积分公式表,常用积分公式表
常用积分公式
常用积分公式表·例题和点评⑴d k x kx c =+⎰ (k 为常数)⑵11d (1)1x x x c μμμμ+≠-=++⎰ 特别，211d x c x x =-+⎰, 3223x x c =+, x c =⑶1d ln ||x x c x =+⎰⑷d ln xxaa x c a=+⎰, 特别，e d e x xx c =+⎰ ⑸sin d cos x x x c =-+⎰⑹cos d sin x x x c =+⎰ ⑺221d csc d cot sin x x x x c x ==-+⎰⎰⑻221d sec d tan cos x x x x c x ==+⎰⎰⑼arcsin (0)x x c a a=+>,特别，arcsin x x c =+ ⑽2211d arctan (0)x x c a a a a x =+>+⎰,特别，21d arctan 1x x cx =++⎰⑾2211d ln (0)2a xx c a a a x a x +=+>--⎰或2211d ln (0)2x ax c a a x a x a -=+>+-⎰⑿tan d ln cos x x x c =-+⎰ ⒀cot d ln sin x x x c =+⎰⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x cx x x xc x ⎧-+⎪==⎨+⎪⎩⎰⎰ ⒂πln sec tan 1sec d d ln tan cos 24x x cx x x x c x ⎧++⎪==⎛⎫⎨++ ⎪⎪⎝⎭⎩⎰⎰131⒃(0)a x >==ln x c ++⒄2(0)arcsin 2a a x x c a >==+⒅x2(ln 2a a x c >==++⒆2222sin cos e sin d e sin cos e cos d e axax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -⎧=+⎪⎪+⎨+⎪=+⎪+⎩⎰⎰⒇12222212123d ()2(1)()2(1)nn n n x n x c a x n a a x n a I I ---==+++-+-⎰（递推公式） 跟我做练习(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式)例24⑴2)x x =-[套用公式⒅]1ln (2)2x =-+⑵[1(24)42x x x =-+⎰⎰2145)22x x x =-++=(请你写出答案)⑶2)x x =-ln (2)x ⎡=-+⎣ [套用公式⒃]⑷12x x =2122x =+=(请你写出答案)⑸2)x x =-232arcsin23x -=+[套用公式⒄]⑹[1(42)42x x x =---⎰⎰214)22x x x =-+-+=(请你写出答案)⑺==[套用公式⑼]2arcsin3x -=⑻(42)4d 12x x --=-2122=+-=(请你写出答案)例25 求原函数41d 1x x +⎰. 解 因为)21)(21()2()1(2)21(1222222424x x x x x x x x x x +-++=-+=-++=+所以令411x =++为待定常数）D C B A ,,,(=从恒等式1)12)(()12)((22≡+++++-+x x D x C x x B Ax (两端分子相等)，可得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+++-=++-=+（三次项系数）（二次项系数）（一次项系数）常数项0022022)(1C A D C B A D C B A D B 解这个方程组(在草纸上做)，得21,221,21,221=-===D C B A . 因此， 41d 1x x+⎰x x =+右端的第一个积分为13314x x x==+2211d4xx+⎛+⎝⎭⎰(套用积分公式)21)1)x+++类似地，右端的第二个积分为21)1)x x=+-⎰所以41d1xx+⎰1)1)+-=+（见下注）【注】根据tan tantan()1tan tanαβαβαβ++=-⋅,则tan1)1)⎡⎤++-===⎣⎦因此,21)1)arctan1x++-=-例26 求d(01)1cosxxεε<<-⎰. [关于d(01)1cosxxεε<<+⎰，见例17]解令tan2xt=(半角替换)，则2222222cos cos sin2cos111222sec1tan22x x xxx x=-=-=-=-+2211tt-=+22d d(2arctan)d1x t tt==+于是，222d12dd211cos1(1)(1)11x tttx t ttεεεε==--+-++-+⎰⎰⎰22d11ttεεε=+++⎰c =+2xc =+【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数()y y x =的导数或微分可以用一个“构造性”的公式()()()limh y x h y x y x h→+-'= 或d ()d y y x x '=确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数 ，譬如21e sin ed ,d ,d ,d ln xx xx x x x xxx-⎰⎰⎰⎰等 都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.。
积分常用公式(最新整理)
积分常用公式一．基本不定积分公式：1． C x dx +=⎰2． ) 3．111++=⎰αααx dx x 1(-≠αC x dx x+=⎰ln 14．5．C aa dx a xx+=⎰ln )1,0(≠>a a C e dx e xx+=⎰6． 7．C x xdx +-=⎰cos sin C x xdx +=⎰sin cos 8．9．C x dx x xdx +==⎰⎰tan cos 1sec 22Cx dx x xdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 2210． 11．C x xdx x +=⋅⎰sec tan sec Cx xdx x +-=⋅⎰csc cot csc 12．（或）C x dx x+=-⎰arcsin 11212arccos 11C x dx x+-=-⎰13．（或）C x dx x +=+⎰arctan 11212cot 11C x arc dx x +-=+⎰14．15．C x xdx +=⎰cosh sinh Cx xdx +=⎰sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法：1．2．C x xdx +-=⎰cos ln tan Cx xdx +=⎰sin ln cot 3．4．C axa x a dx +=+⎰arctan 122C a x ax a ax dx ++-=-⎰ln 21225． 6．C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 7．8．C axx a dx +=-⎰arcsin22Ca x x a x dx +±+=±⎰2222ln 9．C a x a x a x dx x a ++-=-⎰arcsin 222222210．Ca x x a a x xdx a x +±+±±=±⎰2222222ln 2211．第一类换元积分法（凑微分法）：Cx F x t x d x f dx x x f dx x g +=='=⎰⎰⎰)]([)(])([)]([)()]([)(ϕϕϕϕϕϕ为为为为为为为为为为为为12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：Cx F C t F dt t f dt t t g t x dxx g +=+=='=-⎰⎰⎰)]([)()()()]([)()(1ϕϕϕϕ为注：要求代换单调且有连续的导数，且“换元须还原”)(t ϕ13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)⎰⎰-=vduuv udv 14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个1.基本积分公式：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1∫ 1/x dx = ln，x， + C∫ e^x dx = e^x + C∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2.反常积分公式：∫ 1/x dx = ln，x， + C, 其中x取区间(-∞, 0)或(0, +∞)∫ e^x dx = e^x + C, 区间为(-∞, +∞)∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1，区间为(-∞, +∞)∫ sin(x) dx = -cos(x) + C, 区间为(-∞, +∞)∫ cos(x) dx = sin(x) + C，区间为(-∞, +∞)3.分部积分法公式：∫ u dv = uv - ∫ v du，其中u, v是关于x的函数4.和差积分公式：∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx5.一些特殊函数的积分：∫ e^(x^2) dx = √π*erf(x)/2 + C∫ ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C∫ sin^2(x) dx = (x - sin(x)cos(x))/2 + C6.换元法公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du，其中u=g(x)7.可以通过递推关系求解的积分：∫ sin^n(x) dx = -1/n * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-1)/n * ∫ sin^(n-2)(x) dx∫ cos^n(x) dx = 1/n * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-1)/n * ∫ cos^(n-2)(x) dx8.积分的对称性：∫ f(x) dx = ∫ f(a+b-x) dx，其中a和b为常数以上是定积分的一些基本公式。
常用积分公式
常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +∫＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+∫＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠−）3．d x x ax b +∫＝21(ln )ax b b ax b C a +−++4．2d x x ax b +∫＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+−++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +∫＝1ln ax b C b x+−+6．2d ()x x ax b +∫＝21ln a ax bC bx b x+−++ 7．2d ()xx ax b +∫＝21(ln b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +∫＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +−+−++ 9．2d ()x x ax b +∫＝211ln ()ax b C b ax b b x+−++的积分10．x ＝C +11．x ∫＝22(3215ax b C a −+12．x x ∫＝22232(15128105a x abx b C a−+13．x＝22(23ax b C a −+14．2x＝22232(34815a x abx b C a −++15．＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<16．2a bx b −− 17．d x x ∫＝b +18．2d x x ∫＝2a x −+∫（三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +∫=1arctan xC a a+20．22d ()n x x a +∫=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a −−−+−+−+∫21．22d x x a −∫=1ln 2x a C a x a−++（四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +∫＝(0)(0)x C b Cb +>+<23．2d x x ax b +∫＝21ln 2ax b C a ++24．22d x x ax b +∫＝2d x b xa a axb −+∫25．2d ()x x ax b +∫＝221ln2x C b ax b++ 26．22d ()x x ax b +∫＝21d a xbx b ax b −−+∫ 27．32d ()x x ax b +∫＝22221ln 22ax b a C bx bx +−+ 28．22d ()x ax b +∫＝221d 2()2x xb ax b b ax b +++∫（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++∫＝22(4)(4)C b ac C b ac +<+> 30．2d x x ax bx c ++∫＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++−++∫(0)a >的积分31．＝1arshxC a+＝ln(x C ++ 32．C +33．xC +34．x＝C +35．2x 2ln(2a x C −++36．2x ＝ln(x C ++37．1ln aC a x −+38．＝2C a x −+39．x 2ln(2a x C +++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C ++++41．x ∫C +42．xx ∫＝422(2ln(88x a x a x C +−++43．d x x ∫ln a a C x −++44．2d x x ∫＝ln(x C x−+++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln C + 46．C +47．x C48．x ＝C +49．2x 22a C ++50．2x ＝C ++51．1arccos aC a x+52．＝2C a x +53．x 22a C −+54．x ＝2243(25ln 88x x a a C −++55．x ∫C +56．xx ∫＝422(2ln 88x a x a C −+57．d x x ∫arccos aa C x +58．2d x x ∫＝C x−++(0)a >的积分 59．＝arcsinxC a + 60．C +61．x ＝C +62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a ++64．2x C +65．1ln a C a x −+66．＝2C a x −+67．x 2arcsin 2a x C a++68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a −++69．x ∫＝C +70．xx ∫＝422(2arcsin 88x a x x a C a−+71．d x x ∫ln a a C x −++72．2d x x ∫＝arcsin xC x a−−+(0)a >的积分73．C +74．x2C ++75．xC −+76．＝C +77．x 2C ++78．x ＝C ++的积分79．x ＝((x b b a C −+−++80．x ＝((x b b a C −+−+81．C+()a b <82．x ＝C ++ ()a b < （十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ∫＝cos x C −+84．cos d x x ∫＝sin x C + 85．tan d x x ∫＝ln cos x C −+ 86．cot d x x ∫＝ln sin x C + 87．sec d x x ∫＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ∫＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C −+ 89．2sec d x x ∫＝tan x C + 90．2csc d x x ∫＝cot x C −+ 91．sec tan d x x x ∫＝sec x C + 92．csc cot d x x x ∫＝csc x C −+ 93．2sin d x x ∫＝1sin 224x x C −+ 94．2cos d x x ∫＝1sin 224x x C ++95．sin d n x x ∫＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n−−−−+∫ 96．cos d n x x ∫＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n−−−+∫ 97．d sin n x x ∫＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x −−−−⋅+−−∫ 98．d cos n x x ∫＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x−−−⋅+−−∫ 99．cos sin d m n x x x ∫＝11211cos sin cos sin d m n m nm x x x x x m n m n−+−−+++∫ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+−−−−+++∫ 100．sin cos d ax bx x ∫＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b −+−−++−101．sin sin d ax bx x ∫＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b −++−++−102．cos cos d ax bx x ∫＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++−++−103．d sin x a b x +∫tan xa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +∫C +22()a b <105．d cos x a b x +∫tan 2xC +22()a b >106．d cos x a b x +∫C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +∫＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin x a x b x −∫＝1tan ln 2tan b x aC ab b x a ++−109．sin d x ax x ∫＝211sin cos ax x ax C a a −+ 110．2sin d x ax x ∫＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a −+++111．cos d x ax x ∫＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ∫＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+−+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ∫＝arcsin x x C a++114．arcsin d x x x a ∫＝C +115．2arcsin d x x x a ∫＝3221arcsin (239x x x a C a +++116．arccos d xx a ∫＝arccosxx C a−+117．arccos d x x x a ∫＝C +118．2arccos d x x x a ∫＝3221arccos (239x x x a C a −++119．arctand x x a ∫＝22arctan ln()2x a x a x C a −++ 120．arctan d x x x a∫＝221()arctan 22x a a x x C a +−+121．2arctan d x x x a ∫＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a −+++（十三）含有指数函数的积分122．d xa x ∫＝1ln xa C a + 123．e d axx ∫＝1e ax C a +124．e d ax x x ∫＝21(1)e axax C a−+125．e d n axx x ∫＝11e e d n ax n ax n x x x a a−−∫126．d xxa x ∫＝21ln (ln )x x x a a C a a −+ 127．d nxx a x ∫＝11d ln ln n x n xn x a x a x a a −−∫ 128．e sin d axbx x ∫＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b −++ 129．e cos d ax bx x ∫＝221e (sin cos )axb bx a bx C a b+++130．e sin d ax n bx x ∫＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n−−+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n −−++∫131．e cos d ax n bx x ∫＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n−++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n−−++∫ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ∫＝ln x x x C −+ 133．d ln x x x ∫＝ln ln x C +134．ln d n x x x ∫＝111(ln )11n x x C n n +−+++ 135．(ln )d n x x ∫＝1(ln )(ln )d n n x x n x x −−∫ 136．(ln )d m n x x x ∫＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +−−++∫ （十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ∫＝ch x C +138．ch d x x ∫＝sh x C +139．th d x x ∫＝ln ch x C + 140．2sh d x x ∫＝1sh224x x C −++ 141．2ch d x x ∫＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π−π∫＝sin d nx x π−π∫＝0 143．cos sin d mx nx x π−π∫＝0144．cos cos d mx nx x π−π∫＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π−π∫＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π∫＝0cos cos d mx nx x π∫＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147． n I ＝20sin d n x x π∫＝20cos d n x x π∫ n I ＝21n n I n−− 1342253n n n I n n −−=⋅⋅⋅⋅−" （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n −−π=⋅⋅⋅⋅⋅−"（n 为正偶数），0I ＝2π。
基本积分公式表
2
1 (
cos
2x
cos 2
2x
)
dx
42
4
(1 cos 2x 1 1 cos4x ) dx 424 2
( 3 cos 2x cos 4x ) dx
82
8
3 dx 8
1 2
cos
2
xdx
1 8
cos
4 xdx
3 8
x
1 4
cos 2xd(2x)
类似可求 cos4 xdx
1 cos 2x dx
2
(1 2
cos 2x ) 2
dx
1 2 x 2
dx
cos 2 2
x
1 2
cos2
x
dx dx
x 2
1 4
cos 2xd(2x)
x sin2x C 24
例14 cos4 xdx
(1 cos 2x )2 dx
(13)
a
xdx
ax ln a
C
第二节 换元积分法（一）
一、第一换元积分法
问题
e2xdx ?
被积函数e 2 x 不是积分公式表上的函数,
用直接积分法，求不出它的积分。
怎么办？
e2xdx
1 e2x 2 d(2x)
1
e2x d(2x)
2
u 2x
1 2
e u du
2
常用积分表(绝对有帮助)
7
(a < b)
84． ∫ cos xdx ＝ sin x + C
85． ∫ tan xdx ＝ − ln cos x + C
86． ∫ cot xdx ＝ ln sin x + C
∫ 87．
sec
xdx
＝ ln
π tan(
+
x)
+C
＝ ln
sec
∫ 93． sin2 xdx ＝ x − 1 sin 2x + C 24
∫ 94． cos2 xdx ＝ x + 1 sin 2x + C 24
∫ ∫ 95． sinn xdx ＝ − 1 sinn−1 x cos x + n − 1 sinn−2 xdx
n
n
∫ ∫ 96． cosn xdx ＝ 1 cosn−1 x sin x + n − 1 cosn−2 xdx
∫ 76．
dx
＝ − 1 arcsin 2ax − b + C
c + bx − ax2
a
b2 + 4ac
∫ 77． c + bx − ax2 dx ＝ 2ax − b c + bx − ax2 + b2 + 4ac arcsin 2ax − b + C
4a
8 a3
b2 + 4ac
∫ 78．
x
dx ＝ − 1 c + bx − ax2 + b arcsin 2ax − b + C
8
8
∫ 43． x2 + a2 dx ＝ x2 + a2 + a ln x2 + a2 − a + C
常用积分公式表大全
常用积分公式表大全在数学的学习和应用中，积分是一个非常重要的概念和工具。
积分公式就像是一把把钥匙，能够帮助我们打开解决各种问题的大门。
下面就为大家整理一份常用的积分公式表。
一、基本积分公式1、∫kdx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这意味着对于任何常数 k，其积分结果是 k 乘以 x 再加上常数 C。
2、∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）当幂次为 n 时，积分结果为（1/（n ＋ 1)）乘以 x 的（n ＋ 1）次幂加上常数 C。
3、∫dx/x ＝ ln|x| ＋ C对 1/x 进行积分，结果是自然对数 ln|x|加上常数 C 。
4、∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身 e^x 加上常数 C 。
5、∫a^x dx ＝（1/ln a)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）对于底数为 a 的指数函数 a^x 的积分，结果是（1/ln a）乘以 a^x 加上常数 C 。
6、∫sin x dx ＝ cos x ＋ C正弦函数 sin x 的积分是 cos x 加上常数 C 。
7、∫cos x dx ＝ sin x ＋ C余弦函数 cos x 的积分是 sin x 加上常数 C 。
8、∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C正切函数 tan x 的积分是 ln|cos x|加上常数 C 。
9、∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C余切函数 cot x 的积分是 ln|sin x|加上常数 C 。
10、∫sec x dx ＝ ln|sec x ＋ tan x| ＋ C正割函数 sec x 的积分是 ln|sec x ＋ tan x|加上常数 C 。
11、∫csc x dx ＝ ln|csc x ＋ cot x| ＋ C余割函数 csc x 的积分是 ln|csc x ＋ cot x|加上常数 C 。
常用积分表(绝对有帮助)
∫ ax ∫
∫ ∫ ∫
2
1 b dx x dx ＝ ln ax 2 + bx + c − 2 ∫ 2a 2a ax + bx + c + bx + c
（六）含有 31．
x 2 + a 2 ( a > 0) 的积分
＝ arsh
dx x +a
2 2
x + C1 ＝ ln( x + x 2 + a 2 ) + C a
51．
dx x2 − a2 dx
2
＝
1 a arccos + C a x x2 − a2 +C a2 x
52．
∫x
∫
∫
x2 − a2
＝
53．
x 2 − a 2 dx ＝
x 2 a2 x − a 2 − ln x + x 2 − a 2 + C 2 2
x 3 ( x 2 − a 2 ) 3 dx ＝ (2 x 2 − 5a 2 ) x 2 − a 2 + a 4 ln x + x 2 − a 2 + C 8 8 1 55． ∫ x x 2 − a 2 dx ＝ ( x 2 − a 2 )3 + C 3
∫ ax
2
1 x dx ＝ ln ax 2 + b + C 2a +b
2
x2 x b dx 24． ∫ 2 dx ＝ − ∫ 2 ax + b a a ax + b dx 1 x2 25． ∫ ＝ ln +C x ( ax 2 + b) 2b ax 2 + b
26．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
积分公式表
1、基本积分公式： (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7) (8)
(8) (10) (11)
2、积分定理：
（1）()()x f dt t f x a ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b
a b a -==⎰
3、积分方法
()()b ax x f +=1；设：t b ax =+
()()222x a x f -=；设：t a x sin =
()22a x x f -=；设：t a x sec =
()22x a x f +=；设：t a x tan =
()3分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv
附：理解与记忆
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.
公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.
公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ，
积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.
特别当 时，有 .
当 时，
公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为
，故
（ ， ）式右边的 是在分
母，不在分子，应记清. 当 时，有 .
是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.
应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.
公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式（10）是一个关于无理函数的积分
公式（11）是一个关于有理函数的积分
下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.
例1 求不定积分.
分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.
解：
（为任意常数）
例2 求不定积分.
分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.
解：由于，所以
（为任意常数）
例3 求不定积分.
分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.
解：
(为任意常数 )
例4 求不定积分.
分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.
解：
（为任意常数）
例5 求不定积分.
分析：基本积分公式表中只有
但我们知道有三角恒等式：
解：
（为任意常数）
同理我们有：
（为任意常数）
例6
（为任意常数）。