平面向量题型归类及解题方法
部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案考点题型与解题方法
(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案考点题型与解题方法单选题1、下列说法错误的是（ ）A ．向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 的长度与向量AO ⃑⃑⃑⃑⃑ 的长度相等B ．零向量与任意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等2、《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2√2，点P 是正八边形ABCDEFGH 的内部（包含边界）任一点，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是（ ）A ．[−4√2,4√2]B ．[−4√2,8+4√2]C ．[8−4√2,8+4√2]D ．[−4√2,8−4√2] 3、已知a ⃗=(2,−1), b ⃑⃗=(x, 4)，且a ⃗⊥b ⃑⃗，则|a ⃗+b ⃑⃗|=（ ） A ．1B ．3C ．√5D ．54、如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB ⌢的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若AB =2，则|AC⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围是（ ）A ．[1,3]B ．[√2,3]C ．[3,√10]D ．[√2,√10]5、下列条件中能得到a ⃗=b ⃑⃗的是（ ） A ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|B ．a ⃗与b ⃑⃗的方向相同； C ．a ⃗=0⃑⃗，b ⃑⃗为任意向量D ．a ⃗=0⃑⃗且b ⃑⃗=0⃑⃗6、在△ABC 中，已知a =11，b =20，A =130°，则此三角形（ ） A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定7、在复平面内，把复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( )A ．2√3B ．−2√3iC ．√3−3iD ．3+√3i8、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ） A ．14B ．34C ．√24D ．√23多选题9、在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（ ） A ．bsinB =a+b+csinA+sinB+sinC B ．若A >B ，则sin2A >sin2B C ．a =bcosC +ccosB D ．若(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|+AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|⋅AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12，则△ABC 为等边三角形10、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2√3，c =3，A +3C =π，则下列结论正确的是（ ） A ．cosC =√33B ．sinB =√23C ．a =3D ．S △ABC =√211、已知e 1⃑⃑⃑ ､e 2⃑⃑⃑ 是两个单位向量，λ∈R 时，|e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ |的最小值为√32，则下列结论正确的是（ ） A ．e 1⃑⃑⃑ ､e 2⃑⃑⃑ 的夹角是π3B ．e 1⃑⃑⃑ ､e 2⃑⃑⃑ 的夹角是2π3 C ．|e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |=√32D ．|e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |=1填空题12、已知A(1,0)，B(0,1)，O 为坐标原点，t ∈[0,1]，则|tAB⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|34BO ⃑⃑⃑⃑⃑ −(1−t)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值为______．部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(四)参考答案1、答案：D分析：向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.A.向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与向量AO ⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向相反，长度相等，故A 正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故B 正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C 正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D 不正确. 小提示：本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型. 2、答案：B分析：先求出AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围即可.如图，作AM ⊥GH 的延长线于M ，BN ⊥DC 的延长线于N ，根据正八边形的特征，可知AM =BN =2， 于是AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的取值范围为[−2,2√2+2]，结合向量数量积的定义可知，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 等于AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的模与AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的乘积， 又|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√2，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为2√2×(2√2+2)=8+4√2，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为2√2×(−2)=−4√2． 则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是[−4√2,8+4√2]. 故选：B ． 3、答案：D分析：利用向量的垂直，求出x ，然后求解向量的模．解：a ⃗=(2,−1)，b ⃑⃗=(x,4)，且a ⃗⊥b ⃑⃗，可得2x −4=0，解得x =2， 所以a ⃗+b ⃑⃗=(4,3)，则|a ⃗+b ⃑⃗|=√42+32=5． 故选：D ． 4、答案：D分析：根据题意可得出0≤|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |≤2，然后根据向量的运算得出|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2= (|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+1)2+1，从而可求出答案.因为点C 为AB⌢的中点，AB =2，所以|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2,∠CAB =π4， 所以|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2=AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2+2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |2+|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2+2|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |cos π4=|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2+2|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+2=(|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+1)2+1， 因为点M 为线段AB 上的一点，所以0≤|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |≤2，所以2≤(|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+1)2+1≤10， 所以|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围是[√2,√10], 故选：D. 5、答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a ⃗=b ⃑⃗，所以a ⃗与b ⃑⃗的大小相等，方向相同，故D 正确. 故选：D. 6、答案：A分析：根据三角形大边对大角（小边对小角）和三角形内角和为180°，即可判断解的情况. ∵a <b ，∴A <B ，又∵A =130°，∴A +B +C >180°， 故此三角形无解． 故选:A. 7、答案：B分析：由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3， ∴旋转后的向量为(3−√3i )[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i )(12−√3i 2)=32−3√3i2−√3i 2+3i 22=−2√3i ．故选：B ． 8、答案：B分析：利用余弦定理求得cosB . b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a⋅2a=34.故选：B 9、答案：ACD分析：A 由正弦定理及等比的性质可说明；B 令A =π3,B =π6可得反例；C 由和角正弦公式及三角形内角和的性质有sinBcosC +sinCcosB =sinA ，由正弦定理即可证；D 若AE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|,AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AG⃑⃑⃑⃑⃑⃗，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△ABC 的形状. A ：由asinA =bsinB =csinC ，根据等比的性质有bsinB =a+b+csinA+sinB+sinC ，正确； B ：当A =π3,B =π6时，有sin2A =sin2B ，错误；C ：sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)，而B +C =π−A ，即sinBcosC +sinCcosB =sinA ，由正弦定理易得a =bcosC +ccosB ，正确；D ：如下图，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|,AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|是单位向量，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗| =AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，即AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0、AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=12，则AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗且AG 平分∠BAC ，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的夹角为π3， 易知△ABC 为等边三角形，正确.故选：ACD小提示：关键点点睛：D 选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状. 10、答案：AD解析：根据正弦定理得到cosC =√33，sinB =sin2C =2√23，根据余弦定理得到a =1，S △ABC =√2，得到答案.A +3C =π，故B =2C ，根据正弦定理：bsinB=c sinC，即2√3sinC =3×2sinCcosC ，sinC ≠0，故cosC =√33，sinC =√63，sinB =sin2C =2sinCcosC =2√23. c 2=a 2+b 2−2abcosC ，化简得到a 2−4a +3=0，解得a =3或a =1， 若a =3，故A =C =π4，故B =π2，不满足，故a =1. S △ABC =12absinC =12×1×2√3×√63=√2.故选：AD .小提示：本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11、答案：ABD分析：根据条件知，(e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ )2的最小值为34，结合二次函数与方程的特点可求出e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 的夹角为π3或2π3，从而求出|e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |的值．∵ e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 是两个单位向量，且|e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ |的最小值为√32，∴ (e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ )2的最小值为34，(e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ )2=λ2+2λe 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ +1的最小值为34，即λ2+2λe 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ +14=0在λ∈R 上有唯一一个解，所以Δ=(2e 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ )2−1=0，所以e 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ =±12∴ e 1⃑⃑⃑ 与e 2⃑⃑⃑ 的夹角为π3或2π3，所以A,B 正确，∴ |e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |2=1或3， ∴ |e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |=1或√3，所以D 正确，故选：ABD ． 12、答案：54解析：根据向量的数量积运算，结合函数的性质即可求出． 解：∵A(1,0)，B(0,1)，∴ AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,1)，AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,0)，BO ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−1)，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−1)， ∴|tAB⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|34BO ⃑⃑⃑⃑⃑ −(1−t)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |， =|t(−1，1)−(−1，0)|+|34(0，−1)−(1−t)(1，−1)|，=|(1−t ，t)|+|(t −1，14−t)|，=√(1−t)2+t 2+√(t −1)2+(14−t)2， =√2t 2−2t +1+√2t 2−52t +1716， =√2(√t 2−t +12+√t 2−54t +1732)，=√2(√(t −12)2+(0−12)2+√(t −58)2+(0+38)2)， 令f(t)=√(t −12)2+(0−12)2+√(t −58)2+(0+38)2，令T(t,0)，M(12，12)，N(58，−38)，则f(t)=|MT|+|TN|⩾|MN|=5√28，此时t =47∈[0，1]，则当t =47时，则|tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|34BO ⃑⃑⃑⃑⃑ −(1−t)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值为54． 所以答案是：54．小提示：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，解答的关键是将f(t)=√(t −12)2+(0−12)2+√(t −58)2+(0+38)2转化为动点T(t,0)到两定点的距离之和，从而求出函数的最小值．。
平面向量题型归纳
平面向量题型归纳题型一 平面向量的线性运算例 1：记 N ᰰᰰ ᰰ，y ＝ ᰰt ᰰ ≤ y t N i !{ᰰ，y }＝ y t ᰰ ≤ y设 a t b 为平面向量，则()yt ᰰ ݔ y ᰰt ᰰ ݔ yA ．N i !{ a + b t |a －b |} ≤ N i !{ a t |b |}B ．N i !{ a + b t |a －b |} ≤ N i !{ a t |b |}C ．N ᰰᰰa +b 2t a －b 2≤ a 2 + b 2D ．N ᰰᰰa +b 2t a －b 2≤a 2 +b 2【答案】：D【解析】方法一：对于平面向量 a t b t |a + b |与|a －b |表示以 a t b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A ，B 均错；又 a + b t |a －b |中的较大者与 a t |b |一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有 N ᰰᰰ a + b 2t a －b2≤ a 2 + b 2 ,故选项 D 正确，选项 C 错误．方法二：若 a t b 同向，令 a ＝2t |b |＝3，这时|a + b |＝5，|a －b |＝1，N i !{|a + b |，|a －b |}＝1，N i !{|a |，|b |}＝2；若令|a |＝2，|b |＝6，这时 a + b＝8t a －b ＝4t N i !{ a + b t |a －b |}＝4 ， 而 N i !{ a t |b |}＝2 ， 显然对任意 a t b ， N i !{|a + b |，|a －b |} 与N i !{ a t |b |}的大小关系不确定， 即选项 A 、B 均错． 同理， 若 a t b 同向， 取|a |＝1t |b |＝2， 则 a + b＝3t |a －b |＝1，这时 N ᰰᰰa +b 2t a －b 2= ⸹，而 a 2+b 2 ＝5，不可能有 N ᰰᰰ a + b 2t a －b 2≤a 2 +b 2，故选 C 项错．【易错点】平面向量加减法线性运算性质。
(完整版)高中数学平面向量知识点总结及常见题型
平面向量一.向量的基本概念与基本运算1①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0｜a｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a大小相等，方向相同),(),(2211y x y x2121y y x x2求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC uuu r（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a =a； (ii) a +(a )=(a )+a =0 ； (iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：(b a b a求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =a6如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示 1在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r作为基底量的基本定理知，该平面内的任一向量a r 可表示成a xi yj r r r，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r 的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr (2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r，则1212a b x x y y r r若a b rr ，则02121 y y x x3及其各运算的坐标表示和性质三．平面向量的数量积 1已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r ︱·︱b r ︱cos 叫做a r 与b r的数量积（或内积） 规定0a r r2︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影为射影3a r ·b r 等于a r的长度与b r 在a r 方向上的投影的乘积42||a a a a r r r r52222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r6①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r 或b r =r7已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r，则a r ·b r =121x x y y 已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800 ）叫做向量a r 与b r的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r =222221212121y x y x y y x x当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点. （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的.（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD u u u r u u u r. （5）若AB CD u u u r u u u r，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形.（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.（7）若a r 与b r 共线， b r 与c r 共线，则a r 与c r共线. （8）若ma mb r r ，则a b r r.（9）若ma na r r，则m n .（10）若a r 与b r 不共线，则a r 与b r都不是零向量. （11）若||||a b a b r r r r，则//a b r r . （12）若||||a b a b r r r r，则a b r r .题型2.向量的加减运算1.设a r 表示“向东走8km ”, b r 表示“向北走6km ”,则||a b r r.2.化简()()AB MB BO BC OM u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r.3.已知||5OA u u u r ,||3OB u u u r ,则||AB uuu r的最大值和最小值分别为 、 .4.已知AC AB AD u u u r u u u r u u u r 为与的和向量，且,AC a BD b u u u r r u u u r r ，则AB u u u r ，AD u u u r.5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB u u u r u u u r ,则AC u u u r BC uuu r ，AB u u u rBC uuu r .题型3.向量的数乘运算1.计算：（1）3()2()a b a b r r r r （2）2(253)3(232)a b c a b c r r r r r r2.已知(1,4),(3,8)a b r r ，则132a b rr .题型4.作图法球向量的和已知向量,a b r r ，如下图，请做出向量132a b r r和322a b r r .a rb r题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC 中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC u u u r u u u r ，表示AD u u u r. 2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b u u u r u u u r rr ，求AB AD u u u r u u u r 和.题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB u u u r，(2,3)A ，则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ u u u r，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F r ,2(2,3)F r ,3(1,4)F r,则合力的坐标为 .4.已知(3,4)a r，(5,2)b r ，求a b r r ，a b r r ，32a b r r .5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y r与AB u u u r 相等，求,x y 的值. 6.已知(2,3)AB u u u r ，(,)BC m n u u u r ，(1,4)CD u u u r ，则DA u u u r.7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B ，且30AB BC u u u r u u u r r ，求OC uuu r的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e u r u u r u r u u r 和 B.1221326e e e e u r u u r u u r u r 和4 C.122133e e e e u r u u r u u r u r 和 D.221e e e u u r u u r u r 和2.已知(3,4)a r ，能与a r构成基底的是（ ） A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55 D.4(1,)3题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA u u u r ，150xOA o，求OA u u u r 的坐标.2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||OA u u u r ，60xOA o，求OA u u u r 的坐标.题型9.求数量积1.已知||3,||4a b r r ，且a r 与b r 的夹角为60o，求（1）a b r r ，（2）()a a b r r r ， （3）1()2a b b r r r ，（4）(2)(3)a b a b r r r r .2.已知(2,6),(8,10)a b r r ，求（1）||,||a b r r ，（2）a b r r ，（3）(2)a a b rr r ，（4）(2)(3)a b a b r r r r.题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b r r，12a b r r ，求a r 与b r 的夹角.2.已知(2)a b r r，求a r 与b r 的夹角.3.已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC . 题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b r r ，且a r 与b r 的夹角为60o，求（1）||a b r r ，（2）|23|a b r r .2.已知(2,6),(8,10)a b r r ，求（1）||,||a b r r ，（5）||a b r r ，（6）1||2a b rr .3.已知||1||2a b r r ，，|32|3a b r r ，求|3|a b r r .题型12.求单位向量 【与a r 平行的单位向量：||ae a rr r 】1.与(12,5)a r平行的单位向量是 . 2.与1(1,)2m r平行的单位向量是 . 题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a r，(3,)b m r ，当m 为何值时，（1）//a b r r ？（2）a b r r ？2.已知(1,2)a r，(3,2)b r ，（1）k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r 垂直？ （2）k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r平行？3.已知a r 是非零向量，a b a c r r r r ，且b c r r ，求证：()a b c r rr .题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A ，(2,2)B ，(3,4)C ，求证：,,A B C 三点共线.2.设5),28,3()2AB a b BC a b CD a bu u u r rr u u u r r r u u u r r r ，求证：A B D 、、三点共线.3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b u u u r r r u u u r r r u u u r r r，则一定共线的三点是 .4.已知(1,3)A ，(8,1)B ，若点(21,2)C a a 在直线AB 上，求a 的值.5.已知四个点的坐标(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B ，(1,1)C ，是否存在常数t ，使OA tOB OC u u u r u u u r u u u r成立？题型15.判断多边形的形状1.若3AB e u u u r r ，5CD e u u u r r ，且||||AD BC u u u r u u u r,则四边形的形状是 .2.已知(1,0)A ，(4,3)B ，(2,4)C ，(0,2)D ，证明四边形ABCD 是梯形.3.已知(2,1)A ，(6,3)B ，(0,5)C ，求证：ABC 是直角三角形.4.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC u u u r u u u r u u u r,求证：ABC 是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a r，(2,1)b r ，当k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r 平行？2.已知a r，且a b r r ，||2b r ，求b r 的坐标. 3.已知a b r r 与同向，(1,2)b r，则10a b r r ，求a r 的坐标.3.已知(1,2)a r ，(3,1)b r ，(5,4)c r，则c r a r b r .4.已知(5,10)a r ，(3,4)b r ，(5,0)c r，请将用向量,a b r r 表示向量c r .5.已知(,3)a m r，(2,1)b r ，（1）若a r 与b r 的夹角为钝角，求m 的范围；（2）若a r 与b r的夹角为锐角，求m 的范围.6.已知(6,2)a r，(3,)b m r ，当m 为何值时，（1）a r 与b r 的夹角为钝角？（2）a r 与br 的夹角为锐角？7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A ，(3,4)B ，(2,1)D ，且//AB DC ，2AB CD ，求点C 的坐标.8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ，(1,3)B ，(3,4)C ，求第四个顶点D 的坐标.9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30o 角，求水流速度与船的实际速度.10.已知ABC 三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(0,0)B ，(,0)C c ，（1）若0AB AC u u u r u u u r，求c 的值；（2）若5c ，求sin A 的值.【备用】1.已知||3,||4,||5a b a b r r r r ，求||a b r r 和向量,a b r r的夹角.2.已知x a b r r r ，2y a b u r r r ，且||||1a b r r ，a b r r ，求,x y r u r的夹角的余弦.1.已知(1,3),(2,1)a b r r ，则(32)(25)a b a b r r r r.4.已知两向量(3,4),(2,1)a b r r，求当a xb a b r r r r 与垂直时的x 的值. 5.已知两向量(1,3),(2,)a b r r，a b r r 与的夹角 为锐角，求 的范围.11 变式：若(,2),(3,5)a b r r ，a b r r 与的夹角 为钝角，求 的取值范围.选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c r r r ，则c r （ ） A.1322a b r r B.1322a b r r C.3122a b r r D.3122a b r r 2.排除法例：已知M 是ABC 的重心，则下列向量与AB u u u r 共线的是（ ）A.AM MB BC u u u u r u u u r u u u rB.3AM AC u u u u r u u u rC.AB BC AC u u u r u u u r u u u rD.AM BM CM u u u u r u u u u r u u u u r。
求解平面向量问题的三种方法
思路探寻求解平面向量问题的三种方法陈燕华平面向量是高考数学试题中的重点考查内容，通常会考查平面向量的定义、定理、运算法则，以及与不等式相结合的综合性问题.由于向量既具有“数”的形式，也有对应的图形，所以解答平面向量问题一般可以从几何和代数两个角度入手.本文重点介绍三种求解平面向量问题的方法，以帮助同学们拓宽解题的思路.一、基底法基底法是指运用平面向量的基本定理来解题的方法.在解题时，需首先选取两个不共线的基底向量 e 1、 e 2，根据平面向量的基本定理，将问题中的其他向量都用基底向量 e 1、e 2表示出来，然后运用平面向量的运算法则来解题.基底法是解答平面向量问题的基本方法.例1.如图1，在△ABC 中，BC =AC =1,AB =3, CE =x CA , CF =x CB ,其中x ,y ∈()0,1，且x +4y =1，若M 、N 分别是线段EF 、AB 中点，则线段MN 长度最小值为_____.解：选取 CA 、CB 为基底向量，∵ CM =12 CE +12 CF =x 2 CA +y 2CB ，CN =12 CA +12CB ,∴ MN = CN - CM =æèöø12CA +12 CB -æèçöø÷x 2 CA +y 2 CB =æèöø12-x 2 CA +æèçöø÷12-y 2CB ，∴|| MN 2=éëêùûúæèöø12-x 2 CA +æèçöø÷12-y 2 CB 2=æèöø12-x 22+æèçöø÷12-y 22-æèöø12-x 2∙æèçöø÷12-y 2，∵x +4y =1，x =1-4y ∈()0,1，∴y ∈æèöø0,14，∵|| MN 214()21y 2-6y +1，y ∈æèöø0,14，y =时，|| MN 2有最小值17，即 MN 最小值为.运用基底法解题的关键是，选取合适的基底向量，运用向量的基本定理和运算法则解题.二、平方法平面向量中有很多关于向量的模的运算问题.在解答此类问题时，我们可以运用平方法来求解.我们知道||a 2=a 2，在解答与平面向量的模有关的问题时，可以首先将向量的模平方，便可将问题转化为常规的平面向量运算问题，然后利用平面向量的运算法则便可使问题获解.例2.已知点A 、B 、C 分别是圆O ：x 2+y 2=1上任意不同的三点，若 OA =3 OB +xOC ,则正实数x 的取值范围是_____.解：由题意可得，|| OA =|| OB =||OC =1，两边平方可得， OA 2=()3 OB +x OC 2，即1=9+x 2+6x cos ∠BOC ，∵点A 、B 、C 分别是圆O ：x 2+y 2=1上任意不同的三点，∴∠BOC ∈()0，π，则-1＜x 2+86x＜1，解不等式可得2＜x ＜4或-4＜x ＜-2，∵x 为正实数，∴x 的取值范围是2＜x ＜4.这里将OA 平方，便将问题转化为向量运算问题，通过运算、化简，可建立关于x 的不等式，解不等式就可求得x 的取值范围.三、投影法数量积a ·b 的几何意义是：a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.投影法是利用数量积a ·b 的几何意义来解题的方法.在解答两个向量的乘积问题时，我们可以根据数量积a ·b 的几何意义，寻找b 在a 的方向上的投影，通过作垂线或求它们夹角的余弦值，得到最终的答案.例3.如图2，圆O 是△ABC 的外心，|| AC =4,|| AB =2,则 AO ∙( AC -AB )=_____.解：过点O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，∵ AO ∙()AC - AB = AO ∙ AC - AO ∙ AB ， AO ∙ AC =|| AO ∙|| AC cos ∠OAD =|| AD ∙|| AC =12|| AC2=8，同理可得， AO ∙ AB =|| AO ∙|| AB cos ∠OAB =||AD ∙|| AB =12|| AB 2=2，∴AO ∙()AC - AB =8-2=6.值得注意的是，a 在b 方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于θ角的范围.基底法、平方法、投影法都是解答平面向量问题的常用方法.相比较而言，基底法的应用范围最广，平方法、投影法的适用范围较窄.很多情况下，需要同时使用两种或两种以上的方法才能使问题获解.因此同学们在解题时要注意灵活变通，这样才能提升解题的效率.（作者单位：江苏省启东市第一中学）图1图252。
高考数学必考题型：平面向量的综合解题技巧及其重点题型的讲解.doc
高考数学必考题型：平面向量的综合解题技巧及其重点题型的讲解
平面向量的概念及线性运算最新考纲要求:1.了解向量的实际背景．
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
3.理解向量的几何表示．
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
考情定向分析:这一章主要是考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.。
平面向量知识归纳和题型总结
平面向量知识归纳和题型总结平面向量章节分析:向量是近代数学中重要和基本的概念之一,具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体, 是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有重要应用.向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具,向量概念引入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系,例如平行、垂直、夹角、距离等.对本章的学习要立足基础,强化运算,重视运用,能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题.平面向量的概念、几何运算和基本定理1.向量的相关概念2.向量的线性运算3.向量的共线定理非零向量a 与向量b 共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使b a =λ。
延伸结论:,,A B C 三点共线//AB AC ? ?当且仅当有唯一R λ∈,使AB AC =λ4.平面向量的基本定理如果12,e e是一个平面内两个不共线向量,那么对这平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使:1122a e e =λ+λ ,其中不共线的向量12,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.练习:（1）已知12,e e 是平面向量的一组基底,11122122,a x e y e b x e y e =+=+,①若a b = 当且仅当12x x =且12y y =.②若0,a =则120x x ==.（2）如图,OA OB 为单位向量，||23OC = ，其中,OA OB 的夹角为120，,OA OC 的夹角为30。
若OC OB OA =λ+μ ，求,λμ的值。
5.一个常用结论:ABC △中, M 为边BC 的中点, 则有:2AM AB AC =+.练习:设ABC ?的重心为点G ,设,.AB a AC b == 试用,a b表示AG .典型例题分析:知识点一:基本概念例1.1.如果12,e e是平面α内两个不共线向量,那么下列各说法错误的有( )①12+e e λμ(,λμ∈R )可以表示平面α内的所有向量;平面α内的所有向量都可以表示成12+e e λμ(,λμ∈R )。
【高中数学】专题2.3.1 平面向量基本定理重难点题型(举一反三)(解析版)
由平面向量基本定理可得， D 正确；
故选： D ．
【点睛】本题考查了平面向量基本定理的运用，基底的选择必须时不共线的两个向量．
【变式 1-2】（2019•福田区校级模拟）如果 e1 ， e2 是平面 a 内所有向量的一组基底，那么 (
，
P
为线段 CD
上一点，且
DP
1
PC
，
E
为
BC
的中点，若
2
EP AB AD ( , R ) ，则 的值为 ( )
1
A．
3
B． 1
C．0
3
1
D．
2
【分析】根据条件可得出
CP
4
AB,
EC
1
AB
1
AD
，从而根据
EP
EC
CP
即可求出
EP
5
AB
1
AD
，这样根据
3
22
若 ， 有一个不为 0，不妨设 不等于 0，则：
e1
e2
；
e1, e2 共线，这与 e1, e2 不共线矛盾．
0 ．
故选： B ．
【点睛】本题考查共面向量基本定理和共线向量基本定理，注意定理所满足的条件．
【考点 2 平面向量的夹角】
【例 2】（2019•马鞍山二模）已知 A ， B ， C 是圆 O 上的三点，若 AO 1 ( AB AC) ，则 AB 与 AC 的夹角为 (
【点睛】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几
何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的．
平面向量(3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-备战2024年高考数学考试易错(原卷版)
专题07平面向量易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线性运算）1．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB的长度，记作||AB ．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算和向量共线定理（1）向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律a b b a +=+ ②结合律()a b c ++ =()a b c ++减法求a 与b 的相反向量b -的和的运算叫做a与b的差三角形法则()a b a b -=+-数乘求实数λ与向量a的积的运算（1）||||||a a λλ=（2）当0λ>时，a λ 与a的方向相同；当0λ<时，a λ 与a的方向相同；当0λ=时，0a λ=()()a a λμλμ= ()a a aλμλμ+=+()a b a bλλλ+=+共线向量定理向量()0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b a λ=.共线向量定理的主要应用：(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a b λ=，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.解决向量的概念问题应关注以下七点：(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(6)非零向量a 与||a a 的关系：||a a是a方向上的单位向量．(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小易错提醒：（1）向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA OB BA -= ，AM AN NM -= ，+OA OB CA OA OB CA BA CA BA AC BC =⇔-=⇔-=+=.A ．AB AD AC+= C ．AB AD CD AD++=uu u r uuu r uu u r uuu r 变式1：给出下列命题，其中正确的命题为（A ．若AB CD = ，则必有B ．若1233AD AC AB =+ C ．若Q 为ABC 的重心，则D ．非零向量a ，b ，c 变式2：如图所示，在平行四边形(1)试用向量,a b来表示DN (2)AM 交DN 于O 点，求AO 变式3：如图所示，在矩形1．已知a 、b为不共线的向量，5AB a b =+ ，28BC a b =-+ ，()3CD a b =-uu u r r r ，则（）A ．ABC ，，三点共线C ．A BD ，，三点共线2．如图，在平行四边形ABCD A ．1233AB AD-+C ．1536AB AD - 3．在四边形ABCD 中，若AC AB = A ．四边形ABCD 是平行四边形C ．四边形ABCD 是菱形4．已知,AD BE 分别为ABC 的边A ．43a ＋23bC ．23a 43-b 5．如果21,e e是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（①(12,R a e e λμλμ=+∈②对于平面α内任一向量③若向量1112e e λμ+ 与λ④若实数λ、μ使得1e λ+ A ．①②B 6．给出下列各式：①AB 对这些式子进行化简，则其化简结果为A ．4B 7．已知平面向量a ，bA ．若a b ∥，则a = C ．若a b ∥，b c ∥，则8．设1e 与2e 是两个不共线的向量，k 的值为（）41．平面向量基本定理和性质（1）共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈ ，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠ ，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．（2）平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e e λλ+ 叫做向量a关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+ 叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==．推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==．（3）线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB AC AD λλ+=+ ．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．DACB（4）三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ=；⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+；⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+；⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+．（5）中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+ )AC，反之亦正确．DACB2．平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+ ，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a的坐标，记作(,)a x y = ．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量(,)x y 一一对应向量OA 一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则1212(,)a b x x y y +=++ ，1212(,)a b x x y y -=--，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y = ，λ为实数，则(,)a x y λλλ=，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =-=12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．3．平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =--，，||AB ②已知11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b ±1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ= ，∥12211212向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a λ （λ∈R ），然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入a λ 即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(),a x y =，22(),b x y = ，则a b∥的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB与AC 共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．易错提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相。
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平面向量题型归类及解题方法
1. 平面向量的定义和性质
平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。
平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。
- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。
- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。
- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。
- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。
- 向量可以缩放，即乘以一个标量。
- 向量可以平移，即使原点发生变化。
2. 平面向量的基本运算
2.1 向量的加法
向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。
2.2 向量的减法
向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。
2.3 向量的数乘
向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。
2.4 平行向量和共线向量
如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。
如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。
2.5 两个向量的数量积（点积）
设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b
= x1x2 + y1y2。
2.6 向量的模长和方向角
设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。
向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。
3. 平面向量的题型归类及解题方法
平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。
3.1 平面向量的加减法题型
•已知两个向量，求其和或差向量。
•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。
解题方法： 1. 将题目中的已知条件用向量表示。
2. 进行向量的加减法运算，得到结果向量。
3. 根据题目要求，解得未知向量。
3.2 平面向量的数量积题型
•已知两个向量的数量积和其中一个向量，求另一个向量。
•已知两个向量的数量积和它们的模长，求夹角。
解题方法： 1. 将题目中的已知条件用向量表示。
2. 利用数量积的定义进行计算，得到结果。
3. 根据题目要求，解得未知向量或夹角。
3.3 平面向量的平行向量和共线向量题型
•判断给定的两个向量是否平行。
•判断给定的三个向量是否共线。
解题方法： 1. 利用平行向量和共线向量的定义进行判断。
2. 对向量进行运算，求得判断结果。
3.4 平面向量的模长和方向角题型
•已知一个向量的模长和夹角，求其分量。
•已知一个向量的模长和分量，求其方向角。
解题方法： 1. 利用模长和方向角的定义进行计算。
2. 对向量进行运算，求得结果。
4. 示例题目解析
示例题目1
已知向量a = (3, 2)，b = (1, 4)，求c = 2a - b。
解析： 1. c = 2a - b = 2(3, 2) - (1, 4) = (6, 4) - (1, 4) = (6-1, 4-4) = (5, 0)。
答案：c = (5, 0)。
示例题目2
已知向量a = (2, -1)，b = (4, 3)，求∥2a + b∥。
解析： 1. c = 2a + b = 2(2, -1) + (4, 3) = (4, -2) + (4, 3) = (4+4, -
2+3) = (8, 1)。
2. ∥2a + b∥ = ∥(8, 1)∥ = √(8^2 + 1^2) = √65。
答案：∥2a + b∥ = √65。
示例题目3
已知向量a = (2, 3)，b = (4, 6)，求∠a和b的夹角。
解析： 1. a·b= (2, 3)·(4, 6) = 2×4 + 3×6 = 8 + 18 = 26。
2. ∥a∥ = √(2^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13。
3. ∥b∥ = √(4^2 + 6^2) = √(16 + 36) = √52 = 2√13。
4. cosθ = a·b / (∥a∥·∥b∥) = 26 / ( √13 × 2√13 ) = 26 / ( 2√13 × 2√13 ) = 26 / (4 × 13) = 1/2。
5. ∠θ = arccos(1/2) = π/3。
答案：∠a和b的夹角为π/3。
5. 总结
平面向量的题型归类主要包括加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等几个方面。
在解题过程中，需要运用向量的定义和性质进行计算和判断。
熟练掌握平面向量的基本运算和性质，掌握不同题型的解题思路和方法，能够快速准确地解答平面向量相关的问题。