(完整版)定积分公式
定积分公式大全
定积分公式大全定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念和常见的定积分公式，帮助读者更好地理解和运用定积分。
1. 定积分的基本概念。
定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线下面的面积、求解曲线的弧长、计算物体的质量和质心等。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积；在物理学中，定积分可以用来描述物体的质量、质心和转动惯量等。
2. 定积分的基本性质。
定积分具有一些基本的性质，包括线性性、区间可加性和保号性等。
其中，线性性是指定积分对于常数的线性性质，即∫[a, b] (cf(x) + g(x))dx = c∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx；区间可加性是指定积分在区间上的可加性质，即∫[a, b] f(x)dx + ∫[b, c] f(x)dx = ∫[a, c] f(x)dx；保号性是指定积分的结果与被积函数的正负性有关，即若f(x)在[a, b]上非负，则∫[a, b] f(x)dx ≥ 0。
3. 定积分的常见公式。
在定积分的计算中，有一些常见的定积分公式可以帮助我们简化计算过程，如换元积分法、分部积分法、定积分的性质公式等。
（1）换元积分法。
换元积分法是定积分中常用的一种积分方法，它通过引入新的变量来简化被积函数的形式，从而使积分计算更加容易。
换元积分法的基本思想是利用复合函数的求导和积分的性质，通过代换变量来简化被积函数的形式，然后进行积分计算。
（2）分部积分法。
分部积分法是定积分中另一种常用的积分方法，它通过对被积函数进行分解，然后利用积分的性质进行计算。
分部积分法的基本思想是利用积分的乘积法则，将被积函数进行分解，然后利用分部积分公式进行积分计算。
（3）定积分的性质公式。
定积分具有一些常见的性质公式，如定积分的线性性质、定积分的区间可加性和保号性等。
这些性质公式在定积分的计算中经常被使用，可以帮助我们简化积分的计算过程，提高计算的效率。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个在微积分中，定积分是一个非常重要的概念，它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
定积分公式作为定积分的重要工具，可以帮助我们解决各种复杂的问题。
在本文中，我们将介绍24个常见的定积分公式，希望对大家的学习和工作有所帮助。
1. 基本积分公式。
定积分的基本公式是。
\[ \int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a) \]其中，\(F(x)\)是\(f(x)\)的不定积分。
这个公式是定积分的基础，我们可以通过它来求解更复杂的积分问题。
2. 定积分的线性性质。
如果\(f(x)\)和\(g(x)\)在区间\([a,b]\)上可积，\(k\)是任意常数，那么有。
\[ \int_{a}^{b} [kf(x)+g(x)]dx=k\int_{a}^{b} f(x)dx+\int_{a}^{b} g(x)dx \]这个公式可以帮助我们简化定积分的计算过程，尤其是在处理复杂的函数时非常有用。
3. 定积分的换元积分法。
如果\(u=g(x)\)在\([a,b]\)上具有连续导数，\(f(u)\)在对应区间上可积，那么有。
\[ \int_{a}^{b} f(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du \]这个公式可以帮助我们将原来的积分转化为更容易处理的形式，从而简化计算。
4. 定积分的分部积分法。
如果\(u=f(x)\)和\(v=g(x)\)都在\([a,b]\)上具有连续导数，那么有。
\[ \int_{a}^{b} u dv=uv|_{a}^{b}-\int_{a}^{b} v du \]这个公式可以帮助我们将原来的积分转化为更容易处理的形式，从而简化计算。
5. 定积分的换限积分法。
如果\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，那么有。
\[ \int_{a}^{b} f(x)dx=-\int_{b}^{a} f(x)dx \]这个公式可以帮助我们简化定积分的计算过程，尤其是在处理对称函数时非常有用。
定积分公式表
1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当时，有.当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.当时，有.是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数 )例4 求不定积分.分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）。
定积分基本计算公式-定积分的计算公式
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 l1 n l2 n l2 . n 2
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
成的平面图形的面积.
解
面积
A
sinxdx
0
y
cos x 2. o 0
x
.
二 定积分的换元公式 定理 假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
.
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
数是
(
x)
d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
证 (x x)a x xf(t)dyt
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
.
牛顿—莱布尼茨公式
a bf(x)d x F (b )F (a)
F
x
b a
基本公式表明
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它
的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之 间的关系．
注意
当a
b
时，
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t)的值在 [a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b，
数学公式表(完整版)
数学公式表(完整版)1. 数学基础公式1.1 代数公式- 平均值公式：$\frac{{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}}{n}$- 二次方程求解公式：$x = \frac{{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}}{2a}$ - 因式分解公式：$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$1.2 几何公式- 长方形面积公式：$A = l \times w$- 圆周长公式：$C = 2\pi r$- 三角形面积公式：$A = \frac{1}{2}bh$2. 微积分公式2.1 函数与导数- 函数$f(x)$在$x=c$处的导数：$f'(c) = \lim_{{h \to 0}}\frac{{f(c+h) - f(c)}}{h}$- 求导法则：- 导数的和：$(f+g)' = f' + g'$- 导数的积：$(fg)' = f'g + fg'$- 导数的商：$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$2.2 微分与积分- 定积分：$\int_a^b f(x) dx$- 常见定积分公式：- $\int k \, dx = kx + C$- $\int x^n \, dx = \frac{{x^{n+1}}}{n+1} + C$- $\int e^x \, dx = e^x + C$- $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$- $\int \cos x \, dx = \sin x + C$3. 概率与统计公式3.1 概率公式- 排列公式：$P(n,r) = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}$- 组合公式：$C(n,r) = \frac{{n!}}{{r!(n-r)!}}$- 条件概率公式：$P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}$3.2 统计公式- 平均值公式：$\bar{x} = \frac{{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}}{n}$ - 方差公式：$Var(X) = \frac{{\sum{{(x_i - \bar{x})^2}}}}{n}$ - 标准差公式：$SD(X) = \sqrt{Var(X)}$这份完整版的数学公式表包含了数学基础、微积分和概率统计方面的常用公式，希望能对您的学习和应用有所帮助。
定积分的13个基本公式
定积分的13个基本公式定积分是数学中的一个重要概念，它在很多领域都有着广泛的应用。
而定积分的 13 个基本公式，就像是打开定积分世界大门的钥匙。
下面咱们就来好好聊聊这 13 个神奇的公式。
还记得我上大学那会儿，有一次数学考试前，我和室友一起在图书馆复习定积分。
那天阳光透过窗户洒在我们的桌子上，暖洋洋的，可我们却无心享受。
我盯着那些公式，感觉它们就像一群调皮的小精灵，在我眼前蹦来蹦去，就是不让我抓住。
室友突然拍了下桌子，大声说：“这定积分的公式也太难记了，要是能像歌词一样好记就好了！”我被他吓了一跳，心里却也有同感。
咱们先来说说第一个公式，∫a dx = ax + C 。
这个公式简单直观，就好像是数学世界里的“1+1=2”一样基础。
它告诉我们，对常数 a 进行积分，结果就是 ax 加上一个常数 C 。
再看第二个公式，∫x^n dx = (1/(n + 1))x^(n + 1) + C （n ≠ -1）。
这个公式就稍微有点复杂啦，但你仔细想想，其实也不难理解。
比如说，x 的平方积分，就是三分之一 x 的立方加上 C 。
第三个公式，∫1/x dx = ln|x| + C 。
这个公式在解决一些涉及到分式的积分问题时特别有用。
想象一下，你在做一道题，看到一堆分式，正愁不知道怎么下手，这时候这个公式就像救星一样出现了。
第四个公式，∫e^x dx = e^x + C 。
e 的 x 次方的积分还是它本身，是不是很神奇？就好像它有着独特的魔力，怎么积分都不变。
第五个公式，∫a^x dx = (1/ln a)a^x + C （a > 0, a ≠ 1）。
这个公式对于指数函数的积分很关键。
第六个公式，∫sin x dx = -cos x + C 。
一提到正弦函数的积分，就会想到它的“好伙伴”余弦函数。
第七个公式，∫cos x dx = sin x + C 。
余弦函数积分就变成了正弦函数，它们之间的这种关系很有趣。
定积分公式表
1. y=c(c 为常数) y'=02. y=x A n y'=nx^( n-1)3. y=a A x y'=aAx Inay=eAx y'=eAx4. y=Iogax y'=Iogae/xy=Inx y'=1/x5. y=sinx y'=cosx6. y=cosx y'=-sinx7. y=tanx y'=1/cosA2x8. y=cotx y'=-1/sinA2x9. y=arcsinx y'=1/ V 1处210. y=arccosx y'=-1/ V 1处211. y=arctanx y'=1/1+xA212. y=arccotx y'=-1/1+xA2&为常数)丄；⑵\^dx =护 +c⑸Jfsin xdx- - cosx + c ⑹」fcosxrfx= sin x + c 仪》0卫鼻1)(1)⑺」fcsc a-ctgx + c(8)」fsec2 igx + c(9)」L ax = arcsin x + c (10) '=-arccosi + c(11)=-arcctgx + c对这些公式应正确熟记•可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数■.公式（2）、（3）为幕函数■' -'的积分，应分为='T与二一-.丄严门+亡当& 时，J 必+ 1 ，积分后的函数仍是幕函数，而且幕次升高一次特别当A |\也=fWx= = x + Q = U时，有」J J当厂, f-d(x=ln|x +cT 时，J J x（■: 11，: 1 •）式右边的上』是在分母，不在分子，应记清y =e 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变 应注意区分幕函数与指数函数的形式，幕函数是底为变量，幕为常数;指数函数是底为常数，幕为变量•要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用 的公式不同.公式（6）、（ 7）、（ 8 ）、（ 9）为关于三角函数的积分，通过后面 的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分F 面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分arc sin x = -arccos x + c分析：该不定积分应利用幕函数的积分公式解.J （2-低）加"严兀-总皿分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分 公式求积分的形式宀】+打解：由于 1+ ，所以—-x + arctgx + c （-为任意常例3求不定积分解 二J （/+%了存-X ）必9 t ? 9 ?--ar~-a 5x^ + 5 7（一为任意常数）[cos 3 -dx例4求不定积分」 一 分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次（W 弘叮上竺必解:」COS Tidx1 1 .=-x + —sin x + c2 2 tig xdx例5求不定积分」^fsec 2xrfx = tgx + c 4 2-屮严-“卩亍必+（-为任意常分析：基本积分公式表中只有」。
常用求导与定积分公式
常用求导与定积分公式常用的求导公式有：1. 常数规则：对于常数C，有d/dx(C) = 0。
2. 幂函数规则：对于任意实数n，有d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
特别地，d/dx(x^1) = 13. 指数函数规则：对于任意实数a，有d/dx(a^x) = ln(a) * a^x。
4. 对数函数规则：对于任意正实数a，有d/dx(log_a(x)) = 1 / (x * ln(a))。
5. 三角函数规则：对于三角函数sin(x)和cos(x)，有d/dx(sin(x)) = cos(x)和d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
6. 乘法规则：对于两个可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x) *g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
7. 商法则：对于两个可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x) / g(x)) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^28. 复合函数规则：对于两个可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)。
常用的定积分公式有：1. 常数积分规则：对于常数C和可导函数f(x)，有∫f(x) dx =F(x) + C，其中F'(x) = f(x)。
2. 幂函数积分规则：对于实数n不等于-1和可导函数f(x)，有∫x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C。
3. 指数函数的积分规则：对于底数为a的指数函数和可导函数f(x)，有∫a^x dx = (a^x) / ln(a) + C。
4. 对数函数的积分规则：对于底数为a的对数函数和可导函数f(x)，有∫(1 / x) dx = ln，x， + C。
5. 三角函数的积分规则：对于三角函数sin(x)和cos(x)以及可导函数f(x)，有∫sin(x) dx = -cos(x) + C和∫cos(x) dx = sin(x) + C。
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二、基本积分表（188页1—15，205页16—24） （1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）
（2）1
,1
x x dx C μμ
μ+=
++⎰ (1)u ≠- （3）1
ln ||dx x C x =+⎰
（4）2
tan 1dx
arl x C x
=++⎰ （5）
arcsin x C =+⎰
（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰
（8）21
tan cos dx x C x =+⎰
（9）21
cot sin dx x C x
=-+⎰
（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰
（13）ln x
x
a a dx C a
=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰ （16）22
11tan x
dx arc C a x a a
=++⎰
（17）2211ln ||2x a
dx C x a a x a -=+-+⎰ （18）
sin
x
arc C a
=+⎰
（19）
ln(x C =+
（20）
ln |x C =+⎰
（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰
注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。
3、复习三角函数公式：
2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2
x
x +=
， 21cos 2sin 2
x
x -=。
注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。
此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
小结：
1常用凑微分公式
x
u x
u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x
x f x d x f dx x
x f x
d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da
a f a dx a a f de
e f dx e e f x d x f dx x
x f x d x
f dx x x f a b ax d b ax f a
dx b ax f x x x
x
x
x
x
x
x
x
arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)
(arcsin .11)
(arctan )(arctan 11
)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1
)(.5)()(..4)
(ln )(ln 1
)(ln .3)
0()()(1
)(.2)
0()
()(1)(.12
2
2
21
==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅
≠=
≠++=+⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
-μμ
μ
μμμμ
法
分积元换一第换元公式
积分类型。