不定积分 (公式大全)
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全在高等数学中，积分是求解不定积分、定积分和定积分的一种重要方法。
积分公式是指一些常见函数的积分表达式，熟悉和掌握这些公式可以加快求解积分的速度。
下面是一些常见的高等数学积分公式：一、不定积分公式：1. ∫kdx = kx + C （常数函数的积分）2. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （幂函数的积分）其中n不等于-1，C为常数。
3. ∫1/x dx = ln，x， + C （自然对数函数的积分）4. ∫e^x dx = e^x + C （指数函数的积分）5. ∫sinxdx = -cosx + C （正弦函数的积分）6. ∫cosxdx = sinx + C （余弦函数的积分）7. ∫sec^2xdx = tanx + C （正割函数的积分）8. ∫csc^2xdx = -cotx + C （余割函数的积分）9. ∫secxtanxdx = secx + C （正割函数与正切函数的积分）10. ∫cscxcotxdx = -cscx + C （余割函数与余切函数的积分）二、定积分公式：1. ∫[a,b]kdx = k(b-a) （常数函数的定积分）2. ∫[a,b]xdx = (b^2 - a^2)/2 （幂函数的定积分）3. ∫[a,b]1/x dx = ln，b/a，（自然对数函数的定积分）三、定积分计算方法与公式：1.分部积分法∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx2.代换法（换元积分法）∫f(g(x))*g'(x)dx = ∫f(g(x))d(g(x))3.增广方法当函数的导数是其本身的倍数，例如dy/dx = ky时，可以使用增广方法进行求解，具体公式为∫d(y)e^(-kx) = e^(-kx)y4.牛顿-莱布尼茨公式若F(x)为f(x)的一个原函数，则∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)5.分式积分对于形如∫(P(x)/Q(x))dx的分式积分，其中P(x)和Q(x)是多项式函数，可以使用部分分式法进行分解，然后再分别求积分。
不定积分(重要公式)
2.
∫
1
a2 − x2
dx = ∫
dx x a 1− a
2
=∫
x d a x 1− a
2
x = arcsin + C a
3.
1 1 1 (x + a ) − (x − a ) dx = dx ∫ x2 − a2 ∫ (x + a )(x − a ) = 2a ∫ (x + a )⋅ (x − a ) dx
解:
x →0 x →0
∴ f (x ) 在 x = 0 处连续. ∴ f ( x ) 在 (− ∞,+∞ ) 上连续.
∴ 原函数存在.
∫
因为
− cos x + C1 4 f ( x )dx = 3 3 x + C2 4
x>0 x≤0
∫
f ( x )dx可导,所以必连续.
∴ − cos 0 + C1 = C2
例4.1.8求
x ∫ cos 2 dx
2
2
恒等变形
1 1 1 + cos x x = dx + ∫ cos 2 dx = ∫ 2 dx 2 ∫ 2 ∫ cos xdx 1 1 = x + sin x + C 例4.1.9 2 2 sin x x > 0 例5.1.10 设 求 f ( x ) = 3 f (x )dx ∫ x≤0 x 解: Θ f (0 ) = 3 0 = 0 且 lim f ( x ) = lim sin x = 0
∫sin xcos xdx tan sec x xdx ∫
m n
(
)
例5.1.24
设
不定积分基本公式
不定积分基本公式不定积分是微积分中的一个重要概念，它是函数的定义域上的一族原函数。
在计算不定积分时，我们使用的是不定积分的基本公式，也叫做不定积分的运算法则，下面是一些常用的不定积分基本公式。
1.一次幂函数的不定积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C，其中n不等于-12.常数函数的不定积分公式：∫a dx = ax + C，其中a是常数。
3.幂函数的不定积分公式：∫(a^x) dx = 1/(lna) * a^x + C，其中a是正常数且不等于14.指数函数的不定积分公式：∫e^x dx = e^x + C。
5.对数函数的不定积分公式：∫(1/x) dx = ln，x， + C，其中x不等于0。
6.三角函数的不定积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C∫csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C7.反三角函数的不定积分公式：∫arcsin(x) dx = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C∫arccos(x) dx = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + C∫arctan(x) dx = x*arctan(x) - 1/2ln(1+x^2) + C∫arccot(x) dx = x*arccot(x) + 1/2ln(1+x^2) + C∫arcsec(x) dx = x*arcsec(x) + ln，sec(x)+tan(x)， + C∫arccsc(x) dx = x*arccsc(x) - ln，csc(x)+cot(x)， + C8.双曲函数的不定积分公式：∫sinh(x) dx = cosh(x) + C∫cosh(x) dx = sinh(x) + C∫tanh(x) dx = ln，cosh(x)， + C∫coth(x) dx = ln，sinh(x)， + C∫sech(x) dx = arcsin(e^x) + C∫csch(x) dx = ln，tanh(x/2)， + C以上是一些常用的不定积分基本公式，但请注意，不定积分是一个广义的概念，有很多特殊函数的不定积分无法用基本公式表示，需要通过其他的方法进行求解，比如换元法、分部积分法、特殊函数等。
不定积分公式大全
Ch4、不定积分§1、不定积分的概念与性质1、 原函数与不定积分定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。
① 连续函数一定有原函数；② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数；事实上，())()()(''x f x F C x F ==+③ 的任意两个原函数仅相差一个常数。
事实上，由[]0)()()()()()('2'1'11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得Cx F x F =-)()(21故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。
定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，⎰-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。
显然Cx F dx x f +=⎰)()(例1、 求下列函数的不定积分①⎰+=Ckx kdx②⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=+-≠++=+1ln 1111μμμμμC x C x dx x2、 基本积分表（共24个基本积分公式）3、 不定积分的性质①[]⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()(②⎰⎰≠=)0()()(k dxx f k dx x kf例2、 求下列不定积分①⎰⎰+-=++-==+--Cx C x dx x x dx 11)2(11)2(22②⎰⎰+=++-==+--Cx C x dx x xdx 21)21(11)21(21③⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--C x x dx x xarctan 3arcsin 5131522⑤()⎰⎰⎰++-=-=-Cx x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2⑥⎰⎰⎰⎰++-=+=+=C x x xdx xdx dx xx xx x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 22222222⑦()⎰⎰+--=-=Cx x dx x dx x cot 1csc cot 22§2、不定积分的换元法一、 第一类换元法（凑微分法）1、()()()()b ax d adx b ax d b ax f a dx b ax f +=++=+⎰⎰1,1即 例1、求不定积分①()C x udu u x x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(51sin 51555sin 515sin②()()()()⎰⎰+--=+-+⋅-=---=-+C x C x x d x dx x 81777211612117121)21(212121③())20(arctan 111222Ca x a a x a x d a x a dx +⎪⎭⎫⎝⎛=+=+⎰⎰④()())23(arcsin 1222Ca x a x a x d xa dx +⎪⎭⎫⎝⎛=-=-⎰⎰2、()()n n n n n n dx dx x dx x f ndx x x f ==--⎰⎰11,1即例2、求不定积分①()()()()Cx C x x d x dx x x +--=+-+⋅-=---=-+⎰⎰232121221221221311112111211②()C e x d e dx e x x x x +-=--=---⎰⎰333323131③⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x C x x d x dx x x 111sin 11cos 1cos 122④⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+==x d dx x Cx x d x dx xx 21sin 2cos 2cos3、,tan sec ,sin cos ,cos sin ,,ln 12x d xdx x d xdx x d xdx de dx e x d dx xx x ==-===,,arcsin 11,arctan 11,sec tan sec 222222x a d dx x a x x d dx xx d dx xx d xdx x ±±=±=-=+=例3、 求不定积分①⎰⎰⎰+=+-=-==)16(sec ln cos ln cos cos cos sin tan C x C x x xd dx x x xdx②⎰⎰⎰+-=+===)17(cos ln sin ln sin sin sin cos cot C x C x x xd dx x x xdx⑤()⎰⎰+==C x xxd dx x x ln ln ln ln ln 1⑥()()()⎰⎰++=++=+C x x x d x x dx 1tan ln 1tan 1tan tan 1cos 2⑦()()⎰⎰++=++=+C e ee d dx e e x xxx x 1ln 111⑧()()⎰⎰++-=+-+=+C e x ee e e dx xx x x x 1ln 111⑨()⎰⎰+=+=+C e e de dx e e xx x x x arctan 1122⑩()Cexd edx exx x x x +-=+--=++-+-+-⎰⎰2122121211例4、求不定积分①⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a a x dx )()(21112122)22)(21(ln 1C ax +-=④()C x x x xd x dx xdx +-=⋅-==⎰⎰⎰2sin 412122cos 22221sin 2⑤()⎰⎰+--=+=C x x dx x x xdx x 2cos 418cos 1612sin 8sin 213cos 5sin⑥⎰⎰⎰⎰+====C x x xd x x x d x xdx dx x x sin ln ln sin ln sin ln sin ln sin sin sin ln sin cos sin ln cot⑦C x x x x d xdx dx xx x dx +-=+=-=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos sec cos sin 1sin 1222⑧()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx x x dxC x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cot 4csc ln 21ππ二、 第二类换元法1、三角代换例1、dxx a ⎰-22解：令)cos (sin t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a cos ,cos 22==-原式=()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅t td dt a dt t a tdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22C ax a a x a a x a C t a t a +-⋅⋅⋅+=++=22222224arcsin 22sin 42 C x a x a x a +-+=22221arcsin 21 例2、()()Caxa x a x d xa dx +=-=-⎰⎰arcsin 1222解：令t a x sin =原式=⎰⎰+=+==CaxC t dt t a tdt a arcsin cos cos例3、⎰+22xa dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdta dx t a x a 222sec ,sec ==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec())24(ln 22C a x x +++=例4、⎰+42x x dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdtdx t x 22sec 2,sec 24==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec例5、⎰-22ax dx解：令)csc (sec t a t a x 或=，则tdt t a dx t a a x tan sec ,tan 22==-原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++==c aa x a x C t t tdt t a tdtt a 22ln tan sec ln sec tan tan sec())25(ln 22C a x x +-+=例6、⎰-dx xx 92解：令t a x sec =，则tdt t dx t x tan sec 3,tan 392==-原式=()()⎰⎰⎰+-=-==⋅C t t t tdt tdt t tttan 31sec 3tan 3tan sec 3sec 3tan 322C x x C x x +--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3arccos 393arccos 39322 小结：)(x f 中含有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-222222a x a x x a 可考虑用代换⎪⎩⎪⎨⎧===t a x ta x t a x sec tan sin2、无理代换例7、⎰++311x dx解：令dtt dx t x t x 2333,1,1=-==+则原式=()⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+C t t t dt t t dt t t t dt t 1ln 231113111313222()()C x x x +++++-+=333211ln 313123 例8、()⎰+31x x dx解：令dtt dx t x t x 5666,,===则原式=()()⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+C t t dt t dt t t t t dt t arctan 611161616222235()C x x +-=66arctan 6例9、⎰+dxxxx 11解：令()22212,11,1--=-==+t tdtdx t x t x x 则原式=()()⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---C t t t dt t dt t t t tdt t t 11ln 212111212121222222C xx xx x x +++-+-+-=11ln 12例10、⎰+xedx1解：令()12,1ln ,122-=-==+t tdtdx t x t e x 则原式⎰⎰+++-+=++-⋅=-=-⋅=Ce e C t t t dt dt t t t x x 1111ln 11ln 21212121224、 倒代换例11、()⎰+46x x dx解：令()2676,4111,1t dtdx t t x x t x -=+=+=则原式()()C x x C t t t d t dt t ++=++-=++-=+-=⎰⎰4ln 24114ln 2411414241416666666()C x x ++-=4ln 241ln 416§3、分部积分法分部积分公式：()()VU UV V U V U V U UV '-'=''+'=',()⎰⎰⎰'-'='Vdx U dx UV dx V U ，故⎰⎰-=Vd U UV UdV（前后相乘）（前后交换）例1、⎰xdxx cos⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x xd cos sin sin sin sin 例2、⎰dxxe x⎰⎰+-=-==C e xe dx e xe xde x x x x x例3、⎰xdx ln ⎰⎰+-=⋅-=-=Cx x x dx xx x x x xd x x ln 1ln ln ln或解：令te x t x ==,ln原式C x x x C e te dt e te tde t t t t t +-=+-=-==⎰⎰ln例4、⎰xdxarcsin()⎰⎰⎰+-+=--+=--=-=C x x x xx d x x dxxx x x x xd x x 22221arcsin 1121arcsin 1arcsin arcsin arcsin或解：令t x t x sin ,arcsin ==原式Cx x x C t t t tdt t t t td +-+=++=-==⎰⎰21arcsin cos sin sin sin sin例5、⎰xdxe x sin()⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==xdxe x x e x d e x e x e xde x e xdx e x e xde xxxxxxx x x x sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin故()C x x e xdx e xx +-=⎰cos sin 21sin例6、⎰dx xx2cosC x x x xdx x x x xd +-=-==⎰⎰sec ln tan tan tan tan 例7、()⎰++dxx x 21ln()()()Cx x x x dxxx x x x dx xx x xx x x x ++-++=+-++=++++⋅-++=⎰⎰222222211ln 11ln 1111ln§4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R m m m m n n n n ++++++++==---- 可用待定系数法化为部分分式，然后积分。
高数不定积分24个基本公式
高数不定积分24个基本公式高数不定积分24个基本公式是数学学科中的重要内容。
这些基本公式涉及到多种函数的不定积分，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些公式可以方便地帮助我们求得复杂函数的不定积分。
其中一些基本公式包括：1.$\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$2.$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$3.$\int e^x dx=e^x+C$4.$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$5.$\int\cos x dx=\sin x+C$6.$\int\sin x dx=-\cos x+C$7.$\int\sec^2x dx=\tan x+C$8.$\int\csc^2x dx=-\cot x+C$9.$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$10.$\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2+1}|+C$11.$\int\ln x dx=x\ln x-x+C$12.$\int e^{ax}\cos bx dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b\sin bx)+C$13.$\int e^{ax}\sin bx dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx)+C$14.$\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C$15.$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$16.$\int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$17.$\int\frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\frac{a+x}{a-x}+C$18.$\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\frac{a+x}{a-x}+C$19.$\int\frac{1}{\cos^2x}dx=\tan x+C$20.$\int\frac{1}{\sin^2x}dx=-\cot x+C$21.$\int\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=\sqrt{a^2+x^2}-a\ln\left|x+\sqrt{a^2+x^2}\right|+C$22.$\int x\sin ax dx=-\frac{1}{a}x\cosax+\frac{1}{a^2}\sin ax+C$23.$\int x\cos ax dx=\frac{1}{a}x\sinax+\frac{1}{a^2}\cos ax+C$24.$\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$这24个基本公式对于高数学科的学习非常重要，我们可以通过多次练习和应用，熟练地掌握这些公式，提高自己在高数学科中的成绩和水平。
不定积分计算公式
不定积分计算公式不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求函数的原函数。
在求不定积分时，我们需要掌握一系列的计算公式和方法。
本文将介绍常见的不定积分计算公式，并通过具体例题进行演示，帮助读者更好地理解和掌握不定积分的计算方法。
一、基本积分公式1. 幂函数的积分（1）若n≠-1，有∫x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为常数。
（2）若n=-1，有∫x^(-1) dx = ln|x| + C，其中C为常数。
2. 三角函数的积分（1）∫sinx dx = -cosx + C（2）∫cosx dx = sinx + C（3）∫sec^2x dx = tanx + C（4）∫csc^2x dx = -cotx + C（5）∫secx tanx dx = secx + C（6）∫cscx cotx dx = -cscx + C3. 反三角函数的积分（1）∫1/(a^2+x^2) dx = (1/a)arctan(x/a) + C，其中a为常数。
（2）∫1/(a^2-x^2) dx = (1/2a)ln|(x+a)/(x-a)| + C，其中a为常数。
（3）∫1/√(x^2±a^2) dx = ln|x+√(x^2±a^2)| + C，其中a为常数。
4. 指数函数的积分（1）∫e^x dx = e^x + C（2）∫a^x dx = (1/lna)·a^x + C，其中a为常数且a>0。
5. 对数函数的积分∫lnx dx = xlnx - x + C6. 双曲函数的积分（1）∫sinhxdx = coshx + C（2）∫coshxdx = sinhx + C（3）∫sech^2xdx = tan hx + C（4）∫csch^2xdx = -cothx + C（5）∫sechxtanhxdx = -sechx + C（6）∫cschxcosechxdx = -cosechx + C以上是常见函数的基本积分公式，掌握了这些公式，可以很方便地进行不定积分的计算。
常用不定积分公式
常用不定积分公式在微积分的学习中，不定积分是一个非常重要的概念。
不定积分是对函数的原函数的求解，而在求解过程中，常常需要使用到各种各样的不定积分公式。
这些不定积分公式是数学中的基础，掌握它们对于学习微积分、解决各种数学问题都是非常必要的。
一、基础不定积分公式在学习不定积分之前，首先要掌握基本的求导公式。
因为求不定积分实际上就是对常见的函数进行反向求导。
下面是一些基础不定积分公式。
1、常数函数的不定积分公式：$$\int{k}dx = kx + C$$其中k为任意常数，C为积分常数。
2、幂函数的不定积分公式：$$\int{x^{\alpha}}dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C, \qquad (\alpha \neq -1)$$其中$\alpha$为任意常数，C为积分常数。
3、指数函数的不定积分公式：$$\int{e^{x}}dx = e^{x} + C$$$$\int{\sin{x}}dx = -\cos{x} + C$$$$\int{\cos{x}}dx = \sin{x} + C$$$$\int{\tan{x}}dx = -\ln{\mid{\cos{x}}\mid} + C$$$$\int{\cot{x}}dx = \ln{\mid{\sin{x}}\mid} + C$$其中C为积分常数。
5、反三角函数的不定积分公式：$$\int{\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}} = \arcsin{\frac{x}{a}} + C$$$$\int{\frac{dx}{a^2+x^2}} = \frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}} + C$$二、复合函数的不定积分公式在微积分中，我们经常会遇到要对复合函数进行求不定积分的情况，这时需要使用到复合函数的不定积分公式。
下面是一些常用的复合函数的不定积分公式。
1、多项式函数的不定积分公式：$$\int{(f(x))^n}f '(x)dx = \frac{(f(x))^{n+1}}{n+1} + C$$其中’n’表示整数，C为积分常数。
(整理)不定积分公式大全.
Ch4、不定积分§1、不定积分的概念与性质1、 原函数与不定积分定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。
① 连续函数一定有原函数；② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()(''x f x F C x F ==+③ 的任意两个原函数仅相差一个常数。
事实上，由[]0)()()()()()('2'1'11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。
定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，⎰-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。
显然C x F dx x f +=⎰)()(例1、 求下列函数的不定积分①⎰+=C kx kdx②⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=+-≠++=+1ln 1111μμμμμC x C x dx x2、 基本积分表（共24个基本积分公式）3、 不定积分的性质①[]⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②⎰⎰≠=)0()()(k dxx f k dx x kf例2、 求下列不定积分①⎰⎰+-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11)2(22②⎰⎰+=++-==+--C x C x dx x xdx 21)21(11)21(21③⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522⑤()⎰⎰⎰++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2⑥⎰⎰⎰⎰++-=+=+=C x x xdx xdx dx xx x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 22222222⑦()⎰⎰+--=-=C x x dx x dx x cot1csc cot 22§2、不定积分的换元法一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d adx b ax d b ax f a dx b ax f +=++=+⎰⎰1,1即 例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(51sin 51555sin 515sin②()()()()⎰⎰+--=+-+⋅-=---=-+C x C x x d x dx x 81777211612117121)21(212121 ③()())20(arctan 111222Ca x a a x a x d a x a dx +⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+⎰⎰④()())23(arcsin 1222Ca x a x a x d xa dx +⎪⎭⎫⎝⎛=-=-⎰⎰2、()()nn n n n n dx dx x dx x f ndx x x f ==--⎰⎰11,1即 例2、求不定积分①()()()()C x C x x d x dx x x +--=+-+⋅-=---=-+⎰⎰232121221221221311112111211②()C e x d e dx e x x x x +-=--=---⎰⎰333323131 ③⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x C x x d x dx x x 111sin 11cos 1cos 122 ④⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==x d dx x Cx x d x dx xx 21sin 2cos 2cos3、,tan sec ,sin cos ,cos sin ,,ln 12x d xdx x d xdx x d xdx de dx e x d dx xx x ==-===,,arcsin 11,arctan 11,sec tan sec 222222x a d dx x a xx d dx x x d dx x x d xdx x ±±=±=-=+=例3、 求不定积分①⎰⎰⎰+=+-=-==)16(sec ln cos ln cos cos cos sin tan Cx C x x xd dx x x xdx ②⎰⎰⎰+-=+===)17(cos ln sin lnsin cos cot Cx C x xd dx x xdx⑤()⎰⎰+==C x xdx x x ln ln ln ln⑥()()()⎰⎰++=++=+C x x x d x x dx 1tan ln 1tan 1tan tan 1cos 2 ⑦()()⎰⎰++=++=+C e ee d dx e e x xxx x 1ln 111 ⑧()()⎰⎰++-=+-+=+C e x ee e e dx xx x x x 1ln 111 ⑨()⎰⎰+=+=+C e e de dx e e xx x x x arctan 1122 ⑩()C e x d e dx e xx x x x +-=+--=++-+-+-⎰⎰2122121211例4、求不定积分①⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a a x dx )()(21112122 )22)(21(ln 1C ax +-=④()C x x x xd x dx xdx +-=⋅-==⎰⎰⎰2sin 412122cos 22221sin 2⑤()⎰⎰+--=+=C x x dx x x xdx x 2cos 418cos 1612sin 8sin 213cos 5sin⑥⎰⎰⎰⎰+====C x x x d x x x d x xdx dx x x sin ln ln sin ln sin ln sin ln sin sin sin ln sin cos sin ln cot⑦C x x xx d xdx dx x x x dx +-=+=-=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos sec cos sin 1sin 1222 ⑧()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx x x dx C x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cot 4csc ln 21ππ二、 第二类换元法 1、三角代换例1、dx x a ⎰-22解：令)cos (sin t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a cos ,cos 22==-原式=()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅t td dt a dt t a tdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22C ax a a x a a x a C t a t a +-⋅⋅⋅+=++=22222224arcsin 22sin 42 C x a x a x a +-+=22221arcsin 21 例2、()()C axa x a x d x a dx +=-=-⎰⎰arcsin 1222解：令t a x sin =原式=⎰⎰+=+==C axC t dt t a tdt a arcsin cos cos例3、⎰+22xa dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a 222sec ,sec ==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec ())24(ln 22C a x x +++=例4、⎰+42x x dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt dx t x 22sec 2,sec 24==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec 例5、⎰-22ax dx解：令)csc (sec t a t a x 或=，则tdt t a dx t a a x tan sec ,tan 22==-原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++==c aa x a x C t t tdt t a tdtt a 22ln tan sec ln sec tan tan sec ())25(ln 22C a x x +-+=例6、⎰-dx xx 92 解：令t a x sec =，则tdt t dx t x tan sec 3,tan 392==- 原式=()()⎰⎰⎰+-=-==⋅C t t t tdt tdt t tttan 31sec 3tan 3tan sec 3sec 3tan 322 C x x C x x +--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3arccos 393arccos 39322 小结：)(x f 中含有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-222222a x a x x a 可考虑用代换⎪⎩⎪⎨⎧===t a x t a x t a x sec tan sin2、无理代换例7、⎰++311x dx解：令dt t dx t x t x 2333,1,1=-==+则原式=()⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+C t t t dt t t dt t t t dt t 1ln 231113111313222 ()()C x x x +++++-+=333211ln 313123 例8、()⎰+31xx dx解：令dt t dx t x t x 5666,,===则原式=()()⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+C t t dt t dt t t t t dt t arctan 611161616222235 ()C x x +-=66arctan 6例9、⎰+dx xxx 11解：令()22212,11,1--=-==+t tdtdx t x t x x 则原式=()()⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---C t t t dt t dt t t t tdtt t 11ln 212111212121222222 C x x xx x x +++-+-+-=11ln 12例10、⎰+xedx 1解：令()12,1ln ,122-=-==+t tdtdx t x t e x 则 原式⎰⎰+++-+=++-⋅=-=-⋅=C e e C t t t dt dt t t t x x 1111ln 11ln 21212121224、 倒代换例11、()⎰+46x x dx解：令()2676,4111,1tdtdx t t x x t x -=+=+=则 原式()()C x x C t t t d t dt t ++=++-=++-=+-=⎰⎰4ln 24114ln 2411414241416666666 ()C x x ++-=4ln 241ln 416§3、分部积分法分部积分公式：()()V U UV V U V U V U UV '-'=''+'=',()⎰⎰⎰'-'='Vdx U dx UV dx V U ，故⎰⎰-=VdU UV UdV（前后相乘）（前后交换）例1、⎰xdx x cos⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x xd cos sin sin sin sin 例2、⎰dx xe x⎰⎰+-=-==C e xe dx e xe xde x x x x x例3、⎰xdx ln ⎰⎰+-=⋅-=-=C x x x dx xx x x x xd x x ln 1ln ln ln或解：令t e x t x ==,ln原式C x x x C e te dt e te tde t t t t t +-=+-=-==⎰⎰ln 例4、⎰xdx arcsin()⎰⎰⎰+-+=--+=--=-=C x x x xx d x x dxxx x x x xd x x 22221arcsin 1121arcsin 1arcsin arcsin arcsin或解：令t x t x sin ,arcsin ==原式C x x x C t t t tdt t t t td +-+=++=-==⎰⎰21arcsin cos sin sin sin sin 例5、⎰xdx e x sin()⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==xdxe x x e x d e x e x e xde x e xdx e x e xde xxxxxxx x x x sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin故()C x x e xdx e xx +-=⎰cos sin 21sin 例6、⎰dx xx2cos C x x x xdx x x x xd +-=-==⎰⎰sec ln tan tan tan tan 例7、()⎰++dx x x 21ln()()()Cx x x x dxxx x x x dx xx x xx x x x ++-++=+-++=++++⋅-++=⎰⎰222222211ln 11ln 1111ln§4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R m m m m n n n n ++++++++==---- 可用待定系数法化为部分分式，然后积分。
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2
2
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1x2e2x1x e 2x1e2xC
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由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数的
次数可以降低一次。如果所得到的积分式还需要用分
部积分法解，那么，可以再用分部积分公式做下去。
为了简化运算过程，下面介绍:
三、分部积分法的列表解法
例如：求 ∫x2sinxdx
x2
sinx
求导↓ + ↓积分
第5章 不定积分
5.1 原函数与不定积分的概念
一、原函数与不定积分
通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数 y＝f(x)出发，去求它的导数f'(x)
那么，我们能不能从一个函数的导数f’(x)出发， 反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢?
[定义]
已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存
在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有
C1lnx
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x2a2 C
19
以下结果可以作为公式使用： ⑿ ∫tanxdx＝ln|secx|＋C ⒀ ∫cotdx＝－ln|cscx|＋C ⒁ ∫secxdx＝ln|secx＋tanx|＋C ⒂ ∫cscxdx＝－ln|cscx＋cotx|＋C
⒃
dx x2a2
1lnxaC 2a xa
⒄
dx lnxx2a2C
2
4实用文档
22
有时，用分部积分法求不定积分需要连续使
用几次分部积分公式才可以求出结果。
例5：求∫x2e-2xdx 解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，则v(x)＝ 1 e2x
2
于是
x2 e 2xd x 1x2 e 2x2 x(1e 2x)dx
2
2
1 x 2 e 2 x x 2 x d e x 1 x 2 e 2 x ( 1 x 2 x e 1e 2 x d )x
运用直接积分法可以求出一些简单函数的 不定积分。
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例 1 求 x12dx
解 :x12d x(x22x1)d xx2d x2xdxdx
1x3x2xC 3
再如 求(x13)x(x223)dx
解: (x13)xx(223)dx
x3x23x3
3x2
dx
(1 3x1 31xx12)dx1 6x23 xln|x|1xC
F'(x)＝f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区
间上的一个原函数。 实用文档
1
例1 求下列函数的一个原函数：
⑴ f(x)＝2x
⑵ f(x)＝cosx
解：⑴∵(x2)'＝2x
∴x2是函数2x的一个原函数
⑵∵(sinx)'＝cosx
∴sinx是函数cosx的一个原函数
这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数
证明： ⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x) ∴F(x)＋C也是f(x)的原函数
⑵略
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3
这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它
就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的
形式。
[定义5.2]
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作∫f(x)dx，
求导↓ ＋ ↓积分
(x 2 x 1 )4d 1 x 2u 4 d u 1 6 u 3 C 6 (x 2 1 1 )3 C
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例 5 求2xex2dx
解：设u＝x2，则du＝2xdx
2 x x 2 d e x e x 2 2 x d e u d x e u u C e x 2 C 例 7 求tanxdx
解 :设 x a st,则 it n arx ,c d a s x ct io , n d a 2 s tx 2 a cto a
a 2 1 x2d x a a c cto to d ss td t C arc a x s Cin
(2)如果被积函数含有 a2 x2，可以用x＝atant换元。
∵(ex)'＝ex ∴v(x)＝ex，
由分部积分公式有
∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C
例2 求∫xcos2xdx
解：令 u(x)＝x，v'(x)＝cos2x，则v(x)＝ 1 sin2x
于是∫xcos2xdx＝ 1
xsin2x－
1
2
∫sin2xdx
＝1
2
xsin2x＋
1
2
cos2x＋C
⑵ ∫F'(x)dx＝F(x)＋C
该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分，
所得结果与F(x)相差一个常数C
⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数)
该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以
提到积分号的前面
⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx
该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于
例如，求
1 dx ，把其中最难处理的部分换
x 11
元，令u
x
1则原式＝
u
1
1
dx，再反解x＝u2＋1，
得dx＝2udu，代入
x 1 1 1d x 2 uu 1d u 2 (1u1 1 )du
2 [ u lu n 1 ] C 2x 1 2 ln | x 1 1 | C
这就是第二换元积分法。
又
1 1x2
dx(
1 )dxarccoxsC 1x2
两式都是本题的解
[注意] 不能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间
的关系是 arcsinx＝π／实2用－文档arccosx
8
四、 不定积分的性质
⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x)
该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导，
所得结果仍为f(x)
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例
求
sin x x
dx
解 :令 xt,则 xt2,d x2tdt
sx ix n d x stti 2 t nd 2 s ttid n 2 c t t o C s 2 c o x C s
(1)如果被积函数含有 a2 x2 ，可以用x＝asint换元。
例16 求 1 dx
a2x2
⑴ ∫dx＝x＋C
⑶ ⑷
1
axxddxxlna| xx|CC
lna
⑵ ∫xαdx＝ 1 x1 C (α≠-1)
1
⑸ ∫exdx＝ex＋C
⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C ⑺ ∫cosxdx＝sinx＋C
⑻ ∫sec2xdx＝tanx＋C ⑼ ∫csc2xdx＝－cotx＋C
⑽
a2 1x2dx ar
cxt aC n a
⑾
1 dxarcsx inC
a2x2
a 实用文档
7
例5 求 1 dx
解 : 1 d x2 xxx5 2d x2x2 3C
x2 x
3
说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数
的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。
例6
求
1 dx
1x2
解:
1 dxarcsixnC 1x2
⑵∵－cosx是sinx的一个原函数
∴ sixnd xc o xsC
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5
二、 不定积分的几何意义
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x)
称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲 线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分
的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲
这两个函数的不定积分的和或差
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五、 基本积分公式的应用 例7 求∫(9x2＋8x)dx 解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx
＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C
例10
求
x4 1x2
dx
解 : 1 x4x2dx 1x 4 x1 211x2dx (x21)d x 11x2dx
这种积分方法叫做凑微分法。
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[讲解例题] 例2 求∫2sin2xdx
解：设u＝2x，则du＝2dx
∫2sin2xdx＝∫sin2x·2dx＝∫sinudu
＝－cosu＋C＝－cos2x＋C
注意：最后结果中不能有u，一定要还原成x。
例3
求
(x2
x 1)4
dx
解：设u＝x2＋1，则du＝2xdx
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例17 求 1 dx a2x2
解 :设 x a ta t,则 n d a x s2 e t,d c a 2 t x 2 a stec
1 dx a2x2
as e2ctd t as etc
s etcdtlns etctatnC1
ln
a2x2 a
axC1ln
a2x2 xC
(3)如果被积
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积 分变量。
求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数， 因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C
其中C是任意常数，叫做积分常数。
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例2 求下列不定积分 ⑴ ∫x5dx ⑵ ∫sinxdx
解： ⑴∵ 1 x 6 是x5的一个原函数
6
∴ x5dx1x6 C 6
1x3xar cxtaCn 3
例11 求∫3xexdx
解 :3 xe x d x(3 e )xd x (3 e )x C 3 xe x C
实用l文n 档3 e )(
1 ln 3 10
5.2 不定积分的计算 一、 直接积分法