−++=)2ln()1ln(414444例6、求 ∫+dx x x 325)32( 解 令 dt xdx t x t x =−==+4,23,3222，从而， 原式＝ ∫∫+−=⋅−dt tt t dt t t 961(16144)3(3232 C t t t +−+=296||(ln 1612C x x x ++−+++=)32(29326|32|[ln 1612222 例7、求 ∫++dx x x x 45244解 45)45(145242244+++−+=++x x x x x x 设 4145)45(222211242+++++=+++−x B x A x B x A x x x ，通分后应有)1)(()4)(()45(2222112+++++=+−x B x A x B x A x由此， 316,0,31,02211−====B A B A ，故原式＝ dx x x ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−++)4(316)1(31122C xx x +−+=2arctan 38arctan 31例8、求 ∫+210)1(x x dx解 由于2109102101010210)1()1(1)1(1)1(1+−+=+−+=+x x x x x x x x x x 2109109)1()1(1+−+−=x x x x x 原式＝ dx x x x x x ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−2109109)1()1(1∫∫++−++−=210101010)1()1(1011)1(101||ln x x d x x d x C x x x ++++−=)1(101)1ln(101||ln 1010C x x x ++++=)1(1011ln 101101010注 对被积函数先做初等变形常常可以使问题得到简化，常见的初等变形有：分子分母同乘一个因子；有理化；加一项或者减一项以及利用三角函数恒等变形等.六、三角函数有理式的积分一般从理论上讲，三角函数有理式的积分 ∫dx x x R )cos ,(sin 可通过万能代换2tan xt =化为代数有理式的积分，但有时较繁，因此我们常采用三角恒等变形，然后再求解. 例1、求 ∫xx dx4cos sin 解 原式＝ ∫∫∫+=+x x dxdx x x dx x x x x 24422cos sin cos sin cos sin cos sin ∫∫∫++−=x dx dx x x x d xsin cos sin )(cos cos 124 ∫+−=|2tan |ln cos )(cos cos 3123x x x d x C x x x +++=|2tan |ln cos 1cos 313例2、求 ∫+dx x sin 1解 原式＝ ∫++dx x x x x 2cos 2sin 22cos 2sin 22∫∫+=+=dx xx dx x x )2cos 2(sin )2cos 2(sin2 C x x ++−=2sin 22cos 2例3、求 ∫+−5cos sin 2x x dx解 令2tan x t =，则222212,11cos ,12sin tdtdx t t x t t x +=+−=+=，于是 原式＝C x C t t t dt +⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=++∫512tan 3arctan 51513arctan 512232 例4、求 ∫+dx xxsin 1sin解 原式＝ ∫−dx x x x 2cos )sin 1(sin dx x xdx x x ∫∫−−=222cos cos 1cos sin C x x x++−=tan cos 1例5、求 ∫+dx xx xcos sin sin解 原式＝dx x x x x dx x x x x x x ∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−++cos sin cos sin 121cos sin cos sin cos sin 21 C x x x x x x x d x ++−=++−+=∫|)cos sin |ln (21cos sin )cos (sin 2121 例6、求 ∫xdx x cos 5sin解 原式＝C x x dx x x +−−=+∫6cos 1214cos 81]6sin 4[sin 21 注 积化和差公式])cos()[cos(21cos cos ])cos()[cos(21sin sin ])sin()[sin(21cos sin x x x x x x x x x x x x βαβαβαβαβαβαβαβαβα−++=⋅+−−=⋅−++=⋅例7、求 ∫+xx dxcos )sin 2(2解 令 dt xdx t x ==cos ,sin于是原式＝ dt t t t t t t dt∫∫−+−++=−+)1)(2()1()2(31)1)(2(222222C tt t t dt t dt ++−+=++−=∫∫2arctan(23111ln 6123113122 C x x x ++−+=2sin arctan(231sin 1sin 1ln 61注 形如∫dx x x R )cos ,(sin 的有理函数的积分，一般可利用代换 t x=2tan 化为有理函数的积分.(i) 若 )cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R −=−或)cos ,(sin )cos ,(sin x x R x x R −=− 成立，最好利用代换 t x =cos 或对应的 t x =sin .(ii) 若等式 )cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R =−−成立，最好利用代换t x =tan .例8、求 ∫+dx xx x33cos sin sin21 解 令 t x =tan ，则 dt xdx =2sec ，于是原式＝ ∫∫∫∫+−+−+=+−++−−+=+t dt dt t t t dt t t t t t t dt t t 1311131)1)(1()1()1(31122223 ＝ C t t t t ++−−++−|1|ln 31)312arctan(31)1ln(612 ＝C x x x x +−+++−31tan 2arctan(31)tan 1(1tan tan ln 6122。
不定积分典型例题讲解
tann1 x n 1
In2
注:
或
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例8. 求
解: 设 F(x) x 1 x 1 , x 1
1 x , x 1
则
1 2
x2
x
C1
,
x 1
x
1 2
x2
C2
,
x 1
因 连续 , 利用
得
1 2
C1
1 2
C2
记作
C
得
1 2
1
C1
112121(212x(xx221C)12x2x)21C212C, C,C,,
ln
a
dx
1
ln
2 3
d
(
2 3
)
x
1 (32)2 x
arctan(
2 3
)x
C
ln 2 ln3
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例2. 求
解:
原式
[ln(x
1
x2
1
) 5]2
d
[ ln(x
1 x2 ) 5]
2 ln(x
1
x2
)
5
3 2
C
3
分析:
d [ ln(x
(1 2x ) dx
例10. 求
dx
xx
x.
1 e2 e3 e6
x
解:
令 t e6 ,
则
x 6lnt ,
dx
6 t
dt
原式 6
(1
t3
d
t t
2
t)
t
6
dt (t 1)(t 2 1) t
dt
不定积分计算公式
不定积分计算公式积分是微积分中的一个重要概念，不定积分即求导的逆运算。
计算不定积分可以使用一些常见的公式和技巧，下面将介绍一些常见的不定积分公式。
1.基本积分公式(1) ∫x^n dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n不等于-1(2) ∫1/x dx = ln，x， + C。
(3) ∫e^x dx = e^x + C。
(4) ∫a^x dx = (1/lna) * a^x + C。
(5) ∫sinx dx = -cosx + C。
(6) ∫cosx dx = sinx + C。
(7) ∫tanx dx = -ln，cosx， + C。
(8) ∫cotx dx = ln，sinx， + C。
(9) ∫sec^2x dx = tanx + C。
(10) ∫cosec^2x dx = -cotx + C。
2.函数的初等不定积分公式(1) ∫e^u du = e^u + C。
(2) ∫sinu du = -cosu + C。
(3) ∫cosu du = sinu + C。
(4) ∫tanu du = -ln，cosu， + C。
(5) ∫cotu du = ln，sinu， + C。
(6) ∫sec^2u du = tanu + C。
(7) ∫cosec^2u du = -cotu + C。
(8) ∫secu * tanu du = secu + C。
(9) ∫cosecu * cotu du = -cosecu + C。
(10) ∫(1+u^2) du = u + (1/3)u^3 + C。
3.基本积分法则(1) 线性法则：∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b为常数。
(2) 乘法法则：∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x) dx。
(3) 分部积分法：∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫g(x)f'(x) dx。
不定积分典型例题
不定积分典型例题一、直接积分法直接积分法是利用基本积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时往往需对被积函数进行简单恒等变形，使之逐项能用基本积分公式. 例1、求 dx x x x ∫−)11(2解 原式＝ C x x dx x x ++=−∫−41474543474)(例2、求 dx e e x x ∫++113解 原式＝ C x e e dx e e x xx x ++−=+−∫2221)1( 例3、求 dx xx ∫22cos sin 1解 原式 ∫∫∫+=+=dx x dx x dx x x x x 222222sin 1cos 1cos sin cos sin C x x +−=cot tan 例4、 ∫dx x2cos 2 解 原式＝ C x x dx x ++=+∫2sin 2cos 1 例5、 dx xx ∫+221 解 原式∫∫+−=+−+=dx x dx x x )111(111222C x x +−=arctan 注：本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧.二、第一类换元积分法(凑微分法)C x G Cu G duu g dxx x g dx x f ux ++====∫∫∫=)]([)()()(')]([)()(ϕϕϕϕ还原求出令凑成在上述过程中，关键的一步是从被积函数)(x f 中选取适当的部分作为)('x ϕ，与dx 一起凑成 )(x ϕ的微分 du x d =)(ϕ且 ∫du u g )(易求.例1、求 ∫dx xxcos tan 解 原式＝ ∫∫−=x x xd dx x x x cos cos cos cos cos sin C xx d x +=−=−∫cos 2cos )(cos 23 例2、求 ∫−dx xx x 2arcsin解 原式)()(1arcsin 211arcsin 2x d x x dx xxx ∫∫−=⋅−=C x x d x +==∫2)(arcsin )(arcsin arcsin 2注)(21x d dx x= 例3、求 ∫−−dx xx 2491解 原式∫∫−−+−=−)49()49(81)2(3)2(21221222x d x x x dC x x x x x d +−+=−+−=∫222494132arcsin 214941)32(1)32(21例4、求 ∫+⋅+dx xx x 2211tan解 原式＝ C x x d x ++−=++∫|1cos |ln 11tan 222例5、求 dx x x x ∫−−12解 原式＝ ∫∫∫−+=−−−+dx x x dx x dx x x x x x 1)1()1(22222 C x x x d x x +−+=−−+=∫2323223)1(313)1(1213例6、求 ∫+dx xtan 11解 原式＝ ∫∫+−+=+dx xx xx dx x x x sin cos sin cos 1(21cos sin cos C x x x x x d x x x +++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∫|)sin cos |ln (21)sin (cos sin cos 121 例7、求 ∫−+−dx xxx 11ln 112 解 原式＝C xx x x d x x +−+=−+−+∫11ln 41)11(ln 11ln 212 例8、求 ∫+dx e x11解 原式＝ ∫∫∫+−=+−+dx e e dx dx e e e x x x xx 111 C e x e d edx xx x++−=++−=∫∫)1ln()1(11例9、求 ∫−+dx e e xx 1解 原式＝ C e e d e dx e e x x x x x +=+=+∫∫arctan )()(11122 例10、求 ∫+dx xxsin 1sin解 原式＝ ∫∫∫−−=+−dx xxdx dx x 2cos sin 1)sin 111( dx xxdx x x ∫∫+−=22cos sin cos 1C x x x ++−=sec tan 例11、求 ∫−xx dxln 32解 原式 )(ln )ln 32(21x d x −∫−=C x x d x +−+−⋅−=−−−=∫−2121)ln 32(121131)ln 32()31()ln 32( C x +−−=ln 3232例 12、求 ∫+dx xb x a 2222cos sin 1解 原式＝ ∫∫+=+)tan ()tan (111)(tan tan 12222x badx ba ab x d xa b C x baab +=)tan arctan(1 例13、求 ∫++dx x x 1164解 原式＝∫∫∫+++−=+++−dx x x dx x x x dx x x x x 232322226224)(1)(1)(11 C x x dx x dx x ++=+++=∫∫33232arctan 31arctan )(113111 例14、求 ∫+dx x x )1(18解 原式＝∫∫∫+−=+−+dx x x dx x dx x x x x 8788811)1(1C x x ++−=)1ln(81||ln 8例15、求 ∫+−−dx x x x 54232解 原式＝ dx x x x x x x d ∫∫+−++−+−541454)54(23222∫+−−++−=1)2()2(4|54|ln 2322x x d x x C x x x +−++−=)2arctan(4|54|ln 232 注 由于分子比分母低一次，故可先将分子凑成分母的导数，把积分化为形如 ∫++dx cbx ax 21的积分(将分母配方，再凑微分). 例16、已知 2ln )1(222−=−x x x f ，且 x x f ln )]([=ϕ，求 ∫dx x )(ϕ.解 因为 1111ln )1(222−−+−=−x x x f ，故 11ln )(−+=x x x f ，又因为x x x x f ln 1)(1)(ln)]([=−+=ϕϕϕ，得x x x =−+1)(1)(ϕϕ，解出11)(−+=x x x ϕ，从而C x x dx x dx x x dx x +−+=−+=−+=∫∫∫|1|ln 2)121(11)(ϕ 例17、求 ∫dx x4cos 1解 原式C x x x d x x xd ++=+==∫∫322tan 31tan tan )tan 1(tan sec例18、求 ∫++dx x x x2)ln (2ln 1 解 原式＝C x x x x x x d +=+∫)2ln arctan(21)ln (2)ln (2三、第二类换元法设 )(t x ϕ=单调可导，且0)('≠t ϕ，已知 C t F dt t t f +=∫)()(')]([ϕϕ，则C x F Ct F dt t t f dxx f x t t x ++==−===∫∫−)]([)()(')]([)(1)()(1ϕϕϕϕϕ还原令选取代换 )(t x ϕ=的关键是使无理式的积分化为有理式的积分(消去根号)，同时使 dt t t f ∫)(')]([ϕϕ易于计算.例1、求 ∫−+221)1(xx xdx解 令 tdt dx t x cos ,sin ==原式＝∫∫−−=+t td t t tdt t 22cos 2cos cos )1(sin cos sin t d tt cos )cos 21cos 21(221∫++−−= C xx C t t +−−−+−=+−+−=221212ln 221cos 2cos 2ln 221例2、求 ∫+241xxdx解 令 tdt dx t x 2sec ,tan ==原式＝t d t t t d ttt tdt t t tdt sin )sin (sin sin sin sin 1sin cos sec tan sec 24424342∫∫∫∫−−−=−==⋅ C xx x x C t t ++++−=++−=)1(3)1(sin 1sin 13123323 例3、求 dx x x ∫−229解 令 t x sec 3=，则 tdt t dx tan sec 3⋅=原式＝ ∫∫∫−==⋅⋅dt t t dt tttdt t t t )cos (sec sec tan tan sec 3sec 9tan 3221sin |tan sec |ln C t t t +−+=12222ln C xa x a a x a x +−−−+=C xa x a x x +−−−+=2222ln 例4、求 ∫+dx x x )2(17解 令 t x 1=，则dt tdx 21−=，原式∫∫∫++−=+−=−+=)21(21114121)1(21777627t d t dt t t dt t ttC x x C t +++−=++−=||ln 21|2|ln 141|21|ln 14177 注 设n m ,分别为被积函数的分子，分母关于x 的最高次数，当1>−m n 时，可用倒代换求积分.例5、求 dx x xx ∫−+1122解 令t x 1=，dt tdx 21−=原式 ∫∫−+−=−−+=dt t t dt t t t t 222211)1(11111∫∫−−+−−=22212)1(11t t d dt tC xx x C t t +−−=+−+−=1arcsin 11arcsin 22例6、求 dx xx x∫−432解 原式 ∫∫∫−⋅=−=⋅−===dt t t t dt t t dt t t t t tx dt t dx 11211212541051411386121211令∫∫−++=⋅−+−=5554510)111(51211112dt t t dt t t t C t t t +−++=|1|ln 51251210125510 C x x x +−++=1ln 5125125612512565例7、求 ∫+xedx 1解 令t e x =+1，12−=t e x ，dt t tdx 122−=原式＝ C t t dt t dt t t t ++−=−=−⋅∫∫11ln 11212122C e e x x +++−+=1111ln例8、求 ∫+dx xx xln 1ln解 令x t ln 1+=原式∫∫−=+=dt tt x d x x 1ln ln 1lnC x x C t t dt tt ++−=+−=−=∫ln 1)2(ln 32232)1(2123例9、求 dx x x ∫++−+1111 解 令 tdt dx t x t x 2,1,12=−==+因为原式dx xx x x dx x x x ∫∫+−+=+−+=12||ln 2122而 ∫∫∫−+=−=+dt t t dt t dx x x 111(2121222 C x x x C t t t +++−+++=++−+=1111ln 1211ln2原式＝C x x x x x +++−+−+−+1111ln214||ln 2＝C x x x +++++−11ln 414四、分部积分法分部积分公式为 ∫∫−=vdx u uv dx uv ''使用该公式的关键在于 ',v u 的选取，可参见本节答疑解惑4. 例1、求 ∫dx e x x 3解 原式＝x x x x x x de x e x e x de x e x de x ∫∫∫+−=−=63323233 C e xe e x e x x x x x +−+−=66323 例2、求 ∫dx xx 2cos 22 解 原式∫∫+=+=xdx x x dx x x cos 2161)cos 1(21232 ∫∫−+=+=xdx x x x x x d x x sin sin 2161sin 21612323 ∫∫−++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323 C x x x x x x +−++=sin cos sin 216123 例3、求 ∫dx e x 3解 原式C e te e t det dt e t t t t tttx dtt dx ++−==∫∫==66333222332令C eex ex xxx++−=333663332例4、求 ∫dx x )cos(ln解 原式 ∫+=dx x x x )sin(ln )cos(ln∫−+=dx x x x x x )cos(ln )sin(ln )cos(ln移项，整理得原式C x x x++=)]sin(ln )[cos(ln 2注 应用一次分部积分法后，等式右端循环地出现了我们所要求出的积分式，移项即得解，类似地能出现循环现象的例题是求如下不定积分：∫∫xdx e xdx e xx ββααsin cos 或例5、求 ∫++dx x x )1ln(2解 原式 dx x x x x x ∫+−++=221)1ln(C x x x x ++−++=221)1ln(例6、求 ∫dx xx23ln解 原式＝ ∫∫−−=−=1(ln 3ln )1(ln 233xxd x x x xdC x x x x x x x x xd xx x x +−−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=∫6ln 6ln 3ln )1(ln 2ln 3ln 2323 例7、推导 ∫+dx a x n)(122的递推公式 解 令 ∫+=dx a x I nn )(122∫++−+++=dx a x a a x n a x x I n n n 12222222)(2)(∫++−++=dx a x na nI a x x n n n 122222)(122)(122222)(+−++=n n nI na nI a x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=+n nn I n a x xna I )12()(212221 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−=−−11222)32()()1(21n n n I n a x xa n I 例8、推导 ∫=xdx I n n tan 的递推公式.解 ∫⋅=−xdx x I n n 22tan tan ∫−⋅=−dx x x n )1(sec tan 22∫∫−−−⋅=xdx xdx x n n 222tan sec tan 2122tan 11)(tan tan −−−−−−=−=∫n n n n I x n I x xd 注 应用分部积分法可以建立与正整数n 有关的一些不定积分的递推公式. 例9、已知)(x f 的一个原函数是 2x e −，求 ∫dx x xf )(' 解 原式C e x xf dx x f x xf x xdf x +−=−==−∫∫2)()()()( 例10、求 ∫+dx x x x )1ln(arctan 2解 因为 ∫+dx x x )1ln(2∫++=)1()1ln(2122x d x C x x x +−++=22221)1ln()1(21 所以 原式＝ ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++22221)1ln()1(21arctan x x x xd[]∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−−++=2222221)1ln(21arctan )1ln()1(21x x x x x x x []C x x xx x x x +++−−−++=23)1ln(23)1ln()1(arctan 212222 注 本题是三类函数相乘的形式，这类问题大多采用本题的方法.例11、求 ∫+dx x xe x)1(2arctan 解 令 tdt dx t x 2sec ,tan ==原式dt e t t dt tte t t t ∫∫=⋅=cos sin sec sec tan 42 C t t e dt te t t+−==∫)2cos 2(sin 1012sin 21C x x x e x ++−+=)1(5)1(22arctan 例12、求 xdx x x arctan 122∫+ 解 原式＝ xdx x arctan )111(2∫+−∫∫+−=xdx x dx x arctan 11arctan 2 C x x x x +−+−=22)(arctan 21)1ln(21arctan例13、求 ∫−+⋅dx x x x x 22211arcsin 解 令 tdt dx t x t x cos ,arcsin ,sin ===，原式 ∫∫∫+=⋅+=tdt dt t ttdt tt t t 222sin cos cos sin )sin 1(2221cot cot 21)cot (t tdt t t t t td ∫∫++−=+−= C t t t t +++−=221|sin |ln cosC x x x x x +++−−=22)(arcsin 21||ln arcsin 1注 直接积分法、换元法、分部积分法是求不定积分最重要的方法，主要用到了“拆、凑、换、分”的技巧，同时应注意这些方法的综合运用. 五、有理函数的积分有理函数的积分总可化为整式和如下四种类型的积分： (1) C a x A dx ax A+−=−∫||ln (2) )1()(11)(1≠+−−−=−−∫n C a x n A dx a x A n n (3) ∫=∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=+++−n upx ap q nna u dup q p x dxdx q px x dx )(44)2()(2224422222＝令＝令 (4) ∫∫++−+++−−=+++−n n n q px x dxp a q px x n dx q px x dx a x )()2()(1)1(21)()(2122,其中 042<−q p .这就是说有理函数积分，从理论上讲，可先化假分式为整式与真分式之和，再将真分式化为若干部分分式之和，然后逐项积分，但这样做有时非常复杂，因此我们最好先分析被积函数的特点，寻求更合适，更简捷的方法也是很必要的. 例1、求 ∫+−322x x dx解 原式＝ C x x x d x dx +−=−+−=+−∫∫21arctan 21)1(2)1(2)1(22例2、求 ∫++++dx x x x x 4545242 解 原式＝ ∫∫++++++dx x x xdx x x x )4)(1(5)4)(1(422222 2222222)4111(65arctan )4)(1(251dx x x x x x dx x dx ∫∫∫+−++=++++= C x x x ++++=41ln 65arctan 22 本题若用待定系数法，较麻烦一些，也可获得同样的结果.事实上，设 41454522242+++++=++++x DCx x B Ax x x x x ，通分后应有 )1)(()4)((45222+++++=++x D Cx x B Ax x x比较等式两端x 的同次幂的系数，得0=+C A ，0=+D B ，54=+C A ，44=+D B 由此， 1,35,1,35−=−===D C B A故原式＝ dx x x x x ∫⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+−−+++4135113522C x x x ++++=arctan 41ln 6522 例3、求 ∫−13x xdx解 设11123++++−=−x x C Bx x A x x ，通分后应有)1)(()1(2−++++=x C Bx x x A x 比较等式两端x 的同次幂的系数，得0 ,1 ,0=−=+−=+C A C B A B A ，由此，31,31,31=−==C B A故原式＝ dx x x x x ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−−−)1(31)1(312∫∫∫+++++++−−=43)21()21(211126113122x x d dx x x x x dx C x x x x +++++−=312arctan 311)1(ln 6122例4、求 ∫−)1(42x x dx解 原式＝ dx x x dx x x dx x x x x ∫∫∫+−−−=−−+)1)(1(1)1(1)1()1(22224222 dx x x dx x x ∫∫++−−−+=)1111(21)111(2222 ∫∫+−−+−=dx x dx x x 22112111211 C x x x x +−−++−=arctan 2111ln411 注：本题若用待定系数法，应当将被积函数分解为)1)(1)(1(1)1(12242x x x x x x ++−=−22111x F Ex x D x C x B x A +++++−++= 然后再确定系数，显然这样做比较麻烦，也可获同样结果，此处从略.例5、求 ∫++dx x x dxx 334811 解 令u x =4，则dx x du 34=，于是，原式∫∫+−++=++=du u u du u u u )24111(41234122 )|2|ln 4|1|ln (41C u u u ++−++=C x x x ++−++=)2ln()1ln(414444例6、求 ∫+dx x x 325)32( 解 令 dt xdx t x t x =−==+4,23,3222，从而， 原式＝ ∫∫+−=⋅−dt tt t dt t t 961(16144)3(3232 C t t t +−+=296||(ln 1612C x x x ++−+++=)32(29326|32|[ln 1612222 例7、求 ∫++dx x x x 45244解 45)45(145242244+++−+=++x x x x x x 设 4145)45(222211242+++++=+++−x B x A x B x A x x x ，通分后应有)1)(()4)(()45(2222112+++++=+−x B x A x B x A x由此， 316,0,31,02211−====B A B A ，故原式＝ dx x x ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−++)4(316)1(31122C xx x +−+=2arctan 38arctan 31例8、求 ∫+210)1(x x dx解 由于2109102101010210)1()1(1)1(1)1(1+−+=+−+=+x x x x x x x x x x 2109109)1()1(1+−+−=x x x x x 原式＝ dx x x x x x ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−2109109)1()1(1∫∫++−++−=210101010)1()1(1011)1(101||ln x x d x x d x C x x x ++++−=)1(101)1ln(101||ln 1010C x x x ++++=)1(1011ln 101101010注 对被积函数先做初等变形常常可以使问题得到简化，常见的初等变形有：分子分母同乘一个因子；有理化；加一项或者减一项以及利用三角函数恒等变形等.六、三角函数有理式的积分一般从理论上讲，三角函数有理式的积分 ∫dx x x R )cos ,(sin 可通过万能代换2tan xt =化为代数有理式的积分，但有时较繁，因此我们常采用三角恒等变形，然后再求解. 例1、求 ∫xx dx4cos sin 解 原式＝ ∫∫∫+=+x x dxdx x x dx x x x x 24422cos sin cos sin cos sin cos sin ∫∫∫++−=x dx dx x x x d xsin cos sin )(cos cos 124 ∫+−=|2tan |ln cos )(cos cos 3123x x x d x C x x x +++=|2tan |ln cos 1cos 313例2、求 ∫+dx x sin 1解 原式＝ ∫++dx x x x x 2cos 2sin 22cos 2sin 22∫∫+=+=dx xx dx x x )2cos 2(sin )2cos 2(sin2 C x x ++−=2sin 22cos 2例3、求 ∫+−5cos sin 2x x dx解 令2tan x t =，则222212,11cos ,12sin tdtdx t t x t t x +=+−=+=，于是 原式＝C x C t t t dt +⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=++∫512tan 3arctan 51513arctan 512232 例4、求 ∫+dx xxsin 1sin解 原式＝ ∫−dx x x x 2cos )sin 1(sin dx x xdx x x ∫∫−−=222cos cos 1cos sin C x x x++−=tan cos 1例5、求 ∫+dx xx xcos sin sin解 原式＝dx x x x x dx x x x x x x ∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−++cos sin cos sin 121cos sin cos sin cos sin 21 C x x x x x x x d x ++−=++−+=∫|)cos sin |ln (21cos sin )cos (sin 2121 例6、求 ∫xdx x cos 5sin解 原式＝C x x dx x x +−−=+∫6cos 1214cos 81]6sin 4[sin 21 注 积化和差公式])cos()[cos(21cos cos ])cos()[cos(21sin sin ])sin()[sin(21cos sin x x x x x x x x x x x x βαβαβαβαβαβαβαβαβα−++=⋅+−−=⋅−++=⋅例7、求 ∫+xx dxcos )sin 2(2解 令 dt xdx t x ==cos ,sin于是原式＝ dt t t t t t t dt∫∫−+−++=−+)1)(2()1()2(31)1)(2(222222C tt t t dt t dt ++−+=++−=∫∫2arctan(23111ln 6123113122 C x x x ++−+=2sin arctan(231sin 1sin 1ln 61注 形如∫dx x x R )cos ,(sin 的有理函数的积分，一般可利用代换 t x=2tan 化为有理函数的积分.(i) 若 )cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R −=−或)cos ,(sin )cos ,(sin x x R x x R −=− 成立，最好利用代换 t x =cos 或对应的 t x =sin .(ii) 若等式 )cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R =−−成立，最好利用代换t x =tan .例8、求 ∫+dx xx x33cos sin sin21 解 令 t x =tan ，则 dt xdx =2sec ，于是原式＝ ∫∫∫∫+−+−+=+−++−−+=+t dt dt t t t dt t t t t t t dt t t 1311131)1)(1()1()1(31122223 ＝ C t t t t ++−−++−|1|ln 31)312arctan(31)1ln(612 ＝C x x x x +−+++−31tan 2arctan(31)tan 1(1tan tan ln 6122。
不定积分例题(含过程及解析)
例题1dx e x x ⎰+)12( ce e x dxe e x x d e e x de x x x xx x x x+-+=•-+=+-+=+=⎰⎰⎰2)12(2)12()12()12()12( 根据分部积分法⎰⎰-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。
（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。
例题2dx xe x ⎰-ce xe dxe e xe dx e xe xde x x x x x x x++-=•+-=--=-=-------⎰⎰⎰1)(x e -是一个复合函数，其导数应为1-•-x e例题3⎰xdx arctanc x x x xd xx x dx x x x x xxd x x ++-=++-=+-•=-•=⎰⎰⎰)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。
其它的反三角导数是arcsinx ’=211x -、arccosx ’=211x --、arccotx ’=211x +-例题4dx x x ⎰2cos 2sin|cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d xdx xx dx xx x -=-===⎰⎰⎰这里用到二倍角公式，如下：Sin2x=2sinxcosxCos2x=2cos 2x-1=1-sin 2x-1例题5dx x x ⎰++2cos 1sin 12c x x x xdx dx dx x dx xx +-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰21tan 21sec 121cos 1cos 2cos 22222 这里除了用到二倍角公式，还会用到sin 、cos 、sec 、csc 间的相互转化，sinx 和cscx 互为倒数、cosx 和secx 互为倒数。
常用的24个不定积分公式及证明
常用的24个不定积分公式及证明一、基本积分公式。
1. ∫ kdx = kx + C（k为常数）- 证明：根据求导公式(kx + C)'=k，所以∫ kdx = kx + C。
2. ∫ x^n dx=frac{x^n + 1}{n+1}+C(n≠ - 1)- 证明：对frac{x^n + 1}{n+1}+C求导，根据求导公式(x^m)'=mx^m - 1，可得(frac{x^n+1}{n + 1}+C)'=frac{(n + 1)x^n+1-1}{n+1}=x^n，所以∫ x^n dx=frac{x^n +1}{n+1}+C(n≠ - 1)。
3. ∫(1)/(x)dx=lnx+C- 证明：当x>0时，(ln x)'=(1)/(x)；当x < 0时，[ln(-x)]'=(1)/(-x)×(-1)=(1)/(x)。
所以∫(1)/(x)dx=lnx+C。
4. ∫ e^x dx=e^x+C- 证明：因为(e^x)' = e^x，所以∫ e^x dx=e^x+C。
5. ∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)- 证明：设y = a^x，则ln y=xln a，y = e^xln a。
对y=(a^x)/(ln a)+C求导，((a^x)/(ln a)+C)'=(1)/(ln a)× a^xln a=a^x，所以∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)。
6. ∫sin xdx=-cos x + C- 证明：因为(-cos x)'=sin x，所以∫sin xdx =-cos x+C。
7. ∫cos xdx=sin x + C- 证明：因为(sin x)'=cos x，所以∫cos xdx=sin x + C。
8. ∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C- 证明：因为(tan x)'=sec^2x=(1)/(cos^2)x，所以∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C。
不定积分的解法汇总
不定积分的解法汇总不定积分，也称为不定积分或者原函数，是微积分中的一个重要概念，它是确定函数的不定积分。
不定积分的解法涉及到多种技巧和方法，掌握这些技巧和方法可以帮助我们更加灵活地求解不定积分。
本文将对不定积分的解法进行汇总，包括常用的积分公式、基本积分法、分部积分法、换元积分法等内容，希望能够帮助大家更好地掌握不定积分的解法。
一、常用的积分公式1. 幂函数积分公式当被积函数为幂函数时，可以通过直接积分法求解。
定义在区间[a, b]上的幂函数f(x)=x^n的不定积分为∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C,其中C为常数。
2. 三角函数积分公式当被积函数为三角函数时，可以通过三角函数的性质和积分公式求解。
sin(x)的不定积分为∫sin(x) dx = -cos(x) + C,cos(x)的不定积分为∫cos(x) dx = sin(x) + C。
3. 指数函数和对数函数积分公式当被积函数为指数函数或对数函数时，可以利用指数函数和对数函数的性质求解。
指数函数e^x的不定积分为∫e^x dx = e^x + C，对数函数ln(x)的不定积分为∫ln(x) dx = x * ln(x) - x + C。
二、基本积分法基本积分法又称为换元积分法，它是求不定积分的基本方法之一。
基本积分法的步骤如下：1. 选择适当的换元变量u，使得被积函数中的一部分可以变成u的导数；2. 对被积函数进行合理的替换，将被积函数变为u的函数；3. 求出u的不定积分；4. 将u的不定积分转换为原函数中的自变量。
对于不定积分∫2x * (x^2 + 1)^3 dx，我们可以选择u=x^2+1，然后求出du=2x dx。
接着将被积函数中的2x dx替换为du，得到∫(u^3) du，然后求出u的不定积分，最后用u的原函数替换进行还原得到不定积分的结果。
四、其他积分法除了基本积分法和分部积分法外，还有其他一些常用的积分法，如换元积分法、有理函数积分法、反常积分法等。
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不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C迅捷P DF编辑器（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。
首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子例1：x√5+x−x2注意到分母根号下为二次，其导数为一次，而分子正好就是一次，通过凑微分和配方可以得到解决。
x√5+x−x2=−12(−2x+1)+12√5+x−x2=−12d(5+x−x2)√5+x−x2+121√5+x−x2=−√5+x−x2+12dx(√212)2−(x−12)2=−√5+x−x2+12arcsin(2x−1√21)+C例2：∫x3x4+x2+1dx与例1类似，我们有：∫x3x4+x2+1dx=∫14(4x3+2x)−12xx4+x2+1dx=14∫d(x4+x2+1)x4+x2+1−14∫d(x2+12)(x2+12)2+(√32)2后面套公式就好啦例3：∫dx1+sin2x∫dxcos2x+2sin2x=∫1cos2xdx1+2tan2x=∫d(tan x)1+2tan2x迅捷P D编辑器=12d(tan x)(√22)2+tan 2x=√22arctan (tan x)+C 接下来举几个我们可能不太熟悉的例子，不容易凑成微分。
例4：√x √a 3−x 3=√x32√x √(a 32)2−(x 32)2d(x 32)=23√(a 32)2−(x 32)2(x 32)至此可以套用公式了 例5：∫12x +3dx =∫12x1+32xdx ，注意到32x 的导数为−3ln 212x ， 至此可以用凑微分法了例6：∫x 1−x cot x dx =∫x sinxsin x −x cos x dx注意到sin x −x cos x 的导数为x sinx第二类换元积分法（1）利用三角函数进行代换：sin 2x +cos 2x =1tan 2x +1=sec 2x cot 2 x +1=csc 2x换元时必须要注意变量的范围，保证范围的等价性（通过例题体会） 例如以下两个基本积分公式∫√a 2−x 2dx =x 2√a 2−x 2+a 22arcsin xa +C∫√x 2±a 2dx =x 2√x 2±a 2±a 22ln |x +√x 2±a 2|+C例：∫dx(x 2+9)3利用tan 2x +1=sec 2x ，令x =3tan t ，这里x 可以取到全体实数，那么 t 取(−π2,π2)就可以保证x 取到全体实数，因为t 的范围直接影响到三角函数的正负，所以这一点在涉及到开根号的三角函数表达式时尤为重要。
则：∫dx (x 2+9)3=393∫cos 4t dt至此，∫cos 4t dt 有多种求法，比如说直接用递推公式，见第五页：∫cos nx dx 利用cos x =sin(π2−x)和∫sin n x dx 求得迅捷PD F 编辑器令一种解法：∫cos 4t dt =∫cos 2t(1−sin 2t)dt =∫cos 2t dt −∫cos 2t sin 2tdt 利用倍角公式可以解出。
（2）倒代换，经常用在分母多项式次数较高的情况下 例：∫√a 2−x 2x 4dx ，令x =1t ，容易求出原函数(二)分部积分法∫μdν=μν−∫νdμ应用分部积分法时，需要把被积函数看作两个因式μ及dν之积，如何 选取这两者是很关键的，选取不当，将使积分愈化愈繁.积分时应注意 dν比较好积，同时μ的选取应使其倒数比μ简单，两者应兼顾。
例：∫xe arctan x (1+x 2)32dx=earctan x√1+x 2−∫e arctan x(1+x 2)32dx =earctan xx √1+x 2−[earctan x1√1+x 2−∫−xe arctan x (1+x 2)32dx]=e arctan x√1+x 2−∫xe arctan x(1+x 2)32dx则：∫xe arctan x (1+x 2)32dx =x −12√1+x 2arctan x +C这个函数就有多种拆分方法，需要我们多尝试几次才能解出，并且用到了 轮换，应注意。
其实∫sin (ln x )dx 也用到了轮换，详情请查阅教材165页。
一般情况下，被积函数形如e ax sin bx ，e ax cos bx ，P m (x )e ax ，P m (x )sin bx ， P m (x )cos bx ，P m (x )(ln x)n ，P m (x )arctan x ，⋯就可以尝试分部积分法轻松 求得原函数，其中P m (x )表示m 次多项式。
迅捷PD F 编辑器例xx xe xd )1(2⎰+C xe de x x e dx x e x d e dx x e dx x e dx x e dx x e x e dx x e e x dxx xe x xx x xx x x x x x x x++=+-+++=+++=+-+=+-+=+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11111111)1(1)1(1)1()1()1(2222 (三)特殊函数积分法1、有理函数的不定积分参考教材171页有关有理函数分解定理的说明，比较繁琐，但要掌握。
关键在于将有理函数分解为要求的形式，并会解决分解后的各种函数的积分，其实我们可以将其归结为两种形式：(1)∫b(x −a )mdx (其中a,b 为常数，m 为正整数)当m =1时，∫b(x −a )mdx =b ln |x −a |+C当m ≠1时，∫b (x −a )m dx =b(x −a)−m+1−m +1+C(2)∫cx +d(x 2+ax +b )ndx(其中a,b,c,d 为常数，n 为正整数)对于分子，我们可以将其凑为x 2+ax +b 的导数和某一常数之和，第一部分容 易求得，第二部分利用第一页的递推公式： I n =∫dx(x 2+a 2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na 2x (x 2+a 2)n +2n −12na 2I n易得I n 可递推至I 1=∫dxx 2+a 2=1a arctan xa +C 以下几例用于练习有理式的分解和计算：迅捷PD F 编辑器例1：∫dx x3+1例2：∫dxx4+1=dx(x2+1)2−(√2x)2=dx(x2+1+√2x)(x2+1−√2x)例3：∫dxx6+1(教材175页的方法较为简便)2、三角函数有理式的积分常用技巧：（1）凑微分例1：∫sin m x cos n x dx若m和n都是偶数，利用sin2x+cos2x=1将其化为同名函数。
若m或n为奇数，则拆开一个凑成微分，然后再化为同名函数，之后再利用（二、）中的递推公式。
例2：∫cos xsin3x+cos3xdx=∫11+tan3xd(tan x)利用已经解得的∫dxx3+1的结果补充一点：∫cos n x dx利用cos x=sin(π2−x)和∫sin n x dx求得∫tan n x dx=∫tan n−2x(1cos2−1)dx=tan n−1xn−1−∫tan n−2x dx这就得到了∫tan n x dx的递推公式，事实上还可以将其看作∫sin m x cos n x dx的特殊形式，只不过m=-n罢了，当然可以用∫sin m x cos n x dx的求解方法。
(2)倍角公式、积化和差例：∫sin5x sin7x dx(3)分项技巧例1：∫1sin4x cos2xdx=∫sin2x+cos2xsin4x cos2xdx=∫1sin2x cos2xdx+∫1sin4xdx至此第一项可以继续分项或者利用倍角公式，第二项可以直接套用（二、）中的递推公式或者利用分部积分求解，实际上递推公式也是由分部积分法得到的。
例2：∫dxsin (x+α)sin (x+β)=∫1sin (α−β)sin[(x+α)−(x+β)]sin (x+α)sin (x+β)dx=1sin (α−β)∫[cos (x+β)sin (x+β)−cos (x+α)sin (x+α)]dx，这里利用了三角和公式，至此可以直接套用基本积分表了。
(α≠β)例3：∫dxsin3x+cos3x=∫13[2sin x+cos x+sin x+cos xsin2x−sin x cos x+cos2x]dx=23∫dx√2cos(x−π4)+23∫−d(cos x−sin x)(cos x+sin x)2+1迅捷P DF编辑器=23√2|sec(x −π4)+tan(x −π4)|−23arctan(cos x −sin x)+C（此题较为复杂，大家需要认真看） （4）配凑法例 ⎰+=x xb x a xI d s i n c o s c o s 假设⎰+=x x b x a x I d sin cos cos 1， ⎰+=x x b x a xI d s i n c o s s i n 2 则 21bI aI +得到121d C x x bI aI +==+⎰---------（1） 21-aI bI 得到221|sin cos |ln )sin cos d(sin cos 1d sin cos sin cos -C x b x a x b x a x b x a xxb x a xa xb aI bI ++=++=+-=⎰⎰------（2） 由（1）与（2）解得：.|sin cos |ln 22221C x b a a x b x a b a b I +++++= .|sin cos |ln 22222C x b a bx b x a b a a I +++++=（5）万能公式：(1)令μ=tan x2，则sinx =2μ1+μ2 cosx =1−μ21+μ2tanx =2μ1−μ2 dx =21+μ2(三角函数次数较低时效果较好)(2)令μ=tanx ，则sinx =±√μ21+μ2cosx =±√11+μ2(注意正负号的判断) dx =11+μ2(三角函数次数较高时效果较好）例：∫dx2+sin x (用第一种变换)=∫dμμ2+μ+1(转化为容易的有理积分)3、简单无理函数的积分（1）当被积函数是x 与√(ax +b)(cx +d)⁄n的有理式时，采用变换μ迅捷PD F 编辑器=√(ax +b)(cx +d)⁄n，就可化为有理函数的积分 例：√1+x √x 3=∫1x √1+x xdx ，设t =√1+xx 代换即可（2）当被积函数是x 与√ax 2+bx +c 的有理式时，通常先将ax 2+bx +c 配方，再用三角变换化为三角有理式的积分或直接利用积分公式计算。