不定积分(公式大全)
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例如求∫cos2xdx，被积函数的自变量是2x， 积分变量是x。
这时，我们可以设被积函数的自变量为u， 如果能从被积式中分离出一个因子u’(x)来， 那么根据∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C 就可以求出不定积分。
这种积分方法叫做凑微分法。
[讲解例题]
⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x) ∴F(x)＋C也是f(x)的原函数
⑵略
这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它
就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的
形式。
[定义5.2]
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作∫f(x)dx，
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积 分变量。
第5章 不定积分
5.1 原函数与不定积分的概念
一、原函数与不定积分
通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数 y＝f(x)出发，去求它的导数f'(x)
那么，我们能不能从一个函数的导数f’(x)出发， 反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢? [定义]
已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存 在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有 F'(x)＝f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区 间上的一个原函数。
的关系是 arcsinx＝π／2－arccosx
四、 不定积分的性质 ⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x) 该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导，
所得结果仍为f(x) ⑵ ∫F'(x)dx＝F(x)＋C 该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分，
所得结果与F(x)相差一个常数C ⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数) 该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以
x 5
x 2dx
2
3
x2
C
x2 x
3
说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数
的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。
例6
求
1 dx
1 x2
解:
1 dx arcsin x C 1 x2
又
1 1 x2
dx
(
1 )dx arccos x C 1 x2
两式都是本题的解
[注意] 不能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间
5.2 不定积分的计算 一、 直接积分法
对被积函数进行简单的恒等变形后直接用 不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定 积分的方法称为直接积分法。
运用直接积分法可以求出一些简单函数的 不定积分。
例1 求 x 12 dx
解 : x 12 dx (x2 2x 1)dx x2dx 2 xdx dx
求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数， 因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C
其中C是任意常数，叫做积分常数。
例2 求下列不定积分 ⑴ ∫x5dx ⑵ ∫sinxdx
解： ⑴∵ 1 x6是x5的一个原函数
6
∴ x5dx 1 x6 C 6
⑵∵－cosx是sinx的一个原函数
∴ sin xdx cosx C
所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数)
都是函数f(x)＝2x的原函数。
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，
C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示
为F(x)＋C 证明：
例10
求
x4 1 x2 dx
解:
x4 1 x2
dx
x4 1
1 x2
1
1 x2
dx
(x2 1)dx
1 1 x2
dx
1 x3 x arctanx C 3
例11 求∫3xexdx
解 : 3x exdx (3e)x dx (3e)x C 3x ex C
ln(3e)
1 ln 3
二、 不定积分的几何意义
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x) 称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲 线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分 的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲 线族。 例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。 解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x，
1 x3 x2 x C
3
再如
求
(x 1)( x2 3)
3x2
dx
解 :
(x 1)( x2 3)
3x2
dx
x3 x2 3x 3
3x2
dx
(1 x 1 1 1 )dx 1 x2 x ln | x | 1 C
3 3 x x2
63
x
一、第一换元法(凑微分法)
如果被积函数的自变量与积分变量不相同， 就不能用直接积分法。
例1 求下列函数的一个原函数：
⑴ f(x)＝2x
⑵ f(x)＝cosx
解：⑴∵(x2)'＝2x
∴x2是函数2x的一个原函数
⑵∵(sinx)'＝cosx
∴sinx是函数cosx的一个原函数
这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数
的原函数不是唯一的。
例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)'＝2x，
(x2－1)'＝2x
1
⑸ ∫exdx＝ex＋C
⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C ⑺ ∫cosxdx＝sinx＋C
⑻ ∫sec2xdx＝tanx＋C ⑼ ∫csc2xdx＝－cotx＋C
⑽
a2
1
x2
dx
arctan x a
C
⑾
1 dx arcsin x C
a2 x2
a
例5 求 1 dx
解 :
1
x2
dx
故y＝x2＋C， ∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C， 解得C＝－1， 因此，所求曲线为y＝x2－1。
三、 基本积分公式
由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本
求导公式反推，可得基本积分公式
⑴ ∫dx＝x＋C
⑶ ⑷
1 x
a
dx ln
xdx
|x
ax
|Baidu Nhomakorabea
C
C
ln a
⑵ ∫xαdx＝ 1 x1 C (α≠-1)
提到积分号的前面 ⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx
该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于 这两个函数的不定积分的和或差
五、 基本积分公式的应用
例7 求∫(9x2＋8x)dx
解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx
＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C
这时，我们可以设被积函数的自变量为u， 如果能从被积式中分离出一个因子u’(x)来， 那么根据∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C 就可以求出不定积分。
这种积分方法叫做凑微分法。
[讲解例题]
⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x) ∴F(x)＋C也是f(x)的原函数
⑵略
这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它
就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的
形式。
[定义5.2]
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作∫f(x)dx，
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积 分变量。
第5章 不定积分
5.1 原函数与不定积分的概念
一、原函数与不定积分
通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数 y＝f(x)出发，去求它的导数f'(x)
那么，我们能不能从一个函数的导数f’(x)出发， 反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢? [定义]
已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存 在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有 F'(x)＝f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区 间上的一个原函数。
的关系是 arcsinx＝π／2－arccosx
四、 不定积分的性质 ⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x) 该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导，
所得结果仍为f(x) ⑵ ∫F'(x)dx＝F(x)＋C 该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分，
所得结果与F(x)相差一个常数C ⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数) 该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以
x 5
x 2dx
2
3
x2
C
x2 x
3
说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数
的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。
例6
求
1 dx
1 x2
解:
1 dx arcsin x C 1 x2
又
1 1 x2
dx
(
1 )dx arccos x C 1 x2
两式都是本题的解
[注意] 不能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间
5.2 不定积分的计算 一、 直接积分法
对被积函数进行简单的恒等变形后直接用 不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定 积分的方法称为直接积分法。
运用直接积分法可以求出一些简单函数的 不定积分。
例1 求 x 12 dx
解 : x 12 dx (x2 2x 1)dx x2dx 2 xdx dx
求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数， 因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C
其中C是任意常数，叫做积分常数。
例2 求下列不定积分 ⑴ ∫x5dx ⑵ ∫sinxdx
解： ⑴∵ 1 x6是x5的一个原函数
6
∴ x5dx 1 x6 C 6
⑵∵－cosx是sinx的一个原函数
∴ sin xdx cosx C
所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数)
都是函数f(x)＝2x的原函数。
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，
C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示
为F(x)＋C 证明：
例10
求
x4 1 x2 dx
解:
x4 1 x2
dx
x4 1
1 x2
1
1 x2
dx
(x2 1)dx
1 1 x2
dx
1 x3 x arctanx C 3
例11 求∫3xexdx
解 : 3x exdx (3e)x dx (3e)x C 3x ex C
ln(3e)
1 ln 3
二、 不定积分的几何意义
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x) 称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲 线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分 的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲 线族。 例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。 解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x，
1 x3 x2 x C
3
再如
求
(x 1)( x2 3)
3x2
dx
解 :
(x 1)( x2 3)
3x2
dx
x3 x2 3x 3
3x2
dx
(1 x 1 1 1 )dx 1 x2 x ln | x | 1 C
3 3 x x2
63
x
一、第一换元法(凑微分法)
如果被积函数的自变量与积分变量不相同， 就不能用直接积分法。
例1 求下列函数的一个原函数：
⑴ f(x)＝2x
⑵ f(x)＝cosx
解：⑴∵(x2)'＝2x
∴x2是函数2x的一个原函数
⑵∵(sinx)'＝cosx
∴sinx是函数cosx的一个原函数
这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数
的原函数不是唯一的。
例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)'＝2x，
(x2－1)'＝2x
1
⑸ ∫exdx＝ex＋C
⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C ⑺ ∫cosxdx＝sinx＋C
⑻ ∫sec2xdx＝tanx＋C ⑼ ∫csc2xdx＝－cotx＋C
⑽
a2
1
x2
dx
arctan x a
C
⑾
1 dx arcsin x C
a2 x2
a
例5 求 1 dx
解 :
1
x2
dx
故y＝x2＋C， ∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C， 解得C＝－1， 因此，所求曲线为y＝x2－1。
三、 基本积分公式
由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本
求导公式反推，可得基本积分公式
⑴ ∫dx＝x＋C
⑶ ⑷
1 x
a
dx ln
xdx
|x
ax
|Baidu Nhomakorabea
C
C
ln a
⑵ ∫xαdx＝ 1 x1 C (α≠-1)
提到积分号的前面 ⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx
该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于 这两个函数的不定积分的和或差
五、 基本积分公式的应用
例7 求∫(9x2＋8x)dx
解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx
＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C