不定积分公式大全
不定积分公式总结
不定积分公式总结在微积分的学习中，不定积分是一个非常重要的概念，它是求导的逆运算。
掌握不定积分公式对于解决各种积分问题至关重要。
接下来，就让我们一起系统地总结一下常见的不定积分公式。
一、基本积分公式1、常数的积分：∫C dx ＝ Cx ＋ C₁（其中 C 为常数，C₁为任意常数）这意味着任何常数乘以自变量 x 的积分，结果是该常数乘以 x 再加上一个任意常数。
2、幂函数的积分：∫xⁿ dx ＝（1/（n ＋ 1)）xⁿ⁺¹＋ C （n ≠ －1）∫x⁻¹ dx ＝ ln|x| ＋ C3、指数函数的积分：∫eˣ dx ＝eˣ ＋ C∫aˣ dx ＝（1 ／ln a) aˣ ＋ C （a ＞ 0 且a ≠ 1）4、对数函数的积分：∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C5、三角函数的积分：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C∫cos x dx ＝ sin x ＋ C∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C6、反三角函数的积分：∫arcsin x dx ＝ x arcsin x ＋√（1 x²) ＋ C∫arccos x dx ＝x arccos x √（1 x²) ＋ C∫arctan x dx ＝ x arctan x （1/2) ln(1 ＋ x²) ＋ C二、凑微分法相关公式凑微分法是一种非常重要的积分方法，通过将被积表达式凑成某个函数的微分形式，然后进行积分。
例如：∫f(ax ＋ b) dx ＝（1/a) ∫f(u) du （其中 u ＝ ax ＋ b）常见的凑微分形式有：1、∫cos(ax ＋ b) dx ＝（1/a) sin(ax ＋ b) ＋ C2、∫sin(ax ＋ b) dx ＝（1/a) cos(ax ＋ b) ＋ C三、换元积分法相关公式换元积分法分为第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。
不定积分最全公式
常见不定1）∫0dx=c2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c5）∫e^xdx=e^x+c6）∫sinxdx=-cosx+c7）∫cosxdx=sinx+c8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c15）∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;17) ∫shx dx=chx+c;18) ∫chx dx=shx+c;19) ∫thx dx=ln(chx)+c;1.∫adx = ax+C (a 为常数)2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C3.∫cos(x)dx = sin(x)+C4.∫tan(x)dx = -loge |cos(x)|+C = loge|sec(x)|+C5.∫cot(x)dx = loge|sin(x)|+C6.∫sec(x)dx = loge|sec(x)+tan(x)|+C7. ∫sin 2(x)dx= 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2= 1 x - 1 sin(2x)+C 2 48. ∫cos 2(x)dx= 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2= 1 x + 1 sin(2x)+C 2 49. ∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C10.∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C11.∫sin(ax)sin(bx)dx= sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)12.∫sin(ax)cos(bx)dx= - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)13.∫cos(ax)cos(bx)dx= sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)14.∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C15.∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C16.∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C17.∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C18.∫e x dx = e x +C∫ ?a? dx = a log |x| ? (a 为常数) x仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式
不定积分是求导的反向运算，是解决微积分问题的重要方法之一，而四则运算则是数学中最基本的运算方法之一。
在进行不定积分的过程中，我们也需要运用四则运算的相关公式，以便更加高效地解决问题。
下面是不定积分的四则运算公式：
1. 常数倍法则：∫ k*f(x) dx = k*∫ f(x) dx （k为常数）
2. 和差法则：∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx；
∫ [f(x) - g(x)] dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx
3. 积法公式：∫ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫ g(x)f'(x) dx
4. 倒代换公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du （其中 u = g(x)）
通过掌握这些不定积分的四则运算公式，我们可以更加轻松地进行不定积分的计算，提高我们的数学解题能力。
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不定积分公式大全
不定积分公式大全1.幂函数的不定积分公式- ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1）- ∫x^(-1) dx = ln，x， + C- ∫e^x dx = e^x + C- ∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C2.三角函数的不定积分公式- ∫sinx dx = -cosx + C- ∫cosx dx = sinx + C- ∫sec^2x dx = tanx + C- ∫csc^2x dx = -cotx + C- ∫secx tanx dx = secx + C- ∫cscx cotx dx = -cscx + C3.反三角函数的不定积分公式- ∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C- ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C- ∫1/，x，(√(x^2-1)) dx = arccosh(x) + C - ∫1/，x，(√(1-x^2)) dx = arcsech(x) + C 4.指数函数和对数函数的不定积分公式- ∫e^x dx = e^x + C- ∫ln(x) d x = xln(x) - x + C- ∫1/x dx = ln，x， + C5.双曲函数的不定积分公式- ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C- ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C- ∫sech^2(x) dx = tanh(x) + C- ∫csch^2(x) dx = -coth(x) + C- ∫sech(x) tanh(x) dx = sech(x) + C- ∫csch(x) coth(x) dx = -csch(x) + C6.分部积分法的不定积分公式- ∫u dv = uv - ∫v du7.代换法的不定积分公式- ∫f(u) du = ∫f(g(x))g'(x) dx8.积分换元法的不定积分公式- ∫f(x) dx = ∫f(g(t)) g'(t) dt9.坐标系中的不定积分公式- ∫f(x) dx = ∫f(y(x)) y'(x) dx （极坐标系）- ∫f(x, y) dx = ∫f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ （极坐标系）10.特殊函数的不定积分公式- ∫e^(-x^2) dx = √π * erf(x) + C （误差函数）这些不定积分公式是数学中常用的公式，通过熟练掌握和灵活运用，可以帮助我们解决各类数学问题。
常见的不定积分公式大全
常见的不定积分公式大全一、基本积分公式。
1. ∫ kdx = kx + C（k为常数）- 例如，∫ 3dx = 3x + C。
2. ∫ x^n dx=frac{x^n + 1}{n+1}+C(n≠ - 1)- 如∫ x^2dx=frac{x^3}{3}+C，∫ x^(1)/(2)dx=(2)/(3)x^(3)/(2)+C。
3. ∫(1)/(x)dx=lnx+C- 注意这里绝对值的作用，当x>0时，∫(1)/(x)dx=ln x + C；当x<0时，∫(1)/(x)dx=ln(-x)+C。
4. ∫ e^x dx = e^x+C- 例如，∫ 2e^x dx = 2e^x + C。
5. ∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)- ∫ 2^x dx=(2^x)/(ln 2)+C。
6. ∫sin xdx =-cos x + C- 例如，∫ 3sin xdx=- 3cos x + C。
7. ∫cos xdx=sin x + C- 如∫ 5cos xdx = 5sin x+C。
8. ∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C- 因为(d)/(dx)(tan x)=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
9. ∫(1)/(sin^2)xdx =-cot x + C- 由于(d)/(dx)(-cot x)=(1)/(sin^2)x。
二、换元积分法相关公式（凑微分法）1. ∫ f(ax + b)dx=(1)/(a)∫ f(u)du（令u = ax + b）- 例如，∫sin(2x + 1)dx，令u = 2x+1，则du=2dx，所以∫sin(2x +1)dx=(1)/(2)∫sin udu=-(1)/(2)cos u + C=-(1)/(2)cos(2x + 1)+C。
2. ∫ x^n - 1f(x^n)dx=(1)/(n)∫ f(u)du（令u = x^n）- 如∫ x^2sin(x^3)dx，令u = x^3，du = 3x^2dx，则∫ x^2sin(x^3)dx=(1)/(3)∫sin udu=-(1)/(3)cos u + C=-(1)/(3)cos(x^3)+C。
基本不定积分公式
5.反三角函数的不定积分
∫(1/√(1-x²)) dx = arcsinx + C
∫(1/√(1+x²)) dx = arctanx + C
6.双曲函数的不定积分
∫sinhxdx=coshx+C
∫coshxdx=sinhx+C
7.分式函数的不定积分
∫(1/x+a) dx = ln，x+a， + C
其中C为常数。
2.指数函数的不定积分
∫aˣ dx = (aˣ)/(logₑa) + C
其中a>0且a≠1，C为常数。
3.对数函数的不定积分
∫(1/x) dx = ln，x， + C
4.三角函数的不定积分
∫sinx dx = -cosx + C
∫cosx dx = sinx + C
∫sec²x dx = tanx + C
其中a≠0，C为常数。
8.代换法则
通过代换可以将一个复杂的不定积分转化为一个简单的不定积分，然后利用基本公式进行求解。常见的代换方法有以下几种：
（1）以变量替代法：
当不定积分中的部分表达式与一些变量的导数形式相似时，可以进行变量替代。
（2）以三角函数替代法：
当不定积分中包含三角函数且可三角函数替代。
基本不定积分公式
不定积分是微积分的重要内容，它是定积分的逆运算。通过求导可以得到原函数，而不定积分则是给定一个函数，求出它的原函数。在求解不定积分时，我们需要掌握一些基本的不定积分公式。下面我们将介绍一些常见的基本不定积分公式。
1.幂函数的不定积分
如果n不等于-1，则有:
常见的不定积分(公式大全)
常见的不定积分(公式大全)一、基本积分公式1. $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $，其中 $ n \neq 1 $。
2. $ \int dx = x + C $。
3. $ \int a dx = ax + C $，其中 $ a $ 为常数。
4. $ \int e^x dx = e^x + C $。
5. $ \int \ln x dx = x \ln x x + C $。
6. $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $。
7. $ \int \sin x dx = \cos x + C $。
8. $ \int \cos x dx = \sin x + C $。
9. $ \int \tan x dx = \ln |\cos x| + C $。
10. $ \int \cot x dx = \ln |\sin x| + C $。
二、换元积分法1. $ \int f(ax + b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax + b) d(ax + b) $。
2. $ \int f(x^n) dx = \frac{1}{n} \int f(x^n) d(x^n) $。
3. $ \int f(\sqrt{ax^2 + bx + c}) dx = \frac{1}{a} \int f(\sqrt{ax^2 + bx + c}) d(\sqrt{ax^2 + bx + c}) $。
4. $ \int f(\sqrt{a^2 x^2}) dx = \frac{1}{a} \intf(\sqrt{a^2 x^2}) d(\sqrt{a^2 x^2}) $。
5. $ \int f(\sqrt{x^2 a^2}) dx = \frac{1}{a} \intf(\sqrt{x^2 a^2}) d(\sqrt{x^2 a^2}) $。
三、分部积分法1. $ \int u dv = uv \int v du $。
不定积分常用公式
不定积分常用公式
1.不定积分的基本公式：。
∫f(x)dx = F(x) + C 。
其中，f(x)是待积函数，F(x)是关于x的变量的一次积分，C是关于常数的常量。
2.单变量的不定积分公式：。
∫ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...dx =
(1/(n+1))x^(n+1)+b/(n)x^n+c/(n-1)x^(n-1)+...+C 。
3.高阶不定积分公式：。
∫d[ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...](dx) =
ax^(n+1)/(n+1)+bx^n/(n)+cx^(n-1)/(n-1)+...+C 。
4.一般不定积分公式：。
∫f(x)dx = F(x)+C，其中f(x)不依赖于x的常数，F(x)由不同的变量构成。
5.合变量不定积分公式：。
∫f(x, y)dxdy = F(x,y)+C，其中f(x,y)是两个变量的函数，F(x,y)是两个变量的积分函数及常数C。
6.二重不定积分公式：。
∫∫f(x, y)dxdy = F(x,y)+C，其中f(x,y)表示二重变量的函数，
F(x,y)表示二重变量的积分函数，C是常量。
7.三重不定积分公式：。
∫∫∫f(x, y, z)dxdy dz = F(x,y,z)+C，其中f(x,y,z)表示三重变量的函数，F(x,y,z)表示三重变量的积分函数，C是常量。
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Ch4、不定积分§1、不定积分的概念与性质1、 原函数与不定积分定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。
① 连续函数一定有原函数；② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()(''x f x F C x F ==+③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。
事实上，由[]0)()()()()()('2'1'11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。
定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，⎰-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。
显然C x F dx x f +=⎰)()(例1、 求下列函数的不定积分①⎰+=C kx kdx②⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=+-≠++=+1ln 1111μμμμμC x C x dx x2、 基本积分表（共24个基本积分公式）3、 不定积分的性质①[]⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②⎰⎰≠=)0()()(k dxx f k dx x kf例2、 求下列不定积分①⎰⎰+-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11)2(22②⎰⎰+=++-==+--C x C x dx x xdx 21)21(11)21(21③⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522 ④()()()C x e e x dx dx e dx x e xxx x +-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰ln 21ln 2121ππππ⑤()⎰⎰⎰++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2⑥⎰⎰⎰⎰++-=+=+=C x x xdx xdx dx xx x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 22222222⑦()⎰⎰+--=-=C x x dx x dx x cot 1csc cot 22⑧⎰⎰⎰++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+C x x x dx x x dx x x dx x x arctan 3111111113222424§2、不定积分的换元法一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d adx b ax d b ax f a dx b ax f +=++=+⎰⎰1,1即 例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(51sin 51555sin 515sin②()()()()⎰⎰+--=+-+⋅-=---=-+C x C x x d x dx x 81777211612117121)21(212121 ③()())20(arctan 111222Ca x a a x a x d a x a dx +⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+⎰⎰④()())23(arcsin 1222Ca x a x a x d xa dx +⎪⎭⎫⎝⎛=-=-⎰⎰第二类换元法 2、()()nn n n n n dx dx x dx x f ndx x x f ==--⎰⎰11,1即 例2、求不定积分①()()()()C x C x x d x dx x x +--=+-+⋅-=---=-+⎰⎰232121221221221311112111211②()C e x d e dx e x x x x +-=--=---⎰⎰333323131 ③⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x C x x d x dx x x 111sin 11cos 1cos 122 ④⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+==x d dx x Cx x d x dx xx 21sin 2cos 2cos,,arcsin 11,arctan 11,sec tan sec 222222x a d dx x a x x d dx xx d dx xx d xdx x ±±=±=-=+=例3、 求不定积分①⎰⎰⎰+=+-=-==)16(sec ln cos ln cos cos cos sin tan Cx C x x xd dx x x xdx②⎰⎰⎰+-=+===)17(cos ln sin ln sin sin sin cos cot Cx C x x xd dx x x xdx③()()()⎰⎰⎰++=++=++=)18(tan sec ln tan sec tan sec tan sec tan sec sec sec C x x x x x x d dx x x x x x xdx ④()()()⎰⎰⎰+-=--=--=)19(cot csc ln cot csc cot csc cot csc cot csc csc csc C x x xx x x d dx x x x x x xdx⑤()⎰⎰+==C x xx d dx x x ln ln ln ln ln 1⑥()()()⎰⎰++=++=+C x x x d x x dx 1tan ln 1tan 1tan tan 1cos 2 ⑦()()⎰⎰++=++=+C e ee d dx e e xx x x x 1ln 111 ⑧()()⎰⎰++-=+-+=+C e x ee e e dx x x x x x 1ln 111 ⑨()⎰⎰+=+=+C e e de dx e e x x xx x arctan 1122 ⑩()C e x d e dx e xx x x x +-=+--=++-+-+-⎰⎰2122121211例4、求不定积分①⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a a x dx )()(21112122 )22)(21(ln 21C ax ax a ++-=②dx xx dx x x x dx x x x ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+--+=+--2222213113112 ()()C x x x xdx x x d x +-+-=+-++-=⎰⎰arctan 31ln 211311212222 ③()()⎰⎰⎰⎰+--+-+-=+---=+--413525221526222152422222x dxx x x x d dx x x x dx x x x ()C x x x +--+-=21arctan 2352ln 212 ④()C x x x xd x dx x xdx +-=⋅-=-=⎰⎰⎰2sin 412122cos 21212122cos 1sin 2⑤()⎰⎰+--=+=C x x dx x x xdx x 2cos 418cos 1612sin 8sin 213cos 5sin⑥⎰⎰⎰⎰+====C x x x d x x x d x xdx dx x x sin ln ln sin ln sin ln sin ln sin sin sin ln sin cos sin ln cot⑦C x x xx d xdx dx x x x dx +-=+=-=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos sec cos sin 1sin 1222 ⑧()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx x x dx C x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cot 4csc ln 21ππ二、 第二类换元法 1、三角代换例1、dx x a ⎰-22解：令)cos (sin t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a cos ,cos 22==-原式=()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅t td dt a dt t a tdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22C ax a a x a a x a C t a t a +-⋅⋅⋅+=++=22222224arcsin 22sin 42 C x a x a x a +-+=22221arcsin 21 例2、()()C axa x a x d x a dx +=-=-⎰⎰arcsin 1222解：令t a x sin =原式=⎰⎰+=+==C axC t dt t a tdt a arcsin cos cos例3、⎰+22xa dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a 222sec ,sec ==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec ())24(ln 22C a x x +++=例4、⎰+42x x dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt dx t x 22sec 2,sec 24==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec 例5、⎰-22ax dx解：令)csc (sec t a t a x 或=，则tdt t a dx t a a x tan sec ,tan 22==-原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++==c aa x a x C t t tdt t a tdtt a 22ln tan sec ln sec tan tan sec ())25(ln 22C a x x +-+=例6、⎰-dx xx 92 解：令t a x sec =，则tdt t dx t x tan sec 3,tan 392==- 原式=()()⎰⎰⎰+-=-==⋅C t t t tdt tdt t tttan 31sec 3tan 3tan sec 3sec 3tan 322 C x x C x x +--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3arccos 393arccos 39322 小结：)(x f 中含有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-222222a x a x x a 可考虑用代换⎪⎩⎪⎨⎧===t a x t a x t a x sec tan sin2、无理代换例7、⎰++311x dx解：令dt t dx t x t x 2333,1,1=-==+则原式=()⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+C t t t dt t t dt t t t dt t 1ln 231113111313222 ()()C x x x +++++-+=333211ln 313123 例8、()⎰+31xx dx解：令dt t dx t x t x 5666,,===则原式=()()⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+C t t dt t dt t t t t dt t arctan 611161616222235 ()C x x +-=66arctan 6例9、⎰+dx xxx 11解：令()22212,11,1--=-==+t tdtdx t x t x x 则原式=()()⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---C t t t dt t dt t t t tdtt t 11ln 212111212121222222 C x x xx x x +++-+-+-=11ln 12例10、⎰+xedx 1解：令()12,1ln ,122-=-==+t tdtdx t x t e x 则 原式⎰⎰+++-+=++-⋅=-=-⋅=C e e C t t t dt dt t t t x x 1111ln 11ln 21212121224、 倒代换例11、()⎰+46x x dx解：令()2676,4111,1tdtdx t t x x t x -=+=+=则 原式()()C x x C t t t d t dt t ++=++-=++-=+-=⎰⎰4ln 24114ln 2411414241416666666 ()C x x ++-=4ln 241ln 416§3、分部积分法分部积分公式：()()V U UV V U V U V U UV '-'=''+'=',()⎰⎰⎰'-'='Vdx U dx UV dx V U ，故⎰⎰-=VdU UV UdV（前后相乘）（前后交换）例1、⎰xdx x cos⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x xd cos sin sin sin sin 例2、⎰dx xe x⎰⎰+-=-==C e xe dx e xe xde x x x x x例3、⎰xdx ln ⎰⎰+-=⋅-=-=C x x x dx xx x x x xd x x ln 1ln ln ln或解：令t e x t x ==,ln原式C x x x C e te dt e te tde t t t t t +-=+-=-==⎰⎰ln 例4、⎰xdx arcsin()⎰⎰⎰+-+=--+=--=-=C x x x x x d x x dxxx x x x xd x x 22221arcsin 1121arcsin 1arcsin arcsin arcsin或解：令t x t x sin ,arcsin ==原式C x x x C t t t tdt t t t td +-+=++=-==⎰⎰21arcsin cos sin sin sin sin 例5、⎰xdx e x sin()⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==xdxe x x e x d e x e x e xde x e xdx e x e xde xxxxxxx x x x sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin故()C x x e xdx e xx +-=⎰cos sin 21sin 例6、⎰dx xx2cos C x x x xdx x x x xd +-=-==⎰⎰sec ln tan tan tan tan 例7、()⎰++dx x x 21ln()()()Cx x x x dxxx x x x dx xx x xx x x x ++-++=+-++=++++⋅-++=⎰⎰222222211ln 11ln 1111ln§4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R m m m m n n n n ++++++++==---- 可用待定系数法化为部分分式，然后积分。